Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

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Theorie der reellen Funktionen Von Dr. Hans Hahn Professor der Mathematik an der Universität Bonn Erster Band Mit 18 Textfiguren Berlin Verlag von Julius Springer 1921

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Copyright 1921 by Julius Springer in Berlin.

Vorwort. Schon seit geraumer Zeit hat die Lehre von den reellen Funktionen aufgehört, eine bloße Sammlung von Merkwürdigkeiten zu sein: sie ist zu einer Theorie der reellen Funktionen geworden, die eine große Anzahl bedeutungsvoller und weittragender Gesetze aufgedeckt hat; nicht mehr das Suchen nach Ausnahmen ist ihre Absicht, sondern das Suchen nach Regeln. Und da immer häufiger Fragestellungen aus den verschiedensten Gebieten der Mathematik bei gründlicher Behandlung auf Fragen aus der Theorie der reellen Funktionen fiihrten, so hat diese Theorie auch aufgehört, Alleinbesitz einiger Spezialisten zu sein und in immer steigendem Maße das Interesse der mathematischen Allgemeinheit gefunden. Von vielen Seiten wurde daher der Mangel einer zusammenfassenden, systematischen Darstellung dieser Theorie schmerzlich empfunden. Ich habe es deshalb mit Freuden begrüßt, als vor einer Reihe von Jahren Herr A. Schoenflies an mich mit der Aufforderung herantrat, an einer Neuauflage seines Berichtes "Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten" mitzuarbeiten, und zwar insbesondere die Anwendungen der Mengenlehre auf die Theorie der reellen Funktionen zu behandeln. Im Jahre 1914 war diese Darstellung nahezu beendet. Der Ausbruch des Krieges, der mich von meinem damaligen Wohnsitze Czernowitz trennte, sodann meine Einberufung zur österreichischen Armee, eine schwere Verwundung, schließlich meine Übersiedlung nach Bonn verzögerten die endgültige Fertigstellung, und als diese endlich erfolgt war, machten die mittlerweile eingetretenen traurigen Verhältnisse die Drucklegung unmöglich. Ich war schon darauf gefaßt, das Manuskript in meinem Schreibtische begraben zu müssen, als das freundliche Entgegenkommen der Verlagsbuchhandlung von Julius Springer mir die Möglichkeit bot, es zu einer selbständigen, zwei Bände umfassenden ~Theorie der reellen Funktionen" umzugestalten, deren erster Band nun vorliegt, und deren zweiter Band (enthaltend die Theorie der Integration und Differentiation, die analytische Darstellung willkürlicher Funktionen und die Fourierschen Reihen) hoffentlich bald wird folgen können.

IV Vorwort. Ich hoffe, daß dieses Buch auch nach dem Erscheinen von Herrn C. Caratheodorys ausgezeichneten ~Vorlesungen über reelle Funktionen" nicht als überflüssig wird empfunden werden. Denn schon ein flüchtiger Vergleich wird zeigen, daß der behandelte Stoff sich nur zum geringen Teile mit den Caratheodorysehen Vorlesungen deckt, und daß da, wo der Stoff sich deckt, doch die Darstellung meistens eine völlig verschiedene ist. Daß ich nach Form und Inhalt aus Caratheodorys Werke vielen Nutzen für das meine ziehen konnte, wird jeder aufmerksame Leser feststellen, und es sei hier ausdrücklich und gerne anerkannt. Was die verarbeitete Literatur anlangt, so hoffe ich, von den bis 1914 erschienenen Arbeiten über die behandelten Gegenstände keine wichtigere unberücksichtigt gelassen zu haben. Die nach Kriegsausbruch erschienene Literatur des Auslandes, ist mir teils gar nicht, teils so spät zur Kenntnis gekommen, daß sie nur ganz gelegentlich verwertet werden konnte. Vom Leser werden keine speziellen Vorkenntnisse verlangt, wohl aber eine gewisse Übung im mathematischen Denken. Um nicht fortwährend auf andere Bücher verweisen zu müssen, wurden die fiir das Verständnis erforderlichen Tatsachen aus der allgemeinen Mengenlehre und der Theorie der reellen Zahlen in einer Einleitung kurz entwickelt. Ich muß wohl nicht eigens darauf hinweisen, daß es sich dabei nicht um eine systematische Entwicklung dieser Theorien handelt; die schwierigen Fragen der Grundlegung der Mengen- und Zahlenlehre z. B. werden gar nicht berührt. Ausführlicher und systematischer wurde in Kapitel I die Theorie der Punktmengen behandelt, doch auch hier möge sich der Leser vor Augen halten, daß diese Darstellung nicht Selbstzweck ist, sondern nur zur Grundlegung für den eigentlich zu behandelnden Gegenstand, die Theorie der reellen Funktionen, dient. Beim Lesen der Korrekturen haben mich in freundlichster Weise unterstützt die Herren F. Hausdorff, Th. Radakovic, A. Rosenthal und H. Tietze. Es sei ihnen an dieser Stelle für zahlreiche wertvolle Ratschläge und Verbesserungen der herzlichste Dank ausgesprochen. Bonn, September 1920. Hans Hahn.

Inh alt. Einleitung. Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. ~ 1. Vereinigung und Durchschnitt................. 1 ~ 2. Die Mächtigkeiten....................... 5 ~ 3. Die geordneten Mengen. Die Ordnungstypen.......... 11 ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen......... 15 Die reellen Zahlen. ~ 5. Grenzwerte reeller Zahlen.................. 27 ~ 6. Häufungswerte reeller Zahlen................. 35 ~ 7. Die Mächtigkeit des Kontinuums............... 44 ~ 8. Anordnungssätze....................... 47 Erstes Kapitel. Punktmengen. ~ 1. Metrische Räume....................... 52 ~ 2. Kompakte, abgeschlossene, offene Punktmengen......... 58 ~ 3. Umgebungen........................ 65 ~ 4. Insichdichte, dichte, nirgends dichte Mengen.......... 75 ~ 5. Zusammenhängende Mengen.................. 82 ~ 6. Das Borelsche Theorem................... 89 ~ 7. Separable Mengen......................... 93 ~ 8. Vollständige Mengen...................... 99 ~ 9. Lineare abgeschlossene Mengen................ 109 Zweites Kapitel. Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. ~ 1. Der Funktionsbegriff..................... 113 ~ 2. Obere und untere Schrankenfunktion.............. 117 ~ 3. Stetigkeit in einem Punkte.................. 122 ~ 4. Stetigkeit auf einer Punktmenge................ 127 ~ 5. Erweiterung einer stetigen Funktion.............. 133 ~ 6. Stetige Abbildungen...................... 140 ~ 7. Abbildung einer Strecke auf ein Quadrat............ 146 ~ 8. Halbstetigkeit in einem Punkte................ 152 ~ 9. Halbstetigkeit auf einer Punktmenge........... 156 ~ 10. Stetige und halbstetige Funktionen............... 161

VI Inhalt. Seite ~ 11. Die Schrankenfunktionen als halbstetige Funktionen. Grenzwert einer Funktion............................... 166 ~ 12. Vernachlässigung von Teilmengen............... 173 ~ 13. Einseitige Stetigkeit und Halbstetigkeit........... 176 Drittes Kapitel. Die unstetigen Funktionen, ~ 1. Häufungswerte einer Funktion................. 184 ~ 2. Die Schwankung einer Funktion................ 190 ~ 3. Verteilung der Unstetigkeitspunkte............. 198 ~ 4. Punktweise unstetige Funktionen................ 203 ~ 5. Erweiterung einer punktweise unstetigen Funktion........ 209 ~ 6. Beispiele punktweise unstetiger Funktionen........... 214 ~ 7. Verallgemeinerungen...................... 219 Viertes Kapitel. Funktionenfolgen. ~ 1. Maximal- und Minimalfunktionen................ 230 ~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation......... 238 ~ 3. Gleichmäßige Konvergenz.................. 246 ~ 4. Gleichmäßige Oszillation........... 254 ~ 5. Schwankung und Ungleichmäßigkeitsgrad einer Funktionenfolge.. 261 ~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz....... 267 ~ 7. Punktweise ungleichmäßige Konvergenz........... 274 ~ 8. Einfach-gleichmäßige und quasi-gleichmäßige Konvergenz..... 280 ~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen.............. 288 ~ 10. Gleichgradig stetige Funktionenmengen............ 300 ~ 11. Schranken- und Grenzfunktionen einer Funktionenmenge..... 305 ~ 12. Verdichtung von Singularitäten................ 309 ~ 13. Die Borelschen Reihen................... 313 Fünftes Kapitel. Die Baireschen Funktionen. ~ 1. Funktionen a-ter Klasse.................... 318 ~ 2. Eigenschaften, die bei Grenzübergang erhalten bleiben...... 324 ~ 3. Funktionen a-ter Ordnung................... 328 ~ 4. Borelsche Mengen...................... 334 ~ 5. Die Ordnung einer Baireschen Funktion, charakterisiert durch Borelsche Mengen...................... 342 ~ 6. Zusammenhang zwischen Klasse und Ordnung einer Baireschen Funktion............................ 345 ~ 7. Die Klasse einer Baireschen Funktion, charakterisiert durch Borelsche Mengen......................... 349 ~ 8. Charakteristische Eigenschaften der Funktionen höchstens a-ter Klasse 352 ~ 9. Verhalten Bairescher Funktionen in der Umgebung eines Punktes. Erweiterung einer Baireschen Funktion............. 356 ~ 10. Funktionen erster und zweiter Klasse.............. 363 ~ 11. Funktionen dritter Klasse................... 370 ~ 12, Existenz von Funktionen a-ter Klasse............ 374 ~ 13. Unvollständige Bairesche Funktionen............. 380 ~ 14. Funktionen mehrerer Punkte.................. 383

Inhalt. VII Sechstes Kapitel. Die absolut-additiv en Megenfunktionen. Seite ~ 1. Additive und absolut-additive Mengenfunktionen........ 393 ~ 2. Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion........ 399 ~ 3. Stetige und unstetige Mengenfunktionen............... 408 ~ 4. Totalstetige Mengenfunktionen................. 416 ~ 5. Maßfunktionen.................... 424 ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen............ 430 ~ 7. Inhaltsfunktionen................... 444 ~ 8. Inhaltsfunktionen im ik................ 453 ~ 9. Absolut-additive Mengenfunktionen im 9i,............ 461 Siebentes Kapitel. Die Funktionen endlicher Variation. ~ 1. Absolutzuwachs, Positivzuwachs, Negativzuwachs einer Funktion. 465 ~ 2. Funktionen totalstetigen Absolutzuwachses........... 473 ~ 3. Ausgezeichnete Folgen von Intervallsystemen......... 479 ~ 4. Variation, positive und negative Variation einer Funktion f(x).. 483 ~ 5. Funktionen endlicher Variation................ 489 ~ 6. Stetige Funktionen endlicher Variation. Ausgezeichnete Zerlegungsfolgen 4............................ 497 ~ 7. Unstetige Funktionen endlicher Variation........... 505 ~ 8. Rektifikation......................... 513 ~ 9. Länge eines stetigen Kurvenbogens............... 518 ~ 10. Totalstetige Funktionen.................... 523 ~ 11. Die Funktion der Singularitäten............... 528 ~12. Streckenweise konstante Funktionen.............. 533 ~ 13. Funktionen endlicher Variation im 9k............. 539 Achtes Kapitel. Die meßbaren Funktionen. ~ 1. Meßbare Funktionen..................... 548 ~ 2. Folgen meßbarer Funktionen................. 553 ~ 3. Die Basisfunktion als gewöhnliche Maßfunktion........ 563 ~ 4. Asymptotische Konvergenz................ 570 ~ 5. Nicht-meßbare Punktmengen.................. 575 ~ 6. Nicht-meßbare Funktionen................... 581 ~ 7. Meßbare und reguläre Abbildungen............... 586 Verzeichnis der zitierten Bücher............... 590 Verzeichnis der zitierten Autoen............. 591 Sachverzeichnis....................... 593

Einleitung. Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. ~ 1. Vereinigung und Durchschnitt. Wir beginnen mit einem kurzen Überblick über die einfachsten Tatsachen der Mengenlehre, von denen wir werden Gebrauch zu machen haben. Wir werden Mengen meistens mit großen deutschen Buchstaben bezeichnen, wie 9, e usf.1) Die Elemente einer und derselben Menge werden stets als untereinander verschieden -angenommen. Es wird auch eine (uneigentliche) Menge betrachtet, die gar kein Element enthält, die leere Menge. Enthält 2 kein Element, das nicht auch in % vorkommt, so heißt S8 ein Teil von 9, in Zeichen: 2- < 1 oder > 3. Sowohl 91 selbst, als die leere Menge sind auf Grund dieser Definition Teile von 1. Ist 23 Teil von 91, aber nicht mit 9 identisch, so heißt 2 ein echter Teil von 1. Zwei Mengen ohne gemeinsames Element nennen wir fremd. Sei jedem Element b der Menge 2 ein Element der Menge 91 zugeordnet, das wir mit a, bezeichnen können. Eine solche Zuordnung heißt eine Abbildung von S3 in die Menge 91, oder auch eine Belegung von e mit Elementen aus 1. Ist insbesondere B2 die Menge der natürlichen Zahlen 1, 2,..., k, so heißt die Gesamtheit der ihnen zugeordneten Elemente a, a2,..., ak von 9 eine endliche Folge aus 91. Ist S3 die Menge aller natürlichen Zahlen 1, 2,..., n,..., so heißt die Gesamtheit der zugeordneten Elemente. ________.1 ^a a,* * *.. n * n 1) Mengen, deren Elemente selbst Mengen sind, bezeichnen wir hin und wieder mit großen griechischen Buchstaben A, B usf. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 1

2 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. eine unendliche Folge aus 91, und wird kurz bezeichnet mit: {an}. Jedes einzelne an heißt ein Glied der Folge. Im Gegensatze zum Begriffe der Menge können in einer Folge mehrere (ja auch alle) Glieder gleich (d. h. dasselbe Element von 91) sein. Die Menge aller in einer unendlichen Folge auftretenden Elemente von 91 kann also sehr wohl endlich sein, ja sogar aus nur einem Elemente bestehen. Der Ausdruckl) ~fast alle" Glieder einer Folge (oder Elemente einer Menge) soll bedeuten: alle Glieder (Elemente), mit höchstens endlich vielen Ausnahmen. Jede Folge, die aus {a)} durch Weglassung von Gliedern entsteht, heißt eine Teilfolge von {a}). Eine unendliche Teilfolge von {a,} kann in der Form angeschrieben werden: an,, a,..., a,,... (ni < n <... < n, <...) oder kurz: { a,}. Sei nun A eine Menge, deren Elemente selbst Mengen 9 sind, und 3 eine beliebige Menge. Sei eine Belegung B von e mit Elementen aus A gegeben, die dem Elemente b von 83 die Menge %b aus A zuordnet. Wir denken uns aus der Gesamtheit der durch B den Elementen von B3 zugeordneten Mengen 91 zwei neue Mengen gebildet: ihre Vereinigung und ihren Durchschnitt. Die Vereinigung ist definiert als die Menge aller derjenigen Elemente, die in mindestens einer der Mengen?9b vorkommen, der Durchschnitt als die Menge aller derjenigen Elemente, die in sämtlichen Mengen 9b vorkommen. Werden durch B verschiedenen Elementen b' + b" aus 9 stets fremde Mengen b', 1b"/ zugeordnet, so wird die Vereinigung aller Mengen %9b auch als ihre Summe bezeichnet. Vereinigung S9, Summe G, Durchschnitt ) einer endlichen Mengenfolge 1, Öe..., 9W werden bezeichnet mit2): k k= Zu — 1 + 2 + ~ * * + %k S aXn -____ n=l 2) Er wurde eingeführt von G. Kowalewski, Einführung in die Infinitesimalrechnung (1908), 14; Grundzüge der Differential- und Integralrechnung (1909), 14. a) Die Bezeichnungsweise +- für die Vereinigung rührt her von C. Carath6odory, Vorl. über reelle Funktionen (1918), 23.

Einleitung. ~ 1. Vereinigung und Durchschnitt. 3 k S) = ' S,.....~ * -- * 1" 1 2'..*. ~= -D 1r. n=l Vereinigung, Summe, Durchschnitt einer unendlichen Mengenfolge {9I} werden bezeichnet mit: $ =. + ~ 2 +.'... ' +.......='' V Wn; -;= 1 +'" " + + r +' " S D n; n=l 94 - 9 " '..+ * 9..- -SD En t2l Ist 3-< [, so heißt die Menge aller nicht zu 23 gehörigen Elemente von 91 das Komplement von e zu % und wird bezeichnet mit: 1- S. Allgemein (ob 3 Teil von 92 ist oder nicht) kann die Menge aller nicht zu 8 gehörigen Elemente von 9 geschrieben werden: Die Vereinigung aller Mengen einer (endlichen oder unendlichen) Mengenfolge {9 (} kann stets durch eine Summe ersetzt werden. In der Tat, setzt man: =le -11, (91 + 92 +' * *+ n)-(91 + i +-'*' + -_l)(n> 1), so sind je zwei e3, fremd, und es ist:, + +2 +...+ +...= +S,+... + <+... Wir nennen eine (endliche oder unendliche) Mengenfolge {2X} monoton wachsend, wenn: 2~ -< 2 -<...-< ~i -<..., monoton abnehmend, wenn hierin -< durch > ersetzt wird. Satz I. Zu jeder Mengenfolge {91,} gibt es eine monoton wachsende {f,}, so daß 91 + 2 + - + - + t + n + +.. und: W-< 5f. In der Tat, wir haben nur zu setzen: 1= 1; Wn 1+ ^2 +...+ S (n > ). Satz II Zu jeder Mengenfolge {9,} gibt es eine monoton abnehmende {,}J, so daß: 1*

4 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. Vl 2'... '.'...=.' ' — 1 '". '' und: In der Tat, wir haben nur zu setzen: Aus einer unendlichen Mengenfolge {2f,} leiten wir zwei Mengen her: die obere Gemeinschaftsgrehze von {2,}, in Zeichen: und die untere Gemeinschaftsgrenze, in Zeichen: lim,; n-=00 sie werden in folgender Weise definiert: die obere Gemeinschaftsgrenze ist die Menge der in unendlich vielen 21, vorkommenden Elemente; die untere Gemeinschaftsgrenze ist die Menge der in fast allen 21n vorkommenden Elemente~). Sind für eine Mengenfolge {?I} obere und untere Gemeinschaftsgrenze identisch, so heißt die Folge konvergent; man schreibt dann: lim S92= lim Wn ==, lim rn n= oo n=oo n= und nennt diese Menge schlechthin die Gemeinschaftsgrenze von X}. Satz IIL Jede monotone Mengenfolge ist konvergent; und zwar ist für monoton wachsende Mengenfolgen: ii =. - 4... 4..., lim A n= oo für monoton abnehmende Mengenfolgen: lirm — = 1~ i....~..... n=-~ Der Beweis liegt auf der Hand. Wir stellen noch Formeln für obere und untere Gemeinschaftsgrenzen einer Mengenfolge {n,} auf. 1) Auf die Wichtigkeit dieser beiden Mengen hat wohl zuerst S. Borel hingewiesen; er nennt die äußere Gemeinschaftsgrenze:,ensemble limite complet", die innere:,ensemble limite restreint" (Legons sur les fonctions de variables reelles (1905), 18). Wir haben den Namen,Gemeinschaftsgrenze" gewählt zum Unterschiede von den bei Folgen von Punktmengen auftretenden,Näherungsgrenzen" (Kap. 1, ~ 3, S. 74).

Einleitung. ~ 2. Die Mächtigkeiten. 5 Satz IV. Setzt man: 5,=,t4- l n+ ~ -...; el= n,. n+..., so ist: (0) lim 9- =lim m =,l; lim n== lim n. n= — ' t-n=oo, S= O In der Tat aus der Definition von oberer und unterer Gemeinschaftsgrenze folgt: lim %,-n, 2'... ',..; lim. — 1 -~ ~a +... t ''-+-... n= oo Offenbar aber ist {283} monoton abnehmend, {~~} monoton wachsend. Nach Satz III ist also: 3 82'.*..* * 8 l....=im 24; (**) \ Ts Z) + 22 + * ' * + ~n + * * ' =11 "n. Aus (*) und (**) aber folgt die Behauptung (0). Satz V. Setzt man: ^?tn +9n41+.. Q~. * n+k so ist: (1) linm lim (lim f,,.k); lim n=n lim (lim,,k). Xn=: *?~n=oo k=0 = =c o k-=n= In der Tat, in Satz IV ist offenbar: (t), $,, ~ ~... + + ~.. 52) " - 1. - *na,2 % n,JE k und da die Folge ~%n1,,^2,...,, Sk..., monoton zunehmend, die Folge %,i, 2,.,n,2. *,k,... monoton abnehmend ist, so ist (t) nach Satz III gleichbedeutend mit: (t~ti) ' = lima M,k; n =- lim ~n,k k=-x k=oo Setzt man (tt) in die Gleichung (0) von Satz IV ein, so erhält man die Behauptung (1) von Satz V. ~ 2. Die Mächtigkeiten. Sei eine Abbildung A der Menge 3 in die Menge t gegeben (~ 1, S. 1), die dem Elemente b von 83 das Element ab von 2 zuordnet. Dann heißt a das Bild von b, umgekehrt heißt jedes Element

6 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. von 3, dem durch A das Element a von 2f zugeordnet ist, ein Urbild') von a. Die Abbildung A von 3 in f habe nun folgende Eigenschaften: 1. Verschiedene Elemente aus e haben verschiedene Bilder in 91: ab + ab', wenn b + b'. 2. Jedes Element von 1i ist Bild eines Elementes von 3. Dann hat jedes a aus 91 in 23 ein und nur ein Urbild, das wir mit ba bezeichnen können: b-=ba wenn a===a. Es ist also durch die Abbildung A nicht nur jedem Elemente von 3 ein Element von 9 zugeordnet, sondern auch jedem Elemente von 91 ein Element von 3, nämlich sein Urbild. Eine solche Abbildung A heißt eine eineindeutige Abbildung (oder Zuordnung) der Mengen 91 und 3. Gibt es eine eineindeutige Abbildung von 9 und 93, so heißen 1 und 3 gleichmächtig2). Die Eigenschaft, die eine Menge 91 und alle ihr gleichmächtigen von den übrigen Mengen unterscheidet, heißt die Mächtigkeit (oder Kardinalzahl) der Menge 9 (und jeder mit 9 gleichmächtigen Menge). Die Mächtigkeiten der endlichen Mengen sind die natürlichen Zahlen (in ihrer Verwendung als Kardinalzahlen). Ist a die Mächtigkeit von SW, b die von 3, so bedeutet a=b: die Mengen 1 und e3 sind gleichmächtig. Die Mächtigkeit a von I1 heißt größer als die Mächtigkeit b von 3, in Zeichen: a>b oder b<a, wenn 3 gleichmächtig ist mit einem Teile von 91, aber nicht mit r selbst3). In üblicher Weise bedeutet a b soviel wie: a> oder a b. Summe, Produkt, Potenz zweier Mächtigkeiten werden definiert durch folgende Festsetzungen4): sei [ eine Menge der Mächtig1) Diese Bezeichnung stammt von F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), 43. 2) Dieser Begriff, sowie der ganze Inhalt dieses Paragraphen stammen von G. Cantor. 8) Daß die Relationen a> b und a < b sich ausschließen, und daß stets eine der drei Relationen a = b, a > b, a < b eintritt, werden wir erst später zeigen können: ~ 4, Satz XXI. 4) Für endliche Mengen reduzieren sie sich auf die bekannte Definition von Summe, Prodükt und Potenz natürlicher Zahlen.

Einleitung. ~ 2. Die Mächtigkeiten. 7 keit a, 3 eine Menge der Mächtigkeit b. Dann ist, wenn 21 und 2 fremd, a + b die Mächtigkeit von %4+.- Versteht man unter der Verbindungsmenge von 92 und 23 die Menge aller verschiedenen paare (a, b), deren erstes Glied a ein Element von 2t, deren zweites Glied b ein Element von e ist, so ist a.b die Mächtigkeit derVerbindungsmenge'von 2 und 3. Und versteht man unter der Belegungsmenge von 3e mit 92 die Menge aller verschiedenen Belegungen (~ 1, S. 1) von 58 mit Elementen von 52 (d. h. die Menge aller verschiedenen Abbildungen von 3 in 21), so ist ab die Mächtigkeit der Belegungsmenge von 3 mit 21. Aus diesen Definitionen folgen unmittelbar die Sätze: Satz I. Es gelten die Rechnungsregeln: a+ =b-+a; a+(b+c)=(a+b)+c; a.b==b - a; a*(b.c) =(a-b)*c; (a +b) c== a c + — bc; ab+C ab. b C; (ab)C = a C.; abC = (ab) Wenn b b', so ist auch: a+b~a+b'; a b a.b'; abab'; ba > ba. Eine Menge 2 heißt abzählbar-unendlich, wenn sie gleichmächtig ist der Menge der natürlichen Zahlen. Es gibt dann eine eineindeutige Zuordnung A der Elemente von 52 zu den natürlichen Zahlen. Bezeichnet man mit a, das durch A der Zahl n zugeordnete Element von W, so sieht man, daß jede abzählbar-unendliche Menge in der Form angeschrieben werden kann: a l a2., an,. Umgekehrt ist jede Menge, die in dieser Form angeschrieben werden kann, abzählbar-unendlich. Aus der Definition der abzählbar unendlichen Mengen folgt unmittelbar: Satz II. Jeder unendliche Teil einer abzählbar-unendlichen Menge ist abzählbar-unendlich. Da man, wenn aus einer unendlichen Menge endlich viele Elemente a1, a,..., an herausgegriffen sind, immer noch ein (n + 1)-tes a~, herausgreifen kann, so hat man: Satz III. Jede unendliche Menge enthält einen abzählbar-unendlichen Teil. Die Mächtigkeit der abzählbar-unendlichen Mengen wird mit ^o bezeichnet. Satz III kann dann auch so ausgesprochen werden: Satz IV. Unter allen Mächtigkeiten unendlicher Mengen ist No die kleinste.

8 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. Wir beweisen die folgenden Rechnungsregeln: Satz V. Bedeutet e eine endliche Mächtigkeit >01), so ist: (*) o+e = No; No+ o = o; e o = o; No'o = o. Es wird genügen, die letzte dieser Formeln zu beweisen, da aus ihr, mit Hilfe von Satz II, die andern sofort folgen2). Erinnert man sich an die Definition des Produktes zweier Mächtigkeiten, so ist zu zeigen:. "Die Menge aller Paare (m, n) natürlicher Zahlen ist abzählbar-unendlich. " In der Tat, wir setzen: (m + n - 2)(m + n - ) (**) 2- n= 2. Da aus: (m +n-2)(m+-n ) ) (m'+n'- 2)(m + n' -l) 2 -+ 2+ folgta): m === w, n = n', so ist dadurch eine eineindeutige4) Abbildung.der Paare (m, n) auf die natürlichen Zahlen 1, 2, 3,..., v,... gegeben, und die Behauptung ist bewiesen. Aus der hiermit bewiesenen Tatsache, daß die Menge aller Paare natürlicher Zahlen abzählbar-unendlich ist, folgt leicht: 1) Es ist also e eine natürliche Kardinalzahl. a) Denn es ist nach Satz I: K+g +_ e ~ o + - = 2 * o e. o x o. o. 3) In der Tat, man setze: m - n - 1 = k, m' + n' -1 = k'. Dann ist (t) 1 nk', n'<k'. Ist dann k k', n >n', so ist offenbar: (k - 1) k (K — 1) k' (tt) ( 2 +n> +n. 2 +n>2 - Ist hingegen: k>k, d. h. k'<k-l, so ist wegen (t): (k - 1) k (k- 1) k (K - 1) k' (+ff - 1) k' (k-1) k 2 +2;2 w2 2 und somit gilt wieder (tt). ~) Um zu sehen, daß jede natürliche Zahl v in der Form (**) erscheint, bestimme man die natürliche'Zahl k aus: (k - 1) k < k (k - 1) 2 2

Einleitung. ~ 2. Die Mächtigkeiten. 9 Satz VI. Die Menge aller rationalen Zahlen ist abzählbar-unendlich1). Sei in der Tat M r — (m, n teilerfremde, natürliche Zahlen) n eine positive rationale Zahl. Ordnen wir ihr das Paar (m, n) zu, so ist die Menge 9i aller positiven rationalen Zahlen eineindeutig abgebildet auf einen Teil 91 der abzählbaren Menge aller Paare natürlicher Zahlen; nach Satz II ist auch 91, und somit ~9l, abzählbarunendlich. Da die Menge J2 aller negativen rationalen Zahlen mit 1 gleichmächtig ist, so ist auch 2, und somit nach der zweiten Formel (*) auch 3R + - ~2 abzählbar-unendlich. Fügt man noch die 0 hinzu, so erhält man nach der ersten Formel (*) (für e = ) wieder eine abzählbar-unendliche Menge 9l. Da -R aber die Menge aller rationalen Zahlen ist, so ist Satz VI bewiesen. Wir werden weiterhin eine Menge als abzählbar bezeichnen, wenn sie abzählbar-unendlich, endlich oder leer ist. Man kann dann die Sätze aussprechen (deren Beweis aus Satz II und Satz V unmittelbar folgt): Satz VII. Jeder Teil einer abzählbaren Menge ist abzählbar. Satz VIII. Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist abzählbar. Ein häufig anzuwendender Satz lautet: Satz IX. Ist jede der Mengen 1J, I2,... k abzählbar, so ist auch die Menge aller k-gliedrigen Folgen: (t) (a,,..., ak), in denen a, zu,n (n= 1, 2,..., k) gehört, abzählbar. Wir beweisen dies durch Induktion. Die Behauptung ist richtig für k= 1. Angenommen, sie sei richtig für k -. Die Menge aller k-gliedrigen Folgen (t), an deren letzter Stelle ein fest gegebenes Element 5, aus Öl steht: (al, a2,... -l, a.) ist dann abzählbar. Da es in Qk nur abzählbar viele Elemente gibt, ist also die Menge aller Folgen (t) die Vereinigung abzählbar vieler und setze sodann:, (k — 1) k n =- v - 2 m==k-n+1. 1) Darin ist (nach Satz II) auch enthalten der Satz: Die Menge aller ganzen Zahlen (0, ~1, ~2,..., n,...) ist abzählbar-unendlich.

10 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. abzählbarer Mengen, und somit nach Satz VIII selbst abzählbar. Gilt also die Behauptung von Satz IX für (k- l)-gliedrige Folgen, so auch für k-gliedrige. Damit ist sie bewiesen. Wir fügen noch den Satz bei: Satz X. Ist Sf eine abzählbare und B eine unendliche Menge, so haben 5-+~ und 3 gleiche Mächtigkeit. In der Tat, da 3 unendlich ist, gibt es (Satz III) in 3 einen abzählbar-unendlichen Teil 1I', und wir können schreiben: (*) B3= '+ '. Seien b und b' die Mächtigkeiten von 3 und S'. Wegen (*) ist dann: (**) = + Ferner kann man schreiben: (***) ~ -+s = (a - 1. e)+ 2 = (S - q. 2)+('r + 9'). Hierin ist 91 —19, als Teil der abzählbaren Menge 1, abzählbar, etwa - um einen bestimmten Fall vor Augen zu haben - abzählbarunendlichl). Aus (***) ergibt sich dann für die Mächtigkeit von 51 - - (bei Berücksichtigung von Satz I, Satz V, und von (**)): No + (po + ') = (o + No) + ~ = No + b =, also haben 14- 5 und ( gleiche Mächtigkeit, und Satz X ist bewiesen. Sei 53 eine beliebige Menge der Mächtigkeit 5, und 1 die Menge der beiden Elemente 0, 1. Jede Belegung von 3 mit Elementen von 1 liefert dann, indem man die mit 0 belegten Elemente wegläßt, einen Teil von 3. Also sind die Belegungsmenge von 39 mit 21 und die Menge aller Teile von 9 gleichmächtig. Da aber zufolge der Definition der Potenz die Belegungsmenge von 3 mit 1 die Mächtigkeit 26 hat, so sehen wir: Satz XI. Die Menge aller Teile einer Menge der Mächtigkeit 6 hat die Mächtigkeit 2b. Zum Schlusse beweisen wir noch: Satz XII. Für jede Mächtigkeit 6 gilt die Ungleichung: 2b>b. In der Tat, da gewiß 2b bist, so ist nur zu beweisen: die Menge e und die Menge T aller Teile von 3 können nicht gleichmächtig sein. Sei, um das zu beweisen, A irgendeine Abbildung 1) Wäre 5 - 51 endlich oder leer, verläuft der Beweis ganz analog.

Einleitung. ~ 3. Die geordneten Menenge. Die Ordnungstypen. 11 von e3 in T; sie ordne dem Elemente b von 3 den Teil gb von 23 zu. Wir definieren einen Teil S* von S3 durch die Vorschrift: 0b in S*, wenn b nicht in Zb; b nicht in S*, wenn b in S,.' Dann kann das Element *y von T in b kein Urbild haben. Denn angenommen, es gebe ein solches Urbild b*: (00) = b Die Vorschrift (0) ergibt dann: ~b* in S*, wenn b* nicht in 3b*; b* nicht in $*, wenn b* in Sb*." Berücksichtigt man nun (00), so wird hieraus: ~b* in;*, wenn b* nicht in S*; b* nicht in S:', wenn b* in *.'4 Das aber ist ein Widerspruch, und es kann somit kein Urbild von S* geben. Also ist die Abbildung A von e in T nicht eineindeutig. Und da A eine beliebige Abbildung von 8 in T war, ist gezeigt: es gibt keine eineindeutige Abbildung von Qe und T; d. h. Q3 und T sind nicht gleichmächtig; damit aber ist Satz XII bewiesen. ~ 3. Die geordneten Mengen. Die Ordnungstypen. Die Menge 2f heißt geordnet, wenn zwischen je zweien ihrer Elemente a +a' eine Relation definiert ist, die wir durch das Wort ~vor" ausdrücken, und derzufolge: entweder: a vor a', oder: a' vor a1) gilt; dabei muß diese Relation die beiden folgenden Eigenschaften haben: 1. sie ist asymmetrisch, d. h.: wenn: a vor a', so ist nicht: a' vor a; 2. sie ist transitiv, d. h.: wenn: a vor a' und: a' vor a", so ist: a vor a". Durch diese Relation ist zugleich mit 9f auch jeder Teil von 9( geordnet. Zwei geordnete Mengen 9i und 8 heißen ähnlich2), wenn es eine eineindeutige Abbildung von 2 und 23 gibt von folgender Eigen1) Statt "a vor a'" sagen wir auch:,a' folgt auf a". ) Auch dieser Begriff, sowie der ganze Inhalt dieses Paragraphen stammlt von G. Cantor.

12 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. schaft: sind b' und b" die Bilder in 33 der Elemente a' und a" von 1f, so gilt: b' vor b", wenn a' vor a". Eine solche Abbildung heißt eine ähnliche Abbildung von 91 und B3. Da jede ähnliche Abbildung auch eineindeutig ist, so sehen wir: Ähnliche Mengen sind gleichmächtig. Die Eigenschaft, die eine geordnete Menge 51 und alle ihr ähnlichen von den übrigen Mengen unterscheidet, heißt der Ordnungstypusl) der Menge 1 (und jeder mit 51 ähnlichen Menge). Da je zwei geordnete, endliche Mengen der Kardinalzahl n ähnlich sind und mithin gleichen Ordnungstypus haben, kann die natürliche Zahl n auch zur Bezeichnung dieses Ordnungstypus verwendet werden. Die Ordnungstypen geordneter endlicher Mengen sind demnach die natürlichen Zahlen (in ihrer Verwendung als Ordinalzahlen). Ist a der Ordnungstypus von 1 und ß der Ordnungstypus von B3, so bedeutet a- ß: die Mengen 21 und 5 sind ähnlich. Das Element ao der geordneten Menge 2 heißt das erste Element von 91, wenn zwischen ihm und jedem andern Elemente a von 21 die Relation besteht: aO vor a; es heißt das letzte Element von 21, wenn zwischen ihm und jedem andern Elemente a von 1 die Relation besteht: a vor ao. Gelten die Relationen a; vor a vor at, so sagt man: a liegt zwischen -a' und a" (oder: zwischen a" und a'). Sei a ein Element, 21' ein Teil der geordneten Menge 91; gilt dann für jedes Element a' von W1': a vor a' so schreiben wir kurz: a vor 1' (oder: 1' folgt auf a). Analog wird definiert: 21' vor a (oder: a folgt auf 1'), sowie: a zwischen 21' und 2", oder: a zwischen W1' und a" (zwischen a" und 21'). 1) So wie die Mächtigkeit eine Verallgemeinerung des Begriffes der endlichen Kardinalzahl, so ist der Ordnungstypus eine Verallgemeinerung des Begriffes der endlichen Ordinallzahl. Doch werden üblicherweise nur sehr spezielle Ordnungstypen, von denen noch unten die Rede sein wird (~ 4, S. 18), als Ordinalzahlen bezeichnet.

Einleitung. ~ 3. Die geordneten Meenge. Die Ordnungstypen. 13 Ist tf' vor a, und gibt es in 2f kein Element zwischen 5' und a, so sagen wir: a folgt unmittelbar auf 5['. Ist a vor S', und gibt es kein Element zwischen a und 21', so sagen wir: a geht A' unmittelbar voran. Sind 21' und 1" zwei Teile von 21, und gilt für alle Elemente a' von 1' und a" von Wl": a' vor a", so sagen wir auch: 1' vor 21" (1" folgt auf 2'). Damit sind auch Aussagen, wie: $2'1" zwischen 1' und 21" ohne weiteres verständlich. Wir definieren die S umme a +- f zweier Ordnungstypen 1). Seien 21 und $ zwei fremde Mengen der Ordnungstypen a und WB. Wir ordnen die Summe 1 - 53 durch die Vorschriften: a vor b, wenn a in 51, b in 53; a' vor a", wenn a' und a" in 21, und dort a' vor a" gilt; b' vor b", wenn b' und b" in S3, und dort b' vor b" gilt. Den Ordnungstypus der so geordneten Menge 21 + 3 bezeichnen wir als die Summe ac + von c und fl. Es ist dann offenbar: (a + ) + r + ( +), hingegen ist im allgemeinen: a + + f- a, wie folgendes Beispiel zeigt: es gebe in der Menge $1 vom Ordnungstypus a ein erstes Element, in der Menge 53 vom Ordnungstypus ß nicht. Wird die Menge $2 -+ 53 nach dem Ordnungstypus a - ß geordnet, so hat sie gleichfalls ein erstes Element, wird sie nach dem Typus ß + a geordnet, hat sie kein erstes Element; diese beiden Ordnungen von 1 -- 3 sind also nicht ähnlich, ihre Ordnungsstypen daher nicht gleich. Der Ordnungstypus der Menge der natürlichen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung: n vor n' wenn n<n', wird mit co bezeichnet. Der Ordnungstypus dieser selben Menge in der umgekehrten Anordnung:._______ n vor n' wenn >n ~) Die Definition des Produktes und der Potenz von Ordnungstypen werden wir nicht benötigen.

14 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. (oder, was dasselbe heißt, der Ordnungstypus der Menge der negativen ganzen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung) wird mit co* bezeichnet. Demnach bezeichnet co* +co den Ordnungstypus der Menge aller ganzen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung. Der Ordnungstypus der Menge aller rationalen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung: r vor r' wenn r <r, wird mit n bezeichnet. Es gilt der Satz: Satz I. Ist eine abzählbare Menge so geordnet, daß sie kein erstes und kein letztes Element hat, und daß zwischen je zweien ihrer Elemente stets mindestens ein Element liegt, so ist ihr Ordnungstypus Ö. Sei in der Tat 91 die gegebene abzählbare Menge in der in Satz I geschilderten Anordnung, und sei 9 die Menge der rationalen Zahlen in natürlicher Anordnung. Da % und 9R abzählbar-unendlich sind (~ 2, Satz VI), können die Elemente dieser beiden Mengen in der Form angeschrieben werden: (0) X: al, a,,..., a",... (i) ': 'rl,,,, r n.., r,... Wir definieren durch Induktion eine ähnliche Abbildung A von R9 auf einen Teil 91' von 91, die der Zahl r, das Element ay~ zuordne, vermöge der Festsetzungen: 1. Es ist a,1 a1. 2. Seien r <r <... < r die n Zahlen r1, r2,..., r, in ihrer natürlichen Reihenfolge, und seien die Bilder al, aV2,..., a von rl, r2,..., r, bereits definiert, und zwar so, daß wenn Di (i = 1, 2,..., n) das Bild von ri bedeutet, in 91 die Anordnung besteht: v vor a... vor a,. Die Zahl r,+- genügt dann einer und nur einer der Ungleichungen: "+l<ri, ri<rO+l<r2,..<, r?^-l < r,"+l < r<r+l. Zufolge der Vorraussetzungen von Satz I gibt es in 91 gewiß ein Element a, das der entsprechenden unter den Relationen a vor a1, al vor a vor a2,..., al _ vor a vor a", a, vor a genügt, und unter allen dieser betreffenden Relation genügenden a gibt es eines, das bei der Schreibweise (0) von 1 kleinsten Index hat. Dieses werde für a + 1 gewählt.

Einleitung. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen. 15 Es leuchtet ein, daß hierdurch eine ähnliche Abbildung A von 3t auf einen Teil 91' von 59 gegeben ist, dessen Elemente sind: 91: a,, at,..., an,... Wir behaupten: es ist (2) 9=' —, und beweisen dies durch Induktion. Da a =, a, kommt a1 in 9' vor. Angenommen, es kommen a1, a2,..., a. in 91' vor. Wir haben zu zeigen, daß auch a,, 1 in 91' vorkommt. Es kann n so groß gewählt werden, daß al, a2,..., a~ unter den Bildern a,, au,,..., a%, von r1, r2,..., r, vorkommen. Kommt av + i auch unter diesen Bildern vor, so ist die Behauptung bewiesen. Andernfalls schreiben wir die a?,, an,,..., a in der Reihenfolge an, in der sie in 9 vorkommen: a1 vor a... vor voran und bezeichnen mit ri diejenige rationale Zahl, deren Bild -a ist; dann ist auch rl < 1^ <. * * < rn Für a,+i gilt nun eine und nur eine der Relationen: a, +i vor a; al vor a +i 1 vor a2;...; a-, i vor a" + i vor a,; a. vor a,, - i. Sei r* unter allen Rationalzahlen, die der entsprechenden Ungleichung: r<r-; r,<r<r; 'n...; _<r< r; r.<r genügen, diejenige, die in (1) kleinsten Index hat. Man erkennt unmittelbar aus der Definition der Abbildung A, daß a4,+ 1 das Bild von r* ist. Also kommt ay + i in jedem Falle in 91' vor. Es' kommen somit alle a, in 91' vor, und (2) ist bewiesen. Demnach ist A eine ähnliche Abbildung von 91 und 91, d. h. 91 hat den Ordnungstypus g. Damit ist Satz I bewiesen. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen. Eine geordnete Menge heißt wohlgeordnet'), wenn jeder ihrer (nicht leeren) Teile ein erstes Element hat2). Aus dieser Definition folgt unmittelbar: 1) Auch die Theorie der wohlgeordneten Mengen ist eine Schöpfung von G. Cantor. 2) Dabei ist - wie immer, wenn nicht anders bemerkt - jeder Teil einer geordneten Menge so geordnet gedacht, wie die Menge selbst.

16 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. Satz 1. Jeder Teil einer wohlgeordneten Menge ist wohlgeordnet. Satz II. In einer wohlgeordneten Menge 3i gibt es zu jedem Elemente a, das nicht letztes Element von f ist, ein unmittelbar folgendes. In der Tat, die Menge aller auf a folgenden Elemente von t1 bildet einen nicht leeren Teil von,f, und hat daher ein erstes Element: es ist das auf a unmittelbar folgende. Satz I1I. Ist 32' ein Teil der wohlgeordneten Menge 21, und gibt es in 31 ein auf Si' folgendes Element, sou gibt es in 9i auch ein unmittelbar auf 3t' folgendes Element. In der Tat, die Menge aller auf 91' folgenden Elemente von X bildet einen nicht leeren Teil von X, und hat daher ein erstes Element: es ist das auf 39' unmittelbar folgende. Satz IV.1) Wird durch die Abbiidung A die wohlgeordnete Menge 52 ähnlich abgebildet auf einen ihrer Teile t1h, und bildet A das Element a von 1 ab auf das Element a. von 31, so kann nicht a1 vor a sein. Angenommen in der Tat, es wäre (1) al vor a. Da auch a1 Element von 21, wird es durch A abgebildet auf ein Element a2, fir das wegen der Ähnlichkeit der Abbildung aus (1) folgt: (2) a, vor a1. Ist dann a3 das Bild von ag vermöge A, so folgt ebenso aus (2): ag vor a2. Und indem man so weiter schließt, erhält man in 21 einen abzählbaren Teil a1, a2,.., a~,.. ohne erstes Element, entgegen der Voraussetzung, 21 sei wohlgeordnet. Damit ist Satz IV bewiesen. Ist a ein Element, der wohlgeordneten Menge X1, so bezeichnen wir als den Abschnitt 9 a von 21 die Menge aller der Relation a' vor a. genügenden Elemente a' von 21). 1) G. Hessenberg, Abh. d. Friesschen Schule. Neue Folge, 4. Heft (1906), 539. 2) Ist a das erste Element von Sl, so ist %, leer.

Einleitung. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen. 17 Satz V. Eine wohlgeordnete Menge ist nicht ähnlich einem ihrer Abschnitte. In der Tat, gäbe es eine ähnliche Abbildung A von X auf den Abschnitt 2a, so müßte durch A das Element a abgebildet werden auf ein Element a' von 9Sa. Es wäre also: af vor a, entgegen Satz IV. Damit ist Satz V bewiesen. - Es folgt aus ihm unmittelbar: Satz VI. Zwei verschiedene Abschnitte einer wohlgeordneten Menge sind nicht ähnlich. Seien in der Tat a, a' zwei verschiedene Elemente der wohlgeordneten Menge 91, etwa: a vor a'. Dann ist 2. gleichzeitig Abschnitt der wohlgeordneten Menge g', und aus Satz V folgt die Behauptung. Satz VII. Sind 91 und S3 zwei wohlgeordnete Mengen, so trifft stets eine und nur eine der drei folgenden Möglichkeiten zu: 1. Sf und O3 sind ähnlich; 2. 1f und ein Abschnitt von 3 sind ähnlich; 3. 23 und ein Abschnitt von 91 sind ähnlich. Zum Beweise gehen wir davon aus, daß folgende vier Fälle eine vollständige Disjunktion bilden: 1. Fall: Zu jedem Abschnitte 9a gibt es einen ähnlichen O3, und umgekehrt. 2. Fall: Zu jedem Abschnitte 9a gibt es einen ähnlichen 3b, aber nicht umgekehrt. 3. Fall: Zu jedem Abschnitte eb gibt es einen ähnlichen 2,, aber nicht umgekehrt. 4. Fall: Es gibt weder zu jedem Abschnitte 291 einen ähnlichen 13b, noch zu jedem Abschnitte Ob, einen ähnlichen 91~. Da es nach Satz VI zu jedem Abschnitte 91a nur einen ähnlichen 23b geben kann, erhalten wir im 1. Falle eine umkehrbar eindeutige Abbildung A von 91 und 23, indem wir jedem Elemente a von 91 dasjenige Element b von B3 zuordnen, für das 91, und 3b ähnlich werden. Diese Abbildung A ist auch ähnlich, denn seien a, b und a', b' einander vermöge A entsprechende Elemente von 91 und 23, und sei: (*) a' vor a. Zwischen 9a und 2b gibt es eine ähnliche Abbildung B. Wegen (*) wird 91l, durch B auf einen Abschnitt 3b" von 3,b abgebildet: (**) -b" vor b. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 2

18 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. Es sind also 9a, und 3b " ähnlich; andererseits sind nach Annahme 2a,' und Ob' ähnlich. Also sind ~, und 3b" ähnlich. Nach Satz VI ist das nur möglich, wenn b' =- b, so daß (**) übergeht in: (***) b' vor b. Es folgt also (***) aus (*), d. h. die Abbildung A von S9 und e ist ähnlich. Im 1. Falle sind also 9 und 3 ähnlich. Im 2. Falle gibt es in 3 Elemente b, zu deren Abschnitt,3b in 91 kein ähnlicher vorkommt. Nach Definition der wohlgeordneten Mengen gibt es nun unter allen diesen Elementen von O3 ein erstes, etwa bo. Zu jedem Abschnitte von 91 gibt es nun in 3b0 einen ähnlichen und umgekehrt. Nach dem im 1. Falle bewiesenen sind also 91 und 3bo ähnlich. Im zweiten Falle ist also 92 ähnlich einem Abschnitte von 3. Ganz ebenso zeigt man, daß im 3. Falle 93 ähnlich ist einem Abschnitte von 91. Der 4. Fall endlich kann nicht eintreten; denn angenommen, er läge vor. Dann ist in 91 ein erstes Element ac vorhanden, zu dessen Abschnitt 91~ es in S3 keinen ähnlichen gibt, und in 93 ein erstes Element bo, zu dessen Abschnitt ebo es in 91 keinen ähnlichen gibt. Dann aber ist jeder Abschnitt von 9ao ähnlich einem Abschnitte von 3bo und jeder Abschnitt von $bo ähnlich einem Abschnitte von 91a. Nach dem im 1. Falle Bewiesenen ist dann auch 9ao ähnlich 9ob und es wäre also der Abschnitt Wao von 9 ähnlich einem Abschnitte von 93, entgegen seiner Definition. Also kann der 4. Fall nicht eintreten. Damit ist gezeigt, daß immer eine der drei Möglichkeiten von Satz VII zutrifft, und daß nur eine zutrifft, folgt aus Satz V. Die Ordnungstypen der wohlgeordneten Mengen werden als Ordinalzahlen bezeichnet. Da jede geordnete endliche Menge wohlgeordnet ist, fallen die natürlichen Ordinalzahlen tatsächlich unter diesen Begriffl). Da auch die Menge der natürlichen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung wohlgeordnet ist, so ist auch der in ~ 3, S. 13 eingeführte Ordnungstypus ow eine Ordinalzahl. Gegenüber den endlichen Ordinalzahlen heißen die Ordnungstypen unendlicher wohlgeordneter Mengen: transfinite Ordinalzahlen. Anknüpfend an die drei Möglichkeiten von Satz VII wird zwischen den Ordinalzahlen folgende Anordnung festgesetzt. Seien a und p die Ordinalzahlen der beiden wohlgeordneten Mengen 91 und 93. Sind 1) Auch die 0 rechnen wir (als den Ordnungstypus der stets wohlgeordneten leeren Menge) zu den Ordinalzahlen.

Einleitung. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die, Urdi1nil:.;. 19 91 und 3 ähnlich, so ist a= B. Ist 1 ähnlich einem Abschnitte von 3, so schreiben wir: a ~< oder > >a. Von den drei Relationen a=, a, a, a< ß trifft dann stets eine und nur eine zu, und aus a</ß, fß<r folgt a <y. Wir sagen, eine Menge von Ordinalzahlen sei in natürlicher Anordnung (Reihenfolge), falls: a vor ß wenn a <. Satz VIII. Ist a eine Ordinalzahl, so ist die Menge aller Ordinalzahlen /ß<a in natürlicher Reihenfolge wohlgeordnet und hat den Ordnungstypus c. Sei in der Tat 91 eine Menge vom Ordnungstypus a, und sei 3 die Menge aller Ordinalzahlen ß<~a. Zufolge der Definition der Relation < a gibt es dann zu jedem ß aus 3 ein, und nach Satz VI nur ein Element a in 91, so daß der Abschnitt 91 den Ordnungstypus ß hat. Ordnen wir jeder Zahl ß aus 9 dieses Element a aus 9 zu, so ist dies eine ähnliche Abbildung von 9 und e3, und Satz VIII ist bewiesen. Satz VIII besagt, daß die (endlichen und transfiniten) Ordinalzahlen ebenso zum "Numerieren" der Elemente einer wohlgeordneten Mehge verwendet werden können, wie die endlichen Ordinalzahlen zum Numerieren der Elemente einer endlichen Menge. Ist in der Tat 91 eine wohlgeordnete Menge vom Typus a, so lehrt Satz VIII, daß es eine ähnliche Abbildung von 91 auf die Menge aller Ordinalzahlen < a gibt; d. h. die Elemente von 91 können bezeichnet werden mit aß, wo ß alle Ordinalzahlen < a durchläuft, und es ist: aßvor ag,, wenn ß < ß'. Satz IX. Zu jeder Ordinalzahl a gibt es eine unmittelbar folgende; es ist die Ordinalzahl acc+l. In der Tat, die Menge 91 aller Ordinalzahlen < a hat in natürlicher Reihenfolge den Ordnungstypus a; daher hat, nach Definition der Summe von Ordnungstypen (~ 3, S. 13), die Menge 91' aller Ordinalzahlen a in natürlicher Reihenfolge den Ordnungstypus a 1, und da 91 ein Abschnitt von W1' ist, so ist a<a+ l. Ist ferner ß irgendeine Ordinalzahl < a - 1, so gibt es in 91' einen Abschnitt vom Ordnungstypus ß; ein Abschnitt von 1' ist aber entweder 91 oder ein Abschnitt von 91, d. h. es ist entweder ß =a 2*

20 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. oder ß< a; es gibt also keine Ordinalzahl zwischen a und a + l. Damit ist Satz IX bewiesen. Satz X. Zu jeder Menge 51 von Ordinalzahlen gibt es eine unmittelbar folgende. Nach Satz IX muß der Beweis nur mehr für den Fall geführt werden, daß es unter den Ordinalzahlen a von 9 keine größte gibt. Wir bilden zu jeder Ordinalzahl a von 91 die Menge X9a aller Ordinalzahlen <c. Die Vereinigung aller dieser 91a sei 3; sie ist wohlgeordnetl). Sei ß ihr Ordnungstypus. Da, für jedes a aus 91, die Menge 9, ein Abschnitt von st ist, und da 9ac den Ordnungstypus a hat, so ist: (1), < / für alle ü von 91. Sei ferner y irgend eine Ordinalzahl <iß. Zufolge Definition von S kommt dann y in einer der Mengen aX, vor, es ist also: (2) 7 < für mindestens ein a aus 91. Die Ungleichungen (1) und (2) aber zeigen, daß ß die unmittelbar aui 91 folgende Ordinalzahl ist, und Satz X ist bewiesen Satz XI. Jede Menge von Ordinalzahlen ist (in natüirlicher Reihenfolge) wohlgeordnet. In jeder Menge von Ordinalzahlen gibt es daher eine kleinste. Sei in der Tat 91 eine Menge von Ordinalzahlen a. Nach Satz X gibt es eine Ordinalzahl ßf, für die (1) gilt. Nach Satz VIII ist die Menge B aller Ordinalzahlen <ßp in natürlicher Reihenfolge wohlgeordnet, und da 91 Teil von B ist, gilt dies auch für 1? (Satz I). Damit ist Satz XI bewiesen. Satz XII. Ist a die Ordinalzahl einer wohlgeordneten Menge 9r, und a' die Ordinalzahl eines Teiles 91' von 5, so ist stets a'<. Angenommen in der Tat, es wäre: '> cc. Wir bezeichnen mit dieMenge aller Ordinalzahlen <c'. Dann ist: (x) 91' ähnlich S. Ist,3a der Abschnitt des Elementes c in S, so gibt es ferner, weil 91 die Ordinalzahl a hat, eine ähnliche Abbildung von 91 auf 1) In der Tat, angenommen sie hätte einen Teil 3' ohne erstes Element. Ist dann ß' ein Element aus S5', so gäbe es auch in der Menge der Ordinalzahlen < f' einen Teil ohne erstes Element, entgegen der Tatsache (Satz VIII), daß diese Menge wohlgeordnet ist.

Einleitung. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen. 21 3a, bei der der Teil ' von 2f abgebildet wird auf einen Teil $5' von f a,: (xx) 9I' ähnlich 2'. Aus (x) und (XX) folgt: B ähnlich 3'. Das aber ist unmöglich, denn bei einer ähnlichen Abbildung von B auf S3' müßte wegen 3' -< 3, das Element a von 3 abgebildet werden auf ein Element B< c von 3a, entgegen Satz IV. Damit ist Satz XII bewiesen. Die nach Satz X auf die Menge der endlichen Ordinalzahlen unmittelbar folgende ist offenbar nichts anderes als der in ~ 3 eingeführte Ordnungstypus co der Menge der endlichen Ordinalzahlen (in natürlicher Reihenfolge), es ist also co die kleinste transfinite Ordinalzahl. Nach Satz IX lautet die Reihe der sich unmittelbar anschließenden Ordinalzahlen: c), CO + 1, c+ 2,...., C +n n,... Die nach Satz X unmittelbar auf alle diese folgende Ordinalzahl bezeichnet man mit c * 2, und allgemein mit. k die unmittelbar auf (k - ), c(k - )+,..., c(k - )+ n,... folgende Ordinalzahl. Die unmittelbar auf cO, o2, co. 3,..., co.n,.. folgende Ordinalzahl bezeichnet man mit co' und erkennt nun leicht die Bedeutung der Ordinalzahl (*) Ok. a0 4- O"-l1 ' al +.. + * el__l + an, wo a0, ac,..., ak endliche Ordinalzahlen bedeuten. Die auf alle Ordinalzahlen der Form (*) unmittelbar folgende wird mit coW bezeichnet usf. Wir haben es nicht nötig, näher auf die Theorie der Bezeichnung von Ordinalzahlen einzugehen. Wir unterscheiden die Ordinalzahlen in isolierte Zahlen und Grenzzahlen. Isolierte Zahlen sind die 0 und alle diejenigen, zu denen es eine unmittelbar vorangehende gibt, Grenzzahlen die übrigen. Isolierte Zahlen sind also alle endlichen Ordinalzahlen, ferner z. B. a) - 1, co 2 usf.; Grenzzahlen sind: wo, co.2, Co2, Wo usf. Ist a eine isolierte Zahl, so bezeichnen wir die unmittelbar vorhergehende mit a -1. Da jede ähnliche Abbildung zweier Mengen auch eineindeutig ist, haben zwei Mengen von gleichem Ordnungstypus a auch gleiche

22 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. Mächtigkeit; sie heißt: die Mächtigkeit des Ordnungstypus a. Wie man sieht, ist die Mächtigkeit der Ordinalzahl (*) (ebenso z. B. von c(0) NO. Man bezeichnet die Menge aller endlichen Ordinalzahlen als die Zahlklasse 8,; die Menge aller Ordinalzahlen der Mächtigkeit NO als die Zahlklasse 82 oder auch 3(N0). Satz XIII. Zu jeder abzählbaren Menge S1 von Zahlen aus 31+82 gibt es in 3, 1 2 eine Zahl, die größer ist, als alle Zahlen von A. Da zugleich mit a auch a —1 zu, 1+82 gehört, bedarf dies eines Beweises nur, wenn es in 29 keine größte Zahl gibt. Bilden wir in dem Falle nach Satz X die auf alle Zahlen a von 9I unmittelbar folgende Zahl ß; sie ist, wenn?(, die Menge aller Ordinalzahlen <<a bedeutet, der Ordnungstypus der Vereinigung 3 aller 21,. Nun ist jede Menge 91o abzählbar, und da es in 91 nur abzählbar viele a gibt, so ist (~ 2, Satz VIII) auch 3B abzählbar, d. h. fl gehört zu 3, - +32 wie behauptet. Satz XIV. Die Zahlklasse,2 ist eine nicht abzählbare Menge. Bezeichnen wir ihre Mächtigkeit mit a, so ist demnach'): In der Tat, wäre 32 und somit auch 1 + 82 abzählbar, so gäbe es nach Satz XIII eine Zahl in 1 + 32 die größer ist als alle Zahlen von 81 +,-2, was ein Widerspruch ist. Damit ist Satz XIV bewiesen. - Wir bemerken noch, daß nach ~ 2, Satz X auch 1 +3S2 die Mächtigkeit N, hat. Nach Satz X gibt es eine auf alle Zahlen von 32 unmittelbar folgende Zahl; sie wird mit co, bezeichnet. Nach Satz VIII ist sie der Ordnungstypus von 3, + 2 in natürlicher Reihenfolge, und mithin ein Ordnungstypus der Mächtigkeit s,. Die Menge aller Ordinalzahlen der Mächtigkeit sr wird als die Zahlklasse 83 oder 3(N,) bezeichnet. Die kleinste unter ihnen ist die Zahl co, die deshalb auch die Anfangszahl von 3(1,) heißt. Satz XV. Es gibt keine Mächtigkeit zwischen N0 und N,. Dies ist bewiesen, wenn wir zeigen: jeder Teil von 31 + 82 hat entweder die Mächtigkeit sN oder ist abzählbar. Nun hat nach Satz XII jeder solche Teil 9 zum Ordnungstypus eine Ordinalzahl < co, d. h. entweder die Ordinalzahl co1 - dann hat 9 die Mächtigkeit,, oder eine Ordinalzahl aus 81 + 32 - dann ist 9 abzählbar. Damit ist Satz XV bewiesen. 1) ~ 2, Satz IV.

Einleitung. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen. 23 Satz XVI. Bezeichnet m, die Mächtigkeit der Ordinalzahl a, und ist a <, so kann nicht m,>mfl sein.') Andernfalls gäbe es (Satz XI) eine kleinste Ordinalzahl fl, unter deren Vorgängern eine a < vorkommt, so daß: (0) ma> mß. Es gäbe also eine eineindeutige Abbildung A der Menge Q3 aller Ordinalzahlen <ß auf einen Teil 9' der Menge 91 aller Ordinalzahlen <a. Durch A wird dann der Abschnitt 3a 91 von 58 abgebildet auf einen Teil 9" von 91'. Nach Satz I sind 91' und 9" wohlgeordnet. Nach Satz XII gilt für ihre Ordnungstypen: (00) a _' a < Weil 9' mit ~, 9" mit a gleichmächtig, ist: mta'=m6; mlia"nmlta. Also wegen (0): Ila" t> Ia'. Wegen (00) steht dies aber in Widerspruch zur Definition von, als der kleinsten Ordinalzahl mit einem der Ungleichung (0) genügenden Vorgänger. Damit ist Satz XVI bewiesen. Sei {a,} eine Folge von Ordinalzahlen. Wir schreiben: lim O,, a, v = Ca: wenn die Ordinalzahl a folgende Eigenschaft hat: ist fß irgendeine Ordinalzahl <a, so ist: f <a,y<a für fast alle v. Dann gilt der Satz: Satz XVII. Zu jeder Grenzzahl a aus 3a gibt es eine Folge {~}a, so daß: (t) aY, < y,+l und lim ca, =- a. = 00 In der Tat, die Menge aller Ordinalzahlen < a ist abzählbarunendlich, kann also in der Form geschrieben werden: (tt) ß1> )A>, &,,, -.. Unter den Ordinalzahlen (tt) gibt es dann, weil a Grenzzahl war, keine größte. 1) Daß inta ntß ist, erkennt man unmittelbar; doch können wir daraus noch nicht auf die Unmöglichkeit von mca > mß schließen. Vgl. S. 6 Fußn. 3).

24 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. Wir definieren eine Teilfolge {/nl} aus (tt) durch folgende Festsetzungen: 2. Da es in (ft) keine größte Ordinalzahl gibt, so gibt es, wenn ß,S gewählt ist, unter den in (tt) auf fi, folgenden Zahlen solche, die >,,B (n 1, 2,..., n,) sind. Die erste von ihnen wählen wir für l Wir behaupten: Wird a,=z,, gesetzt, so leistet die Folge {aca} das Verlangte. In der Tat, die erste Relation (t) ist offenbar erfüllt. Was die zweite anlangt, so sei ßi irgendeine Ordinalzahl < o. Sie kommt in (tf) vor, etwa als das Glied,n*. Unter den Indizes n,, der Folge {fß,} sind fast alle >n*. Sobald aber n,>n*, ist zufolge der Wahl von ßf,: A > ßn* -ß Also ist für fast alle Glieder von {nß,J} ß < ßn <a' womit auch die zweite Relation (-) nachgewiesen ist. Damit ist Satz XVII bewiesen. Dieselbe Rolle, die in der natürlichen Zahlenreihe der Satz von der vollständigen Induktion (in der Form des Schlusses ~von n auf - + 1") spielt, spielt in der Lehre von den transfiniten Ordinalzahlen der Satz von der transfiniten Induktion: Satz XVIII. Eine Aussage A ha'be die folgenden Eigenschaften: 1. Sie gilt für die Ordinalzahl a,. 2. Wenn sie für alle der Ungleichung: a ß< a genügenden Ordinalzahlen ß gilt, so gilt sie auch für a. Dann gilt die Aussage A für alle Ordinalzahlen >a%. Angenommen in der Tat, es gäbe eine Ordinalzahl a*> o, für die A nicht gilt. In der Menge aller der Ungleichung: aoß< genügenden Ordinalzahlen ß gibt es (Satz XI) eine kleinste f*, für die A nicht gilt. Wegen Eigenschaft 1. von A ist 3*>a, und es gilt A für alle der Ungleichung: e0o /ß < ß*

Einleitung. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen. 25 genügenden ß, nicht aber für Öi*. Dies steht in Widerspruch mit Eigenschaft 2.- von A, womit Satz XVIII bewiesen ist. Ganz analog beweist man folgenden Zusatz zu Satz XVIII: Satz XIX. Man ersetze in Satz XVIII Bedingung 2. durch: 2. Ist c> czO, und gilt die Aussage A für alle der Ungleichung 0 < i < a < al genügenden ß, so gilt sie auch für ca. Dann gilt die Aussage A für alle der Ungleichung a0<a<a1 genügenden a. Wir werden gelegentlich auch vom Satze Gebrauch machen1): Satz XX. Zu jeder Menge 9f gibt es eine gleichmächtige wohlgeordnete Menge. Wir gehen aus von einer Abbildung der Menge aller Teile von 29 in die Menge 9f, wobei jeder (nicht leere) Teil von 91 auf ein Element von t abgebildet werde; mit andern Worten: jedem Teile Z von 9 sei eines seiner Elemente zugeordnet; wir nennen es: das ausgezeichnete Element von S. Sei nun a eine Ordinalzahl von folgender Eigenschaft (der,Eigenschaft E'): jedem 3 <a läßt sich ein Element aß in 92 derart zuordnen, daß, wenn die Menge aller ap, (/1' Dß) mit 91p bezeichnet wird2), 9f —1 - nicht leer, und aß das ausgezeichnete Element von f - f/? ist3). Ist dann auch c > a eine Ordinalzahl der Eigenschaft E, wobei nun der Zahl fß a das Element aß zugeordnet sei, so ist notwendig: (*) aß =a,ß für ß a. In der Tat, andernfalls müßte es ein kleinstes ß< a, etwa flo geben, für das (**) aßo +- aß+. Die Elemente aß und ai (ß< ßo) bilden dann dieselbe Menge 9go (die, falls io = 0, die leere Menge ist). Nach Annahme muß aber dann sowohl aßo als ap,0 das ausgezeichnete Element von f - IAo sein, entgegen (**). Damit ist (*) bewiesen. Die aß sind also durch die Eigenschaft E völlig eindeutig bestimmt. 1) Er wurde schon von G. Cantor ausgesprochen, zuerst bewiesen aber von E. Zermelo, Math. Ann. 59, (1904), 514. Die zahlreichen kritischen Betrachtungen, die über die logischen Grundlagen dieses Beweises angestellt wurden, können hier unerörtert bleiben. 2) Dabei bedeute Wo den leeren Teil von W.L 3) Die Zahl 0 ist eine Ordinalzahl der Eigenschaft E, und zwar ist, da 9 leer, ao das ausgezeichnete Element von 7I.

26 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre. Unter allen Ordinalzahlen, die nicht die Eigenschaft E haben'), gibt es nun (Satz XI) eine kleinste y. Wir behaupten: die Menge 21' aller aß (f < y) ist dann die Menge 9X. Andernfalls wäre ja 29- 21' ein nicht leerer Teil von W9; und indem wir sein ausgezeichnetes Element mit ay bezeichnen, sehen wir, daß auch noch r die Eigenschaft E hat, entgegen der Annahme. Also ist 92'- ==. Da aber 1' gemäß seiner Definition eineindeutig auf die nach Satz VIII wohlgeordnete Menge der Ordinalzahlen < y abgebildet ist, so ist Satz XX bewiesen. Bezeichnen wir wieder mit aß das bei dieser Abbildung der Ordinalzahl ß zugeordnete Element von 29, und setzen wir zwischen den Elementen von 91 die Ordnungsbeziehung fest: ciß vor aß, wenn ß </ ', so ist 91 ähnlich geordnet der Menge aller Ordinalzahlen < y und mithin wohlgeordnet. Wir können also Satz XX auch so aussprechen: Satz XXa. Jede Menge 91 kann wohlgeordnet werden2). Satz XXI. Sind a und b zwei Mächtigkeiten, so trifft stets eine und nur eine der drei Möglichkeiten zu: (t) a==b, a<b, a>b. In der Tat sei a die Mächtigkeit von 21, b die Mächtigkeit von B. Seien 21' und 3' mit 91 und B gleichmächtige wohlgeordnete Mengen (Satz XX). Ist nicht a=6, so sind 29' und 83' nicht gleichmächtig, und mithin auch nicht ähnlich; nach Satz VII ist also entweder 91' ähnlich einem Abschnitte von 23', und dann ist a < b, oder es ist; '. ähnlich einem Abschnitte von 91', und dann ist a > b. Also trifft von den drei Möglichkeiten (-) mindestens eine zu. Da die erste Relation (t) die beiden anderen zufolge ihrer Definition (~ 2, S. 6) ausschließt, bleibt nur zu zeigen, daß die zweite und dritte Relation sich ausschließen. Nun trifft die zweite zu, wenn 92' und 3' nicht gleichmächtig, und 91' ähnlich einem Abschnitte von 2S'. Für die Ordinalzahlen a und ß von 1' und 23' gilt dann a <ß. 1) Es gibt Ordinalzahlen, die nicht die Eigenschaft E haben; denn es ist jeder Ordinalzahl a der Eigenschaft E ein Element aa von 91 zugeordnet; dadurch sind die Ordinalzahlen der Eigenschaft E eineindeutig auf einen Teil von 91 abgebildet; sie bilden also eine Menge von Ordinalzahlen, und nach Satz X gibt es Ordinalzahlen, die größer sind als sie alle. 2) Damit soll natürlich nicht gesagt sein, daß eine solche Wohlordnung in jedem einzelnen Falle auch wirklich angegeben werden kann.

Einleitung. ~ 5. Grenzwerte reeller Zahlen. 27 Nach Satz XVI kann daher nicht a > b sein. Damit ist Satz XXI bewiesen. Satz XXII. Aus a>, b> c (oder a b, b > c) folgt: a>c. In der Tat, seien a, b, c die Mächtigkeiten von W, 3, (. Angenommen, es wäre a <c. Dann gäbe es eine eineindeutige Abbildung A, von f auf einen Teil C' von (Z. Wegen b c gibt es eine eineindeutige Abbildung A2 von G auf einen Teil von B. Aus A1 und A, ließe sich eine eineindeutige Abbildung von 9/ auf einen Teil" von S zusammensetzen, d. h. es wäre a b, was nach Satz XXI in Widerspruch steht zur Annahme a>b. Damit ist eine Hälfte von Satz XXII bewiesen. Angenommen nun, es sei a >, b6>c. Wäre c >a, so würde nach dem schon bewiesenen aus b >c, c. a folgen b > a, was nach Satz XXI der Annahme a> widerspricht. Damit ist Satz XXII bewiesen. Satz XXIII. Aus a>b, b>c folgt: a > c, In der Tat, wäre c > a, so würde aus b 5 c, c > a nach Satz XXII folgen: > a, entgegen der Annahme a> b. Die reellen Zahlen. ~ 5. Grenzwerte reeller Zahlen. Den Begriff der reellen Zahl und die einfachsten Lehrsätze über reelle Zahlen setzen wir als bekannt voraus. Wir fügen zu den endlichen reellen Zahlen noch die beiden unendlichen Zahlen -- oo und -oo hinzu1), und setzen folgende Rechenregeln fest, in denen a eine endliche reelle Zahl bedeutet: 1. Addition und Subtraktion: a+ (t+co) - a- oo=+co; (+c ) + a + ~~oo; a + (- oo) = a- o -; ( - o o) +- a = - Po; 1) Diese Erweiterung des Systems der reellen Zahlen durch Hinzufügung ~uneigentlicher" Elemente erweist sich als für die Theorie der reellen Funktionen zweckmäßig. Bekanntlich nimmt man in der Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen eine andere Erweiterung vor, indem man dort zu dem System der reellen und komplexen Zahlen ein einziges uneigentliches Element oo hinzufügt.

28 Die reellen Zahlen. a-( —oo)= a-o -oo; (+ co)-a= —~o0; - (- oo)=-+ o; - (-00)- -oo (+4 0() (- 00) = 4- 0 - 00 4 + 00; (+- 00) — (-0) =+400 ( 0) (- +0) - 00; (-co) (+ c ) ( - - oo= == oo. 2. Multiplikation: /i ^ /ia f+oo 0, wenn a>0 a. (- oo): ( — oo). a ={, e — oo, wenn a<0 - co, wenn a > 0 (- )= (- ) a-1 -t-c0, wenn a <O (+- c) (+ ) = (- o) (- o) = - co; (+ co).(- C) = (-o) (+ o)=- o. 3. Division: a a -— oo - ---- =0; 40 -oo -vo00 (+ oc wenn a>O -co ( —oo wenn a>O a - -oo wenn a<O a oo wenn a<0. Unerklärt bleiben (und sind daher als sinnlos zu betrachten) die Symbole: ( —oo)+(-4 ); (-c)+-(+- ); (+-o)-(+-o); (-o)- (-o). 0.(+-o); (+ o) 0; O (-o); (- o) O. a +c -c -.+c +c c - c - _c O ' 0 0 — oc -cc -c0 -o Weiter wird gesetzt: -(4-0cc)=#= - oo; -(-co)-+ o. j+ 0l=+ 0; j-0 )= +oc. Endlich werden die Anordnungsbeziehungen festgesetzt: a < - o; -oo < a; - co < + oo; +-cc>a; a>-oc; -t+~oo>-oc. Das Wort "Zahl" bedeutet in Hinkunft, wo nichts anderes bemerkt: reelle Zahl, einschließlich +-co und -o; sollen + oc und -oo ausgeschlossen werden, sagen wir ~endliche Zahl". Die Buchstaben a, b usf. bedeuten in diesem und den drei nächsten Paragraphen, wo nichts anderes bemerkt, beliebige (endliche oder unendliche) reelle Zahlen. Ist a < b, so heißen die Mengen aller den Ungleichungen: (1) a~<x b; (2) a<x<b; (3) a<zx<b (4) a<x<b genügenden Zahlen:

Einleitung. ~ 5. Grenzwerte reeller Zahlen. 29 1. das abgeschlossene Intervall [a, b], 2. das offene Intervall (a, b), 3. und 4. das halboffene Intervall [a, b) bzw. (a, b]. Die (immer positive) Zahl b —a heißt die Länge jedes dieser Intervalle. Ist sie endlich, so nennen wir auch das Intervall endlich. Bekanntlich gilt: Satz I. Jedes Intervall enthält rationale Zahlen. Aus Satz I folgt: Satz II. Eine Menge 9)1 zu je zweien fremder Intervalle -ist abzählbar. In der Tat ordnet man jedem Intervall der Menge 9S eine in ihm enthaltene rationale Zahl zu, so hat mian eine eineindeutige Abbildung zwischen gi und' einem Teil der Menge aller rationalen Zahlen, woraus in Hinblick auf ~ 2, Satz VI und VII die Behauptung folgt. Sei 91 irgendeine geordnete Menge. Seien 9', "' zwei Teile von 91 mit folgenden Eigenschaften: 1. 9i' 4 9" —=. 2. Ist a' in 91', a" in 92", so ist a' vor a". Man sagt dann: 9', 91" bilden einen Schnitt') in 91. Wir nennen 9' die erste, 91" die zweite Komponente des Schnittes2). Ist 91 Teil der geordneten Menge 91, so gibt jedes Element a von 1 - 9 Anlaß zu einem Schnitte in 91: (*) 91'= Menge aller Elemente von 91, die vor a; 1" - 1- -A1'. Ist hingegen a Element von 1, so gibt es Anlaß zu zwei Schnitten in 91: nämlich außer dem Schnitte (*), noch zu demjenigen, dessen erste Komponente aus der ersten Komponente des Schnittes (*) durch Hinzufügen des Elementes a entsteht. In jedem dieser Fälle sagen wir: der Schnitt wird durch a hervorgerufen. Bekanntlich gilt dann, wenn wir für 91 die Menge der (natürlich geordneten) reellen Zahlen, für 91 aber sei es die Menge der (natürlich geordneten) rationalen, sei es wieder die der reellen Zahlen wählen, der Satz: 1) Der Begriff des Schnittes wurde von R. Dedekind zum Ausgangspunkt der Theorie der reellen Zahlen gemacht (Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872). 2) Bei dieser Definition des Schnittes ist es nicht ausgeschlossen, daß eine Komponente leer sei.

30 Die reellen Zahlen. Satz III. Jeder Schnitt in der Menge der rationalen (der reellen) Zahlen, wird hervorgerufen durch eine reelle Zahl. Sei 91 eine Menge reeller Zahlen. Genügen alle Zahlen x aus 1 der Ungleichung x < a, so heißt a eine Oberzahl (majorante Zahl, Majorante) von 91. Genügen alle x aus 92 der Ungleichung x ~ a, so heißt a eine Unterzahl (minorante Zahl, Minorante) von 21. Jede Zahlenmenge 21 besitzt die Majorante oo, die Minorante - oo. Eine Zahlenmenge, die eine end liche Majorante (Minorante) besitzt, heißt nach oben (nach unten) beschränkt; gilt beides, so heißt 51 beschränkt. Satz IV. Unter- allen Majoranten von 51 gibt es eine kleinste, sie heißt die obere Schranke') von 52. Unter allen Minoranten von 5 gibt es eine größte, sie heißt die untere Schranke von 91. Sei in der Tat 51" die Menge aller Majoranten von 51, und 51' die Menge aller übrigen Zahlen. Dann bilden 91', 21" einen Schnitt in der Menge aller reellen Zahlen. Die ihn hervorrufende Zahl (Satz III) ist die kleinste Majorante. - Analog beweist man die zweite Hälfte von Satz IV. Wir bezeichnen obere und untere Schranke von 91 mit G (1) und g(21). Dann ist offenbar: g (<) (1). Es ist G (S) völlig charakterisiert durch die beiden Ungleichungen: 1. a~G(21) für alle a aus 91. 2. Ist z<G( (1), so gilt: a z für mindestens ein a aus 91. Analoges gilt für g(51). Unter oberer (unterer) Schranke einer Zahlenfolge {a,} verstehen wir obere (untere) Schranke der von den Gliedern der Folge gebildeten Zahlenmenge. 1) Sie wird vielfach auch die obere Grenze von I genannt. Wir schließen uns dem nicht an, weil,obere Grenze" die Übersetzung von,limes superior" ist, was eine andere Bedeutung hat (~ 6, S. 38). Vgl. zu dieser Terminologie M. Pasch, Math. Ann. 30 (1887), 133. Monatsh. f. Math. 26 (1915), 303.

Einleitung. ~ 5. Grenzwerte reeller Zahlen. 31 Die Zahl a heißt der Grenzwert der Zahlenfolge {a"}, in Zeichen: a =lim an, t==-o wenn folgendes stattfindet: Ist. < a, so ist a > p für fast alle n; ist q a, so ist an <q für fast alle n. In dieser Form gilt die Definition bei endlichem wie bei unendlicheni a. Ist a-oo (- - oo), so reduziert sie sich auf: Es ist lim an= — ( —ao), wenn für jedes p (für jedes q): a">p (a < q) für fast alle n. Ist a endlich, so kann die Definition ersetzt werden durch: Ist (p, q) ein a enthaltendes Intervall, so gilt: a in (p, q) für fast alle n. Oder: Ist e> 0 beliebig gegeben, so ist: a, -a < für fast alle n. Aus der Definition des Grenzwertes folgt ohne weiteres: Ist, - a für fast alle n, so ist auch lima= a. Hat {an} den fl= cO Grenzwert a, so auch jede Teilfolge {a^ }, sowie jede Folge, die aus {an} durch Hinzufügen (durch Abändern) von endlich vielen Gliedern entsteht. Ist lim a' a, lira a- =a, und liegt a} für fast alle n zwischen af und al', so ist auch limr a=a. n==o Satz V. Eine Zahlenfolge {a,} kann nicht zwei verschiedene Grenzwerte haben. Angenommen in der Tat, es wäre: limana,-a'; lim a=a"; a' <a. z==oo n=GO Dann gibt es eine Zahl b, so daß: ' < b < a'. Wegen limin a a' muß sein: n=aoo (1) a"<b für fast alle n. Wegen lim an = a" muß sein: n==oo (2) an>b für fast alle n. Da (1) und (2) sich widersprechen, ist Satz V bewiesen.

32 Die reellen Zahlen. Die bekannten Beweise der folgenden Sätze können wir wohl übergehen: Satz VI. Aus lima ==a, und a,_ b für fast alle n, folgt a < b. - =~c ~ Satz VII. Aus lima,-=a folgt: lim (- li)= — a a; lim, a, = l a j. ii= =oO = =oc Satz VIII. Aus lima,-a; lirm b,=b folgt jede der Relationen: "==00 ' =Co lim (a. -+- b) -= a + b; lim (a, - b = — a - b; lim a. b,=- a.; m a,n==Co n^= b b vorausgesetzt, daß ihre rechte Seite sowie jedes Glied ihrer linken Seite einen Sinn hat. Eine Zahlenfolge, die einen Grenzwert besitzt, nennen wir konvergent; ist insbesondere ihr Grenzwert endlich, so nennen wir sie eigentlich konvergent; eine nicht konvergente Zahlenfolge nennen wir auch oszillierend1). Die Folge {aj} heißt monoton wachsend, wenn: a. +la. für alle n; sie heißt stets wachsend2), wenn: an+l1>n für alle n; sie heißt monoton (bzw. stets) abnehmend, wenn: a +1<a (bzw. a.+~<a ) für alle n. Satz IX. Jede monotone Zahlenfolge {a",} ist konvergent, und zwar ist lima, die obere oder untere Schranke n= 00oo von {a,}, je nachdem {a,} monoton wächst oder abnimmt. Sei in der Tat {a,} etwa monoton wachsend, und a die obere Schranke von {a,}. Dann ist (1) %a",~a für alle n, und, wenn q <a, gibt es mindestens ein ~n?, so daß: a______ 1) Diese Terminologie weicht von der gewöhnlichen ab, die nur Folgen mit endlichem Grenzwert konvergent, Folgen mit unendlichem Grenzwert und oszillierende Folgen divergent nennt. a) Nach C. Caratheodory, Vorl. über reelle Funktionen, 149.

Einleitung. ~ 5. Grenzwerte reeller Zahlen. 33 Weil {a"} monoton wachsend, ist also auch: (2) a,>q für nn, d.h. für fast alle n. Aus (1) und (2) aber folgt: lima,- =a, n=oo und Satz IX ist bewiesen. Satz X. Zu jeder Zahl a+=-oo gibt es eine stets wachsende, zu jeder Zahl a= + oo gibt es eine stets abnehmende Folge rationaler Zahlen {r,,}, so daß: a=- lim r,. n==oo In der Tat, ist a= —oo, so setze man r=,-n, ist a=-oo, so setze man r --— n. Wir haben uns also nur mehr mit endlichem a zu befassen. Nach Satz I gibt es für jedes n in —, a-+1) ein rationales r, in (a++l- a+ ~ ein rationales r'. Dann ist: lim r. = a; r. < r.+i; lim rn-a; r > r' + IS=0 = ~CO Damit ist Satz X bewiesen. Wir nennen eine Folge von Intervallen [an, bb,]) eingeschachtelt, wenn: an +_a, bn +l bn für alle n. Satz XI. Der Durchschnitt einer eingeschachtelten Folge von Intervallen [a., b] ist niemals leer2). Er besteht, wenn (0) lim an lim bn, n=ao n= oo aus der einzigen Zahl (0), sonst aus dem Intervall [a, b], wo a= lim a, b ==limb.. n=oo n=oo In der Tat, die Folge {a"} ist monoton wachsend, {b.} monoton abnehmend, also existieren die Grenzwerte (Satz IX) (00) lim a- a; lim b,- b, n= oo n=oo und es ist: (000) an <a<b<b für alle n. 1) Ebenfalls von Intervallen (an, bn), [an, bn), (an, b ]. 2) Für Intervalle (a,,, bn) gilt dies nicht; Beispiel: die Intervalle (o, n). Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 3

34 Die reellen Zahlen. Aus (00) und (000) entnimmt man: Der Durchschnitt der [an, bn] ist die Menge aller der Ungleichung a<x<b genügenden Zahlen x. Das ist das Intervall [a, b], wenn b>a, andernfalls die einzige Zahl b===a. Damit ist Satz XI bewiesen. Es möge hier noch der Begriff der k-fach unendlichen Zahlenfolge und des k-fachen Grenzwertes Platz finden. Wie eine einfache Zahlenfolge {a"} durch eine Abbildung der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen, so entsteht eine k-fach unendliche Folge {an,2,., n.k} durch eine Abbildung der Menge aller k-gliedrigen Folgen n1, n2,..., nk natürlicher Zahlen in die Menge der reellen Zahlen. Nach ~ 2 Satz IX ist die Menge aller Glieder einer k-fach unendlichen Folge abzählbar. Wir nennen die Zahl a den k-fachen Grenzwert von {a,...,.. 'nk a — iim ani, n,...,t k, n' =eh,..., nk,= wenn zu jedem p <a solche Indizes n1', n2',... n gehören, daß: anln2..., >p für nlnlt,..., nk nfc k und zu jedem q > a solche Indizes n", n",....,, daß: Can<..<.,nk<q für n1 l",..., n>nf. Für k-fache Grenzwerte gelten Sätze, die den Sätzen V bis VIII völlig analog sind. Eine k-fache Folge, die einen k-fachen Grenzwert besitzt, heißt konvergent, und zwar eigentlich konvergent, wenn dieser Grenzwert endlich ist. Eine bekannte Anwendung findet die Lehre von den (einfachen und mehrfachen) Grenzwerten in der Theorie der (einfach- und mehrfach-) unendlichen Reihen: Aus der Folge {a"} leiten wir eine neue Folge {s,} her durch die Vorschrift: l-al; S Sn_- + an (n > ). Ist { s} konvergent (eigentlich konvergent): lim s s, n=oo so schreiben wir:,al+ a2+..+ a"+.** f= 1t, s 1t=l

Einleitung. ~ 6. Häufungswerte reeller Zahlen. 35 und sagen, die linksstehende unendliche Reihe sei konvergent') (eigentlich konvergent); die Zahl s heißt ihre Summe, die Zahl s, ihre n-'te Teilsumme. Aus der k-fachen Folge {an, 2..., } wird ebenso eine k- fache Folge {s n,,.,,k} hergeleitet durch: tI n%2 nk nl, t2,..., nk av, v2...,=1-1 = 1 k = Ist {sni, -. kn } konvergent (eigentlich konvergent): lim Sn= n2 ik l-='00,..., nk = O0 so schreiben wir: 00 /a, alsv, '&, Yk n und nennen wieder die k-fach unendliche Reihe links konvergent (eigentlich konvergent), die Zahl s ihre Summe, die Zahlen s.l,..., ihre Teilsummen. ~ 6. Häufungswerte reeller Zahlen. Die Zahl a heißt ein Häufungswert der Zahlenmenge X, wenn es in, einen abzählbaren Teil al, a,..., a,... gibt, so daß: lim a= a, n=oo sie heißt ein Häufungswert der Zahlenfolge2) {a"}, wenn es in {a"} eine Teilfolge {a, } gibt, so daß: lim an, = a. Aus dieser Definition folgt sofort, daß jeder Iäufungswert eines Teiles von fT (einer Teilfolge von {a}) auch Häufungswert von i (von {a"}) ist. Satz I. Damit a Häufungswert von (von n{a}) sei, ist notwendig und hinreichend, daß, sei es zu jedem Intervalle 1) Dies weicht von der üblichen Terminologie in derselben Weise ab, wie für die Zahlenfolgen. Vgl. S. 32, Fußn. 1). 2) Sind unendlich viele a== a, so ist a Häufungswert von {a"}, nicht aber notwendig Häufungswert der von den an gebildeten Zahlenmenge (die, wenn z. B. alle a ==a sind, nur aus der Zahl a besteht, und demnach keinen Häufungswert hat). 3*

36 Die reellen Zahlen. (p, a], sei es zu jedem Intervalle [a, q), unendlich viele Zahlen von vo (unendlich viele Glieder von {a"}) gehören'). Die Bedingung ist notwendig, denn ist a Häufungswert von f, so gibt es in % einen abzählbaren Teil a,', a,.., a',..., so daß lima ' a. t= o0 Dann gilt, wenn p <a: a,'>p für fast alle n; wenn q >a: a'< q für fast alle n. Gibt es also ein Intervall (p, a], das nur endlich viele an' enthält (oder gibt es kein Intervall (p, a]), so muß jedes Intervall [a, q) unendlich viele an' enthalten, womit die Behauptung bewiesen ist. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, es enthalte etwa jedes Intervall (p, a] unendlich viele Zahlen aus [2). Sei {p } eine stets wachsende Zahlenfolge mit: (0) limp, = a (i < a). n=oo Dann gibt es in (p1, a) einen Punkt al' von 2i, im Durchschnitt von (a ', a) und (p2, a) gibt es einen Punkt aß' von t1, allgemein, wenn a.i_ < a gebildet ist, gibt es im Durchschnitte von (a,-l,a) und (p., a) einen Punkt an von 2f. Aus (0) folgt: lim a'= a, also ist a Häufungspunkt von W9, und Satz I ist (für Zahlenmengen) bewiesen. Analog verläuft der Beweis für Zahlenfolgen. Satz II. Jede unendliche Zahlenmenge (Zahlenfolge) besitzt mindestens einen Häufungswert. Es genügt, den Beweis für Zahlenfolgen zu führen. Denn jede unendliche Zahlenmenge SJ besitzt (~ 2, Satz III) einen abzählbarunendlichen Teil ai, a~,..., a",...; und dann ist (da diese a, alle untereinander verschieden sind) jeder Häufungswert von {an} auch ein Häufungswert von f. 1) Ist a ==+oo, gibt es keine Intervalle [a, q); ist a=- oo, gibt es keine Intervalle (p, a], so daß im ersten (zweiten) Falle unsere Bedingung besagt: Jedes Intervall (p, +-oo] (jedes Intervall [-oo, q)) enthält unendlich viele Zahlen aus 9i. Ist a endlich, so besagt unsere Bedingung: jedes a enthaltende Intervall (p, q) enthält unendlich viele Zahlen aus 9(. 2) Wie der Beweis zeigt, genügt es zu wissen, daß jedes Intervall (p, a) mindestens eine Zahl aus 9 enthält.

Einleitung. ~ 6. Häufungswerte reeller Zahlen. 37 Sei also eine unendliche Zahlenfolge {an} gegeben. Ist -+oo oder -oo Häufungswert von {aj}, so ist die Behauptung richtig. Andernfalls gibt es ein Intervall (p, + oo] und ein Intervall [- o, q), deren jedes nur endlich viele an enthält. Dann aber müssen zu [q, p] unendlich viele an gehören. Da [q, p] Vereinigung endlich vieler Intervalle der Länge 1 ist, gibt es in [q, p] ein Teilintervall [ql, p,] der Länge 1, das gleichfalls unendlich viele an enthält, ebenso in [q", p,] ein Teilintervall [q2, p2] der Länge 4-, das unendlich viele a, enthält, und indem man so weiter schließt, kommt man zu einer eingeschachtelten Folge von Intervallen [q,, Pv], deren jedes die Länge 1 hat und unendlich viele an enthält. Nach ~ 5, Satz XI gibt es eine allen [q, pv] angehörende Zahl a. Wir behaupten: sie ist Häufungswert von {a"}. Zufolge Satz I (Fußn. 1)) genügt es zu zeigen: Zu jedem a enthaltenden Intervalle (x', x") gehören unendlich viele a,. Da nun [qv, Pv] die Länge - hat und a enthält, liegen fast alle [q, pv] in (x', x"). Und da jedes [q,, p] unendlich viele a, enthält, ist die Behauptung und damit Satz II bewiesen. Aus Satz II folgt unmittelbar: Satz IIL Gibt es in [p, q] keinen Häufungswert von % (von {a}), so gibt es in [p, q] nur endlich viele Zahlen von 9 (Glieder von {a~}). In der Tat, andernfalls gäbe es in [p, q] einen unendlichen Teil S' von 1. Nach Satz II hätte 9' einen, offenbar gleichfalls zu [p, q] gehörigen Häufungswert, der auch Häufungswert von 9 wäre, entgegen der Annahme. SatzIV. Unter den Häufungswerten einer unendlichen Zahlenmenge (Zahlenfolge) gibt es einen größten und einen kleinsten. Sei in der Tat 91' die Menge aller Häufungswerte der unendlichen Zahlenmenge ST. Wir bezeichnen die obere Schranke von 91' mit G, und zeigen: G ist Häufungswert von 9S. Angenommen G wäre nicht Häufungswert von 91, gehörte also nicht zu 911. Da G obere Schranke von %1, muß dann zu jedem Intervalle (p, G) eine Zahl von l1', d.h. ein Häufungswert von S9 gehören; dann aber enthält jedes Intervall (p, G) unendlich viele Zahlen aus 1, und es ist G Häufungswert von 91, entgegen der Annahme. Die Annahme, G sei nicht Häufungswert von 9S, führt also zu einem Widerspruche, d, h. G ist Häufungswert von 21, und als

38 Die reellen Zahlen. obere Schranke von 51 dann notwendig der größte Häufungswerb von X. Ebenso zeigt man, daß die untere Schranke von f1 der kleinste Häufungswert von 5X ist, und Satz IV ist bewiesen. Größter und kleinster Häufungswert von 9f (von {ac}) werden als Limes superior und inferior von 5 (von {(a}) bezeichnet, in Symbolen: lira~, lim,; lirm 5; li a, lim a. Sie heißen auch die Hauptlimiten von 5f (von {(a}). Der Limes superior ist völlig charakterisiert durch die beiden Ungleichungen') (Analoges gilt für den Limes inferior): 1. Ist q>lim a, so ist: (*) a,< q für fast alle a,. 2. Ist p<lima., so ist: n=oo (**) a,,>p für unendlich viele a., Aus der Definition der Hauptlimiten folgt unmittelbar: (**), l r alim an lim a. n=oo = v* *^ ~^oo' n lim (- a~) - lim a". n= >00 n= 00 Die Hauptlimiten von Zahlenfolgen sind einer Darstellung fähig, die bei Vergleich mit ~ 1, Satz IV und V die Analogie dieser Begriffsbildung mit dem Begriffe der oberen und unteren Gemeinschaftsgrenze einer Mengenfolge deutlich hervortreten läßt: Satz. Seien a, und an obere und untere Schranke der Folge: (1) a" a~+.,...+a,... Dann ist: (2) lim a =lim all; lim a, lim a. n=Co n= n= o n=oo Um etwa die erste dieser Formeln zu beweisen, bemerken wir, daß {a. } monoton abnimmt, also nach ~ 5 Satz IX konvergent ist; etwa: ~~(3) ~lim al= =a. 1) Wir schreiben sie nur für eine Folge {a,} auf; für eine Menge t gilt dasselbe.

Einleitung. ~ 6. Häufungswerte reeller Zahlen. 39 Um nachzuweisen, daß (4) a= lim a,, n=-o haben wir zu zeigen, daß a die beiden charakteristischen Eigenschaften (*) und (**) besitzt. Sei also q> a, dann ist wegen (3): an<q für fast alle n, daher um so mehr: an<q für fast alle n, und (*) ist nachgewiesen. Ist andrerseits p< a, so ist (weil {ac} monoton abnimmt): a >a">a p für alle n, und da a, obere Schranke der Zahlen (1), gibt es unter diesen eine ant >p (n'>n). Da dies für jedes n gilt, so ist also: an >P für unendlich viele Werte n' von n erfüllt, und es ist auch (**) bewiesen. Damit ist auch (4) und also auch die erste Beziehung (2) nachgewiesen. Analog beweist man die zweite. Satz VI. Seien,,, und a,, k größte und kleinste unter den Zahlen: an' an+l' a * n+fke Dann ist: (5) lim an - lim (lim a,, ); lim a- lim (lim an, k). n=n-o n=oo kc=Oa n=oo tn=~o k=coo In der Tat, da die Folge an,,, a2. *.> an,... monoton wächst, ist sie nach ~ 5, Satz IX konvergent, etwa:, (6) lim a~, = a und a~,, a k —oo Hat aß dieselbe Bedeutung wie in Satz V, so ist: any k_,an für alle k, daher wegen (6) auch: (7) a a. Wäre nun a< äa so gäbe es ein p: (8) < p < und wegen (6) wäre: an k<p für alle k, d. h. alle Zahlen (1) wären <p, im Widerspruche damit, daß nach (8) ihre obere Schranke a.>p ist. Also gilt in (7) das == -Zeichen:

40 Die reellen Zahlen. an- an. Setzt man dies unter Beachtung von (6) in (2) ein, so erhält man die erste Gleichung (5), und analog beweist man die zweite. Satz VII. Für die Hauptlimiten von Summen (Produkten) gelten die Ungleichungen (vorausgesetzt, daß die darin auftretenden Ausdrücke einen Sinn haben): (*) lim a-,+ lim bn< lim (an + bn) _ lim a- + lim b,; n-oo n= n=- o0 n= n =o (**):lim a s- lim b < lim (a, + b,) < lim an + lim b,; n= 00o n=oo noo n=oo n-=o ferner wenn an>0, b> 0: (***) li blim a bii lim an b_ lima b lima ib,. n=ao n=oo n= o n==00 n=oo n= o Es wird genügen, die Ungleichung (*) zu beweisen. Um zunächst ihre rechte Hälfte zu beweisen, haben wir zu zeigen: ist (1) z > lira an+- lim bn n=" n= o so ist: (2) a"+b< z für fast alle n. In der Tat, genügt z der Ungleichung (1), so gibt es z' und z", so daß: z'>lima; z> lim b; z'+ z<z. n=ca n=ao Dann aber ist a < z' und b,< z" für fast alle n. Damit aber ist (2) bewiesen. Um die linke Hälfte von (*) zu beweisen, haben wir zu zeigen: Ist (3) z < lim an+ lim bn, n=oo n= o so ist: (4) a + b,> z für unendlich viele n. In der Tat, genügt z der Ungleichung (3), so gibt es z' und z"' so daß: z'<liman; z"<limbn; z'+z >z. n=" 00 n'=0 Dann ist: a>z' für fast alle n; b,>z" für unendlich viele n, womit (4) bewiesen ist.

Einleitung. ~ 6. Häufungswerte reeller Zahlen. 41 Satz VIII. Damit die Folge {a"} konvergent sei, ist notwendig und hinreichend, daß sie nur einen Häufungswert besitzt, oder - was dasselbe heißt - daß: lim an = lim a". Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat die Folge {an} konvergent: (t) lim an =a. Ist dann a' ein Häufungswert von {a"}, so gibt es in {a,} eine Teilfolge {an }, so daß: lim a. == a'. V = 00 Aus (t) aber folgt: lim an -- a. v= O Also ist für jeden Häufungswert a' von {a,}: ad = a. Die Bedingung ist hinreichend, Sei in der Tat: lim an = lim an =- a, n= M = nO Ist p < a, so gilt dann: (tt) a, >p für fast alle n; ist q>a, so gilt: (.ttt) a < q für fast alle n; die Ungleichungen (tt) und (ttt) aber besagen: es gilt (t), d. h. {a} ist konvergent. Damit ist Satz VIII bewiesen. Wir beweisen nun die bekannte Cauchysche Bedingung für eigentliche Konvergenz einer Zahlenfolge. SatzIX. Damit die Folge endlicher Zahlen {a,} eigentlich konvergent sei, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>O ein no gibt, so daßl): (*) \an,-t-ant <E für n'no, n" no. Die Bedingung ist notwendig; denn ist lim an= a (a endlich), n-coo so gehören fast alle an zu (a -, a + ~), womit (*) nachgewiesen ist. 1) Die Bedingung (*) ist gleichbedeutend mit: lim (a, -a,,) =0. Cxo,, "=~ni

42 Die reellen Zahlen. Die Bedingung ist hinreichend; denn ist sie erfüllt, so ist: an,-e < a, ao + für n>no, so daß die Folge {a.} jedenfalls keinen unendlichen Grenzwert hat. Wäre sie andererseits überhaupt nicht konvergent, so gäbe es (Satz VIII) z' und z", so daß: lim a. < z' < z" < lin a,, und es wäre a', < z' für unendlich viele n', an" > z" für unendlich viele n". Wenn O< < z"-z', wäre also a,,- an' > e für unendlich viele n', n", entgegen der Annahme (*). Die Folge {an } ist also weder oszillierend, noch hat sie einen unendlichen Grenzwert; also ist sie eigentlich konvergent. Damit ist Satz IX bewiesen. Satz X. Damit die Folge endlicher Zahlen {a,} eigentlich konvergent sei, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 ein no gibt, so daß: a-n-a ol <e für n>n0. Die Bedingung ist notwendig. Dies ist in Satz IX enthalten. Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so gibt es zu ein n, so daß: la <-aal<2. I"t-a. <- für n'>n, n">O und mithin: |a - an",| < für n'>n, 'n" n0; dies aber ist die Bedingung von Satz IX. Wir definieren noch die Hauptlimiten von k-fach unendlichen Folgen, und zwar in Anlehnung an die charakteristischen Eigenschaften (*), (**) S. 38 der Hauptlimiten von Folgen {aj}. Sei ({al, 2,..., -k} eine k-fach unendliche Folge. Wir nehmen einen Schnitt 9 + -2 in der Menge der reellen Zahlen vor, indem wir in 9W alle Zahlen z aufnehmen, zu denen es Indizes n, n., n.. gibt; derart daß: at1,,.... nk > für n1 >n, 2n... nk. Die diesen Schnitt hervorrufende Zahl (~ 5, Satz III) bezeichnen wir mit:

Einleitung. ~ 6. Häufungswerte reeller Zahlen. 43 nl = ca,, t.., nk = C0 Nehmen wir hingegen in. alle z auf, zu denen es Indizes n', n,..., n', gibt, so daß: aCni, n2...k n<Z für nln'l, n2n,.., nn, n>, so bezeichnen wir die den Schnitt t -+- W2 hervorrufende Zahl mit: lim an,...nfk nl =...., nk =1 In Analogie zu Satz VIII gilt dann: Satz XI. Damit die Folge {an,2,,..., } konvergent sei, ist notwendig und hinreichend, daß: (t+) nlim a.n2,..,.=- lim an12,... nl-=., ' nk == -l n=a, ".,, fk = Die Bedingung ist notwendig. Denn ist sie nicht erfüllt, so gibt es z' und z", so daß: lim an,.. k <Z<Z < lim a~.,. n1=o,.-. 7ik=0 l ---oo..., nk ~ Wie immer auch n1, n2,..., n. vorgeschrieben sein mögen, gibt es dann Indizes: i'^nl, _, *?'k _ nk und nl'in1,..., nk 'nf, so daß: an % ',<z a'", %, > Z". s n l, k,... ^ Sr,,... r _ es kann also {a,,',,*, } keinen Grenzwert > z' und keinen Grenzwert < z", also wegen z' < z" überhaupt keinen Grenzwert haben. Die Bedingung ist hinreichend. Denn nennen wir den gemeinsamen Wert (t) der Hauptlimiten: a, so gibt es nun zu jedem p<a Indizes n, n,...., n so daß: 2,...,> für >n>,..., nk. zu jedem q a Indizes nx, n'" so daß: an,. q.., < für n1 > *..,k nk. Das aber heißt: lim an, n...... -a, und Satz XI ist bewiesen.

44 Die reellen Zahlen. ~ 7. Die Mächtigkeit des Kontinuums. Sei g eine natürliche Zahl > 1. Eine Zahl der Form: +(1) -+.e + g + e + worin eo irgendeine ganze Zahll), e1, e2,..., e, aber der Ungleichung (2) o < e, _ g -1 genügende ganze Zahlen sind, nennen wir einen endlichen Systembruch der Grundzahl g, oder kurz einen endlichen g-Bruch. Unter einem unendlichen Systembruch der Grundzahl g (einem unendlichen g-Bruch) verstehen wir eine unendliche Reihe der Form 2): (3),e eo - -- + -. +- -.~~ (3) ++.+9 92 g in der die en dieselbe Bedeutung haben, wie in (1). Ist über die Grundzahl kein Zweifel, so schreiben wir statt (1) und (3):.(4) ex, e2 e2.. ek; e e e e, bezeichnen wir als,n-te Stelle". Wir nennen e.e ee2...e den n-ten Näherungsbruch von eo.ele2...e... Bekanntlich gilt: Satz I. Jeder endliche g-Bruch ist gleich zwei und nur zwei unendlichen g-Brüchen, nämlich (wenn ek>0): (5) eo e2... ek. ee e... e, 0... *O.. -eo* e e... (ek- 1)(g- 1)(g- 1)...(g- 1)... Satz II. Zwei unendliche g-Brüche, in denen nicht durchwegs entsprechende Stellen übereinstimmen, sind nur dann einander gleich, wenn sie gleich demselben endlichen g-Bruch sind, und somit die Form (5) haben. Satz III. Für einen unendlichen g-Bruch besteht die Ungleichung: (6) eSel e2.. ena u e e e.. e en. e = eo e el. e+ - 1) Sie kann auch negativ sein. 2) Bekanntlich zeigt man durch Vergleich mit der geometrischen Reihe g - die eigentliche Konvergenz der Reihe (3). n=

Einleitung. ~ 7. Die Mächtigkeit des Kontinuums. 45 Satz IV. Jede endliche reelle Zahl z kann durch einen unendlichen g-Bruch dargestellt werden: z == — ' e e... e','.... Die Mächtigkeit der Menge aller in [0, 1] enthaltenen reellen Zahlen bezeichnen wir mit c, und nennen sie die Mächtigkeit des Kontinuums1). Wir behaupten: Satz V.2) Ist e eine endliche Mächtigkeit > 1, so ist: (7) c=e0. Wir betrachten die Menge @ aller unendlichen Systembrüche der Grundzahl e, in denen e - 0 ist. Sie ist gleichmächtig der Menge aller Belegungen (~ 1, S. 1) der Menge 1, 2,..., n,.. mit den Elementen der Menge 0, 1, 2,..., e-1, und hat daher (~ 2, S. 7) die Mächtigkeit e~o. Wie die Sätze I, II, IV lehren, ist jede Zahl aus [0, 1] gleich einem und nur einem unendlichen Systembruche aus e, ausgenommen die in (0, 1) enthaltenen endlichen e-Brüche, die gleich zwei unendlichen Systembrüchen aus E sind. Da aber jeder endliche Systembruch rational ist, gibt es ihrer (~ 2, Satz VI und VII) nur abzählbar viele. Es ist also ( Vereinigung einer mit [0, 1] gleichmächtigen und einer abzählbaren Menge, also sind (~ 2, Satz X) ( und [0, 1 ] gleichmächtig. Da aber ( die Mächtigkeit e o hat, ist Satz V bewiesen. Es folgt nun leicht: Satz VI. Für die Mächtigkeit des Kontinuums gilt die Ungleichung: c> No. In der Tat, man setze in (7) e 2 und wende Satz XII von ~ 2 an. Satz VII. Jedes beliebige (abgeschlossene, offene, halboffene) Intervall hat die Mächtigkeit c. In der Tat, sei zunächst [a, b] ein abgeschlossenes, endliches Intervall. Durch: x' a -- (b - a) x wird eine eineindeutige Abbildung zwischen den Zahlen x von [0,1] 1) Sie wurde zuerst betrachtet von G. Cantor, auf den die folgenden Satze zurückgehen. 2) In Satz V ist die Aussage enthalten: Die Menge aller Teilfolgen einer unendlichen Folge {ak} hat die Mächtigkeit c. In der Tat, die Menge aller Teilfolgen von a,)} hat nach ~ 2, Satz XI die Mächtigkeit 2~o = c.

46 Die reellen Zahlen. und den Zahlen x' von [a, b] hergestellt; also sind [0, 1] und [a, b] gleichmächtig, d. h. auch [a, b] hat die Mächtigkeit c. Da (a, b), [a, b) und (a, b] sich von [a, b] nur durch endlich viele Elemente unterscheiden, sind sie (~ 2, Satz X) mit [a, b] gleichmächtig, haben daher auch die Mächtigkeit c. Durch x' e-" wird eine eineindeutige Abbildung von [0, + oo) und (0,1], durch ' = tg x eine solche von (-, ) und (- o, + co) hergestellt. Es haben also auch [0, -+oo) und (- oo, - co) die Mächtigkeit c, woraus nun Satz VII ganz allgemein ohne weiteres folgt. Satz VIII. Es gelten, wenn e eine endliche Mächtigkeit >0 bedeutet, die Rechnungsregeln: e'c=-c; Nc — c. In der Tat, die erste besagt: die Summe endlich vieler Mengen der Mächtigkeit c hat die Mächtigkeit c. Man zerlege, um dies einzusehen: [' t)= [o,~' e) 2.+ + [te ). Die zweite Regel besagt: die Summe abzählbar unendlich vieler Mengen der Mächtigkeit c hat die Mächtigkeit c. Man zerlege, um dies einzusehen: [0,+c )= [0, 1)+[, 2)+...+ n, n+ 1)+.... Satz IX. Die Vereinigung 58 abzählbar vieler Mengen der Mächtigkeit c hat die Mächtigkeit c. In der Tat, ist S8 Vereinigung abzählbar vieler zu je zweien fremder Mengen der Mächtigkeit c, so ist die Behauptung durch Satz VIII bewiesen. Sind diese Mengen nicht zu je zweien fremd, so gilt daher für die Mächtigkeit u von B3:.<c. Da aber 58 Teile der Mächtigkeit c hat, so ist andererseits:,>c, und daher (~ 4, Satz XXI) t = c, wie behauptet. Satz X. Es gelten, wenn e eine endliche Mächtigkeit >0 bedeutet, die Rechnungsregeln: -e = C; C o-c; o ~o-C.

Einleitung. ~ 8. Anordnungssätze. 47 In der Tat, unter Benutzung von Satz V, und von ~ 2 Satz I und V hat man: c = (eo) = e o'e = eo = c c-o - (e0o)so - eo'o - eo - c. Ferner ist (Satz V, und ~ 2, Satz I), c eAo < ko < C40 = C, woraus (~ 4, Satz XXI) No-c folgt. Diese drei Rechnungsregeln können der Reihe nach in folgende Sätze gekleidet werden: SatzXI. Ist k eine natürliche Zahl, so hat die Menge aller k-gliedrigen Folgen reeller Zahlen (eines beliebigen Intervalles) die Mächtigkeit c. Satz XII. Die Menge aller unendlichen Folgen reeller Zahlen (eines beliebigen Intervalles) hat die Mächtigkeit c. Satz XIII. Die Menge aller unendlichen Folgen natürlicher (oder rationaler) Zahlen hat die Mächtigkeit c. Bezeichnen wir in gewohnter Weise jede endliche reelle Zahl, die nicht rational ist, als irrational, so gilt der Satz: Satz XIV. Die Menge aller irrationalen Zahlen eines beliebigen Intervalles hat die Mächtigkeit c. In der Tat, die Menge aller rationalen Zahlen ist abzählbar, also haben (~ 2, Satz X) in jedem Intervalle die Menge aller irrationalen Zahlen und die Menge aller Zahlen die gleiche Mächtigkeit, und diese ist c nach Satz VII. Ganz ebenso beweist man: Satz XV. Die Menge. aller jener Zahlen eines Intervalles, die nicht endliche Systembrüche einer gegebenen Grundzahlg sind, hat die Mächtigkeit c. ~ 8. Anordnungssätze. Wir beweisen -nun einige Anordnungssätze über reelle Zahlen, Durch Anwendung von ~ 3, Satz I erhalten wir: Satz. Die Menge aller der Größe nach geordneten rationalen Zahlen eines Intervalles (a, b): r' vor r" wenn r'<r" hat den Ordnungstypus Ö. Wir haben zu dem Zwecke nur nachzuweisen, daß die betrachtete Menge die Voraussetzungen von Satz I, ~ 3 erfüllt: Sie ist abzählbar

48 Die reellen Zahlen. nach ~ 2, Satz VI und II. Sie hat kein erstes und kein letztes Element; denn ist r irgendeine rationale Zahl aus (a, b), so gibt es nach ~ 5, Satz I ein rationales r' und r", so daß: a < r < r <r" < b. Sind ferner r' < r" zwei beliebige rationale Zahlen aus (a, b), so gibt es zwischen ihnen ein rationales r: r'<r <r". Damit sind die Voraussetzungen von Satz I, ~ 3 verifiziert, und Satz I ist bewiesen. Ganz ebenso beweist man: Satz II. Die Menge aller der Größe nach geordneten endlichen Systembrüche von gegebener Grundzahl im Intervalle (a, b) hat den Ordnungstypus y. Wir bezeichnen mit x den Ordnungstypus der Menge aller der Größe nach geordneten, endlichen, reellen Zahlen. Dann gilt: Satz III. Die Menge aller, der Größe nach geordneten Zahlen eines beliebigen Intervalles (a, b) hat den Ordnungstypus x. In der Tat, sind a <b endlich, so ist durch 2x -b- a x = tg n 2 (b - a) eine ähnliche Abbildung von (a, b) auf (-oo, - oo) gegeben, durch: x' lg (x - a) bzw. x'=- lg (b - x) eine ähnliche Abbildung von (a, +oo) und von (-oo, b) auf (-oo, +-oo), womit Satz III bewiesen ist. Wir bezeichnen mit t den Ordnungstypus der Menge aller der Größe nach geordneten irrationalen Zahlen. Satz IV. Sei ö eine Menge vom Ordnungstypus x, 2I einer ihrer Teile von folgenden Eigenschaften: 1. 9 hat den Ordnungstypus l; 2. zwischen je zwei Elementen von S liegt mindestens eines von 91; dann hat 3 -9/ den Ordnungstypus t. In der Tat, da 9 den Ordnungstypus r hat, gibt es (~ 3, Satz I) eine ähnliche Abbildung A von 9 auf die Menge 9S der ihrer Größe nach geordneten rationalen Zahlen; sei ra die durch A dem Elemente a von S9 zugeordnete rationale Zahl.

Einleitung. ~ 8. Anordnungssätze. 49 Sei nun b ein Element von S -, und seien 9^b' und 21' die Mengen aller der Relation a' vor b bzw. b vor a" genügenden Elemente von X1. Durch A werden 21, und 2b' abgebildet auf zwei Teile Ri und 9' von R9, und es ist: r <r", wenn r' in, r" in t. r" Wir zeigen, daß 9Ib' und somit auch 9b' nicht leer ist1): Weil 3 den Ordnungstypus x hat, gibt es kein erstes Element von 2, es gibt also ein Element b' vor b, und nach Voraussetzung 2. ein Element a' von 21 zwischen b' und b; dann gehört aber a' zu bt', so daß WZ' nicht leer ist. Sodann zeigen wir: in b ' und somit in 8b' gibt es kein letztes Element2). In der Tat, ist a' in %b" so ist a' vor b, und nach Voraussetzung 2. gibt es zwischen a' und b ein Element von 92, das dann notwendig zu 9b' gehört: also war a' nicht letztes Element von V2b' Nun ist durch: R2 S ~b + Sb ein Schnitt in 9 gegeben; sei xb die ihn hervorrufende Zahl (~ 5, Satz III). Da weder 9l' noch a'b leer, ist xb endlich; da es in 9bt keine größte, in g' keine kleinste Zahl gibt, ist xb irrational. Wir behaupten weiter: es ist Xb <Xb,, wenn b, vor b. In der Tat, nach Voraussetzung gibt es dann ein Element a von 92 zwischen b, und b2. Die durch A zugeordnete rationale Zahl r, gehört dann einerseits zu 91b, andrerseits zu 9b,; es ist also: Xbl < ra; Xb > ra woraus sofort Xbl < Xb, folgt. Hierdurch ist also eine ähnliche Abbildung B von 2 -- 2 auf einen Teil e* der Menge ~ aller der Größe nach geordneten irrationalen Zahlen gegeben. Wir haben nur noch zu zeigen, daß * == ist. Angenommen, es gäbe in s ein x, das in B3- - kein Urbild hat. Seien 91' und 9", die Menge aller rationalen Zahlen r' <. bzw. r" > x, und 2I', W" die ihnen vermöge A entsprechenden Teile von 2. Wenn x kein A) Analog zeigt man es für W2I und ~,'. 2) Und analog in 91 und W9' kein erstes. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 4

50 Die reellen Zahlen. Urbild in 23- % hat, gibt es in 3 - kein Element zwischen 9' und 21". Das aber ist unmöglich; denn da 9 den Ordnungstypus x hat, gibt es eine ähnliche Abbildung C von ~2 auf die Menge RS aller der Größe nach geordneten endlichen reellen Zahlen. Seien W' und W" die vermöge C aus 1' und 1" entstehenden Teile von S; die obere Schranke k von k' liegt zwischen k' und k", und ihr entspricht vermöge C ein Element von e, das zwischen 2' und 1" liegt. Damit ist Satz IV bewiesen. Aus Satz IV folgt nun bei Berufung auf Satz I, II, III ohne weiteres: Satz V. Die Menge aller irrationalen Zahlen eines beliebigen Intervalles (a, b) hat in ihrer natürlichen Anordnung den Ordnungstypus t, ebenso die Menge aller Zahlen eines Intervalles (a, b), die nicht endliche Systembrüche einer gegebenen Grundzahl g sind. Wir beweisen endlich noch: Satz VI. Ist a eine Ordinalzahl, so gibt es dann und nur dann eine in ihrer natürlichen Anordnung wohlgeordnete Menge reeller Zahlen vom Ordnungstypus a, wenn a zur Zahlklasse 3, oder g, gehört. In der Tat, hat die Zahlenmenge 21 den Ordnungstypus a, so gibt es (~ 4, Satz VIII) eine ähnliche Abbildung ihrer Zahlen auf die Menge aller Ordinalzahlen f < a. Ist Xß die der Ordinalzahl ß zugeordnete Zahl von 21, so ist: x ß<Xß', wenn ß ß'. Die Intervalle (xß, xß+1) sind dann zu je zweien fremd; es kann ihrer also (~ 5, Satz II) nur abzählbar viele geben. Es gibt also auch nur abzählbar viele ß< a, d.h. a gehört zu 3, oder 32. Nehmen wir umgekehrt an, a gehöre zu 31 oder E3. Wir führen den Nachweis, daß es dann eine Zahlenmenge 21 gibt, die in natürlicher Anordnung den Ordnungstypus a hat, durch Induktion (~ 4, Satz XIX). Die Behauptung ist richtig für ca 0. Angenommen, sie sei richtig für jedes cc'<ac, wo a eine Zahl aus x 1-82 (d.h. <co1). Ist a eine isolierte Zahl, so gibt es dann eine Zahlenmenge vom Ordnungstypus a - 1. Indem wir nötigenfalls eine ähnliche Abbildung von [- oo, +oo] auf [0, 1] vornehmen, können wir annehmen, sie liege in [0, 1]. Fügen wir ihr dann als Xa noch eine Zahl > 1 hinzu, so erhalten wir eine Menge vom Ordnungstypus a.

Einleitung. ~ 8. Anordnungssätze. 51 Ist hingegen a eine Grenzzahl, so gibt es nach ~ 4, Satz XVII eine Ordinalzahlfolge {(a}, so daß ay < y a+1 und limn a- a. y= 00 Dann ist auch ac < c, und es gibt daher nach Annahme eine Zahlenmenge v, vom Ordnungstypus av, von der wir ohne weiteres annehmen können, sie liege in [v - 1, v). Seien (xV)> (f<cc, xa<?(;) wenn <ß) X( (ß < aV 5) < ^, wenn X< A</) die Zahlen von 1,. Wir lassen, wenn v> 1, aus XI alle x) (f <c_-i) weg, wodurch [ entstehe. Die Menge der Zahlen aus =W $+ % + + +... + hat, in natürlicher Reihenfolge, den Ordnungstypus a. Damit aber ist Satz VI bewiesen. 4*

Erstes Kapitel. Punktmengen. ~ 1. Metrische Räume, Wir nennen eine Menge 91 irgendwelcher Elemente einen metrischen Raum1), wenn jedem Paare von Elementen a, b der Menge 9 eine endliche Zahl r (a, b) zugeordnet ist von folgenden Eigenschaften: 1. r(a, b)=r(b, a), 2. r (a, b) > 0, und zwar = 0 dann und nur dann, wenn a = b. 3. Für je drei Elemente a, b, c von S gilt die Ungleichung2): r(a,c)<r (, b) +r(b, c) Wir nennen dann die Elemente von 9S auch Punkte von 9R, demgemäß die Teile von 91 Punktmengen; ferner heißt r(a,b) der Abstand von a und b, und die in Eigenschaft 3. auftretende Ungleichung heißt die Dreiecksungleichung. Das Komplement 91- eines Teiles 9f von 91 zu 91 nennen wir kurz das Komplement von?2. Die einfachsten und wichtigsten Beispiele metrischer Räume sind die e.uklidischen Raume. Wir bezeichnen als den k-dimensionalen euklidischen Raum 91k die Menge aller k-gliedrigen Folgen 1) Der Begriff stammt von M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 17, 30, der Name von F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 211. 2) Für die meisten Anwendungen genügt folgende Annahme: Es gibt eine Funktion f(e) der reellen Veränderlichen u mit lim f()=-0, so daß aus: e=0 r(a,b)<e und r(b,c)<e folgt: r (a, c) < f (e). Vgl. hierüber M. Fr6chet a.a.O. 18 und Rend. Pal. 30 (1910), 22; H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 251.

Kap. I, ~ 1. Metrische Räume. 53 endlicher Zahlen (x", x,..., x), wenn als der Abstand der beiden Punktel): a (xl, x2,.. xk) (, b (y, y, yk) definiert wird die Zahl2): (*) r (a, b) = 1/(x - yJ) + (x2 - Y2)2 +t_ + (xk - yk) In der Tat ist dann 9k ein metrischer Raum: da die Eigenschaften 1. und 2. offenbar erfüllt sind, muß nur die Dreiecksungleichung: (**) 1/(x - z) — + -- + (Xk - Zk) (1 )2 + *... (xk - yk)2 + 1/(yl - )2 + *.+ (Yk- k)2 nachgewiesen werden. Nun gilt bekanntlich, da die quadratische Form in x, y: k 7 k k 2( X + V y)=2 =ZU x2' + 2 n xy+ Z2v *y l=-1 n=I n=l n=X nie negativ ist, für ihre Determinante die Ungleichung: k k k 2* (, n) > 0, n=i n=l n=-1 und somit auch: 7c / kk 7c k k7?u + 2. Z 2+ Z v__> (u+2uv + V2U), =l1 n ==1 n=l 1= n=1 und daraus durch Wurzelziehen: ) V~2 + V27v > V(u + v. n=l n=l n=1 Setzt man hierin: Un -- Xn Yn; vn -- Yn Zn, so geht (***) in die zu beweisende Dreiecksungleichung (**) über. Der euklidische 9S ist nichts anderes als die Menge aller endlichen reellen Zahlen. In ilm nimmt die Abstandsdefinition (*) die Form an: r (a, b)- =V(a-b a - )2 | a- |. 1) Die Zahl x, (n-= i, 2,..., k) heißt die n-te Koordinate von a. Wir gebrauchen im 9Rk die Terminologie der analytischen Geometrie. 2) Wo nicht anders bemerkt, bedeutet das Wurzelzeichen stets die nicht negative Wurzel.

54 Punktmengen. Sind a1, a2,..., ak und bl, b2,..., b endliche, den Ungleichungen: an< bl (n= 1,2,...,k) genügende Zahlen, so verstehen wir unter dem abgeschlossenen Intervalle [al,a,..., a,; b b2,..., bk] des Öl die Menge aller Punkte (x1, x2,..., x), deren Koordinaten den Ungleichungen genügen: (i) n. = ~X_ JB (n = l, 2,..., k). Wir verstehen unter dem offenen Intervalle (a, a2,..., ak; b, b2..., bk), wobei nun die a, und bn auch unendlich sein können, die Menge aller den Ungleichungen (2) n<x < b (n=, 2,..., k) genügenden Punkte (x:, x,..., xk). Ebenso werden die halboffenen Intervalle [al, a,,.., a; bl b,,..., bk) und (üa, a,..., ak; b., b,,..., bk] - wobei im ersten Falle die bn, im zweiten die an auch unendlich sein können - definiert durch die Ungleichungen: (3) a, n< b^, an<xn< b (n, 2,...,k). Insbesondere ist: k = (-00, - 0,...,-00; + o00 + 00,...,* +00) Satz XI, ~ 7 der Einleitung lehrt nun sofort: Satz I. Jedes Intervall des 9, hat die Mächtigkeit c. Wir nennen den Punkt (x, x2,..., x) einen rationalen Punkt des Rk, wenn seine sämtlichen Koordinaten rational sind. Dann gilt: Satz II. Die Menge aller rationalen Punkte eines Intervalles des ~9 ist abzählbar-unendlich. In der Tat, nach Einleitung ~ 2, Satz VI und II ist (wenn a, <b,) die Menge aller einer der Ungleichungen (1), (2), (3) genügenden rationalen xk abzählbar-unendlich. Satz IX, ~ 2 der Einleitung ergibt daher die Behauptung. Ordnen wir jedem Punkt (x., x2,..., xM) des 91 den Punkt (X1, x2.., Xck-1) des Rk- zu, so wird dadurch jede Punktmenge 9: des 9k abgebildet auf eine Punktmenge 3 des 9Rk-1, die die Projektion von 9 in den 9k —1 der Punkte (x, x2,..., Xk_-) heißt. Wir kehren zurück zur Betrachtung eines beliebigen metrischen Raumes 91. Sei a ein Punkt, 38 eine nicht leere Punktmenge aus 9. Für jeden Punkt b von 3 denken wir uns den Abstand r (a, b) gebildet. Die untere Schranke der Menge aller dieser r(a,b) bezeichnen wir

Kap: I, ~ 1. Metrische Räume. 55 als den Abstand r(a,S3) oder r(3,a) des Punktes a und der Menge S. Sind 92 und S zwei nicht leere Punktmengen eines metrischen Raumes, so denken wir uns für jeden Punkt a von 9f und jeden Punkt b von B den Abstand r(a,b) gebildet. Die pntere Schranke aller dieser r(a,b) bezeichnen wir als den Abstand r(%,3) oder r(S3,g) der beiden Mengen 9t, 3. Es gilt der Satz: Satz III. Es ist r(g,5S) die untere Schranke der Abstände r(a,,3) der Punkte a aus C von der Menge B. In der Tat, sei g diese untere Schranke. Dann ist, zufolge der Definition von r(a,S): r(a, b)~g für alle a aus 9f und alle b aus S8, und mithin auch (0).r(_, )_. Zu jeder Zahl z>g gibt es ferner ein a in 9f, so daß: r (a, 23) < z, und mithin, zufolge der Definition von r(a, 3) auch einen Punkt b in S, so daß: r(a,b)<z. Mithin ist auch: r(, S)<z, und da dies für jedes z> g galt, auch: (00) r(S)_g Aus (0) und (00) aber folgt: r (S, 93)=g, wie behauptet. In Verallgemeinerung der Dreiecksungleichung haben wir den Satz IV. Es gelten, wenn b, c Punkte, 9/, ( (nicht leere) Punktmengen bedeuten, stets die Ungleichungen: 2. (W, c)((, r(b)+r(b, >). In der Tat, für jeden Punkt a von i ist: r(a, c) r(a, b) +r(b, c), woraus für die unteren Schranken r (, b) und r (,c ) von r(a,b) und r(a,c) sofort 1. folgt. Aus Ungleichung 1. aber, die nunmehr für jeden Punkt c von X gilt, erhält man für die unteren Schranken r (b, () von r (b, c) und r ( o, n) von r (2, c) (Satz III) sofort die Ungleichung 2.

56 Punktmengen. Wir kommen nun zu der für alles folgende fundamentalen Definition des Grenzpunktes. Wir sagen: der Punkt a ist Grenzpunkt der Punktfolge {a.}, oder: die Folge: {a.} konvergiert gegen a, in Zeichen: lim a = a (oder a, -- a für n — 00), n== oo wenn: (*) lim r (a., a) — O. n= co Es gilt dann der Satz: Satz V. Eine Punktfolge kann nicht zwei verschiedene Grenzpunkte haben. In der Tat, sei lim a =a und limao = b. f-0 -= oo Zufolge der Definitionsgleichung (*) ist dann, wenn e >0 beliebig gegeben: für fast alle n, infolgedessen wegen der Dreiecksungleichung: r(aC, b)< 2e, und da e > 0 beliebig war: r(a, b)==0, also, wegen Eigenschaft 2. des Abstandsbegriffes: a- b, wie behauptet. Die Anwendung auf den Spezialfall des euklidischen 9t~ wird vermittelt durch: Satz VI. Seien: a ==(xi, X2,..~., Xk); a" = (rci,^,xl, n,.... Xk, ) Punkte des euklidischen SR,. Es ist dann und nur dann: (**) lima -=- a, In= o0. wenn die k Gleichungen bestehen: (**t*) lim xi, n xi (i- 1,2,... k). In der Tat, (**) besagt: ist e>0 beliebig gegeben, so ist: (***) VQri,n-X)2 + (X2, -)2 +... +(Xk,- J)2 <8 für fast alle n. Dann aber ist auch: l^l,X-,il<, 1X2,n-X1 <6,., lx,n- E |<e

Kap. I, ~ 1. Metrische Räume. 57 für fast alle n, d. h. es bestehen die Gleichungen (***). Gelten umgekehrt die Gleichungen (***), so ist: \X, — Xl < -7, X2,nl-X1< < -7kn *, Xk,n-Xkl< 7k für fast alle n, es gilt also (**), oder, was dasselbe heißt, (**). Damit ist Satz VI bewiesen. Die im obigen gegebene Definition des Grenzbegriffes stützt sich auf den Abstandsbegriff; wir nennen sie deshalb die metrische Definition des Grenzbegriffes. Man kann auch statt vom Abstandsbegriffe vom Begriffe der Umgebung eines Punktes ausgehen, indem man annimmt, im betrachteten Raume (der nun keineswegs ein metrischer Raum im oben besprochenen Sinne sein muß) seien jedem Punkte a gewisse ihn enthaltende Punktmengen, seine ~Umgebungen", zugeordnet, die - wie in obiger Theorie der Abstand - lediglich einigen einfachen Forderungen zu genügen haben. Der Grenzbegriff wird dann eingeführt durch die Definition:,a heißt Grenzpunkt von {a,}, wenn zu jeder Umgebung von a fast alle aß gehören." Diese Definition des Grenzbegriffes kann als die topologische bezeichnet werden'). Sie ist weitertragend als die metrische: in der Tat werden wir weiter unten in jedem metrischen Raum den Umgebungsbegriff einführen und den Inhalt der topologischen Grenzdefinition aus der metrischen folgern (~ 3, Satz VI). Jeder metrische Grenzbegriff ist also zugleich ein topologischer, aber nicht umgekehrt. So kann z. B. der in Einleitung ~ 5 behandelte Begriff des Grenzwertes von Folgen (endlicher oder unendlicher) reeller Zahlen als topologischer, aber nicht als metrischer Grenzbegriff angesehen werden. Wir halten, der Einfachheit halber, durchweg am metrischen Grenzbegriff fest. Sowohl der metrische als der topologische Grenzbegriff haben die zwei folgenden formalen Eigenschaften: 1. Ist an=a für alle n, so auch liman-=a. 2. Ist lima,= a, so ist auch für jede Teilfolge {a,} von {a,}: lim an, = a. Einige den Grenzbegriff behandelnde Sätze beruhen nun lediglich auf diesen beiden Eigenschaften und sind im übrigen von der spe~) Nach F. Hausdorff, a. a. 0. 213.

58 Punktmengen. zielen Definition des jeweiligen Grenzbegriffes unabhängig ). Wir werden solche Sätze als allgemeine Grenzsätze bezeichnen, und werden gelegentlich durch Anmerkungen aufmerksam machen, wenn solche allgemeine Grenzsätze auftreten, deren Tragweite eine größere ist, als die der bloß metrischen oder topologischen Grenzsätze: sie gelten für jeden, den beiden formalen Bedingungen 1. und 2. genügenden Grenzbegriff, wie immer er auch sonst definiert sein mag. ~ 2. Kompakte, abgeschlossene, offene Punktmengen. Sei R9 ein metrischer Raum, der den nun zu erörternden Begriffsbildungen zugrunde gelegt ist. Sei 9 eine Punktmenge, {a"} eine Punktfolge, a ein Punkt von S. Der Punkt a heißt ein Häufungspunkt der Menge 2, wenn es in % einen abzählbaren Teil a, a...,,... gibt, so daß: lim a' = a; er heißt ein Häufungspunkt von {a"}, wenn es in {a,} eine Teilfolge {an } gibt, so daß: lim a, =a. =' O= Eine Punktmenge heißte) kompakt, wenn jeder ihrer unendlichen Teile (und mithin jede aus ihr herausgegriffene Punktfolge {a"}) mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Jeder Teil einer kompakten Menge ist kompakt. Satz I. Damit die Punktfolge {aj} der kompakten Menge [ einen Grenzpunkt besitze: lim a — a, ist notwendig und hinreichend, daß {a,} einen einzigen Häufungspunkt besitze. Die Bedingung ist notwendig3). In der Tat, ist lim a, ==a, so auch für jede Teilfolge {as}: lima, = a. 1) Hierauf hat zuerst M. Fr6chet hingewiesen, Rend. Pal. 22 (1906), 5. Vgl. auch H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 247. 2) Nach M. Fr6chet, Rend. Pal. 22 (1906), 6. 3) Dies gilt auch, wenn % nicht kompakt ist.

Kap. I, ~ 2. Kompakte, abgeschlossene, offene Punktmengen. 59 Die Bedingung ist hinreichend1). In der Tat, da kompakt, besitzt {a} gewiß einen Häufungspunkt a. Angenommen nun, es sei nicht lim a = a. n-o Dann gibt es ein Q>O, so daß: r (an, a)> Q für unendlich viele n, d. h. es gibt in {a,} eine Teilfolge {a"}, so daß (0) r (a,)>Q für alle v. Da % kompakt, hat {a, } und somit auch {a"} einen Häufungspunkt, der wegen (0) nicht der Punkt a sein kann. Damit ist Satz I bewiesen. Satz II. Damit eine Punktmenge 91 des euklidischen 9k kompakt sei, ist notwendig und hinreichend die Existenz einer endlichen Zahlp, so daß für allePunkte (x, x2,..., xk) von 2): lx.~lp (n= 1, 2,... ). Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie sei nicht erfüllt. Es gibt dann in 9f zu jedem v einen Punkt: a?, = (xl, Xv,,. ~., xk, v), für den mindestens eine der Ungleichungen ( ~) |\~Xn,^I _" V (n 2,,..., k) gilt. Wir werden nun zeigen, daß die Folge {a"} keinen Häufungspunkt besitzt. Angenommen, es wäre a Häufungspunkt von {(a}. Es gäbe dann in {a"} eine Teilfolge {an}), so daß (**) lim an" =- a. v= 00 Wir bezeichnen mit r, und r die Abstände der Punkte an, und 1) Hierfür kann die Voraussetzung, 91 sei kompakt, nicht entbehrt wer1 den. Beispiel im 9S: Ist a2 = 1_-, a -=n, so hat {an} nur den Häufungspunkt 0, ist aber nicht konvergent. Dieser Unterschied zwischen dem S1 und der Menge aller reellen Zahlen (Einleitung ~ 6, Satz VIII) rührt daher, daß wir zu dieser letzteren Menge die Zahlen oo, - oo mitrechnen, denen im 9Rl keine Punkte entsprechen. 2) Eine solche Punktmenge des DRk wird vielfach auch als beschränkt bezeichnet.

60 Punktmengen. a vom Nullpunkte. Aus (*) folgt: (***) lim r = + o. = 00 Andrerseits aber ist wegen (**) für fast alle v r (an., a)< 1 i, und mithin wegen der Dreiecksungleichung: r, r+ 1, im Widerspruchle mit (***). Damit ist die Behauptung bewiesen. Die Bedingung ist hinreichend. Wir beweisen dies durch Induktion. Für k 1, d. h. im 9~i trifft die Behauptung zu nach Einleitung ~ 6, Satz II. Wir nehmen an, sie treffe im - k_ zu, und haben zu zeigen, daß sie dann auch im ik gilt. Sei 9 eine Punktmenge des 97, die der Bedingung von Satz II genügt, und sei 23 ein unendlicher Teil von 9. Für mindestens einen der Indizes n 1,2,...,k bilden die n-ten Koordinaten x, der Punkte von B eine unendliche Zahlenmenge. Wir können ohne weiteres annehmen, dies sei für n- 1 der Fall. Die Projektion von 3 in den k_ - der Punkte-(x1, x2-..., xk_-l)ist dann gleichfalls eineunendliche Punktmenge i, die daher nach Annahme mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Es gibt also in C eine Folge unendlich.vieler verschiedener Punkte (x1,, xz2,..., x k -k1, ), die einen Grenzpunk t (x-, x2,... Xk-i) besitzen. Nach ~ 1, Satz VI ist dann: (0) limX,, -=lz (n =1,2,.., k-). v = Zu jedem Punkte (xi,,;, x2,,..., xk-l,v) gibt es in!S mindestens einen Punkt (x1,,, x2,.,..., Xk, ). In der Folge {xk,v} gibt es (Einleitung ~6, Satz II) eine konvergente Teilfolge {xk,,}: lim'xk, i =X k, und da nach Voraussetzung die Folge {xk,v} beschränkt ist, so ist xk endlich. Wegen (0) ist aber auch: lim n i= x (n -1,2,.., k- 1). Die Folge der unendlich vielen verschiedenen Punkte (xl,, x 2, v,,', Xak,yi) aus 5 hat daher (~ 1, Satz VI) den Grenzpunkt (x, 2..., k), der mithin ein Häufungspunkt von B ist. Damit ist Satz II bewiesen. Eine Punktmenge % (ebenso eine Menge reeller Zahlen) heißt abgeschlossen, wenn sie jeden ihrer Häufungspunkte (bzw. Häu

Kap. I, ~ 2. Kompakte, abgeschlossene, offene Punktmengen. 61 fungswerte) enthältl). Ein Teil 9 von S2 heißt abgeschlossen in 3, wenn er jeden seiner zu 3 gehörigen Häufungspunkte enthält2). Das Komplement einer abgeschlossenen Menge heißt eine offene Menge3). Das Komplement zu S eines in e abgeschlossenen Teiles von 3 heißt offen in 3 4). Satz IIIa. Ist 92 abgeschlossen in e, und ist 3 abgeschlossen, so ist auch SC abgeschlossen. Sei in der Tat 911 die Menge aller Häufungspunkte von 5W. Da % Teil von 23, ist jeder Häufungspunkt von % auch Häufungspunkt von S, und, da e abgeschlossen, auch Punkt von 8: (1) 1 Da 1 abgeschlossen ist in B, so ist: (2) 1 -Wegen (1) aber ist: also wegen (2): d. h. X ist abgeschlossen, wie behauptet. Satz IIIb. Ist 91 offen in B, und ist 53 offen, so ist auch 5 offen. In der Tat, wir haben zu zeigen, daß 9i - % abgeschlossen ist. Nun ist: (3) - =(- (- ). Jeder Häufungspunkt von 91 -C ist also Häufungspunkt von S1- S8 oder von 3 - -1. Da S3 offen, ist 91- 3 abgeschlossen; 1) Dieser Begriff rührt her von G. Cantor. Beispiel: Jede endliche (auch die leere) Menge ist abgeschlossen. Jedes abgeschlossene Intervall des 9k, ist abgeschlossen. Der 9k selbst ist abgeschlossen. - Der Begriff "abgeschlossen" drückt, ebenso wie der Begriff "kompakt", eine Beziehung einer Punktmenge 9S zu dem sie enthaltenden Raume 91 aus. Ist hingegen 92 kompakt und abgeschlossen, so ist dies, wie H. Tietze bemerkte (Math. Zeitsehr. 5 (1919), 288) eine innere Eigenschaft von 91, d. h. eine Eigenschaft, die der Menge 1 zukommt ohne Rücksicht auf den Raum 91, in dem sich 9 befindet. 2) F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 240. Beispiele im 91,: Das Intervall (0, 4] ist nicht abgeschlossen, wohl aber abgeschlossen in (0, 1). 3) Nach C. Carath6odory, Vorl. über reelle Funktionen, 40. (Auch H. Lebesgue bezeichnete schon gelegentlich eine solche Menge als "ensemble ouvert": Ann. di mat. (3) 7 (1902), 242). Vorher war für diese Punktmengen die Bezeichnung ~Gebiet" in Gebrauch, die wir (~ 5, S. 85) anders verwenden werden. Beispiele offener Punktmengen: Jedes offene Intervall des Rk, der 9k selbst. 4) Beispiel im 91,: Das Intervall [0, }) ist nicht offen, wohl aber offen in [0, 1].

62 Punktmengen. jeder Häufungspunkt von 91- 83 gehört also zu 9 - S, und damit zu 91.-. Jeder Häufungspunkt von 8 - 9 gehört entweder zu 91 -, und damit zu 9 -91, oder er gehört zu 53, und dann, da 3- 9 abgeschlossen in 23, zu 83- f, und damit nach (3) wieder zu 1 - 9. Jeder Häufungspunkt von 9 - 91 gehört also zu 91 - 9, d. h. 91t- 9 ist abgeschlossen, und Satz IIIb ist bewiesen. Satz IV. Die Vereinigung endlich vieler (in 83) abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen (in B). Da jeder Teil eines metrischen Raumes selbst ein metrischer Raum ist, beschränken wir die Allgemeinheit nicht, wenn wir - = 9 setzen. Sei also: und sei jede der Mengen (x) 1 2,''W zu abgeschlossen. Ist a Häufungspunkt von S9, so gibt es in 91 eine Folge zu je zweien verschiedener Punkte {a}, so daß: lim a,= a. Mindestens eine der Mengen (X) muß unendlich viele an enthalten, etwa '. Dann ist a Häufungspunkt von 91, und, weil 9i abgeschlossen, in 9, und mithin in 9 enthalten. Also ist 91 abgeschlossen, wie behauptet. Satz V. Der Durchschnitt endlich vieler (in 8) offener Mengen ist offen (in B3). In der Tat, sei wo 91 (i =, 2,... k) offen in 93, und mithin 9 - 91 abgeschlossen in 3. Nach Satz IV ist auch: (0-ß 1) +(- 3 )+W +08 —Ük) abgeschlossen in 3, und da: t3 8- 992 *... =(k )+ ( - )( 91 *+ (E ) so ist 9 offen in 3, wie behauptet. Satz VI. Der Durchschnitt endlich oder unendlich vieler (in 8) abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen (in 3). In der Tat, sei ) der Durchschnitt irgendwelcher abgeschlossener) ' Mengen 91. Da 1 Teil jeder Menge t9, so ist jeder Häufungspunkt von O auch Häufungspunkt jeder Menge 1,, gehört mithin zu jeder 1) Wir führen den Beweis wieder für 2 - 1.

Kap. I, ~ 2. Kompakte, abgeschlossene, offene Punktmengen. 63 Menge 92, und daher auch zu deren Durchschnitt Z. Also ist T abgeschlossen, wie behauptet. Satz VII. Die Vereinigung endlich oder unendlich vieler (in 23) offener Mengen ist offen (in 23). In der Tat, sei $8 Vereinigung irgendwelcher (in B) offener Mengen W; dann ist 23- 82 der Durchschnitt der (in 23) abgeschlossenen Mengen 2 - 2(, und somit nach Satz VI abgeschlossen (in 2). Also ist S8 offen (in 93) wie behauptet. Satz VIII. Ist {(}, eine monoton abnehmende Folge kompakter1), nicht leerer, abgeschlossener Mengen, so ist ihr Durchschnitt lim 2t, nicht leer2). Sei in der Tat a, Punkt von 9,, und mithin auch von, 2... 1,_n,. In der Folge {a,} gehören also zu jeder Menge W, fast alle Glieder. Da diese Mengen kompakt sind, hat {a,} einen Häufungspunkt a; da die 29, abgeschlossen sind, gehört a zu allen 92,, und mithin zu deren Durchschnitt, der also in der Tat nicht leer ist. Damit ist Satz VIII bewiesen. Satz IX. Sind 21, 2 zwei (nicht leere) fremde, abgegeschlossene Mengen, von denen wenigstens eine kompakt ist3), so ist r (W, 2) > O. Angenommen in der Tat, es wäre: r (2, 23)= 0, dann gäbe es a, in X, b, in 2, so daß: (t) r (an, b-) < ' Ist etwa S kompakt, so gibt es in {a)} eine konvergente Teilfolge (tt) lima, =a=, d.h. r(a", -a)< für fast alle v. (tt) lim a, —a, d.h. r(ana)< ü Aus (t) und (tt) folgt vermöge der Dreiecksungleichung für jedes n und fast alle v: (ttt) r (b,, a) <, d. h. lmn b, =a. 1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9,: Die Mengen,-,= [n, oo) sind abgeschlossen und monoton abnehmend; ihr Durchschnitt aber ist leer. 2) Vgl. Einleitung ~ 5, Satz XI. 3) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im R2: Sei 2 die x,-Achse: x2 = 0 und 3 die Hyperbel x x== 1. Dann ist r (2t, 3) = 0, und 29, 3 sind abgeschlossen, aber fremd.

64 Punktmengen. Da t und e8 abgeschlossen, lehren (tt) und (ttt), daß a zu S und 2 gehört; also sind %9 und 2 nicht fremd. Damit ist Satz IX bewiesen. Nach Satz VI und VII ist der Durchschnitt unendlich vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen, die Vereinigung unendlich vieler offener Mengen offen, nach Satz IV und V aber ist die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen, der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen offen. Hingegen wird im allgemeinen die Vereinigung unendlich vieler abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen, der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen nicht offen sein. Wir werden die Vereinigung abzählbar vieler (in 23) abgeschlossener Mengen eine a-Vereinigung (in 2), den Durchschnitt abzählbar vieler (in 82) offener Mengen einen o-Durchschnitt (in 2) nennen1). Jede (in S3) abgeschlossene Menge 9 ist gleichzeitig eine a-Vereinigung (in 3), jede (in 2) offene Menge S1 ist gleichzeitig ein o-Durchschnitt (in 2). In der Tat, man setze: 9=1- 4- +..+E+... bzw. 9 = 1... }^. w. wo alle - 21. Satz X. Ist 91 eine a-Vereinigung, so ist St-21 ein o-Durchschnitt und umgekehrt. Ist S2 eine a-Vereinigung in 3, so ist 238- ein o-Durchschnitt in 23 und umgekehrt. Da man in der zweiten Hälfte der Behauptung immer 3 als neuen metrischen Raum SR' zugrunde legen kann, genügt es, die erste Hälfte zu beweisen. Diese aber folgt unmittelbar aus: und der Tatsache, daß das Komplement einer abgeschlossenen Menge offen ist. Satz XI. Jede a-Vereinigung S (in 3) ist Grenze einer monoton wachsenden Folge (in 2) abgeschlossener Mengen. Sei in der Tat: wo die abgeschlossen (in ). Nach Einleitung 1, Satz I ist: wo die 9(, abgeschlossen (in 18). Nach Einleitung ~ l, Satz I ist: S =lim W; =n + 42 + -...'+. n= oo 1) Diese Mengen wurden zuerst eingehender betrachtet von W. H. Young, der sie als ordinary outer und inner limiting sets bezeichnet. Vgl. W. H. und G. Ch. Young, The theory of sets of points (1906), 63, 70, 235. Man verwechsle nicht den oben definierten Begriff,a-Vereinigung in SB", mit dem Begriff:,a -Vereinigung, die Teil von S3 ist".

Kap. I, ~ 3. Umgebungen. 65 Nach Satz IV ist?9I abgeschlossen (in ~5), und Satz XI ist bewiesen. Satz XII. Jeder o-Durchschnitt 9f (in 8) ist Grenze einer monoton abnehmenden Folge (in 33) offener Mengen. Dies ergibt sich aus Satz XI durch Bildung der Komplemente (in bezug auf e5). Satz XIII. Die Vereinigung abzählbar vieler a-Vereinigungen (in 8) ist eine a-Vereinigung (in 8). Der Durchschnitt abzählbar vieler o-Durchschnitte (in 3) ist ein o-Durchschnitt (in Q3). In der Tat, ist: und ^: 2,i + %Qn,2 + +. -f + *I so ist S[ die Vereinigung der abzählbar vielen Mengen 9,,,, (n, v 1,.2....). Analog für den Durchschnitt. Satz XIV. Der Durchschnitt endlich vieler a-Vereinigungen (in 3) ist eine a-Vereinigung (in 33). Die Vereinigung endlich vieler o-Durchschnitte (in 3) ist ein o-Durchschnitt (in 33). Sei in der Tat: 2= — 1~,...'~~, wo? (n = 1, 2,,.., k) eine a-Vereinigung. Nach Satz XI ist: Qf-=-lim92,;,, -<,, +1, V = 00 wo die 2,1, abgeschlossene Mengen bedeuten. Ist n eine gegebene der Zahlen 1, 2,..., k, so gehört jeder Punkt von S9 zu fast allen 9,,,, und damit zu fast allen Men'gen: % — =?I,. Sf~,.....?%, S*,. und da umgekehrt jedes 83 -< 9, so ist: Nach Satz VI aber ist jede Menge $,3 abgeschlossen, womit die eine Hälfte von Satz XIV bewiesen ist. Analog beweist man die andere Hälfte. ~ 3. Umgebungen. Wir nennen jede offene Punktmenge, die den Punkt a, die (nicht leere) Menge 9f enthält, eine Umgebung von a bzw. von 2f, in Zeichen UI(a), 1 II(9)'. Ist 53 irgendeine Menge, so nennen wir den Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 5

66 Punktmengen. Durchschnitt von e und einer Umgebung von a (bzw. %) eine Umgebung in 53 von a bzw. 5 und verwenden auch für diesen Begriff die Symbole U (a), 1U(g). Lassen wir aus U (a) den Punkt a bzw. die Menge 25 weg, so entstehen die reduzierten Umgebungen (in 58), die wir mit U'(a), 11'(f) bezeichnen. Satz. Die Menge aller Punkte b des Raumes, deren Abstand von a (von 9S) der Ungleichung r(a, b)<e (r(, b)<e) genügt (q>O), ist eine Umgebung von a (von 5). Wir bezeichnen sie als die Umgebung Q von a (von 9X); in Zeichen: U(a;e) bzw. U(5; e). Es genügt, den Beweis für IU(f; Q) zu führen. Wir haben zu beweisen: das Komplement k von U (95; Q) ist abgeschlossen. Wäre k nicht abgeschlossen, so gäbe es einen Iläufungspunkt c von R in u( ); e): (*) r (2, c)< e. Da c Häufungspunkt von!, gibt es eine Punktfolge {c.) von S, so daß (**) lim c, - c; d. h. lim r (c, c)== 0. n=oo n= co Aus (*) und (**) folgt vermöge ~ 1, Satz IV: r(S, c")<q für fast alle n, was unmöglich ist, da c% zu R gehört, und mithin: r(, C,)Le ist. Damit ist Satz I bewiesen. SatzII. Die Menge aller Punkte b des Raumes, deren Abstand von a (von 91) der Ungleichung r(a, b) e (r(2, b)<Q) genügt (,o>O), ist eine abgeschlossene Menge. Wir bezeichnen sie als die abgeschlossene Umgebung o vona (von 2); in Zeichen: U (a; ) bzw. U(~; e). Wäre 11(9; Q) nicht abgeschlossen, so gäbe es einen Haufungspunkt c von IU(5(; Q) im Komplemente S von U(w9; e): r (, c)>Q; ferner gäbe es eine Punktfolge {c,} in U ([; Q), für die (**) gilt, und mithin:

Kap. I, ~ 3. Umgebungen. 67 r(S,, cj)>C für fast alle n, was unmöglich, da alle c, zu U(S9; 9) gehören. Damit ist Satz II bewiesen. Ist 3 irgendeine Menge, so werden die Durchschnitte: (a; )., U (a;;; 1 (; ). ( ); ).t als Umgebung Q (abgeschlossene Umgebung C) von a (von 9/) in 58 bezeichnet. Auch für diese Umgebungen in $ verwenden wir gelegentlich die einfachen Symbole U (a; p) usw. Läßt man aus einer dieser Umgebungen (in S) den Punkt a (die Menge %l) weg, so entstehen die entsprechenden, reduzierten Umgebungen, die mit U'(a; p) usf. bezeichnet werden. SatzIII. Ist 9 abgeschlossen und {,"} eine Folge positiver Zahlen mit lim ==O-0, so ist: (: ) (; O,)).n(; )... In (~; 2n).... Jede abgeschlossene Menge ist also Durchschnitt einer Folge offener Mengen (ein o-Durchschnitt). Wir setzen -: = u (~; e-) U(; o2)..... (; ) '... Dann ist offenbar (tt) -<. Sei nun a irgendein Punkt von T; da a dann auch Punkt von U (91; Q), so gibt es in 91 einen Punkt a", so daß: r(a, a )Ke" Wegen lim 1= 0 ist also: n= co liman —a, und da 2S abgeschlossen, gehört a zu 9/. Es ist also auch (ttt) -<, und (ft), (ttt) ergeben (-), womit Satz III bewiesen ist. Satz IV. Ist 1 offen, und ist {a,} eine Folge positiver Zahlen mit lim e =0, so ist, wenn U (9i - a; e = s gesetzt wird: (ttt) =( ) - ) _ ) ( -...-s) -.. Jede offene Menge ist also Vereinigung einer Folge abgeschlossener Mengen (eine a-Vereinigung). 5*

68 Punktmengen. In der Tat, es ist S - 9 abgeschlossen, mithin nach Satz,III: R — = u ( —; ) u (Ö —l t; 02).....U( — *; )'J... Dies ist aber völlig gleichbedeutend mit (t-t), und Satz IV ist bewiesen. Satz-V. Ist a Punkt der offenen Menge 2f, so gibt es ein o >0, derart, daß U(a; )) Teil von Xi. In der Tat, andernfalls gäbe es im Komplemente 9S-9 eine Punktfolge {a,}, so daß: r (ac, a) < — Es wäre also: lim in (a, a)= 0; d. h. limn a, = a. Mithin wäre a Häufungspunkt von S-1 f, ohne zu Si- f zu gehören. Das ist unmöglich, weil 91- als Komplement der offenen Menge 9t abgeschlossen ist. Damit ist Satz V bewiesen. Satz VI. Damit lim a,.-a sei, ist notwendig und hinreichend, daß in jeder Umgebung lU(a) fast alle a% liegen. Die Bedingung.ist notwendig; in der Tat, aus lim a = a folgt für jedes > 0: "=O r (a, a)< Q, d.h. aiL in 1U(a; Q) für fast alle n. Nach Satz V aber gibt es ein > 0, so daß Ul(a;1) Tel von U (a). Die Bedingung ist hinreichend; in der Tat, ist sie erfüllt, so liegen, da auch 1 (a;'-) eine Umgebung U (a) ist, für jedes Q> 0 fast alle a% in U(a; ); d.h. es ist: r(a, a) )<Q für fast alle n, d. h. es ist lim a aC, wie behauptet. In Analogie hierzu definieren wir: Eine Folge {91J} von Mengen, die den Punkt a (die Menge A) enthalten, zieht sich auf a (auf Vf) zusammen, wenn in jeder Umgebung 1I von a (von 2f) fast alle 91 liegen. Satz VII. Damit a Häufungspunkt der Menge 91 (der Folge {aa}) sei, ist notwendig und hinreichend, daß in jeder Umgebung UI(a) unendlich viele Punkte von 9f (unendlich viele Glieder von {a,}) liegen. Die Bedingung ist notwendig; denn ist a Häufungspunkt von 9W, so gibt es in %1 eine Folge verschiedener Punkte al mit lim aa. Nach Satz VI liegen sie fast alle in l (a). n=

Kap. I, ~ 3. Umgebungen. 69 Die Bedingung ist hinreichendl); denn ist sie erfüllt, so liegt gewiß in jeder reduzierten Umgebung 1U'(a) ein Punkt von 9I. Wir definieren eine Folge {b~} aus 91 durch die Festsetzung: 1. bl + a ein beliebiger Punkt von 91. 2. Ist b +} a gewählt, und ist: r(b, = -r(> 0), so bezeichne man mit o, die kleinere der beiden Zahlen r, und und wähle b,~+ in der reduzierten Umgebung U'(a;,p). Dann sind je zwei b, verschieden, und es ist: r (b, a)<-, daher lim b,-a, fl - M==C und es ist somit a Häufungspunkt von 91. Damit ist Satz VII bewiesen. Wir bezeichnen mit 91 die Menge aller Häufungspunkte von,1. Dann gilt: Satz VIII. Für jede beliebige Menge 91 ist die Menge 91 abgeschlossen. Sei in der Tat a ein Häufungspunkt von 91'; in jeder Umgebung U (a) gibt es dann (Satz VII) einen Punkt al von 11. Da nun al Häufungspunkt von s1, und 1 (a) auch eine Umgebung 12 (a1) ist, gibt es in U (a) (Satz VII) unendlich viele Punkte von 91. Es ist also a Häufungspunkt von 91, d. h. Punkt von 9'1. Also ist 921 abgeschlossen, wie behauptet. Ein dem Begriffe des Häufungspunktes ähnlicher Begriff ist der folgende2): Es heißt a ein Kondensationspunkt von 91, wenn in jeder Umgebung U1(a) ein nicht abzählbarer Teil von 91 liegt. SatzIX. Die Menge aller Kondensationspunkte von 91 ist abgeschlossen. Sei in der Tat 91 die Menge der Kondensationspunkte von 91 und a ein Häufungspunkt von 9*. -In jeder Umgebung lI(a) gibt es dann einen Punkt a* von 92*, und da U (a) auch eine Umgebung 1 (a*) ist, gibt es in U1(a) einen nicht abzählbaren Teil von A; also ist a Kondensationspunkt von 9C, d. h. Punkt von 91*. Also ist V91 abgeschlossen, wie behauptet. 1) Es ist, wie der Beweis zeigen wird, auch hinreichend, daß in jeder reduzierten Umgebung U'(a) mindestens ein Punkt von 9I (ein Glied von {a*,}) liegt. 2) Er stammt im wesentlichen von G. Cantor. Der Name rührt her von E. Lindelöf, Acta math. 29 (1905), 184.

70 Punktmengen. Wir betrachten nun die Vereinigung: (0) I= -1 und erkennen unmittelbar, daß sie abge schlossen ist. Wir nennen siel): die abgeschlossene Hülle von 2f. Zufolge (0) gehört ein Punkt a zu 520 dann und nur dann, wenn in jeder Umgebung U (a) mindestens ein Punkt von 9 liegt. Ist 95 abgeschlossen, so ist 1 9~; allgemein ist Wo die kleinste 91 enthaltende abgeschlossene Menge, denn es gilt: Satz X. Ist $ abgeschlossen und 9-<33, so ist auch In der Tat, sei a~ ein beliebiger Punkt von 1~0, wir haben zu zeigen, daß er auch zu 3 gehört. Zufolge (0) gehört a~ sei es zu 1 (und dann wegen 92-< 3 gewiß auch zu S3), sei es zu 91. Im letzteren Falle ist a~ Häufungspunkt von,, in jeder Umgebung U (a~) liegen daher unendlich viele Punkte von 91, mithin wegen 9l-< 3 auch unendlich viele Punkte von S3, d. h. a~ ist Häufungspunkt von 93, und weil 3 abgeschlossen, auch Punkt von 93. Damit ist Satz X bewiesen. Wir bilden das Komplement R9 - 91 und seine abgeschlossene Hülle (i - 91)0. Das Komplement hiervon: 9 -(9 -- 9)0 ist ein offener Teil von 91, den wir als den offenen Kern von 91 bezeichnen wollen. Er ist der größte offene Teil von W, denn es gilt: Satz XI. Sei t der offene Kern von 91. Ist 3 offen und 3-<95, so ist auch 33-<. In der Tat, es ist 9 —93 abgeschlossen und 91- 9-<91- S, daher auch (Satz X): ( R- )~ -< S - S, und somit durch Übergang zu den Komplementen: wie behauptet. Es ergibt sich nun vol selbst folgende Charakterisierung der in 3 abgeschlossenen und offenen Mengen: Satz XII. Damit 91 abgeschlossen (offen) sei in 3, ist notwendig und hinreichend, daß 52 der Durchschnitt von 3 und einer abgeschlossenen (offenen) Menge ist. Wir führen den Beweis für die abgeschlossenen Mengen. Für die offenen ergibt er sich dann durch Komplementbildung. 1) Nach C. Carath6odory, Vor]. über reelle Funktionen, 57.

Kap. I, ~ 3. Umgebungen. 71 Die Bedingung ist n otwendig. Ist in der Tat 91 abgeschlossen in e, so ist offenbar 9_ -91o. 9. Die Bedingung ist hinreichend. Denn sei: 91 =- (. 83 (( Abgeschlossen), und sei a ein zu 93 gehöriger Häufungspunkt von 91. Da 9-< (, ist a auch Häufungspunkt von (, und da ( abgeschlossen, auch Punkt von Q(. Und da der Punkt a zu 23 gehört, gehört er auch zu 3. (=-9, d. h. S9 ist abgeschlossen in 3, und Satz XII ist bewiesen. Sind 91, 3 irgendwelche Mengen, ist 91-<3, und ist 91~ die abgeschlossene Hülle von X9, so bezeichnen wir den Durchschnitt ~ -0.3, als abgeschlossene Hülle von 91 in t. Sie ist die kleinste 91 enthaltende, in 3 abgeschlossene Menge. Bedeutet k den offenen Kern von 91, so ist wegen 9 -<3 auch -< 3, und somit * S3 = k. Doch ist k keineswegs der größte in 93 offene Teil von 91). Diesen, d. h. die Vereinigung aller in 3 offenen Teile von 9S, die nach ~ 2, Satz VII selbst in e offen ist, bezeichnen wir als den in 93 offenen Kern von 91. Der Durchschnitt der abgeschlossenen Hülle der Menge S mit der abgeschlossenen Hülle des Komplements von 9S: mo.(Rt -- )o heißt die Begrenzung von 9. Sie ist gleichzeitig die Begrenzung von -- 9. Satz XIII. Die Begrenzung von 91 ist abgeschlossen. In der Tat, sie ist der Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen, daher auch selbst abgeschlossen. Aus der Definition der Begrenzung folgt unmittelbar: Satz XIV. Ist ( die Begrenzung von 91, so sind abgeschlossene Hülle und offener Kern von 9 gegeben durch: Wir nennen a einen inneren Punkt von 9, wenn es eine Umgebung U1(a) gibt, so daß: (*) U(a)-<. 1) Beispiel im R91: Sei 93 eine Gerade im 29 und 91 ein offenes Intervall dieser Geraden; dann ist R leer, obwohl % in 3 offen ist. Vgl. hierzu F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 242.

72 Punktmengen. Auf Grund dieser Definition ist jeder Punkt a einer offenen Menge fl ein innerer Punkt dieser Menge: man hat nur in (*) 11(a)= — zu se tzen. Nach Satz V gibt es zu jedem inneren Punkt a einer Menge 1f ein Q >, so daß: U (a; )< Im euklidischen 9k gibt es daher zu jedem inneren Punkt a von 9f ein a enthaltendes Intervall (a, a,..., ak; b,, b,..., bE) derart, daß: [a,, a, a, *; b-,,b2... bk -< tX. Satz XV. Jeder nicht zur Begrenzung y von 9f gehörige Punkt von 91 ist ein innerer Punkt von S9; d. h. (Satz XIV): der offene K'ern von f1 ist die Menge aller inneren Punkte von 1. In der Tat, nach Satz XIV gehört jeder nicht zu @ gehörige Punkt a von S2 zum offenen Kern von 2f, der eine in X enthaltene Umgebung U (a) ist. Also ist a innerer Punkt von 2f, wie behauptet. Wir definieren für jede Ordinalzahl a die c-te Ableitungl) 2f0 von 9 durch die Festsetzungen: 1. 91~ ist die abgeschlossene Hülle von 21. 2. Ist a > 0 keine Grenzzahl, so ist 1W die Menge aller Häufungspunkte von 91"-1. 3. Ist a Grenzzahl, so ist 1Ca der Durchschnitt aller 91f ( " < ). Nach Einleitung ~ 4, Satz XVIII ist hierdurch 2" für alle a definiert; denn es ist definiert für a=0O, und, falls für alle ß< a, so auch für c. Die 0-te Ableitung von 21 ist also die abgeschlossene Hülle von 91, die erste Ableitung 91 ist die Menge aller Häufungspunkte von 91, d. h. die Menge aller Häufungspunkte von 1. Satz XVI. Jede Ableitung 2" ist abgeschlossen. In der Tat, dies ist richtig für c=0. Angenommen es sei richtig für alle <c a. Nach Satz VIII ist es dann auch richtig für a, falls a keine Grenzzahl, und nach ~ 2 Satz VI, falls a Grenzzahl. Damit ist Satz XVI durch Induktion (Einleitung ~ 4, Satz XVIII) bewiesen. Satz XVII. Ist ca > c, so ist W91 -< 1a. In der Tat, dies ist richtig für ca -a,; angenommen es sei richtig für alle der Ungleichung aoc0 3<ca genügenden fl. Ist a keine Grenzzahl, so ist 29a die Menge aller Häufungspunkte von 9W-l, und somit gilt, da 1aL-1 abgeschlossen: DieAblie_______ 2in 1< c r~- -1 < sICo. 1) Die Ableitungen einer Punktmenge wurden eingeführt von G. Cantor.

Kap. I, ~ 3. Umgebungen. 73 Ist aber a Grenzzahl, so ist Qa als Durchschnitt aller 9 ( < a) wieder Teil von S9Io. Der Beweis, daß a < 9fao, ist damit durch Induktion erbracht. Satz XVIII. Ist 9f kompakt, so sind auch alle Ableitungen a" kompakt. Da nach Satz XVII: %F -< f0, genügt es zu zeigen, daß 90 kompakt ist. Sei eS irgendein unendlicher Teil von 9~ und b1, b,..., b,... ein abzählbar-unendlicher Teil von 93 (Einleitung ~ 2, Satz III); zu jedem bn gibt es in 9 ein a%, so daß: (1 ) r (a~ biB)<-. Da Sf kompakt, hat die Folge {aj} mindestens einen Hiäufungspunkt a, d. h. es gibt in ihr eine Teilfolge {a,,,}, so daß: (2) lima, = a, d. h. lim r (a, a) =0. Y =oo? -= oo Aus (1), (2) und der Dreiecksungleichung aber folgt: lim r (b, a) = 0, d. h. lim b =a. Es ist also a auch Häufungspunkt von 53, und Satz XVIII ist bewiesen. Gibt es unter den Ableitungen 9a eine leere, so gibt es nach Einleitung~ 4, Satz XI unter ihnen auch eine von kleinster Ordnung a, die leer ist. Diesbezüglich gilt: SatzXIX. Ist 9 kompakt, so ist die Ordnung a der ersten leeren Ableitung 91a keine Grenzzahl aus,. Sei in der Tat a eine Grenzzahl aus 32. Nach Einleitung ~ 4, Satz XVII gibt es dann eine Folge von Ordinalzahlen {(a}, so daß: a, < aC,,+1 und lim cta, = a. Nach Satz XVII ist dann: -'v - [ % a,.+l Da ferner, wenn p< c: ca, > für fast alle v., so ist der Durchschnitt aller fß (ß < a) identisch mit 91i. 1 S2... 9 a...., so daß: 91a -- 1. t......... Anwendung von Satz XVI, XVIII und ~ 2, Satz VIII lehrt, daß 29 nicht leer ist, und Satz XIX ist bewiesen,

74 Punktmengen. Ein Punkt a heißt ein äußerer Näherungspunkt der Mengenfolge {9(,}, wenn für jede Umgebung 1U(a) unendlich viele U(a)-. nicht leer sind, er heißt ein innererNäherungspunkt1) von {9X,}, wenn für jede Umgebung 1U(a) fast alle 1X(a)-.;, nicht leer sind2). Die Menge aller äußeren Näherungspunkte von 91n heißt die obere Näherungsgrenze von { 9}, die aller inneren Näherungspunkte die untere Näherungsgrenze von {9,n}. Sind obere und untere Näherungsgrenze von {91,} identisch, so heißen sie kurz: die Näherungsgrenze von {9Sn}. Die obere Gemeinschaftsgrenze (Einleitung ~ 1, S. 4) ist Teil der oberen, die untere Gemeinschaftsgrenze ist Teil der unteren Näherungsgrenze. Satz XX. Obere und untere Näherungsgrenze einer Mengenfolge {91n} sind stets abgeschlossen. Sei M die obere (untere) Näherungsgrenze von {9,, und a ein Häufungspunkt von (b. In jeder Umgebung 11(a) gibt es einen Punkt g von (M, und da U(a) auch eine Umgebung U1(g) ist, sind unendlich viele (fast alle) U(g)'9In- (a). 91, nicht leer, also gehört auch a zu O, und Satz XX ist bewiesen. Satz XXI. Sind alle 91, Teile derselben kompakten3) Menge 91, so ist die obere Näherungsgrenze von {91n} nicht leer. Sei in der Tat a, ein Punkt aus 91n; dann ist {a,} eine Punktfolge aus 91, die, da 91 kompakt ist, einen Häufungspunkt a hat; dieser gehört zur oberen Näherungsgrenze von {91n}. Damit ist Satz XXI bewiesen. Satz XXII. Ist 9, > 91, und zieht sich {9,} auf 91 zusammen (S.68), so ist 910 Näherungsgrenze von {91,C}. Sei a ein nicht zu 91~ gehöriger Punkt. Wir zeigen, daß er auch nicht zur oberen Näherungsgrenze von {91,} gehört. In der Tat, da er nicht zu 9 ~ gehört, ist: r (a, 9) > 0. Wir wählen ein e gemäß: <e < r (a, 9). Da fast alle 91, in U (91; e) liegen, kann a nicht äußerer Näherungspunkt von {9l,} sein, wie behauptet. Sei sodann a Punkt von 9~. Wir zeigen, daß er zur unteren Näherungsgrenze von { 9t,}gehört. In der Tat, es gibt in 9I eine Punktfolge {a,"} mit lim a = a. Da aber 9I1< 91n, ist an auch Punkt von 91,, und a ist innerer n= oo! Näherungspunkt von {91n}, wie behauptet. Damit ist Satz XXII bewiesen. Satz XXIII. Sind alle 9, Teile derselben kompakten4) Menge 9, ~) Diese Begriffe scheinen zuerst von P. Painleve betrachtet worden zu sein. Vgl. Encyclopedie des sciences mathematiques, tome II, vol. 1, 145. 2) Besteht jede Menge 9n, aus nur einem Punkt a~, werden äußerer und innerer Näherungspunkt von {9, } zu Häufungspunkt und Grenzpunkt von {a,}. 3) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden., Beispiel im 91t: Sei 9, das Intervall [n, n + l], dann ist die obere Näherungsgrenze von {91)} leer. 4) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9L: Sei 91, =[0, 1] + (n, n - 1). Dann ist [0, 1] Näherungsgrenze von {91}, aber {9,} zieht sich nicht auf [0, 1] zusammen.

Kap. I, ~ 4. Insichdichte, dichte, nirgends dichte Mengen. 75 ist 2n]> l, und ist W~ die Näherungsgrenze von {%1}, so zieht sich {,} auf 5 zusammen. In der Tat, andernfalls gäbe es ein e> 0 und eine stets wachsende Indizesfolge {n,}, so daß sich in 2fny ein nicht zu 1 (51; e) gehöriger Punkt an, findet. Da 5 kompakt, besitzt {an } einen Häufungspunkt, der gewiß nicht zu 1 ~, wohl aber zur oberen Näherungsgrenze von { 9 } gehört, entgegen der Annahme, es sei WO0 Näherungsgrenze von { I}. Damit ist Satz XXIII bewiesen. ~ 4. Insichdichte, dichte, nirgends dichte Mengen'). Jeden Punkt von 59, der nicht zugleich Häufungspunkt von 5 ist, nennen wir einen isolierten Punkt von 52. Sind alle Punkte von 5 isoliert (d. h. ist 52 mit 21' fremd), so heißt ei eine isolierte Menge2). Das Gegenstück zu den isolierten Mengen sind diejenigen Mengen 2, deren jeder Punkt ein Häufungspunkt von 21 ist; sie heißen insichdicht3). Während die abgeschlossenen Mengen charakterisiert sind durch: (1) 51-< sind die insichdichten Mengen charakterisiert durch: (2) -2-<l1. Aus der Definition folgt unmittelbar: Satz I. Die Vereinigung endlich oder unendlich vieler insichdichter Mengen ist insichdicht. Satz II. Der Durchschnitt einer offenen und einer insichdichten Menge ist insichdicht4). In der Tat, sei 5 insichdicht, 53 offen, und a ein Punkt von 5 23. Ist dann U (a) eine Umgebung von a, so ist auch 11 (a). 13 eine Umgebung von a, enthält mithin, da a Punkt und mithin Häufungspunkt von 52 ist, unendlich viele Punkte von 52. Da aber 1((a). 3 -<S3, gehören alle diese Punkte auch zu S und mithin zu St. s, also ist a auch Häufungspunkt von 91 *S, d. h. 5 215 ist insichdicht, wie behauptet. 1) Alle diese Begriffe stammen von G. Cantor, 2) Beispiel im 91,: Die Menge der Punkte 1, -, -..,,,...; oder die Menge der Punkte 1, 2,..., v,... 3) Beispiel im fSk: Jedes Intervall, oder die Menge aller rationalen Punkte des.: 4) Mit anderen Worten: eine in einer insichdichten Menge offene Menge ist insichdicht.

76 Punktmengen. Eine Menge, die zugleich abgeschlossen (in 3) und insichdicht ist, heißt perfekt') (in S). Perfekte Mengen sind also dadurch charakterisiert; daß für sie (1) und (2) gleichzeitig gilt, d. h. durch (3) = l1 Dies ist Spezialfall des Satzes: Satz III. Ist die Menge 91 perfekt, so gilt für alle ihre Ableitungen: i -- 91. In der Tat, dies ist richtig für a 0, weil 91 abgeschlossen. Angenommen, es sei richtig für alle < cc. Ist c keine Grenzzahl, so ist dann: 91"-1_ 9, und da 9"1 die erste Ableitung von 91a-1, unter Benutzung von (3): 911=. 91 Ist hingegen a Grenzzahl, so ist a91 Durchschnitt aller 9S/ (iß < cc), und da nach Annahme: si/ S-1 für < a, so ist also wieder 9a" — C. Damit ist Satz III durch Induktion bewiesen. SatzIV. Die abgeschlossene Hülle S91 (und somit jede Ableitung 91a) einer insichdichten Menge 91 ist perfekt. In der Tat, es ist stets: 0= 4- t + 1, also wenn 91 insichdicht, wegen (2): 90 =911, und da 91 auch die erste Ableitung von 91S, ist 910 perfekt, wie behauptet. Satz V. Die Vereinigung endlich vieler (in S) perfekter Mengen ist perfekt (in 38). In der Tat, dies folgt unmittelbar, aus Satz 1 und ~ 2, Satz IV. Nach Satz I ist die Vereinigung aller insichdichten Teile einer Menge 91 wieder insichdicht; wir nennen sie den:insichdichten Kern von 91. Der insichdichte Kern von 91 kann auch leer sein, dann heißt die Menge 91 separiert. Satz VI. Der insichdichte Kgrn k von 9 ist perfekt in 91. Insbesondere ist der insichdichte Kern einer abgeschlossenen Menge perfekt. 1) Beispiel im 9lk: Jedes abgeschlossene Intervall.

Kap. I, ~ 4. Insichdichte, dichte, nirgends dichte Mengen. 77 In der Tat, wir wissen schon, daß er insichdicht ist; bleibt zu beweisen, daß er abgeschlossen in 9 ist. Sei also a ein Häufungspunkt von!. Dann ist auch die Vereinigung von e mit a insichdicht, und mithin, falls a zu f gehört, ein insichdichter Teil von 2f, und als solcher Teil von t. Es gehört also a zu k, d. h. S ist abgeschlossen in sf, wie behauptet. Ist insbesondere 2 abgeschlossen, so ist also (~ 2, Satz IIIa) auch! abgeschlossen, und weil insichdicht, auch perfekt. Damit ist Satz VI bewiesen. Satz VII. Eine Menge o kann auf eine und nur eine Weise gespalten werden in einen separierten und einen in SS perfekten Teil. In der Tat, ist k der insichdichte Kern von 2, so ist durch (1) Sti +(^-A) eine solche Zerlegung gegeben. Bleibt zu beweisen, daß sie die einzige ist. Angenommen, es gäbe noch eine zweite: (2) 9-R + (t - s'). Da k' perfekt in 2f, also insichdicht, so ist nach Definition von A: (3),< Sei nun a irgendein Punkt von o - ~'. Da M& abgeschlossen in 2, gibt es eine zu A' fremde Umgebung l (a), und nach Satz II ist. lt (a) insichdicht. Da aber: k (a) -< fund - -' separiert, muß R. U (a) leer sein, d. h. kein Punkt von f- -' gehört zu R, oder: (4) <. Aus (3) und (4) aber folgt fl =-'; also sind die Zerlegungen (1) und (2) identisch, und Satz VII ist bewiesen. Die Menge 9t heißt dieht in S, wenn (*) < ( ), d. h. wenn jeder Punkt von S Punkt oder Häufungspunkt des Durchschnittes f. S ist. Eine Menge, die dicht in R ist, heißt überall dicht'). Satz VIII. Ist Sf-<5, so ist, damit X dicht in Q3 sei, notwendig und hinreichend, daß: (0) O=s3o0. 1) Beispiel inm 9k: Die Menge aller rationalen Punkte des k ist überall dicht; sie ist daher auch dicht in jedem Intervalle des 9k.

78 Punktmengen. Die Bedingung ist notwendig. Denn aus 91-<S folgt einerseits: (00) o < o0, andererseits: 91-3=- 91, und daher: (t)o=o o; also aus (*): 3 -< 1~, und, da 910 abgeschlossen, nach ~ 3, Satz X: (000) 93 -< o. Aus (00) und (000) aber folgt (0). Die Bedingung ist hinreichend. Denn aus 91-<03 folgt: 1 3 == 1, und daher: (t 3)0o = o Also aus (0): Eo_ (1 3)0, und da stets S-<S 3~, gilt (*). Damit ist Satz VIII bewiesen. Insbesondere folgt aus Satz VIII: Satz Villa. Es ist stets 9 dicht in 91~. Eine unmittelbare Folgerung aus der Definition des Begriffes ~dicht in einer Menge" ist der Satz: Satz IX. Ist S3 Vereinigung irgendwelcher (endlich oder unendlich vieler) Mengen 3, zu deren jeder eine in ihr dichte Menge 9l gegeben ist, so ist die Vereinigung S8 aller Mengen 91 dicht in 9S. Satz. X. Ist 91 dicht in S3 und abgeschlossen in 8, so ist 91 =3. In der Tat, weil 91 abgeschlossen in 93, ist: (?) ~<; o~_-<. Weil 9 dicht in $, ist: (tt) %< o, also bei Beachtung von (t): Zusammen mit (t) ergibt das: 1 ==3, und Satz X ist bewiesen. Satz XI. Ist 91 dicht in 9, und ist C offen, so ist 9 (S dicht in 3 (. Wir haben zu beweisen: S3 <( 1 a)o.

Kap. I, ~ 4. Insichdichte, dichte, nirgends dichte Mengen. 79 Sei b ein Punkt von ~ (; da er zu 3 gehört, und 91 dicht in S ist, so gehört er auch zu (2 3)~. In jeder Umgebung l (b) gibt es daher mindestens einen Punkt von 83. Da aber auch lI(b).eine Umgebung von b ist, gibt es auch in U (b). ( einen Punkt von A1 3, oder was dasselbe heißt: in U (b) gibt es einen Punkt von 23(. Also gehört b zu (2S 3( )o, und Satz XI ist bewiesen. Satz XII. Ist X dicht in $S, 93 dicht in J, und ist: 2<S -<(, so ist auch 92 dicht in (S. In der Tat, nach Satz VIII ist: sQ=tO 0 _60 und daher auch: WO __ o; wieder nach Satz VIII ist daher 2 dicht in (, wie behauptet. Satz XIII. Ist 52 dicht in S3, so auch in o3. In der Tat, ist 2 dicht in S, so ist auch 92 1 dicht in 23. Da aber (Satz VIIIa) 3 dicht in ~ und so lehrt Satz XII: S 23 ist dicht in ~0. Dann aber ist erst recht auch 2 dicht in S33, ünd Satz XIII ist bewiesen. Ein Punktmenge 21 heißt nirgends dicht in 23, wenn es keinen nicht leeren, in S offenen Teil 3' von 53 gibt derart, daß St dicht in 3' wäre. Eine Menge, die nirgends dicht in 9R ist, heißt kurz nirgends dicht'). Satz XIV. Damit 92 nirgends dicht in $8 sei, ist notwendig und hinreichend, daß es in jeder offenen Menge, die mindestens einen Punkt von 3 enthält, einen offenen Teil gebe, der gleichfalls einen Punkt von 82 enthält, und zu 523 fremd ist. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat 52 nirgends dicht in 58, und sei ( eine offene Menge, die einen Punkt von 38 enthält. Dann ist (3 eine nicht leere, in $ offene Menge, und es kann daher 21 nicht in ( 58 dicht sein, d. h. es gibt einen Punkt c von G93, der nicht zu (92IS3)~ gehört, und mithin eine Umgebung Ul(c), die keinen Punkt von eSn2 enthält. Dann ist (. lI(c) ein 1) Beispiel im 91: die Menge der Punkte 1, -,.., -,..., ebenso die Menge der Punkte 1, 2,..., v... ist nirgends dicht; sie ist auch nirgends dicht in jedem Intervalle des 91,.

8 0 Punktmengen. offener Teil von (, der einen Punkt von t, aber keinen Punkt von 2 3 enthält, und die Behauptung ist bewiesen. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen, sie sei erfüllt. Sei B3' eine beliebige, nicht leere, in S offene Menge; dann ist (~ 3, Satz XII): wo ( offen. Nach Voraussetzung gibt es also einen zu 2 S fremden, offenen Teil (S' von (, der einen Punkt b von B8 enthält. (' ist eine Umgebung U (b), die keinen Punkt von 2S 3 und mithin auch keinen Punkt von 2t' enthält. Also gehört b nicht zu (92S8')~, und mithin ist 91 nicht dicht in 3'. Also ist 91 nirgends dicht in 3, und Satz XIV ist bewiesen. Aus Satz XIV folgt unmittelbar: Satz XIVa. Ist 91 nirgends dicht in 23, so ist 3$-213 dicht in 3. Sei in der Tat b ein beliebiger Punkt von 23. Nach Satz XIV gibt es in jeder Umgebung 1U(b) einen Punkt von 93-2S 8, d. h. b gehört zu (t —123)~; also ist 3 <(8 -5193)~, und Satz XIVa ist bewiesen. Satz XV. Ist 52-<3, und ist 21 nirgends dicht in 3, so ist au.ch die abgeschlossene Hülle 1~o nirgends dicht in 3. In der Tat, sei (E eine offene, zu 3 nicht fremde Menge. Nach Satz XIV gibt es in ihr einen offenen, nicht zu 83, wohl aber zu 21 23 fremden Teil (S'. Weil 92-< 3 ist, ist dann (S' auch fremd zu 52 und mithin auch zu 1~o. Nach Satz XIV ist also auch 21~ nirgends dicht in S2, und Satz XV ist bewiesen. Satz XVI. Ist 91 nirgends dicht in 2, so auch in jeder in 33 offenen Menge 3'. In der Tat, wir haben zu zeigen: ist 23" eine nicht leere, in 3' offene Menge, so ist 91 nicht dicht in 23". Nun ist jede in 23' offene Menge auch eine in S offene Menge1), also ist 92, weil nirgends dicht in 3, wirklich nicht dicht in 3", und Satz XVI ist bewiesen. Satz XVII. Jeder Teil einer in 3 nirgends dichten Menge ist nirgends dicht in 23. Insbesondere: der Durchschnitt endlich oder unendlich vieler in 2 nirgends dichter Mengen ist nirgends dicht in 23. 1) In der Tat es ist: wo (, (' offene Mengen. Also wo (~ 2, Satz V) auch (PS' offen.

Kap. I, ~ 4. Insichdichte, dichte, nirgends dichte Mengen. 81 In der Tat, dies folgt unmittelbar aus der Definition des Begriffes "nirgends dicht in 8 ". Satz XVIII. Die Vereinigung endlich vieler in 58 nirgends dichter Mengen is,,..,.. ist nirgends dicht in 8. Sei in der Tat i( irgendeine offene Menge, die mindestens einen Punkt von S3 enthält. Weil 91, nirgends dicht in 58, gibt es (Satz XIV) einen zu 91 3 fremden, offenen Teil (, von (, so daß 58 S nicht leer. In (, gibt es einen zu S2 S fremden offenen Teil (2, so daß (S2 8 nicht leer usf. für n- 1, 2,..., k. Dann ist (k ein zu (91 + W92+... +- ) fremder offener Teil von (E, für den k5 2 nicht leer ist. Also ist nach Satz XIV 1 -,- 3 -... ~ 1k nirgends dicht in 8, und Satz XVIII ist bewiesen. Die Vereinigung unendlich vieler in 5 nirgends dichter Mengen kann sehr wohl in S dicht sein'). Wir definieren: Ist {1,} eine Folge von Mengen, deren jede in 5 nirgends dicht ist, so heißt die Vereinigung 1 + -9-... *,... *von erster Kategorie in 582). Eine Menge, die nicht von erster Kategorie in 8 ist, heißt von zweiter Kategorie in 23. In einer abzählbaren insichdichten Menge ist jede Menge von erster Kategorie. Aus der Definition folgt unmittelbar: Satz XIX. Ist 1y von erster Kategorie in 5, so auch jeder Teil von 91. Satz X-X. Die Vereinigung abzählbar vieler Mengen erster Kategorie in 5 ist von erster Kategorie in 3. In der Tat, sei = + + * *+,+ '.., worin: = n, t +,2 + * * +, i + * * n und jedes 9n,i sei nirgends dicht in 3. Dann ist 9 die Vereinigung aller %n,i, und da dies abzählbar viele sind (Einleitung ~ 2, Satz VIII), so ist 9 von erster Kategorie in 5, wie behauptet. Satz XXI. Ist 91 von erster Kategorie in 5, so ist 9A Vereinigung einer monoton wachsenden Folge in S5 nirgends dichter Mengen. 1) Beispiel im 9k: Sei al a2.., an,... die Menge aller rationalen Punkte des 9ik (~ 1, Satz II) und 9.n die Menge: deren einziges Element an ist. Dann ist 9n, nirgends dicht, 94-+91, +-...-j-9n-,-.. hingegen überall dicht. 2) Dieser Begriff wurde eingeführt von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 67. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I, 6

82 Punktmengen. In der Tat, nach Voraussetzung ist: ^ = ^+$ t-n 4.. q - wo 9, nirgends dicht in 53. Wir ersetzen nach Einleitung ~ 1, Satz I die Folge {5Q} durch die monoton wachsende {5j}, wo: Nach Satz XVIII ist auch 5n nirgends dicht in 8, und Satz XXI ist bewiesen. Satz XXII. Ein abzählbarer Teil von 9152f1 ist stets von erster Kategorie in 51. In der Tat, ein abzählbarer Teil von 51 51 ist Vereinigung abzählbar vieler Mengen, deren jede aus einem.einzigen, nicht isolierten Punkte von 91 besteht, und mithin nirgends dicht in 51 ist. ~ 5. Zusammenhängende Mengen. Eine Menge 9% heißt zusammenhängend'), wenn sie nicht Summe zweier nicht leerer, in 95 abgeschlossener Teile ist2). Jede nur aus einem einzigen Punkte bestehende Menge ist nach dieser Definition zusammenhängend. Satz 1. Gehören je zwei Punkte von 91 einem zusammenhängenden Teile von 51 an, so ist 21 zusammenhängend. Angenommen in der Tat, 51 wäre nicht zusammenhängend: (0) 5=5 +5, wo 58, 32 abgeschlossen, 918, 5182 nicht leer. Sei a, ein Punkt von 53, a,2 ein Punkt von 51 32. Ist 51' ein a, und a2 enthaltender Teil von 91, so ist: wo 5/' 583, 5' 3 nicht leer und in 95' abgeschlossen. Also kann 51' nicht zusammenhängend sein, entgegen der Annahme. Damit ist Satz I bewiesen. Satz II. Die Vereinigung zweier nicht fremder zusammenhängender Mengen 51', 95" ist zusammenhängend. 1) Die folgende Definition findet sich bei F. Hausdorff (Grundzüge der Mengenlehre, 244), dessen Darstellung wir uns anschließen. Vgl. auch N. J. Lennes, Am. Journ. 33 (1911), 303. a) So ist z. B. im 3il die Menge 5l aller rationalen Punkte nicht zusammenhängend; denn ist 59i die Menge aller rationalen Punkte <V2, w52 die Menge aller rationalen Punkte > V2, so ist 52f und 25f in 51 abgeschlossen und - == q- WJ.

Kap. I, ~ 5. Zusammenhängende Mengen. 83 Angenommen in der Tat, es sei: nicht zusammenhängend, so daß wieder (0) gilt. Wir setzen: (00) += 1 + + t,. Sei a ein Punkt von 9'W"; er gehört zu O, oder zu 2, etwa zu e1; er gehört also zu;2'21 und zu 5I"-. Da 1 23 = 51'2, 2+ 9 2 nicht leer ist, ist auch sei es 1' 2, sei es S"t," nicht leer; etwa 91'$S. In der ersten Gleichung (00) sind also beide Summanden nicht leer, und es wäre somit 1' nicht zusammenhängend, entgegen der Voraussetzung. Damit ist Satz II bewiesen. Satz III. Die Vereinigung 3 endlich oder unendlich vieler zusammenhängender Mengen 21, die zu je zweien nicht fremd sind, ist zusammenhängend. Seien in der Tat a", a2 zwei verschiedene Punkte von 3. Jeder gehört zu mindestens einer Menge 91, etwa al zu 91, a2 zu 2. Nach Satz II ist 51- + 92I ein zusammenhängender Teil von 8, der ai und a, enthält, also ist nach Satz I 3 zusammenhängend, wie behauptet. Wir sagen, zwei Punkte a, a' von 91 seien in 91 durch eine Q-Kette verbunden, wenn es in S1 eine endliche Punktfolge: a =a,, a2, *..., ak-1, ah-a gibt, so daß: r (a-, a,) (,2,...k). Satz IV. In einer zusammenhängenden Menge sind, wenn Q>0 beliebig gegeben, je zwei Punkte a', a" durch eine Q-Kette verbunden. Angenommen in der Tat, es gäbe in 9 zwei nicht durch eine - Kette verbundene Punkte a', a". Sei 1' die Menge aller mit a' durch eine Q-Kette verbundenen Punkte von 9. Weder 9' noch 1- 1' sind dann leer, und es ist: (*) r (', W1- W)>_; denn sonst gäbe es a in 91', a in 91 — ', so daß: r (a, e)<, und es wäre, ebenso wie a, auch a durch eine Q-Kette mit a' verbunden, was nicht der Fall ist, da a in 9 1-1'. Wegen (*) ist nun kein Punkt von 91' Häufungspunkt von 5- 91' und umgekehrt, es sind also 91' und 1- 1' abgeschlossen 6*

84 Punktmengen. in Wf, und die Zerlegung besagt, daß S9 nicht zusammenhängend ist. Damit ist Satz IV bewiesen. Satz V. Ist 91 kompakt und abgeschlossen1), und sind für jedes Q>0 je zwei Punkte von f verbunden durch eine e-Kette in 9, so ist 9/szusammenhängend. Angenommen, S9 sei nicht zusammenhängend; es gäbe dann eine Zerlegung: wo 91, 9f nicht leer und in 9f abgeschlossen; da aber 9 selbst abgeschlossen, sind dann auch 91, f2 abgeschlossen (~ 2, Satz IIIa). Nach ~ 2, Satz IX ist also: r(Q, 2)>o, und für g < r (91, 9/f) ist kein Punkt von %S mit einem Punkte von 9W durch eine Q-Kette in 9 verbunden, entgegen der Annahme. Damit ist Satz V bewiesen. Satz VI. Enthält eine zusammenhängende Menge 9f einen Punkt von $ und einen Punkt von -- 3, so enthält sie einen Punkt der Begrenzung von B3. In der Tat, setzen wir:. 3-0- g, -. (S9- e)~- 2, so sind f1 und 92 nicht leer und abgeschlossen in 9/. Da 2 zusammenhängend, sind also 91 und f.2 nicht fremd; es sind daher 9. 30~ und 5.( R-S )0 nicht fremd, d.h. es gibt einen Punkt von 92, der zu 2~ (9R- S3)~ gehört, das aber ist die Behauptung. Satz VII. Jedes Intervall, des S1 ist zusammenhängend. Seien in der Tat a =(al, a,..., ak), b (b, b2..., bk) zwei Punkte von 3. Unter der Strecke ab verstehen wir die Menge aller Punkte, deren Koordinaten gegeben sind durch: x___ a + A (, — a), 0 < i < 1. 1) Keine dieser beiden Voraiussetzungen kann entbehrt werden. Beispiel im st1: W (0, 1), 1 =. 2). Beispiel im S*: 2/ die xl-Achse, W2 die Iyperbel 1 x x= 1. In beiden Fällen ist /, + -= / nicht zusammenhängend, obwohl je zwei Punkte durch eine -Kette in g[ verbunden sind, lm ersten Beispiel ist 9S kompakt, aber nicht abgeschlossen, im zweiten abgeschlossen aber nicht kompakt.

kap. I, ~ 5. Zusammenhängende Mengen. 85 Diese Strecke ist offenbar kompakt, abgeschlossen und Teil von 3. Der Abstand der beiden Punkte 2' und /" auf ihr ist gegeben durch: - 'i V( - a,)2 + (b, - a,)2 +... + (b, - 2 Ca. 1 2 s o _ Betrachtet man auf ihr die Punkte 2=0, —,,,, so stellen sie, wenn > 0 beliebig gegeben, für fast alle, eine a und b verbindende o-Kette in ab dar. Also ist (Satz V) ab zusammenhängend. Daher (Satz 1) auch 5, womit Satz VII bewiesen. Satz VIII. Im 89k hat jede zusammenhängende Menge 91, die mehr als einen Punkt enthält, die Mächtigkeit c. Seien in der Tat a-(a, az,... a b), =(b ^ zwei verschiedene Punkte von 9I. Da nicht durchweg a - b, sein kann, können wir immer annehmen a1 < b1. Ist dann a1 < c < b, und ist 8 die Menge aller Punkte des 9ik, für die x c, so folgt aus Satz VI, daß 2f einen Punkt mit x = c enthält; da dies für alle c aus (a", b) gilt, und es deren c gibt, so ist Satz VIII bewiesen. Satz IX. Ist 92 zusammenhängend, und ist so ist auch 98 zusammenhängend. In der Tat, sei: ((5, ~2 abgeschlossen) eine Zerlegung von 53 in zwei nicht leere, in 83 abgeschlossene Teile. Dann ist: (0) + eine Zerlegung von ü9 in zwei in I2 abgeschlossene Teile; weder 91f noch?91 ist leer; denn wäre 91t leer, so wäre 91 ^-< 2, und nach ~ 3, Satz X auch 9~-< <, mithin auch 3 -< ~( und Q8 (&x leer, gegen Annahme. Die Formel (0) würde also besagen: 91 ist nicht zusammenhängend, gegen die Voraussetzung. Damit ist Satz IX bewiesen. Eine abgeschlossene, zusammenhängende Menge, die nicht aus nur einem Punkt besteht, heißt ein Kontinuum; eine offene, zusammenhängende Menge heißt ein Gebiet'). Satz X. Im 9k ist jedes abgeschlossene Intervall ein 1) Nach C. Carath6odory, Vorlesungen über reelle Funktionen, 208, 222.

86 Punktmengen. Kontinuum, jedes offene Intervall ein Gebiet. Im 9i ist auch umgekehrt jedes Gebiet ein offenes Intervall. In der Tat, die erste Hälfte der Behauptung folgt unmittelbar aus Satz VII. Was die zweite anlangt, so sei 9 ein Gebiet im 9t,; seien a und b obere und untere Schranke (Einleitung, ~ 5, S. 30) von 9; dann ist, da 1 als offene Menge nicht aus einem einzigen Punkte bestehen kann: b >a. Wir behaupten, es ist: = (a, b). Sei in der Tat c ein Punkt aus (a, b). Ist 3 die Menge aller x c, so hat 59 sowohl mit S3 als mit 9S - e einen Punkt gemein, und aus Satz VI folgt, daß 5 den einzigen Begrenzungspunkt c von 5S enthalten muß. Damit ist die Behauptung bewiesen. Satz XI. Besteht die zusammenhängende Menge 5 nicht aus nur einem Punkte, so ist sie insichdicht. Jedes Kontinuum ist daher perfekt. Angenommen in der Tat, a sei ein isolierter Punkt von 91, und 21 sei die nur aus a bestehende Menge. Dann sind 2/ und SC - 9, nicht leer und abgeschlossen in 91, und wegen wäre 21 nicht zusammenhängend. Also ist 9/ insichdicht. Ist 52, obendrein abgeschlossen, so ist es daher auch perfekt. Damit ist Satz XI bewiesen. Ein Teil 5' einer beliebigen Menge 9 heißt eine Komponente von 5, wenn 1. 9' zusammenhängend ist und 2. jeder zu 59' nicht fremde, zusammenhängende Teil von 52 auch Teil von 52' ist. Satz XII. Jeder Punkt von 52 gehört einer und nur einer Komponente von 52 an. Sei in der Tat a ein Punkt von 52. Wir bilden die Vereinigung S'F aller a enthaltenden zusammenhängenden Teile von 91. Nach Satz III ist 5' zusammenhängend. Offenbar ist S2' eine Komponente von 52. Denn sei S ein zu 91' nicht fremder zusammenhängender Teil von S5. Nach Satz II ist dann 2' +- ein a enthaltender zusammenhängender Teil von 21, und mithin nach Definition von W': 9' - -< A', daher S-< 2 '. Also ist 5' Komponente von 59. Dieselbe Argumentation zeigt, daß jede Komponente S von S2, die zu ' nicht fremd ist, mit 5' identisch ist. Damit ist Satz XII bewiesen.

Kap. I, ~ 5. Zusammenhängende Mengen. 87 Es folgt aus ihm unmittelbar: Satz XIII. Jede Menge 51 ist, und zwar nur auf eine Weise'), Summe von Komponenten. Satz XIV. Jede Komponente von X ist abgeschlossen in 1. In der Tat, sei 1' eine Komponente von S1 und a ein zu 9 gehöriger Häufungspunkt von i'. Würde er nicht zu 1' gehören, so würde, indem man ihn zu 91' hinzufügt, nach Satz IX ein zu 91' nicht fremder, zusammenhängender Teil SS von 1 entstehen, und es wäre nicht S-< 1', entgegen der Definition der Komponenten. Damit ist Satz XIV bewiesen. Darin ist als Spezialfall enthalten: Satz XV. Jede Komponente einer abgeschlossenen Menge besteht aus nur einem Punkte oder ist ein Kontinuum. Satz XVI. Im 9 ist jede Komponente einer offenen Menge ein Gebiet2). Es ist nur zu zeigen, daß jede Komponente 91' der offenen Menge S1 selbst offen ist. Sei a ein Punkt der Begrenzung von 91' und ein a enthaltendes offenes Intervall. Dann muß. auch Punkte von k — 1 enthalten; denn nach Satz II und VII ist 1' +4 zusammenhängend; wäre also 3-<1g, so wäre nach Definition der Komponenten 91'- -<S1', mithin auch 3-<59', entgegen der Annahme, a gehöre zur Begrenzung von 1'. Da also S Punkte von 9, - 91 enthält, ist a Punkt der Begrenzung von 91, und da 91 offen, gehört a nicht zu 91, daher auch nicht zu W1', d. h., 1' ist offen. Damit ist Satz XVI bewiesen. Satz XVII3). Ist {gn} eine Folge zusammenhängender Mengen, die alle Teile derselben kompakten Menge S1 sind4), und deren 1) D. h. ist 91 sowohl Summe der Komponenten X1' als auch Summe dei Komponenten 3', so ist jedes 1' ein 3', jedes S3' ein 51'. 2) Dies gilt nicht in jedem metrischen Raume. Wir wählen etwa für 91 die Vereinigung folgender Intervalle des t91: (- o, O], ) (n,,...) Der metrische Raum 91 selbst ist immer offen. Eine seiner Komponenten ist (- o, 0], und diese Komponente ist nicht offen, also kein Gebiet. 3) Vgl. L. Zoretti, Encycl. des sciences math. Tome II, vol. 1, 145. 4) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9,: Seien a, b, c, die Punkte: a =(-1,0), b=(1,0), c= (0, n), und sei 9s, die Vereinigung der Strecken: 11a C', + cu b.

88 Punktmengen. untere Näherungsgrenze nicht leer istt), so ist ihre obere Näherungsgrenze zusamm'enhängend2). Sei in der Tat a ein Punkt der unteren Näherungsgrenze, und sei (- die obere Näherungsgrenze. Nach ~ 3, Satz XX ist Q( abgeschlossen, und, weil < 9~, nach ~ 3, Satz XVIII auch kompakt. Wäre ( nicht zusammenhängend, so wäre: (*) (@=3 1 + -qS (W1, (S abgeschlossen, nicht leer). Da (, (M3 fremd, ist (~ 2, Satz IX): r ((,1 I 2) > 0. Sei: 0 <? < r((,( ), dann ist: (t) r[U (0; e), u ( _,; )] >Q Denn andernfalls gäbe es gl in U(1; e), g2 in 1 (02; e), so daß: (tt) r (g1, 9g2) < ' Es gäbe ferner gy' in Ei, g/' in e(, so daß: (tff$) r (gi', gi)< e; r (g2', g9) <. Aus (tt) und (tft) aber würde vermöge der Dreiecksungleichung folgen: r (g~', g2') < 3 e < r (e,,2), was unmöglich ist. Liegt der Punkt a der unteren Näherungsgrenze etwa in (S1, so sind fast alle 11 (Q1; e). 9f nicht leer; andrerseits sind unendlich viele U ((2; O) 9,i nicht leer. Es gibt also unendlich viele 9s~, die sowohl in 1 (~(; e) als in U (,2; e) Punkte haben; sie mögen die Teilfolge {89nv bilden. Sei an, in 9n.,, *U1({; Q) und a" in 91 *U ((2; 9). Nach Satz IV gibt es in 91 eine a' und a" verbindende o-Kette (o < ). Wegen (f)muß es in ihr einen Punkt a, außerhalb U ((1; e) + U(1 (; ) geben. Dann ist {a, } eine Punktfolge der kompakten Menge 91, besitzt also einen Häufungspunkt b. Da alle a,, in der abgeschlossenen Menge 91 - [UI ((1; e) -+ U (~2; e)] liegen, gilt dies auch für b. Das aber ist unmöglich, da b als Häufungspunkt von {a,n} zu (M gehört, und zufolge (*): << u11 (; e)+U (~2; Q). Damit ist Satz XVII bewiesen. Die obere Näherungsgrenze von { 91} besteht aus den Halbgeraden x= -l, y0 und x= l, y>0, und ist nicht zusammenhängend. 1) Auch diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9,: 2_~ —[0, 1]; ~2tL —[2, 3]. Die obere Näherungsgrenze von {9T } ist [0, 1] + [2, 3], also nicht zusammenhängend. 2) Da sie nach ~ 3, Satz XX auch abgeschlossen ist, ist sie also ein Kontinuum, oder besteht aus einem einzigen Punkte.

Kap. I, ~ 6. Das Borelsche Theorem. 89 ~ 6. Das Borelsche Theorem. Wir beweisen nun einige Sätze, die man kurz als Überdeckungssätze bezeichnen kann, und deren erster bekannt ist als das Borelsche Theoreml): Satz. Ist jedem Punkte a der kompakten, abgeschlossenen Menge 51 eine Menge 23 zugeordnet, von der a inncrer Punkt ist, so gibt es unter den Mengen S3a endlich viele: (*) S9i s(2) 3(k), so daß jeder Punkt von 2f innerer Punkt mindestens einer der Mengen (*) ist. Zum Beweise bilden wir zu jedem Punkte a von 51 die obere Schranke (a)) aller jener Werte von 9, für die U (a; Q) Teil mindestens einer Menge Sa ist. Nach Voraussetzung ist: ((a) > o. Wir behaupten: es gibt ein C >0, so daß für alle a von 21: (**) (a)> o >. Andernfalls gäbe es in 21- eine Folge {a"}, so daß: (*e*) lim L (a)= O. fl=,s Weil 91 kompakt ist, hat {a,} einen Häufungspunkt au; weil 2 abgeschlossen ist, gehört ao zu 21. Also ist: (ao)> o, und somit ist für jedes a von U (a%; (Ca)): e (a) > o (ao), im Widerspruch mit (***). Damit ist (**) bewiesen. Ausgehend von einem beliebigen Punkte a1 von 21 bilden wir U (a1; o). Liegt 91 nicht ganz in UI (a; 9p), so gibt es einen Punkt a2 von W1 außerhalb U (al; Co); wir bilden lU (a; Qo). Liegt 21 nicht ganz in U (a1; o) +- (a; eo), so gibt es einen Punkt a3 von 21 außerhalb dieser Vereinigung; wir bilden 1I(a3; Qo) usf. Nach endlich vielen Schritten müssen wir zu einer Punktfolge a, a2,..., ak aus 1 gelangen, so daß: (*) -< C:u (al; e)+ u (a2; eo) +- +u(a"; 2o)7 1) Es wurde, freilich in viel speziellerer Form, zuerst ausgesprochen von E. Borel, Ann. ec. norm. (3) 12 (1895), 51, und wurde seither, mehr oder minder allgemein, wiederholt bewiesen. In der Allgemeinheit von Satz I wurde es bewiesen von W. Groß, Wien. Ber. 123 (1914), 810.

90 Punktmengen. da es andernfalls in 2 eine Punktfolge {a}j gäbe, so daß für je zwei Punkte aus {a,}: r (a"t, "anp) >_ -o o entgegen der Annahme, daß 2 kompakt ist. Nach Definition von Qo gibt es nun unter den Mengen 9a eine, sie heiße B(t), so daß: U (ai QO) S(i) (qi= 1, 2,..., k). Aus (*) folgt aber daß jeder Punkt von 21 innerer Punkt mindestens einer der Mengen S(1), S(2),...,,(k) ist, und Satz I ist bewiesen. - Eine andere Formulierung von Satz I lautet: Satz II. Ist 21 kompakt und abgeschlossen, so gibt es unter unendlich vielen in 2 offenen Mengen, deren Vereinigung 21 ist, auch endlich viele, deren Vereinigung 91 ist. Wir bemerken noch, daß weder die Voraussetzung, 21 sei kompakt, noch die Voraussetzung, 1 sei abgeschlossen, zum Beweise von Satz I entbehrt werden kann. Sei in der Tat 2t nicht kompakt. Dann gibt es in 1 einen abzählbar unendlichen Teil (0) a a 2, a,..., a,... ohne Häufungspunkt. Zu jedem Punkte a von 21 gibt es dann eine Umgebung 1 (a), die - außer etwa a selbst - keinen der Punkte (0) enthält. Jeder der Punkte (0) kommt dann nur in einem einzigen U1(a) vor. Unter diesen 1U(a) gibt es daher gewiß nicht endlich viele, deren Vereinigung alle Punkte (0) enthält; also auch nicht endlich viele, deren Vereinigung 21 enthält. Sei sodann 2 nicht abgeschlossen. Es gibt dann in a eine Folge {aa} mit lim a, -- a, n= GO wo a nicht zu 92 gehört. Jeder Punkt von 91 ist dann innerer Punkt einer der Mengen 91- U (a; 1); aber es können nicht alle a, und mithin auch nicht ganz 21 in der Vereinigung endlich vieler Mengen - 11 (a; -) enthalten sein. Wir sehen also, daß für nicht kompakte, sowie für nicht abgeschlossene Mengen das Borelsehe Theorem nicht gilt. Um auch für solche Mengen ein ähnliches Theorem abzuleiten, müssen wir eine Voraussetzung hinzufügen: Wir nennen eine Menge separabel, wenn es eine in ihr dichte, abzählbare Menge gibt'). 1) Dieser Begriff rührt her von M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 23.

Kap. I, ~ 6. Das Boreische Theorem. 91 Dann können wir folgenden Satz beweisen, den wir als das verallgemeinerte Borelsche Theorem bezeichnen1): Satz III. Ist jedem Punkte a der separablen Menge 9 eine Menge 3a zugeordnet, von der a innererPunkt ist, so gibt es unter den Mengen 8a abzählbar viele: (-t) ),,..., ),... so daß jeder Punkt von X innerer Punkt mindestens einer der Mengen (t) ist. Sei in der Tat (tf ) a,,..., a,... ein in / dichter abzählbarer Teil von 2t. Ist nun a irgendein Punkt von 29, so gibt es, da a einerseits innerer Punkt von 3a ist, andrerseits in jeder Umgebung von a Punkte a, aus (ff) liegen, ein n und ein r, so daß a zu IU (a; 1) gehört und: Nach Einleitung ~ 2, Satz VIII ist aber die Menge aller 11 (a,; 1) (n, Y-1, 2,...) abzählbar; es gibt also auch unter den Sa abzählbar viele: (ttti ) eS(1) n 3() n...,.. so daß jeder Punkt von 29 innerer Punkt mindestens einer der Mengen (ttt). Damit ist Satz III bewiesen. - Eine andere Formulierung von Satz III lautet: Satz IV. Ist 91 separabel, so gibt es unter unendlich vielen in % offenen Mengen, deren Vereinigung 9( ist, auch abzählbar viele, deren Vereinigung 91 ist. Die Voraussetzung, 91 sei separabel, kann in Satz III nicht entbehrt werden. Wir gehen, um dies zu zeigen, aus von: Satz V2). Hat jeder nicht abzählbare Teil von 9 mindestens einen Häufungspunkt, so ist 91 separabel3). Um dies einzusehen, beweisen wir zunächst: hat jeder nicht abzahlbare Teil von 9/ einen Häufungspunkt, so gibt es zu jedem > 0 einen abzählbaren Teil 91' von 9 mit folgenden Eigenschaften: 1) Er wurde (für Punktmengen des 39) wohl zuerst von E. Lindelöf (C. R. 137 (1903), 697) und W. H. Young (Lond. Proc. 35 (1903), 384; Rend. Pal. 21 (1906), 125) bewiesen. In der Allgemeinheit von Satz I[I zuerst von W. Groß, Wien. Ber. 123 (1914), 809. 2) W. Groß, a. a. 0., 805. 3) Insbesondere ist also jede kompakte Menge separabel.

92 Punktmengen. 1. Sind a' + a" zwei Punkte von A', so ist: r (a', a) e. 2. Zu jedem Punkte a von 92 gibt es mindestens einen Punkt a von g9', so daß: r (a, a') <. In der Tat, wir konstruieren diese Menge 1' durch transfinite Induktion (Einleitung ~ 4, Satz XIX): Sei ao ein beliebiger Punkt von 92; sei sodann a eine Ordinalzahl von 3 -+ 32, und für jedes;ß<a sei aß so gewählt, daß: r (aß," aß) ( < c,?"< c). Dann sind zwei Fälle möglich; 1. Fall: Es gibt in 9f keinen Punkt a, so daß: (*) r (a, aß) e füir alle iB<a. Dann ist die Menge aller aß (ß<a) der gewünschte Teil 91' von 91.. 2. Fall: Es gibt in 1f mindestens einen Punkt a, für den (*) gilt; einen solchen Punkt wählen wir dann für aa. Wenn man nun, bei a = 0 beginnend, fortgesetzt obigen Schluß anwendet, so muß für ein a aus,+-, 3 der 1. Fall eintreten, da man andernfalls zu jedem a von,8 + -32 einen Punkt at in 0X erhielte, so daß (**) r (a, aa") > Q (', a" in, +,8); das aber ist unmöglich, denn diese a, würden in 9 einen nichtabzählbaren Teil bilden (Einleitung ~ 4, Satz XIV), der wegen (**) keinen Häufungspunkt hätte, entgegen der Annahme. Die Existenz des behaupteten Teiles 91' von 91 ist damit bewiesen. 1 1 Wir setzen nun der Reihe nach Q,..,.. und erhalten so eine Folge abzählbarer Teile, 912,..., 91,... von 9 mit folgender Eigenschaft: zu jedem a von 91 gibt es in 91, ein a', so daß: 1 r(a,a')<-. Infolgedessen bildet die Vereinigung wi + 21 2 + + % + einen abzählbaren, in 91 dichten Teil von 91, d. h. 91 ist separabel. Damit ist Satz V bewiesen. Wir können nun feststellen, daß in Satz III die Bedingung, 91 sei separabel, nicht entbehrt werden kann. Angenommen in der Tat, 9 sei nicht separabel. Nach Satz V gibt es dann in 9 einen nicht abzählbaren Teil S3 ohne Häufungspunkt. Zu jedem a von 91

Kap. I, ~ 7. Separable Mengen. 93 gibt es dann eine Umgebung U (a), die - außer etwa a selbst - keinen Punkt von 33 enthält. Jeder Punkt von 33 kommt dann nur in einem einzigen I (a) vor. Es kann daher nicht unter diesen U (a) abzählbar viele geben, deren Vereinigung e enthält, und um so mehr ~gilt dies von 91. Wir können noch Satz V umkehren: Satz VI. Ist 91 separabel, so hat jeder nicht abzählbare Teil von 9/ mindestens einen Häufungspunkt. Angenommen in der Tat, es gebe in 91 einen nicht abzählbaren Teil 23 ohne Häufungspunkt. Zu jedem a von 9 gibt es dann eine Umgebung U (a), die - außer etwa a selbst - keinen Punkt von 3 enthält. Weil 91 separabel, müßte es nach Satz III unter diesen t (a) abzählbar viele geben, in deren Vereinigung 3 enthalten ist. Wie wir eben vorhin sahen, ist das aber nicht der Fall. Unsere Annahme führt also auf einen Widerspruch, und Satz VI ist bewiesen. ~ 7. Separable Mengen. Wir müssen nun zunächst die separablen Mengen (S. 90) näher untersuchen. Satz I. Die Mächtigkeit einer separablen Menge ist < c. In der Tat, ist: (0) a, an,...,... ein in 91 dichter abzählbarer Teil von 91, so gibt es zu jedem Punkte a von 9 in (0) eine Folge {a, ~}, so daß: lim a,- a. a,= co Da nun die Menge aller Teilfolgen {a, } von {a,} die Mächtigkeit c hat (Einleitung ~ 7, Satz V, Fußn. 2), so hat die Menge aller a höchstens die Mächtigkeit c, und Satz I ist bewiesen. Satz II. Jeder Teil 93 einer separablen Menge 91 ist separabel. Angenommen in der Tat, S3 wäre nicht separabel. Dann gibt es nach ~ 6, Satz V in 35 eineniabzählbaren Teil 3' ohne Häufungspunkt. Da auch 3'-< 9, kann dann nach ~ 6, Satz VI auch 91 nicht separabel. sein. Damit ist Satz II bewiesen. Satz 11I. Jede Punktmenge des euklidischen fi ist separabell). In der Tat, die Menge aller rationalen Punkte des 9, ist abzählbar (~ 1, Satz II) und dicht im 9k; also ist der C9k separabel, 1) Auch jede Menge reeller Zahlen ist demnach separabel.

94 Punktmengen. also (Satz II) jede seiner Punktmengen. Damit ist Satz III bewiesen. Er ist Spezialfall von'): Satz IV. Ist jede Menge der Folge {91g} kompakt, so ist ihre Vereinigung separabel. In der Tat, nach ~ 6, Satz V ist jede Menge 91 separabel; es gibt daher einen in 9n dichten abzählbaren Teil 93 o von 91,. Dann ist auch 93, + 2 * -. +. + *. * abzählbar und (~ 4, Satz IX) dicht in 91 + - 2 -+ -... -,n.. Damit ist Satz IV bewiesen. Satz V. Ist 29 separabel, so ist jede Menge zu je zweien fremder Teile 3 von 91, deren jeder einen inneren Punkt besitzt, abzählbar. Sei in der Tat die abzählbare Menge: (*) al, a,..., a,... dicht in 9f, und sei 93 ein Teil von 95, der einen inneren Punkt b besitzt. Es gibt dann (~ 3, S. 72) ein o >0, so daß: nl(b; ()-<3. Da aber b Punkt von 29 und die Menge (*) dicht in 21 ist, gibt es in (b; e) und mithin in 3 einen Punkt aus (*). Es kann also, da (*) abzählbar ist, auch nur abzählbar viele solcher 93 geben, wie be hauptet. Satz VI. Ist 29 separabel, so ist jede Menge zu je zweien fremder, in 91 offener Mengen 53 abzählbar. In der Tat, man betrachte die Menge 91 selbst als den zugrunde gelegten metrischen Raum. Jede in 29 offene Menge 53 wird dann eine offene Menge, jeder Punkt von 53 daher ein innerer Punkt von 3 (~ 3, S. 72), und Satz VI folgt aus Satz V. Ein Spezialfall von Satz VI sei noch eigens formuliert: Satz VIa. Ist 91 separabel, so ist die Menge aller isolierten Punkte von 91 abzählbar. In der Tat, ist b ein isolierter Punkt von 9, so ist die aus dem einzigen Punkte b bestehende Menge 3 offen in 29, also ist tatsächlich Satz VIa Spezialfall von Satz VI. Ein anderer Spezialfall von Satz VI besagt: Satz VII. Im euklidischen S ist jede Menge zu je zweien fremder Intervalle abzählbar2). 1) Denn der 9Rk ist Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen, z. B. abzählbar vieler abgeschlossener Intervalle. 2) Ein Spezialfall hiervon ist Satz II von Einleitung, ~ 5.

Kap. I, ~ 7. Separable Mengen. 95 Ferner ergibt Satz VI, zusammen mit den Sätzen XIII und XVI von ~ 5: Satz VIII. Eine offene Menge des 9k ist Summe abzählbar vieler Gebiete. Benutzt man noch ~ 5, Satz X, so hat man: Satz IX. Eine offene Menge des S ist Summe abzählbar vieler offener Intervalle. Im 97, tritt an Stelle dieses Satzes: Satz X. Eine offene Menge 52 des Öl ist Vereinigung abzählbar vieler offener Intervalle1). In der Tat, zu jedem Punkte a einer offenen Menge 29 des 1k gibt es ein a enthaltendes offenes Intervall (a), das Teil von 9 ist (~ 3, S. 72). Da dann 9 die Vereinigung aller dieser (a) ist, lehrt das verallgemeinerte Borelsche Theorem ~ 6, Satz IV, daß 9 auch Vereinigung abzählbar vieler dieser 3 (a) ist, und Satz X ist bewiesen. Allgemein gilt: Satz XI. Ist 29 eine separable, offene Menge, so gibt es in 9 abzählbar viele Punkte a1,,..., al,. und zu jedem an ein n>)0, so daß: a= l(a,; e) + 11U(a,; ) + *. + u(a,; )... In der Tat, zu jedem Punkte a einer offenen Menge gibt es (~ 3, Satz V) ein 9>0, so daß U(a; )<. Dann ist 91 die Vereinigung aller dieser U (a; Q), und ~ 6, Satz IV ergibt die Behauptung. Wir beweisen nun zwei Sätze über monotone, wohlgeordnete Mengen abgeschlossener oder offener Teile einer separablen Menge2). Satz XII. Sei 91 separabel; dann ist jede wohlgeordnete Menge M in S9 abgeschlossener Mengen, deren jede echter Teil aller folgenden (vorhergehenden) ist, abzählbar. Seien in der Tat 9a (a=1, 2,...) die Mengen von M. Indem wir 9 für den metrischen Raum R wählen, können wir annehmen, die 9.I seien abgeschlossen. Sei ferner ) Die aber im allgemeinen nicht zu e zween fremd a no en w 1) Die aber im allgemeinen nicht zu je zweien fremd angenommen werden können. 9) F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 275.

96 Punktmengen. eine in 2 dichte abzählbare Punktmenge. Die Menge der Umgebungen: (*) U L(an;V) (n, v =1,2,...) ist dann ebenfalls abzählbar. Wir betrachten zunächst den Fall: faC< 1aJTC' wenn a < a'. Es gibt dann in 91a+i einen nicht in?9a enthaltenen Punkt a. Da Sf, abgeschlossen, gibt es eine zu 2f fremde Umgebung U(a) und mithin unter den Mengen (*) eine, die a enthält und zu gS, fremd ist, etwa U1 (a;-). Dann ist notwendig (**) U +n(ana;-) + U,; ) wenn a >a; denn es ist 1 (an,; ) fremd zu- 2a+i, während U( ana;-) den a V!/\ a Va Punkt a von 9,a+i enthält. Da es aber nur abzählbar viele Mengen (*) gibt, kann es auch nur abzählbar viele Mengen Wa geben, wie behauptet. Betrachten wir sodann den Fall: Wa >- fa' wenn a < cc'. Es gibt dann in 9,/ einen nicht in 2fa+i enthaltenen Punkt a, und daher in (*) eine Menge U (ana;, die ca enthält und zu 1a+~ fremd ist. Wieder gilt (**), da U (a"n; ) zu 9a, fremd ist, während (an,,; -) einen Punkt von,', und mithin von 9Ia+ enthält. Im übrigen schließt man, wie vorhin. Damit ist Satz XII bewiesen. Satz XIII. Sei t separabel; dann ist jede wohlgeordnete Menge M in 9C offener Mengen, deren jede echter Teil aller folgenden (vorhergehenden) ist, abzählbar. In der Tat, sind wieder 2,a die Mengen von M, und setzt man: Oa- - - f a i so bilden die S33 eine wohlgeordnete Menge N in 91 abgeschlossener Mengen, deren jede echter Teil aller vorhergehenden (folgenden) ist. Wegen Satz XII muß N abzählbar sein, daher auch M, wie behauptet. In separablen Mengen gelten einige wichtige Sätze über Kondensationspunkte (~ 3, S. 69).

Kap. I, ~ 7. Separable Mengen. 97 Satz XIV. Eine nicht abzählbare, separable Menge 5 enthält mindestens einen ihrer Kondensationspunkte. Angenommen in der Tat, kein Punkt von 52 wäre Kondensationspunkt von 91. Zu jedem Punkte von a gibt es dann eine Umgebung 1(a), so daß U1(a).* abzählbar. Nach dem verallgemeinerten Borelschen Theorem (~ 6, Satz IV) gibt es unter den Mengen U (a). 91 abzählbar viele, deren Vereinigung 1 ist. Also wäre r1 abzählbar, gegen die Annahme. Damit ist Satz XIV bewiesen. Aus diesem Satze fließen viele wichtige Folgerungen. Vor allem können wir nun Satz V und VI von ~ 6 in folgender Weise ergänzen: Satz XV. Damit eine nicht abzählbare Menge r1 separabel sei, ist notwendig und hinreichend, daß jeder nicht abzählbare Teil von 9 einen Kondensationspunkt besitze. Die Bedingung ist notwendig; dies ist enthalten in der Behauptung von Satz XIV. Die Bedingung ist hinreichend; dies ist enthalten in der Behauptung von Satz V, ~ 6. Satz XVI. Ist 59* die Menge aller Kondensationspunkte der separablen Menge 91, so ist jeder Punkt von 92* auch Kondensationspunkt von 9519*. Sei in der Tat a ein Punkt von 91*, d. h. ein Kondensationspunkt von 91. Wäre er nicht Kondensationspunkt von 9191*, so gäbe es eine Umgebung 11(a), so daß 1 (a). 9-9* abzählbar. Nach Satz XIV ist die Menge: U(a). 5- (a)).55lw* abzählbar, weil sie keinen ihrer Kondensationspunkte enthält. Also wäre auch: u (a) * = U(a) x * + (U1(a). 1 - 11(a) * 11*) abzählbar, entgegen der Annahme, daß a Kondensationspunkt von 91. Damit ist Satz XVI bewiesen. Daraus folgt sofort: Satz XVII. Ist 9* die Menge aller Kondensationspunkte der separablen Menge 51, so ist sowohl 59* als 9195* insichdicht. Und da 91* abgeschlossen ist (~ 3, Satz IX): Satz XVIII. Die Menge aller Kondensationspunkte einer separablen Menge ist perfekt. Wir knüpfen an den in ~ 4, S. 76 eingeführten Begriff des insichdichten Kernes und der separierten Mengen an. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 7

98 Punktmengen. Satz XIX. Der insichdichte Kern einer nicht abzählbaren separablen Menge ist nicht leer. In der Tat, nach Satz XIV und XVII ist 91t* ein nicht leerer, insichdichter Teil von 91. Daher weiter: Satz XX. Eine separable und separierte Menge ist abzählb ar. Hieraus zusammen mit ~ 4, Satz VII folgt: Satz XXI. Jede separable Menge 91 ist Summe einer in 9 perfekten und einer abzählbaren Menge. Ist insbesondere 91 abgeschlossen, so ist (~ 2, Satz IIIa) jede in 91 perfekte Menge perfekt, und Satz XXI ergibt: Satz XXII. Jede separable abgeschlossene Menge ist Summe einer perfekten und einer abzählbaren Menge. Dies kann noch wesentlich präzisiert werden, wenn wir die Ableitungen von 91 heranziehen. Da 91~+- die Menge aller Häufungspunkte von 91 ist, so ist dann und nur dann 9f1+l1= 91a, wenn 91f perfekt; dann aber ist auch 9"'= 91a für c' > a. Wir folgern daraus: Satz XXIII. Unter den Ableitungen 91W einer separablen Menge 91 gibt es eine perfekte, deren Index a zu 3~~32 gehört. Insbesondere ist also V91o perfektl). In der Tat, andernfalls wäre für jedes a aus -1+3 -2 die Ableitung 9"a+ echter Teil von 91a, und da,1+-82 nicht abzählbar (Einleitung ~ 4, Satz XIV), steht dies in Widerspruch zu Satz XII. Satz XXIV. Der insichdichte Kern einer separablen abgeschlossenen Menge 91 ist identisch mit jeder der perfekten Ableitungen von 91, insbesondere also mit C91~, und die Zerlegung von Satz XXII kann geschrieben werden: X 9= O91 + (1 - 21 ). In der Tat, jeder insichdichte Teil von 91 ist Teil jeder Ableitung von 91; insbesondere gilt also, wenn 91c eine perfekte Ableitung von W ist, für den insichdichten Kern y von 91: (*) < 9 1~ Da 9 abgeschlossen, ist Da ferner 91~, weil perfekt, auch in sich dicht ist, folgt aus der Definition von k: (**) 1a,<, 1) Darin bedeutet cox die Anfangszahl von 33 (Einleitung ~ 4, S. 22).

Kap. I, ~ 8. Vollständige Mengen. 99 also wegen (*) und (**): k_- 9~. Nach Satz XXIII aber kann a < cw angenommen werden; also ist und Satz XXIV ist bewiesen. Vir erhalten nun noch folgende Verschärfung von Satz XXII. Satz XXV. Jede separable abgeschlossene Menge ist Summe einer perfekten und abzählbar vieler isolierter Mengen. In der Tat, da es unter jeder Menge von Ordinalzahlen eine kleinste gibt (Einleitung ~ 4, Satz XI), so gibt es unter den perfekten Ableitungen von 21 eine erste, d. h. eine von kleinstem Index; es sei dies 9ao. Dann ist, da "(o-<'X: _= O-t (9x - a.-o). Zu jedem Punkte von X, der nicht zu W"o gehört, gibt es eine erste Ableitung %a1 (0 < a < ao), der er nicht angehört, und zwar ist dann a keine Grenzzahll), und es ist daher a ein Punkt von au~ — 1- a. Es ist also t - 29O die Summe aller 9a -1 ~ 2, wo a alle Ordinalzahlen 0 < a < a durchläuft, mit Ausnahme der Grenzzahlen, oder was dasselbe heißt, die Summe aller 9a" - Sa+l (0 a ). Da 9I"+ die Menge aller Häufungspunkte von WOa ist, so ist a- — a+l isoliert; und da nach Satz XXIII die Ordinalzahl aO zu 31- 3 2 gehört, also die Menge der Ordinalzahlen 0 a <a c abzählbar ist, ist Satz XXV bewiesen. ~ 8. Vollständige Mengen. In Anlehnung an Einleitung ~ 6, Satz IX wollen wir die Punktfolge {a"} eine Cauchysche Folge nennen, wenn es zu jedem e>0 ein n gibt, so daß: (0) r(a,', a,")<e für n' n, n" n. Damit völlig gleichbedeutend (vgl. Einleitung ~ 6, Satz X) ist die Bedingung: zu jedem e>0 gibt es ein n, so daß: r(an, an)<e für n'>rn. Satz. Jede gegen einen Punkt a konvergierende Folge ist eine Cauchysche Folge. Sei in der Tat: lim a, = a. 1) Denn ist a Grenzzahl, so ist Wa der Durchschnitt aller iß (f < a). 7*

100 Punktmengen. Ist e> 0 beliebig gegeben, so ist r(a1, a)< für fast alle n, 2 also, wegen der Dreiecksungleichung: r (a"t, an") r (an', a) + r (a"" a) < für fast alle n' und fast alle n". Das aber ist gleichbedeutend mit (0), und Satz I ist bewiesen. Die Umkehrung von Satz I gilt nicht allgemein. Sei z. B. 9t die Menge aller Punkte x > 0 des 9i. Dann ist die Folge l-1" eine auchysche Folge, ohne einen Grenzpunkt in Si zu besitzen. Eine Punktmenge 9 heißt vollständig1), wenn jede Cauchysche Folge {%, } aus 91 einen zu 1 gehörigen Grenzpunkt besitzt. Aus dieser Definition folgt sofort: Satz II. Jede vollständige Menge ist abgeschlossen. In der Tat, ist 91 nicht abgeschlossen, so gibt es in 91 eine Folge {a}, so daß lim a, -= a n=oo nicht zu 9 gehört. Nach Satz I ist {a} eine C auchysche Folge; sie besitzt zwar einen Grenzpunkt, aber er gehört nicht zu 91. Also ist 91 nicht vollständig. Satz III. Jeder abgeschlossene Teil einer vollständigen Menge ist vollständig. Satz IV. Jede abgeschlossene und kompakte Menge 91 ist vollständig. Sei in der Tat {c,} eine Cauchysche Folge aus 91. Weil 91 kompakt, gibt es eine Teilfolge {aj } mit Grenzpunkt: (*) limav -= a. 1' = 00 Weil 91 abgeschlossen, gehört a zu 1. Weil {as} eine C au chysche Folge, gibt es, wenn e> 0 beliebig gegeben, ein n, so daß: (**) r(ana~')<2 für n>n, n'>i. Wegen (*) gibt es ein n, so da. Wegen (*) gibt es ein n> n,- so ldaß: (***) (a", a) < 1) Dieser Begriff wurde eingeführt, von M. Ei'rchet, Rend. Pal. 22 (1906), 23'; der Name stammt von F. Hausdorff, Gru-ndz. d. Mengenlehre, 315.

Kap. I, ~ 8. Vollständige Mengen. 101 und wegen (**) ist auch (%,V) rr(aw ana X< für n >n. Aus (***),*****) folgt vermöge der Dreiecksungleichung: r(a,,a)<e für > >n. Das aber heißt: lim a, -== a. n== o Und da a zu 9f gehört, ist Satz IV bewiesen. Satz V. Jeder abgeschlossene Teil eines euklidischen ~9 ist vollständig. Nach Satz III genügt es zu zeigen, daß 9tk selbst vollständig ist. Sei {a,j die Folge der Punkte: an = (x-, n x X2, n,..., xk,,). Wegen: xi, n'- x, n" \=^r(a,,, an,, (<i= l, 2,..., k) genügt, wenn {al;} eine Cauchysche Folge ist, die Zahlenfolge {xi,,} der Cauchyschen Bedingung (Einleitung, ~ 6, Satz IX), und ist also eigentlich konvergent: lim x., (i, 2,..., ). Setzen wir: a( -(x", x.,..., so ist nach ~ 1, Satz VI: lim a- = a, und da a ein Punkt des 9:, ist Satz V bewiesen. Satz VI. Jeder o-Durchschnitt 3 in einer vollständigen Menge 9;(, dessen insichdichter Kern nicht leer ist, hat einen perfekten Teil ( der Mächtigkeit c. In der Tat, es gibt (~ 2, Satz XII) eine Folge offener Mengen ({~, so daß: < 2 —:. m'. -2" ", ' > +. +,' Sei A der insichdichte Kern von 3, und seien ao; a1 Punkte von ~. Dann gibt es ein C9: 0o <, so daß die abgeschlossenen Umgebungen t (a0; l), U (a1; 9") folgende Eigenschaften haben: 1. sie sind fremd; 2. sie liegen in ~,.

102 Punktmengen. In der offenen Umgebung U (ai; 1) (i, =0, 1) gibt es, da R insichdicht, also jeder Punkt von R auch Häufungspunkt von R ist, zwei Punkte ai",o, ai,1 von R, und es gibt ein e: 1 ~ < 2.,2 so daß U1 (a1i,o; 2), (a/1i,1; e) folgende Eigenschaften haben: 1. sie sind fremd; 2. sie liegen in ~.2, 3. sie liegen in lU (ai; el). Nun gibt es wieder in U (al, i2; Q) (i1, i, - O, 1) zwei Punkte a i,, o, ail, i, 1 von S und ein e3: o <._ —2' so daß t1 (ai, 0; e3), U(ai(, i, 1; 2) drei Eigenschaften haben, wie sie eben für t1 (ai, 2i; e) formuliert wurden. In dieser Weise kann man weiter schließen, und erhält zu jeder endlichen Ziffernfolge i, ii,..., iA, die nur aus Ziffern 0, 1 besteht, einen Punkt ai, i..., von S mit einer abgeschlossenen Umgebung (ail, i,.... i,; ), worin: o < e= 2, von folgenden Eigenschaften: 1. Zu verschiedenen ni-gliedrigen Ziffernfolgen i i2,... i, gehörige U (a1, i,..., i;, ) sind fremd. 3. Ü (ail 2, t.; )) (ail, a a,..., i - e 1) Wir bezeichnen nun mit 11, die Vereinigung aller 11 (a6l, i... in;,~) und setzen: C -= 9. U,1~ *2 "-...I,-z'... Nach Satz II ist 92 abgeschlossen, also ist auch C als Durchschnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen (~ 2, Satz VI), und da nach Eigensohaft 2. der U: so ist auch Jeder Punkt von ( gehört zu einer und nur einer der Mengen U (al; Q)), zu einer und nur einer der Mengen t (ai1, i2; 22) usf., wodurch jedem Punkte von ( in eindeutiger Weise eine Ziffernfolge,

Kap. I, ~ 8. Vollständige Mengen. 103 bestehend aus den Ziffern 0, 1: (0) q, 2...., ( =O, ) zugeordnet ist. Umgekehrt entspricht jeder solchen Ziffernfolge ein und nur ein Punkt von (. Denn zunächst liefert uns (0) eine Punktfolge aus A: (00) ail, aii,,..., al,, i2... i Sie ist eine Cauchysche Folge; denn wegen Eigenschaft 3. der U liegen für n'n > alle Punkte der Folge (00) in U (ai,,..,,^;,n), es ist also: r (a.il i2.., i,, al, i2..., i) < e _ 2 fir n' >:. Weil 9f vollständig, hat also die Folge (00) einen zu f gehörigen Grenzpunkt, der - weil zu allen U, gehörig - auch zu ( gehört. Wie aus Eigenschaft 1. der U folgt, liefern verschiedene Folgen (0) auch verschiedene Punkte von (. Die Punkte von ( können also in eineindeutiger Weise den Ziffernfolgen (0) zugeordnet, und daher durch (000). ii.i,,,. (i = 0,1) bezeichnet werden. Sei 11 irgendeine Umgebung des Punktes (000). Für fast alle n (z. B. für?n ~ nO) ist: 11 (a,2,...,; ) -< lt. Also enthält 11 alle Punkte von (, deren no erste Indizes mit denen von (000) übereinstimmen; also ist ~ insichdicht und mithin, weil abgeschlossen, auch perfekt. Da ferner zwischen den Folgen (0) und den Punkten von ( eine eineindeutige Zuordnung besteht, die Menge der Folgen (0) aber (d. h. die Menge aller Belegungen der natürlichen Zahlen mit den Ziffern 0, 1) die Mächtigkeit 2No= c hat (Einleitung ~ 7, Satz V), so hat auch E die Mächtigkeit c. Damit ist Satz VI bewiesen. Wir wollen, um eine kurze Bezeichnung zu haben, die Menge aller derjenigen Punkte (000) von (, in denen nicht fast alle i, den Wert 0 oder fast alle in den Wert 1 haben, als den Hauptteil von i bezeichnen. Dann gilt: Satz VII. Wird jedem Punkte ai, s...t...des Hauptteiles T der Menge 6 von Satz VI die Zahl zugeordnet, so ist dies eine eineindeutige Abbildung von T

104 Punktmengen. auf die Menge 9) aller Zahlen aus (0, 1), die nicht endliche Systembrüche der Grundzahl 2 sind, und diese Abbildung ist samt ihrer Umkehrung stetig'). In der Tat, daß dies eine eineindeutige Abbildung von 1 auf 931 ist, ist evident; es ist nur die behauptete Stetigkeit zu beweisen. Sei zu dem Zwecke a ein Punkt aus X und {a,} eine Punktfolge aus ), und es sei: (*) a = lim a,. Y-= Qo Sei a der Punkt aq,i2,..,il,... und a, der Punkt ai(v), i-)..,,.. Da a in U (a, i2,...,, +; + ) und mithin in 11 (ai, i..., i; Q,) liegt, müssen wegen (*) auch fast alle a, in (ai,,12,...in;,) liegen, und infolgedessen ist bei beliebig gegebenem n: (**) i() = j, i() = i2., * i{,) für fast alle v. Die den Punkten a und a, zugeordneten Zahlen sind gegeben durch: (***>) - äx. bzw. X, i Wegen (**) ist also bei beliebig gegebenem n: ix,-x < Z. — für fast alle v, d. h. es ist (**) lim x,- x, V =00 und die Abbildung von 5 auf D9u ist stetig. Sei umgekehrt x ein Punkt aus Ut, {x } eine Punktfolge aus 31, für die (***) gilt, und seien (***) die Darstellungen von x und x~ als Systembrüche der Grundzahl 2. Da in der Darstellung von x nicht fast alle i2 0 oder fast alle iZ = 1 sind, so ist: n. 1 < xT < + 2 ' z= t, A< - t-1 und infolgedessen gilt wegen auch für fast alle =v und infolgedessen gilt wegen (***) auch für fast alle v; 1) Eine Abbildung der Menge 91 auf die Menge $3 heißt stetig, wenn sie folgende Eigenschaft hat: Ist {a,} eine Punktfolge, a ein Punkt aus 91, und ist b" das Bild von a,, b das Bild von a, so folgt aus lim a-= a auch lim b~, b. Wir kommen auf den Begriff der Stetigkeit einer Abbildung aus= o00 führlich zurück in Kap. II, ~ 6.

Kap. I, ~ 8. Vollständige Mengen. 105 2A= l 2.';. l und mithin gilt auch (**). Für fast alle r liegt also der x, zugeordnete Punkt a-. a( /?'),. () in U (ai, 2,n, n), worin auch der x zugeordnete Punkt a =- ail,....il,... liegt. Es ist also, da p < o war: r (a, a")~2 Q,<-" für fast alle ~, und da dies für jedes n gilt, ist: lim r (a, a")- 0, d.h. lim a= a. Y = 00 ~ - - = Es ist also auch die Abbildung von 9N auf Z stetig, und Satz VII ist bewiesen.' Satz VIII. Die perfekte Menge Q( von Satz VI kann als' nirgends dicht in!8 angenommen werden. Um dies einzusehen, ändern wir den Beweis von Satz VI in folgender Weise ab: Wir gehen statt von zwei nun von drei Punkten a, a2, von S aus und bilden, ganz wie beim Beweise von Satz VI, zu jedem von ihnen eine Umgebung U(a,;,o,) (i = 0, 1, 2). Allgemein werden beim n - ten Schritte in I (at, i-.,,-; -I) drei Punkte a,,i,2...,_-1,o i, ai,,iin-, ii.2...,in-, 2 gewählt und zu ihnen Umgebungen 11 (ati, i..,,;,) gebildet, die dieselben Eigenschaften haben, wie beim Beweise von Satz VI, nur daß nun i, i,.., i die drei Werte 0, 1, 2 haben können. Mit 1U bezeichnen wir nun die Vereinigung derjenigen ^ ('ai2, in....; ), in deren Ziffernfolge i,, i2,..., in keine 1 vorkommt. Setze n wir wieder -- ~.n n1~,...,,..., so erkennen wir wie früher'), daß C ein perfekter Teil von e ist. Wir haben nur noch zu zeigen, daß b.; nirgends dicht in 93 ist. Sei zu dem Zwecke a at,.i.... i... irgendein Punkt von L und 1U eine Umgebung von a. Es gibt dann ein %n, so daß: (al, i2.....%,o^0) -, und infolgedessen auch 1) Nur haben jetzt in (0) und ebenso in (000) die die Were und 2. 1) Nur haben jetzt in (0) und ebenso in (000) die i,, die Werte 0 und 2.

106 Punktmengen. Und da in U (ai, i2.. i'; e, + 1) zwar der Punkt ai, i, o,.., o.... von S, aber kein Punkt von C liegt, ist ( nirgends dicht in 3, und Satz VIII ist bewiesen. Satz IX1). Ein o-Durchschnitt S in einer separablen vollständigen Menge f ist abzählbar oder von der Mächtigkeit c, je nachdem sein insichdichter Kern leer ist oder nicht. In der Tat, ist der insichdichte Kern y voon 3 leer, so ist 3 abzählbar nach ~ 7, Satz XIX. Ist R nicht leer, so hat e3 nach Satz VI eine Mächtigkeit > c, und mithin nach ~ 7, Satz I genau die Mächtigkeit c. Satz X. Eine separable, vollständige Menge 9/ ist abzählbar oder von der Mächtigkeit c, je nachdem 9wl leer ist oder nicht. In der Tat, nach Satz II ist S1[ abgeschlossen. Nach ~ 7, Satz XXIV ist 9f~1 der insichdichte Kern von 9. Durch Anwendung von Satz IX folgt also Satz X. Satz XI. Ist die separable, vollständige Menge A9 abzählbar, so sind ihre Ableitungen von einer bestimmten an leer; ist 9S auch kompakt, so ist der Index der ersten leeren Ableitung eine isolierte Zahl aus 31+32. In der Tat, nach ~ 7, Satz XXIII gibt es unter den Ableitungen von 9[ eine perfekte 91", deren Index a zu 3+-.32 gehört. Da 9Xa perfekt, ist: 9(?' 9= a für a' >, insbesondere ist also auch Nach Satz X aber ist 9wi leer. Es ist also auch Sta und mithin für c'> a auch 91[' leer. Ist insbesondere a der kleinste Index, für den 91a leer ist, und ist 91 kompakt, so ist nach ~ 3, Satz XIX cc keine Grenzzahl, womit Satz XI bewiesen ist. Satz XII. Jede nicht leere, in einer separablen, vollständigen u'nd perfekten Menge offene Menge e hat die Mächtigkeit c. In der Tat, als Durchschnitt einer offenen und einer insichdichten Menge (~ 3, Satz XII) ist 58 insichdicht (~ 4, Satz II), also ist der insichdichte Kern von 3 nicht leer, und Satz XII folgt aus Satz IX. Satz XIII. Eine separable, vollständige und perfekte 1) Dieser Satz rührt her von W. H. Young, Leipz. Ber. 55 (1903), 287.

Kap. I, ~ 8. Vollständige Mengen. 107 Menge? ist identisch mit der Menge 92* ihrer Kondensationspunkte. In der Tat, da 9 abgeschlossen, und da jeder Kondensationspunkt auch Häufungspunkt, so ist: (t') 1 *< 9. Sei sodann a ein Punkt von 91 und U (a) eine beliebige Umgebung von a. Nach ~ 4, Satz II ist ebenso wie 91 auch 9W.U(a) insichdicht. Es ist also 9.Ui(a) ein o-Durchschnitt in 91, dessen insichdichter "Kern nicht leer ist. Nach Satz IX hat also 9. -l(a) die Mächtigkeit c, d. h. a ist Kondensationspunkt von 91. Und da a ein beliebiger Punkt von 91 war, ist: (tf') 9<9* Aus (-) und (it) aber folgt - =9*, und Satz XIII ist bewiesen. Satz XIV1). Ist 9 von erster Kategorie (~ 4, S. 81) in der vollständigen Menge 3, so hat S — 913 einen o-Durchschnitt in 3 zumi Teil, der in S3 dicht ist. In der Tat, indem wir nötigenfalls 91 durch 923 ersetzen, können wir annehmen, es sei 2 -<. Da 9I von erster Kategorie in 93, so ist: V( = ~w +St-), +~ ) ~ ~ - -+ g n + wo jedes 91( nirgends dicht in 93. Nach ~ 4, Satz XXI können wir annehmen: ~n -<91 + Dann ist auch: ( ) 0~< w O und nach ~ 4, Satz XV ist auch 9^~ nirgends dicht in 9. Wir setzen: dann ist ~j. offen; wegen (*) ist: ~n > Ln+i und es ist: wo die rechts stehende Menge: 8 ' - ( — ~8 ~ 6... *... ein o - Durchschnitt in f ist. Bleibt zu zeigen, daß er dicht in 8 ist. ~) Dieser und die folgenden Sätze stamrmen im wesentlichen von R. Bair e, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 65.

108 Punktmengen. Sei zu dem Zwecke ( irgendeine offene Punktmenge, derart daß (S 2 nicht leer ist. Es genügt zu zeigen, daß es in ( S3 einen Punkt von 23' gibt. Da f/~ nirgends dicht in 93, gibt es in I8 2 einen nicht zu 21 gehörigen Punkt von 23, d. h. einen Punkt b, von 38 (Cg. Sodann gibt es ein Q,: 0 K e< ~ 2, so daß U(b,; e,) sowohl n ( als in (, liegt. Ebenso gibt es in U(b,;,1) einen Punkt bo von 3 (s, und ein e: 0<^^ so daß U (b2; e2) sowohl in 2 als in L (bl; 2,) liegt usw. Wir erhalten so eine Punktfolge {b,} aus 23, die offenbar eine Cauchysche Folge ist. Ihr zu 28 gehöriger Grenzpunkt gehört allen U(b,; QJ) an, liegt mithin sowohl in (, als in jedem 23,, er ist also ein zu 83' gehöriger Punkt von 93 (, wie behauptet. Damit ist Satz XIV bewiesen. Wir wollen nun eine Menge relativ-vollständig nennen, wenn sie ein o-Durchschnitt in einer vollständigen Menge ist. Da jede Menge 23 in 3 offen, und mithin auch ein o-Durchschnitt in 23 ist, so ist jede vollständige Menge auch relativ-vollständig. Satz XV1). Die Aussage von Satz XIV bleibt bestehen, wenn 23 nur relativ-vollständig ist. Wie beim Beweise von Satz XIV können wir annehmen n2 -< 8. Sei 3 ein o-Durchschnitt in der vollständigen Menge 93. Dann ist 30-< 3, und mithin ist nach Satz III auch 3~ vollständig. Nach ~ 2, Satz X ist 23~- 3 eine a-Vereinigung, etwa: 23 ~- 23 1 +, 2 * * 4+ ö + *. * (An abgeschlossen). Es ist S9, nirgends dicht in 30~. Denn andernfalls gäbe es eine offene Menge C, so daß 23 ( nicht leer und 21n dicht in 3o0. Nach ~ 4, Satz X wäre dann 82 ~S-<1,, und mithin fremd zu 23, entgegen der Definition von 23~. Da 21 nirgends dicht in 23~, ist also 23~-23 von erster Kategorie in 30~. Da auch 2 von erster Kategorie in 2 und mithin in 83~, so ist nach ~ 4, Satz XX auch 2 +(3 ~- 3) von erster Kategorie in 3~0; also hat nach Satz XIV 0~- -(3~ - 3)= 3S - einen o-Durchschnitt in 30 zum Teil, der dicht in 230 ist, d. h. einen o-Durchschnitt in 23, der dicht in 2 ist, und Satz XV ist bewiesen. 1) F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 327.

Kap. I, ~ 9. Lineare abgeschlossene Mengen. 109 Satz XVI. Jede nicht leere, in einer relativ-vollständigen Me.nge 93 offene Menge (E (insbesondere also 23 selbst) ist von zweiter Kategorie in 93. Sei in der Tat C1 ein Teil erster Kategorie in 93. Nach Satz XV ist 23- X1 dicht in B. Es gibt also in der in 93 offenen Menge (5 gewiß einen Punkt von e3 - S; daher kann nicht = 91 sein, und Satz XVI ist bewiesen. Satz XVII. Ist die (nicht leere) Menge 3 relativ-vollständig, und ist S1 von erster Kategorie in 93, so ist S3-I919 von zweiter Kategorie in 3. In der Tat, wäre e - 913 von erster Kategorie in 3, so wäre nach ~ 4, Satz XX auch: 33 5133+(3 -913) von erster Kategorie in 3, entgegen Satz XVI. ~ 9. Lineare abgeschlossene Mengen. Wir wollen uns noch speziell mit den- abgeschlossenen Punktmengen des 91 beschäftigen. Satz I. Jede abgeschlossene Menge 91 des 91 ist Komplement einer Summe abzählbar vieler offener Intervalle. In der Tat, jede abgeschlossene Menge ist Komplement einer offenen Menge, so daß die Behauptung aus ~ 7, Satz IX folgt. Wir nennen die abzählbar vielen offenen Intervalle, deren Summe das Komplement von 9I ist, die zu 91 gehörigen punktfreien Intervalle, oder die zu 9S komplementären Intervalle; ihren Durchschnitt mit einem beliebigen Intervalle 3 nennen wir die punktfreien Intervalle von 91 in 3, oder die bezüglich 3 zu 91 komplementären Intervalle. Sagen wir noch von einer Menge zu je zweien fremder Intervalle des 91, sie seien in natürlicher Reihenfolge, wenn ihre Anfangspunkte in natürlicher Reihenfolge sind: (a', ') vor (a", b") wenn a'< a", so gilt: Satz II. Damit eine abgeschlossene, nirgends dichte Menge 91 des 91 perfekt sei, ist notwendig und hinreichend, daß die Menge der endlichen unter den punktfreien Intervallen von 1 in ihrer natürlichen Reihenfolge den Ordnungstypus y (Einleitung ~ 3, S. 14) habe. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat 9 perfekt, und R die Menge der endlichen punktfreien Intervalle von 91 in der

110 Punktnmengen. natürlichen Reihenfolge. Nach Satz I ist 9)1 abzählbar. In 9SD kann es kein erstes und kein letztes Intervall geben. Denn angenommen (a, b) wäre erstes Intervall von 9)I, so müßte (- oo, a) auch punktfreies Intervall von 9. sein (da andernfalls 91 nicht nirgends dicht wäre); dann aber ist a isolierter Punkt von 91, und mithin wäre 91 nicht perfekt. Ferner gibt es in D9 zwischen je zwei Intervallen (a', b') und (a", b") ein drittes; denn würden (a', b') und (a", b") unmittelbar aufeinanderfolgen, so müßte b'= a" sein (da 9/ sonst das Intervall [b', a"] enthielte, und somit nicht nirgends dicht wäre); dann aber ist b'= a" ein isolierter Punkt von 91, und 9 wäre nicht perfekt. Also hat nach Einleitung ~ 3, Satz I 9 den Ordnungstypus O. Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist f9 nicht perfekt, so gibt es in %1 einen isolierten Punkt, in dem notwendig zwei punktfreie Intervalle von 91 zusammenstoßen; sind sie beide endlich, so sind sie, unmittelbar aufeinanderfolgende Intervalle von 9)1. Ist eines unendlich, so ist das andere erstes oder letztes Intervall von J1. Keinesfalls also kann 93l den Ordnungstypus? haben. Damit ist Satz II bewiesen. Dieser Satz liefert ein Verfahren zur Konstruktion nirgends dichter perfekter Punktmengen des 9il das mit dem beim Beweis von ~ 8, Satz VIII benützten- Verfahren nahe verwandt ist. Wir geben dafür folgendes Beispiel'): Wir betrachten Systembrüche der Grundzahl 3 (Einleitung ~ 7, S. 44). Sei 9) die abzählbare Menge der (zu je zweien fremden) Intervalle: (eo.el e... e1,, eo' e e..e2) (k- 0, 1,2,...), in denen keine der Stellen e, e2,..., e den Wert 1 hat. In natürlicher Reihenfolge gibt es unter ihnen kein erstes, und zwischen je zweien von ihnen liegt stets ein drittes, also haben sie (Einleitung ~ 3, Satz I) den Ordnungstypus Z. Ihre Vereinigung ist offen, ihr Komplement 91 zum r9, daher abgeschlossen. 9 ist aber auch nirgends dicht. Denn andernfalls gäbe es ein Intervall 3, in dem 91 dicht, und weil f9 abgeschlossen, müßte 91 (~ 4, Satz X) alle Punkte von 3 enthalten, was unmöglich, da 9 keinen Punkt e. e, ee..e.ek+l enthält, in dem eine der Stellen e,, e,..., e den Wert 1 hat, und ek+l + 0 ist. Also ist nach Satz II 91 eine nirgends dichte perfekte Menge. Sie besteht aus allen Punkten, die durch einen unendlichen 1) Es rührt her von G. Cantor. Durch ähnliche Abbildung kann man daraus sofort perfekte Mengen bilden, die in einem gegebenen Intervalle [a, b] nirgends dicht sind.

Kap. I, ~ 9. Lineare abgeschlossene Mengen. 111 Systembruch der Grundzahl 3 darstellbar sind: %' e e2... e1 ~ ~ in dem keine Stelle 1 vorkommt. Wir unterscheiden die Punkte einer abgeschlossenen Menge 9/ des 9i in solche erster und zweiter Art, je nachdem sie Endpunkte eines zu 1t komplementären Intervalles sind, oder nicht. Satz III. In jeder abgeschlossenen Menge des 94 ist die Menge aller Punkte erster Art abzählbar. In jeder (nicht leeren) perfekten Menge des gN hat die Menge aller Punkte zweiter Art die Mächtigkeit c. In der Tat, da es (Satz I) nur abzählbar viele, zu Qf komplementäre Intervalle gibt, gibt es auch nur abzählbar viele Endpunkte solcher Intervalle, also nur abzählbar viele Punkte erster Art von 1X. Ist die Menge X perfekt, so hat sie (~ 8, Satz XII) die Mächtigkeit c, und da die Menge der Punkte erster Art abzählbar ist, muß (Einleitung ~ 2, Satz X) die Menge der Punkte zweiter Art die Mächtigkeit c haben, wie behauptet. Satz IV. Jeder Punkt einer nirgends dichten perfekten Menge 9 des D ist Häufungspunkt sowohl von Punkten erster, als von Punkten zweiter Art von 91. Sei a ein Punkt von 1; in jedem a enthaltenden Intervalle (b, c) liegen, da a auch Häufungspunkt von 91 ist, unendlich viele Punkte von 91, mithin unendlich viele punktfreie Intervalle von 91, mithin unendlich viele Punkte erster Art. Also ist a Häufungspunkt von Punkten erster Art. Nach ~ 8, Satz XIII ist a aber auch Kondensationspunkt von 29, in jedem a enthaltenden Intervall (b, c) liegt also ein nicht abzählbarer Teil von 9, und da die Menge aller Punkte erster Art abzählbar ist, liegen in (b, c) unendlich viele Punkte zweiter Art, also ist a auch Häufungspunkt von Punkten zweiter Art, und Satz IV ist bewiesen. Satz V. Die Menge aller Punkte zweiter Art einer nirgends dichten perfekten Menge 91 des 9i hat in ihrer natürlichen Reihenfolge den Ordnungstypus t (Einleitung ~ 8, S. 48). Sei in der Tat 9' die Menge aller Punkte zweiter Art von 9 in ihrer natürlichen Reihenfolge, und sei 9D die Menge aller endlichen punktfreien Intervalle von 9I in ihrer natürlichen Reihenfolge. Zwischen den Elementen von 9' und denen von 9J) setzen wir folgende Reihenfolge fest:

112 Punktmengen. Ist a ein Punkt von 1' und (x', x") ein Intervall von 9Ji, so wird geordnet: (x', x") vor a wenn x" <a; a vor (x', x") wenn a< x'. Nun hat 1M den Ordnungstypus r (Satz II), also gibt es eine ähnliche Abbildung A von M9 auf die Menge 91 aller rationalen Zahlen. Jeder Punkt a von 1' zerlegt 92 in zwei Teile, die Menge 91' aller Intervalle vor a, und die Menge W" der übrigen Intervalle. In 91' gibt es kein letztes, in 9t" kein erstes Element, da sonst a nicht Punkt zweiter Art wäre. Vermöge der Abbildung A entspricht der Zerlegung $9' + 9)" von m) eine Zerlegung 91' 4-91" von W. Da es in $9' kein letztes, in $J9" kein erstes Intervall gibt, gibt es in S' keine größte, in 9" keine kleinste rationale Zahl. Es gibt daher eine und nur eine irrationale Zahl, die zwischen allen Zahlen von 91' und allen Zahlen von 91" liegt. Indem wir sie dem Punkte a zuordnen, haben wir eine ähnliche Abbildung von 29' auf die Menge aller irrationalen Zahlen definiert, womit Satz V bewiesen ist.

Zweites Kapitel. Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. ~ 1. Der Funktionsbegriff. Sei 21 eine Menge irgendwelcher Elemente. Ist jedem Elemente a von 2 eine reelle Zahl zugeordnet, die mit f(a) bezeichnet werde, so sagen wir, es sei durch diese Zuordnung eine (einwertige) reelle Fu nktion f(a) auf 91 definiert1). Eine reelle Funktion auf 21 ist also (Einleitung ~ 1, S. 1) nichts anderes als eine Abbildung der Menge 2 in die Menge aller reellen Zahlen (eine Belegung von - mit reellen Zahlen). Ist insbesondere 2 eine Punktmenge des euklidischen 9k: a = (x1, X,., xk), so schreibt man: f(a)= =f(x, x,..., ), und nennt f(a) eine auf SW definierte Funktion der reellen Veränderlichen xl, x2,..., x. Wird jedem Elemente a von 21 nicht eine reelle Zahl, sondern eine (nicht leere) Menge f(a) reeller Zahlen zugeordnet, so sagen wir, durch diese Zuordnung sei eine m ehrwertige reelle Funktion auf 2 definiert. Eine mehrwertige reelle Funktion auf 1 ist also nichts anderes- als eine Belegung von 2I mit Mengen reeller Zahlen. Wo wir nicht ausdrücklich das Gegenteil sagen, verstehen wir unter dem Worte "Funktion" stets einwertige reelle Funktionen. Eine Funktion f(a) heißt endlich, wenn unter den Funktionswerten f(a) keine unendlichen vorkommen: -oo <f( a)<+c für alle a von 2t. Eine mehrwertige Funktion heißt endlich, wenn in keiner der Mengen f(a) eine der Zahlen +-co, -oo vorkommt. i) Versteht man unter 2C ein Intervall des S, so ist dies der Funktionsbegriff, wie er von G. Lej e une-Dirichlet formuliert wurde: Repert. d. Phys. 1 (1837), 152; Werke 1, 135; Ostwalds Klassiker Nr. 116, 3. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 8

114 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Sei /91 die Menge aller Werte, die die Funktion f(a) auf 9 annimmt [bei einer mehrwertigen Funktion tritt an ihre Stelle die Vereinigung aller Mengen f(a)]. Jede Oberzahl von 9S/ (Einleitung ~ 5, S. 30) heißt dann eine Oberzahl (majorante Zahl, Majorante) von f(a) auf 91, jede Unterzahl von 9s heißt eine Unterzahl (minorante Zahl, Minorante) von f(a) auf 91. Die obere (untere) Schranke von 9) (Einleitung ~ 5, Satz IV) heißt die obere (untere) Schranke von f auf 91, in Zeichen: G(f, 9) bzw. g(f,9). Diese beiden Zahlen sind also charakterisiert durch folgende Eigenschaften: 1. Es ist g(f, )< f(a)~G(f, 1) für alle a von 1. 2. Ist z< G(f, 9), so ist: f(a) >z für mindestens ein a von l1; ist z> g(f, I), so ist: f(a)<z für mindestens ein a von 91. Aus der Definition von oberer und unterer Schranke folgt sofort: G(f, 3)~G(f, 91); g(f, ) g)(f, 91), wenn 93-<9. Ist G(f,.91) endlich, so heißt f nach oben beschränkt auf 91, ist g(f, 91) endlich, so heißt f nach unten beschränkt auf 91. s t die Funktion f sowohl nach oben als nach unten beschränkt auf 91, so heißt sie beschränkt auf 9. Eine Funktion kann endlich sein, ohne beschränkt zu sein. Beispiel: Sei f(x) die Funktion einer reellen Veränderlichen x, die gleich ist für x + 0, und gleich 0 für x =0. Sie ist endlich, aber weder nach oben noch nach unten beschränkt im 9t,. Es sei noch ein einfacher Kunstgriff 1) erwähnt, der es uns häufig gestatten wird, Untersuchungen beliebiger Funktionen auf die beschränkter Funktionen zurückzuführen: Wir ordnen jeder reellen Zahl z eine Zahl z* zu durch: -1 wenn z — oo (0) z*= wenn - o < z < -- o I_ wenn z -- o. 1) R. Baire, Acta math. 30 (1906), 6.

Kap. II, ~ 1. Der Funktionsbegriff. 115 Dann ist stets: (t) -1<z*<1. Die Transformation (0) ist eindeutig umkehrbar: - oo wenn z* = z* (o) Z== | 1 —z * wenn - < z* < 1 + ooc wenn z* = l. Zufolge (t) führt die Transformation (0) jede Menge reeller Zahlen in eine beschränkte Menge über; wir nennen sie deshalb die Schränkungstransformation und die Transformation (00) die inverse Schränku ngstransformation1). Wenden wir auf die Werte der Funktion f(a) die Schränkungstransformation an, so geht f(a) wegen (t) in eine der Ungleichung -l rf*(a)<1 genügende und mithin beschränkte Funktion f*(a) über. Es gilt der Satz: SatzI. Wird die Funktion f (die Zahlenmenge 9)) durch die Schränkungstransformation in f* (in 92*) übergeführt, so werden obere und untere Schranke von f (von SR) durch die Schränkungstransformation übergeführt in obere und untere Schranke von f* (von 9)*). In der Tat, sowohl die Schränkungstransformation als ihre Inverse sind monoton wachsend, d. h. ist z < z2, so ist für die vermöge (0) entsprechenden Werte: z,* < z2* und umgekehrt. Es geht also durch (0) jede Majorante von f über in eine Majorante von f*; und da auch umgekehrt durch (00) jede Majorante von f* (die < 1 ist) in eine Majorante von f übergeht, so führt (0) notwendig die kleinste Majorante von f (d. h. die obere Schranke von f) über in die kleinste Majorante von f*, d. h. in die obere Schranke von f*. Damit ist Satz I bewiesen. Neben oberer und unterer Schranke von f auf 9 betrachten wir noch Limes superior und inferior von f auf 91, in Zeichen: lim(f, ); lim (f, ). Es wird genügen, die erste dieser beiden Zahlen zu definieren: Wir 1) An Stelle von (0) könnten ebensogut unzählig viele andere Transformationen verwendet werden; als Beispiel sei nur eine erwähnt: z* aretgz, --- z* ) 8*

116 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. nehmen einen Schnitt (Einleitung ~ 5, Satz III) in der Menge X aller reellen Zahlen vor: indem wir in die zweite Komponente 3' alle jene Zahlen x aufnehmen, welche der Bedingung genügen: f(a)<x für fast alle a von 9f. Die diesen Schnitt hervorrufende Zahl ist der Limes superior von f auf 2f. Es sind demnach lim (f, 9/) und lim (f, 91) charakterisiert durch die beiden Eigenschaften: 1. Ist i <lim(f, 91) und q>lim(f, 91), so ist1): p < f(a) < q für fast alle a von 91. 2. Ist z < lim(f, 91), so ist: f(a) > z für unendlich viele a von 91; ist z>>lim(f, 91), so ist: f(a) < z für unendlich viele a von 91. Es sei noch bemerkt, daß lim (f, 91), lim(f, 91) nicht notwendig übereinstimmen mit Limes superior und inferior (Einleitung, ~ 6, S. 38) der Menge K1I aller Werte, die f auf 91 annimmt. Sei z. B. f(x) folgende Funktion einer reellen Veränderlichen: f(x)= 1 in [0, 1], f(x)= - x2 für 'alle andern x. Dann besteht die Menge 9S aller Funktionswerte von f(x) aus dem Intervalle (- o, 0) und der Zahl 1; also ist: lim m = 0; hingegen: lim (f, 9) 1. Satz II. Wird die Funktion f (die Zahlenfolge {(z}) durch die Schränkungstransformation iiübergeführt in f* (in {z,*}), so wird lim(f, 91) und lim(f, 91) (lim z, und lim z) durch die -'- =0 - 'n=ooo Schränkungstransformation übergeführt in lim(f*, 9X) und lim (f*, 91) (lim zn* und lim z,.). In der Tat, dies ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, daß durch die Schränkungstransformation jede der Ungleichung (1) f (a) < x für fast alle a von 91 genügende Zahl x übergeführt wird in. eine der Ungleichung (2) f*(a)< x* für fast alle a von 91 ~) Ist eine der Zahlen lim (f, 9), lim (f, 9) unendlich, so kommt nur die eine Hälfte der folgenden Ungleichung in Betracht.

Kap. II, ~ 2. Obere und untere Schrankenfunktion. 117 genigende Zahl x*, während durch die inverse Schränkungstransformation jede der Ungleichung (2) genügende Zahl x* 1 in eine der Ungleichung (1) genügende Zahl x verwandelt wird. Insbesondere folgt aus Satz II: Satz III. Ist {zn} eine konvergente Folge reeller Zahlen, und führt die Schränkungstransformation zn in z** über, so ist auch {z?*} konvergent, und umgekehrt; und es wird limz iübergeführt in limzx*. fl= 00 n=f o ~ 2. Obere und untere Schrankenfunktion. Sei nun 9f eine Punktmenge eines metrischen Raumes, 9~ ihre abgeschlossene Hülle (Kap. I, ~ 3, S. 70). Sei auf 92 eine Funktion f gegeben, und sei a ein Punkt von 9f0. Zu jeder gegen a konvergierenden Punktfolge {a,} aus 9f: lim an = a sei der Limes serir der 00 sei der Limes superior der zugehörigen Funktionswerte: limf(a")= v n= 00 gebildet. Denken wir uns dies für j ede gegen a konvergierende Punktfolge gemacht, so bilden alle so erhaltenen Werte v eine Zahlenmenge, deren obere Schranke bezeichnet wird als die ob ere Schranke von f auf 9f im Punkte a; wir schreiben dafür G(a; f, 9/), wobei in diesem Symbol auch die Zeichen f und 92 weggelassen werden können, wenn kein Zweifel besteht, um welche Funktion bzw. um welche Menge es sich handelt. Ganz analog ist die Definition der unteren Schranke g(a; f, 9/) von f in a auf 9. Da diese Definition weder vom Abstands- noch vom Umgebungsbegriffe expliziten Gebrauch macht, also angewendet werden kann, wie immer der Grenzbegriff in 91 definiert sein mag, nennen wir sie die allgemeine Definition (vgl. Kap. I, ~ 1, S. 58) von oberer (unterer Schranke) in einem Punkte. Aus dieser Definition folgt unmittelbar: Satz I. Ist Q3 Teil von 9 und gehört a zur abgeschlossenen Hülle ~y von 3, so ist: G(a; f, 3) G(a; f, 9); g (a; f, S) g (a; f, ). Satz II. In jedem Punkte von 91~ besteht-die Ungleichung (0) g(t;9) g(a; f, 9) G (a; f,) G (f, ), n jedem Punkte von 91 besteht die Ungleichung: (00) f (at; f, 9) < f (a) G (a; f, S91).

118 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. In der Tat, sei { a, irgendeine Punktfolge aus 9 mit lim an =a; wegen: ) (f, ' f)) <= o G(f, ) ist auch: lim f (aj g (f, 9); lim f (aj) G (f, 9); n=oo n== also wegen der Definition von g (a; Xf, ) und G (a; f, auch: (000) g (a;f,~g(f, 9/); G (a; f, 9) G (f, ). Ferner folgt aus der Definition von g (a; f, l1) und G (a; f, ): (000) g (a; f, ) 5 lim f(a) lim f(aj) (a; f, a ); durch (0O0) und (000) aber ist (0) bewiesen. Ist insbesondere a Punkt von 9(, so kann man setzen: a,-=a. Dann wird in (000): lim f (a, iim f (a) = f (a), n=-o n=co womit (00) bewiesen ist. In einem isolierten Punkte von 9/ ist offenbar: G (a; f, 91)-=g (a; f, 2f)=-f(a). Aus ~ 1, Satz I und II folgt nun sofort: Satz III. Wird die Funktion f durch die Schränkungstransformation übergeführt in f*, so werden G(a; f, X2) und g(a; f, 9t) durch die Schränkungstransformation übergeführt in G(a; f*, ) und g(a; f*, 9i). Gebrauch machend vom Begriffe der Umgebung in % eines Punktes (Kap. I, ~ 3, S. 66) wollen wir nun die beiden Sätze beweisen'): Satz IV. Die obere Schranke G(a, f, 9) ist nichts anderes als die untere Schranke der Menge der Zahlen G(f, U) für alle möglichen Umgebungen U von a in 91. Satz V. Für jede Folge {U~} von Umgebungen von a in 91, die sich auf a zusammenzieht (Kap. I, ~ 3, S. 68), gilt: lim G (f, tn)= G(a; f, 9). Beim Beweise können wir ohne weiteres annehmen, f sei b eschränkt, da wir andernfalls unter Berufung auf Satz I und III von ~ 1 und auf Satz III zunächst auf f die Schränkungstransformation ausüben können. 1) Analoge Sätze gelten für g (a, f, 9).

Kap. II, ~ 2. Obere und untere Schrankenfunktion. 119 Sei y die untere Schranke der Menge aller G (f, 1) (für alle Umgebungen 1 von a in 91). Wir zeigen zunächst: (1) limG(f, 1U=)-y. *n=-oo In der Tat, zunächst ist wegen der Definition von y: (2,) G (f', U,) y für alle n, und andrerseits gibt es zu jedem e > 0 eine Umgebung 1 von a in 9W, so daß: (3) (f,,)< +6. Da nun {U1} sich auf a zusammenzieht, müssen fast alle U, in 11 liegen, und somit ist: (4) G (f, 1) G (f, U) für fast alle n. Aus (3) und (4) zusammen mit (2) folgt: y < G (f, 1U) < y + E für fast alle n, und da hierin e 0 beliebig war, ist (1) bewiesen. Nun gibt es zufolge der Definition von G (a; f, S9) zu jedem e > 0 eine Punktfolge {a"} in 91 mit lima -a, für die: n= 0o Ist 11 eine Umgebung von a in 91, so liegen fast alle a, in 12, so daß also für jede Umgebung 1 von a in 9X: G(f,l )> G (a;f, ),-. Infolgedessen gilt auch für die untere Schranke y aller G(f, 12): y~ G(a; f, A)-e, und da e 0 beliebig war: (5) 7=G(a;,f,9). Sei nun wieder {lt,} eine Folge von Umgebungen von a in 9, die sich auf a zusammenzieht. Es gibt in lti einen Punkt a' von 91, so daß: (6) G (f, 1,) - - < f(a) _ G (f,,U). Da { 1,} sich auf a zusammenzieht, ist: (7) limn a=a, und wegen (6) und (1) ist: lim f (a,)-lim G (f, U1I)- = n=coo =-o...-

120 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Nach Definition von G (a; f, 9) ist also: (9) G(a; f, )ry. Aus (5) und (9) aber folgt: (10) G(a;f,9)=y. Durch (10) und (1) aber sind Satz IV und V bewiesen. Wir merken noch an, daß aus dem geführten Beweise folgt: Satz VI. Es gibt in 91 Punktfolgen {an} und {a'}, so daß: (1) rlim a', a; lim f (a') - G (a; f, 9). n=a o l= CO (tt) lim an a; lim f(a')= g(a; f, 9). n= Co n = co In der Tat, sei {1U} eine Folge von Umgebungen von a in 9, die sich auf a zusammenzieht (z. B. die Umgebungen 1 (a; -) von a in 91). In U1 gibt es einen Punkt an, für den (6) gilt. Die Beziehungen (7) und (8) aber sind nichts anderes als (t), und analog beweist man (tt). Man kann auch die in Satz IV ausgesprochene Eigenschaft zur Definition von G (a;, f, ) verwenden. Da dabei der Umgebungsbegriff (nicht aber der Abstandsbegriff) zur Verwendung kommt, können wir diese Definition als die topologische bezeichnen. Es ergeben sich aus ihr folgende charakteristische Eigenschaften der Zahlen G (a; f, 91) und g(a; f, 9): Satz YII. Die Zahlen g(a; f, 91) und G(a; f, 9) sind charakterisiert durch die beiden Eigenschaften: 1. Ist p<g(a; f, ); q>G(a; f, 9), so gibt es eine Umgebung 1 von a in 9, so daßl): (*) <g (f, t) G (f, U)<q. 2. Ist < G (a; f, 9) [bzw. z> g(a; f, 9)], so gibt es in jeder Umgebung U(a) einen Punkt a' von 9t, so daß: (**) f(a')>z [bzw. f(a')<z]. In der Tat, zunächst gibt es, da nach Satz IV G (a; f, 92) die untere Schranke aller G (f, U) und ebenso g (a; f, 91) die obere Schranke aller g(f, U), zwei Umgebungen 11' und 11" von a in 91, so daß: 1) Ist eine der Zahlen g (a; f, 91), G(a; f, 9) unendlich, so kommt nur die eine Hälfte der folgenden Ungleichung in Betracht.

Kap. II, ~ 2. Obere und untere Schrankenfunktion. 121 (***) g (f, U')>p; G(f, u") < q. Wir setzen: u = ' 11211". Da dann U-<U' und 11-<(U", ist offenbar: g(f, 1I)g(f, II'); G(f, u)~G(f, 1"). Also folgt (*) aus (***). Ist sodann z< G (a; f, 92), so ist, da G (a; f, 2) untere Schranke aller G(f, U), für jede Umgebung 11 von a in 9f: z < G (f, t). Nach Definition von G (f,.1U) gibt es also in 11 einen Punkt a', für den (**) gilt. Da es andrerseits nur eine einzige Zahl G(a; f, 92) [ebenso nur eine einzige Zahl g (a; f, 91)] geben kann, der die beiden Eigenschaften von Satz VII zukommen, so ist Satz VII vollständig bewiesen. Sei f eine auf der Punktmenge 91 definierte Funktion, 9o~ die abgeschlossene Hülle von 91. In jedem Punkte a von 9IO sind nun obere und untere Schranke G (a; f, 92), g (a; f, 91) von f definiert; diese Ausdrücke sind also Funktionen, die auf 90~ definiert sind. Sie heißen: obere und untere Schrankenfunktion von f auf 91. In Analogie zu Einleitung ~ 6, Satz VII gilt: Satz VIII. Sind fl, f2, f 4 f, definiert auf 91, so gelten in allen Punkten von 91o die Ungleichungen (vorausgesetzt, daß die darin auftretenden Ausdrücke einen Sinn haben): (1); (a,;f, - G(a;, )G(a; f +, (2) g(a; f', f)+g(a; f,, )a.g (a;f, +-f, f2) g (a; f, 91)+ G(a; f,, ). Es wird genügen, die Ungleichung (1) zu beweisen. Habe {tIl die Bedeutung von Satz V, so daß: G(a; {\, )= lim G (, U,); G(a; f, ")=lim G-(f, U,); g (a; &, 9=lim g (/(, 1U,); (4) G (a; +s t — f ), 2)-im G(f+ + -,!Ien). Nun ist offtenbar: (5) g (fi, u,)+ s (:,, un) < G (fi + f2), Ul)< C (/i, UJ) -+F C (t, Un), vorausgesetzt, daß die hierin auftretenden Summen einen Sinn haben; dies aber ist (für fast alle in) sicher dann der Fall, wenn die in (1)

122 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. auftretenden Summen einen Sinn haben. Aus (3), (4), (5) folgt aber (1). SatzIX1). Ist 2f kompakt, so gibt es in 5o einen Punkt a' und einen Punkt a", in denen: (">)G (a'; f, 2) -G(f, 92); g(a"; f, )= (f, 2). Wir beweisen die erste Hälfte der Behauptung, wobei wir vermöge der Schränkungstransformation wieder ohne weiteres annehmen können, f sei beschränkt. Dann gibt es in 51 einen Punkt a, derart, daß: (**) f(an) > (f, 92)Da - kompakt ist, gibt es in {a)} eine Teilfolge {any}, die einen Grenzpunkt a' besitzt, und wegen (**) ist: lim f(an,)= Ga(f, 52). Also ist, nach der allgemeinen Definition von G(a'; f, 51): G(a'; f, 5) G(f, 5). Dies in Verbindung mit (0) von Satz II aber ergibt die erste Hälfte von (*), und analog beweist man die zweite. Die Voraussetzung, 95 sei kompakt', kann in Satz IX 'nicht entbehrt werden. Denn sei 52 irgendeine nicht kompakte Menge. Dann gibt es in 51 einen abzählbaren Teil al, a2,..., a,... ohne lHäufungspunkt. Wir definieren: f (an) =n; f(a) 0 in den nicht zu { a.} gehörenden Punkten von 51. Dann ist G (f, 51) = -4- co, während G(a; f, 51) in jedem Punkte von a endlich ist. ~ 3. Stetigkeit in einem Punkte. Die auf der Punktmenge 51 definierte Funktion f heißt stetig auf 52 im Punkte a von 52, wenn für jede Punktfolge {a,} aus 91 mit lima, ==a auch: (*) n lim f (a,) = f (a) n == CO ist. Ist die Funktion f' nicht stetig in a auf 51, so heißt sie unstetig in a auf 51. Jeder Punkt, in dem f stetig (unstetig) auf 51 ist, heißt ein Stetigkeits-(Unstetigkeits-)punkt von f auf 21. ~) Dieser Satz dürfte (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) auf Weierstraß zurückgehen. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz (Kap. 1, ~ 1, S. 58); M. Fr6chet, Rend. Pal. 22 (1906), 8.

Kap. II, ~ 3. Stetigkeit in einem Punkte. 123 Da diese Definition der Stetigkeit weder vom Abstands- noch vom Umgebungsbegriffe expliziten Gebrauch macht, nennen wir sie (vgl. Kap. I, ~ 1, S. 58) die allgemeine Stetigkeitsdefinition'). Ist f stetig in a auf X, und ist 5 ein a enthaltender Teil von 29, so ist f in a auch stetig auf S3. Aus ~ 1, Satz III folgt unmittelbar: Satz I. Geht f durch die Schränkungstransformation über in f*, so sind f und f* in jedem Punkte von 91 gleichzeitig stetig, bzw. unstetig auf 9. Satz II.) Damit f stetig sei in a auf 5, ist notwendig und hinreichend, daß: (t>) G~(a; f, 9)= g (a; f, L). Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, aus der Stetigkeitsdefinition (*) folgt auf Grund der allgemeinen Definition von G (a; f, 91) und g (a; f, 91) sofort (t). Die Bedingung ist hinreichend; denn ist (t) erfüllt, so ist nach ~ 2, Satz II auch (tt) G (a; f, i) =g(; f, t)= f(). Nach Definition von G (a; f, 91) und g (a; f, 92) ist für jede Folge { asei} mit lim a = a: n = — 00 g (ac f, 9I) lim f(an) < lim f(a,,) G (a; f, 9), woraus wegen (i-) die Stetigkeitsdefinition (*) folgt. Damit ist Satz II bewiesen. Ebenso beweist man: Satz III.2) Damit f stetig sei in a auf 91, ist notwendig und hinreichend, daß (ff) gilt. Satz IV. Damit f stetig sei in a auf 91, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem p<f(a), und ebenso zu jedem q>f(a), eine Umgebung U von a in 9 gebe, so daß: f(a')>~p für alle a' von U, bzw. f(a')<q für alle a' von U. Die Bedingung ist notwendig. Angenommen etwa, es gäbe zu einem p<f(a) keine solche Umgebung It. In jeder Umgebung 1) Sie dürfte in der Literatur zuerst bei E. Heine zu finden sein (Journ. f. Math. 74 (1872), 182), der sich dabei auf G. Cantor beruft. 2) Satz II und III sind allgemeine Grenzsätze.

124 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. (a), insbesondere in U (a; ) gäbe es dann ein a, von 9S, so daß: f (a) < p < f (a) Dann aber ist limai a=a, und es könnte nicht limf(a,)= f(a) sein, n= — o n — oo entgegen der Annahme, f sei stetig in a, auf 92. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen, sie sei erfüllt. Ist dann { a} eine Punktfolge aus 9 mit limas a, so liegen fast n==oo alle a% in Ut; es ist also [für jedes p<f(a) und jedes q~>f(a)]: f(a) >p; f(a) < q für fast alle an, d. h. es ist lim f(ar) (a), und f ist stetig in a auf 2y. Damit ist Satz IV bewiesen. Man kann auch die in Satz IV ausgesprochene Eigenschaft zur Definition der Stetigkeit verwenden. Da dabei der Umgebungsbegriff (nicht aber der Abstandsbegriff) zur Verwendung kommt, bezeichnen wir sie als die topologische Stetigkeitsdefinition. Ist f (a) endlich, nimmt sie die bekannte Form an: Die Funktion f heißt stetig in a auf 92, wenn zu jedem > 0 eine Umgebung U von a in 9T gehört, derart daß: f (a')-f(a)I -e für alle a' von UI. Satz V. Damit f stetig sei in a auf?9, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedemp <f(a), sowie zu jedem q > f(a) ein > 0 gebe, so daß, wenn U(a; C) die Umgebung o von a in 29 bedeutet: (00) f(a')>p bzw. f(a')<q für alle a' von UI(a; C)..Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, ist f stetig in a auf 92, so gibt es nach Satz IV ein U1, so daß (0) gilt. Nach Kap. I, ~ 3, Satz V gibt es dann ein Q>0, so daß: n(a; )-<, und (00) folgt aus (0). Die Bedingung ist hinreichend. Dies ist ein Spezialfall von Satz IV. Man kann auch die in Satz V ausgesprochene Eigenschaft zur Definition der Stetigkeit verwenden. Da dabei der Abstandsbegriff verwendet wird, bezeichnen wir sie als die metrische Stetigkeitsdefinition. Ist f (a) endlich, nimmt sie die bekannte Form

Kap. II, ~ 3. Stetigkeit in einem Punkte. 125 an, in der zuerst der Stetigkeitsbegriff in die Analysis eingeführt wurde 1): Die Funktion f heißt stetig in a auf 9T, wenn es zu jedem e> 0 ein > 0 gibt derart, daß für jeden Punkt a' von Sf für den r(a, a')< e ist, die Ungleichung besteht: f(a')- f(a) <e. Aus jeder der drei Stetigkeitsdefinitionen folgt unmittelbar: in einem isolierten Punkte von 9f ist jede Funktion f stetig auf 1. Aus Einleitung ~ 5, Satz VII folgt ohne weiteres: Satz VI. Ist f stetig in a auf W, so auch -f und \fl. Satz VII. Sind f1 und f, stetig in a auf 2, und ist eine der Verknüpfungen f1 (a) fi(a)+ f, (a) f(a)-f (a), f(a). f2(a), ausführbar, so gibt es eine Umgebung 11 von a in 9f, für deren sämtliche Punkte die entsprechende der Verknüpfungen fl + f2, f - f,2 f1f, i ausführbar ist und eine in a auf U stetige Funktion liefert. Es wird genügen, dies für f, +f2- nachzuweisen. Wir unterscheiden die drei Fälle: 1. fi(a) endlich; 2. f (a)=+-oo, 3. fi(a)=-oo. Im 1. Falle folgt aus Satz IV die Existenz einer Umgebung U von a in W, in der f1 gleichfalls endlich ist, und mithin gewiß f1 — f2 ausführbar ist. Im 2. Falle ist, wegen der Existenz von f, (a) -- f2 (a), gewiß f2 (a) + - oo; es gibt also nach Satz IV eine Umgebung 11 von a in 91, in der: f1+-o; f2+-oo, und in der somit f, -- f ausführbar ist. Völlig analog schließt man im Falle 3. Damit ist die Existenz einer Umgebung U von a in 9i nachgewiesen, auf der fx +- f existiert. Sei nun { a} irgendeine Punktfolge aus U mit lima, - a. 1) B. Bolzano, Rein analytischer Beweis usw. Prag 1818, 11 = Ostwalds Klassiker Nr. 153, 7. A. Cauchy, Cours d'analyse 1 (1821), 34 = (Euvres (2) 3, 4s.

126 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von f, und f2 ist: lim f, (a.)- f, (a); lim f2 (a) = f, (a). =' — oo -? — oo Nach Einleitung ~ 5, Satz VIII ist daher auch lim (f, (a) + f,2 (a,)) = f, (a) -- f, (a); d. h. es ist f- + f2 stetig in a auf U. Damit ist Satz VII bewiesen. Satz VIII. Seien f,f2,...,f endlich viele') Funktionen, die auf 9/ definiert und in a stetig auf X9 sind. Ist f der größte(oder kleinste) unter den k Funktionswerten f1, f2,.., so ist auch f stetig in a auf X. Es genügt, den Beweis für k ==2 zu führen, da er dann für beliebige k sofort durch vollständige Induktion erbracht wird. Seien also f, und f2 stetig in a auf 9f, und sei f der größere der beiden Funktionswerte f4 und f2. Sei etwa: f,(a)> f(a) und somit: f(a)-=f(a). Für jede Folge {ai} aus 9/ mit lima-=,-a ist: n=oo (t) lim fi (a.) f= (a); lim f2 (an) — f2 (a). ~~== oo *n = 00 Ist: > f(a) (=f, (a)> f. (a)), so ist also wegen (t): fl,(an)<p; f2(aj)<p für fast alle n; mithin auch: (tf) f(a,)<p für fast.alle n. Ist < f (a) = (a)), so ist wegen (t): f(a)> q für fast alle n, 1) Für unendlich viele Funktionen gilt Satz VIII nicht, selbst wenn es unter ihren Werten einen größten gibt. Beispiel (Fig. 1): Sei f, (x) (n = 1, 2,...) definiert im 9i durch folgende Vorschrift:. f(x)=-0 in (-00,0], f(x)= - in,-+-00)x 2g. 1. ~Fig. l~. /(xaf,() linearin O, 1. Dann gibt es unter den Funktionswerten f, (x) für jedes x einen größten f(x): f (x) = 0 in (- 00, 0], f (x) = 1 in (0,+- oo). Es ist aber f(x) unstetig für x = 0, während alle f, (x) dort stetig sind.

Kap. II, ~ 4. Stetigkeit auf einer Punktmenge. 127 mithin auch: (ttt) f(a,)> q für fast alle n. Die Ungleichungen (tt) und (ttt) aber besagen: lim f (a) f(a), d. h. f ist stetig in a auf 9. Damit ist Satz VIII bewiesen'). ~ 4. Stetigkeit auf einer Punktmenge. Ist die auf der Punktmenge 9 des metrischen Raumes 91 definierte Funktion f in jedem Punkte a von 91 stetig auf 9, so heißt sie kurz: stetig auf 91. Beispiele stetiger Funktionen2) liefert uns der Satz: Satz I. Der Abstand r(a, a) des Punktes a von einem festen Punkte a, ebenso der Abstand r(a, 9) des Punktes a von einer festen Menge 91 ist eine in ganz 91 (und mithin auf jeder Punktmenge 91) stetige Funktion von a. In der Tat, wegen der Dreiecksungleichung, bzw. nach Kap. I, ~ 1, Satz IV ist: Ir (a, a)-(a, - ) r (a,, a ), Ir(a., A )-r(a, )|r I <(a., a). Aus lim a =a folgt also: in= oo limr(a" a) (a, (a, ); lim r (a, )=r(a, ), n-X o n- oodas aber ist die in Satz I behauptete Stetigkeit von r(a, a) und r(a, W). Satz II3). Ist 91 kompakt und abgeschlossen, und ist f stetig auf 91, so gibt es in 91 Punkte a' und a", so daß (*) f(a') = G (f, ); f(a")= g (f, 9). In der Tat, nach ~ 2, Satz IX gibt es in 9~O einen Punkt a', so daß 1) Wie der Beweis zeigt, ist Satz VIII ein allgemeiner Grenzsatz. 2) Vgl. hierzu H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 247. 3) Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz. Er dürfte (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) zuerst von Weie rstraß in seinen Vorlesungen bewiesen worden sein. Man überzeugt sich leicht, daß die Bedingungen, 91 sei kompakt und abgeschlossen, nicht entbehrt werden können. Näheres hierüber: M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 31 und H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 255.

128 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen (**) G (a'; f, 9)=G (f, W), und weil f9 abgeschlossen, gehört a' auch zu 9f. Wegen der Stetigkeit von f ist (~ 3, Satz III): (***) G(a'; f, )= f(a'). Aus (**) und (***) folgt die erste Gleichung (*), und ebenso beweist man die zweite. Wir ziehen aus Satz II einfache Folgerungen: Satz III. Ist 92 kompakt und abgeschlossen, so ist jede auf X endliche und stetige Funktion beschrankt. Satz IV. Ist 9f kompakt') und abgeschlossen, so gibt es zu jedem Punkte b von ~9 einen Punkt a in 9X, so daß: (0) r(b, 9)=r(b, a). In der Tat, nach Satz I ist r(b, a) als Funktion von a stetig auf 2f. Nun ist nach Definition r(b, 9) die untere Schranke von r(b, a) auf 9, also gibt es nach Satz II in 92 einen Punkt, für den (0) gilt. Satz V. Sind 9f und 2S kompakt2) und abgeschlossen, so gibt es a in 92 und b in 8, so daß: (t") Dr (n-(, S)= r(a, b). In der Tat, nach Kap. I, ~ 1, Satz III ist r (tf, b3) die untere Schranke von r(a, S3) auf S2. Nach Satz I ist r(a, B3) stetig auf 9f, nach Satz II gibt es also in 9f einen Punkt a, so daß (tt) r(a, ) =- r(2, 3). Nach Satz IV gibt es sodann in 58 einen Punkt b, so daß: (ttt) r(a, 8)= r(a, b). Aus (t-) und (itt) aber folgt (t), und Satz V ist bewiesen. 1) Im 9lk kann die Bedingung, 95 sei kompakt, weggelassen werden. Denn wählt man 9 so groß, daß in die abgeschlossene Umgebung I(b; Q) Punkte von 91 fallen, und setzt 91'= 1 (b; e), so wird: r (b, A) = r (b, At), und man kann statt an 91 an 9' argumentieren. Im 9R aber ist W' kompakt. 2) Im 9k genügt es, vorauszusetzen, mindestens eine der beiden Mengen S9, 3 sei kompakt. Diese Voraussetzung aber kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9t2: 9 die x,-Achse, 5 die Hyperbel,x, — 1. Es ist r (9, ) = 0, obwohl 91 und 38 fremd sind.

Kap. II, ~ 4. Stetigkeit auf einer Punktmenge. 129 Satz VI1). Damit f stetig sei auf 92, ist notwendig und hinreichend, daß für jedes2) c sowohl die Menge aller Punkte von 91, in denen f c, als auch die Menge aller Punkte von 91, in denen f<c ist, abgeschlossen sei in 91. Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, sei f stetig auf 9, und sei 9' die Menge aller Punkte von 91, in denen f>c und 9' die Menge aller Punkte von 91, in denen f c. Sei a ein zu 9i gehöriger Häufungspunkt von 92'. Es gibt in 9' eine Folge {a"} mit limr a - a. Wegen der Stetigkeit von f ist: (*) f (a) limf (a). Da nach Annahme: f (a,) >c für alle n, so ist nach (*) auch f (a) c, d. h. a gehörtb zu 91'. Also ist -. 91 abgeschlossen in W, wie behauptet. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, f sei nicht stetig auf 91. Ist etwa a ein Punkt von 9, in dem f nicht stetig ist auf 91, so gibt es in 9 eine Punktfolge {a,} mit lima n=-a, so daß nicht limf(a^,) f(a) gilt. Es gibt also sei es '=oo n= oo ein p< f(a), sei es ein q> f(a), so daß für unendlich viele n: f (a) <p bzw. f(a()~q. Für c-=p (bzw. q)3) ist nun im ersten Falle a Häufungspunkt von 9l", ohne zu 9" zu gehören, im zweiten Falle Häufungspunkt von 91', ohne zu 92' zu gehören. Mindestens eine der beiden Mengen 9', 91' ist also picht abgeschlossen in 91, und Satz VI ist bewiesen, Satz VII. Ist f stetig auf 92, so ist für jedes c die MengeallerPunktevon 9, in denenf==c ist, abgeschlossen in 914). Sei in der Tat ( diese Menge. Haben 9', 91' dieselbe Bedeutung, wie beim Beweise von Satz VI, so ist: _______ -9=1'. 91". 1) Auch dieser Satz ist ein allgemeiner Grenzsatz. 2) Statt dessen kann es auch heißen: für eine (im 9l,) überall dichte Menge von Zahlen c. 3) Ebenso für jedes der Ungleichung p c<f(a) (bzw. f (a)<c_ q) genügende c. 4) Diese Eigenschaft ist offenbar nicht hinreichend für die Stetigkeit von f. Beispie: Sei 9 das Intervall [0, 1] des 91, und f(x)==x in (0, 1), f(0)=, f(l)=0. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 9

130 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Nach Satz VI ist 9S' und 21" abgeschlossen in., also nach Kap. I, ~ 2, Satz VI auch ihr Durchschnitt (. Damit ist Satz VII bewiesen. Satz VlIII). Ist die Funktion f stetig auf der zusammenhängenden2) Menge 2t, und nimmt sie auf 21 die Werte c' und c" an, so nimmt sie auf 92 auch jeden Wert c zwischen d und c" an. In der Tat, nach Satz VI ist sowohl die Menge 1' aller Punkte von W1, in denen f> c, als auch die Menge 91" aller Punkte von 1i, in denen f< c, abgeschlossen in 21. Nach Annahme ist weder SC' noch 21" leer, und es ist: Da 21 zusammenhängend, sind also 21' und 1" nicht fremd, d. h. 1'. 51" ist nicht leer. In jedem Punkte von W'. 1" aber ist f=c, und Satz VIII ist bewiesen. Es sei eigens bemerkt, daß es auch nicht stetige Funktionen gibt, denen die Eigenschaft von Satz VIII zukommt ). Ein sehr bekanntes Beispiel liefert die Funktion f(x), die definiert ist durch: f(x)==sin - für x+ 0; f(O)=O. Weitergehend ist das folgende Beispiel4): Wir gehen aus von der Bemerkung: Es gibt eine Menge der Mächtigkeit c von Teilen des 9S, deren jeder dicht im ~9 ist, und deren je zwei fremd sind. In der Tat, sei y eine beliebige reelle Zahl aus [0, 1). Wir entwickeln sie in einen unendlichen Systembruch der Grundzahl 2 (1) y =0.e e2... e..... (e,==0, 1), in dem unendlich viele Stellen 0 vorkommen. Nach Einleitung ~ 7, Satz IV und II ist dies auf eine und nur eine Weise möglich. Sei sodann ein endlicher 1) Auch dieser Satz ist ein allgemeiner Grenzsatz; er wurde (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) zuerst bewiesen von B. Bolzano, Rein analytischer Beweis usw. (1818), 12, 51 Ostwalds Klassiker Nr. 153, 8, 31. 2) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden; denn ist 1 nicht zusammenhängend: =1 w1' + S 1" (21', 21" abgeschlossen in 21), so setze man: f=-0 auf 1', f==1 auf 1i". Dann ist nach Satz VI f stetig auf 21 und nimmt keinen Wert zwischen 0 und 1 an. 3) Dies wurde betont von G. Darboux, Ann. Ec. Norm. (2) 4 (1875), 109. 4) H. Lebesgue, Le9ons sur l'int6gration (1904) 105. Vgl. auch E. Ceaaro, Bull. sei. math. (2) 21 (1897), 258. W. H. Young, Rend. Pal. 24 (1907), 187; Mess. of math. (2) 39 (1909), 69. F. Apt, Arch. d. Math. (3) 20 (1912), 189.

Kap. II, ~ 4. Stetigkeit auf einer Punktmenge. 131 Systembruch der Grundzahl 2 mit gerader Stellenzahl gegeben, dessen letzte Stelle eine 1 ist: (2) 9 g g....2k; g2k-1. Wir setzen aus (1) und (2) den Systembruch zusammen: (3) g'9 g2...g27 e1 O e2 0... e 0... Die Menge 9)i(y) aller Zahlen, die man erhält, indem man in (3) y festhält und den Systembruch (2) beliebig variieren läßt, ist dicht im 91, und verschiedene y liefern fremde Mengen 9D (y). Damit ist die Behauptung bewiesen. Definiert man nun f(x) durch: f(x)= y wenn x in SJ (y), f(x)=-1 wenn x in keiner Menge 9J(y), so ist f(x) für kein x stetig, und nimmt in jedem Intervalle [x", x2] alle Werte aus [0, 1] an. An die metrische Stetigkeitsdefinition (~ 3, Satz V) knüpft der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit an1). Die beschränkte Funktion f heißt gleichmäßig stetig auf 1, wenn es zu jedem > 0 ein Q> 0 gibt, so daß für jedes Punktepaar a', a" aus 9, dessen Abstand: r(a', d' )<Q ist, die Ungleichung besteht: f (a')- f(a") < e. Eine nicht beschränkte Funktion heißt gleichmäßig stetig auf S9, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformatibn entstehende Funktion gleichmäßig stetig auf 9/ ist. Selbstverständlich ist jede auf 9 gleichmäßig stetige Funktion auch stetig auf 92. Was die Umkehrung anlangt, so gilt: Satz IX2). Ist % kompakt und abgeschlossen3), so ist jede auf 91 stetige Funktion auch gleichmäßig stetig auf 91. 1) Eine andre, auf nicht metrischer Grundlage ruhende Definition der gleichmäßigen Stetigkeit wird vorgeschlagen von W. Sierpiiski, Wektor 2 (1912), 353. 2) Dieser Satz wird gewöhnlich E. Heine zugeschrieben. Doch findet er sich schon in einer von Dirichlet 1854 gehaltenen Vorlesung (G. LejeuneDirichlets Vorlesungen über die Lehre von den einfachen und mehrfachen bestimmten Integralen, herausgegeben von G. Arendt (1904), 4). In der im Text gegebenen Allgemeinheit wurde der Satz bewiesen von M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 29. 3) Diese Voraussetzungen können nicht entbehrt werden. Sei z. B. Si die Menge aller rationalen Punkte des 1, und f(x)- 1 für x < /2, f(x)= 0 für x > /2. Dann ist f(x) auf SI stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. Die Funktion sin —1 ist in (0, 1] stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. 9*

132 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Vermöge der Schränkungstransformation geniigt es, den Beweis für beschränkte f zu führen. Angenommen, der Satz wäre nicht richtig; dann gibt es ein e> 0 und eine Folge von Punktepaaren a, a" (n = 1, 2,...) aus 91, für die: (*) lim r (an', a,)=0 und ](f(a')- f(a,(\) > e. n=co Da 92 kompakt, hat die Folge {a,} einen Häufungspunkt a, und da %9 abgeschlossen ist, gehört a zu 9/. In {a"'} gibt es eine Teilfolge {all} mit lim an, -a, und wegen der ersten Relation (*) ist auch: lim a == a. Wegen der Stetigkeit von f ist: lim f (a') == f(a); lim f(a) f (a), und somit: lim [f(a',) - ( 0, im Gegensatz zur zweiten Umgleichung (*). Damit ist Satz IX bewiesen.. Er kann sofort noch etwas erweitert werden: Satz X. Ist 51' ein kompakter und abgeschlossener Teil der beliebigen Menge 9i, und ist die auf %9 definierte Funktion f in allen Punkten von 9f' endlich und stetig auf t, so gibt es zu jedem e>0 ein p>O, so daß für alle./ von 21' und alle der Ungleichung r(a', a") <z genügenden a us aus 91: f (a')-f(a)<. Der Beweis verläuft ebenso, wie für Satz IX, nur daß unter {af'} nun eine Punktfolge aus 2t' zu verstehen ist. Satz XI. Ist 9/' ein kompakter und abgeschlossener Teil der beliebigen Menge 52, sind f1 und f2 definiert auf 9I, stetig auf 52 in allen Punkten von 92', und ist fx+f2 auf 1', so gibt es eine Umgebung U von 52' in 51, so daß auch fl ==f2 auf U. In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation können wir f& und f2 als beschränkt annehmen. Es ist lf1-f21 stetig und > 0 auf 51'. Also ist nach Satz II auch: 9 (d i - fe1 21) >

Kap. II, ~ 5. Erweiterung einer stetigen Funktion. 133 Wir wählen in Satz X: e<g(l f - fi, ) so daß auf /': f - f2 > Dann ist nach Satz X: It -f >0 auf der Umgebung U (p; 2') von l' in g, und Satz XI ist bewiesen. ~ 5. Erweiterung einer stetigen Funktion. Wir behandeln nun folgende Fragestellung: Es sei auf einem Teile 38 von / eine stetige Funktion f gegeben; unter welchen Umständen kann f zu einer auf ganz 2 stetigen Funktion erweitert werden? Wir behandeln zunächst den Fall, daß 2 dicht in 91 ist und gehen aus von der Bemerkung: Satz I1). Eine auf 2 stetige Funktion f ist völlig bestimmt durch die Werte, die sie auf einem in 2T dichten Teile 23 von W annimmt. In der Tat, da 23 dicht in 2, gibt es zu jedem Punkt a von 21 in 8 eine Punktfolge {b"}, so daß: lim b -= a. n=co Wegen der Stetigkeit von f muß also sein: f(a) = limf(bn). fi= O0 Also ist f(a) durch die Werte von f auf 3 eindeutig bestimmt, wie behauptet. Wir ziehen zunächst einige Folgerungen aus Satz I. Satz II. Gibt es einen in 2 dichten Teil 23 von 21 der Mächtigkeit b, so hat die Menge aller auf % stetigen Funktionen höchstens die Mächtigkeit co. In der Tat, die Menge 91 aller Funktionen auf 3, das heißt die Menge aller Belegungen von 28 mit reellen Zahlen, hat die Mächtigkeit ce (Einleitung, ~ 2, S, 7). Da eine auf 2 stetige Funktion völlig bestimmt ist durch ihre Werte auf 23, ist die Menge 9D aller auf 21 stetigen Funktionen gleichmächtig mit einem Teile von 91, und Satz II ist bewiesen. Satz III. Die Menge 9i aller auf einer separablen Menge 2f stetigen Funktionen hat die Mächtigkeit c. 1) Satz I findet sich wohl zum erstenmal (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) bei E. Heine, J. f. Math. 74 (1872), 183. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz.

134 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. In der Tat, da jede Konstante eine auf 2 stetige Funktion ist, hat 9JY mindestens die Mächtigkeit c. Da 2f separabel ist, gibt es einen in % dichten abzählbaren Teil von A9. Nach Satz II hat also sIZ höchstens die Mächtigkeit cS= c (Einleitung ~ 7, Satz X). Also hat Du genau die Mächtigkeit c, und Satz III ist bewiesen. Bemerken wir noch, daß demzufolge auf jeder separablen Menge der Mächtigkeit c, insbesondere also im ~9 die Menge aller Funktionen höhere Mächtigkeit hat, als die aller stetigen Funktionen. In der Tat, auf einer Menge der Mächtigkeit c hat die Menge aller Funktionen die Mächtigkeit1) cf-(2xo) — 2oc, — 2c; die Menge aller auf einer separablen Menge stetigen Funktionen aber hat nach Satz III die Mächtigkeit c, und nach Einleitung ~ 2, Satz XII ist: 2c c. Satz IV. Ist t ein in 9 dichter Teil von. i, und ist f stetig auf 9, so ist: (t) g (f, })=-g (f, b); G (f, A) =- G f, f ). In der Tat, da -<(, ist: (2) G (f, )< G(f, ). Ist andererseits p irgendeine Zahl: (3) p< G(f, x), so gibt es ein a in 91, so daß: (4) f(a) >p Da e dicht in St, gibt es in S eine Punktfolge {b~}, so daß: lim bb- a. Wegen der Stetigkeit von f ist dann: limn f(b,)= f (a). Zufolge (4) ist also: f(b) >p für fast alle n, und daher auch: G (f, 23)>>. Da aber p eine beliebige, (3) genügende Zahl war, ist dann aruch: (5) G (f, B3) _ G (, t). 1) Zur folgenden Gleichung vgl. Einleitung ~ 7, Satz V; ~ 2, Satz I; ~ 7, Satz VIII.

Kap. II, ~ 5. Erweiterung einer stetigen Funktion. 135 Aus (2) und (5) aber folgt die zweite Gleichung (1), und analog beweist man die erste. Satz Y. Ist S8 ein in 2 dichter Teil von 21, und ist f stetig auf 91, so ist in jedem Punkte a der abgeschlossenen Hiille o90: g(a; f )a; f, (a; f, ); G(a; f, 2)- G(a; f, S3). Zunächst ist g(a; f, 93) und G (a; f, S) in jedem Punkte von W~ definiert; denn da 93 ein in- 2 dichter Teil von 2 ist, so ist o-= 3o0. Sei nun a ein beliebiger Punkt von 9~1, 11 eine Umgebung von a. Nach Kap. I, ~ 4, Satz XI ist 3 1U dicht in 11U. Also ist nach Satz IV: g (f, 1U)=g (f, 13U); G(f, 2U) =G(f, 93U), und da G (a; f, 2) und G (a; f, 3) die unteren Schranken aller G(f, t11) bzw. aller G (f, 311) sind, so ist Satz V bewiesen. Wir knüpfen wieder an Satz I an. Ist 3 ein in 91 dichter Teil von 21, so ist jede auf 2C stetige Funktion auch stetig auf 3. Doch kann nicht jede auf 23 stetige Funktion zu einer auf 2 stetigen Funktion erweitert werden'). Wir stellen Bedingungen auf, unter denen dies möglich ist. Satz VI2). Ist 93 ein in 2( dichter Teil von 2, so ist, damit die auf 3 gegebene Funktion f sich zu einer auf 2 stetigen Funktion erweitern lasse, notwendig und hinreichend, daß in jedem Punkte a von 21: (*) G (a; f, 3)=g (a; f, S). Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, ist f stetig auf 21, so ist (~ 3, Satz II): G(a; f, t)=g(a; f, 9), und nach Satz V gilt dann auch (*). Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, in jedem Punkte von 2 gelte (*). Wir erweitern die Definition der Funktion f von 93 auf 91, indem wir in den Punkten von 21-53 setzen: (**) f (a)=G(a; f, 3) = (a; f, 3). Wegen der Stetigkeit von f auf 9 aber gilt (**) auch in allen Punkten von S, und' mithin also auf ganz 21. Wir haben zu zeigen: die durch (**) auf 21 definierte Funktion f ist stetig auf 91. ~) Beispiel: Sei (im DRi): f(x)- 1 für x /, f (x) =O für x > 12. Auf der im ~9 dichten Menge aller rationalen x ist f(x) stetig. *2) R. Baire, Acta math. 30 (1906), 17.

136 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. In der Tat, zu jedem p: p > G (a; f, ) (= f(a)) gibt es nach ~ 2, Satz IV eine Umgebung U von a, so daß: (f, u) <p. In jedem Punkte von U91? ist daher: G(a; f, 3)<p, mithin wegen (**) auch: (t) f<p. Ebenso beweist man: zu jedem q: q< g(a; f, 58)(= f(a)) gibt es eine Umgebung U1 von a, so daß in 11I: (tt) f>q. Aus (t) und (tt) aber folgt nach ~ 3, Satz IV, daß f in a stetig ist auf W9, und Satz VI ist bewiesen. Satz VII1). Ist $ ein in t dichter Teil von 1, so ist, damit die auf -3 gegebene Funktion f sich zu einer auf 9 stetigen Funktion erweitern lasse, hinreichend2), daß f gleichmäßig stetig sei auf 5. Vermöge der Schränkungstransformation können wir annehmen, f sei beschränkt auf 3. Nach Satz VI genügt es nachzuweisen, daß in jedem Punkte a von 9: G(a; f,) =g(a; f, ). Angenommen, dies wäre nicht der Fall, so gibt es in 91 mindestens ein a, so daß: G(a; f, 3)> g(a; f, 1). Nach ~2, Satz VI gibt es in S Punktfolgen {Üb'} und {b,"}, so daß: lim b' = a; lim b' = a, n= o n=ao lim f(b')= G (a; f, S) lim f () = g (a; f, ). n=ooa n-oO Es wäre also gleichzeitig: lim r (b', b") 0; lim [f(b) - f (b)] > 0, 1) S. Pincherle, Mem. Bol. (5) 3 (1893), 293. T. Broden, J. f. Math. 118 (1897), 3; Acta Univ. Lund. 8 (1897), 10. E. Steinitz, Math. Ann. 52 (1899), 59. Vgl. auch L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884), 294. 2) Ist 9 kompakt und abgeschlossen, so ist nach ~ 4, Satz IX die Bedingung auch notwendig.

Kap. II, ~ 5. Erweiterung einer stetigen Funktion. 137 im Widerspruche mit dem Begriffe der gleichmäßigen Stetigkeit. Damit ist Satz VII bewiesen. Wir haben uns bisher mit der Erweiterung einer auf 53 gegebenen stetigen Funktion zu einer auf 2f stetigen Funktion nur in dem Falle befaßt, daß Q3 dicht in %9 ist. Wir behandeln nun den allgemeinen Fall. Zunächst gilt: Satz VIII1). Ist 8 ein in 9 abgeschlossener Teil von 91, und f eine Funktion auf 23, so gibt es auf 9 eine Funktion F, die auf 'S mit f übereinstimmt, und stetig auf 9 ist in allen Punkten von 91-2 3, sowie in allen denjenigen'Punkten von,8, in denen f stetig ist auf 93. Vermöge der Schränkungstransformation können wir annehmen und indem wir weiter -l-(f-l1) statt f betrachten, können wir annehmen: (1) O f~1. Es wird also genügen, zu zeigen, daß jede auf 3 der Ungleichung (1) genügende Funktion f zu einer die Forderungen von Satz VIII erfüllenden und auf ganz 91 der Ungleichung (1) genügenden Funktion F erweitert werden kann, da man von diesem Fall, indem man nun umgekehrt F ersetzt durch 2 F- 1 und sodann die inverse Sechränkungstransformation ausübt, zum allgemeinen Fall zurückkehrt. Wir setzen abkürzend: (2) r,=r(a, 9). Da 93 abgeschlossen in 91, ist für jeden Punkt von 91- ': r>ig. 2. Jedem Punkte a von 91 -3 ordnen wir nun zunächst folgende (für r > 0 definierte) Funktion der, reellen Veränd6rlichen r zu (Fig. 2): 1 in [0,2r r] (3) a (r) linear in [2 r, 3 r,] 0 in [3r, +-cx); sodann folgende auf 58 definierte Funktion des Punktes b: (4) fa, =h A, (r ( )) b (b). 1):H. Tietze, J. f. Math. 145 (1914), 9. C. Carath6odory (nach H. Bohr), Vorl. über reelle Funktionen, 617. L. E. J. Brouwer, Math. Ann. 79 (1918), 139. Ein besonders einfacher Beweis (während der Drucklegung erschienen): F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 296.

138 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Die obere Schranke G(fa, S) ist dann eine auf 9i- 3 definierte Funktion von a. Wir setzen nun: (5) F^(^ta) { (fa) auf sG (fa ^) auf 91 - 3. Wegen (1) ist dann auch 0 < < 1. Und nun wollen wir zeigen: die durch (5) definierte Funktion F(a) genügt den Forderungen von Satz VIII. Wir zeigen zunächst: Ist a in St-33, so ist F in a stetig auf X. In der Tat, da 3 abgeschlossen in f, gibt es eine Umgebung!I' von a in ~Q, die zu 3 fremd. Aus der Definition (3) von ha(r) und der Tatsache, daß ra eine stetige Funktion von a ist (~ 4, Satz I), folgt: zu jedem e>0 gibt es ein o> 0, so daß (bei festem a): (6) 7ha(r')-ha (r) Ij< wenn r'- r < r (aa') < Q. Ist dann a' ein zur Umgebung U1(a; p) von a gehörender Punkt aus %', so gilt nach der Dreiecksungleichung für jedes b aus '3: [r(a, b) - r(a', b) < Q, und somit nach (6): (7) jh (r (a, b)) - ha ( (a', b)) < e. Setzen wir noch: U=1'. U(a; e)., so ist U fremd zu S3, und für alle a' von UI und alle b aus 3 gilt (7). Aus (4), (1) und (7) folgt nun; j f (b) f- (b) f< somit auch: I (f,, S)- G (fa,, )1, also ist, da sowohl a als a' zu 2 - 3 gehören, nach (5): iF(a') - F(a) |e für alle a' von U, d. h. F ist stetig auf 2f in a, wie behauptet. Es bleibt zu zeigen: Ist a ein Punkt von 3, in dem f stetig auf B3 ist, so ist F in a auch stetig auf f. Sei also a ein solcher Punkt. Weil f in a stetig auf 3, gibt es zu jedem > 0 ein > 0, so daß für alle in U (a; Q) liegenden Punkte b von 3: (8)! f Sei nun a' ein beliebiger, zu 9 — 8 gehöriger Punkt aus l l(a;-).

Kap. II, ~ 5. Erweiterung einer stetigen Funktion. 139 Zufolge der Definition (2) von ra' ist dann: (9) < |. Fiir alle außerhalb U (a; Q) liegenden Punkte b von B ist: r(a',) > > 3 ra und somit nach (3) und (4): (1 0) fa(b)= O. Für die in U (a; e) liegenden Punkte b von 5 aber ist, zufolge der Definition (3) von h,, und wegen (8): (11) ta, (b) < f(b)< f(a) -, und wegen (10) und (11) ist, nach (5), auch: (12) (a') G (fat ) _ f(a) e. Gemäß der Definition (2) von ra' gibt es nun einen Punkt b' von 5t, so daß: (13) (ad', b')< 2,r,. Zufolge (9) ist also: r (a, b') <. 2' und da a' in 1I a; lag, liegt b' in U(a; ), und aus (8) folgt daher: (14) f(b')>f(a)-e. Bei Beachtung von (13) ergibt aber die Definition (4) von f,: für (b')= f(bt); ferner ist, nach (5): (15) F( =G')= (tf, e) { > f(b'), und aus (14) und (15) folgt für alle zu 2 -- 8 gehörigen a' aus (16) F(') > f(a) - 8. Zusammen mit (12) ergibt (16) für alle zu 9f - gehörigen a' aus F(d) - f(ca) Da aber nach (5) auf i3 F mit f übereinstimmt, gilt, bei Beachtung von (8), für alle zu g gehörigen a' aus 1 (a; -: F(a')- F(a) <,

140 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. d. h. F ist in a stetig auf 91. Damit ist der Beweis von Satz VIII beendet. Aus Satz VIII entnehmen wir nun folgende Verallgemeinerung von Satz VI: Satz IX. Ist S3 ein Teil von 52, so ist, damit die auf e gegebene Funktion f sich zu einer auf 9 stetigen Funktion erweitern lasse, notwendig und hinreichend, daß in jedem Punkte a von 3~.9W: G(a; f, )=g (a; f, 5). Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, nach Satz VI ist sie sogar notwendig dafür, daß f sich zu einer auf S ~9 stetigen Funktion erweitern lasse. Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so kann f zunächst nach Satz VI erweitert werden zu einer auf 3~O 9 stetigen Funktion, sodann, da 3o9f abgeschlossen in 92, nach Satz VIII zu einer auf 9f stetigen Funktion. Wir sprechen noch folgenden Spezialfall von Satz IX eigens aus'): Satz X. Ist 58 abgeschlossen in X9, so kann jede auf e stetige Funktion zu einer auf 9 stetigen erweitert werden. ~ 6. Stetige Abbildungen. Wie wir in ~ 1 sahen, ist der Funktionsbegriff ein Spezialfall des Abbildungsbegriffes. So wie unter den Funktionen die stetigen Funktionen, so nehmen unter den Abbildungen die stetigen Abbildungen einen ausgezeichneten Platz ein. Die Sätze über stetige Funktionen, die wir besprochen haben, sind großenteils nur Spezialfälle von Sätzen über stetige Abbildungen, mit denen wir uns nun kurz befassen wollen. Seien zwei metrische Räume Si und e gegeben2); sei 9 eine Punktmenge von 9R, und sei jedem Punkte a von 91 ein Punkt b von ( zugeordnet. Dadurch ist eine Abbildung A von 91 in den Raum ( definiert. Den dem Punkte a zugeordneten Punkt von G nennen wir (wie in Einleitung ~ 2, S. 5) das Bild von a (vermöge A) und bezeichnen ihn mit A(a), jeden durch A auf einen gegebenen Punkt b von ~ abgebildeten Punkt von 91 nennen wir ein Urbild von b. Ist 92' ein Teil von 9, so bildet die Menge der Bilder A(a) aller Punkte a von 91' eine Punktmenge 23' in @, die als das Bild A(9') von 91' vermöge A bezeichnet wird. Ist 3-=A(91) das Bild 1) Einen sehr einfachen Beweis für diesen Satz werden wir in ~ 10, S. 166 angeben. 2) Sie können auch identisch sein.

Kap. II, ~ 6. Stetige Abbildungen. 141 von 91, und ist 3' ein Teil von B, so heißt die Menge aller Punkte von 9, die Urbilder eines Punktes von S' sind, das Urbild von 93'. Wie bei Funktionen definiert man: die Abbildung A von i heißt stetig im Punkte a von 91, wenn sie jede Punktfolge {a,} aus 91 mit lim a-=a abbildet auf eine Punktfolge {A(a)} mit n-= oo lim A (a,) =A(a). n= 00 Ist die Abbildung A von 91 stetig in jedem Punkte von 91, so heißt sie eine stetige Abbildung von 91; das Bild A(91) heißt dann ein stetiges Bild von 9. In Analogie zu ~ 3, Satz IV gilt: Satz I. Damit die Abbildung A von 1t stetig sei im Punkte a von 1, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jeder Umgebung $ in 23 des Bildes A(a) von a eine Umgebung U in 1 von a gebe, so daß: (*) A(u)<3. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat A stetig in a und 93 eine Umgebung von A(a) in 93. Sei ferner 1XU die Umgebung U (a; -) von a in 91. Angenommen, in jedem U1 gäbe es ein a", so daß A(a,) nicht in 93. Da A(a) in $8, so könnte nicht lim A(a) - A (a) n= oo sein (Kap. I, ~ 3, Satz VI), im Widerspruch mit der vorausgesetzten Stetigkeit von A. In mindestens einem 1UI gibt es also kein an,> dessen Bild A(an) nicht zu 93 gehörte, d. h. es ist: A(un) 2< und die Behauptung ist bewiesen. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Zur Umgebung S von A (a) in 83 gibt es dann eine Umgebung U in 9 von a, so daß (*) gilt. Ist {a"} eine Punktfolge in 91 mit lim a,-=a, so ist a, in U für fast alle n, mithin, wegen n =- o~ (*), A(a,) in 93 für fast alle n; also ist (Kap. I, ~ 3, Satz VI): lim A(a,) = A(a), nsD oo d. h. A ist stetig in a, wie behauptet. Satz II von ~ 4 ist ein Spezialfall des Satzes: Satz II1). Jedes stetige Bild einer kompakten, abgeschlossenen Menge ist kompakt und abgeschlossen. 1) Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz.

142 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Sei in der Tat A(91) ein stetiges Bild der kompakten, abgeschlossenen Menge 91. Wir zeigen zunächst, daß A(91) kompakt ist. Dazu genügt es zu zeigen: jede unendliche Folge {A(a.)} aus A(9S) enthält eine konvergente Teilfolge. Sei {A(an)} eine Punktfolge aus A(91). Da 9 kompakt, gibt es in {a"} eine konvergente Teilfolge {an}: lim a, = a, v = 00 und da 91 abgeschlossen, gehört a zu 9. Wegen der Stetigkeit der Abbildung ist daher auch: (t) lim A(an,) = A (a), d. h. in {A(a.)} gibt es auch eine konvergente Teilfolge; also ist A(9) kompakt. Wir zeigen sodann, daß A(91) abgeschlossen ist. Se~ zu dem Zwecke b ein Häufungspunkt von A(91). Dann gibt es in A(9W) eine Folge A(a"), so daß: (tt) -lim A (a) =-. n==oo In {a"} gibt es eine konvergente Teilfolge {a,}, deren Grenzpunkt a, wie wir eben sahen, gewiß zu 91 gehört, so daß wieder (f) gilt. Der Vergleich von (t) und (tt) aber ergibt: A(a)=b, also gehört b als Bild von a zu A(9). Also ist A(9l) abgeschlossen. Damit aber ist Satz II bewiesen. Dem Satze VI von ~ 4 entspricht folgender allgemeine Satz: Satz III. Damit die Abbildung A von 91 auf A(91) stetig sei, ist notwendig und hinreichend, daß das Urbild jeder in A(91) abgeschlossenen Menge abgeschlossen in 91 sei. Die Bedingung ist notwendig'). Sei in der Tat A(9W) stetiges Bild von 91, und sei S3' abgeschlossen in A(91). Mit 91' bezeichnen wir das Urbild von 3', mit a einen zu 91 gehörigen Häufungspunkt von 91'. Wir haben zu zeigen, daß er auch zu 91' gehört. Jedenfalls gibt es in 91' eine Punktfolge {a"} mit lim a,= a. Wegen der Stetigkeit der Abbildung ist n==c lim A(a)= A (a). == 00 Weil die A(a,) zu 93' gehören, und 93' abgeschlossen in A(91) ist, gehört auch A(a) zu 3', mithin a zum Urbild 91' von 3', und die Beh lptung ist bewiesen. D) Dieser Teil von Satz III ist ein allgemeiner Grenzsatz.

Kap. II, ~ 6. Stetige Abbildungen. 143 Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, die Abbildung sei nicht stetig. Dann gibt es in 2t einen Punkt a und eine Punktfolge {a"} mit lim a a=a, so daß nicht lim A (a")=A (a); fl-00oo n= Xo d. h. es gibt eine Umgebung $3 in A(W) von A(a), so daß unendlich viele A(a,) in A ()- S8 liegen. Nun ist die Menge A (2)- $8 abgeschlossen in A(W). Ihr Urbild enthält unendlich viele a", nicht aber deren Grenzpunkt a, ist also nicht abgeschlossen in S1. Damit ist die Behauptung bewiesen. Satz VIII von ~ 4 ist Spezialfall von: Satz IVY). Jedes stetige Bild einer zusammenhängenden Menge 1t ist zusammenhängend. Sei in der Tat A(W) stetiges Bild von 9f; sei: A(1) = + 23-, (21~ 23 abgeschlossen in A(1)), und seien 21 und %2 die Urbilder von 3, und 2. Nach Satz III sind 91 und 2 abgeschlossen in 21, und es ist: Da 29 zusammenhängend, ist eine der beiden Mengen W, 212 leer, daher ist auch eine der beiden Mengen 31, >32 leer; d. h. A(91) ist zusammenhängend, und Satz IV ist bewiesen. Eine Abbildung der Menge 21 heißt gleichmäßig stetig, wenn zu jedem e> 0 ein > 0 gehört, so daß für zwei Punkte a, a" von A: r(A(a'), A(a")) < wenn r(a', a") < Q. Satz IX von ~ 4 ist Spezialfall von: Satz V. Jede stetige Abbildung einer kompakten und abgeschlossenen Menge ist gleichmäßig stetig. Der Beweis ist ganz derselbe wie für Satz IX von ~ 4. Satz I von ~ 5 ist Spezialfall des ganz ebenso zu beweisenden Satzes: Satz VI. Eine stetige Abbildung von 2 ist völlig bestimmt durch die Bilder der Punkte eines in 21 dichten Teiles von 91. Satz VII von ~ 5 ist Spezialfall von: Satz VII. Eine gleichmäßig stetige Abbildung B des in 21 dichten Teiles 2 von 21 in eine vollständige Menge L kann erweitert werden zu einer stetigen Abbildung von 2 in (. 1) Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz.

144 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. In der Tat, da a dicht in 9, gibt es zu jedem Punkt a von 9f eine Punktfolge {bn} in e3 mit: lim b -= a. n = Co Nach Kap. I, ~ 8, Satz I ist {b"} eine Cauchysche Folge, d.h. ist > 0 beliebig gegeben, so gibt es ein no, so daß: r(b"", b"",)< für n'> n0, n"n.0. Wegen der vorausgesetzten gleichmäßigen Stetigkeit der Abbildung B gibt es daher zu jedem e>0 ein no, so daß für die Bilder B(b,) der bn gilt: r(B(b.,), B(b,")) < E für n' > n, n, n. Es ist also auch die Folge {B(b,)} eine Cauchysche, und da (E vollständig, gibt es in C einen Punkt c, so daß lim B(b,)=c. n0 = 00 Wir ergänzen nun die Abbildung B von 83 zu einer Abbildung A von 91, indem wir setzen: A(a)- c Wir haben zu beweisen, daß A eine stetige Abbildung ist. Sei zu dem Zwecke e> 0 beliebig gegeben; wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von B gibt es dazu ein c>0, so daß für je zwei Punkte b', b" von 23: (1) r(B(b'), B(b")) < e, wenn r(b', b") <. Seien nun a', a" zwei Punkte aus g, für die: (2) r(a', d")<Q. Nach Definition der Abbildung A gibt es in $ zwei Punktfolgen {b&}, {b}, so daß: (3) lim b'- za'; lim b' =" a"; (4) lim B (b') = A (a'); lim B (b) - A (a"). Wegen (2) und (3) ist: r(b', bn) < für fast alle n, daher nach (1): r(B(b'), B(b")) <e für fast alle n. Somit wegen (4): r(A(a'), A (a")) <. Es ist also die Abbildung A von 91 gleichmäßig stetig, und daher gewiß stetig, und Satz VII ist bewiesen.

Kap. II, ~ 6. Stetige Abbildungen. 145 Es ordne die Abbildung A jedem Punkte a von 2 den Punkt b A(a) zu, und es sei 9== A(29) das Bild von 9. Sodann ordne die Abbildung B jedem Punkte b von S den Punkt c B(b) zu, und es sei (=-B(13) das Bild von 3. Als die aus A und B zusammengesetzte Abbildung A.B bezeichnet man diejenige Abbildung von fl auf J, die dem Punkte a von 91 den Punkt c =B(b) - B(A(a)) zuordnet. Es gilt der Satz: Satz VIII. Ist die Abbildung A von 92 auf die Menge > stetig im Punkte a von 92, und ist die Abbildung B von e stetig im Punkte b=A(a) von 93, so ist die Abbildung A.B stetig im Punkte a. Sei in der Tat {(a} eine Punktfolge aus 29 mit lim a == a. Für die Bilder b=n A(an) gilt dann, wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von A: lim A (aj - A(a), d.h. lim b, =b. n- oo n=- o Ebenso gilt, wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von B: lim B(b9)= B(b), d. h. lim B(A(a")) = B(A (a)), n=-oo n=o00 womit Satz VIII bewiesen ist. Sind f~ und f, zwei auf 29 endliche Funktionen, so wird durch: x1 f1 (a), X2=f (a) eine Abbildung A von 92 auf eine Punktmenge 53 des 9, definiert. Durch jeden der Ausdrücke: X zi~~ 1~ X1, z X X ~X 1) X-X1 -- x2, X - == X1 -- X2, X Xx. 2 X = -Z 1 X.2 wird weiter eine Abbildung B von 93 in den 81 definiert. Wendet man auf A.B Satz VIII an, so kommt man auf Satz VII von ~ 3 zurick. Ist die Abbildung A von 9 auf 3 eineindeutig, d. h. hat jeder Punkt von 3 in 92 ein und nur ein Urbild, so können wir eine Abbildung von 23 auf 29 definieren, indem wir jedem Punkte von 53 sein Urbild in 29 zuordnen. Diese Abbildung heißt die zu A inverse Abbildung, oder die Umkehrung von A, und wird bezeichnet mit A-. 1) Letzteres nur, wenn f2 = 0 auf 1. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 10

146 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Satz IX. Ist 9 kompakt und abgeschlossen, und ist A eine eineindeutige stetige Abbildung von 91, so ist auch A-~ stetig. Sei in der Tat b ein Punkt aus A(W), und {bq} eine Punktfolge aus A(S9) mit: (*) lim bn =b. n= 00 Ist a. das Urbild von b', so hat, weil 2 kompakt, die Folge {an} einen Häufungspunkt a, und weil f abgeschlossen, gehört a zu 9l. In {an} gibt es eine Teilfolge {ay}, so daß: lim a,, = a, v= 00 und wegen der Stetigkeit von A ist: lim A(an)- = A (a), d. h. lim bn,-A(a). ~ ---00 7 — O0 Also durch Vergleich mit (*): b==A(a), d.h. a=A-l(b). Also hat die Folge {a"} nur den einzigen Häufungspunkt A-(b), es ist somit (Kap. I, ~ 2, Satz I): lima a=A-1(b), d.h. lim A-(b))- A-(b), n = ff =~- CO womit die Stetigkeit von A-1 nachgewiesen ist. ~ 7. Abbildung einer Strecke auf ein Quadrat. Ein sehr merkwürdiges Beispiel einer Abbildung erhalten wir, indem wir an die Gleichung anknüpfen (Einleitung ~ 7, Satz X): (*) = c2. Es ist c die Mächtigkeit der Menge aller Punkte eines Intervalles des 91l; etwa, wenn wir die Punkte des 9it mit t bezeichnen, des Intervalles [0, 1]: (**) 0 <t1. Nach der Definition des Produktes zweier Mächtigkeiten ist ferner c2 die Mächtigkeit der Menge aller Zahlenpaare x, y, deren jede zum Intervalle [0, 1] gehört: (***) o a x<l, Oy l, ~oder was dasselbe heißt, der Menge aller Punkte eines Quadrates im 9l2. Die Gleichung (*) kann also so ausgesprochen werden: Satz I. Es gibt eine eineindeutigeAbbildung des Intervalles(**) auf das Quadrat (***)1). 1) G. Cantor, Journ. f. Math. 84 (1877), 254. Ganz ebenso folgert man aus der Gleichung c ck die Existenz einer eineindeutigen Abbildung des Intervalles (**) auf das Intervall des 91k: o0 x, (i= 1, 2,.., ).

Kap. II, ~ 7. Abbildung einer Strecke auf ein Quadrat. 147 Diese Abbildung kann nicht stetig sein. Es gilt nämlich: Satz II1). Enthält die Punktmenge 58 des 9k (k>2) einen inneren Punkt, so gibt es keine eineindeutige und stetige Abbildung des Intervalles (**) auf 83. Angenommen in der Tat, es gäbe eine eineindeutige, stetige Abbildung A des Intervalles (**) auf 8, und b wäre innerer Punkt von 23. Dann gibt es im lNk zwei ganz zu BS gehörige, nicht in dieselbe Gerade des 9k fallende Strecken a1 a2 und b1 b2, die sich in b schneiden. Nach ~ 6, Satz IX ist A-' stetig. Nach ~ 6, Satz II und IV ist daher das Urbild von ab sowie von ba, je eine abgeschlossene, zusammenhängende Punktmenge des 91, d. h. je ein Teilintervall von (**). Da A-1 eindeutig ist, haben diese beiden Teilintervalle nur den einen Punkt: a =A-1(b) gemein; sie sind also zwei in diesem Punkte a aneinanderstoßende Teilintervalle von (**). Dassclbe muß aber von den JJrbildern der Strecken bb b und b b2 vermöge A-1 gelten; das aber ist unmöglich, da wegen der Eindeutigkeit von A4- die Urbilder der Strecken a1 b, b a2, bl b, b b2 zu je zweien keinen andern Punkt als a gemein haben dürfen. Damit ist Satz II bewiesen. Wenn es demzufolge keine eineindeutige stetige Abbildung einer Strecke (eines Intervalles des SJ1) auf ein Quadrat des 912 gibt, so gibt es doch, wenn man auf die Eineindeutigkeit verzichtet, sehr wohl stetige Abbildungen, die dies leisten2). Wir besprechen zunächst die bekannteste Abbildung dieser Art3). Man teile die Strecke in g2 gleiche Teile (g eine natürliche Zahl > 2) und das Quadrat in g2 kongruente Teilquadrate, indem man jede seiner Seiten in g gleiche Teile teilt und durch die Teilpunkte Parallele zu den Quadratseiten zieht. Sodann numeriere man die Teile der Strecke in ihrer natürlichen Reihenfolge mit 1, 2,..., g2; ebenso die Teile des Quadrates, und zwar diese so, daß je zwei, die benachbarte Nummern erhalten, mindestens einen Punkt gemein haben. Nun teile man weiter jede der beim ersten Schritt erhaltenen g2 Teilstrecken neuerdings in g2 gleiche Teile und numeriere die so entstehenden 94 Teilstrecken in ihrer natürlichen Reihenfolge mit 1, 2,..., g4. Ebenso teile man jedes der beim ersten Schritte erhaltenen Teilquadrate weiter in g" kongruente Teilquadrate und numeriere die so entstehenden g4 Teilquadrate mit I, 2,..., 94, und zwar so, daß: 1. je zwei Teilquadrate, die benachbarte Nummern erhalten, mindestens einen Punkt gemein haben, 2. die aus dem Quadrate 1 der ersten Teilung entstehenden Teilquadrate 1) Dieser Satz ist ein Spezialfall des Satzes von der Invarianz der Dimensionszahl gegenüber eineindeutigen stetigen Abbildungen. Vgl. L. E. J. Brouwer, Math. Ann. 70 (1911), 161. 2) Notwendige und hinre'chende Bedingungen dafür, daß eine gegebene Punktmenge stetiges Bild einer SLrecke sei, findet man bei I. Hahn, Wien. Ber. 123 (1914), 2433. 3) Sie rührt her von G. Peano, Math. Ann. 36 (1890), 157. - Vgl. auch E. Cesaro, Bull. sei. math. (2) 21 (1897), 257; D. Hilbert, Math. Ann. 38 (1891), 459; A. Schoenflies, Gött. Nachr. 1896, 255; E. H. Moore, Am Trans. 1 (1900), 72. 10*

148 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. die Nummern 1, 2,..., g2 erhalten, die aus dem Quadrate 2 der ersten Teilung entstehenden die Nummern g2 l+ 1, g2 + 2,.., 2 g2 usf. Man sieht, wie dieses Verfahren fortzusetzen ist. Beim n-ten Schritte erscheint die Strecke zerlegt in g2n gleiche Teile, die in ihrer natürlichen Reihenfolge numeriert sind mit 1, 2,..., gn; das Quadrat erscheint zerlegt in g2n kongruente Teilquadrate, die gleichfalls numeriert sind mit 1, 2,..., g2, und zwar so, daß: 1. je zwei Teilquadrate, die benachbarte Nummern haben, mindestens einen Punkt gemein haben, 2. die g2 Teilquadrate, die durch Teilung des mit k (1 k g2(n- 1)) numerierten Quadrates der (n- 1)-ten Teilung entstanden, die Nummern erhalten: (k - 1) g- +1, (k - 1) g 2,..., kg2 Man erkennt unschwer, daß dies möglich ist. Für die einfachsten Fälle1) g =2 und g 3 ist das Verfahren aus Fig. 3 und 4 ohne weiteres ersichtlich. 4T63 50149 4814544 4 16_ _13 _ _12 _ 61|162511524714641142 4 4 14 9 10 60157156153134135 40139 15 __1 59|58l55154 33|36 37138 2 ~ 7 6 |17 101113212928127 2j3~ __-_- 5 8 8 9112311302526 1 2 I 4 5 6 4 | 3 114 T13181 TÜ24p ______ ______ _i _Ll 2 15116 17|2021l22 Fig. 3, 12,21227 28133134 75176I81 4 9 20123126 29132135 74177(80 19124125 30131136 73178179 18113112 43|42|37 72167166 2 5 8 17114111 44141138 71168165 1611.5i1045140139_70169164 ~T~~ ~314 | 9 46151.15257t58163 1 6 7 215 18 47150153 56159162!.1161_______ | 6 | 7 48149154 55160161 Fig. 4. Wir setzen fest: Jeder (innere oder Begrenzungs-) Punkt der mit k numerierten Strecke der n-ten Teilung soll auf einen (inneren oder Begrenzungs-) Punkt des mit derselben Nummer k versehenen Quadrates der n-ten Teilung abgebildet werden. Wir wollen zeigen, daß durch diese Vorschrift eine stetige Abbildung der Strecke aufs Quadrat definiert ist. Sei a ein Punkt der Strecke, und zwar zunächst ein solcher, der bei keiner der vorgenommenen Teilungen der Strecke als Teilpunkt auftritt. Er liegt dann (für jedes n) bei der n-ten Teilung in einer ganz bestimmten Teilstrecke Gn. Sei Zn dasjenige Teilquadrat der n-ten Teilung, das dieselbe 1) Der Fall g== 3 ist der zuerst von Peano durchgeführte; der Fall g ==2 wurde von Hilbert besprochen.

Kap. II, ~ 7. Abbildung einer Strecke auf ein Quadrat. 149 Nummer hat, wie die Strecke n;. Da in der Folge der Strecken {an} jede folgende in der vorhergehenden liegt, so gilt (wegen Vorschrift 2) dasselbe für die Folge der Quadrate { 4n}. Es gibt also einen und nur einen allen Zn gemeinsamen Punkt unsres Quadrates: er ist das Bild des Punktes a. Ist sodann a ein Punkt der Strecke, der bei einer unsrer Teilungen, etwa der v-ten, als Teilpunkt auftritt, so ist dies auch bei jeder folgenden Teilung der Fall. Seien (fiir n ~ v) ' und ~' die beiden in a zusammenstoßenden Strecken der n-ten Teilung, n und Ztn die mit den gleichen Nummern versehenen Quadrate der n-ten Teilung; wie vorhin sieht man, daß alle 0' (n n v) einerseits, alle D (n ~ v) andrerseits einen und nur einen Punkt gemein haben. Wegen unsrer Vorschrift 1. aber ist dies derselbe Punkt: er ist das Bild des Punktes a. Es ist also. wirklich jedem Punkte der Strecke ein Punkt des Quadrates zugeordnet. Und man erkennt unschwer, daß auch umgekehrt jeder Punkt des Quadrates mindestens ein Urbild auf der Strecke besitzt: In der Tat, zu jedem Punkte b des Quadrates gibt es mindestens eine Folge ihn enthaltender Teilquadrate {'n)}, wo.n Teilquadrat der n-ten Teilung, und Z + i< ~Zn. Ist (n die Strecke der n-ten Teilung, die gleiche Nummer wie ~n, hat, so ist auch +n +l <C n. Es gibt also einen und nur einen Punkt der Strecke, der zu allen En gehört: er ist ein Urbild von b. Es bleibt zu beweisen, daß unsre Abbildung der Strecke aufs Quadrat stetig ist. Sei a ein Punkt der Strecke, {a,} eine Punktfolge der Strecke mit lim ap=a; sei b das Bild von a, bp das von ap. Wir haben zu bep = oo weisen, daß lim b =b ist. p-= 00oo Tritt a bei keiner unsrer Teilungen der Strecke als Teilpunkt auf, so mögen Gn und Zit dieselbe Bedeutung haben, wie vorhin; fast alle ap liegen dann in s,,, daher fast alle bp in in, und da b in allen. On liegt, und {Cln} sich auf b zusammenzieht (Kap. I, ~ 3, S. 68), so haben wir lim bp -- b, wie p=,oo behauptet. - Ganz analog schließt man, wenn a ein Teilpunkt ist, nur hat man dann an Stelle von Gn die Vereinigung der oben mit,in und Du bezeichneten Strecken, an Stelle von lün die Vereinigung 0l' -r d' zu benutzen. Damit ist gezeigt, daß unsre Abbildung der Strecke aufs Quadrat stetig ist. Nach Satz II kann sie daher nicht eineindeutig sein. Es hat keine Schwierigkeit, tatsächlich Punkte des Quadrates anzugeben, die mindestens zwei verschiedene Urbilder auf der Strecke besitzen; dies trifft offenbar für jeden Punkt des Quadrates zu, in dem zwei Teilquadrate zusammenstoßen, die nicht aufeinanderfolgende Nummern haben. Punkte, in denen drei (oder vier) Teilquadrate zusammenstoßen, von denen keine zwei aufeinanderfolgende Nummern haben'), werden sogar drei (bzw. vier) verschiedene Urbilder auf der Strecke besitzen. Es ist nicht schwer, unser Abbildungsverfahren so abzuändern, daß kein Punkt des Quadrates mehr als drei verschiedene Urbilder auf der Strecke besitzt2). Das aber ist alles, was sich erreichen läßt. 1) Z. B. in Fig. 3 der gemeinsame Eckpunkt der Quadrate 7, 10, 55, 58; in Fig. 4 der gemeinsame Eckpunkt der Quadrate 12, 25, 30, 43. 2) H. Hahn, Ann. di mat. (3) 21 (1913), 50. Ein andres Verfahren bei G. P6lya, Bull. Crac. 1913, 312.

150 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Denn es gilt der Satz'): Bei jeder stetigen Abbildung einer Strecko auf ein Quadrat gibt es eine im Quadrat dichte Menge von Punkten, die mindestens drei verschiedene Urbilder auf der Strecke besitzen. Die Menge aller Punkte des Quadrates, die mindestens zwei verschiedene Urbilder auf der Strecke besitzen, hat stets die Mächtigkeit c2). Wir denken uns durch das oben dargelegte Verfahren die Strecke 0 < t 1 des ~, auf das Quadrat 0~<x<l, 0<y~l des 91, abgebildet. Sind x(t), y (t) die Koordinaten des dem Punkte t entsprechenden Quadratpunktes, so sind x (t), y (t) auf [0, 1] stetige Funktionen; es ist also: (0) x =x{t), y- y (t), O t~l ein sogenannter ~stetiger Kurvenbogen" (vgl. S. 518), der die Eigenschaft hat, durch alle Punkte des Quadrates hindurchzugehen. Er wird bezeichnet als Peanosche Kurve. Ihr Verlauf selbst entzieht sich der Anschauung, man kann ihm aber anschaulich dadurch näher kommen, daß man die Näherungspolygone betrachtet, die entstehen, indem man immer bei der n-ten Teilung des Quadrates der Reihe nach die Mittelpunkte der mit 1, 2,..., g2n numerierten Teilquadrate durch Strecken verbindet. Von den vielen merkwürdigen Eigenschaften der beiden Funktionen (0) sei hier nur erwähnt, daß sie jeden Wert zwischen 0 und 1 in einer abgeschlossenen Punktmenge der Mächtigkeit c annehmen3). Durch die inverse Schränkungstransformation erhält man aus ihnen stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen, die jeden Wert ~ 0 in einer Punktmenge der Mächtigkeit c annehmen. Wir wollen noch kurz ein zweites Beispiel einer stetigen Abbildung einer Strecke auf ein Quadrat besprechen4). Wir gehen aus von einer stetigen Abbildung einer nirgends dichten, perfekten Punktmenge der Strecke aufs Quadrat, die dann leicht zu einer stetigen Abbildung der ganzen Strecke ergänzt werden kann. Sei [a, b] die abzubildende Strecke des 91, und sei S] eine a und b enthaltende, nirgends dichte, perfekte Menge aus [a, b] (Kap. I, ~ 9, S. 110). Die Menge R)1 der punktfreien Intervalle von 54 in [a, b] hat in ihrer natürlichen Reihenfolge den Ordnungstypus V (Kap. I, ~ 9, Satz II). Dasselbe gilt von der Menge qd aller ins Intervall (0, 1) fallenden endlichen Systembrüche einer gegebenen Grundzahl g (Einleitung ~ 8, Satz II). Es gibt also eine ähnliche Abbildung A von 9S) auf q(. Ausgehend von dieser Abbildung A definieren wir nun eine Abbildung B von ^8 auf die unendlichen Systembrüche (*) 0.e, e... e,. der Grundzahl g durch die Vorschrift: 1) H. Hahn, a. a. 0. 42ff. Vorher (ohne Beweis) ausgesprochen von H. Lebesgue, Math. Ann. 70 (1911), 168. 2) H. Hahn, a. a. 0. 48. 3) Ein allgemeines Verfahren zur Herstellung solcher Funktionen s. H. Hahn, a. a. 0. 36ff. 4) H. Lebesgue, Le9ons sur l'int6gration 44. H. Hahn, Ann. di mat. (3) 21, (1913), 51. - Ein anderes Verfahren findet man noch bei W. Sierpiniski, Bull. Crac. 1912, 462; Prace mat.-fiz. 23 (1912), 193. - Weitere Literatur: K. Knopp, Arch. d. Math. u. Phys. (3) 26 (1917), 110; A. Hess, Stetige Abbildung einer Linie auf ein Quadrat, Zürich 1905.

Kap. II, ~ 7. Abbildung einer Strecke auf ein Quadrat. 151 1. Den Punkten a und b. von q$ werden zugeordnet die Systembrüche: 0.00...0..., bzw. O.(- )( —(-1)... (g-)... 2. Ist (p, q) ein Intervall aus s1'), und ist 0-e e... en (en = 0) der dem Intervalle (p, q) durch A zugeordnete endliche g-Bruch, so wird dem Punkte p zugeordnet der unendliche g-Bruch: (t) O. e,... (en-1)(g-1)(g 1).. (g — 1)., dem Punkte q aber der unendliche g-Bruch2): (ftti) O *.ee,2... e, 00... 0... 3. Ist a ein Punkt zweiter Art von e, so ruft er in der (natürlich geordneten) Menge 91 einen Schnitt hervor, dem vermöge A ein Schnitt in der Menge (M der endlichen g-Brüche entspricht, der nicht durch einen dieser endlichen g-Brüche hervorgerufen wird. Er wird also hervorgerufen durch einen unendlichen g-Bruch, den wir nun dem Punkte a zuordnen. Nachdem wir so eine Abbildung B von e auf die Menge der unendlichen g-Brüche (*) definiert haben, leiten wir daraus eine Abbildung C von p auf das Quadrat D: O x 1l, 0<y<l des 9, her durch die Vorschrift: Ist (*) das Bild des Punktes a von ß vermöge B, so sei das Bild von a vermöge C der Punkt von Z: ) -=0.ele3... e_...; y=O e2e... en... Man erkennt ohne weiteres, daß l das Bild von $ vermöge 0 ist, und daß diese Abbildung von nl auf Z stetig ist. Wir haben noch diese Abbildung C von n auf Z zu einer stetigen Abbildung des Intervalles [a, b] auf Z zu ergänzen. Sei 'zu dem Zwecke (p, q) ein punktfreies Intervall von $ in [a, b], und seien p' und q' die Bilder von p und q vermöge C. Wir bilden einfach die Strecke pq des, ähnlich ab auf die Strecke p'q' des 92,. Dadurch ist nun tatsächlich C zu einer stetig e n Abbildung von [a, bj auf ~1 ergänzt. In ganz analoger Weise kann das Intervall [a, b] des 91 auch stetig auf das Intervall [O,0,..., 0; 1,1,..., l] des ~k3) abgebildet werden, indem man den Punkt (**) des ~, ersetzt durch den Punkt des Rk: 00 i k(v)+ (i=1, 2,..., k). v=1 gV Wir können also den Satz aussprechen: Satz III. Es gibt in [0, 1] stetige, den Ungleichungen: < xi (t) < l (i1, 2,.... k) genügende Funktionen der reellen Veränderlichen t, so daß die k-gliedrige Folge (x(t), x,,(t),.., x,(t)) für mindestens einen 1) Dann sind p, q Punkte erster Art von 3. 2) Wir unterscheiden also hier zwischen den zwei dieselbe Zahl darstellenden, aber formal verschiedenen g-Brüchen (t) und (tt). 3) Es kann auch die Peanosche Abbildung ohne alle Schwierigkeiten auf den 9k1 übertragen werden (G. Peano, a. a. 0. 159).

152 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Wert t aus [0,1] übereinstimmt mit der vorgegebenen k-gliedrigen Folge (x 2, x x...j X), in der:. O<x<l (i=l, 2..., k). Darüber hinaus gilt noch'): Satz IV. Es gibt in [0,1] stetige, den Ungleichungen: Oxi(t)~l (i=, 2,.) genügende Funktionen der reellen Veränderlichen t, so daß die unendliche Folge {x, (t)} für mindestens einen Wert t aus [0, 11 übereinstimmt mit der vorgegebenen unendlichen Folge {x}i, in der: o 0xA1 (i=1, 2,..). In der Tat, man hat nur (**) zu ersetzen durch: e2i- 1 (2, -1) ~i 2j --- - - (i- l, 2,...). _ 1 ~ 8. Halbstetigkeit in einem Punkte. Die auf [( definierte Funktion f heißt oberhalb stetig2) auf i im Punkte a von [,; wenn für jede Punktfolge {an} aus [ -mit lim a ==a: (~) Iim / (a") _ f (a) n= oo ist; sie heißt unterhalb stetig in a auf f, wenn für jede solche Punktfolge: lim f'(an,) > f(a) n = oo Ist f' in a oberhalb (unterhalb) stetig auf 9X, und ist 3 ein a enthaltender Teil von lt, so ist f in a auch oberhalb (unterhalb) stetig auf S. Satz I3). Damit f oberhalb stetig sei in a auf?/, ist notwendig und hinreichend, daß: (*G) (a; f, )== f(a); damit f unterhalb stetig sei in a auf X, ist notwendig und hinreichend, daß: g (a; f, A)=f (a). Es wird genügen, die erste Hälte der Behauptung zu beweisen. 1) H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 210. 2) Dieser Begriff wurde eingeführt von R. Baire, auf den auch die folgenden Sätze im wesentlichen zurückgehen: Ann. di mat. (3) 3 (1899), 6. Le9ons sur les fonctions discontinues (1905) 71, 84. Vgl. auch W. H. Young, Romn 4. Math. Kongr. (1908) Bd. 2, 49. 3) Satz I ist ein allgemeiner Grenzsatz.

Kap. II, ~ 8. Halbstetigkeit in einem Punkte. 153 Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, f sei oberhalb stetig in a auf 2f. Aus (0) und der allgemeinen Definition von G(a; f,9) (~2, S. 117) folgt: (*1*) G(a; fÄ) <f (a). Nach ~ 2, Satz II aber ist: (^* *), G (a; f, W) (a). Durch (**) und (***) aber ist (*) bewiesen. Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so folgt aus der allgemeinen Definition von G (a; f, ) sofort (0), d.h. f ist in a oberhalb stetig auf 21, und Satz I ist bewiesen. Durch Berufung auf ~ 2, Satz III erkennen wir nun unmittelbar: Satz II. Geht f durch die Schränkungstransformation über in f*, so sind f und f* in jedem Punkte von 9f gleichzeitig oberhalb (unterhalb) stetig auf 9A. Satz III1). Damit f oberhalb stetig sei in a auf 92, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem q>f(a) eine Umgebung Ul von a in 2 gebe, so daß: f(a')< q für alle a' von 1t. Die Bedingung ist no twendig. Angenommen, es gäbe zu einem q> f(a) keine solche Umgebung U. Dann gäbe es in I(a;) ein a von 2[, so daß: f (a)>q f( (). Dann aber ist: lima - a; lii f(a)> f (a), n = ( E == O und f ist nicht oberhalb stetig in a. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen, sie sei erfüllt. Für jede Folge {a"} aus 92 mit limi a —a' liegen dann fast alle a in 11; es ist also: n = f(a),)<q für fast alle n. Und da dies für jedes q > f(a) zutrifft, ist: lim f (a) <= f (a), n= 0O d. h. f ist oberhalb stetig in a. Damit ist Satz III bewiesen. Sowie in ~ 3 Satz V aus Satz IV, folgt nun hier aus Satz III: 1) Ein analoger Satz gilt für unterhalb stetiges /. Es sind die Ungleichungen q > f (a), f(a') < q zu ersetzen durch p < f (a), f (a') >p.

154 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Satz IV. Damit f oberhalb stetig sei in a auf 1W, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedemq>f(a) ein>O0 gebe, so daß, wenn UI(a;) die Umgebung P von a in U bedeutet: f(a')<q für alle a von (a;). Sowohl aus der Definition der Halbstetigkeit, als aus den Bedingungen jedes der Sätze I, III, IV entnehmen wir: Satz V. Damit f stetig sei in a auf 51, ist notwendig und hinreichend, daß f sowohl oberhalb als unterhalb stetig sei in a auf 9S. Satz VI. Ist f oberhalb stetig in a auf 51, so ist -f unterhalb stetig in a auf 5Ä (und umgekehrt). In der Tat, dies folgt unmittelbar aus der Definition der Halbstetigkeit, zusammen mit Gleichung (***) von S. 38. Dieser Satz gestattet es vielfach, für oberhalb stetige Funktionen bewiesene Sätze auf unterhalb stetige zu übertragen. Satz VII. Sind [f und f, oberhalb (unterhalb) stetig in a auf S[, und gibt es eine Umgebung U von a in 21, auf der f; +-f ausführbar ist, so ist auch f-+f2 oberhalb (unterhalb) stetig in a auf U. Sei in der Tat {a"} eine Punktfolge aus U mit lima,=a. Nach Annahme ist: n= lim ft (a,) < fi (a); him f (aj)~ fa (a), n = CO 1 =o also nach Einleitung ~ 6, Satz VII1): lim (fi (a",) + t (a,))~ lim f, (af+) - im f (a,) f, (a)+ f, (a). öit a=, Nu fa n = aO Damit ist Satz VII bewiesen. Ganz ebenso beweist man: Satz VIII. Sind f, und f2 oberhalb (unterhalb) stetig in a auf t1, und gibt es eine Umgebung 11 von a in 1l, in der fi~O, f2~O, und in der fi'f2 ausführbar ist, so ist auch f,-f2 oberhalb (unterhalb) stetig in a auf U. i) Falls in der folgenden Ungleichung das Mittelglied ausführbar ist. Sollte dies nicht der Fall sein, so sei etwa: lim fi (a,) - o; lim/ f(a,) +-. Weil f2 oberhalb stetig in a auf 9/, ist dann auch f2 (a) =- oo, und weil nach Annahme fi (a) + f, (a) ausführbar, so ist fi (a) -- f, (a)= -+ o; also ist auch dann fi + f~ oberhalb stetig in a auf tf.

Kap. II, ~ 8. Halbstetigkeit in einem Punkte. 155 Satz IX. Seien fi, 2,.'fk, endlich viele Funktionen, die auf 9f definiert und in a oberhalb') stetig auf 9I sind. Ist f der größte (oder kleinste) unter den k Funktionswerten fif2*,..,fk, so ist auch f oberhalb') stetig in a auf 1[. Es genügt, den Beweis für k 2 zu führen, da er dann für beliebiges k durch vollständige Induktion folgt. Sei zunächst f der größere der beiden Funktionswerte f;, /2, und sei etwa: fi (a) ~ f2 (a) und somit f(a) = fi (a). Nach Voraussetzung ist für jede Folge {a,} aus 9f mit lim a a: n-" lim f, (a,) < f: (a); lim f2 (a,.) f (a). n =~ Qo n- = oo Für jedes p: p > f (a) [=f- (a) f> (a)] ist also: f (an)<p, f (a) <p für fast alle n, mithin auch: f(a) <p für fast alle n, d. h es ist: lim f (aj) p, 0 = 00 und da dies für jedes p> f(a) zutrifft: lim f (as,) ~< f (a). n = oo Also ist f oberhalb stetig in a auf?I, wie behauptet. Sei sodann f der kleinere der beiden Funktionswerte fi, fi, und sei etwa: t, (a) < f (a) und somit f(a) f, (a). Nach Voraussetzung ist für jede Folge {a"} aus % mit lima,- a: n = oo lim fi (an) fl (a), H = 00 mithin, da fi ff, auch: lm f(a^) fi (a) f(a), n == o d. h. es ist wieder f oberhalb stetig in a auf A. Damit ist Satz IX bewiesen, ) Der Satz gilt auch für unterhalb stetige Funktionen. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz.

156 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. ~ 9. Halbstetigkeit auf einer Punktmenge. Ist die auf ~9 definierte Funktion f in jedem Punkte a von % oberhalb (unterhalb) stetig auf 29, so heist sie kurz oberhalb (unterhalb) stetig auf 9. Aus ~ 8, Satz V folgt: Satz I. Damit f stetig sei auf 29, ist notwendig und hinreichend, daß f sowohl oberhalb als unterhalb stetig sei auf 21. An Stelle von ~ 4, Satz II tritt: Satz II1). Ist 9 kompakt und abgeschlossen, und ist f oberhalb stetig auf 91, so gibt es in %S einen Punkt a, so daß (*) f (a)= (f, ist hingegen f unterhalb stetig auf?9, so gibt es in 9( einen Punkt a, so daß: (**) f(a)-^(t)t) In der Tat, nach ~ 2 Satz IX gibt es in 91o einen Punkt a, so daß: (0) G (a; f, )t)- G (f, 51), und weil 91 abgeschlossen, gehört a zu 9. Weil f oberhalb stetig auf 9, ist (~ 8, Satz I): (00) G(a;f, )-=f(a). Aus (0) und (00) aber folgt (*), und analog beweist man (**). Aus Satz II folgt unmittelbar: Satz III. Ist 91 kompakt und abgeschlossen, so.ist jede auf 9 endliche, oberhalb stetige Funktion nach oben beschränkt, jede auf S9 endliche, unterhalb stetige Funktion nach unten beschränkt. Während nach Satz II auf einer kompakten, abgeschlossenen. Menge jede oberhalb stetige Funktion gleich wird ihrer oberen Schranke, gilt dies für die untere Schranke nicht2). Wir kommen weiter unten3) auf das Verhältnis einer oberhalb stetigen Funktion zu ihrer unteren Schrankenfunktion eingehender zurück. An Stelle von ~ 4, Satz VI tritt: 1) Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz. 2) Beispiel: Sei 91 das Intervall [-1,1] des l9l und f(x):- 1 für x = 0, f (0)= 0. 3) Satz V und VI.

Kap. II, ~ 9. Halbstetigkeit auf einer Punktmenge. 157 Satz IV1). Damit f oberhalb stetig sei auf 9, ist notwendig und hinreichend, daß für jedes2) c die Menge aller Punkte von 9, in denen f> c ist, abgeschlossen sei in 93). Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, sei f oberhalb stetig auf 92, und sei A1' die Menge aller Punkte von 91, in denen f c. Sei a ein zu 91 gehöriger Häufungspunkt von 91'. Es gibt in 91' eine Folge {a,} mit lim a, a. Weil f oberhalb stetig, ist: (*) lim f(a~) < f(a). Da alle a, zu 21' gehören, ist: f(a.) eC, somit: lim f(a,) ~ c, mithin nach (*) auch: f(a) c, d. h. auch a gehört zu 2'. Also ist A' abgeschlossen in X, wie be1auptet. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommnen in der Tat, f sei nicht oberhalb stetig auf 1. Ist etwa a ein Punkt von 1, in dem f nicht oberhalb stetig auf 21, so gibt es eine Punktfolge {a,} in 91 mit lim a,, a, so daß: lim f(a,) > f(a). n = oo Es gibt dann ein c, so daß'): lim f(a,) > c > f(a). n =_- ao Da.nn ist: f(a,)>c für unendlich viele n. Es gehören also in {a"} unendlich viele a, zu w9', während der Grenzpunkt a von {a,} nicht zu 91' gehört. Es ist also 1' nicht abgeschlossen in 29. Damit ist Satz IV bewiesen. Satz V. Ist f oberhalb stetig auf 91, und ist die untere Schrankenfunktion: (0C) g (a;f, t c 1) Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz. 2) Statt dessen kann es auch heißen: für eine (irm 91) überall dichte Menge ( von Zahlen c. 3) Für unterhalb stetige f ist f c durch f c zu ersetzen. 4) Und zwar gibt es ein solches c auch in der in Fußn. 2) genannten Menge (.

158 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. auf einem in 91 dichten Teile von 91, so ist die Menge S9 aller Punkte von 91, in denen f>c ist, von erster Kategorie in 911). In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation können wir ohne weiteres f als beschränkt und c als endlich annehmen. Nach Satz IV ist für jedes n der Teil 3n von 91, auf dem fc> c — ist, abgeschlossen in 91. Er ist daher nirgends dicht in 91; denn andernfalls gäbe es einen nicht leeren, in 91 offenen Teil ( von 9s, in dem S3, dicht wäre; und da 53, abgeschlossen in 91, wäre (-< n,; in jedem Punkte von ( wäre also f c-, und mithin, da ( offen in 91, auch für alle a von (: (a; ), entgegen der Annahme, daß der Teil von 91, auf dem (0) gilt, in 91 dicht sei. Nun ist aber offenbar: und da, wie gezeigt, jedes 9, nirgends dicht in 9, ist B3 von erster Kategorie in 91, wie behauptet. Damit ist Satz V bewiesen. Unter Anwendung von Kap. I, ~ 8, Satz XV können wir nun weiter sagen: Satz VI. Ist f oberhalb stetig auf der relativ-vollständigen2) Menge 92, und ist die untere Schrankenfunktion: (0) g(a;f,1) c auf einem in 91 dichten Teile von 91, so gibt es einen in 91 dichten o-Durchschnitt in 1, in dessen sämtlichen Punkten auch f c ist3). Ein Analogon zu ~ 4, Satz VIII und IX sowie zu ~ 5, Satz I besteht für halbstetige Funktionen nicht. An Stelle von ~ 5, Satz IV tritt: 1) Ist f unterhalb stetig, so ist (0) zu ersetzen durch G (a; f, 91) > c und die Ungleichung f > c durch f< e. 2) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei %9 die Menge der rationalen Punkte des S1,; für x _=m (m, n teilerfremd) sei f (x) - Dann ist f(x) oberhalb stetig auf 91, und es ist g (x; f, 9) ==0 für alle x von 91; trotzdem ist f(x)> 0 für alle x von 91..) Ist f unterhalb stetig, so ist (0) zu ersetzen durch G(a;f,9)~e und f<c durch f e.

Kap. II, ~ 9. Halbstetigkeit auf einer Punktmenge. 159 Satz VII. Ist S ein in 9I dichter Teil von 91, so ist für jede auf 9 oberhalb stetige Funktion f: (1) g(f )-g(f, ) für jede auf 91 unterhalb stetige Funktion f: (2) G(f, 9)= G(f, ). Sei in der Tat f oberhalb stetig auf 91, Aus S3-< folgt: (3) g(f ) g(f, Ist andrerseits p irgendeine Zahl (4) p>g(f), so gibt es ein a in 91, so daß: f(a) <p. Da 93 dicht in 91, gibt es in S3 eine Folge {b,} mit lim b, == a. n == Co Weil f oberhalb stetig, ist: lim f (bn) _ f (a) < p, n= ound somit für mindestens ein b.: f(b<) p, also auch: (f, )<P; und da dies für jedes (4) genügende p glt, auch: (5) g (f, ) _g (f, ). Aus (3) und (5) aber folgt (1). Und analog beweist man (2), wenn f unterhalb stetig ist. Damit ist Satz VII bewiesen. Ganz ebenso wie in ~ 5 Satz V aus Satz IV, folgt nun hier aus Satz VII: Satz VIII. Ist 9 ein in 91 dichter Teil von 91, so ist in jedem Punkte von o0, wenn f oberhalb stetig auf 9: (*) g (a; f, a ) =sq (a; f, 3); wenn f unterhalb stetig auf 9: (**) G (a; f, 91)= G(a;f, 3). Für oberhalb stetige Funktionen wird im allgemeinen (**) nicht gelten, für unterhalb stetige (*) nicht.

160 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Eine auf einer separablin Menge 2 stetige Funktion ist, wie wir in ~ 5 sahen, völlig gegeben durch ihre Werte auf einem in ( dichten abzählbaren Teil 93 von 92, und zwar ist in jedem Punkte von 91 (~ 5, Satz VI) f(a-) -G(a; f, 3): g(a; f, S). Um zu einem Resultate zu gelangen, das bei halbstetigen Funktionen einigen Ersatz für diesen Sachverhalt bietet, gehen wir aus von folgender, auf einer separablen Menge für ganz beliebige Funktionen gültigen Tatsache: Satz IX. Zu jeder auf der separablen Menge 2 definierten Funktion f gibt es einen in 21 dichten abzählbaren Teil e von 29, so daß in jedem Punkte von 10: f(l) g(a;f,) -=g(a;f,); G;f,)(a;f, (a; f, 3). In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation können wir f als endlich annehmen. Sei rn, (n-=1,2,...) die Menge aller rationalen Zahlen, 1,, die Menge aller Punkte von i1, in denen f> r,. Zugleich mit Z1 ist auch 29, separabel (Kap. I, ~ 7, Satz II), es gibt also einen in 9,, dichten, abzählbaren Teil 5,n von 2,,. Wir setzen Dann ist auch 13' abzählbar, und da offenbar: % = %,- -1w2 +-. - f Enw + ** so ist nach Kap. 1, ~ 4, Satz 1X 23' dicht in 92. Sei nun a ein Punkt von 29~ und r,, eine rationale Zahl: (2) r,, < G (a; f, 9Q). In jeder Umgebung von a gibt es dann einen Punkt von 9~i, und da eS3 dicht in 2n, auch einen Punkt von 5&, woraus sofort folgt: (a; fS')>r,. Und da dies für jede (2) erfüllende rationale Zahl r, gilt, ist auch (3) G (a; f, B'):> G (a; f, 2). Da aber <c, so ist andererseits (4) G(a; f, 3')< G (a; f, ). Aus (3) und (4) aber folgt: (5) G (a; f, ') G(a;f, ). Ganz analog beweist man die Existenz eines abzählbaren, in t dichten Teiles 3" von 21, für den in jedem Punkte von 210: (6) g (a; f, ") g - (a; f ). Wir setzen nun: S3 = 3' = -- 23". Dann ist 2S ein abzählbarer in 21 dichter Teil von 21, und aus:.3'<23, 23"<33,.< folgt: (7) g (a; f, 2) g (a; f, 23) g (a; f, "); (8) G (a; f, B') G (a; f, ) G (a; f, ). Aus (5), (6), (7), (8) folgt aber (1), und Satz IX ist bewiesen.

~Kap. II, ~ 10. Stetige und halbstetige Funktionen. 161 Nun sind wir in der Lage, den vorhin angekündigten Satz über halbstetige Funktionen zu beweisen ): SatzX. Zu jeder auf der separablen Menge 91 oberhalb2) stetigen Funktion f gibt es einen abzählbaren, in 91 dichten Teil l von 91l so daß in jedem Punkte von 91: (t) f (a) = G (a; f, S). In der Tat, dies folgt unmittelbar aus Satz IX; denn da f oberhalb stetig auf 2(, ist (~ 8, Satz I) in jedem Punkte von 91: f (a) G (a; f, ). ~ 10. Stetige und halbstetige Funktionen. In gewissem Sinne köhnen die halbstetigen Funktionen als die nach den stetigen, einfachsten Funktionen angesehen werden. Wir wollen nun zeigen, wie alle halbstetigen Funktionen durch Grenzübergang aus den stetigen Funktionen gewonnen werden können. Wir gehen aus von dem einfachen Satze ): Satz I4). Ist {fb} eine monoton abnehmende Folge von Funktionen, die sämtlich oberhalb5) stetig sind in a auf 9, so ist auch ihre Grenzfunktion f;=limf, oberhalb5) stetig in a auf [9. In der Tat, da nach Annahme in jedem Punkte von 9 die Funktionswerte f, eine monoton abnehmende Zahlenfolge bilden, existiert in jedem Punkte von 9 der Grenzwert (Einleitung, ~ 5, Satz IX): (*f) f lim f', so daß die Grenzfunktion f von {f } auf ganz 91 definiert ist. Angenommen nun, es wäre f nicht oberhalb stetig in a auf 91. Dann gäbe es in 91 eine Punktfolge {a,} mit lima,= a, so daß: n=aoO (**) lim f (a) > f(a). Da { /} monoton abnimmt, ist 1) Vgl. hierzu W. I. und G. Ch. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910), 330. 2) Für unterhalb stetige Funktionen tritt an Stelle von (t): f (a) g (a; f, 3). 3) R. Baire, Bull. soc. math. 32 (1904), 125. Vgl. auch W. H. Young, Liess. of math. 1908, 148. 4) Satz I ist ein allgemeiner Grenzsatz. F) Für unterhalb stetige Funktionen gilt der Satz, wenn {f, } monoton wachst. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I, 11

162 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. und mithin auch: (***) lim f, (a) lim f(a). n=Xoo n-=oo Wegen (*) und (**) ist ferner: f (a) < lim f(a,) für fast alle r. n=o n Es wäre also wegen (***) für fast alle v lim f,, (a,>) > (a), l = 00 entgegen der Annahme, daß alle t;, oberhalb stetig in a auf s. Damit ist Satz I bewiesen. Aus ihm folgt als Spezialfall: Satz II. Die Grenzfunktion einer monoton abnehmenden Folge auf?f stetiger Funktionen ist oberhalb stetig auf 2; die Grenzfunktion einer monoton wachsenden Folge auf 1 stetiger Funktionen ist unterhalb stetig.auf 9f. Von Satz II gilt nun auch die Umkehrung: Satz III1). Jede auf 92 oberhalb stetige Funktion ist Grenzfunktion einer monoton abnehmenden Folge auf 21 stetiger Funktionen; jede auf St unterhalb stetige Funktion ist Grenzfunktion einer monoton wachsenden Folge auf 9t stetiger Funktionen. Es wird genügen, die erste Hälfte dieser Behauptung nachzuweisen, und zwar wird es weiter genügen, sie in der Form nachzuweisen2): Ist f eine auf 9 oberhalb stetige, der Ungleichung: (1) 0~f 1l genügende Funktion, so gibt es eine monoton abnehmende Folge { } auf 91 stetiger, der Ungleichung: (2) 0< f_ genügender Funktionen, derart daß: (3) f= im f. y-= c 1) R. Baire, Bull. soc. math. 32 (1904), 125. Vgl. auch W. H. Young, Proc. Cambr. Phil. Soc. 14 (1908), 523. Für beliebige metrische Räume wurde der Satz zuerst bewiesen von H. Tietze, Journ. f. Math. 145 (1914), 9. Andre Beweise: H. Hahn', Wien. Ber. 126 (1917), 91; C. Caratheodory, Vorl. über reelle Funktionen 401. Der einfachste (erst während der Drucklegung erschienene) Beweis bei F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 293. 2) Vgl. den Beweis von Satz VIII, ~ 5.

Kap. II, ~ 10. Stetige und halbstetige Funktionen 163 Wir definieren (für r O) eine Funktion h (r) der reellen Veränderlichen r durch (Fig. 5): 1 in 0r 1 a h. (r) - linear in ]1 - | 0 in [+ ) Fig. 5. Jedem Punkte a von?f ordnen wir nun die (für alle a' von ' definierte) Funktion zu: (4) f(a')- h, (r=(a, a')) f(a'). Die obere Schranke G(fV, a,) von f,a(a') auf W ist dann eine (für alle a von 9 definierte) Funktion: (5) f (a)= G (fva, ), für die offenbar (2) erfüllt ist. Da ferner h +i (r)~h (r), ist auch fvia (a') f, a (a') und damit auch: f+l(a) f(a), d. h. die Folge {f,} ist monoton abnehmend. Wir zeigen sodann, daß f4 stetig ist auf f. Da h, stetige Funktion von r, gibt es zu jedem e> 0 ein >0O, so daß (6) h, (r)-h (r')l<e wenn r' — r <. Ist a" ein beliebiger Punkt der Umgebung l (a; Q) von a in 9, so ist, wegen der Dreiecksungleichung, für alle a' von X: r (a, a') — r (a" a') |<; und somit nach (6): | h^ ( (a, a'))- h, (r (a", a')) < e. Aus (4) und (1) folgt dann (für alle a" von l(a; ) und alle a' von 2f): fa" (a't)., - fa(a') | < e und somit aus (5): f (a")- f4 (a) e für alle a" aus U (a; ). Das aber heißt: f4 ist stetig auf 2, wie behauptet. Wir haben endlich noch nachzuweisen, daß (3) gilt. Da: f,, a(a) = h (O) f (a) -f (a), so ist nach (5): (7) f (a) f (a) für alle v. 11*

164 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Da andrerseits f oberhalb stetig in a auf %I, so gilt, wenn E > 0 beliebig gegeben, für fast alle v: 2 f (a') < f (a) e wenn r(a',a)<-. Dann aber ist zufolge (4): fv,a(a') f(a) + e für alle a' von 91, und mithin ist zufolge (5): (8) f ((a) f(a) + für fast alle v. Aus (7) und (8) aber folgt (3), und Satz III ist bewiesen. Satz IV1). Ist g unterhalb stetig, h oberhalb stetig auf 9(, und ist (1) 9>h, so gibt es eine auf [ stetige Funktion f, die der Ungleichung genügt: (2) g~f~h. In der Tat, nach Satz III gibt es eine monoton wachsende Folge {gv} und eine monoton abnehmende Folge {h} auf 9 stetiger Funktionen, so daß: (3) g = limn g,; h lim h,. (4) g, g+l; hv hA+1. Vermöge der Schränkungstransformation können wir alle auftretenden Funktionen als endlich annehmen. Ist F irgendeine Funktion, so bezeichnen wir mit [F] den größeren der beiden Werte F und 0, d. h. es ist: [ F wenn F>0 0 wenn F< 0. Nach ~ 3, Satz VIII ist [F] gleichzeitig mit F stetig, und aus F1 _i 2 folgt [F,1 < [F,]. Wegen (4) ist: h~ -- g > h1 - 9-h2 _ - g2 -g 2 >... und wegen (3) und (1) ist: lim (h, - g,) = lim (h, - Y ) )- - g < 0. 1) H. Hahn, Wien. Ber. 126 (1917), 103. Der folgende Beweis stammt von F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 295.

Kap. II, ~ 10. Stetige und halbstetige Funktionen, 165 Daher ist auch: [h: - g9. h ] [ h -9g-~ 2] [h2 -g3] [h — 3 ] lim [h,, --- g] = lim [h. - g,4-i1] 0. Also ist (5) g y+ [-, -- [ g] - [hl - ] 51- [h - g1] - [l.2 -- gs] + eine alternierende Reihe mit monoton abnehmenden, gegen 0 konvergierenden Gliedern, mithin nach einem bekannten Satze eigentlich konvergent. Wir bezeichnen ihre Summe mit f. Die ungeraden Teilsummen von (5) bilden eine monoton wachsende, die geraden eine monoton abnehmende Folge stetiger Funktionen. Also ist nach Satz II die Summe f von (5) sowohl unterhalb als oberhalb stetig, d. h. stetig auf 9f (~ 8, Satz V). Wir wollen nun noch zeigen, daß diese Funktion f der Ungleichung (2) genügt. Wir unterscheiden dabei die zwei Fälle: 1. g(a)=- h(a), 2. g(a)>h(a). Im ersten Falle ist im Punkte a: g,, g=-h<hv für alle,u,v; infolgedessen: (6) [h, -- g, ] =- g,,, [1g, - +1] =, --- und aus (5) wird: f= - )- - g) + (h2 - 1 (i - g o) - ({h - -3) - 9) '. d. h.: f=- lim g- = lim h == g — = h, und (2) ist erfüllt. Im zweiten Falle.sind wegen hi-g < 0 und wegen (3) in der Folge: (7) l-, -- 1 2 -,..,, h,r -g, h7-g, +..., alle Glieder von einem bestimmten an < 0, und wir haben wieder zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem das erste negative Glied in (7) die Form hat: h,-g,. (Fall 2 a) oder 7-g +1 (Fall 2b). Im Falle 2a wird aus (5): f= 9g -- (hi - gl ) - (hi - 92) + ' ' -. (h. - -- g v) g, und somit, weil {g,,} monoton wächst: (8) f gY,,g; andrerseits, weil h, r —, das erste n e g a t iv e Glied der Folge (7) war,

166 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. und weil { ( } monoton abnimmt: (9) f=g v>hv>h. Durch (8) und (9) ist wieder (2) bewiesen. Im Falle 2b wird aus (5): f= g + (\ - gl) - (h, - g) +. + (^h- 91) = h, und wie vorhin findet man: f=h,_h; f=h <g+- g, und somit wieder (2). Damit ist Satz IV bewiesen. Wir bemerken noch, daß aus Satz IV sich ein sehr einfacher Beweis für Satz X von ~ 5 ergibtl). Sei in der Tat auf dem in 9 abgeschlossenen Teile 8 von W eine stetige Funktion f* gegeben, Wir setzen: I f'* auf 3 f auf f3 ft+oo auf -; auf u — f Aus ~ 9 Satz IV entnehmen wir sofort: g ist unterhalb, h ist oberhalb stetig auf W. Nach Satz IV bilden wir eine auf 9 stetige, der Ungleichung genügende Funktion. Da auf 'S: g- -= f, so ist f= f* auf V. Damit aber ist Satz X von ~ 5 bewiesen. ~ 11. Die Schrankenfunktionen als halbstetige Funktionen. Grenzwert einer Funktion. Ein besonders wichtiges Beispiel halbstetiger Funktionen sind die Schrankenfunktionen G (a; f, 29), g (a; f, f) einer beliebigen Funktion f, die wir in ~ 2 eingeführt haben. Um dies einzusehen, gehen wir aus von der Bemerkung: Satz IL Setzen wir zur Abkürzung: (0) f(a) = G(a; f', W), f(a) g (a; f, f), so ist für jede offene Menge b: (1) G (f, ~0) -= G (f, e); g (f, o) - g (f, S). 1) F. Hausdorff, a. a. 0. 296.

Kap. II, ~ 11. Die Schrankenfunktionen als halbstetige Funktionen. 167 In der Tat, wegen f~ f fund weil 91 -< ~o, ist zunächst: (2) G gfn) > G 0 ) ^ G ^X). Ist sodann p irgendeine Zahl: (3) < c f, ~o), so gibt es in 992~0 mindestens einen Punkt b, in dem: f(b) =C (b; f, 9) > p, mithin, da 93 offen, also 93 9 eine Umgebung von b in 9 ist, gibt es (~ 2, Satz VII) in 93 9 einen Punkt a, in dem f(a)> p. Also ist auch: G(fm V31)i>p, und da dies fiir jede (3) genügende Zahl p gilt, ist: (4) G (f, 1) G> (f, 3o0). Aus (2) und (4) folgt die erste Gleichung (1), und analog beweist man die zweite. Satz II1). Ist f eine beliebige Funktion auf 91, so ist ihre obere Schrankenfunktion G(a; f, l) oberhalb stetig, ihre untere Schrankenfunktion g (a; f, 91) unterhalb stetig auf der abgeschlossenen Hülle 90~. In der Tat, machen wir wieder von der Bezeichnungsweise (0) Gebrauch. Nach ~ 2, Satz IV ist G (a; f, 91) = f(a) die untere Schranke von GC(f, 9391) für alle a enthaltenden offenen Mengen 98 (d. h. für alle Umgebungen von a in 91). Und ebenso ist G (a; f, 910) die untere Schranke von G (f:, 310) für alle a enthaltenden offenen Mengen 93. Nach Satz 1 aber ist: und mithin auch: f(a)= G ('a: f', 9) G (a; f, 91~), also ist (~ 8, Satz I) f oberhalb stetig auf 0(O. Analog beweist man, daß f unterhalb stetig auf 910, und Satz II ist bewiesen. Satz II ist nur ein Spezialfall des allgemeinen Theorems2): Satz III. Sei 91 eine Punktmenge, 93 ein Teil von 91~, und sei jeder Umgebung U (a) jedes Punktes a von 3 eine Zahl 1) R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 6. ') Satz II entsteht aus Satz III, indem man setzt: e (R(a))=~ G( f tV(a~).

168 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. 0p(U(a)) so zugeordnet'), daß folgende Bedingung besteht: Zu jedem Punkte a' von U(a)-38 gibt es eine Umgebung U(a'), so daß: (*) <?(lX(a'))_. (U(a)). Wird dann mit dp(a) die untere Schranke der Zahlen 0((U(a)) für alle Umgebungen U (a) von a bezeichnet, so ist p(a)eine auf e oberhalb stetige Funktion von a2). Sei in der Tat q irgendeine Zahl: (n ) ' ' ~~q > (a). Nach Definition von q? gibt es dann eine Umgebung U (a), so daß: (u (a)) <q. Zu jedem a' von U (a). *3 gibt es nach Annahme (*) eine Umgebung (a'), so daß auch: c (u (a')) < q(U (a))< q. Nach Definition von 9f ist dann auch: (a') < q. Nach ~ 8, Satz III ist also 99 oberhalb stetig auf e8, und Satz III ist bewiesen. Wir machen nun über die in Satz III auftretende Funktion 0<(U(a)) folgende Annahme: Wir bilden, wenn a einen Häufungspunkt von 2 bedeutet, aus U (a) durch Weglassen des Punktes a die reduzierte Umgebung 1' (a), und setzen: (U (a))- G (f,U'(a). 9). Die untere Schranke 9 (a) aller 0 ((U(a)) nennen wir dann die reduzierte obere Schranke von f in a auf 92, oder, alsFunktion von a betrachtet: die reduzierte obere Schrankenfunktion G'(a; f, A1) von f auf 92. Sie ist definiert in allen Häufungspunkten von 91, d. h. auf 911. Ebenso wird definiert die reduzierte untere Schrankenfunktion g'(a; f, 91) von f auf 91 als die obere Schranke von g(f, U'(a).S9) für alle reduzierten Umgebungen iU'(a) von a. 1) Dabei ist nicht verlangt, daß, wenn ein und dieselbe offene Menge sowohl eine Umgebung 11 (a) von a, als auch eine Umgebung 11 (a') von ao ist, für sie 0 (U (a))- q= (U (a')) sei. 2) Ersetzt man (*) durch: O (U (a'))_ q (U (a)), und versteht unter p (a) die obere Schranke der (U ( (a)), so wird 9 (a) unterhalb stetig.

Kap. II, ~ 11. Die Schrankenfunktionen als halbstetige Funktionen. 169 Aus Satz III folgt nun: SatztIV. Ist f eine beliebige Funktion auf 9f, so ist ihre reduzierte ob ere Schrankenfunktion G'(a; f, 9) oberhalb stetig, ihre reduzierte untere Schrankenfunktilon g'(a; f, i) unterhalb stetig auf 91. Die im vorstehenden gegebene Definition der reduzierten Schranken entspricht der topologischen Definition von oberer und unterer Schranke einer Funktion (~ 2, Satz IV). Wir hätten ebensogut von einer der allgemeinen Definition analogen ausgehen können. Wir begnügen uns damit, den leicht beweisbaren Satz auszusprechen: Satz V. Ist {an} eine Punktfolge aus 91 mit lima,=z=a, in der alle a,,4 a sind, so ist: W=-o lini f(aj() < G'(at f, 92); lim f(a) > g'(a; f, 91), n_ a: n.-== und es gibt in 91 zwei Folgen {a'} und {a,} der genannten Art, so daß: lim f(ca) - G'(a; f, 91); lim f(a) = g'(a; f, 2). Aus der Definition der reduzierten Schrankenfunktionen folgt unmittelbar: Satz VI. In jedem Punkte a von 91X ist: (; f g(a; f, 99)fgg ' (a; f, t))G 'G(a; f, (a; f, ); in jedem Punkte a von 9l1-9lf1 ist: 9'(a; f, A)= g(a; f, l); G'(a; f, 9t)=-G(a; f, %). In der Tat, es ist, weil U'(a)-< Ul(a), stets: g (f, U'( a) >) Z g (f, U (a) m); G (f, U' (a) G) _ G (f, U (a) A); für jeden nicht zu 9 gehörigen Punkt aber ist I'(a) 91 == 11 (a) 9, und mithin: g (f, U'(a) 9) = g (f, 11 (a) 92); G (f, U'(c) 9) - G (f, U (a) 9l), woraus Satz VI sofort folgt. Das Bestehen der (zu Ungleichung (00) in Satz II von ~ 2 analogen) Ungleichung: (tr) S'(a; f, 9)f(a)G'(a; f, 9) kann hier nicht mehr allgemein behauptet werden, da die reduzierten Schrankenfunktionen ohne Rücksicht auf den Funktionswert f(a) gebildet sind. Wohl aber gilt:

170 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Satz VII1). Ist 9f911 separabel, so ist die Menge aller Punkte von W91, in denen (t) nicht gilt, abzählbar. Zum Beweise bemerken wir: es kann sein, daß es in einer Menge S einen Punkt b gibt derart, daß, wenn 3' die aus 8 durch Weglassen von b entstehende Menge bezeichnet, ( (f, S') < G (f, S) ausfällt. Nennen wir dann b kurz einen reduzierenden Punkt von 3, so sehen wir sofort: eine Menge e kann höchstens einen reduzierenden Punkt enthalten. Sei nun im Punkte a von'-9191: (tt) f(a)> G'(a; f, 9t). Dann gibt es eine Umgebung 1 (a), so daß für die zugehörige reduzierte Umgebung U'(a): (ttt) G (f, {'(a)) < f(a) ~ G (f, 1 U (a)). Da die Menge T1' separabel, hat sie einen abzählbaren und in ihr dichten Teil: C, a,.., a... Es gibt dann gewiß ein n und ein v, so daß die Umgebung 1 (a; -) einerseits a enthält, andrerseits Teil der eben genannten Umgebung U (a) ist. Man folgert dann aus (ttt) sofort, daß a reduzierender Punkt von 11 (a; ist. Es ist also jeder Punkt von 91W1, in dem (tt) gilt, reduzierender Punkt mindestens einer der Mnengen 91tU (a"; ). Da es aber nur abzählbar viele solche Mengen und in jeder von ihnen höchstens einen reduzierenden Punkt gibt, so ist die Menge aller Punkte von 9'1, in denen (tt) gilt, abzählbar. Ganz ebenso zeigt man dies für die Menge der Punkte, in denen f(a)<' (; f 1), womit Satz VII bewiesen ist. Ist im Punkte a von 91: (0) g'(a.; f,; ) = G'(a; f; 9), so sagen wir: f hat in a auf 91 den Wert (0) zum Grenzwert. ~) Vgl. W. H. Young, Quart. Journ, 39 (1908), 82; Lond. Proc. (2) 8 (1910), 119.

Kap. II, ~ 11. Grenzwert einer Funktion. 171 Hat X9 eine reduzierte Umgebung von a zum Teil, so schreibt man, wenn f in a auf % den Grenzwert 1 hat: lim f (x)= I; im 9k schreibt man statt dessen auch, wenn x und a die Punkte (x 2, x,...,.x) und (a,, a.,,..a) sind1): (00) lim f(x,...x, k)=l I=aCtl,..., a Xk -CTk Sei wieder 2t eine beliebige Punktmenge eines metrischen Raumes. Aus Satz V folgt unmittelbar: Satz VIII. Damit f im Punkte a auf 9 den Grenzwert 1 habe, ist notwendig und hinreichend, daß für jede Punktfolge {a,} aus 9 mit lim n= a und a, = a die Beziehung gelte: n -- -r lim f (a~,). n== Und daraus weiter: Satz IX. Damit f im Punkte a auf 1 einen Grenzwert habe, ist notwendig und hinreichend, daß für jede Punktfolge {al aus 91 mit lima =a und a, + a die Zahlenfolge {f(a,,)} konvergent sei. Die Bedingung ist notwendig; dies ist bereits in Satz VIII enthalten. Die Bedingung ist hinreichend. Nehmen wir sie in der Tat als erfüllt an, so ist (bei Berufung auf Satz VIII) nur mehr zu zeigen, daß die sämtlichen Zahlenfolgen {f(aj)} gegen dieselbe Zahl I konvergieren. Seien also {a',}, {a t} zwei der in Rede stehenden Punktfolgen aus 91. Auch __ a, a', a2,.a', a,a,... E) Wie Satz VIII zusammen mit Kap. I, ~ 1, Satz VI lehrt, kann die Beziehung (00) auch so definiert werden: Für jede Punktfolge {x,} des 9tk: xi = (Xl1,, Z2, n', * * n Xk, n). in der: lim x, a= i (i-=l, 2,.., k) aber für kein n die sämtlichen k Gleichungen gelten: xi,, —a (i= l, 2,..., k), ist: limf (x1.^., a2,...,, Xs) - l n==oo Diese Form der Definition erklärt das Symbol (00) auch noch in dem Falle, daß einige der ad- =- oo oder = - cx sind.

172 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. ist dann eine solche; also hat nach Annahme die Zahlenfolge: f(a'), f (a ), ((a, a ),..., '(a'), f( ).... einen Grenzwert 1. Als Teilfolgen aus dieser haben aber dann auch {f(a)) und { f(a))} den Grenzwert 1, und mithin denselben Grenzwert, wie behauptet. Damit ist Satz IX bewiesen. Unmittelbar -aus der Definition von G' (a; f, f) und g' (a; f, 9/) folgt (vgl. den Beweis von ~ 3, Satz IV): Satz X. Damit f im Punkte a von 11 auf %1 den Grenzwert 1 habe, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem p<l, und ebenso zu jedem q>l, eine reduzierte Umgebung U' von a in %9 gebe, so daß: f(a')>p für alle a' von U', bzw. f(a')<q für alle a' von U'. Satz XI. Damit f im Punkte a von 9f1 auf 2 einen endlichen Grenzwert habe, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>O eine reduzierte Umgebung 1U' von a in 91 gebe, so daß für je zwei Punkte a', a" von Ul: (*) if(a') f(')|<e. Die Bedingung ist notwendig: habe in der Tat f in a auf 9( den endlichen Grenzwert 1, dann ist und Satz X lehrt es g ibt eine reduzierte Umgebung von a, und Satz X lehrt: es gibt eine reduzierte Umgebung 11', von a in 9f, so daß, wenn a' und d' in U': E E E ( **) -: <f(a')< +- i- <f(a")<I - + Aus (**) aber folgt (*). Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Ist {a%} eine Punktfolge aus %9 mit lim a, ==- a und n = oo a += a, so gibt es ein n0, so daß a, für n >n0 in der reduzierten Umgebung 1I' von a in 91 liegt. Wegen (*) ist dann:!f('a,)-f(a,,)j<e für n'>n, n" >n0. Aus Einleitung, ~ 6, Satz IX folgt daraus die eigentliche Konvergenz von {f(a,)}. Aus Satz IX und VIII folgt daraus weiter, daß f in a auf. 91einen endlichen Grenzwert besitzt, und Satz XI ist bewiesen.

Kap. II, ~ 12. Vernachlässigung von Teilmengen. 173 Im Gegensatz zu ~ 3, Satz II kann aus dem Bestehen der Gleichung (0) S. 170 nicht auf die Stetigkeit von f in a auf 91 geschlossen werden. Wohl aber gilt in Analogie zu ~ 3, Satz III: Satz XII. Damit f stetig sei auf 91 im Punkte a von 919', ist notwendig und hinreichend, daß: g' (a; f, 5) = G' (a; f, X/) - f(a), d. h. daß f in a auf 91 den Funktionswert f(a) zum Grenzwert habe. Besitzt f im Punkte a von VltW1 einen Grenzwert auf 91, der aber + f(a) ist, so heißt f hebbar unstetig in a auf 91. Es kann nämlich die Unstetigkeit von f in a durch bloße Abänderung des Funktionswertes f(a) in den Grenzwert von f in a behoben werden. Satz XIII. Ist 5991' separabel, und hat f in allen Punkten von 9S9ll einen Grenzwert auf 91, so unterscheidet sich f von einer auf 91 stetigen Funktion nur in einer abzählbaren Punktmenge. In der Tat, nach Annahme ist in allen Punkten von 9191: (0) g'(a; f, 5)= G'(a; f, 1). Wir setzen nun: (00) f*(a)} f (a) auf 91 91 9 ( oo) f* (~)= g' (; f, ( )= G' (a; f, () auf 9191'. Wegen Satz VII unterscheidet sich dann f von f* nur in einer abzählbaren Punktmenge. Und wegen Satz IV ist f* sowohl oberhalb als unterhalb stetig auf 911, und mithin stetig auf 9191. Ist aber a irgendein Punkt aus 9 911 und {a,} eine gegen a konvergierende Punktfolge aus 91- 91f1, so ist wegen (0), (00) und Satz V: lim f* (a")- lim f(a,)= ' (a; f, ) = G' (a; f, 51) = f* (a). n = 'oo n = 00 In jedem Punkte von 91911 ist also f* auch stetig auf 91. In jedem Punkte von 91 --- 11 aber ist f* gewiß stetig auf 91, da diese Punkte isoliert sind. Also ist f* stetig auf S1, und Satz XIII ist bewiesen. ~ 12. Vernachlässigung von Teilmengen. Sei eine Menge E von Teilen der Menge 91 gegeben, gemäß folgenden Bedingungen: 1. Ist ( eine Menge aus E, so auch jeder Teil von (91). 2. Sind ( 2,.,...,,... abzählbar viele Mengen aus E, so gehört auch ihre Vereinigung " ( + -... + e~ + -.. ~ zu E. 1) Da die leere Menge Teil jeder Menge, so kommt auch die leere Menge in E vor.

174 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. 3. In E gibt es (außer der leeren Menge) keine in 91 offene Menge. Wir nennen die zu E gehörigen Teile von o1 kurz E-Mengen. Beispiele von E-Mengen sindl): wenn 21 perfekt und relativ-vollständig ist, die abzählbaren Teile von S (Kap. I, ~ 8, Satz-VI); wenn 91 relativ-vollständig ist, die Teile erster Kategorie von % (Kap. I, ~ 8, Satz XVI). Bilden die Punkte von 21, in denen f > p ist, eine E-Menge, so heißt p eine Oberzahl (majorante Zahl, Majorante) von f bei Vernachlässigung von E-Mengen. Analog ist die Definition einer Unterzahl (Minorante) von f bei Vernachlässigung von E-Mengen. Satz I. Unter allen Oberzahlen von f bei Vernachlässigung von E-Mengen gibt es eine kleinste, unter allen Unterzahlen von f bei Vernachlässigung von E-Mengen gibt es eine größte. Sei in der Tat po die untere Schranke aller Oberzahlen von f bei Vernachlässigung von E-Mengen; wir haben zu zeigen, daß p, selbst eine solche Oberzahl ist. Dies ist trivial, wenn po, = - o. Ist aber po < -- 00, so gibt es eine monoton abnehmende Folge {pn} von solchen Oberzahlen mit lim p = p,). n = ao Ist e, die Menge aller Punkte von W, in denen f >pn,, so ist En nach Annahme eine E-Menge. Die Menge f aller Punkte von W1, in denen f po ist aber: ( =1 +4-. Jr 4 * + ( * -4 -und mithin, nach Eigenschaft 2. der E-Mengen, auch eine E-Menge. Damit ist Satz I bewiesen. Die kleinste Oberzahl (größte Unterzahl) von f bei Vernachlässigung von E-Mengen heißt die obere (untere) Schranke von f auf 21 bei Vernachlässigung von E-Mengen. Wir wollen sie bezeichnen mit G* (f, 2) bzw. g*(f, ). Satz II. Für obere und untere Schranke von f auf 1l bei Vernachlässigung von E-Mengen besteht die Ungleichung: g(f,21)<g(f,21)~ (f21)~G(f, 2)). In der Tat, die äußeren Teile dieser Ungleichung folgen unmittelbar aus der Tatsache, daß jede Oberzahl (Unterzahl) von f auch eine solche bei Vernachlässigung von E-Mengen ist. Um auch die mittlere Ungleichung zu beweisen, nehmen wir an, sie wäre nicht erfüllt. Dann gibt es ein c, so daß: G* (f, 1)<c<g (f 2). Dann aber ist sowohl der Teil von 2 auf dem f c, als auch der, auf dem f < c eine E-Menge, und mithin wäre auch l, als Vereinigung zweier EMengen eine E - Menge, in Widerspruch zu 3. ihrer Definition. Damit ist Satz II bewiesen. Ist nun a ein Punkt von 21, so bilden wir die untere Schranke aller Zahlen G* (f, U (a) -1) für alle Umgebungen U (a) von a, bezeichnen diese untere Schranke mit G* (a; f, 1) und nennen sie die obere Schranke von f in a auf 91 bei Vernachlässigung von E-Mengen, oder (als Funktion von a betrachtet) die obere Schrankenfunktion von f auf 21 bei Vernachlässigung von E-Mengen. Ganz analog ist die Definition der unteren Schranke in a (unteren Schrankenfunktion) von f auf 2 bei Vernachlässigung von E-Mengen: g* (a; f, 1). 1) R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 72, 81; Acta math. 30 (1906), 21.

Kap. II, ~ 12. Vernachlässigung von Teilmengen. 175 Setzt man in ~ 11, Satz III: < (U (a)) = Gl* (f, 1 (a) 91) bzw. < (U (a>) == g* (f, U (a) 91), so erhält man: Satz III. Es ist G*(a; f,9) oberhalb stetig, g*(a; f,9) unterhalb stetig auf 9~. Aus Satz II folgt sofort: Satz IV. Es gilt stets die Ungleichung: g (a; f, ) <9g* (a; f, 9) * (a; f, ) G (a; f, 1). In Analogie zu ~ 11, Satz VII gilt hier: Satz V. Ist 91 separabel, so ist die Menge aller Punkte von 91, in denen nicht (0) g*(a; f,)< f(a)< G*(a; f, ) ist, eine E-Menge. Sei zum Beweise a a.., a.. a... ein in 91 dichter, abzählbarer Teil von 91. Sei 1 (an; -) die Umgebung - von a,n in 91. Diejenigen Punkte von U (a n;), in denen: f > G* (f u (a; )) bilden dann, nach Definition von G*, eine E-Menge, die wir mit (,, e bezeichnen. Dasselbe gilt dann auch von der Vereinigung e der abzählbar vielen E-Mengen n,, (n,y 1, 2,...). Wir wollen nun zeigen, daß jeder Punkt von 91, in dem (00) f (a) > G* (a; f, ), zu dieser Vereinigung u gehört. In der Tat, gilt (00), so gibt es eine Umgebung U (a) von a, so daß: G*(f, U (a) 1)<f(a). Unter den vorhin betrachteten 1 (an; ) gibt es eine, die einerseits a enthält, andererseits Teil von I (a) 91 ist. Für sie ist also: G* (f, 11 (a,; 1)) < G* (f, U (a) 91) < f (a). Es gehört also a zu E(,n, und damit zu (E, wie behauptet Also ist die Menge aller Punkte von 91, in denen (00) gilt, eine E - Menge; ebenso beweist man dies für die Menge aller Punkte von 91, in denen f (a) <g* (a; f, 9) gilt. Also ist die Menge aller Punkte von 9, in denen (0) nicht gilt, als Vereinigung zweier E-Mengen eine E-Menge, und Satz V ist bewiesen. Aus Satz V leiten wir eine Eigenschaft der Schrankenfunktionen bei Vernachlässigung von E-Mengen her, die ihre in Satz III bewiesene Halbstetigkeit beträchtlich ergänzt. Satz I. Ist 29 separabel, so stimmt G*(a; f, 2) überein mit ihrer eigenen oberen (und g*(a; f,[2) mit ihrer unteren) Schrankenfunktion bei Vernachlässigung von E-Mengen. Wir setzen zur Abkürzung: G* (a; f, 9)-== (a).

176 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Die Tatsache, daß p (a) oberhalb stetig ist (Satz III), besagt: (t) 9 (a)= (a;, ). Da nach Satz IV stets: G (a;, 91) G* (a; y7, ), so haben wir aus (1): (tt) cp (a) >_ G* (a; f, ~). Da aber nach Satz V überall auf 9f, abgesehen von einer E-Menge, f(a)< cp (a) ist, und da bei Bildung von G* es auf die Werte in einer E-Menge nicht ankommt, so ist auch: (ttt) f (a)= G* (a; f,~ ) < G* (a; cp, A). Die beiden Ungleichungen (ft) und (ttt) ergeben: q (a) = G (a;,u r), das aber ist die Behauptung. Die Funktion f heißt im Punkte a stetig auf % bei Vernachlässigung von E-Mengen1), wenn: -(*) g^ f)=g* (a; f, )= G* (a; f, *) ist. Sie heißt stetig auf S[ bei Vernachlässigung von E-Mengen, wenn (*) in jedem Punkte von V9 gilt. - Für solche Funktionen besteht (in Analogie zu ~ 11, Satz XIII) der Satz: Satz VII. Ist f stetig auf der separablen Menge?/ bei Vernachlässigung von E-Mengen, so gibt es eine auf 9 stetige Funktion, von der sich f nur in einer E-Menge unterscheidet. In der Tat, da nach Satz III G* (a; f, 91) oberhalb, g*'(a; f, 1) unterhalb stetig ist auf 91, so ist, wenn überall auf 21 (*) gilt, der gemeinsame Wert dieser beiden Funktionen stetig auf 21. Und da nach Satz V f überall, abgesehen von einer E-Menge, gleich diesem gemeinsamen Werte ist, so ist Satz VII bewiesen. ~ 13. Einseitige Stetigkeit und Halbstetigkeit. Wir beschäftigen uns noch speziell mit Funktionen, die auf einer Punktmenge 21 des N definiert sind, d. h. mit Funktionen einer reellen Veränderlichen. Alle Punktmengen und Funktionen, von denen in diesem Paragraphen die Rede ist, sind Punktmengen des 'R, und Funktionen einer reellen Veränderlichen. Jedes Intervall [a, a) bezeichnen wir als eine rechtsseitige, jedes Intervall (a', a] als eine linksseitige Umgebung des Punktes,a; jedes Intervall (a, a') bzw. (a', a) als eine reduzierte rechtsseitige, bzw. linksseitige Umgebung von a. Das Intervall [a, a — +) heißt die rechtsseitige Umgebung y von a, das Intervall [a, a - ] die rechtsseitige abgeschlossene Umgebung y von A[; analog ist die Definition der linksseitigen (abgeschlossenen) Umgebung 9 von a. Wieder nennen wir die aus einer dieser Umgebungen durch Weglassen von a entstehende Punktmenge die entsprechende 1) Vgl. hierzu auch H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 185, 189.

Kap. II, ~ 13. Einseitige Stetigkeit und Halbstetigkeit. 177 reduzierte Umgebung. Der Durchschnitt einer dieser Umgebungen mit einer Punktmenge 91 des 91 heißt: die entsprechende Umgebung von a in 91. Der Punkt a heißt ein rechtsseitiger Häufungspunkt der Punktmenge 91 des 91, wenn in jeder seiner rechtsseitigen Umgebungen unendlich viele Punkte von 91 liegen, oder, was dasselbe heißt, wenn in jeder seiner reduzierten rechtsseitigen Umgebungen mindestens ein Punkt von 9 liegt. Die Menge aller rechtsseitigen Häufungspunkte von 9 bezeichnen wir mit 91:, die Vereinigung - + -91 mit 91+. Analog ist die Definition des linksseitigen Häufungspunktes; die Menge aller linksseitigen Häufungspunkte von 1 bezeichnen wir mit r9L, die Vereinigung 9 -$ 91_ mit 91. Einen Punkt, der sowohl rechtsseitiger als linksseitiger Häufungspunkt von 9 ist, nennen wir einen beiderseitigen Häufungspunkt von 91. Die Menge aller beiderseitigen Häufungspunkte von 91 ist 91.*91. Für Punktmengen des,1 gilt folgende Verschärfung des Satzes VI a von Kap. I, ~ 7: Satz I. Die Mengen 9 ~- 91, 9o — ~91 91 T- 91 91 sind abzählbar. In der Tat, zu jedem Punkte a von 91~ - 9 gibt es ein Intervall (a, a — ), das keinen Punkt von 90 enthält. Da es (Kap. I, ~ 7, Satz VII) nur abzählbar viele zu je zweien fremde Intervalle gibt, gibt es also auch nur abzählbar viele Punkte von 91o- 91. Ebenso sieht man, daß 91o~ -9 abzählbar ist. Und wegen: 910 911( 91 _ 91) (_ + 0 9 1) ist auch s91~O - 91[ abzählbar, und Satz I ist bewiesen. Eine Menge heißt rechtsseitig abgeschlossen, wenn sie ihre rechtsseitigen Häufungspunkte enthält, d. h. wenn:, -<( und mithin 9s =91. Satz II. Sowohl 91 als 9+ sind rechtsseitig abgeschlossen. Eine Punktmenge 53-<91 heißt rechtsseitig abgeschlossen in 91, wenn 91 -<S. Sei die Funktion f definiert auf der Punktmenge 91 des 911, und sei a ein Punkt von 91. Wir denken uns für jede rechtsseitige Umgebung U1+(a) in 91 die obere Schranke G(f, U+(a)) gebildet. Die untere Schranke aller dieser Zahlen (vgl. ~ 2, Satz IV) bezeichnen wir als die rechtsseitige obere Schranke G+(a; f, 91) von f in a auf 9l, oder, als Funktion von a betrachtet, als die rechtsseitige Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 12

178 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. obere Schrankenfunktion von f auf 91. Ebenso wird die rechtsseitige untere Schranke g+ (a; f, 91) von f in a auf 9 definiert als die obere Schranke aller g(f, Ua+(a)). Ersetzt man in diesen Definitionen die rechtsseitige Umgebung U (a) durch eine linksseitige Umgebung, so entstehen die linksseitigen Schrankenfunktionen G_ (a; f, 9), g_(a; f, 91). Ist a Punkt von 2f (bzw. von W1 ), und ersetzt man in diesen Definitionen die Umgebungen 1+ (a), U_(a) durch die reduzierten Umgebungen Ul+(a), U' (a), so entstehen die reduzierten rechtsseitigen und linksseitigen Schrankenfunktionen G (a; f, 9s), g'(a; f, 9), G'_(a; f, t), g'_(a; f, Q). Aus diesen Definitionen folgt: Satz III. In jedem Punkte a von 9+ *.92o ist G(a; f, 91) die größte der zwei Zahlen G+(a; f, 91), G_(a; f, 9), und g(a; f, 1) die kleinste der zwei Zahlen g+(a; f, 91), g (a; f, 9). Satz IV. In jedem Punkte a von 9W1.921 ist G'(a; f, 91) die größte der zwei Zahlen G' (a; f, 91), G' (a; f, 9), und g'(a; f, 91) die kleinste der zwei Zahlen g+(a; f, W9), g'(a; f, 9l). Hat 91 eine reduzierte rechtsseitige (bzw. linksseitige) Umgebung von a zum Teil, so schreiben wir auch: G+(a; f, 9)- lim f (x), '_ (a; f, 9)-=lim f(x); x=a+-O x=a=O g+ (a; t, E9) = lim f(x); g'_ (a; f, 9) _ lim f(x). Wir definieren nun (vgl. ~ 8, Satz I): Die (auf 9 definierte) Funktion f heißt rechtsseitig') oberhalb stetig in a auf 91, wenn: f(a)= G+ (a; f, ), sie heißt rechtsseitig') unterhalb stetig in a auf 91, wenn: f(a) --- g+ (a; f, 9); sie heißt rechtseitig stetig in a auf 91, wenn sie rechtsseitig oberhalb und unterhalb stetig ist in a auf 91, d. h. wenn (vgl. ~ 3, Satz II)2): G+(a; f,W) = (a; f, ), woraus ja (vgl. ~ 3, Satz III) von selbst folgt: G+(a; f, 9) =g+(a; f, 9) = f(a). 1) Ebenso werden die Begriffe:,linksseitig oberhalb bzw. unterhalb stetig" definiert durch: f(a) G_(a; f, ); f(a)=-g(a; f, ). 2) Aus dieser Definition folgt sofort, daß in jedem nicht zu 9(_ gehörigen Punkte von 91 jede Funktion f auf 91 rechtsseitig stetig ist.

Kap. II, ~ 13. Einseitige Stetigkeit und Halbstetigkeit. 179 Ist in einem Punkte von +: (t) G+(a; f, A)= - g(a; f, ) so sagen wir, es habe f in a auf 9 den Wert (t) zum rechtsseitigen Grenzwert. Ist 1 dieser Wert, und hat 9 eine reduzierte rechtsseitige Umgebung von a zum Teil, so schreiben wir1): lim f (x)= l, oder f(a + 0)- 1. a=a+0 Analog ist die Definition des linksseitigen Grenzwertes und insbesondere des Symbols ) lim f(x) [ — f(a- 0)]. x=a-O In Analogie zu ~ 11, Satz XII haben wir nun: Satz V. Damit f rechtsseitig stetig sei auf 91 im Punkte von 9*.91., ist notwendig und hinreichend, daß (a; f, ')= (a; f, )= f(a), d. h. daß f in a auf 9 den Funktionswert f(a) zum rechtsseitigen Grenzwert habe. Von den Sätzen, die wir für stetige (halbstetige) Funktionen bewiesen haben, bleiben einzelne, aber nicht alle für einseitig stetige (halbstetige) Funktionen gültig. So besteht z. B. kein Analogon zu ~ 4, Satz II, III (~ 9, Satz II, II), wie folgendes Beispiel zeigt: Die Funktion f(x) = -, für x =+ O, f(0) = 0 ist rechtsseitig stetig im Intervalle [-1, 0], aber nirgends gleich ihrer oberen Schranke-+oo in diesem Intervalle; denn sie ist endlich, aber nicht nach oben beschränkt. Hingegen gilt in Analogie zu ~ 9, Satz IV: Satz TI. Damit f rechtsseitig oberhalb (unterhalb) stetig sei auf 91, ist notwendig und hinreichend, daß für jedes c die Menge aller Punkte von SI, in denen f~c (ftc) ist, rechtsseitig abgeschlossen sei in 9. Daraus folgen sofort die zu ~ 4, Satz VI, VII analogen Sätze: Satz VII. Damit f rechtsseitig stetig sei auf 91, ist notwendig und hinreichend, daß für jedes c sowohl die Menge aller Punkte von 1, in denen f>c, als auch derjenigen, in denen f~c, rechtsseitig abgeschlossen sei in W. Satz VIII. Ist f rechtsseitig stetig auf 91, so ist für jedes c die Menge aller Punkte, in denen f=c ist, rechtsseitig abgeschlossen in 91. Als Analogon zu ~ 9, Satz V erhalten wir: Satz IX. Sei S linksseitig abgeschlossen, f rechtsseitig oberhalb stetig auf 91. Ist die rechtsseitige untere Schrankenfunktion2): (*)__ g_(a; f, ) __ 1) Ist a = 0, so schreibt man statt dessen: lim, lir bzw. f(-+0), f(- 0)..-=+o = —o 2) Ist 9 ein Intervall, so kann in (*) g+ (a; f, >) ersetzt werden durch g(a;f, 9). Allgemein ist das nicht der Fall. Beispiel: Sei X( eine nirgends dichte perfekte Menge. Man kann den abzählbaren Teil W- -% von 9 in 12*

180 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. in jedem') Punkte von 9f, so ist die Menge der Punkte, in denen f_~c ist, dicht in 922). Vermöge der Schränkungstransformation können wir f als beschränkt, c als endlich annehmen. Sei ao ein beliebiger Punkt von 92 und l(ao) eine Umgebung von aO; wir haben zu zeigen, daß in 11(a,) ein Punkt a' von 29 liegt, für den f(a')< c ist. Da (*) auch in ao gilt, gibt es in dl(a0) einen Punkt a, von 92, in dem f(a) <+ c + i; und da f rechtsseitig oberhalb stetig ist, gibt es ein Intervall [at, a +-Qei -< U(a0), so daß f(a)<c — 1 in 21 X [Ca,, a +3-ei Wegen (*) (für a a,) gibt es in [a1, a, -- o) einen Punkt a. von 91, in dem f(a2) < c +-. und daher ein Intervall [a, a a,, a -- ] [, so daß f(a)<c+-^ in 2 9l[a",a2+ - 2]. Indem man so weiter schließt, kommt man zu einer monoton wachsenden Punktfolge {a,} aus 2f und zugehörigen Intervallen [an, an +~,] von folgenden Eigenschaften: Es ist: (**) [an an+o,] -< [al-, an- + n -), (***) f(a) <c in 92. [an, an,-Oe] Wegen (**) liegen für n > no alle a, in [an", a+, +-,no). Da 92 linksseitig abgeschlossen ist, gehört lim a,n = a' zu 91, und f(a') gefl= oo nügt sämtlichen Ungleichungen (***), d. h. es ist: f(a') < c. Da ferner [a, a, a+ e1] -< i(a0) war, so liegt a' in 1U(a), und Satz IX ist bewiesen. In Analogie zu ~ 11, Satz II gilt: Satz X. Es ist stets G+(a; f, 1) rechtsseitig oberhalb, g+(a; f, 91) rechtsseitig unterhalb stetig auf 91~-. abzählbar viele Teile 3,, (n= 1, 2,...) spalten, deren jeder in 91 dicht ist. Man definiere: f== - auf 23, (n- = 1, 2,..), f== auf 91I_. Dann ist f rechtsn seitig oberhalb stetig auf 91; in jedem Punkte von 91 ist g(a;f, 91) 0, trotzdem ist überall f> 0. 1) Es genügt hier nicht, daß (*) auf einem in 21 dichten Teile von 91 erfüllt sei, wie das Beispiel von Fußn. 2) S. 179) zeigt, wo g+(a; f, 1) 0 auf dem in 21 dichten Teile 921 erfüllt ist. 2) Im Gegensatze zu ~ 9, Satz V, kann hier nicht behauptet werden, daß die Menge aller Punkte von 92, in denen f > c ist, von erster Kategorie in 91 sei. Beispiel: Sei 91 eine nirgends dichte perfekte Menge und f= 1 auf 9l-_, /==0 auf 921-921l. In jedem Punkte von 91 ist g+(a; f,)l)== 0, die Menge 91}, auf der f=-1, ist aber von zweiter Kategorie in 92. - Ist 92 ein Intervall, so zeigt ein dem Beweise von Satz V, ~ 9 analoger Beweis, daß auch hier die Menge aller Punkte, in denen f[> c ist, von erster Kategorie ist.

Kap. II, ~ 13. Einseitige Stetigkeit und Halbstetigkeit. 181 Ebenso in Analogie zu ~ 11, Satz IV: Satz XI. Auch für die reduzierten rechtsseitigen Schrankenfunktionen gilt: Es ist G+(a; f, S1) rechtsseitig oberhalb, g+(a; f, 91) rechtsseitig unterhalb stetig in a auf 5[+. In Analogie zu ~ 11, Satz VII gilt: Satz XII1). Die Menge aller Punkte von 9X.S, in denen nicht: 9g (a; f, A) _ f(a) _ G:(a; f, I) gilt, ist abzählbar. In der Tat lehrt ein später zu beweisender Satz (Kap. III, ~ 1, Satz XVI), daß die Menge aller Punkte von I9_+ 91L, in denen nicht: g+(a; f, A) =g'(a; a; f,; a;f, ), und somit auch (Satz IV): (0) g +(a; f, 9) — g'(a; f, t); G+_(a; f, ) —G'(a; f, t1) gilt, abzählbar ist. Da aber in jedem Punkte von 91 -- 1 1L (0) in trivialer Weise gilt, so gilt (0) überall auf W9l+, abgesehen von einer abzählbaren Punktmenge, und Satz XII folgt unmittelbar aus ~ 11, Satz VII. Wir gehen nun daran, den durch Satz IV aufgestellten Zusammenhang zwischen reduzierter Schrankenfunktion und den beiden einseitigen reduzierten Schrankenfunktionen zu ergänzen2). Wir setzen dabei abkürzend: G'(a; f, 5) = G'(a); G~ (a; f, A) == G+ (a); G' (a; f, 91) -= G' (a). Satz XIII. Ist 9 insichdicht,3) und ist G'(a)' stetig auf 9+ im Punkte aO von 1+, so ist auch G+(a) stetig in a0 auf 91_, und es ist: G+ (a,)= G'(a). In der Tat, wir haben zu beweisen: für jede Punktfolge {an} aus W mit lim a, =- a, ist: In =- oo (1) n lim G+ (a,) - G'(a,). n ---oo Da wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von G'(a): lim G' (a,) =G'(ao), n= oo da ferner: G+ (an,) G' (a,), so ist: Um im G+(a,,) G' (aQ). ~~i____________ n= oo ~) W. H. Young, Quart. Journ. 39 (1908), 82. 2) Vgl. hierzu W. H. Young, a. a. 0. 73. 3) Eine Voraussetzung über 91 kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Es bestehe 91 aus den Punkten 1 1 1 -n (n =, 2,...) und ---- 1 (, n 2,..), 2n v }2 '2"' m _.n+1 und es sei: fD2a is (a a2 - r 2 + 1) Dann ist überall auf 91I: G'(a)= 1. Hingegen:

182 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. Wir haben also, um (1) nachzuweisen, nur mehr zu zeigen: (2) lim G- (an) > G' (a,). n= Qo Angenommen, es gelte (2) nicht. Dann gäbe es eine Zahl p: p < G' (a) und eine Teilfolge {a,} von {an}, so daß G (anv,) <p < G' (ao) für alle v. Zu jedem a,,, gibt es daher ein eQ, so daß: (3) f(a) <p in 2. (an, a,+,,, - ). Dabei kann,< t angenommen werden. Da a,. Punkt von 921 war, ist 2'(an,,, an,, +- l) nicht leer; und da diese Menge ebenso wie Vf insichdicht ist (Kap. I, ~ 4, Satz II), hat 29 (a,,,,, a,,,- +,,) die Mächtigkeit c (Kap. I, ~ 8, Satz IX). Da aber W9 - 92+ abzählbar ist (Satz I), gibt es in (a, a + e,) auch einen Punkt a, von 91f. Wegen (3) ist nun (4) G (a',) < p < ' (o) Da aber ai in (an,, a,, + e,), folgt aus: lim a,,,=o; < 0<, <, daß: lim a, — ao. = 00 Also steht (4) in Widerspruch mit der vorausgesetzten Stetigkeit von G'(a) in aO auf 2W. Damit ist (2) bewiesen, und der Beweis von Satz XIII beendet. Satz XIV. Ist S2 insichdicht1), und ist sowohl G'+(a) als auch2) GL (a) stetig auf 9212L im Punkte a0 von 21t2fL, so ist G'(a) in aC stetig auf 921, und es ist: G' (ao) = G (ao)= d' (ao). In der Tat, nach Satz IV besteht mindestens eine der beiden Gleichungen: (*) G'(ao)'== G(a0); G'(a0) G= (ao), 1) Eine Voraussetzung über 2 kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Es bestehe 2 aus den Punkten -t+ - und - ( = l1 2...) 2rn 27'+" + und es sei: f( 2t 2n- + i -)1; f(- 2- 2 -- 1. Dann ist: G+ (a)==1 auf 2f; G- (a) ==- auf 1L, trotzdem ist G'(a) unstetig in a 0. 2) Es genügt nicht, wenn nur eine der beiden Funktionen G +(a), G' (a) stetig ist in' aO. Beispiel: Sei f= l in den Punkten - - (n== 1,,...), sonst f- 0. Dann ist überall GS (a) = 0, hingegen ist G' (0) 1, sonst G' (a) 0.

Kap. II, ~ 13. Einseitige Stetigkeit und Halbstetigkeit. 183 etwa die erste. Angenommen, es wäre G'(a) nicht stetig auf t1 in aO. Da nach ~ 11, Satz IV G'(a) jedenfalls oberhalb stetig auf 21I, so gäbe es dann eine Zahl p: p < G' (a) und eine Punktfolge {an} aus 2W1 mit lim an = a, so daß: n= co G'(an) < p < G'(a) für alle n. Da G'(a) oberhalb stetig auf 2S1, gibt es zu jedem an ein 0, so daß: (**) G'(a)<p<G-'(a) in 92/.(an -1 (, an + ), und wir können annehmen: n, < - n Da an Punkt von XI1, ist 2 (a, - en, an + qn) nicht leer, woraus wir wie beim Beweise von Satz XIII schließen: Es gibt in (an - n, an + -n) auch einen Punkt a' von '-.-L. Wegen (**) ist dann: (***) G_(an)) <p < G'(). Da aber an in (a, - ~,,, an +-,) lag, folgt aus: lim an= ~ao, 0< <-, n —=oo n daß: lim an a. n=-oo Also steht, wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von G- (a), Ungleichung (***) im Widerspruche mit der als gültig angenommenen ersten Gleichung (*). Damit ist also nachgewiesen, daß G'(a) in aO stetig auf 291. Nach Satz XIII folgt daraus aber weiter, daß auch die zweite Gleichung (*) gilt, und Satz XIV ist bewiesen.

Drittes Kapitel. Die unstetigen Funktionen. 1~. Häufungswerte einer Funktion. In Verallgemeinerung der Definition des Grenzwertes einer Funktion auf einer Punktmenge (Kap. II, ~ 11, vgl. insbesondere Satz VIII) definieren wir: Ist a Häufungspunkt von 9[ (d. h. Punkt von 911), so heißt die Zahl 1 ein Häufungswert') von f in a auf 91, wenn es in 91 eine Punktfolge {a,} gibt, so daß lim a, a; a limn f(a,) =l. =- o n'-=oo In Analogie zu Satz X von Kap. II, ~ 11 gilt: Satz I. Damit 1 Häufungswert von f in a auf 91 sei, ist notwendig und hinreichend, daß es in jeder reduzierten Umgebung U'(a) von a in 91, sei es zu jedem Intervalle (p, 1], sei es zu jedem Intervalle [1, q), einen Punkt a' gebe, derart, daß der Funktionswert f (a') zu (p, 1], bzw. zu [1, q) gehört. Die Bedingung ist notwendig; denn sei 1 Häufungswert von f in a auf 91, und sei {a,} eine Punktfolge aus 91, so daß: (t") lirm a,- = a; an + a; lim f(a),)=. n=c n=oo Ist U' (a) irgendeine reduzierte Umgebung von a in 91, so gehören fast alle a, zu U'(a). Ist p< l, ql, so ist f (a >p; f (a)< q für fast alle n. Damit aber ist die Behauptung bewiesen. Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, es gehöre in 1) R. Bettazzi, der sich zuerst systematisch mit diesem Begriffe befaßt hat (Rend. Pal. 6 (1892), 177) sagt ~un confine di f".

Kap. III, ~ 1. Häufungswerte einer Funktion. 185 jedem U'(a) etwa zu jedem Intervalle (p, l] ein Punkt a', wie ihn Satz I verlangt. Sei {p"} eine Folge reeller Zahlen mit: (tt) limp, — l; p, < 1. In U' (a;) liegt dann ein Punkt a", so daß: (ttt) pn < f (an)< 1. Weil an in U'(a; 1), und wegen (tt) und (ttt) ist (t) erfüllt, und Satz I ist bewiesen. Aus der Definition des Häufungswertes folgt sofort: Satz II. Damit f in a einen Grenzwert 1 auf X9 habe,. ist notwendig und hinreichend, daß f in a auf fi nur den einen Häufungswert 1 habe. Wir ordnen nun jedem Punkte a von 9I1 die Menge aller Häufungswerte von f in a auf 9S zu. Dadurch ist auf 91 eine im allgemeinen mehrwertige (Kap. II, ~ 1, S. 113)- Funktion definiert, die wir die Häufungsfunktion von f auf 2t nennen und mit h (a; f, W) bezeichnen wollen. Aus Kap. II, ~ 1, Satz III entnehmen wir sofort: Satz III. Führt die Schränkungstransformation f in f* über, so führt sie auch h(a; f, X) in h(a; f*, X) über. In Verallgemeinerung von Kap. II, ~ 2, Satz IX gilt der Satzl): Satz IV. Ist I1 kompakt, und' ist 1 ein Häufungswert der Menge aller Funktionswerte von f auf S9, oder ein Wert, den f in unendlich vielen Punkten von 9. annimmt, so gibt es in 291 einen Punkt a, so daß 1 einer der Werte.von h (a; f, 2f) ist. In der Tat, es gibt dann in %2 eine Folge {a,} zu je zweien verschiedener Punkte, so daß: lim f (aj)=-. Da 9I kompakt, hat {a,} einen Häufungspunkt a, der auch Häufungspunkt von 29 ist; und da offenbar I unter den Werten h(a; f, 9) vorkommt, ist Satz IV bewiesen. In Verallgemeinerung von Kap. II, ~ 4, Satz VI, VII gilt: Satz V. Ist X eine abgeschlossene Menge reeller Zahlen,. so ist die Menge aller Punkte a von 91, in denen es unter den Werten von h(a; f, 91) mindestens einen zu X gehörigen gibt, abgeschlossen. 1) Vgl. M. Pasch, Math. Ann. 30 (1887), 134. Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz.

180 Die unstetigen Funktionen. Sei in der Tat 91' die Menge aller Punkte von Q1', in denen li(a; f, 9) mindestens einen zu X gehörigen Wert hat, und sei ao Häufungspunkt von 91'. Dann gibt es in 91' eine Punktfolge {aj}, so daß: (*) lim a== ao, q, + a, n= oo und zu jedem a, gibt es in h (a,; f, 91) einen zu X gehörigen Wert 1,. In der Folge {, } gibt es eine konvergente Teilfolge {n,}': (**) liml =-, J-'= 00 und weil X abgeschlossen, gehört 1 zu X. Wir haben nur mehr zu zeigen, daß 1 unter den Werten von h (ao, f, 9X) vorkommt. Beim Beweise können wir, vermöge der Schränkungstransformation (Satz III), ohne weiteres annehmen, f sei beschränkt, und somit alle i. und 1 endlich. Da l, ein Wert von h (an,; f, 91) ist, gibt es (Satz I) in 91 einen Punkt a += ao, so daß: r(a<, a) < f(a') -l i< Aus (*) und (**) folgt dann: lim a,.2-= %a0; a,, + a%, lim f (a',) 1. v:= = C D. h. 1 ist ein Wert von h (a0; f, 91), und somit gehört ao zu 91'. Also ist 91' abgeschlossen, und Satz V ist bewiesen. Satz VI. Ist 3X eine beliebige Menge reeller Zahlen, so ist die Menge 91' aller Punkte a von 91, in denen alle Zahlen aus X unter den Werten von h(a;f, 91) vorkommen, ab-. geschlossen. In der Tat, sei 1 eine beliebige Zahl aus X. Nach Satz V ist die Menge ^9 aller Punkte von 91', in denen 1 unter den Werten von h (a; f, 91) vorkommt, abgeschlossen. Dasselbe gilt daher (Kap. I, ~ 2, Satz VI) für den Durchschnitt der Mengen 2t, für alle möglichen 1 aus X. Damit ist Satz VI bewiesen. Die Natur der Wertmenge h (a; f, 91) in einem Punkte a läßt sich völlig charakterisieren; es gelten diesbezüglich die folgenden Tatsachen 1): Satz VII. Die Menge aller Häufungswerte h(a; f, 91) einer Funktion f in einem Punkte a von 91 ist eine abgeschlossene Zahlenmenge. 1) R. Bettazzi, a. a, 0.

Kap. III, ~ 1. Häufungswerte einer Funktion. 187 Wir haben zu zeigen: kommen 11, 12..., 1,... unter den Werten h (a; f, 9f) vor, und ist lim ln = 1, so kommt auch 1 unter den Werten -n=oo hi(a; f, 9t) vor. Wir können dabei wieder annehmen, f sei beschränkt, die 1, also endlich. Dann gibt es in 91 einen Punkt a= + a, für den: r (a", a) <- und f(an) —ll <es ist also: lima —=a; an = a; limf(a,)-=-1.,n=oo =, =c Damit aber ist die Behauptung bewiesen. Wie Satz VII lehrt, gibt es unter den Werten h (a; f, 9) einen größten und einen kleinsten. Offenbar gilt: Satz VIII. Größter und kleinster unter den Werten h(a; f, N) stimmen überein mit den reduzierten Schrankenfunktionen G' (a; f, 91), ' (a; f, 92). Einer anderen Einschränkung als der, abgeschlossenen zu sein, unterliegt die Menge aller Häufungswerte h (a; f, 9S) einer Funktion in einem Punkte nicht. Es gilt nämlich der Satz ): Satz IX. Ist X eine beliebige abgeschlossene Zahlenmenge und a Punkt von 91, so gibt 'es auf 91 eine Funktion f, für die 3 die Menge aller Häufungswerte h(a; f, 91) ist. In der Tat, nach Kap. I, ~ 7, Satz III gibt es einen abzählbaren, in X dichten Teil von X, etwa x, x..., Xn.... Sei {a,} eine Punktfolge aus 91 mit: lima=a; a ya; v a; av a?, für v' +v. l1o= 00 Wir spalten {av} in abzählbar unendlich viele zu je zweien fremde Teilfolgen a?), a() a,... (n= 1, 2,...). Nun definieren wir eine Funktion f auf 91 durch die Vorschrift: f (an))=Xn (n, v=1, 2,...); f= x in allen andern Punkten von a. Dann ist jeder Wert x, ein Häufungswert h (a; f, W), mithin nach Satz VII auch jeder Wert aus 3X. Und da f nur Werte aus 3 annimmt, und X abgeschlossen ist, kann ein nicht zu 3S gehöriger Wert nicht Häufungswert von f sein. Damit ist Satz IX bewiesen. Sei 3 irgendein Teil von 9. In jedem Punkte von 231 kann dann neben der Häufungsfunktion h(a; f, 9) von f auf 91 auch die Häufungsfunktion h (a; f, S) von f auf 3 betrachtet werden, und zwar ist dann die Wertmenge h (a; f, 8) ein Teil der Wertmenge h (a; f, 9). Wir wollen uns besonders mit dem Falle befassen, daß 3 in 9S offen ist, also die Form hat: r) R. Bettazzi, a. a. 0. Vgl. hierzu auch H. Hahn, Monatsh. f. Math. 16 (1905), 315.

188 Die unstetigen Funktionen. wo b offen. Ist dann der Punkt a von 31 auch Punkt (und mithin innerer Punkt) von q, so ist offenbar: h (a; f, )==h (a; f, Q). Von Interesse ist also nur der Fall, daß a Begrenzungspunkt von 5 ist. Wir bezeichnen dann die Werte h(a; f, 9 3) als die Häufungswerte von f in a auf 91 bei Annäherung durch 3. Natürlich wird dabei die Wertmenge h (a; f, 91 3) von der Wahl der offenen Menge q abhängen. Immerhin aber besteht hier folgende merkwürdige Tatsache: Satz X1). Die Menge A* aller Punkte a von 1', in denen für mindestens eine offene Menge ( h (a; f, (s ) + l(a; f, St) ausfällt2), ist von erster Kategorie in 92~. Beim Beweise können wir, vermöge der Schränkungstransformation, ohne weiteres f als beschränkt annehmen. Wir betrachten die Menge aller Intervalle [r', r"] mit rationalen Endpunkten. Ebenso wie die Paare rationaler Zahlen bilden sie eine abzählbare Menge, und können daher bezeichnet werden mit: 31) 52 >... *. n, Sei 9,1 die Menge aller Punkte a von 291, in denen h (a; f, 91) einen Wert aus S, enthält, während für mindestens eine offene Menge 3 h (a; f, 9X (S) keinen Wert aus 3, enthält3). Wir zeigen zunächst: 1~, ist nirgends dicht in V1. Sei also a ein Punkt von 1~,, und sei etwa S, -- [r', r"]. Es gibt dann ein Q > 0 und ein e > 0, so daß auf U (a; e) 2W die Funktion f keinen nach [r' -e, r" -- ] fallenden Wert annimmt4). In jedem Punkte a' von U (a; e) 210~5) enthält dann h (a'; f, 1) keinen Wert aus 3,; kein Punkt von U (a; e) 290 ( kann also zu 9,^ gehören; also ist. 21, nirgends dicht in 91~, wie behauptet (Kap. I, ~ 4, Satz XIV). Sei nun a ein Punkt von 9*. Es gibt also eine Zahl x und eine offene Menge (, so daß a Punkt von ( ( )1, und weiter so, daß x in h(a; f, 91), nicht aber in h (a; f, 2 1) vorkommt. Nach Satz VII ist nun aber die Wertmenge h (a; f, 1 C() abgeschlossen; es gibt also unter unseren Intervallen 2, eines, das zwar x, aber keinen Wert von h (a; f, 29 () enthält. Das aber heißt: 1) Ein Spezialfall dieses Satzes wurde bewiesen von W. H. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910), 117. 2) Dabei muß a zu (91 )1' gehören, da sonst h (a; f, (5) keinen Sinn hätte. 3) Wie schon erwähnt, ist dann a nicht Punkt, sondern nur Begrenzungspunkt von 1S. 4) Denn andernfalls gäbe es in U (a; -) (q einen Punkt a, (+ a) von, so daß: n/ r'- < f (a < r" + und es hätte demzufolge h (a; f, W (3) einen Wert in [r', r"]. 5) Solche Punkte gibt es, weil nach Voraussetzung a zu ( 21/)1 gehört (Fußn. 2).

Kap. III, ~ 1. Häufungswerte einer Funktion. 189 a gehört zu einer unserer Mengen 21,. Also ist: f = 4 -4+f 2 +- * * * + n + *....., und da, wie schon bewiesen, jede Menge l,, nirgends dicht in 92 ist, so ist 9* von erster Kategorie in 5~, und Satz X ist bewiesen. Sei nun insbesondere 91 eine Punktmenge des S, und somit f Funktion einer reellen Veränderlichen. Wir definieren dann: Ist a Punkt von 51' (Kap. II, ~ 13, S. 177), so heißt die Zahl 1 ein rechtsseitigerl) Häufungswert von f in a auf 9f, wenn es in 51 eine Punktfolge { a} gibt, so daß: lim a, -a; an > a; lim f(a",) =1. n= Co = o Ordnet man jedem Punkte a von 912 die Menge aller rechtsseitigen Häufungswerte von f in a auf SC zu, so entsteht die rechtsseitige Häufungsfunktion h+(a; f, 9t) von f auf 5I. Es folgt sofort in Analogie zu Satz II: Satz XI. Damit die Funktion f einer reellen Veränderlichen in a auf 9S den rechtsseitigen (linksseitigen) Grenzwert 1 habe, ist notwendig und hinreichend, daß h, (a; f, 9l) [bzw. 7i (a; f, lf)] nur den einen Wert 1 habe. Gazliz ebenso wie Satz VII beweist man: Satz XII. Die Menge aller rechtsseitigen (linksseitigen) Häufungswerte von f auf S1 in einem Punkte von I1 (von SI1) ist stets abgeschlossen. Es gibt also einen größten und einen kleinsten Wert in der Wertmenge h (a; f, XC) [oder h_ (a; f, t1)], und zwar gilt: Satz XIII. Größter und kleinster Wert in der Wertmenge h, (a; f, 91)[ (; f,)] stimmen überein mit den reduzierten einseitigen Schrankenfunktionen G+ (a; f, 9), g+(a; f, 9) [bzw. G' (a; f, ), gL(a; f, 9[)]. Versteht man unter der offenen Menge W eine einseitige Umgebung (a, a - e) oder (a -, a) von a, so gehen für Funktionen f einer reellen Veränderlichen die oben betrachteten,,Häufungswerte von f bei Annäherung durch ("' über in die einseitigen Häufungswerte von f, und Satz X lehrt, daß die Menge aller Punkte von 9[f, in donen: (0) h (a; f, l) + o+ (a; f, 5), von erster Kategorie in 1~ ist. Doch gilt hier, für Funktionen einer reellen Veränderlichen, noch beträchtlich mehr2): 1) Ganz analog ist die Definition der linksseitigen Häufungsworte, und dann auch weiter der linksseitigen Häufungsfunktion h_ (a; f, 9I). 2) W. H. Young, Quart. Journ. 39 (1907), 67; Rend. Line. 17/1 (1908), 582. (Ein Spezialfall auch bei L. Tonelli, Rend. Lomb. (2) 41 (1908), 773).

190 Die unstetigen Funktionen. Satz XIV. Ist f eine auf der Punktmenge 2 des 9lS definierte Funktion einer reellen Veränderlichen, so ist die Menge l* aller Punkte von 92+, in denen (0) gilt1), abzählbar. Wie beim Beweis von Satz X bezeichnen wir mit r, (n== 1, 2,...) die sämtlichen Intervalle des 9i mit rationalen Endpunkten, mit 92, die Menge aller jener Punkte von 9I1, in denen h (a; f, Z) einen Wert aus n, enthält, h+ (a; f, 91) aber nicht. Wie beim Beweise von Satz X zeigt man, daß es zu jedem a von 92, eine rechtsseitige reduzierte Umgebung (a, a +e) und ein E>0 gibt, so daß, wenn,=- [r', r"], die Funktion f in 9-.(a, a+,o) keinen Wert aus [r'-e, r" — e] annimmt, woraus wie beim Beweise von Satz X folgt: in (a, a -4- ) liegt kein Punkt von 91,. Kein Punkt von 91% ist also rechtsseitiger Häufungspunkt von 1,,, also ist (Kap. II, ~ 13, Satz I) 9,, abzählbar. Da auch hier wieder, wie beim Beweis von Satz X: so ist auch 9* abzählbar, und Satz XIV ist bewiesen. Aus ihm folgt unmittelbar: Satz XV. Ist f eine auf der Punktmenge 91 des 91R definierte Funktion einer reellen Veränderlichen, so ist die Menge aller Punkte von 9-.%91', in denen: h+ (a; f, 9W) h_ (a; f, Sr) ist, abzählbar. Und daraus insbesondere nach Satz XIII: Satz XVI. Ist f eine auf der Punktmenge SI des 9i definierte Funktion einer reellen Veränderlichen, so ist überall auf 92t-9ll, abgesehen von einer abzählbaren Punktmenge: G; (a; f, ) (; f, ); g_ (a; f, 92) = gL (a; f, W). ~ 2. Die Schwankung einer Funktion. Ist die Funktion f definiert auf 9, so verstehen wir unter der Schwankung von f auf 91 den Ausdruck: - (f, )= G (f, 9)- (f; 9). Diese Definition versagt, wenn: G(f, 91)=g(f, 91)=-+ oder G (f, 1)-=g(f, 91)= — c, d. h. wenn auf ganz 9: f=+ oo bzw. f=-oo. In dem Falle setzen wir fest: co (f, )=o. Es ist also stets: o(f, W)>o, und zwar gilt: 1) Ebenso die Menge aller Punkte von W9I, in denen: h (a; f, '1) + h- (a; f, l).

Kap. III, ~ 2. Die Schwankung einer Funktion. 191 Satz I. Damit co(f, 9)=-O sei, ist notwendig und hinreichend, daß f konstant sei auf 9. Aus den charakteristischen Eigenschaften von G(f, 9), g(f, SC) (Kap. II, ~ 1, S. 114) folgt weiter: Satz II. Ist die Schwankung co(f, ) + 0, so ist sie charakterisiert durch folgende Eigenschaften: 1. Es ist: | f(a)- f(a') c) (f, t) für alle Punktepaare a, a' von 9/, für die die Differenz f(a)-f(a') einen Sinn hat. 2. Zu jeder Zahl z: 0 <z < (f, ) gibt es in 9 ein Punktepaar a, a', so daß: f(a)-f(.a') >z. Ist a ein Punkt von 9/~, so verstehen wir unter der Schwankung1) von f in a auf 9 den Ausdruck: co(a; f, 9/)= G(a; f, %)-g(a; f, t). Diese Definition versagt, wenn: (0) G(a; f, 9)-=g (a; f, 9)=-+ oo oder G (a; f, 9)= g(a; f, )=- oo, d. h. (vorausgesetzt, daß a zu % gehört): wenn f in a stetig auf 91 ist und dort einen unendlichen Wert hat. In dem Falle setzen wir fest: ca (a; f, )= 0. Es ist also stets: co(; f, 1)0, und zwar gilt (Kap. II, ~ 3, Satz II): Satz III. Damit im Punkte a von 91: co(a; f, 9)=0 sei, ist notwendig und hinreichend, daß f stetig sei in a auf 91. Aus Kap. II, ~ 2, Satz IV folgt: Satz IV. Wenn nicht eine der beiden Gleichungen (0) gilt, ist co(a; f, 9S) die untere Schranke von co(f, 1) für alle Umgebungen U von a in S9. Aus Kap. II, ~ 2, Satz VI folgt: 1) Auch Unstetigkeitsgrad genannt.

192 Die unstetigen Funktionen. Satz V. Wenn nicht eine der beiden Gleichungen (0) gilt, so gibt es in 9 zwei Punktfolgen {a'}, {a"}, so daß: (00) lim a' a; lim a' = a; lim[f(a>) - f(a")]-= w (a; f, 9.). n=co n=oo -n=co Aus Kap. II, ~ 2, Satz VII folgt: Satz VI. Wenn nicht eine der beiden Gleichungen (0) gilt, so ist co(a; f, 9) charakterisiert durch folgende Eigenschaften: 1. Zu jeder Zahl p: p> c(a; f, 9) gibt es eine Umgebung U von a in 92, so daß: f (a')- f(a") | <p für jedes Punktepaar a', a" von U, für das diese Differenz einen Sinn hat. 2. Zu jeder Zahl z: 0 <z<c(a; f, 9t) gibt es in jeder Umgebung U von a in 9 ein Punktepaar a', a", so daß: f(a')-f (a") > z. Ist a ein Punkt von 91, so verstehen wir unter der reduzierten Schwankung1) von f in a auf 92 den Ausdruck: o' (a; f, 9)=G' (a; f, 91)- ' (a; f, 9). Diese Definition versagt, wenn: (t) G'(a; f, l)-=g'(a; f, 9) =- o oder G' (a; f, 9)=-g'(a; f, ) =- o, d. h. wenn f in a auf 91 den Grenzwert + oo oder -coo hat. In dem Falle setzen wir fest: c'(a; f, ) =0. Es ist also stets: w'(a; f, 9_) > 0, und zwar gilt: Satz VII. Damit im Punkte a von 921: O' (a; f, 92)= 0 sei, ist notwendig und hinreichend, daß f in a auf 91 einen Grenzwert besitze. Satz VIII. Wenn nicht eine der beiden Gleichungen (t) 1) Von M. Pasch als Schwingung bezeichnet, Math. Ann. 30 (1887), 139.

Kap. III, ~ 2..Die Schwankung einer Funktion. 193 gilt, so gilt Satz V auch für o'(a; f, 1), wobei in (00) noch hinzugefügt werden kann: a',+a; 4:+a. Satz IX. Wenn nicht eine der beiden Gleichungen (t) gilt, so gilt Satz IV und VI auch für co'(a; f, 9), wenn darin an Stelle der Umgebungen U von a in 9 die reduzierten h mgebungen 11' von a in 91 treten. Endlich definieren wir noch für Funktionen einer reellen Veränderlichen die einseitigen Schwankungen und reduzierten einseitigen Schwankungen durch: 04 (a; /; 91) =+ (a; (, ) - ^ (a; f, 9); w_(a; f, ) =G (a; f, 1)-g_ (a; f, 9); t, (a; f, 91) Gt (a; f, 91)- g+ (a; f, 2); ' (a; f, t) a _ (a; f, ~)-g_ (a; f, ~) mit dem Zusatze, daß jede dieser Differenzen durch 0 zu ersetzen ist, wenn Minuend und Subtrahend beide -+ oo oder beide - oo sind. Es gelten dann ähnliche Sätze, wie für o (a; f, 1), co'(a; f, 1), von denen wir nur folgende anführen: Satz X. Damit im Punkte a von 91 C) (a; f, W)- (o_ (a; f )= o) sei, ist notwendig und hinreichend, daß f in a rechtsseitig (linksseitig) stetig sei auf 91. Satz XI. Damit im Punkt a von (9 (von 91_) (a; f, r)= O ( ( a(; f, 2)= ) sei, ist notwendig und hinreichend, daß f in a auf 91 einen rechtsseitigen (linksseitigen) Grenzwert besitze. Es sind co(a; f, 91), co'(a; f, 9) auf 920 bzw. auf 921 definierte Funktionen von a; wir nennen sie daher auch Schwankungsfunktion, bzw. reduzierte Schwankungsfunktion von f auf 1. Ebenso sprechen wir, bei Funktionen einer reellen Veränderlichen, von den einseitigen (reduzierten) Schwankungsfunktionen. Satz XII. Es ist co(a; f, 91) oberhalb stetig auf 920 in jedem Punkte von 1~, in dem nicht1): ~) Diese Einschränkung kanh nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei 9 das Intervall [0, 1] des 31 und sei: f-=-n inT] (r r1,2,....); n(0)-+o00 Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 13

194 Die unstetigen Funktionen. (0) G(a; f, )g (a; f,9)= +oo oder G(a;f,91)=g(a; f,9)- or, insbesondere also in jedem Punkte von 91, in dem f endlich ist, sowie in jedem Punkte von W1, in dem f nicht einen unendlichen Grenzwert auf 91 besitzt. In der Tat, ist S3 die Menge aller Punkte von 9~, in denen nicht (0) gilt, so ist auf e co (a; f, 9)G (a; f, X)- g (a; f, 9). Nun ist (Kap. II, ~ 11, Satz II) G (a; f, 91) oberhalb, g (a; f, 9) unterhalb und mithin (Kap. II, ~ 8, Satz VI) - g (a, f, 91) oberhalb stetig auf 90, also. ist (Kap. II, ~ 8, Satz VII) auch co(a; f, 9) oberhalb stetig auf 38; und da: o (a; f, ) )O auf S; =0 auf 9i0 - e so ist co auch oberhalb stetig auf 91o in jedem Punkte von S3, Iund Satz XII ist bewiesen. Ganz ebenso folgern wir aus Kap. II, ~ 11 Satz IV: Satz XIII. Es ist co' (a; f, ) oberhalb stetig auf t91 in jedem Punkte von 91, in dem nicht f einen unendlichen Grenzwert besitzt. Aus Kap. II, ~ 13, Satz X folgt: Satz XIV. Ist f Funktion einer reellen Veränderlichen, so ist w+(a;f, 9) rechtsseitig oberhalb stetig auf 910 in jedem Punkte von W+, in dem nicht: + (a; t;) =-g+ (a; f, 9)= - + oder G+ (a; f, 9f)= g+ (a; f, 9) - oo insbesondere also in jedem Punkte von 9, in dem f endlich ist. Aus Kap. II, ~ 13, Satz XI folgt: Satz XV. Ist f Funktion einer reellen Veränderlichen, so ist. (a; f, 91) rechtsseitig oberhalb stetig auf 921 in jedem Punkte von l9l, in dem nicht f einen unendlichen rechtsseitigen Grenzwert besitzt. Aus Satz XII nun folgern wir vermöge Kap. II, ~ 9, Satz IV sofort: Satz XVI. Ist f endlich auf 91, so ist für jede Zahl q die Menge aller Punkte von 9, in denen:, co(a;)f,)>q ist, abgeschlossen in 91. Dann ist: o(a;/, 1 ^1 ffür a- (= 2,,...) 0 für alle andern a von [0, 1]. Also ist co (a; f, 9I) nicht oberhalb stetig auf ~0- = 9 im Punkte a =0.

Kap. III, ~ 2. Die Schwankung einer Funktion. 195 Satz XVII1). Ist in allen Punkten von.: (*) üo(a; f, A) _, so kann ' zerspalten werden in zwei Summanden: = f l-f-f2, deren einer f/ stetig ist auf X, während der andere der Ungleichung genügt: (**) f <.In der Tat, wegen (*) ist: G(a; f, )- g (a; f>)+ Nach Kap. II, ~ 11, Satz II ist die links stehende Funktion oberhalb, die rechts stehende unterhalb stetig auf 9. Nach Kap. II, ~ 10, Satz IV gibt es daher eine auf 91 Hstetige Funktion fl, so daß: G(a; f, 3 < fi,(a) < g (a; f, i)+. (a;, -2 2 Dann ist auch (Kap. II, ~ 2, Satz II): (~**)~ ( (a)- < fi (a) < f (a) 2 2 2 Setzen wir also: f2 (a)-f (a)- f, (a) (wobei unter dieser Differenz der Wert 0 zu verstehen ist, wenn f(a) und f (a) denselben unendlichen Wert haben), so ist wegen (***) auch (**) erfüllt, und Satz XVII ist bewiesen. Mit Satz XVII steht in enger Beziehung folgende Verallgemeinerung des Satzes von der gleichmäßigen Stetigkeit (Kap. II, ~ 4, Satz IX): Satz XVIII2). Sei 9 kompakt und f beschränkt3) auf 9. Ist: (t) co(a, f, 9) p auf 20, 1) H. Hahn, Wien. Ber. 126 (1917), 109. Für Funktionen einer reellen Veränderlichen war der Satz bewiesen worden von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 57, wobei aber in (**) q statt | auftrat. Die Majorante | für ft 1 kann offenbar nicht weiter verringert werden. 2) T. Broden, Acta Univ. Lund. 33 (Neue Folge 8) (1897), 38; R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 15; E. R. Hedrick, Am. Bull. (2) 13 (1907), 378. 3) Setzt man 91 auch als abgeschlossen voraus, so genügt es, f als endlich anzunehmen; daß f beschränkt ist, folgt dann von selbst. 13*

196 Die unstetigen Funktionen. so gibt es zu jedem q>p ein > 0, so daß für jedes Punktepaar a', a" aus 95, dessen Abstand: r (a, a") < ist, die Ungleichung besteht: f(a')- f(a") < q Angenommen in der Tat, der Satz wäre nicht richtig; dann gibt es ein q >p und eine Folge von Punktpaaren an', an" (n 1,,..) aus 9f, für die: (tt) lim r (a,', a") -0; ' f(af') - f(a>") > p Da t kompakt ist, hat die Folge,{a}, einen Häufungspunkt a; er gehört gewiß zu 9~. In {a/'} gibt es eine Teilfolge {a' } mit: lim a -= a. }s = 0o Wegen der ersten Relation (tt) ist auch: lima, ==a, 'V-=O infolgedessen wegen Satz VI: If(a^") -— f <^1 q für fast alle r, im Widerspruche mit der zweiten Relation (tt). Damit ist Satz XVIII bewiesen. In ganz derselben Weise zeigt man (vgl. Kap. II, ~ 4, Satz X): Satz XIX. Ist 91' ein kompakter Teil der beliebigen Menge W9, ist die auf 91 definierte Funktion f beschränkt auf 9', und ist: (a; f,() < p auf (%')~, so gibt es zu jedem q>p ein p>0, so daß für alle a'von %' und alle der Ungleichung r (a', a") <! genügenden a" von 91: If(a') — f(a")I 1.<q Wir untersuchen nun, was aus Satz XVIII wird, wenn statt der Schwankung die reduzierte Schwankung eingeführt wird1). Satz XX. Sei 91 kompakt und f beschränkt auf t9. Ist: (*) Co/'(a; f, 9) ~p auf wr, 1) Vgl zu diesem und-den folgenden Sätzen: M. Pasch, Math. Ann. 38 (1887), 140.

Kap. III, ~ 2. Die Schwankung einer Funktion. 197 so gibt es zu jedem q>p eine endliche Anzahl in 2 offener Mengen 91, 912...2,, mit folgenden Eigenschaften: 1. Es gibt in 9 nur endlich viele Punkte, die nicht zu gehören; 2. es ist o(f, )<q (i1, 2,...,k). In der Tat, wegen (*) gibt es, wenn q> p, zu jedem a von 91' eine reduzierte Umgebung U'(a), so daß (Satz IX): (f, u' (a)) < q. Durch Hinzufügung von a zu U'(a) entsteht eine Umgebung von a, die mit 11(a) bezeichnet werde. Nach Kap. 1, ~ 3, Satz XVIII ist 91' kompakt, nach Kap. I, ~ 3, Satz VIII ist 9/1 abgeschlossen. Also gibt es nach dem Borelschen Theorem (Kap. I, ~ 6, Satz I) in 9s1 endlich viele Punkte al,~,...,, a so daß jeder Punkt von 91 innerer Punkt von: = 11 (a+ U (a) +...+U (a,) iJt. Außerhalb dieser Menge W' kann es also nur endlich viele Punkte von 9 geben1). Also können wir die reduzierten Umgebungen U' (a,), 91U'(a2),..., 91U' (a) für die Mengen 91, 9,,.... ^, der Behauptung wählen, und Satz XX ist bewiesen. Satz XXI. Unter den Voraussetzungen von Satz XX gibt es, wenn q>p, in 9~ nur endlich viele Punkte, in denen: Angenommen in der Tat, es gäbe ihrer unendlich viele. Da mit %9 auch 9o kompakt ist (Kap. I, ~ 3, Satz XVIII), hätten diese Punkte einen Häufungspunkt a, der gewiß zu W1 gehört. In jeder reduzierten Umgebung von a gäbe es dann, wenn q > q' >p, Punkte a, a von 9, so daß: f(at)- f(a") > q' >p, im Widerspruche zur Voraussetzung, daß, in jedem Punkte von 1X (*) von Satz XX gilt. Damit ist Satz XXI bewiesen. Handelt es sich um Funktionen einer reellen Veränderlichen, so können auch die einseitigen Schwankungen herangezogen werden. An Stelle von Satz XX erhalten wir: l) Denn gäbe es unendlich viele, so hätten sie, weil X kompakt, einen Häufungspunkt; es gäbe also einen Punkt von 91, der nicht innerer Punkt von W' wäre.

198 Die unstetigen Funktionen. Satz XXII. Sei 92 eine im endlichen Intervalle [b:,c] des Si1 liegende Menge, und sei fbeschränkt auf I. Gilt in jedem Punkte von Wi+ und von 29- die entsprechende der beiden Ungleichungen (**) o4(a; f, )_; oL- (a; f,9) <p so gibt es zu jedem q.p endlich viele Punkte: b- a <a l<... <ak-<ak== c, so daß: o (f, 91.(a, _, ai)) < q (i- 1, 2,, k). In der Tat, zu jedem a von 91I gibt es ein p >0, so daß für jedes der beiden Intervalle (a — e, a), (a, a +-), das überhaupt Punkte von 91 enthält: o, (t, t.(a- -, a)) < q; co (f, -(C, a +- Q)) < q. Durch Anwendung des Borelsehen Theorems gelangt man zum Beweise von Satz XXII wie oben bei Satz XX. Satz XXIII1). Ist f eine auf der Punktmenge 91 des 9t definierte Funktion, und gilt in jedem Punkte von 9_l.rt1 wenigstens eine der beiden Ungleichungen (**), so ist die Menge aller' Punkte von W9, in denen: (***) co(a; f, ) >p ist, abzählbar. In der Tat, nach Kap. II, ~ 13, Satz I ist 91I 9-. 9l1 abzählbar. Es genügt also, nachzuweisen, daß die Menge aller Punkte von W9. 9?, in denen (***) gilt, abzählbar ist. Nach ~ 1, Satz XVI ist aber überall auf 9 l.91L, mit abzählbar vielen Ausnahmen: (a; f, ) G-(a; f, 9); g+ (a; f, 91) ='- (a; f, 1), und daher nach Kap. II, ~ 13, Satz IV auch: G'(a; f, 1)=G (a; f, l)= G (a; f, T) ' (a; f, t)- g+ (a; f, 9) =gL (a; f, 91), und weil in jedem Punkte von 9 - -I1 mindestens eine der Ungleichungen (**) gilt, so ist in jedem Punkte von 9fl+.911 mit abzählbar vielen Ausnahmen auch: -c' (a; f, 9() p. Da aber nach Kap. II, ~ 11, Satz VII überall auf?9(1 mit abzählbar vielen Ausnahmen:,C (a; f, ) -- ' (a; f, 91) gilt, so ist also auch überall auf 91'-91 mit abzählbar vielen Ausnahmen: c(a; f, 9X)~p, und Satz XXIII ist bewiesen. ~ 3. Verteilung der Unstetigkeitspunkte. Sei 33 ein beliebiger Teil der Punktmenge 91. Wir werden sehen, daß es dann im allgemeinen keine Funktion f geben wird, die in allen Punkten von 93 unstetig, in allen Punkten von 9C'-93 stetig auf 9 wäre. Wie der Teil 3 beschaffen sein muß, damit es eine solche Funktion gebe, soll nun festgestellt werden. 1) Vgl. M. Pasch, a. a. 0. 141; A. Schoenflies, Gött. Nachr. 1899, 188.

Kap. III, ~ 3. Verteilung der Unstetigkeitspunkte. 199:Satz I1). Die Menge aller Punkte von 91, in denen eine Funktion f unstetig ist auf 91, ist Vereinigung abzählbar vieler in 21 abgeschlossener Teile von 2991l. In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation können wir ohne weiteres annehmen, f sei endlich. Nach ~ 2, Satz XVI ist dann für jedes n die Menge 2$8 aller Punkte von 91, in denen: co(a; f 9l1_ abgeschlossen in 21, und da in einem isolierten Punkte von 9i f' stetig auf 91 ist, so ist: Aus ~ 2, Satz III aber entnehmen wir sofort für die Menge 23 aller Uffistetigkeitspunkte von f auf 2X: 23=3,+ +...+2n+3 -. womit Satz I bewiesen ist. Völlig gleichbedeutend mit Satz 1 ist: Satz II. Die Menge aller Punkte von 91, in denen eine Funktion f stetig ist auf 2, ist ein o-Durchschnitt in 91. In der Tat, sei wieder 23 die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f auf 91. Da nach Satz 1 23 eine a-Vereinigung in 91, so ist (Kap. 1, ~ 2, Satz X) 91- 2 ein o-Durchschnitt in 92, und Satz II ist bewiesen. Daraus nun entnehmen wir2): Satz III Ist 1? separabel und vollständig, so ist sow ohl die Menge aller Stetigkeitspunkte, als auch die Menge aller IUnstetigkeitspunkte von f auf 91 abzählbar oder von der Mächtigkeit c. In der Tat, für die Menge aller Stetigkeitspunkte, die nach Satz II ein o - Durchschnitt in 91 ist, folgt dies aus Kap. I, ~ 8, Satz IX. Die Menge 23 aller Unstetigkeitspunkte aber ist nach Satz I eine a-Vereinigung in 21, und da jede in 91 abgeschlossene Menge als o-Durchschnitt in X1 (Kap. I, ~ 3, Satz III) abzählbar oder von der Mächtigkeit c ist. gilt dies auch für 3, und Satz III ist bewiesen. Wir werden uns nun überzeugen, daß von Satz I auch die Umkehrung gilt. Dazu benötigen wir einen Hilfssatz. Wir nennen ) Vgl. W. W. H. Young, Wien. Ber. 112 (1903), 1307; H. Lebesgue, Bull. soc. math. 32 (1904), 235. ~2) W. H. Young, a. a. 0. 1312; W. Sierpinski, Prace mat. fiz. 22 (1911), 19.

200 Die unstetigen Funktionen. eine Funktion total-unstetig') auf X9, wenn sie in jedem Punkte von 91 unstetig ist auf 9. Wir zeigen: Satz IV. Auf jeder (nicht leeren) insichdichten Menge 9I gibt es total-unstetige Funktionen, die nur zwei verschiedene Werte p und q annehmen. Zum Beweis genügt es, die Existenz eines Teiles e von 91 darzutun, der gleichzeitig mit seinem Komplemente 91 - ( in 9T dicht ist. Denn setzt man: Ip auf (, tq auf 91-, so ist f total-unstetig auf 91. Nach Einleitung ~ 4, Satz XX, ist l gleichmächtig einer wohlgeordneten Menge; sei y deren Ordnungstypus. Es gibt dann eine eineindeutige Zuordnung von 9 zu den Ordinalzahlen a < y; den dabei der Ordinalzahl a zugeordneten Punkt von 91 bezeichnen wir mit ab. Nun definieren wir die Aufteilung der Punkte von % auf E und 9%- ( durch Induktion (Einleitung ~ 4, Satz XIX), indem wir festsetzen: 1. Es gehöre a0 zu e, a, zu 9 —. 2. Sei (für C > 1) 9, die Menge der Punkte a,<, (c<,:), und sei Dann gehöre ac, zu e, wenn (* ) tr(a, H ea) r (a.,,s -( ), sonst zu 9- (. Auf Grund dieser Vorschriften steht nun für jeden Punkt von W fest, ob er zu ( oder zu t- ( gehört. Wir haben zu zeigen, daß sowohl ( als 1 —( dicht in 1 ist. Angenommen, es wäre S nicht dicht in 91. Dann gäbe es in 2i einen Punkt a mit einer Umgebung U (a), in die kein Punkt von ( fällt. Dann gibt es aber ein >0, so daß nach U (a; e) kein Punkt von ( fällt, und dann ist offenbar: (**3). ( U ( 3 3 Da 91 insichdicht ist, gibt es in U (a; ) gewiß zwei verschiedene Punkte von 9X: aß, aß (a < fl); für sie ist (t) r (a > a) < H) Hiervon abweichend bezeichnen manche Autoren als total-unstetig jede Funktion, die nicht punktweise unstetig (~ 4) ist.

Kap. II, ~ 3. Verteilung der Unstetigkeitspunkte. 201 Wegen (**) aber ist: ~(-+7tt+~r) I(aßp, > 2) Da a~ als Punkt von U1(a; )) zu 9f -- gehört, wäre also wegen (j-) und (-tt) für den Punkt aß (*) erfüllt, und es müßte also aß zu ~ gehören, entgegen der Annahme, daß 11 (a; ). leer ist. Damit ist ein Widerspruch erreicht; es muß also ( in 1 dicht sein. Ebenso beweist man, daß 9- ( in 9I dicht ist, und Satz IV ist bewiesen. Nun können wir das Schlußresultat unserer Untersuchung aussprechen: Satz V1). Damit es eine Funktion / gebe, die unstetig ist auf 91 in allen Punkten des Teiles S von 9S, stetig auf 1 in allen Punkten von f9-28, ist notwendig und hinreichend, daß e3 Vereinigung abzählbar vieler in 9 abge-schlossener Teile von?9191 sei. Die Bedingung ist notwendig; dies ist schon in Satz I enthalten. Die Bedingung ist hinreichend. Sei in der Tat: 3 = i + 2+... t 1 n wo jedes St abgeschlossen in 91. Nach Kap. I, ~ 2, Satz XI können wir annehmen: (1) e Wir zerlegen nun: (2) = ' +- e worin: und behaupten: N' ist insichdicht. Sei in der Tat a Punkt von 3'. Da dann a nicht Punkt von (91- )1, gibt es eine Umgebung U1(a) von a, in der kein Punkt von 1- 93, liegt. Dann aber liegt in Uo (a) auch kein Punkt von S3>, d a 9ja, -<(- %)l, also jeder Punkt von e', Häufungspunkt von 91-3 ist. Sei nun U (a) eine beliebige Umgebung von a. Da liegen in 11(a) U (a) unendlich viele Punkte von 91, und da sie weder zu 91- 9S8 noch zu S' gehören, gehören sie zu e3. Also ist 93 insichdicht wie behauptet. 1) Für Funktionen einer reellen Veranderlichen zuerst bewiesen von W. H. Young, a. a. 0. 1312.

202:;Die unstetigen Funkti onen. Aus der Definition von folgt weiter: (3),n n + ~ In der Tat, zunächst ist wegen (1) und (2): Ferner ist: ( - 3n)' >- (t-i +i)1 Da aber ein Punkt von 3 niemals zu (gI-3,)1 gehört, so auch nicht zu ( -23) +1), und somit auch nicht zu e,+,. Er gehört also -zu V8+x, aber nicht zu ', +J, somit zu,'l+. Damit ist (3) bewiesen. Wenn nun e' nicht leer, so gibt es nach Satz IV, da b" insichdicht, eine auf 3',' total-unstetige Funktion f, die nur die beiden Werte 0 und - annimmt. n Setzen wir: $8^3 ^ 1 + w oi. 4..., so haben wirl): (ei 31 4 (e2 f.. + an en-i ) e * - + t+7 ( - ^:~') + * *@ + (n t Sn-1 t ); + * * *+ ('- L) und wir definieren nun eine Funktion f auf 9 durch die Vorschrift:, f-f, auf,; f==f auf r- - fz auf 2; fz z auf -auf ' B; f=-0 auf 2-$. Wir behaupten: diese Funktion f ist unstetig auf 9t in allen Punkten von S, stetig auf 92 in allen Punkten von I —S. Sei, um dies zu beweisen, zunächst a ein Punkt von V und U(a) eine beliebige Umgebung von a. Gehört a zu b"- '"_i (oder zu e',), so gibt es unter den Mengen 31X 2> * '2 ) 1n eine erste, die in Ut(a) Punkte hat, etwa t'v. Es gibt dann in t (a) unendlich viele Punkte, in denen f'=- und f=0; es ist also: t c(f, 9fU(a))~-1> t1) Man beachte, daß E3, < - 1 + '. In der Tat, wegen 3' < - 3 < 93g 4 gehört jeder: Punkt von 23n ' auch zu sn+1 3', und da er als Punkt von E' nicht zu V' I1 gehört, so gehört er zu 2D~ S t' ~~3/ nicht zw. ~ ~ - 4- 5'/

Kap. III, ~ 4. Punktweise unstetige Funktionen. 203 und mithin auch: ~wo(a; f, 9X)>11 d. h. a ist Unstetigkeitspunkt. Gehöre godann a zu V3V, 3'- 3_, 3'(oder zu 3' 3'). Dann ist:. 1 und a ist Häufungspunkt von 9- -3, d. h. von Punkten, in denen, t': --- 4. Also ist a wieder Unstetigkeitspunkt. Sei endlich a ein Punkt von 9- 3, somit: (4) f(a)=0. Eine Punktfolge {a,} aus 91 mit lim a= a kann aus jeder Menge e8, nur -endlich viele Punkte enthalten; andernfalls wäre a Häufungspunkt einer Menge 38,, und da die, abgeschlossen in 91, Punkt dieser Menge 8n, entgegen der Annahme, daß a Punkt von 9 1- 2., Da aber: 0~f<1 auf 91-. und in {a,,} nur endlich viele Punkte zu 3, gehören, ist: lim f(a,)= 0, d.' h-bei Beachtung von (4): f ist stetig in a auf 91. Damit ist Satz V bewiesen. ~ 4. Punktweise unstetige Funktionen. Sei wieder % eine beliebige Punktmenge, f eine Funktion auf 9%, Q3 die Menge ihrer Unstetigkeitspunkte, 1 - - die Menge ihrer Stetigkeitspunkte auf 91. Neben den beiden extremen Fällen, daß f-j(_8 (d. h. f stetig auf 91) und 91-358 leer (d. h. f totalunstetig auf 91), ist von besonderem Interesse der Fall: 9-I 8 dicht in 91. Wir definieren: die Funktion f heißt punktweise unstetig1) auf 91, wenn die Menge ihrer Stetigkeitspunkte auf 91 dicht in 91 ist. Die auf 91 stetigen Funktionen gehören also zu den auf a 9 punktweise unstetigen Funktionen.:) Oder punktiert unstetig. Dieser Begriff rührt her von H. IHankel, *Gratulationsprogr. der Tübinger Univ. 1870 = Math. Ann. 20, (1887),: 89 - Ostw. Klass. Nr. 153, 74.

204 Die unstetigen Funktionen. Satz I. Auf einer separierten Menge 2 ist jede Funktion punktweise unstetig. In der Tat, in einem isolierten Punkte von 91 ist jede Funktion /'stetig auf 2. Es ist also nur zu zeigen: ist 21 separiert, -so ist die Menge 2' aller isolierten Punkte von 2 dicht in 21. Angenommen, 2i' wäre nicht dicht in 91; -dann gäbe es eine offene Menge (3, so daß: 9. ( nicht leer, 21'. (5 leer. Da also zu 921[ kein isolierter Punkt von 92 gehört, so ist 91f insichdicht. Also ist der insichdichte Kern von 91 nicht leer, und 1 wäre nicht separiert gegen die Annahme. Damit ist Satz I bewiesen. Für das Folgende bildet die Grundlage.der Satz: Satz IL. Ist f endlich') und punktweise unstetig auf W, so ist für jedes q>0 die Menge 23q aller Punkte, in denen: ist, nirgends dicht in 21. In der Tat, wäre 8 nicht nirgends dicht in 92, so gäbe es einen nicht leeren, in- 2 offenen Teil 21' von 21, in dem 238 dicht wäre. Weil aber nach ~ 2, Satz XVI 58 in 9X abgeschlossen ist, so wäre (Kap. I, ~ 4, Satz X): 21'-<23. In jedem Punkte der in 21 offenen Menge 21' würde also (*) gelten, entgegen der Annahme, f sei punktweise unstetig, derzufolge die Stetigkeitspunkte von f auf 92 dicht in 21 liegen, so daß auch in 1' Eich ein Stetigkeitspunkt finden müßte. Damit ist Satz II bewiesen. Satz III. Ist f punktweise unstetig auf 21, so ist, die Menge 23 aller Unstetigkeitspunkte von f auf 91 von erster Kategorie in 21. In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation, bei der Stetigkeitspunkte in Stetigkeitspunkte, Unstetigkeitspunkte in Unstetigkeitspunkte übergehen, können wir f' als endlich annehmen. 1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei % das Intervall (0, 1) des'91i und f folgende Funktion der reellen Veränderlichen a: f (a) - + o wenn a irrational, f(a) = n wenn a= - (nm, n teilerfremde, natürliche Zahlen). Dann ist f stetig auf 2 in jedem irrationalen Punkte; in jedem rationalen Punkte aber ist: co (a; f, 2)= + oo.

Kap. III, ~ 4. Punktweise unstetige Funktionen. 205 Ist q wieder die Menge aller Punkte von 9, in denen (*) gilt, so ist: ). s= +3 $ 3-... + t t _ 2 n Nach Satz II aber ist jede Menge 21 nirgends dicht in 91, womit Satz III bewiesen ist. Die Umkehrung von Satz II und III gilt in- folgender Form: Satz IV. Ist S9 relativ-vollständig'), und ist für jedes q > 0 die Menge Sq aller Punkte von 9t, in denen (*) gilt, von erster Kategorie2) in 91, so ist f auf 91 punktweise unstetig. In der Tat, ist für jedes q > 0 von erster Kategorie in 9, so nach (**) auch (Kap. I, ~ 4, Satz XX) die Menge 3 aller Unstetigkeitspunkte von f auf 91. Nach Kap. I, ~ 8, Satz XV ist also die Menge 9t- 3 der Stetigkeitspunkte dicht in 9t, und Satz IV ist bewiesen. Gleichbedeutend mit Satz IV ist der Satz: Satz V. Ist 92 relativ-vollständig, und ist für jedes q- 0 die Menge 2q aller Punkte von 91, in denen: c (a; f, ) < q, dicht in 91, so ist f punktweise unstetig auf 91. In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation können wir f als endlich annehmen3). Dann ist nach ~ 2, Satz XVI die Menge q= 9 91q abgeschlossen in 92, und somit ist, weil 9q dicht, oq nirgends dicht4) in 9t. Nunmehr folgt Satz V aus Satz IV. 1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei W9 die Menge der rationalen Punkte im Intervalle (0, 1) des 9si, und sei: f (a)==- für a i- (mn, n teilerfremde, natürliche Zahlen). Dann ist 3q endlich für jedes q> 0, und mithin nirgends dicht, also von erster Kategorie in 9W; aber f ist total unstetig auf 9t. 2) Insbesondere kann es hier heißen: nirgends dicht. S) Denn geht f durch die Schränkungstransformation über in f *, so ist stets: f* (a) - f* (b) I!f (a) - f (b), und daher auch: o (a; f*, 9) < c (a; f, 9). 4) Andernfalls gäbe es einen nicht leeren, in 9 offenen Teil 9' von 9, in dem 5q dicht wäre; und weil 53 abgeschlossen in 9, wäre dann 9t'-< q, entgegen der Annahme, daß 91q dicht in 91, derzufolge es in 91' auch Punkte von 91M geben muß.

:206 Die unstetigen Funktionen. Aus diesen Sätzen fließen einige merkwürdige Folgerungen1): Satz VI. Ist 91 relativ-vollständig, und ist sowohl die Menge 3 aller Unstetigkeitspunkte als auch die Menge W9-S aller Stetigkeitspunkte von f auf 91 dicht in 91, so gibt es keine Funktion g, für die S die Menge aller Stetigkeitspunkte, 9 1-3 die Menge aller Unstetigkeitspunkte auf 9 ware. In der Tat, es wäre dann sowohl f als g punktweise unstetig auf 91, also nach Satz III sowohl 3 als 91- 3 von erster Kategorie in 91, entgegen Kap. I, ~ 8, Satz XVII. Satz VII. Ist 9 relativ-vollständig, und sind fl: f2, *.** f"n... abzählbar viele auf 91 punktweise unstetige Funktionen, so ist die Menge E aller Punkte von 91, in denen sämtliche if stetig sind auf 91, dicht in 9. Sei in der Tat S3 die Menge aller Unstetigkeitspunkte von t auf 9. Dann ist nach Satz III 933 von erster Kategorie in 91, mithin (Kap. I, ~ 4, Satz XX) auch die Menge: + = + '... T * *.... Also ist (Kap. I, ~ 8, Satz XV) 9 —3= e- dicht in 91, wie behauptet. Daraus nun folgt unmittelbar: Satz VIII. Ist 91 relativ vollständig, und sind f, A:f punktweise unstetig auf 91, so auch (falls sie auf 91 definiert sind) die Funktionen fi +f, f -f ff),.t f2 In der Tat, nach Satz VII und nach Kap. II, ~ 3, Satz VII liegen für jede dieser Funktionen die Stetigkeitspunkte dicht in 9(, womit die Behauptung bewiesen ist. Und in derselben Weise folgt aus Kap. II, ~ 3, Satz VIII: Satz IX. Sei 9 relativ-vollständig, und seien fi, f... endlich viele auf 9I punktweise unstetige Funktionen. Bedeutet f den größten (kleinsten) unter den k 'Funktionswerten f1, f2,..., fk, so ist auch f punktweise unstetig auf 91. Wir wollen nun in die Diskussion der punktweise unstetigen Funktionen statt der bisher allein benutzten Schwankung co(a; f, 2) die reduzierte Schwankung co'(a; f, t) einführen. 1) V. Volterra, Giorn. di mat. 19 (1881), 76.

Kap. III, ~ 4.: Punktweise unstetige Funktionen. 207 Satz X. Ist 91 relativ-vollständigl), und ist die Menge ( aller Punkte von 91l, in denen f einen Grenzwert auf 91 besitzt, dicht in 91', so ist f punktweise unstetig auf 91. In der Tat, geht f durch die Schränkungstransformation in f** über, so haben in einem Punkte a f und f* gleichzeitig einen Grenzwert auf 91. Wir können also ohne weiteres f als beschränkt annehmen. Nach ~ 2, Satz XII ist dann w (a; f, 91) oberhalb stetig auf 91. Wir setzen abkürzend: o (a) (a; f, 9). Sei nun a ein Punkt von (. Es gibt dann zu jedem > 0 eine reduzierte Umgebung U'(a) von a, so daß (Kap. II, ~ 11, Satz XI) für je zwei Punkte a', a" von 9.U'(a): (1) 1 f(a')-f(a").<. Ist a' Punkt von 91.U'(a), so gibt es eine Umgebung Ut(a'), so daß: u (a') < 1u (a), und dann ist wegen (1): ow(f, 9.U(a')) S, und mithin in jedem Punkte a' von 91.'(a): o (a')= w(a'; f, ( ) e. Da hierin e > 0 beliebig war, gilt für die untere Schrankenfunktion von co auf 9 in jedem Punkte a von l: (2): g(a; o, 9)= 0. Sei nun q> 0, und 9?q die Menge aller Punkte von 91, in denen co <q. Nach Satz V genügt es, zu zeigen: 9rq ist dicht in 91. Sei zu dem Zwecke.( eine offene Menge, so daß 91 nicht leer ist. Wir haben zu zeigen: in 91 ( liegt ein Punkt von 9Sq. Dies ist sicher der Fall, wenn in 9(5O ein isolierter Punkt von 91 liegt, da in jedem isolierten Punkte w=o ist. Liegt aber in 91 I kein isolierter Punkt von 91, so ist 92 (M< 91 (5; weil aber E dicht in 911, gibt es in 9110 einen Punkt von (, und aus (2) folgt sodann, daß es in 91E Punkte von 91q gibt. Also ist 91q dicht in 91, und Satz X ist bewiesen. Wir erhalten nun leicht folgendes Analogon zu Satz IV: Satz XI. Ist 91 relativ-vollständig, und ist für jedes q>0 die Menge aller Punkte von 9191', in denen: (t) ' oo/' (a; f, 91)> q ist, von erster Kategorie in!9, so ist f punktweise unstetig auf 91. In der Tat, ist 93q die Menge aller Punkte von 9911, in denen (t) gilt, 3't die Menge aller Punkte von 9191, in denen '(a; f,9) > 0 gilt, so ist: ' S + 21... t -..., 2 und da 3'y von erster Kategorie in 91 ist, so auch 53'. Und mithin ist (Kap. I, ~ 8, Satz XV) 1- 23' dicht in 91. Nun ist: (tt) t-91 ' —=(91 —911)+(9l 91-Öl'). 1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel zu Satz IV.

208 Die unstetigen Funktionen. Sei nun a ein- beliebiger Punkt von 9, und U(a) eine beliebige Umgebung von a. Da 9 - 3' dicht in 9, liegt zufolge (tt) in 1U(a) sei es ein Punkt von 9I- 9l1, sei es ein Punkt von 919t - -S3'. Die Punkte a' von 91- V[W1 sind isolierte Punkte von 91, in ihnen ist also: w (a') -- 0, und somit: (ttt) g(a';, 91) = 0. In den Punkten a' von 9191' - 15' ist: (o'(a'; f, 2[) -- 0, mithin gilt, wie wir beim Beweise von Satz X sahenl), wieder (ttt). In jeder Umgebung U1(a) liegt also ein Punkt von 91, in dem (ttt) gilt, d. h. die Menge aller Punkte a' von 1, in denen (ttt) gilt, ist dicht in 9. Und da w oberhalb stetig auf 91 (~ 2, Satz XII), so gibt es nach Kap. II, ~ 9, Satz VI einen in 91 dichten Teil von ~, auf dem co =0. Das aber heißt: f ist punktweise unstetig auf 21, und Satz XI ist bewiesen. Bei Funktionen einer reellen Veränderlichen können die Sätze X und XI noch etwas verschärft werden durch Einführung der reduzierten einseitigen Schwankungen. Satz XII2). Ist 91 eine relativ-vollständige Menge des a3), und gibt es einen in 91' dichten Teil von 91, in dessen Punkten f wenigstens einen einseitigen Grenzwert besitzt, so ist f punktweise unstetig auf It. In der Tat, in jedem Punkte von 91', in dem f wenigstens einen ein-seitigen Grenzwert besitzt, ist (~ 2, Satz XI) wenigstens eine der Gleichungen erfüllt: (0),( ' (a;f, 9) 0; ~ (a; f,) = 0. Ist aber im Punkte a von 91 eine dieser beiden Gleichungen erfüllt, so ist dort auch4): g(a; c, 9)= o. Von da aus schließt man weiter, wie beim Beweise von Satz X. Satz XIII5). Ist 91 eine relativ-vollständige Menge des ei, und ist für jedes q>O die Menge aller Punkte von 9191t 19, in denen die beiden Ungleichungen gelten: o+(a;f,9)>q; t o(a;f,91)>q, von erster Kategorie in 91, so ist f punktweise unstetig auf 91. 1) Man hat dabei wieder f als beschränkt anzunehmen, was vermöge der Schränkungstransformation zulässig ist. 2) U. Dini, Grundlagen f. e. Theorie d. Funktionen einer veränderlichen reellen Größe (1892) ~ 151. 3) D. h. (Kap. I, ~ 8, Satz II, V) 91 ist abgeschlossen oder ein o-Durchschnitt in einer abgeschlossenen Menge. 4) Man beweist dies (indem man wieder f als beschränkt annimmt) ganz ebenso, wie beim Beweise von Satz X aus co'(a; f, 91) =0 auf (2). geschlossen wurde; man hat nur an Stelle der dort benutzten reduzierten Umgebung U'(a) nun eine der beiden einseitigen reduzierten Umgebungen von a zu verwenden. 5) V. Volterra, Giorn. di mat. 19 (1881), 84.

Kap. III, ~ 5. Erweiterung einer punktweise unstetigen Funktion. 209 In der Tat, zunächst zeigt man in gewohnter Weise, daß die Menge e3* aller Punkte von B95 ~1l, in denen die beiden Ungleichungen gelten: cO(a; f, )>0; o'_ (a; f, r)>0, von erster Kategorie in 9/ ist. Die Menge 5 (51_ - 51- 5lI) ist als abzählbarer Teil von 15It (Kap. II, ~ 13, Satz I) von erster Kategorie in 5f (Kap. I, ~ 4, Satz XXII). Es ist also auch Q* +- 9 (W1 -- [+ f ) von erster Kategorie in XS, und mithin (Kap. I, ~ 8, Satz XV): Z = - - t (w2t - ) = (2t -_ 1) + (WS2f+ 1 - - *) dicht in 21. Nun sind aber die Punkte von f - -19l1 die isolierten Punkte von 5, und die Punkte von lf l1 1 - 23* sind solche, in denen mindestens eine der Gleichungen (0) besteht. Also giltl) in jedem Punkte von (: g(a; c,5 )=O. Und da ( dicht in 51, folgt daraus (Kap. II, ~ 9, Satz VI), daß auch die Menge aller Punkte von 2f, in denen co(a)= 0, dicht in 5 ist, d. h. f ist punktweise unstetig auf 21, wie behauptet. ~ 5. Erweiterung einer punktweise unstetigen Funktion. Im Gegensatze zu den stetigen Funktionen ist eine auf 52 punktweise unstetige Funktion keineswegs völlig bestimmt durch die Werte, die sie auf einem in 9 dichten Teile von 51 annimmt. Dies hat zur Folge, daß hier, im Gegensatze zu Kap. II, ~ 5, Satz III, der Satz gilt: Satz I. Ist 91 eine relativ-vollständige Menge, deren insichdichter Kern nicht leer ist, so hat die Menge aller auf 51 punktweise unstetigen Funktionen mindestens die Mächtigkeit 2c. In der Tat, nach Kap. I, ~ 8, Satz VIII gibt es einen in 2C nirgends dichten und abgeschlossenen Teil l von 1 der Mächtigkeit c. Die Menge aller Funktionen auf ( hat also die Mächtigkeit: CC 2oc 2 und dasselbe gilt daher von der Menge aller Funktionen f auf 1, die beliebig sind auf ( und gleich 0 auf 2 - -(. Ist a ein Punkt von 1 - d, so gibt es, da ( abgeschlossen in 21, eine zu X fremde Umgebung U (a) von a in 1, in deren sämtlichen Punkten also f== 0 ist; es ist somit f stetig auf 91 in jedem Punkte von - 1. Da aber 0 nirgends' dicht in 91, so ist 2 - (S dicht in 51 (Kap. I, ~ 4, Satz XIVa), d. h. f ist punktweise unstetig auf 21. Damit ist Satz I bewiesen. 1) Dabei ist wieder (vermöge der Schränkungstransformation) f als beschränkt anzunehmen. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 14

210 Die unstetigen Funktionen. Ist S Teil von X9, so kann (außer wenn 93 abgeschlossen in 9 ist) nicht jede auf 3 stetige Funktion zu einer auf 9 stetigen erweitert werden. Auch hier verhalten sich die punktweise unstetigen Funktionen anders. An Stelle von Kap. II, ~ 5, Satz VI tritt: Satz 1). Ist f punktweise unstetig auf 3, und wird f auf 3~ so erweitert, daß in jedem Punkte von o3~-3: (1) g (a; f, ) ~ f(a) < G (a; f, 3), so ist f auch punktweise unstetig auf 930; und zwar wird dann f stetig auf 3~ in jedem Punkte von 3, in dem es stetig auf 93 war. Beim Beweise können wir, vermöge der Schränkungstransformation, annehmen, f sei beschränkt auf 3; dann ist auch die gemäß (1) erweiterte Funktion f beschränkt auf 3~. Wir beweisen zunächst: Ist f stetig auf S im Punkte a von 93, so ist die erweiterte Funktion stetig in a auf O3~. Sei {a"} eine Punktfolge aus 3~o mit (2) lima u =a. Wir haben zu zeigen: (3) lim f(am)= t (a). 1 == — Nun ist gewiß: (4) g (a,; f, 93) < f (a) < G (a"; f, 3); in der Tat, gehört an zu 93, so gilt dies nach Kap. II, ~ 2, Satz II; gehört ai zu 3~O- 3, so gilt dies nach (1). Aus (4) nun folgern wir nach Kap. II, ~ 2, Satz VI: Zu jedem an gibt es in 93 ein a' und ein a', so daß: 1 1 (5) r(a, a') <-; r (a,,a a <f (a) < f (a,) + f (an) > f(a) - und somit: (6) f(a") — < f(a) < f(a ) - 1 -n Aus (2) und (5) folgt: lim a — a; lim a==- a, n= oo n-== cx und somit, weil f stetig in a auf 93: (7) lim f(a') = f(a); lim f(a") = f(a). ) T. Brod n, Acta U niv. Lund. 33 (Neue Foge 8) (1897), 16. ^ T. Brod6n, Acta Univ. Lund. 33 (Neue Folge 8) (1897), 16.

Kap. III, ~ 5. Erweiterung einer punktweise unstetigen Funktion. 211 Aus (6) und (7) aber folgt (3), d. h. f ist stetig in a auf 30, wie behauptet. Sei nun e die Menge aller Punkte von 93, in denen f stetig auf 2 (und mithin auf S3~). Nach Voraussetzung ist E dicht in 3, und daher auch (Kap. I, ~ 4, Satz XIII) in ~o; also ist f punktweise unstetig auf 23~, und Satz II ist bewiesen. An Stelle von Kap. II, ~ 5, Satz VIII tritt nun: Satz III. Ist ein Teil von 9/, so kann jede auf 53 punktweise unstetige Funktion f erweitert werden zu einer auf fl punktweise unstetigen Funktion, die stetig auf f ist in jedem Punkte von 13, in dem f stetig war auf 3. In der Tat, zunächst erweitern wir nach Satz II f zu einer auf *. 530 punktweise unstetigen Funktion, und sodann diese (da f. ~30 abgeschlossen in A/) nach Kap. II, ~ 5, Satz VIII zu einer Funktion F auf 9t, die nun offenbar alles in Satz III Verlangte leistet. Wir kehren zurück zu Satz II. Sei f definiert auf B. Wir wollen jede auf 130 definierte Funktion f*, die überall auf B3 mit f übereinstimmt, überall auf o3 der Ungleichung (0) g (a; f, )_f*(a)_ G (a; f, ) genügt, eine möglichst stetige Erweiterung von f auf 3~ nennen'). Satz IV. Ist f definiert auf B3, und f* eine möglichst stetige Erweiterung von f auf o~, so ist für jede offene Menge E: (00) G (f, ) G(f*, J0~); g(f, 3 )-)= g(f*, 3~). In der Tat, da jeder Funktionswert von f auch ein Funktionswert von f* ist, so ist: G (f*, eo () _ a (f, 3 ). Angenommen, es gälte hierin das Zeichen >, so gäbe es eine Zahl p: G(f, 5 (1) <p<G ((f*,230 ). Es gäbe also einen zu ( gehörigen Punkt a von o3~, so daß: f*(a) >X p> G (f, e (), und mithin wegen (0): G( (a; f, S) > G (f, BZ), was unmöglich, da G (a; f, B) die untere Schranke von G (f, 1 ) für alle a enthaltenden offenen Mengen (. Damit ist die erste Gleichung (00) bewiesen, und ebenso beweist man die zweite. Indem man in (00) die unteren (oberen) Schranken für alle a enthaltenden offenen Mengen e bildet, erhält man daraus: Satz V. Ist f definiert auf 3 und f* eine möglichst stetige Erweiterung von f auf 3~0, so ist in jedem Punkte von 3~0: 1) Das durch (0) gegebene Intervall, innerhalb dessen f*(a) beliebig gewählt werden kann, wird von A. Schoenflies (Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, 132) als das Unstetigkeitsintervall bezeichnet. Seine Länge G (a;f,, )-g (a;f, 3) bezeichnet T. Brode n als,L atitude" (a. a. 0. 14). 14*

212 Die unstetigen Funktionen. G(a;f, 8) =G(a;f*, 30); g(a; f, )=g (a;f*, ~), und mithin auch: co (a; f, 2)== co (a; f*, 30). Als Spezialfall entnehmen wir hieraus: Satz VI. Ist f* eine möglichst stetige Erweiterung der Funktion f von t3 auf 8~, so ist f* stetig auf 8~ in jedem Punkte von S, in dem f stetig auf 53 ist. In der Tat, aus o (a; f, ) )= 0 folgt nach Satz V auch w (a; f*, 3~) 0, womit Satz VI bewiesen ist. Sei nun insbesondere /' punktweise unstetig auf 21, und 3 die Menge aller Stetigkeitspunkte von f auf 2'. Dann ist 3 dicht in 21, und mithin ist ~3' =91o (Kap. I, ~ 4, Satz VIII). Betrachten wir nun f nur als Funktion auf 3, d. h. nur in seinen Stetigkeitsstellen; jede möglichst stetige Erweiterung f* der Funktion f von der Menge 53 auf die Menge 2~o nennen wir eine zu f gehörige möglichst stetige Funktion'). In einem Punkte von 2 - $ kann f=-f* sein, doch muß dies nicht sein ). Die Bezeichnung als zu f gehörige möglichst stetige Funktion wird gerechtfertigt durch die beiden folgenden Sätze: Satz VII. Ist f punktweise unstetig auf 2, ist f* eine zu f gehörige möglichst stetige Funktion, und ist 3 die Menge der Stetigkeitspunkte von f auf 21, so ist in jedem Punkte von W~: (000) G(a; f*, O)= G(a; f, ) G(a;f, 1); g(; f*, (a; f, *3) = g (a;, ) f, 2t), und mithin auch: o (a; f*, C~) co(a; f, SB) < co (a; f, 2). In der Tat, weil 3 <2S, so ist: (a; f, 3) < (a;f,). Da t3 dicht in 91, so ist weiter 3 ~2=-0 (Kap. I, ~ 4, Satz VIII) und somit nach Satz V: G (a; f*, 2o) = G (a; f*, o~)_ G (a; f, 2). Damit ist die erste Ungleichung (000) bewiesen, und analog beweist man die zweite. Die nach Satz VII niemals negative Größe: co(a; f, ) - (a;f*, ~)>0 wird bezeichnet3) als der äußere Sprung von f in a auf 91. ~) Dieser Begriff wurde eingeführt von A. Schoenflies, Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, 135. Vgl. hierzu H. Hahn, Monatsh. f. Math. 16 (1905), 312. 2) Beispiel: Sei 2 der SRt und f (a) -1 für a < f1 für a0. Dann kann f*(a) = f (a) gesetzt werden; es kann aber z. B. auch gesetzt werden: f* (a) { f (a) für a + 0 0 für a = 0, und dann ist f* (0) + f (0). 3) Nach E. Study, Math. Ann. 47 (1896), 301.

Kap. III, ~ 5. Erweiterung einer punktweise unstetigen Funktion. 213 Satz VIII. Ist f punktweise unstetig auf 9, ist f* eine zu f gehörige möglichst stetige Funktion, und isth eine Funktion auf 9~, die in allen Stetigkeitspunkten von f auf 9 mit f übereinstimmt, so ist in jedem Punkte von 9t0: (x) G (a; h, %~) G-(a; f*, 9o); g (a; h, o) g (a;f*, o), und mithin auch: co(a;h, W~) o> (a; f*, Wo). In der Tat, da unter den Werten, die h auf 9~ annimmt, auch die vorkommen, die f auf der Menge S3 seiner Stetigkeitspunkte annimmt, so ist: G (a; h, ) G(a; f, S), woraus durch Berufung auf (000) die erste Ungleichung (x) folgt, und analog beweist man die zweite. Satz IX. Ist f auf % punktweise unstetig, und ist f endlich, oder gibt es unter den zu f gehörigen möglichst stetigen Funktionen eine endliche f*, so ist f-f* eine auf 91 punktweise unstetige Funktion, die in jedem ihrer Stetigkeitspunkte auf 91 den Wert 0 hat. Sei in der Tat 3 die Menge alleri Stetigkeitspunkte von f auf 91. Nach Satz VI ist in jedem Punkte von B9 auch f* und mithin auch f- f* stetig auf 9, also ist f - f* punktweise unstetig auf 1. Sei nun a ein Stetigkeitspunkt von f- f* auf 1. Da 3 dicht in A(, ist a Häufungspunkt von S3; und da in jedem Punkte b von 3: f (b)- f*(b)- O, muß wegen der Stetigkeit in a auch: f (a) - f* (a)= 0 sein. Damit ist Satz IX bewiesen. Daraus folgt unmittelbar: Satz X. Unter den Voraussetzungen von Satz IX ist jede zu f-f* gehörige möglichst stetige Funktion -0 in allen Punkten von 910. Beachten wir, daß: f*(a)- f(a) - (f*(a) - (a)), so können wir die Sätze IX und X kurz so zusammenfassen: Jede auf K punktweise unstetige und endliche 1) Funktion kann durch Addition einer punktweise unstetigen Funktion, deren zugehörige möglichst stetige Funktionen =0 sind, in eine ihr zugehörige möglichst stetige Funktion verwandelt werden; und zwar genügt die zu addierende punktweise unstetige Funktion f* - f auf 9 der Ungleichung: (xx) f (a) - f*(a) l <co (a; f, ). In der Tat, wie aus ihrer Definitionsungleichung (0) (S. 211) hervorgeht, gel) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: sei % das Intervall (0,1) des N, und: f(a)= n für a — (m, n teilerfremde natürliche Zahlen) n f(a) -- +- o für irrationales a. Dann ist f* (a) = -+ -o überall auf 91, und mithin f*(a) - f(a) = — oo in allen rationalen Punkten von 9(.

214 Die unstetigen Funktionen. nügt f*, wenn b8 die Menge der Stetigkeitspunkte von f auf 9 bezeichnet, der Ungleichung: g (a; f, I) 1g (a; f,,) ) fg(a ); G (a); f, f)<G (a; f, Z), und da auch f der Ungleichung genügt: g (a;f, 9)f (a) < G (a;f, 9), folgt die Behauptung (xx). Für die in der Definitionsungleichung (0) der zu f gehörigen möglichst stetigen Funktionen auftretenden Größen G(a; f, 8), g (a; f, S8) gilt noch: Satz XI. Ist 91 relativ-vollständig, ist f punktweise unstetig auf 91, und 3 die Menge der Stetigkeitspunkte von f auf 91, so ist in jedem Punkte von 9O~: ('t) C a(a; f, )- = G*(a; f, g); g (a; f, S) g*(a; f, El), wo (G* und g* obere und untere Schrankenfunktion von f auf 9$ bei Vernachlässigung von Mengen erster Kategorie in V9 (Kap. II, ~ 12, S. 174) bedeuten. In der Tat, nach ~ 4, Satz III. ist die- Menge W9- 5 aller Unstetigkeitspunkte von f auf 9 von erster Kategorie in 91; also ist: (tt) G* (a; f, 9) G (a; f, S). Würde hierin das Zeichen < gelten, so gäbe es eine Zahl p: (tT) G* (a; f, t) <p< G (a;f, B), und mithin in jeder Umgebung U (a) einen Punkt b von 8, in dem auch: f (b) >p. Da aber b, als Punkt von 8, Stetigkeitspunkt von f auf 1 ist, gäbe es in U (a) eine Umgebung von b in 91, d. h. eine in 9 offene Menge GJ, auf der durchweg: f>p. Nach Kap. I, ~ 8, Satz XVI ist aber q von zweiter Kategorie in 9(, so daß: G*(f, 1. U (a)) ~p, und mithin, da dies für jede Umgebung lt (a) von a gilt, auch: G*(a;f, ) p, im Widerspruche mit (jtt). Also kann in ("1-) nicht das Zeichen < gelten, und die erste Gleichung (t) ist bewiesen. Analog beweist man die zweite. ~ 6. Beispiele punktweise unstetiger Funktionen. Wir wollen nun von einigen einfachen Funktionsarten nachweisen, daß sie punktweise unstetig sind. Zunächst gilt dies von den halbstetigen Funktionen. Wir gehen, um dies einzusehen, aus vom Hilfssatze: Satz 1. Ist f oberhalb stetig auf SC, so hat die Schwankungsfunktion von f auf 1: o( (a) co (a; f, 91)

Kap. III, ~ 6. Beispiele puuktweise unstetiger Funktionen. 215 in jedem Punkte von t~, in dem'): g(a; f, )> - oo ist, die untere Schranke 0: (1) g(a; w, )= 0. In der Tat, die Behauptung trifft zu für jeden Punkt a von Wo0, zu dem es eine Umgebung in 91 gibt, auf der durchweg f= +-c; denn in jedem Punkte dieser Umgebung ist co —0. Andernfalls gibt es in jeder Umgebung U (a) einen Punkt a' von 91, in dem f(a') und damit auch g(a'; f, 9) endlich. Da g unterhalb stetig auf 9W (Kap. II, ~ 11, Satz II), gibt es weiter zu jedem e > 0 eine Umgebung 11 (a'), so daß: (2) g (a"; f, ) > g(a'; f, ) F- ( für alle ra von U (a') 91. Nach Kap. II, ~ 2, Satz VII gibt es in (a). -U(a') 91 mindestens einen Punkt a, in dem: (3) f(a) < (a'; f, W)l+. Da f oberhalb stetig auf 91, ist (3) gleichbedeutend mit (Kap. II, ~ 8, Satz I): (4) (af, )<g('; f, a )+.. Da (2) auch für a"-a gilt, folgt aus (2) und (4): ~(oö) a) (a;f,^ )<2. In jeder Umgebung U (a) gibt es also einen Punkt a von 9, in dem (5) gilt, und da stets co 0 ist, so folgt aus (5) in der Tat (), und Satz 1 ist bewiesen. Satz II2). Jede auf einer relativ-vollständigen3) Menge 91 oberhalb (unterhalb) stetige Funktion ist punktweise unstetig auf 1. In der Tat, wir können wieder f als beschränkt annehmen; dann ist co(a) oberhalb stetig auf 9 (~ 2, Satz XII); es folgt also aus (1) 1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 91: f (a)- n für a ==+ - (m, n teilerfremde natürliche Zahlen). Dann ist f oberhalb stetig auf der Menge f aller rationalen a = 0 des 9i, aber in jedem Punkte von 9l ist w (a)= 4- oo. 2) R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 13. (Vgl. auch Bull. soc. math. 28 (1900), 179). H. Lebesgue, Bull. soc. math. 32 (1904), 233. 8) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Sei (im Sl ) St die Menge aller Punkte +n (m, n teilerfremde natürliche Zahlen), und sei f (m}) = n. Dann ist f oberhalb stetig, aber total-unstetig auf 91.

216 Die unstetigen Funktionen. von Satz I nach Kap. II, ~ 9, Satz VI, daß auf einem in 91 dichten Teile von 91: (~(a)~O d.h. c(a)=-O ist. In jedem solchen Punkte aber ist f stetig auf 91, womit Satz II bewiesen ist. Wir behandeln nun insbesondere Funktionen einer reellen Veränderlichen und unterscheiden ihre Unstetigkeiten in solche erster und zweiter Art. Sei 91 eine Punktmenge des t,. Die auf % definierte Funktion f heißt unstetig von zweiter Art auf % in jedem Punkte von O91v, in dem kein rechtsseitiger Grenzwert (Kap. II, ~ 13, S. 179) von f auf 91 existiert, sowie in jedem Punkte von 91 9, in dem kein linksseitiger Grenzwert von f auf 91 existiert. In allen andern Punkten von 91 heißt fvon erster Art unstetig auf 9. Stetigkeit und hebbare Unstetigkeit (Kap. II, ~ 11, S. 173) sind also Spezialfälle von Unstetigkeit erster Art. Eine Funktion, die auf 9t keine Unstetigkeiten zweiter Art besitzt, heißt kurz unstetig von erster Art auf 9. Aus ~ 4, Satz XII folgt sofort: Satz III. Ist f unstetig von erster Art auf der relativvollständigen') Menge 9' des 91, so ist f punktweise unstetig auf 91. Darüber hinaus aber gilt: Satz IV. Ist f unstetig von erster Art auf der Menge )l des 91L, so gibt es nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte von f auf 91. Bein Beweise können wir, vermöge der Schränkungstransfornation, f als beschränkt annehmen. Sei a ein Punkt von 91, in dem: (*) ) (a; f, ) q (> 0). Wir behaupten: Es gibt ein Intervall (a, a +- h), in dem kein Punkt a' von 1 liegt, in dem: (**) w (a'; t, ) q ware. In der Tat, dies trifft in trivialer Weise zu, wenn a zu 9 - 91. 91+ gehört. Wenn hingegen a zu 91_ gehört, so gilt, da f nur unstetig voi erster Art, für die reduzierten irechtsseitigen Schrankenfunktionen: Gt+(a; f, W)= S+(a; f, ). Es gibt also zu jedem e> 0 ein Intervall (a, a h), so daß für 1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden, wie das Beispiel zu Satz II zeigt.

Kap. III, ~ 6. Beispiele punktweise unstetiger Funktionen. 217 alle a' von 9-.(a,a -- h): G+(a; f, 9) 4- f(a') G+(a; < f, 91) +. In jedem Punkte a' von 9.(a, a — h) ist aber dann: o (a'; f, 9J)_ 2e. Wählt man insbesondere 2e < q, so gilt also (**) in keinem Punkte a' von 9. (a, a - h), wie behauptet. - Ganz ebenso beweist man, daß es, wenn (*) gilt, ein Intervall (a - h, a) gibt, das keinen Punkt von 91 enthält, in dem (**) gelten würde. Wir schließen daraus: Die Menge aller Punkte a von 91, in denen (*) gilt, ist eine isolierte Menge (Kap. II, ~ 4, S. 75); nach Kap. II, ~ 7, Satz Via ist sie also abzählbar. Sei nun 9/, die Menge aller Punkte von 91, in denen: w(a; f, 1)_>. Dann ist 94, 2 $- 4- 9. 4-.. die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f auf 91. Da aber nach dem eben Bewiesenen jede Menge n1" abzählbar ist, so auch 1, 4... 9 1..., und Satz IV ist bewiesen 1). Satz V2). Sei 91 eine im endlichen Intervalle [b,c] des 9R, liegende abgeschlossene Punktmenge. Damit die beschränkte Funktion f unstetig von erster Art sei auf 91, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e> 0 endlich viele Punkte in [b,c] gebe: b = ao < a < a <... < aI < a= c, so daß [wenn 9.(aii,ai) nicht leer]: c (f,9 X(a~i -, ai, <..., ). Die Bedingung ist not wendig. In der Tat, ist f unstetig von erster Art auf 91, so gilt in jedem Punkte von 9X1 bzw. von 9/1 die entsprechende der beiden Uigleichungen: gO4(a; f, 9)==0; o' (a; f, X)=0, so daß die Behauptung unmittelbar aus ~ 2, Satz XXII folgt. Die Bedingung ist hinreichend; denn sei f in a unstetig von zweiter Art auf 91. Dann gilt mindestens eine der beiden Ungleichungen: ____ (a; f, 1)>0; o'{(a; f, 0; (a; f)>0, 1) Satz IV folgt auch unmittelbar aus ~ 1, Satz XVI und Kap. II, ~ 13, Satz XII. 2) H. Lebesgue, Ann. de Toul. (3) 1 (1909), 60.

218 Die unstetigen Funktionen. z. B. die erste: (e (a; f, f)=q>0. Ist <e<E q, so gilt also für jedes Intervall (a,cta — h): ( (f, -(a, a + ))> so daß für ein solches e die Behauptung von Satz V nicht gelten kann. Damit ist Satz V bewiesen. Es hat keine Schwierigkeiten, punktweise unstetige Funktionen einer reellen Veränderlichen anzugeben, die im fl dicht liegende Unstetigkeitspunkte erster Art bzw. zweiter Art besitzen1). Wir lassen für den ersten Fall einige Beispiele folgen und verweisen für den zweiten Fall auf die Methode der Verdichtung der Singularitäten (Kap. IV, ~ 12). Ein besonders einfaches Beispiel liefert die Funktion ): 11 _ m 0 O wenn a irrational, f(a) = - wenn a m = ---- (m, n teilerfremde natürliche Zahlen), In 1 wenn a=0. Sie ist stetig im 91 für irrationales, unstetig, und zwar von erster Art, für rationales a3). Ein zweites Beispiel erhalten wir durch Betrachtung einer beliebigen nirgends dichten perfekten Punktmenge ß des 9l. Nach Kap. I, ~ 9, Satz V gibt es eine ähnliche Abbildung A der (natürlich geordneten) Menge der irrationalen Zahlen auf die (natürlich geordnete) Menge der Punkte zweiter Art von 3ß. Wir definieren eine Funktion f(a) im 1i durch die Vorschrift: Ist a irrational, so sei f(a) der a durch A zugeordnete Punkt zweiter Art von,ß; ist a rational, so ruft a in der Menge der irrationalen Zahlen einen Schnitt hervor; ihm entspricht vermöge A ein Schnitt in der Menge der Punkte zweiter Art von Öß: =3 '+$" (%' vor $"). Es gibt dann ein und nur ein punktfreies Intervall 3 von a3, so daß: $ vor vor y, und einen beliebigen Punkt dieses Intervalles 3 ordnen wir dem rationalen a als Funktionswert f(a) zu. Man erkennt sofort: die so definierte Funktion ist stets wachsend: _~. _~ ~f (a') >- f (a") wenn a' a". 1) Ausgehend von Satz II, ~ 5 wurden solche Funktionen konstruiert von T. Broden, Acta Univ. Lund. 33 (Neue Folge 8) (1897), 17. Zahlreiche Beispiele punktweise unstetiger Funktionen wurden hergestellt durch Zifferngesetze, die an die Darstellung der reellen Zahlen durch Systembrüche anknüpfen: G. Peano, Riv. di mat. 2 (1892), 42. A. Schoenflies, Gött. Nachr. 1899, 187, (vgl. auch Gött. Nachr. 1896, 255); ferner T. Broden, Math. Ann. 54 (1901), 518. 2) Vgl. über diese und ähnliche Funktionen W. D. A. Westfall, Am. Bull. 15 (1908), 225. 3) Eine Funktion f einer reellen Veränderlichen, die stetig im 91 wäre für rationales, unstetig für irrationales a, kann es nicht geben (~ 4, Satz III, VI).

Kap. III, ~ 7. Verallgemeinerungen. 219 Sie ist stetig im 9N für irrationales, unstetig (und zwar von erster Art) für rationales a. Die eben besprochene Abbildung A kann benutzt werden, um aus einer im S, definierten Funktion f eine auf der nirgends dichten perfekten Punkt-. menge?ß definierte Funktion f* herzuleiten. In der Tat, vermöge A entspricht, wie wir sahen, jedem irrationalen a ein Punkt zweiter Art, jedem rationalen a ein punktfreies Intervall 3 von E. Wir definieren nun f* auf a durch die Vorschrift: Ist b der vermöge A dem irrationalen a zugeordnete Punkt zweiter Art von ~, so setzen wir f* (b)= f (a). Ist S das vermöge A dem rationalen a zugeordnete punktfreie Intervall von $, b ein (als Punkt erster Art zu T gehöriger) Begrenzungspunkt von S, so setzen wir wieder f* (b)= f(a). Dadurch ist f* auf h definiert. Ist f stetig (unstetig von erster Art) in a im 91, so ist f* im entsprechenden Punkte (bzw. den beiden entsprechenden Punkten) b stetig (unstetig von erster Art) auf $. Dieses Verfahren führt also jede im 8, punktweise unstetige Funktion in eine auf: punktweise unstetige Funktion über. Wir können dies Verfahren auch benutzen, um punktweise unstetige Funktionen einer reellen Veränderlichen herzustellen, die nur abzählbar viele verschiedene Werte annehmen, während. ihre Schwankungsfunktion alle Werte > 0 annimmt. Wir bilden zu dem Zwecke zunächst folgende (im 9nj_ total-unstetige) Funktion: 0 für irrationales a und a 0, /f(a)4! für rationales a. Dann ist:,(a;o)-j ~für a+0. + -oo für a — 0. Wir führen die Funktion f in der vorhin besprochenen Weise über in eine auf der nirgends dichten perfekten Menge S3 definierte Funktion f* und erweitern deren Definition auf den ganzen Sr, indem wir setzen: f*=O auf -, -. Die so definierte Funktion f* leistet offenbar alles Verlangte. Wir können noch ein wenig weitergehen') und eine punktweise unstetige Funktion herstellen, die nur abzählbar viele verschiedene Werte annimmt, während ihre Schwankungsfunktion jeden Wert > 0 in einer Punktmenge der Mächtigkeit c annimmt: Sei g eine im 9i1 stetige Funktion, die jeden Wert 2 0 in einer Punktmenge der Mächtigkeit c annimmt (Kap. II, ~ 7, S. 150). Wir setzen: f a.0 für irrationales a, f a) g(a) für rationales a. Ganz wie vorhin leiten wir aus f eine neue Funktion f* her, die dann alles Verlangte leistet. ~ 7. Verallgemeinerungen. Sei die Funktion f definiert auf 9/. Wir bezeichnen ihre (auf 9/~ definierte) obere Schrankenfunktion mit: )Vg.__ ASh eG, (a)- G (a; f, 9). 3) Vgl. A. Schoenflies, Gött. Nachr. 1899, 192.

220 Die unstetigen Funktionen. Bilden wir von G, (a) wieder die obere Schrankenfunktion, so wird sie, da G,(a) oberhalb stetig (Kap. II, ~ 11, Satz II), nach Kap. II, ~ 8, Satz 1 gleich G1 (a). Bilden wir hingegen von G, (a) die untere Schrankenfunktion, so werden wir im allgemeinen auf eine neue Funktion geführt; wir bezeichnen sie mit: (0) G, (a) g (a; G,, ~0). Und so fortfahrend definieren wir allgemein1): (00) Gk(a)==-g(a; G2 k, W1~); G2 k l(a) G (a; G2 k,0); und ebenso von der unteren Schrankenfunktion von f: gl (a)- g (a; f, sa) ausgehend: g2k () G- (a; g2 k-, 910); g k a+ (a) = g (a; g,,,91). Es gilt der Satz: Satz I. Es ist stets auf ganz 2f0: G2k (a) = G, (a); G2k+1 (a) - G (a) (k- 1, 2,...); g2t (a) - g (a); g2k-7c (a) g (a) (k 1, 2,..) In der Tat, aus der Definition (0) von G, folgt: G, > G2,h daraus, indem man beiderseits die obere Schrankenfunktion bildet: und daraus, indem man beiderseits die untere Schrankenfunktion bildet: (~0o) G2 > G. Andererseits folgt aus der Definition (00) von G3: G3, G2, und daraus, indem man beiderseits die untere Schrankenfunktion bildet: (o~o) G, _ G,,. Aus (o0o) und (o0o) aber folgt: G. ==G4. Indem man hierin beiderseits die obere Schrankenfunktion bildet, erhält man: G, G =G, hieraus durch Bildung der unteren Schrankenfunktion: G4 —G6, usf. Damit ist die eine Hälfte von Satz I bewiesen, und analog beweist man die zweite. Satz II. Ist f punktweise unstetig auf 2W, so ist2): (1) G2(a) -g=3 (a); g (a) G, (a) auf ganz 9~. In der Tat, wir bezeichnen mit 3 die (in 9f dichte) Menge aller Stetigkeitspunkte von f auf W, und beweisen zunächst: (2) G, (a) =-g (a; f, $3). In jedem Punkte b von e3 ist: f (b)= G, (b). 1) Mit diesen Funktionen hat sich eingehend befaßt A. Denjoy, Bull. soc. math. 33 (1905), 98. 2) Von den beiden Gleichungen (1) folgt jede aus der anderen. Z. B. folgt aus G, = g8 durch Bildung der oberen Schrankenfunktionen: G =- g4, und wegen Satz I: G3 — g2.

Kap. III, ~ 7. Verallgemeinerungen. 221 Also ist auf ganz l0: (3) (a)=g (a; G, ~0) g (a; G0, ))= g(a; f, ~). Angenommen, es wäre: (4) G,, (a) < g (a; f, ) Dann gäbe es ein p, so daß: (5) 2 ) <p < g (a; f, ). Nach Definition von Ge gäbe es in jeder Umgebung U (a) von a einen Punkt a von 9~f, in dem: G (a) <p, mithin auch eine Umgebung U(a) <U(a), so daß: (6) f<p auf. 1U(); und da e dicht in 92, gäbe es in -U11(a), und mithin in l (a) einen Punkt b von SB, in dem wegen (6): f (b)<p, im Widerspruche mit der zweiten Hälfte von (5). Also ist (4) unmöglich, und aus (3) folgt (2). Sodann zeigen wir: (7i) ' (a)-= G (a;f, ). In jedem Punkte b von 3 ist offenbar auch G1 stetig auf %, und mithin: (8) f (b)=, (b)=., (b). Also ist auf ganz 21~: (9) G, (a)- G (a; G., ~) > G (a; G~3) = G (a; f, 3). Angenommen, es wäre: (10) G, (a) >G (a;f, 3). Dann gäbe es ein p, so daß: (11) G, (a) > p > (a; f, ). Nach Definition von G3 gäbe es in jeder Umgebung 11 (a) von a einen Punkt d von 91~, in dem: G(a)>p, und da G, unterhalb stetig, auch eine Umgebung I U()<U(a), so daß (12) G2>p auf W~1Oi(a). Da S dicht in 2f, und daher auch in 9~, gäbe es in ~. U(ä), und somit in 11 (a) auch einen Punkt b von S, in dem wegen (12) G > (b) >, und wegen (8) auch f (b) >, im Widerspruche mit der zweiten Hälfte von (11). Also ist (10) unmöglich, und aus (9) folgt (7). Ebenso wie (2) und (7) aber beweist man (13) g2 (a) (a; f, 2); g (a)=g(a;f, ). Aus (2) und (7) einerseits, (13) andererseits aber folgt Satz II. Von Satz II gilt folgende Umkehrung: Satz III. Ist g9 relativ-vollständig, so folgt aus jeder der beiden Gleichungen (1), daß f punktweise unstetig auf 5.

222 Die unstetigen Funktionen. Angenommen in der Tat, f sei nicht punktweise unstetig auf 91. Nach ~ 4, Satz V gibt es dann ein q > 0 und eine (nicht leere) in 91 offene Menge ($, in deren sämtlichen Punkten: C q. Sei p > q die untere Schranke g (wc, (5). Vermöge der Schränkungstransformation können wir p als endlich annehmen. Sei a ein Punkt von q3, in dem: (*) (a) <4p Wir behaupten: es gibt eine Umgebung t (a) von a in 91, so daß für alle a' von 11(a): (**) ig (a') < 9g (a) + -p; (a') G (a)- -. 3 In der Tat, beweisen wir etwa die erste Hälfte von (**). Wäre sie nicht richtig, so gäbe es in jeder Umgebung 1 (a) von a in 9 einen Punkt a', in dem gl (a') > gl (a) 4 — und mithin: G, (a') = g (a') + o (a') 2 g (a') +-p > g, (a) +. Weil G1 oberhalb stetig, wäre also auch: 4p G1 (a) 2 gl (a) -- im Widerspruche mit (*). Aus (**) zusammen mit w (a) ~p folgt nun für alle a' von 1 (a): g4_ (a') ~< gl (a) + < G< (a) - Gx (a'), gja?3g,(a)+si6,(~ 3 mithin, durch Bildung der oberen bzw. unteren Schrankenfunktionen, auch: g. (a') < g, (a)+ -- < G (a) -P - G (a'), und, indem man von ge (a') nochmals die untere Schrankenfunktion bildet: 93 (a) < G2 (a). Es gilt also die erste Gleichung (1) nicht. Damit ist Satz III bewiesen. Weiter folgt nun auch leicht: Satz IV. Damit f punktweise unstetig sei auf 91, und es eine zu f gehörige möglichst stetige Funktion gebe, die auf 910 stetig ist, ist notwendig und, wenn 91 relativ-vollständig, auch hinreichend, daß auf ganz 10: (***i) a.G, (a) = g. (a) = G3 (a) = g3 (a). In der Tat, man hat nur zu beachten, daß (***) wegen (2) und (13) gleichbedeutend ist mit: g (a; f, 23) G (a; f, ), und daß diese Funktion sowohl unterhalb wie oberhalb stetig, und somit stetig ist auf 91~. Sei f definiert auf der Punktmenge 91; die zugehörige Schwankungsfunktion co (a; f, 9) ist dann definiert auf 91~. Wir setzen: c (a)= c) (a; f, t)

Kap. III, ~ 7. Verallgemeinerungen. 223 und definieren') durch Induktion die k-te Schwankungsfunktion von f auf 9t: wk (a) == re (a; (ok_-, 91o); sie ist hierdurch definiert in allen Punkten von 29~. Wie wir in ~ 2 sahen (Satz XII), ist üo, im allgemeinen, aber nicht ausnahmslos, oberhalb stetig auf %9. Wir ergänzen nun dies Resultat: Satz V,. Ist f punktweise unstetig auf 91, so ist co oberhalb stetig auf 91. In der Tat, da f punktweise unstetig auf 91, liegen die Punkte, in denen: Co,-(a) = 0, dicht in 91, und mithin in 91o. Es ist also in jedem Punkte a von 910: g (a; o, 9o)= 0. Also ist: roe (a) == co (a; a>,, 9~) = G (a; %, 91o). Nach Kap. II, ~ 11, Satz II ist also wo (a) oberhalb stetig auf 910, und Satz V ist bewiesen. Die Voraussetzung, f sei punktweise unstetig, kann in Satz V nicht entbehrt werden, wie folgendes Beispiel einer in [0, 1] definierten (und endlichen) Funktion einer reellen Veränderlichen zeigt: [1 für irrationales a, a f(a) ji +n für die rationalen a von (., (. ' [ für a 0. Dann ist: n in c,( n' %(a)= n m_ — o00 für a=0, und mithin: 0 in (n —l ' -)und für a=-0, a=1, für)a =(n 13, Also ist o, (a) nicht obenrhalb stetig auf [0, 1] im Punkte 0 Allgemein gilt: Satz VI. Für jede beliebige Funktion f auf 91 ist c(0 oberhalb stetig auf 91~. In der Tat, ist a Punkt von 910, so ist nach ~ 2, Satz XII fox in a oberhalb stetig auf 91, es sei denn, daß: (1) G (a; f,9)==g(a; f,91)=-oo oder = ---o, und mithin: (2), (a)- 0. Wir bezeichnen mit 58 die Menge aller Punkte von 91, in denen (1) gilt. Überall auf 93 gilt also auch (2). 1) W. Sierpiüski, Bull. Crae. 1910, 633. Verallgemeinerungen bei H. Blumberg, Proc. Nat. Acad. Am. 2 (1916), 646. ~) Wegen einer späteren Anwendung bemerken wir, daß: (o,(0)==l, also 4+(0w(0).

224 Die unstetigen Funktionen. Sei nun a ein Punkt von (8~ - ) o. In jeder Umgebung U(a) liegt dann sowohl ein Punkt von 8, als von 30~ - 3. In jedem Punkte b von 8o~ 0- ist: G(b;f )=;,)=; g(b; f, ) <+ -, oder: G(b;,) -(b; f); f, -) - oo, jedenfalls also: (b) + o; auf eS aber gilt (2). Also ist in unserem Punkte a: c)2(a)=+ 0. Da dies in jedem Punkte von (S0~- - )~ gilt, so ist auf dem in 2o offenen Kerne R von (8~- S)0 (Kap. II, ~ 3, S. 71): (3) (s (a)C=0. Wir haben nun noch co auf s21 - zu berechnen. In jedem Punkte von 210~ —, um so mehr also in jedem von 21~- 5~ ist o1 oberhalb stetig auf Wo und daher auch auf o - 350. Also ist nach ~ 6, Satz I in jedem Punkte von %o - Qo0: (4) g (a; 0o, o -_ 0)= 0. Da aber ~f - 8~0 offen in 21~, so ist offenbar: g (a; c,, 20 - 80) g (a; 2 1o), so daß (4) für jeden Punkt von ~10 - 53 ergibt: (5) g(a;, ~)= 0. Da aber g (a; co, [~) unterhalb stetig auf 1~ ist (Kap. II, ~ 11, Satz II), so gilt (5) auch in allen Häufungspunkten von 9 - S30, d. h. auf ganz (~0 - 23)0. Gehört a nicht zu (2e - 53)o, so gibt es eine Umgebung 11(a) von a in o~, die < V3~. Weil der Punkt a nicht zu dem in 21~ offenen Kern k von (80 - 3)o gehört, liegen in jeder Umgebung von a Punkte von 3~, die nicht zu (03 - 58)~ gehören. Sei b ein solcher. Es gibt eine Umgebung U (b), die zu S3~- - fremd. Dann ist 1U(a) * U (b) <, und mithin gilt (2) in allen Punkten von U(a). (b), und daher ist: (6) C2(b)=O. In jeder Umgebung von a liegt also ein Punkt b, in dem (6) gilt, also gilt wieder (5). Da nun (5) überall auf 2~1 - gilt, so ist auf 2~ -: (7) o3 (a)= )c(a; o, 210) ==G (a; 2,, ~10). Durch (3) und (7) ist 03 auf ganz 210 gegeben. Da 2~0- $ abgeschlossen, und G(a; o2, 2~0) oberhalb stetig auf 21o, folgt (Kap. II, ~ 9, Satz IV) sofort, daß auch co3 oberhalb stetig auf ~10, und Satz VI ist bewiesen. Satz VII. Ist die Funlktion f punktweise unstetig auf W, und hat sie in keinem Punkte von 21 einen unendlichen Grenzwert auf 9[1), so ist auf ganz ~0: cok (a)= - (a) (k = 2, 3...). D) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9.: 1 1 für a + O und +-i (n1, 2,..), aj C\ f(a)== +-oo für a==O, n+-1 für a==- (n ==, 2,... n

Kap. III, ~ 7. Verallgemeinerungen. 225 Es genügt, den Beweis für k =2 zu führen. Da f punktweise unstetig auf '[, liegen die Punkte, in denen (o (a)= ist, dicht in 91 und mithin in 2~; also ist in jedem Punkte von f(0: (0) g (a;, ~2) = 0. Da co oberhalb stetig auf 92( (~ 2, Satz XII), so ist: (00) G (a; 1, t~) = c (a). Auts (0) und (00) folgt: Zo () = ( (a; o~, ar~) = -% (a), und Satz VII ist bewiesen. Satz VIII. Ist fpunktweise unstetig,) auf 21, und ist die Menge (E aller Punkte, in denen, =-+-oo ist, nirgends dicht in 9(02), so ist auf ganz l(:9 Cak (a) = % (a) (k = 3, 4,...) Es genügt, den Beweis für k - 3 zu führen. Nach Satz V ist ou oberhalb stetig auf 9(o: (t) G (a; c,,o~) — o, (a). Die beim Beweise von Satz VI mit t bezeichnete Menge ist hier leer; denn andernfalls wäre in ihr o~ - S dicht, und da in jedem Punkte von 0o - +o = - oo ist, wäre fk nicht nirgends dicht in 92~. Da! leer, gilt, wie beim Beweise von Satz VI gezeigt, in jedem Punkte von 9[0: (tt) g (a; o, o)=. Aus (t) und (-t) aber folgt: Co, (a) = co (a; 2 n1~) == Co" (a), und Satz VIII ist bewiesen. Dann ist: 10 für a+ 4 1 für a ----. und mithin: wC(0)- 0; ~(0)=:1. 1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden, wie aus Fußn. 2), S. 223 hervorgeht. a) Auch diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9,: n für a — + (m, n teilerfremde natürliche Zahlen), f (a) = - 0 für irrationales a, 0 für a =-0. Dann ist: +(a 0 oo fiür rationales a,,1 ( \) o für irrationales a. Also: o (a) C=o- 0, oa (a ) = 0 fü r alle a. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 15

226 Die unstetigen Funktionen. Satz IX1). Ist f eine Funktion auf 9I2, deren Schwankung.funktion: (c, (a) == (a; f, 1) endlich ist2) auf s20, so ist:, (a)- %o (a) (k- 3, 4,...). In der Tat, da co% endlich ist, so ist nach ~ 2, Satz XII w2 oberhalb stetig auf 20~, so daß weiter geschlossen werden kann, wie beim Beweise von Satz VIII, Satz X. Ist f eine beliebige Funktion auf ^9, so ist auf ganz 'X": WOk (a) (a) (k =- 4, 5,...). Es genügt, den Beweis für k -- 4 zu führen. Nach Satz VI ist (Lh oberhalb stetig auf W90: (*) ( -(a0; (%>, 0)_- (, %(a). Wir ersetzen im Beweise von Satz VI f durch üo, verstehen demgemäß unter s die Menge aller Punkte von 21~, in denen: (**) G (c;' o),, o) -_ g (a; ~, '~t~) = + 0c, und bezeichnen wieder mit Si den in 219 offenen Kern von (33o - 3)o. Wie der Beweis von Satz VI lehrt, gilt auf 21~ - 3 die an Stelle von (5) tretende Beziehung: (***) g (a; C3y, ~)=)o0. Aus (*) und (***) aber folgt für alle Punkte von o1- 31: (***) 04 (a)) ~o (a; (o, ~2) - 3 (a). Auf R kann co0 nur die Werte 0 und -4+ c annehmen. Denn wäre in einem Punkte a von 3: o < o, (a) <+ oo, so wäre nach ~ 2, Satz XII o, in a oberhalb stetig auf 210, es gäbe also eine Umgebung 11(a)., in der co, < - o00, in U(a) läge daher kein Punkt von 93, daher auch kein Punkt von B~0, was unmöglich, da a zu 3 gehört. Sei nun 2 die Menge aller Punkte von 3?, in denen w,= 0. Wir behaupten: es ist e und somit auch o~ nirgends dicht in S. In der Tat, andernfalls gäbe es eine'offene Menge q3, so daß 131 nicht leer und V dicht in (3. In jedem Punkte von ( S3 wäre dann. g(a; wco,0~)=_ 0, in (3 läge daher kein Punkt von 8, daher auch kein Punkt von 8~o, entgegen der Definition von fl, der zufolge 1<( ~. Man erkennt nun augenblicklich, daß: 2=+4-C00 auf eoS; co —0 auf 3 —5~g, woraus sofort weiter folgt:, =+ -- O auf 0~; 3= 0 auf ~ — O~. Es gilt also (***) auch in allen Punkten von 3, mithin auf ganz 1~9, und Satz X ist bewiesen. Eine Verallgemeinerung der zu einer Funktion f auf 2 gehörigen Schwankungsfunktion c (a; f, 21) erhalten wir, indem wir an die Begriffs1) W. Sierpifiski, a. a. 0. 2) Es genügt nicht, daß f selbst endlich sei auf 92, wie aus Fußn. 2), S. 223 hervorgeht.

Kap. III, ~ 7. Verallgemeinerungen. 227 bildungen von Kap. II, ~ 12 anknüpfen. Sind G* (a; f, 9), g* (a; f, 1) obere nnd untere Schranke von f auf %9 bei Vernachlässigung von E-Mengen, so bezeichnnn wir die Differenz: co* (a; f, 9)- G* (a; f, ) - g* (a; f, A) als die Schwankung von f in a auf 9i bei Vernachlässigung von E-Mengen. Dadurch ist co* (a; f, 91) definiert in allen Punkten von 9S~, ausgenommen die, in denen: G* (a; f,91)-=g*(a; f, )) +oo oder =-oo: In dem Falle setzen wir: o* (a; f, ) = 0. Dann gilt: Satz Xl. Danmit im Punkte a von 91: o*(a; f,)== sei, ist notwendig und hinreichend, daß f stetig sei in a auf 91 bei Vernachlässigung von E-Mengen. Die Funktion f heißt punktweise unstetig auf 91 bei Vernachlässigung von E-Mengen, wenn die Menge aller Punkte von 91, in denen f stetig ist auf 92 bei Vernachlässigung von E-Mengen, dicht in 91 ist. In Analogie zu Kap. II, ~ 12, Satz VII gilt dann: Satz XII. Ist f auf der separablen Menge S9 punktweise unstetig bei Vernachlässigung von E-Mengen, so gibt es eine auf W punktweise unstetige Funktion, von der sich f nur in einer EMenge unterscheidet. In der Tat, wir definieren eine Funktion f*(a) durch die Festsetzung: In jedem Punkte von 9, in dem: * (a; f, 9) < f(a) < G* (a; f,1) ist, sei: f* (a) = f (a). In allen anderen Punkten von 91 habe f* (a) einen beliebigen, der Ungleichung (0) g* (a; f,9) f* (a) < G* (a; f, 9) genügenden Wert. Es genügt also f* (a) auf ganz 91 der Ungleichung (0) und unterscheidet sich (Kap. II, ~ 12, Satz V) von f(a) nur in einer E-Menge. Wir haben also nur mehr zu zeigen, daß f* (a) auf 9 punktweise unstetig ist. Setzen wir zur Abkürzung: g* (a) _ g* (a; f, s); 6;* (a) = G* (a; f, 1), so folgt alus (0): (00) g (a; g*, ) < g (a; f*, ) < G (a; f*, 9) ~G (a; G*, ). Da g* (a) unterhalb, G* (a) oberhalb stetig ist auf S9 (Kap. II, ~ 12, Satz III), so ist (00) gleichbedeutend mit (Kap. II, ~ 8, Satz I): g* (a) g (a; f*, ) G (a; f*, ) < G* (a), woraus sofort folgt: o (a; f*, )< *(a; f, 9). Aus: co*(a; f, )=-0 folgt also: w (a; f*, ) 0. 15*

228 Die unstetigen Funktionen. In jedem Punkte, in dem f stetig ist auf 9 bei Vernachlässigung von E-Mengen, ist also (nach.Satz XI und ~ 2, Satz III) f* stetig auf At. Also ist f* punktweise unstetig auf 9X, und Satz XII ist bewiesen. Ganz wie Satz XII von ~ 2 beweist man: Satz XIII. Es ist o*(a;f, 9) oberhalb stetig auf W0 in jedem Punkte von 9(~, in dem nicht: G* (a; f, 9)= g*(a; f,9C) )=-oo oder =-oo. Ganz ebenso wie Satz II von ~ 4 beweist man: Satz XIV. Ist f auf 9( beschränkt und punktweise unstetig bei Vernachlässigung von E-Mengen, so ist für jedes q>0 die Menge aller Punkte von 1(, in denen: (t) 0* (a; f, W)_q, nirgends dicht in 91. In Analogie zu Satz III und IV von ~ 4 gelten nun die beiden Sätze: Satz XV. Ist f auf f punktweise unstetig bei Vernachlässigung von E-Mengen, so ist die Menge 23 aller Punkte von 9/, in denen f auf 9t unstetig ist bei Vernachlässigung von E-Mengen, von erster Kategorie in lt. Satz XVI. Ist 9t relativ-vollständig, und ist für jedes q>O die Menge aller Punkte von 2l, in denen (t) gilt, von erster Kategorie in W9, so ist f auf 9f punktweise unstetig bei Vernachlässigung von E-Mengen. Bei Funktionen einer reellen Veränderlichen kann auch e i n s e i t i g e punktweise Unstetigkeit in Betracht gezogen werden. Ist St Punktmenge im i, so heißt f rechtsseitig (linksseitig) punktweise unstetig auf 21, wenn die Menge aller Punkte von W9, in denen f rechtsseitig (linksseitig) stetig auf 91 ist, dicht ist in 91. Es kann f rechtsseitig punktweise unstetig und dabei total-unstetig auf X9 sein'). Hingegen gilt: Satz XVII. Jede in einem Intervalle des 8l, rechtsseitig (linksseitig) punktweise unstetige Funktion ist in diesem Intervalle auch punktweise unstetig. In der Tat, dies ist eine unmittelbare Folgerung aus ~ 4, Satz XII. An Stelle von ~ 6, Satz I tritt der ganz analog beweisbare Satz: Satz XVIlI. Ist f rechtsseitig oberhalb stetig auf der Punktmenge 9 des 91, so hat die rechtsseitige Schwankungsfunktion: ot+ (a) = — o+ (a; f, W) in jedem Punkte von 91+, in dem: g+ (a; f,9)> — 0, die rechtsseitige untere Schranke 0: g+ (a; o+, 9/)-=0. 1) In der Tat, ist 9- 9191 dicht in 9 (wie dies bei jeder nirgends dichten perfekten Punktmenge des 9St zutrifft), so ist jede Funktion auf 9 rechtsseitig punktweise unstetig.

Kap. III, ~ 7. Verallgemeinerungen. 229 An Stelle von ~ 6, Satz II tritt: Satz XIX, Ist 9? eine linksseitig abgeschlossene Punktmenge des!, und ist f rechtsseitig oberhalb stetig auf r, so ist f rechtsseitig') punktweise unstetig auf 91. Der Beweis folgt unmittelbar aus der Tatsache, daß (bei beschränktem f) co+ (a; f, 9) rechtsseitig oberhalb stetig (~ 2, Satz XIV), und aus Kap. II, ~ 13, Satz IX. 1) Es kann (auch wenn 91 abgeschiossen ist) nicht behauptet werden, daß ' punktweise unstetig auf A9 ist. Beispiel: Sei 91 eine nirgends dichte perfekte Punktmenge des:, und sei f/ 1 auf 9l1, und f-0 auf 9(-. Dann ist f rechtsseitig oberhalb stetig auf 91, aber total-unstetig auf 91. Dios scheint in Widerspruch zu stehen mit einer Bemerkung von W. H. Young, Quart. Jomrn. 1908, 263.

Viertes KKapitel. Funktionenfolgen. ~ 1. Maximal" und Minimalfunktionen. Sei auf der Punktmenge f eine unendliche Folge von Funktionen:!r,..., f.,..o gegeben; wie bisher bezeichnen wir sie kurz mit {f;}. Die Folge: fk, fk+l -.. *+, {... bezeichnen wir als die k-te Restfolge {fv}1K von f;,; die endliche Folge: fkt, fk -1+ *., fk - werde bezeichnet mit {f,}k- l Eine Zahl p, die so beschaffen ist, daß: f, (a) < p für alle a von %' und alle v, heißt eine Oberzahl (majorante Zahl) von {{,} auf 'r, und analog werden die Oberzahlen für {fv}k und {f,,}~ definiert. Eine Funktion F(a), die so beschaffen ist, daß: f (a) F(a) für alle a von s2 und alle v, heißt eine Oberfunktion (majorante Funktion) von {f;}, und analog werden die Oberfunktionen von {f'}, und Ift}zC+l definiert. Ganz entsprechend sind die Definitionen von Unterzahl (minorante Zahl) und Unterfunktion (minorante Funktion) einer Funktionenfolge. Eine Funktionenfolge heißt nach oben (nach unten) beschränkt auf lt, wenn sie eine endliche Oberzahl (Unterzahl) auf 9s besitzt, oder - was dasselbe heißt - wenn sie eine nach oben beschränkte Oberfunktion (bzw. eine nach unten beschränkte Unterfunktion) besitzt. Sie heißt beschränkt auf X2, wenn sie sowohl nach oben

Kap. IV, ~ 1. Maxiinal- und Minimalfunktionen. 231 als nach unten beschränkt ist auf 9/. Eine Funktionenfolge kann für jedes a von 91 beschränkt sein, ohne auf 91 beschränkt zu seinl). Diejenige Funktion auf X9, die in jedem Punkte a von 21 gleich ist der oberen (unteren) Schranke der Folge {f' (a)}, nennen wir die obere (untere) Schrankenfunktion von {f,}. Die durch f(a) = lim f,. (a); '(a) = lim f;, (a) definierten Funktionen nennen wir obere und untere G renzfu nktion von {f,). Jeder Punkt von 91, in dem f,,} konvergiert, d, h. in dem im f, (a)- lim f, (a) lim f (a) li, (a), I0= (o;,;,~ ' ~-r=- ~ heißt ein Konvergenzpunkt, jeder andere ein Oszillationspunkt von {f4}. Ist eine Folge in, jedem Punkte von 1 konvergent, so heißt sie konvergent auf 21. Die durch f'(a) = lim f;, (a) = 00 definierte Funktion heißt dann die Grenzfunktion von (fj). Wenden wir auf sämtliche Funktionen einer Folge die Schränkungstransformation an, so geht sie in eine beschränkte Folge über Aus Kap. II, ~ 1, Satz, II, III entnimmt man sofort: Satz I. Geht durch die Schränkungstransformation Üf,}] über in {fJ}, so gehen dabei obere und untere Schrankenfunktion und Grenzfunktion von {f,} über in obere und untere Schrankenfunktion bzw. Grenzfunktion von {f}. Satz II. Geht durch die Schränkungstransformation {bt,} über in {/'}, so haben {f~} und {f*} dieselben Konvergenzund Oszillationspunkte. Sei nun a ein Punkt von 1o0. Zu jeder gegen a konvergierenden Folge {a, aus 21: lira a, = a, und jeder ins Unendliche wachsenden Indizesfolge {%}: lim Vr = - 00 denken wir uns nun gebildet: lim f, (a,) - v. B) Beispiel: Sämtliche f;, von {fA,} seien dieselbe, auf 91 endliche, aber nicht beschränkte Funktion.

232 Funktionenfolgen. Die obere Schranke aller dieser v bezeichnen wir mit T'(a;{J,}, v), und nennen die so auf 9t0 definierte Funktion die Maximalfunktion von {f,} auf 911). Ganz analog ist die Definition der Minimalfunktion y (a; {f,},) als untere Schranke aller Werte: lirm f~ (a )= w (lirm a = a; lim v, = - - c ). n oo' -n -=o n= Oo Aus dieser Definition ergibt sich unmittelbar: Satz III. Ist Q8-<9/ und a Punkt von 23~, so ist: F(a; {}', $3) ~F r(a; {f )}, 9);, (a; {,}, ) } y (a; {tf;,, 9(). Aus Kap. II, ~ 1, Satz I und II folgt weiter sofort: Satz IV. Geht durch die Schränkungstransformation {fü} über in {f~}, so auch rin (a;{},) in (a;{},) und y(a;{f,},9f) in y(a;{f~},4). Maximal- und Minimalfunktion gewinnen sehr an Anschaulichkeit durch folgende Betrachtungsweise2): Wir bilden aus dem zugrunde gelegten metrischen Raume S9 einen neuen Raum 91, dessen Punkte die Paare [a,z]3) aus einem beliebigen Punkte a von St und einer beliebigen (endlichen) reellen Zahl z seien, wobei der Punkt a von 91 als identisch mit dem Punkte [a,0] von 9 betrachtet werde4), in Zeichen: (*) a= [a,0]. Wir machen den Raum 91 zu einem metrischen durch die Festsetzung: der Abstand der zwei Punkte [a,z] und [a',z'] von 9: sei gegeben durch: (* *) r ([a, z], [a', z']) = Vr (a,a')2 (z - z') Aus (*) und (**) folgt dann: (***) lim[a,,,z,j]a, wenn lima =a; lim ii= 0. Ist nun 91 irgendeine Punktmenge aus N9, so werde (bei gegebenem z) unter 9(z) die Menge aller Punkte [a,z] von 1 ver1) Vgl. zu dieser Begriffsbildung C. A. Dell'Agnola, Atti Ven. 69 (1909/10), 151. 2) Sie dürfte (für Folgen von Funktionen einer reellen Veränderlichen) zuerst von P. Du Bois-Reymond angewendet worden sein: J. f. Math. 100 (1887), 331. 8) Eine Verwechslung dieses Symbols mit dem der abgeschlossenen Intervalle ist nicht zu befürchten. 4) In der Sprache der analytischen Geometrie könnte man sagen: 91 ist die Ebene z ==0 von ~1.

Kap. IV, ~ 1. Maximal- und Minimalfunktionen. 233 standen, für die a zu 91 gehört. Wir können nun eine auf 9l gegebene Folge {f"} zur Darstellung bringen als eine Funktion f. auf der Punktmenge: von Si, indem wir festsetzen: Ist a Punkt von 92, so habe f im Punkte la, -^ von i? den Wert t, (a). Aus (***) folgt dann unmittelbar: Satz V. In jedem Punkte a von 9o~ stimmen Maximalund Minimalfunktion von {/,} auf 9 überein mit oberer und unterer Schrankenfunktion von f auf 91:?(a; {X}, 9)-G (a; f,? ); y (a; {fx}, ~,)= g (a; f: 2) Daraus fließen nun leicht die wesentlichen Eigenschaften von Maximal- und Minimalfunktion: Satz VI. Die Zahlen y(a; {fv},) und F(a; {f;.}, ) sind charakterisiert durch die beiden Eigenschaften: 1. Ist qr(a; {t}), ) (oder p <y(a; {f}, ) ), so gibt es eine Umgebung i1 von a in 9t, und einen Index YO, so daß: (0) f (a')< q (bzw.;, (a')> p) für alle a' von 1 und alle, ~ vi. 2. Ist q<r(a;{f;}),) (oder p> y(a; {f}, )), so gibt es zu jedem Index v0 in jeder Umgebung 1I von a in 9 mindestens einen Punkt a' und einen Index v v, so daß: (00) f (a') q (bzw. f', (a') p). In der Tat, ist q > I(a; {})}, so gibt es wegen Satz V nach Kap. II, ~ 2, Satz VII eine Umgebung 11(a) von a in X9, so daß: (t) G(f, U (a)) <. Es gibt nun ein >0, so daß für die Umgebung U (a; g) von a in 9 gilt: U1 (a; 9) < 1 (a). Ist nun a' Punkt von W9 und: r (a', a'>^ >O

234 Funktionenfolgen. so gehört der Punkt [a', 1 für v > z zu U(a;), mithin zu i(a); d. h. wegen (t): für jeden zur Umgebung 11 (a; -e) von a in l gehörigen Punkt a' gilt: f (a')< q für,>o. Damit ist (0) nachgewiesen. Sei sodann: (t+)" q < Fr(a; {rf}, }), sei v, ein beliebiger Index und U (a) eine beliebige Umgebung von a in t. Die Menge aller Punkte [a', - von f, für die a' zu l (a) gehört und v >'o ist, bildet dann eine Umgebung U (a) von a in 9. Da nach Satz V (-t-) gleichbedeutend ist mit: <G( (a; f, ), gibt es also nach Kap. II, ~ 2, Satz VII in U (a) einen Punkt a', - in dem f> q, d. h. es gibt in l (a) einen Punkt a' und dazu einen Index v - i,. so daß (00) gilt. Damit ist Satz VI bewiesen. Satz VII. Ist a Punkt von I9~, so gibt es in 2w zwei Punktfolgen {a;,}, {a"} und dazu zwei Indizesfolgen {,/}, }, so daß: lim a =a; linm = - o0; lim /t; (a) = F(a; {;f}, 9); 'din: =- c3a;:, *,, f lira= C%,. J lim ac = a; lin ~ - -4r; lr t;C (Ih u) 2 y (a; {f}, sl) n_^r n= oo n= x n In der Tat, wegen (**) (S. 232) und Satz V ist dies gleichbedeutend mit der Behauptung: Es gibt in 9 zwei Punktfolgen {,a } {lan' }, so daß: lim n, -,- lim f - (a n.. L "n a- L 'n/ limn|a -J-a; liaf([, $,Ä), g(a;;9t). n=o L 3'n n- - Dies aber ist der Fall nach Kap. II, ~ 2, Satz VI. Satz VIII. In jedem Punkte von 90 ist: (1) y (a; {f,}, 91) ~ g(a;lim f,,,) G(a; lim f,,, 2f) ~ I'(a; {f;,}, )....oo..p — oo

Kap. IV, ~ 1. Maximal- und Minimalfunktionen. s In jedem Punkte von ' ist: y (a; {f~}, 9) < g (a; lim f,;, I) _ lim f, (a) < lim f, (a) _ G (a; lim ft, 9) < '(a; {f,}, ). Sei in der Tat a ein Punkt von 9~, und q irgendeine Zahl: (*) >r(a;{f, ) Nach Satz VI gibt es eine Umgebung U von a in f und einen Index >O so daß (0) gilt. Für alle a' von UI ist dann aber: lim t, (a') ~ q. C'=oC Also ist: G(limf, U) < q, and mithin auch: G (a; nf;, t) < q. Da dies für jedes der Ungleichung (*) genügende q zutrifft, so ist also auch: G (a; lim f', 9I) < r(a; {/t}, 9s), V= 00 womit die eine Hälfte von (1) bewiesen ist. Analog beweist man die andere. Ist a insbesondere Punkt von s, so ist nach Kap. II, ~ 2, Satz II: g (a; lim f,, s2) < liin f. ( a); (a) G (a; lim f, 9, so daß (2) aus (1) folgt. Damit ist Satz VIII bewiesen. In einem isolierten Punkte von %l ist offenbar: y (a; {ft}, l) = lim f; (a); I(a; {f,},? )-== li / (a)...0, 00 Endlich folgern wir aus Satz V und Kap. II, ~ 11, Satz II sofort: Satz IX.. Für jede Funktionenfolge {f,,} ist die Maximalfunktion '(a;{f,},Q2) oberhalb stetig, die Minimalfunktion y(a;{fu},I) unterhalb stetig auf ~f0. So wie wir in Kap. II neben den Schrankenfunktionen auch die reduzierten Schrankenfunktionen eingeführt haben (~ 11, S. 168), so können wir hier auch reduzierte Maximal- und Minimalfunktion von {f)} ein

236 Funktionenfolgen. führen1). Wir definieren: Sei a ein Punkt von 9.t und {a,} eine Punktfolge aus W mit: lim a =a; a~ = a fir alle n, n= 0 und sei {v,} eine Indizesfolge mit: lim V,n = + -. = C00 Wir!denken uns gebildet: lim f, (a,,)= v, n=o00 und bezeichnen mit I' (a; {/f.}, l) die obere Schranke aller dieser Größen v. Dadurch ist F' (a; 9f}), 1) als Funktion von a definiertauf 9'1. Sie heißt die reduzierte Maximalfunktion von {f} auf 1. Analog definiert man die reduzierte Minimalfunktion y' (a;{f,},91). Aus der Definition folgen sofort die Sätze: SatzX. Geht durch die Schränkungstransformation {f,} über in {t*.}, so auch r'(a;{f},) ) in " (a;{f*}, ) und '(a;{f }, S) in y(a; {f} ). Satz XI. In jedem Punkte von 91 ist: (0) 7 (a; {fl,} 1) < / (a; {tf}, 91) < 1' (a; {f}, ) (a; {f}, 9); in jedem Punkte von lC1 —O W1 ist: (00) y'(a; {f}, )=y (a;{),; f (a; {f,}, ) (a;{f,},). Satz XII. Die charakteristischen Eigenschaften von Satz VI gelten auch für '(a; {f,}, 9), y (a; {f2,}, 9) in jedem Punkte a von 91, wenn die Umgebungen 11 von a in 91 durch die reduzierten U:mgebungen 11' von a in 9 ersetzt werden. In der Tat, ist a Punkt von 9l1- S1, so gilt dies wegen (00) von Satz XI. Ist a Punkt von 9121, so bezeichne man mit 91' die Menge, die aus 91 durch Weglassen von a entsteht, und hat nach (00) von Satz XI: / (a; {i}, Y) =y (a; ) f,}, D'); ' (a; {f,}, ') = r(a; {f,}, 'V). Indem man nun auf 91' Satz VI anwendet, erhält man Satz XII. Ebenso erhält man aus Satz VII: Satz XIII. Ist a Punkt aus 921, so gibt es in 91 zwei Punktfolgen {an} {a'}, und zwei Indizesfolgen {v}, {Vn}, so daß: liman' - a; li + co li f," (a') - F (a; {f}, (); f=to n= as,, =oo ~_= a< niico yt=oo 8 lim a' a; a= +a; lim'-+ -c; lim fn, (a'") (a; {f } 9). Auf dieselbe Weise wird aus (1) von Satz VIII3): ~) W. H. Young, Lond. Proc. (2) 6 (1908), 29, 298. Dort wird "' (a; {f}, 9) als ~peak function", y' (a;{f,}, 9) als ~chasm function" bezeichnet. 2) Die zu (2) von Satz VIII analoge Ungleichung: ' (a; {f,}, 9) 5 lihm f. (a) < lim fV (a) ~ 1 (a; {f,,}, 91) Y= 00 Y= 0o

Kap. IV, ~ 1. Maximal- und Minimalfunktionen. 237 Satz XI1. In jedem Punkte von 91 ist: (a; {f,,} f, ) ( lim f,, ) G' (a; 1m, 91) F" (a; {f}, ). Endlich folgern wir noch aus Satz IX: Satz XV. Für jede Funktionenfolge {f~} ist F'(a; {f,}, 9) oberhalb stetig, '(a;{ft},9}) unterhalb stetig auf 9p[. Sei in der Tat a, ein Punkt von 91, und sei 9'- =, wenn a, nicht in 91, hingegen sei W', wenn a, in 91, die aus 9 durch Weglassen von a, entstehende Menge. Nach Satz XI ist: (U) / (a1; {/"}, 91) 2-' (a,; {f,"}, 91'); 1r (a,; {f,}, ) = r (a,; {ft}, 9'), während fir alle a + al von 9(1: (tt) 2; (a; {f,}, 9)) >y (a '); ); (a; {f,.}, t)= < (a; {f}, '). Da (9')~=- 10, ist nach Satz IX F (a; {f,}, 1') oberhalb, y, (a; {f,}, Sr') unterhalb stetig auf 91~, mithin auch auf 91t. Aus (t) und (tt) folgt dann aber sofort, daß in a, auch F' (a;.{f}, 91) oberhalb, 2' (a; {f,}, 9)) unterhalb stetig ist auf 91', womit Satz XV bewiesen ist. In Ergänzung von Satz XI zeigen wir noch: Satz XVI. Sind im Punkte a von 9/t19 alle f, unterhalb stetig auf 91, so ist: (1) 1" (a; {f,}, 9)- F(a; {f,.}, 9); sind sie oberhalb stetig auf 9s, so ist: ('2) t, (a; {ff}, )=- (a; {f.}, t). Vermöge der Schränkungstransformation (Satz IV und Satz X) können wir {f,} als beschränkt annehmen. Angenommen (1) gelte nicht. Wegen Satz XI ist dann: r(a; {f,},)> r' (a; {f},), und es gibt daher nach Satz VII eine Punktfolge {a,} in 9 und eine Indizesfolge {v,}, so daß: (3) lim a, = a; lim n = + oo; lim f, (a,) > r' (a; (f,}, W). Nach Definition von r' muß also sein: a"= a für unendliche viele a. Indem wi,'.nötigenfalls von {a,} zu einer Teilfolge übergehen, können wir annehmen: a= a für alle n, und haben aus (3): (4) lim fn (a) > r' (a; {f,}, I). n-= gilt nicht allgemein. Wohl aber kann man (ganz ebenso wie in Kap. II, ~ 11, Satz VII bewiesen wurde) zeigen, daß - wenn 1SW1 separabel - diese Ungleichung überall auf 9W19 gilt, abgesehen von einer abz ählbaren Punktmenge.

238 Funktionenfolgen. Da a Punkt von 911 und alle fv. unterhalb stetig in a auf 9l, gibt es in 1 ein a = a, so daß: (5) ' X a) f^1K)!f ~('~5),r (a, a)<;. (a,') > fv (a) - Aus (3), (4), (5) aber folgt: lim all-a; a, + a; lim, —; li fv,^ (a) > I" (a; {f,,}, ), fl=-O n= oo ni=Zo im Widerspruch mit der Definition von 1'. Damit ist (1) bewiesen, und ebenso beweist man (2). In Satz XVI ist der Satz enthalten: Satz XVII. Sind im Punkte a von 9191 alle f, stetig auf 91, so gilt sowohl (1) als (2) von Satz XVI. Es sei noch bemerkt, daß, wenn die f, Funktionen einer reellen Veränderlichen sind, auch einseitige (reduzierte) Maximal- und Minimalfunktion von {fv} definiert werden können. Wir gehen darauf nicht ein'). ~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation. In Analogie zur Stetigkeitsdefinition einer Funktion (Kap. II, ~ 3, S. 122) definieren wir nun: Die auf WI gegebene Folge {f,} heißt im Punkte a. von 910 stetig konvergent auf 92, wenn für jede Punktfolge {a,} aus 91 und jede Indizesfolge {v.,} mit: (0) lim a = a und lim vy = - oo der Grenzwert lim f, (a,) existiert. Aus dieser Definition folgt sofort: fA: co Satz I. Geht {f} durch die Schränkungstransformation üfber in {fv}, so folgt aus der stetigen Konvergenz von {/4} in a auf 1 auch die von {f *} und umgekehrt. Satz II. Damit {/f} stetig konvergent sei in a auf 9, ist notwendig und hinreichend, daß: (1) r(a; {f},(: ()=y(a; {f,}, ),2)a Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, ist {f} stetig konvergent in a auf 9, so hat für alle (0) erfüllenden Folgen {an} {Vn} der Grenzwert lim/tr(a^) denselben Wert 1: n=n x (2). linm f,, (a). — 1. Denn angenommen es wäre: lim a' = a; lm v'- c; lim fy (a,)= -l; 1) Vgl. hieriüber W. H. Young a. a. O..2) Es könnte also die stetige Konvergenz auch durch Gleichung (1) definiert werden......

Kap. IV, ~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation. 239 lim al' —a; lim V + -c00; lim fa (a = ~ I, n = Oo 00= o oO so würden auch die Folgen: a( '1,, a an, a ", ', 'P2 - ' V 1' r 2' ', n... (0) erfüllen, ohne daß die Folge:, (a ), f, ( ), f ), (.2),..., f^ ( ), t,: (a),... einen Grenzwert besäße, was der Stetigkeit der Konvergenz widerspricht. Da nun aber (2) für alle (0) erfüllenden {a }, {v?} gilt, so ist zufolge der Definition von F und y: r(a; {g}, )=l-; y(a; {;,}, ) =, und (1) ist als notwendig erwiesen. Die Bedingung ist hinreich ). Den). nach Definition von F und y folgt aus (0): (3) y (a; {f.}, 9) (a) im ),,(a < F(a; { f}, ), n==< a=oo und mithin, wenn (1) erfüllt ist: lim/ ',, (at) =limn f;. (aj, d. h. es existiert der Grenzwert lim f., (a,), und es ist somit {t;} stetig konvergent in a auf 9X. "=C Satz III.2) Damit {f,} stetig konvergent sei auf 9 im Punkte a von 92, ist notwendig und hinreichend, daß {f,(a)} konvergent sei, und daß (4) r(a; {f}, W)= (a; {fv}, ) =lim;, (a). 5 == 00 Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, ist {f,, stetig konvergent in a auf I, so gilt nach Satz II jedenfalls (1). Nach Definition von F und y aber folgt aus (0) Ungleichung (3). Aus (1) und (3) aber folgt (4), indem man a,-a setzt für alle n. Die Bedingung ist hinreichend. Dies ist schon in Satz II enthalten. Ebenso leicht erkennt man: Satz IV. Damit {f,} im Punkte a von l~ stetig konvergent sei auf 2, ist notwendig und hinreichend, daß für x) Dies ist ein allgemeiner Grenzsatz. 2) Definiert man die stetige Konvergenz dnrch Gleichung (1) von Satz II, so sind Satz III und IV allgemeine Grenzsätze.

240 Funktionenfolgen. alle (0) erfüllenden {a,} und {,,)}: () lim;"" (aj) = ' (a; {(f,, f) = r (a; {f,}, Q). n= aO Ist insbesondere a Punkt von S9, so ist (t) gleichbedeutend mit: (tt) lim f;, (a)- lim f;, (a). Es folgt daraus unmittelbar, daß in einem isoli e r ten Punkte a von öl stetige Konvergenz von { f;} gleichbedeutend ist mit Konvergenz von {(,(a)}. Satz V. Damit die im Punkte a von 92 konvergente Folge {t;,} stetig konvergent sei in a auf W9, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem p: () P < lim/;, (a), und ebenso zu jedem q: > lim f;, (a), 1'=00 eine Umgebung U1 von a in f und einen Index v0 gebe, so daß: 4i7,3>S} für alle a' von U und alle vl>,. f (a') <q J - Die Bedingung ist notwendig. Angenommen etwa, es gäbe zu einem (*) erfüllenden p kein solches vo und keine solche Umgebung U. Dann gäbe es für jedes n in 1 (a; - einen Punkt at von St und einen Index v > n, so daß: f,;, (,.) (p < lim f, (a). Es wäre also auch: lirm t[; (a,) < lim f;, (a), n=:o v=-so im Widerspruche mit Satz IV. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen, sie sei erfüllt. Ist dann {a } eine Punktfolge aus 9/, {vy} eine Indizesfolge mit: lim == a; lim v = -- Co, n —o n= so liegen fast alle an in U, und für fast alle n ist v% >v, d. h. es ist: f. (an) > p; t; (a)n)< q für fast alle n, d. h. es ist: lim f~" (aj)=lim. f (a) H-=ao Y~==00

Kap. IV, ~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation. 241 und nach Satz IV ist die stetige Konvergenz von {f,,} in a auf 9Q bewiesen. Ist {ft} stetig konvergent in a auf 91, und ist der durch (t) von Satz IV gegebene Wert endlich, so wollen wir sagen, {f,} sei eigentlich stetig konvergent in a auf 9. Satz VI.1) Damit {f,} im Punkte a von 910 eigentlich stetig konvergent sei auf 91, ist notwendig und hinreichend, daß für jede Punktfolge {an} aus 9 mit lima,-=a die Beziehung bestehe: n=~ (*) lim (f,, (an,,)- f, (a))- O. =00, tn'= V=00, '==00 Die Bedingung ist notwendig. Angenomrhen in der Tat, sie sei nicht erfüllt. Dann gibt es eine gegen a konvergierende Punktfolge {a}, aus 92, ein e>0, und wenn no, vr beliebig gegeben sind, Indizes n, n', v, v, so daß:,n > - no, ' >' o, n - o, v; | f (a.~) - (an) I Es gibt dann also insbesondere Indizes ni, nv, i,, so daß: ni i, n' i, Vi i, V> i; | aut (Cnt ) f, (ans) | _. Es kann also die Folge f1,, (~.)J, f,, (~ ~), fr,,(~.), f,';(a-;)..., f,i (ani)) (3 ),, *. nicht eigentlich konvergent sein, und mithin kann nach Satz IV {f,} nicht eigentlich stetig konvergent sein in a auf 9. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Ist dann e> 0 beliebig gegeben, so gibt es zu jeder gegen a konvergierenden Folge {a,} aus 9 Indizes no und v0, so daß: Ifv(an,)- fv (,) < e für n>no, n'> n, n V>o, v' > o; ist also limv =+-oo, so gibt es ein i, so daß: n=co i fv(a,) -fn (a,) < e für n >, i '>, d.h. die Folge {f,"(a,)} ist eigentlich konvergent. Daraus folgt sofort die eigentliche stetige Konvergenz von {f,} in a auf 9S, und Satz VI.ist bewiesen. Satz VII. Damit {ff} im Punkte a von 9~o eigentlich stetig konvergent sei auf 9t, ist notwendig und hinreichend, 1) Satz VI ist ein allgemeiner Grenzsatz. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 16

242 Funktionenfolgen. daß es zu jedem e>O eine Umgebung 11 von a in f und einen Index vo gebe, so daß: (**) f, (a') - f, (a") 1 <e für alle a', a" von U und alle v'>v0, y"_ v Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie sei nicht erfüllt. Dann gibt es ein e >0, ferner zu jedem n zwei Indizes v>nv> n, und in U (a;) zwei Punkte a,, a" von S9 derart, daß: Ifv (an')-f^; ) I> e. Also ist für die gegen a konvergierende Folge:, a a a, a2 a,..... die Bedingung von Satz VI nicht erfüllt, und somit ist {fv} nicht eigentlich stetig konvergent in a auf X. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Ist {a"} eine Punktfolge aus 9X mit lima,=a, so gibt es ein no, so daß ai für n> no in 1 liegt. Wegen (**) gilt also: fv (ans) -- fle (e) < für n'> _n n, n"_ no, ' _ v, v" _v vo; das aber ist gleichbedeutend mit der Bedingung (*) von Satz VI. Damit ist Satz VII bewiesen. Satz VIII.1) Ist die Folge {f,} im Punkte a von % stetig konvergent auf 2f, so ist sowohl ihre obere als ihre untere Grenzfunktion f =lim fi; f== lim f,, stetig in a auf SC. Vermöge der Schränkungstransformation kann {f~}, und somit auch f und f als beschränkt vorausgesetzt werden. Angenommen, es wäre etwa f nicht stetig in a auf 91. Dann gäbe es in I eine Folge {a"} mit lima ==a, so daß die Folge {f(a.)} nicht konn= oo vergiert. Da f(a") ein Häufungswert der Folge {f (a,)} ( = 1, 2...) ist, gibt es ein v.>n, so daß: ____ (a)- f() I < ^. 1) Definiert man die stetige Konvergenz durch Gleichung (1) von Satz II, so sind Satz VIII und IX allgemeine Grenzsätze. Es sei noch besonders bemerkt, daß in Satz VIII die f, nicht als stetig in a auf 92 vorausgesetzt werden müssen.

Kap. IV, ~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation. 243 Dann ist jeder Häufungswert von {f(a,)} auch ein Häufungswert von {(f (a)}, so daß {fv.(a,)} ebenso wie {f(a,)} nicht konvergiert. Dies steht in Widerspruch zur vorausgesetzten stetigen Konvergenz von { f}, und Satz VIII ist bewiesen. Derselbe Beweis zeigt: Satz IX. Ist die Folge {f4} im Punkte a von 91 stetig konvergent auf t, so hat ihre obere und ihre untere Grenzfunktion denselben Grenzwert in a auf 59. Unter einschränkenden Voraussetzungen kann Satz VIII (und analog Satz IX) umgekehrt werden. Wir zeigen zunächst: Satz X.1) Ist im Punkte a von t die Grenzfunktion der monoton abnehmenden2) Folge {fv}: (*) f-=lim f"; fl _ fv V= 00 unterhalb2) stetig auf st, und sind unendlich viele f, oberhalb2) stetig in a auf 2f, so ist {(f} stetig konvergent in a auf i1. Beim Beweise können wir wieder {f}), und somit auch f als beschränkt annehmen. Es genügt zu zeigen: Für alle Folgen {a,} aus 5 und alle Indizesfolgen {v}, mit: limz a-=a; lim v, -- +o n = =00=o ist: (**) lim f". (a)- f(a). n = r0 Wegen (*) gibt es zu jedem e> 0 ein v, so daß: fi,(a)<f(aa)+e, und so daß fY oberhalb stetig in a; dann ist auch: fi (aj) < f(a) +- e für fast alle n. Wegen der Monotonie von {f}, ist daher auch: (***) f" (a,) < f(a) - - e für fast alle n. Weil f unterhalb stetig in a, ist: - f(a.)>f(a) - für fast alle n. Wegen der Monotonie von {fv} ist daher auch: (,**) f.n (f ) ff(a) - e für fast alle n. Aus (**) und (***) aber folgt (**), und Satz X ist bewiesen. 1) Satz X und XI und allgemeine Grenzsätze. 2) Für monoton wachsende Folgen {fy} gilt die Behauptung, wenn f oberhalb, und unendlich viele f, unterhalb stetig in a sind. 16*

244 Funktionenfolgen. Aus Satz X folgt nun sofort:. Satz XI. Ist im Punkte a von %I die Grenzfunktion der monotonen') Folge {~,} stetig auf 2f, und sind unendlich viele f, stetig') in a auf 2f, so ist {~,} stetig konvergent in a auf 9f. Wir wollen nun noch eine Verallgemeinerung des Begriffes der stetigen Konvergenz vornehmen. War {/f} stetig konvergent auf [im Punkte a von 9f, so galt (Satz IV) für alle Punktfolgen {a,} aus 2 und alle Indizesfolgen {V~} mit: lim a,,= - a; lim v:n = 4- o die Beziehung:!im f (a,))=lim f, (a). n == oo 0 Y == oo Wir definieren nun: Die Folge {/f} heißt oberhalb stetig (unterhalb stetig) oszillierend in a auf 91, wenn für alle (0) erfüllenden {a",}, {v,}: (00) lim fv (a,) < lim f, (a) [bzw. lim /f (a,,) linm f (a)]. n=oo C y^oo Ist die Folge {f}, sowohl oberhalb als unterhalb stetig oszillierend in a auf 9I, so heißt sie stetig oszillierend in a auf 9I. Satz XII2). Ist die Folge {f,} konvergent in a und stetig oszillierend in a auf 92, so ist sie stetilg konvergent in a auf ~2. In der Tat, dann ist lim f, (a) = lim f (a) lim t, (a), VJ =M 3 -- 00 und aus (00) folgt: 1) Folgende Beispiele (im 91,) zeigen, daß die einschränkenden Bedingungen nicht entbehrt werden können. 1. Beispiel: Sei f4=0 in (- oo, 0] und in +[, oo), f (-) ---1 und f,, linear in [0, j und in [-, ] (Figur 6). Dann ist lim f,- 0, alle f sind stetig, aber die Konvergenz ist nicht stetig im v= Co o 1 2 ov1 jT V Fig. 6. Fig. 7. Punkte 0. 2. Beispiel: Sei — =0 in (-oo, 0] und in [,+oo); f=l in (0, ) (Figur 7). Dann ist {f,} monoton und limra f = 0. Aber die Konvergenz ist nicht stetig im Punkte 0. 2) Die Sätze XI1 bis XVI sind allgemeine Grenzsätze.

Kap. IV, ~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation. 245 lim f, (a) == lim f, (a) = lim f, (a,) lim f, (a). n=-Co n= n n=o? V=00O Also ist {f,} stetig konvergent in a auf I. Satz XIII. Damit {f,} oberhalb stetig (unterhalb stetig) oszilliere in a auf 91, ist notwendig und hinreichend, daß: (000) lim f (a) = F(a; {f,}, 91) [bzw. limf (a)= (a; {fv}, ~O)]. Die Bedingung ist notwendig: in der Tat, da r(a; {f,}, 92) die obere Schranke aller lim f, (a,), folgt aus (00): n=i f11 r(a; {f,}, t) _ lim f (a). y= O> Aus ~ 1, Satz VIII aber folgt die umgekehrte Ungleiohung, womit (000) bewiesen ist. Die Bedingung ist hin r eic h e n d. In der Tat, ist sie erfüllt, so folgt aus der Definition von r(a; {fv}, 2) als der oberen Schranke aller lim' f, (a,) sofort (00). Damit ist Satz XIII bewiesen. = Co Nun beweisen wir in Verallgemeinerung von Satz VIII: Satz XIV. Ist die Folge {f,} in a oberhalb stetig') oszillierend au f S(, so ist ihre obere Grenzfunktion. f- lim f,, oberhalb stetig in a auf g2. Vermöge der Schränkungstransformation kann {f,} und somit auch f als b eschränkt vorausgesetzt werden. Angenommen, es wäre f nicht oberhalb stetig in a auf 92. Dann gäbe es in 91 eine Folge {a,}, so daß: (t) limn a, a; = ac lim f(a,) > f(a). ll- 00 $1= IM Zu jedem n gäbe es ein r">n, so daß: I f, (a,^) — f (a^) < - Dann aber wäre auch: _(t.f) Hlim f~, (a,) = lim f (a) > f(a),?n=oo 00 n==< entgegen der Annahme, {f,} sei oberhalb stetig oszillierend in a auf 91. Damit ist Satz XIV bewiesen. Wörtlich derselbe Beweis lehrt: Satz XV. Ist im Punkte a von S9211: (ttt) lim fv (a) > r' (; {f,}, 2), so ist die obere Grenzfunktion von {f,} oberhalb stetig in a auf 21). 1) Bei unterhalb stetig oszillierenden Folgen {fv} wird die untere Grenzfunktion unterhalb stetig. 2) Ist:{ 2) Istd: de e lim fu (a) < 7' (a; {,}, ), so wird die untere Grenzfunktion u n t e r h a lb stetig.

246 Funktionenfolgen. In der Tat, wir können in (t) alle a,~ = a annehmen. Dann aber folgt aus (tt): r' (a;;{fv}, t) > f (a) = lim f/, (a), Y= 00 im Widerspruch mit der Voraussetzung (ttt). Dadurch ist Satz XV bewiesen. Insbesondere erhalten wir aus Satz XV folgende Ergänzung zu Satz VIII: Satz XVI. Ist im Punkte a von S9M1 die Folge {f,} konvergent, und ist: r'(a; {f}, (a; {f}, )= lim f, (a), v=- 00 so ist sowohl die obere als die untere Grenzfunktion von {fs} stetig in a auf 2f. In der Tat, nach Satz XV ist f= lim f, oberhalb, f lim fJ unterhalb V=QO 'V=00 stetig in a auf W; im Punkte a aber ist nach Annahme: f (a) = f (a) - lim f (a). y= 00 Sind also p, q beliebige Zahlen: p < lim f, (a), q > lim f, (a) V= 00 Y= o und {an} eine beliebige Punktfolge aus 1 mit lim a" -a, so ist: n=oo (1) f(a,) <q, f(a,) > p für.fast alle n, und somit, wegen f f auch: (2) f(a,) >p; f (a,) <q für fast alle n. Aus (1) und (2) aber folgt: (3) l f (an) lim f v(a) f(a); lim f (a) = lim f, (a). n= 0o Y=oo n=oo0 vYoo Und da hierin {a,} eine beliebige Punktfolge aus W9 mit lim a,= a war, so n= 0oo besagt (3), daß f und f stetig sind in a auf 91, wie behauptet. ~ 3. Gleichmäßige Konvergenz. Der in ~ 2 behandelte Begriff der stetigen Konvergenz ist nur ein Spezialfall des viel bekannteren Begriffes der gleichmäßigen Konvergenz. Wir gelangen zu diesem Begriffe, indem wir, in Anlehnung an die in ~ 2, Satz VI ausgesprochene Eigenschaft der stetigen Konvergenz, nun die Definition aufstellen: Die auf % gegebene Folge {f,} heißt1) eigentlich gleichmäßig konvergent auf S im Punkte a von 210, wenn für jede Punktfolge {a"} aus 1) Dieser Begriff wurde wohl zuerst eingeführt von Weierstraß 1880 (Werke 2, 203). Sodann findet er sich bei P. Du Bois-Reymond, J. f. Math. 100 (1887), 335 (wo er als "stetige Konvergenz im Punkte a" bezeichnet wird, so daß unsere Terminologie nicht mit der von Du Bois-Reymond übereinstimmt). Vgl. hierzu A. Pringsheim, Münch. Ber. 1919, 419.

Kap. IV, ~ 3. Gleichmäßige Konvergenz. 247 9 mit lima =a die Beziehung besteht: n =oo * }=o, v' =c oder was dasselbe heißt, wenn es zu jeder Folge {a,} aus a mit lim a ==a und zu jedem e > 0 einen Index no und einen Index v gibt, so daß: (**) Ift'(n)-f (an)[<e für n no, v v, '> v. Ist insbesondere a Punkt von 2f, so können wir in (**) setzen: a,=-a für alle n, und ersehen: Eine im Punkte a von f eigentlich gleichmäßig auf f konvergente Folge {f,} ist im Punkte a eigentlich konvergent. Nun definieren wir allgemein: Die Folge {f}, heißt gleichmäßig konvergent in a auf 2f, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformation entstehende Folge {f*} eigentlich gleichmäßig konvergent ist in a auf 2. Auch hier gilt, wenn a zu 9 gehört: eine in a auf 29 gleichmäßig konvergente Folge {f,} ist im Punkte a konvergent. - In einem isolierten Punkte von 9f ist gleichmäßige Konvergenz von {f,,} gleichbedeutend mit Konvergenz von {f, (a)}. In Analogie zu ~ 2, Satz VII steht der Satz: Satz I. Damit {f,} im Punkte a von 9~ eigentlich gleichmäßig konvergent sei auf 92, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e> 0 eine Umgebung tU von a in 9 und einen Index v0 gibt, so daß: (**) |fa' (a) - fi (a') < für alle a' von 11 und alle v'~v, vvO. Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie sei nicht erfüllt. Dann gibt es ein e> 0, ferner zu jedem n zwei Indizes v', n, >> n und in 11 (a; ) einen Punkt a, von fO, so daß if (an) - (a)i e. Für die Folge {a,} ist dann Bedingung (**) nicht erfüllt, und somit ist {f,} nicht eigentlich gleichmäßig konvergent in a auf 9t. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Ist {a} eine Punktfolge aus S mit lima,= —a, so ~3= 0o gibt es ein n, so daß a, für n > no in liegt. Wegen (***) gilt aber dann (**), d. h. es ist {f,} eigentlich gleichmäßig konvergent in a auf i9. Damit ist Satz I bewiesen.

248 Funktionenfolgen. Wir zeigen nun, wie angekündigt, daß die stetige Konvergenz ein Spezialfall der gleichmäßigen ist. Satz II). Ist die Folge {f,} stetig konvergent in a auf 92, so ist sie auch gleichmäßig konvergent in a auf 91. In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation, genügt es, dies für den Fall zu beweisen, daß {f } beschränkt ist. Dann aber ergibt es sich daraus, daß aus Bedingung (*) von ~ 2, Satz VI unsre obige Bedingung (*) der eigentlich gleichmäßigen Konvergenz folgt. Umgekehrt gilt: Satz III. Ist {fv} im Punkte a von 9S gleichmäßig konvergent auf 9, und sind unendlich viele f, stetig2) in a auf 91, so ist {f}, auch stetig konvergent in a auf 92. Vermöge der Schränkungstransformation können wir {f,} als beschränkt annehmen. Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von {/ } existiert dann der (endliche) Grenzwert (t) I - lim f, (a), -V =- QO und zu jeder Folge {aa} aus 91 mit limi a= a und zu jedem e >0 gibt es ein %n und ein v, so daß: "= (tt) I f', (a,) - f, (a) < für n > n0, v > ', V'> V0 Wegen (t) ist: (t') }f,(a) -l <e für fast alle v, und da unendlich viele f, stetig sind in a, so gibt es gewiß ein, so daß (iT) gilt und f/ stetig in a ist. Dann aber kann %Q so groß gewählt werden, daß für dieses v: t) |fv(a,) aj - (a) i < fr,~n. o Aus (tt), (Tt) (f) aber folgt: f (a)j -l < 3 e für alle n >, v' v 1) Vgl. C. A. Dell'Agnola, Atti Ven. 69 (1909/10), 159. Dieser Satz ist, gleich allen folgenden Sätzen dieses Paragraphen mit Ausnahme von Satz IX und XVII, ein allgemeiner Grenzsatz. 2) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Seien alle f, gleich derselben in a unstetigen Funktion f. Dann ist {fy} in a gleichmäßig, aber nicht stetig, konvergent auf ~9. Doch kann (zufolge brieflicher Mitteilung von A. Rosenthal) die vorausgesetzte Stetigkeit unendlich-vieler fv ersetzt werden durch: lirm c (a; f4, 91) 0. Und zwar ist diese Bedingung nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig dafür, daß eine eigentlich gleichmäßig konvergente Folge zugleich stetig konvergent sei in a auf A.

Kap. IV, ~ 3. Gleichmäßige Konvergenz. 249 Ist nun { v} eine Indizesfolge mit limrv=+- oo, so ist demnach: - n= O If,(a) l< <3 e für fast alle n, d. h. es ist: lim f", (an)-1. n-= oo Also ist { 4} stetig konvergent in a auf 92, und Satz III ist bewiesen. Eine leichte Verallgemeinerung von Satz III ergibt: Satz IV. Ist {ff} im Punkte a von 91 gleichmäßig konvergent auf 9, und sind unendlich viele f, oberhalb (unterhalb) stetig in a auf 9[, so ist {f,} oberhalb stetig oszillierend in a auf 9X. In der Tat, es ist lediglich im Beweise von Satz 1II (t) zu ersetzen durch: f: (a,) < f, (a) + e, woraus im Vereine mit '(tt) und (tf) folgt: fv' (a, < l + 3 e für alle n > no, v' > o. Dann aber ist für jede Indizesfolge {v, } mit lim v,= + ~-o: n= a N V= oo hmn_ f (a,.) < 1lim f4(a), n, == 00 1 V = 00 d. h. f{/} ist oberhalb stetig oszillierend in a auf 91, wie behauptet. In Verallgemeinerung von ~ 2, Satz VIII gilt nun: Satz V. Ist dieFolge {f4} im Punkte a von 91 gleichmäßig konvergent auf 91, und sind unendlich viele fv stetig in a -auf 9, so ist sowohl lim f als lim f stetig in a auf 91. Y = 00?^-go In der Tat, nach Satz III ist {l} stetig konvergent in a auf 92, so daß die Behauptung aus ~ 2, Satz VIII folgt. Ganz ebenso sieht man durch Berufung auf Satz IV und ~ 2, Satz XIV: Satz VI. Ist die Folge {f,} im Punkte a von 9 gleichmäßig konvergent auf 91, und sind unendlich viele;, oberhalb stetig in a auf 9S, so ist auch lim f, oberhalb stetig in a auf 91. In Verallgemeinerung von ~ 2, Satz IX gilt: Satz VII. Ist die Folge {f,} im Punkte a von 911 gleichmäßig konvergent auf 92, und gibt es in {f,} eine unendliche Teilfolge {f,,}, so daß fi in a auf 91 den Grenzwert 1,i hat, so hat sowohl lim f, als lim f in a auf 91 den Grenzwert lim 1i.. = i= -Oo

250 Funktionenfolgen. In der Tat, man erteile jeder Funktion f, in a einen der Ungleichung: g'(a; f,,?) _fy(a)_ G'(a; f1,?I) genügenden Wert. Dann wird: fi(a)=- li, und fi wird stetig in a; die Konvergenz bleibt gleichmäßig im Punkte a, und es wird: (0) lim ft(a) lim f(a) lim,. V = 0 V= = r v Da aber nun nach Satz V lim f, und lim f, stetig sind in a v = Y = -o00 auf 9C, haben sie dort den Wert (0) zum Grenzwert, und Satz VII ist bewiesen. Aus der Tatsache, daß {(f,} gleichmäßig konvergiert in a auf Sf, kann nur geschlossen werden, daß {(f} im Punkte a selbst konvergiert, nicht aber etwa auf Konvergenz in einer Umgebung von a. Nehmen wir aber ausdrücklich an, daß {f4} auch in einer Umgebung von a konvergiere, so vereinfachen sich einige unsrer Sätze: Satz VIII. Ist die Folge {fy} konvergent in einer Umgebung von a in 92, so ist, damit sie eigentlich gleichmäßig in a auf!2 gegen ihre Grenzfunktion f konvergiere, notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 und zu jeder Folge ({a} aus 2 mnit lim a =a einen Index vo und n = co einen Index no gebe, so daß: (t) -I f(a,)-f(a,) \<e für n,>n, rY. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat {f,} eigentlich gleichmäßig konvergent in a auf?t. Es gibt dann ein %v und ein no, so daß: i f,(a,)- fl (an) Ä <- für n>n0 v>vO, v' v, 2 0 - durch Grenzübergang v' — co folgt hieraus: f,(a)- f(^n) < für na no vv> o wodurch (t) bewiesen ist. Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, ist sie erfüllt, so gibt es ein vo und ein n0, so daß: |f(a) - f(a) 1 <; I f (a.) f(aJ) < für nn _ >v v_ v

Kap. IV, ~ 3. Gleichmäßige Konvergenz. 251 woraus die Bedingung (**) S. 247 für eigentlich gleichmäßige Konvergenz in a auf 9f folgt. In ganz derselben Weise gewinnt man aus Satz I: Satz IX. Ist die Folge {f~} konvergent in einer Umgebung von a in 92, so ist, damit sie eigentlich gleichmäßig in a auf 9f gegen ihre Grenzfunktion f konvergiere, notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>O eine Umgebung U von a in A9 und einen Index v' gibt, so daß: I fy(a')-f(a') <e für alle a' von 11 und alle v vo. Satz V vereinfacht sich zu: Satz X. Ist die Folge {f,} konvergent in einer Umgebung von a in 21, und konvergiert sie gleichmäßig in a auf 9t gegen ihre Grenzfunktion f, sind ferner unendlich viele fi stetig in a auf 2f, so ist auch die Grenzfunktion f stetig in a auf 9t. In der Tat, dies folgt unmittelbar aus Satz V, da nun in einer Umgebung von a in 92: f= lim f,, lim f,. Wir haben bisher gleichmäßige Konvergenz in einem Punkte definiert. Nunmehr definieren wir: Die Folge f,,} heißt1) eigentlich gleichmäßig konvergent auf 92, wenn es zu jedem e>0 einen Index %v gibt, so daß: | fi/(a)-f,,(a) < ffür v>v, v'>o und alle a von 9. Die Folge {f,} heißt gleichmäßig konvergent auf 9, wenn die durch die Schränkungstransformation aus ihr entstehende Folge {f,} eigentlich gleichmäßig konvergent ist auf 9. Satz XI. Damit {f~} eigentlich gleichmäßig konvergent sei auf 91, ist notwendig und hinreichend die Existenz einer (auf 92 endlichen) Funktion f, derart, daß bei beliebigem e>0 für fast alle v auf ganz 29 die Ungleichung: bestehe: (*) i f(a)- f(a) <e. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat {f,} eigentlich gleichmäßig konvergent auf 92. Für jedes a von 92 ist dann die Folge {f,(a)} eigentlich konvergent, besitzt also einen endlichen Grenzwert: f(a) f( f (a)= lim f,(a). 1) Diese Definition dürfte sich zuerst finden bei A. L. Cauchy, C. R. 36 (1853), 454 =CEuvres (1) 12, 30.

252 Funktionenfolgen. Ferner gibt es ein v%, so daß: fy(a)- fv(a) <2 für v > o, V o und alle a von /. Durch Grenzübergang ' — oo folgt.hieraus: fv(a) - f(a) - für vv> o und alle a von 9, womit (*) bewiesen ist. Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, ist sie erfüllt, so gibt es zu jedem e>O ein 0, so daß: I/ t(a) -f(a <; (a- f(a) f(a) < für v~vO, v'~vO und alle a von Af. Daraus aber folgt: | f,(a) - f (a) |<2e für v>vo, v'_vO und alle a von ', d. h. {f,} ist eigentlich gleichmiäßig konvergent auf 91. Damit ist Satz XI bewiesen. Man entnimmt daraus sofort, daß jede auf 92 (eigentlich) gleichmäßig konvergente Folge auch (eigentlich) konvergent ist in jedem Punkte von A9. Ist f ihre Grenzfunktion, so sagt man: {f"} konvergiert gleichmäßig auf 91 gegen f. Darüber hinaus folgt aus der Definition der gleichmäßigen Konvergenz sofort: Satz XII. Ist die Folge {f,} (eigentlich) gleichmäßig konvergent auf 9W, so ist sie auch in jedem einzelnen Punkte von 9/0 (eigentlich) gleichmäßig konvergent auf 9/. Die Umkehrung gilt nur unter einer einschränkenden Voraussetzung: Satz XIII1). Ist 9f kompakt2), und ist die Folge {f,,} (eigentlich) gleichmäßig konvergent auf t in jedem Punkte von W~, so ist sie auch (eigentlich) gleichmäßig konvergent auf 9f. 1) Dieser Satz ist ähnlich dem Satze von der gleichmäßigen Stetigkeit (Kap. II, ~ 4, Satz IX), ist aber zum Unterschied von diesem ein allgemeiner Grenzsatz. 2) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Denn ist 2S nicht kompakt, so gibt es in 9g einen abzählbaren Teil a1, a2,..., a",... ohne Häufungspunkt. Man setze (a)- = { 0 für a + a 1 für a =- a,. Dann konvergiert {f,} in jedem Punkte a von 9( gleichmäßig gegen 0, ohne gleichmäßig auf 91 zu konvergieren.

Kap. IV, ~ 3. Gleichmäßige Konvergenz. 253 Vermöge der Schränkungstransformation können wir uns beim Beweise auf den Fall der eigentlichen Konvergenz beschränken. Angenommen, es sei {fn} nicht eigentlich gleichmäßig konvergent auf [f. Dann gibt es ein e > 0, und zu jedem Index vy zwei Indizes v _ v, v'>v-o und einen Punkt a in S9, so daß: I f (a)- f,(a) _e. Insbesondere gibt es also zwei Indizes v,, v' und einen Punkt a,, von f, so daß: (**) ~I frw(fn) fn(C) |j _.,, 1v _ n. Da 9/ kompakt, hat die Folge {a,} mindestens -einen Häufungspunkt a, und zwar gehört a zu 9I~. Wegen (**) ist aber {fL} in a nicht gleichmäßig konvergent auf 9I, und Satz XIII ist bewiesen. Aus Satz XI, XII, X und VII folgern wir: Satz XIY1). Ist die Folge {f~} gleichmäßig konvergent auf 9f, so ist ihre Grenzfunktion stetig auf 9 in jedem Punkte von 91, in dem unendlich viele f~ stetig sind auf 1, und besitzt einen Grenzwert auf S[ in jedem Punkte von 91, in dem unendlich viele f, einen Grenzwert auf fI haben. Ebenso folgt aus Satz XII und Satz VI: Satz XV. Ist die Folge {f,,} gleichmäßig konvergent auf 9/, so ist ihre Grenzfunktion oberhalb (unterhalb) stetig auf 9f in jedem Punkte von 9t, in dem unendlich viele f", oberhalb (unterhalb) stetig auf 9I sind. Insbesondere ergeben sich aus Satz XIV noch die folgenden spezielleren Sätze: Satz XYI. Ist die Folge auf 7 stetiger Funktionen {f,} gleichmäßig konvergent auf 91, so ist ihre Grenzfunktion stetig auf 9f. Satz XVII. Ist 29 relativ-vollständig, und ist die Folge {f~} auf 91 punktweise unstetiger Funktionen gleichmäßig konvergent auf g9, so ist auch ihre Grenzfunktion punktweise unstetig auf 91. 1) Historisch sei zu diesem Satze bemerkt, daß noch A. L. Cauchy anfänglich (Anal. alg. (1821), 131 = (Euvres (2) 3, 120) der Ansicht war, aus der Stetigkeit aller f, einer konvergenten Folge ergebe sich die Stetigkeit der Grenzfunktion. Dies wurde von N. H. Abel durch ein Beispiel widerlegt (1826, (Euvres 1, 224). Die ersten, die die Bedeutung der gleichmäßigen Konvergenz für die Stetigkeit der Grenzfunktion erkannten, waren G. G. St o k es (Cambr. Trans. 8 (1847), 533 = Papers 1, 236) und Ph. Seidel (Münch. Abh. II, 5 (1848), 338). Die heute übliche Formulierung geht zurück auf Cauchy, C. R. 36 (1853), 454 = (Euvres (1) 12, 30.

254 Funktionenfolgen. In der Tat, nach Kap. III, ~ 4, Satz VII ist die Menge aller Punkte, in denen sämtliche f, stetig auf 9X sind, dicht in 1. In jedem solchen Punkte aber ist nach Satz XIV auch die Grenzfunktion stetig auf 1. ~ 4. Gleichmäßige Oszillation. Eine ähnliche Verallgemeinerung, wie sie vom Begriffe der stetigen Konvergenz zu dem der halbstetigen Oszillation führte (~ 2, S. 244), führt auch vom Begriffe der gleichmäßigen Konvergenz zu dem der halbgleichmäßigen Oszillation ). Aus der Formulierung (**) (S. 247) der gleichmäßigen Konvergenz entnehmen wir zunächst durch den Grenzübergang v — oo: Ist {f"} eigentlich gleichmäßig konvergent in a auf 91, so gibt es zu jeder Folge {a,} aus 1 mit lim an = a und zu jedem s > 0 einen Index n0 und einen Index v0, so daß die n= oo beiden Ungleichungen bestehen: (*) fy (an) < limf,(a,)- f r ) > no, v' > v0, v=00 (**) f~, (a~) > lim f (an) - s für n no, v' > vo; v o00 und nun definieren wir: Die Folge {f,} heißt eigentlich oberhalb (unterhalb) gleichmäßig oszillierend2) in a auf 91, wenn sie beschränkt ist, und wenn es zu jeder Folge {an} aus 91 mit lim an = a und zu jedem E > 0 einen n=oo Index nO und einen Index vQ gibt, so daß Ungleichung (*) bzw. (**) gilt. Ist die Folge {f,} nicht beschränkt, so heißt sie oberhalb (unterhalb) gleichmäßig oszillierend in a auf 9, wenn die daraus durch die Schränkungstransformation entstehende Folge eigentlich oberhalb (unterhalb) gleichmäßig oszilliert in a auf 91. Es wird daher im folgenden genügen, die Beweise für beschränkte Folgen durchzuführen, was wir nicht jedesmal eigens hervorheben werden. Ist die Folge {/f} sowohl oberhalb als unterhalb gleichmäßig oszillierend in a auf 1, so heißt sie: gleichmäßig oszillierend in a auf 91. Es folgt dann sofort: Satz I3). Ist die Folge {f,} konvergent auf 91, und gleichmäßig oszillierend in a auf 91, so ist sie gleichmäßig konvergent in a auf 91. In der Tat, es ist dann: lim fy - lim f= lim ft, y= 00 v= 00 y = 00 so daß (*) und (**) ergeben: I f, (an)- lim f (an) < e für n no, v' 2vO, v= 00 1) Die Entwicklungen dieses Paragraphen stammen im wesentlichen von W. H. Young, Lond. Proc. (2) 6 (1908), 309; Camb. Phil. Trans. 21 (1909), 241; Quart. Journ. 1913, 141; Lond. Proc. (2) 12 (1913), 340. 2) Bei W. H. Young: "Uniform oscillation of the second kind." 3) Alle Sätze dieses Paragraphen sind allgemeine Grenzsätze.

Kap. IV, ~ 4. Gleichmäßige Oszillation. 255 und mithin: i f,(at) - f, (a,) 1 < 2s für n > no, y'> v o, V- O, womit Satz I bewiesen ist. Der Zusammenhang mit dem Begriffe der halbstetigen Oszillation wird hergestellt durch die Sätze: Satz IIa. Ist {f,} oberhalb stetig oszillierend in a auf 9, und ist f=lim f unterhalb stetig1) in a auf 91, so ist {f,} in a auch y = 00 oberhalb gleichmäßig oszillierend auf 91. Sei zum Beweise {an} eine Folge aus 91 mit lim a,= a, und sei E > 0 n = oo beliebig gegeben. Weil {f,} in a oberhalb stetig oszillierend ist, gibt es ein no und ein v0, so daß: (0) f(an)<f(a)+-2 für n >no, v Vo. Weil f unterhalb stetig in a ist, kann no auch so gewählt werden, daß: (00) f(a,)>f(a)- für n > no. Die Ungleichungen (0), (00) zusammen ergeben: f,(a,) < f(an)+ e für n no, v vo, das aber ist die behauptete oberhalb gleichmäßige. Oszillation von {fv}. Was die Umkehrung von Satz IIa anlangt, gilt: Satz IIb. Ist {fV} oberhalb gleichmäßig oszillierend in a auf 91, und ist f=lim f, in a oberhalb stetig2) auf 9, so ist {fy} oberV = OG halb stetig oszillierend in a auf 91. In der Tat, bei Beibehaltung der eben benutzten Bezeichnungsweise ist wegen der oberhalb gleichmäßigen Oszillation: (t) f, (a) < f(a)+ - für n > no, o; 1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel (Fig. 8): Sei 9 das Intervall [0, 1] des 9S1; sei f4(0)=1, f= 0 in [1, 1 und linear Fig. 8. in [o —. Dann ist {ff} im Punkte 0 oberhalb stetig oszillierend, aber nicht oberhalb gleichmäßig oszillierend. 2) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Man setze f, (für alle v) gleich derselben in a nicht oberhalb stetigen Funktion.

256 Funktionenfolgen. weil f oberhalb stetig in a ist, so gilt: (tt) f (a,) <f(a) + -- für n n, also aus (-) und (tt): f (a) <f(a)+ s für n > n v > vo; das aber ist die behauptete oberhalb stetige Oszillation von {f,}. Die Sätze IIa und IIb zusammen ergeben: Satz II. Ist lim f, stetig in a auf 5f, so sind die Begriffe,oberV, = 00 R halb gleichmäßig oszillierend" und ~oberhalb stetig oszillierend" identisch. Eine für die oberhalb gleichmäßige Oszillation charakteristische Eigenschaft wird geliefert durch den Satz: Satz III. Damit die Folge {f,} in a oberhalb gleichmäßig auf 5 oszilliere, ist notwendig und hinreichend, daß die oberen Schrankenfunktionen ihrer Restfolgen gleichmäßig in a auf 9f gegen die obere Grenzfunktion f== lim f, konvergieren. V = 00 Wir bezeichnen zum Beweise die obere Schrankenfunktion der k-ten Restfolge (~1, S. 230) von {f,} mit f'1. Dann ist gewiß für jedes k: (ttt) fk > f. Die Bedingung von Satz III ist notwendig; sei in der Tat {fv} in a oberhalb gleichmäßig oszillierend; zu jeder beliebigen Folge {a,} aus 1 mit lim a-, a und jedem e> 0 gibt es dann ein n0 und ein Vo, so daß (*) von n = oo S. 254 besteht. Aus (*) aber folgt: f(an) < f(a,,) +- für n >no, k_ Vo. Zusammen mit (ttt) haben wir also: f(an) < fk (a,) < f(a",) + fü r n2 no, k > o0, d. h. gleichmäßige Konvergenz von {/k} gegen f im Punkte a. Die Bedingung ist hinreichend; sei in der Tat {fk} gleichmäßig konvergent gegen f im Punkte a; zu jeder Folge {an} aus W mit lim a= a und n= co edem s > 0 gibt es dann ein n0 und ein ko, so daß: fk(an) < f(a,l) + für n => o, k > ko. Wegen fk ~ fk folgt daraus sofort (*) von S. 254, d. h. die oberhalb gleichmäßige Oszillation von {ft} in a. Im Gegensatze zu ~ 2, Satz XIV haben wir hier: Satz IV. Ist die Folge {f,} oberhalb gleichmäßig oszillierend in a auf 91, und sind in a alle f, unterhalb stetig1) auf 52, so ist 1) Sind die f, oberhalb stetig, so folgt aus der oberhalb gleichmäßigen Oszillation für die obere Grenzfunktion nichts. Beispiel (Fig. 9): Sei 1 das Intervall [-1, 1] des 91,; sei f,= 0 in [-1, 0); f,(0) -=; f, 1 in 1, 1],

Kap. IV, ~ 4. Gleichmäßige Oszillation. 257 auch die obere Grenzfunktion f= lim f, in a unterhalb stetig auf %. y = O In der Tat, zu jeder Folge {a,)} aus I mit lim a, =a und jedem s > 0 gibt es ein no und ein v0, so daß-: n= a (1) f (a,,)- f(a,) < für n n0o, V V0. Da f obere Grenzfunktion ist, gibt es ein v*> v0, so daß: (2) f(a)-f,,(a) <, und weil nach Voraussetzung f, unterhalb stetig ist in a, kann no auch so groß gewählt werden, daß: (3) f*,.(a) - f~ (a,) < für, ~ n>. Aus (1), (2), (3) erhält man durch Addition: f(a) - f(a) < e für n > n0, d. h. f (a) ist in a unterhalb stetig, wie behauptet. Wie der Vergleich von Satz IV mit ~ 2, Satz XIV zeigt, sind die Folgerungen, die aus der oberhalb gleichmäßigen Oszillation fließen, verschieden von den aus der oberhalb stetigen Oszillation fließenden. Es gelingt aber eine andere, allerdings weniger naheliegende, Verallgemeinerung des Begriffes der gleichmäßigen Konvergenz, die sich in dieser Hinsicht enger an die oberhalb stetige Oszillation anschließt. Wir bezeichnen wieder mit fk die obere Schrankenfunktion von {f/};k, mit f die obere Grenzfunktion von {f,}, endlich mit fk+l den größten unter den I -- l Funktionswerten fk, fki 1' f... —. Dann ist (Einleitung ~ 6, Satz V, VI): (0) fk -li fk k; f- li mf In einem Punkte, gleichmäßiger Konvergenz von {/f} ist offenbar auch die Konvergenz in jeder der beiden Beziehungen (0) gleichmäßig. Die oben gegebene Definition der oberhalb gleichmäßigen Oszillation ist nun so gefaßt (Satz III), daß die gleichmäßige Konvergenz der zweiten Relation (0) erhalten bleibt. Wir wollen nun umgekehrt definieren: Die Folge {f,,} heißt im Punkte a oberhalb sekundär-gleichmäßig und in 0, variiere f, linear. Dann sind alle f4 im Punkte 0 oberhalb stetig, es ist {f,} überall in [-1, 1] oberhalb gleichmäßig oszillierend, und es ist Fig. 9. f= 0 in [- 1, 0); f(0)- —; f=- 1 in (0, 1]. Also ist f im Nullpunkte weder oberhalb noch unterhalb stetig. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I,. 17

258 Funktionenfolgen. oszillierend1) auf 9f, wenn im Punkte a für jedes k die Folge {7fk+ v} gleichmäßig auf 9 gegen fk konvergiert. Analog ist die Definition des Begriffes "unterhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend". Oszilliert die Folge {fv} im Punkte a sowohl oberhalb als unterhalb sekundär-gleichmäßig auf 9, so heißt sie sekundär-gleichmäßig oszillierend in a auf 9. Im Gegensatze zur gleichmäßigen Oszillation (Satz I) ist nicht jede konvergente und in a sekundär-gleichmäßig oszillierende Folge in a auch gleichmäßig konvergent2). Der Zusammenhang mit dem Begriff der oberhalb stetigen Oszillation wird hergestellt durch die Sätze: Satz Va. Ist {fv} in a oberhalb stetig oszillierend auf 92, und ist in a jedes f, unterhalb stetig3) auf I1, so ist {fv} in a auch oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend auf f. In der Tat, wegen der oberhalb stetigen Oszillation gibt es zu jedem > 0 und jeder Folge {an} aus Q mit lim an = a ein no und ein vo, so daß: n = oo (*) f (al) <f(a) + für n > n v o. Da sich die fk monoton abnehmend der Grenze f nähern, ist für jedes k: fk(a) - f(a). Infolgedessen gibt es ein vk (das immer 2 v0 angenommen werden kann), so daß: fk, (a) > f (a)-3 für Yv k. Da alle fk, k+ unterhalb stetig sind (Kap. II, ~ 8, Satz IX), gibt es ein nk (das immer > no angenommen werden kann), so daß auch: f, k+vk(an) > f(a) - für n nlk, und da die f, kk+ mit v monoton wachsen, so ist also auch: fk(a,) > fk, k +(a,) > f(a) -~ für n >nlk, v k, und somit gilt in jedem Punkte a, (n> nk), in dem fk (an) < f(a) + 1) Bei W. H. Young: Uniform oscillation of the first kind. 2) Beispiel: Sei X das Intervall [0, 1] des 9x und alle f, 0 für x-0; weiter: f2==1 in (0,-) und =0 in [l1ij; f2+ =-1 in (0,-) und =0 in [, 1l. Dann ist {f,} überall konvergent in [0, 1]: lim == 0; im Punkte v _o O ist {f/} sekundär-gleichmäßig oszillierend, aber nicht gleichmäßig konvergent. 3) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei % das Intervall [0, 1] des 9tl, und sei f,(0)= 0 und f,=- 1 in (o, -), f ==0 [, l. Dann sind alle f4 oberhalb stetig, und es ist {f/} oberhalb stetig oszillierend, aber nicht oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend im Punkte 0.

Kap. IV, ~ 4. Gleichmäßige Oszillation. 259 ist, die Ungleichung: (**) fk (a,) t fk, +(an)> f (a,) - für vv rk. In jedem Punkte a, (n _ n,) hingegen, in dem k (an,) > f(a) + ist, muß es, wegen (*), unter den Funktionen fk, fk+I' fi. l eine geben, die im Punkte a, gleich f7, (a,) ist, so daß also in einem solchen Punkte: (***),fks k + (a,) - 4(a) für k + v _o ist; (**) und (***) zusammen aber besagen (da Vk ^ angenommen ist): i fk. k7+ (an) - fk(an) < s für n f> na, Y > k, d. h. die Folge {fk k+v} konvergiert in a gleichmäßig gegen fi. Damit ist Satz Va bewiesen. Was die Umkehrung von Satz Va anlangt, so gilt: Satz Vb. Ist {f,} in a oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend auf 9l, und ist in a jedes f, oberhalb stetig') auf f, so ist {fv} in a auch oberhalb stetig oszillierend auf 9. In der Tat, da alle f4 in a oberhalb stetig sind, so gilt dasselbe (Kap. II, ~ 8, Satz IX) für alle f k+-, und somit sind, wegen der oberhalb sekundärgleichmäßigen Oszillation von {f},, nach ~ 3, Satz VI auch alle fk oberhalb stetig in a. Sei nun {a"} eine Folge aus 91 mit lim a ==a und > 0 beliebig gegeben. Es gibt ein ko, so daß: n fko(a) <f(a)+E. Weil fk (a) in a oberhalb stetig ist, gibt es ein no, so daß auch: tko (a,) < f(a) + für n 2 n0; und da {/k} monoton abnimmt, haben wir: fk(an) <f(a) + - für n > nO, k 2 ko, und somit erst recht: f (an) < f(a) -+ für n _ no, v C ko damit ist. Satz Vb bewiesen. Die Sätze Va und Vb zusammen genommen ergeben: Satz V. Sind alle fv stetig auf 9f, so sind die Begriffe "oberhalb stetig oszillierend" und,oberhalb sekundär- gleichmäßig oszillierend" gleichbedeutend. Durch Kombination der Sätze Vb und IIa ergibt sich: Satz VIa. Ist {/f} oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend in a auf 9S, sind alle f, oberhalb stetig2) in a auf 9, und ist lim f 1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Man setze alle f gleich derselben in a nicht oberhalb stetigen Funktion. 2) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das zweite Beispiel von Fußn. 1), S. 244. 17*

260 Funktionenfolgen. unterhalb stetig') in a auf X, so ist {f,} oberhalb gleichmäßig oszillierend in a auf 9/. Durch Kombination der Sätze IIb und Va ergibt sich: Satz VIb. Ist {f,} oberhalb gleichmäßig oszillierend in a auf f, sind alle f3, unterhalb stetig2) in a auf S(, und lim f, oberhalb stetig3) in a auf V(, so ist {f,} auch oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend in a auf SL. Die Sätze VIa und VIb zusammen ergeben: Satz YI. Sind alle f, stetig in a auf 2f, und ist lim fy stetig in a 1' = CO auf Si, so sind die Begriffe "oberhalb gleichmäßig oszillierend" und "oberhalb sekundär - gleichmäßig oszillierend" gleichbedeutend. Satz Vb und.~ 2, Satz XIV ergeben nun (im 'Gegensatze zu Satz IV) folgende Verallgemeinerung von ~ 3, Satz VI: Satz VII. Ist {fy} oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend in a auf 9/, und sind alle f, oberhalb stetig4) in a auf 9f, so ist auch lim f, oberhalb stetig in a auf X. y = 00 1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel zu Satz IIa. 2) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel zu Satz Va. 3) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel (Fig. 10): Sei l das Intervall [0, 1] des 911. Sei f (0)==0, f=1 in [l-, 1 und ft linear in [0, 1. Dann ist {fv} im Punkte 0 oberhalb gleichmäßig, aber nicht oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend. Fig. 10. Fig. 11. 4) Sind die f, unterhalb stetig, so folgt aus der oberhalb sekundärgleichmäßigen Oszillation für die obere Grenzfunktion nichts. Beispiei (Fig. 11): Sei 2t das Intervall [-1,1] des 9i,. Sei f= lin [-1, 0), f== in 0[,, fv = in -1, 1. Dann sind alle f unterhalb stetig, und es ist: 1 in [-1, 0) f== limf, -= im Punkte 0 0 in (0,1]. Also ist f im Punkte 0 weder oberhalb noch unterhalb stetig.

Kap. IV, ~ 5. Schwankung und Ungleichmäßigkeitsgrad usw. 261 ~ 5. Schwankung und Ungleichmäßigkeitsgrad einer Funktionenfolge. So wie die in Kap. III, ~ 2 eingeführte Schwankung co(a; f, ) als Maf für die Unstetigkeit der Funktion f im Punkte a betrachtet werden kann, so könnte man den Ausdruck: Q (a; {fv}, 2) == (a; {fi}, "')- (a; {f}, 9) als Maß für die Unstetigkeit der Konvergenz der Folge {f,} im Punkte a betrachten. Wir wollen darauf nicht näher eingehen, vielmehr sogleich einen Ausdruck einführen, der als Maß für die Ungleichmäßigkeit der Konvergenz von {f,} im Punkte a betrachtet werden kann. Sei a ein Punkt von ~0. Zu jeder Folge {a,} aus 92, und allen Indizesfolgen {v,}, {4"} mit: (0) limanl; im av - a; im -o; lim==+ n = oo n -- 00oo n = o denken wir uns gebildet1): lim / fv"(a,) - f, (aj|) v. n = oo Die obere Schranke aller dieser v bezeichnen wir mit 0 (a;{f-}, 3), und nennen sie die Schwankung von {f,,} in a auf 2l. Satz I. Die Zahl O(ac;{f},W) ist charakterisiert durch die beiden Eigenschaften: 1. Ist q >0(a; {f},S ), so gibt es eine Umgebung 11 von a in 9 und einen Index P, so daß: fy(a') - f,'(a') < q für alle a' von U und alle v VO, V Vo. 2. Ist q < (a; ft,), so gibt es zu jedem Index ro in jeder Umgebung U von a in 9f mindestens einen Punkt a' und ein Indexpaar v~vr, V'>ro, so daß: (00) i f(') - f(a') D > q. In der Tat, wäre Eigenschaft 1. nicht erfüllt, so gäbe es in U (a; 1 einen Punkt an und dazu zwei Indizes: Vr~n; v >n, i) Haben f, (a,") und f4' (a,) denselben unendlichen Wert, so kann man abei unter ihrer iffeenz den ert verstehn. dabei unter ihrer Differenz den Wert 0 verstehen.

262 Funktionenfolgen. so daß: I f (az) — (au,) q. Dann aber wäre: lim l t;, (a) - f4r'(a) | > q > 0 (a; {ft}, 9), n=00oo entgegen der Definition von 0 (a; {f,}, ). Sei sodann: < o (a; {fd, t). Dann gibt es eine Punktfolge {a}j in f und Indizesfolgen {vJ}, {.u}, so daß (0) erfüllt ist, und daß: lim f" (a,) - (aj q. nb = oO Also ist: If, (a') - f,'(a?)I> q für unendlich viele n. Ist U eine Umgebung von a in 9i, so gehören fast alle aH zu 11 ist O irgendein Index, so ist für fast alle n:? >% }o; also gibt es in U1 unendlich viele as, in denen (00) gilt. Damit ist Satz I bewiesen. Satz II. Ist a ein Punkt von o~, so gibt es in 9f eine Punktfolge {a"}, und dazu zwei Indizesfolgen {v} und {1,} so daß (0) erfüllt ist, und: (00) lim i, n(a) - f (a) = 0 (a; {f;}, O). Sei in der Tat {q"} eine Folge reeller Zahlen, für die: lim q l= 0 (a; {f;,}, q), q < 0 (a; {f,}, ). fl - CO Nach Satz I gibt es in U (a; ) einen Punkt a., und dazu zwei Indizes v, vi, so daß: ',t; 1 n; I fn (aC) -- f'(a) > q Also ist: lim f,(a.) - f, (a) lim q [= 0 (a; {f}, 3)J. n =o = oo Wegen der Definition von 0(a;{f~},f) gilt auch die umgekehrte Ungleichung: lim f;,(aJ)- f,(a)l < 0 (a; {f;,}, 9. bien. Damit aber ist ) bewiesen.

Kap. IV, ~ 5. Schwankung und Ungleichmäßigkeitsgrad usw. 263 Satz III1). Ist (p,(a) die obere Schranke aller f,,' (a)- f, (a) (v'_ v, > ), so ist: (1) 0 (a; {f,}, )- -lim G (a; %~, 9). Bemerken wir in der Tat zunächst, daß die Folge {9(v} monoton abnimmt, daher auch die Folge {G (a;;QvY, t)}, so daß der Grenzwert in (1) existiert. Sei sodann q eine beliebige Zahl: (2) q < lim G (a; 99,, ). Dann ist auch: q < G (a; 99,,, 9) für alle v. Es gibt also in I (a; - einen Punkt a, von 9/, in dem: p (a,) > q, und mithin, zufolge der Definition von %,, zwei Indizes v?,,, so daß:,~->n;,' > n; f.( (>aj - f (aj. > q Dann aber ist: n2=oo, n= co n,=.= -;=om lim a"=a — a, —m r +~; lim- v" +; lim I,' (a) — f, (%), fl=" --- und somit: und da dies für jedes (2) erfüllende q gilt, ist auch: (3) 0 (a; {f)}, 9) lim G (a; cp.,,.). r' = Co Sei sodann q eine beliebige Zahl: (4) > limG -(a; 99, f). Dann gibt es ein r, so daß: G (a; vp, )<q. Mithin gibt es eine Umgebung 1t von a in 91, so daß: (5) Pv<q auf U. Ist dann {a} eine Folge aus ~9, sind {~v}, {v'} In.dizesfolgen mit: (6) lima = a; lim v= +- o; lim v= - oo, n=) C. Caraho ory, nVorl. ber reelle n=kionen, 177. 1) C. Caratcheodory, Vorl. über reelle Funktionen, 177.

264 Funktionenfolgen. so ist: a in 11, vn yv, v ">v für fast alle n. Daher, nach der Bedeutung von %y,, wegen (5): tfa (an) )- f (a) - < q für fast alle n, daher: lim it f (fa)- f, (-) aj < q' U_= oO Und da dies für alle (6) erfüllenden Folgen {a}, {vn}, {vi,} galt, so ist: O(a;{fv}, )<. Da dies wieder für jedes (4) erfüllende q gilt, so ist auch: (7) 0(a; {f}, A) _ lim G (a; 995", 2). Der Vergleich von (3) und (7) ergibt die Behauptung (1) von Satz III. Satz IV. Es ist O(a; {f~}, 91) oberhalb stetig auf 9~. In der Tat, nach Kap. II, ~ 11, Satz II ist G(a; 9v, 91) oberhalb stetig auf 9f~. Und da die Folge {G (a; Tv, 9I)} monoton abnimmt, ist nach Kap. II, ~ 10, Satz I auch lim G (a; q, 91) oberhalb stetig y=COO auf W~, daher nach Satz III auch O(a; {f,}, t), und Satz IV ist bewiesen. Satz V. Sind alle f/ endlich, so ist, damit {f,} eigentich gleichmäßig konvergent sei in a auf 91, notwendig und hinreichend, daß: (t) 0 (a; {f},) =)-O. In der Tat, (t) ist gleichbedeutend mit der Aussage: Für alle Punktfolgen {a"} aus % und alle Indizesfolgen {v,} und {vJ} mit: limr a = a; lim v= + 0 —; lim, —+ fl=oo ä=o a n=oc ist: lim f,(a - ( al),| =-0, n= oo oder, was dasselbe heißt: lim (fv,(a.)- f;,, (an)) 0. n= o Dies aber ist gleichbedeutend mit der Definition (*) S. 247 der eigentlich gleichmäßigen Konvergenz in a. Damit ist Satz V bewiesen. Ist {f4} konvergent, so können wir einen zweiten, der Schwankung verwandten Ausdruck definieren'), den wir als den Ungleich1) W. F. Osgood, Am. Journ. 19 (1897), 166. Vgl. auch E. W. Hobson, Lond. Proc. 34 (1902), 253, und (2) 1 (1904), 376.

Kap. IV, ~ 5. Schwankung und Unglcichmäßigkeitsgrad usw. 265 mäßigkeitsgrad U(a; {f,}, 91) von {f,} in a auf 91 bezeichnen wollen. Wir setzen: lim -= -f. y= co Die Definition ist dann die folgende. Für jede Folge {an} aus 91 und jede Indizesfolge {v,} mit: (tt) lim a = a; lim va + oo ',= — n=~C denken wir uns gebildet'): lim f,. (a - f (a\) =v. n= x Die obere Schranke aller dieser v ist die zu definierende Größe U(a; {fv}, 91). Ganz ebenso wie die Sätze I und II beweist man: Satz VI. Die Zahl U(a; {f}, 91) ist charakterisiert durch die beiden Eigenschaften 1. Ist q> U(a; {f}, ), so gibt es eine Umgebung 1l von a in 91, und einen Index %, so daß: fv(a')- f(a') <q für alle a' von U und alle v>vo. 2. Ist q< U(a; {f,}, 9), so gibt es zu jedem Index vo in jeder Umgebung U von a in 91 mindestens einen Punkt a', und einen Index v>io, so daß: I f(a')- f(a') > q. Satz VII. Ist a ein Punkt von 9~, so gibt es in 91 eine Punktfolge {a,} und eine Indizesfolge {v,}, so daß (tt) erfüllt ist, und: lim f,, (a,) - f(a,)j = U (a; {f,}, ). So wie wir in ~ 1, SatzV Maximal- und Minimalfunktion einer Folge {fv} gedeutet haben als obere und untere Schrankenfunktion einer Hilfsfunktion f auf einer Hilfsmenge 91, so können wir nun eine ähnliche Deutung auch für U(a; {fv}, 91) finden. Wir definieren zu dem Zwecke auf dieser Menge X die Restfunktion 7 von {f,} durch die Festsetzung: Ist a Punkt von 9, so habe 7 im Punkte a, 1 von X den Wert l f (a) f(a). Wir erkennen sofort: 1) Haben fr (a,) lund f (a,) denselben unendlichen Wert, so kann man dabei unter ihrer Differenz den Wert 0 verstehen.

266 Funktionenfolgen. Satz VIII. In jedem Punkte a von f0~ stimmt der Ungl.eichmäßigkeitsgrad von {f,} auf Of überein mit der oberen Schrankenfunktion von ~ auf X: U (a,{}, )=G a; ', t). Aus Kap. II, ~ 11, Satz II folgt daher weiter: Satz IX. Es ist U(a; {f,}, X) oberhalb stetig auf fo~. Der Zusammenhang zwischen U(a; {f,}, 9) undl O(a; {fr,}, ) wird hergestellt durch den Satz: Satz X. Es besteht die Ungleichungl): *) U(a; {f;,}, ) 0a; {f} ) 2 (a; {,}, 2(a). In der Tat, nach Satz VII gibt es in % eine Punktfolge {al} und eine Indizesfolge {v,}, so daß: (**) lim a -— a; limn- + oo; lim fv(an)-f(a) = Ua(a; {,f~}, 9). n=-o nCo n-oO Sei {q^} eine Zahlenfolge, so daß: (***) q. < ( f,'. (an)- f(aj) l; lim i= lim /, (a, )- f(ac). Wegen: i fn (an) - f (a") = fn (a)- lim f, (a) gibt es ein v> V,,y so daß2): I f (a,)- fn (a) ) ql> Dann aber folgt aus (**) und (***): lim | [;, (%)- f,,(aj) | _ Z(a; {fX,}, 9, und somit (da wegen v ', > v auch lim=- +l-oo ist) erst recht: ft — O o(a; {f,}, )~U(a; {f}, v). Damit ist die erste Hälfte von (*) bewiesen. 1) Beispiel, in dem U(a; {fp}, f) und O(a; {f,}. 2) verschieden ausfallen: Sei im S,: 0 in (- oo, 0] und in -, +oo) t(-i)Y in (0, ) Dann ist im Punkt 0: U==1; 0=-2. 2) Dies gilt insbesondere auch, wenn f,^(a") und f(a,) denselben unendlichen Wert haben, da dann fv (a,,) -f(a) = 0 gesetzt war, und mithin q, <0 ist.

Kap. IV, ~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz. 267 Aus der Ungleichung: f" (an) - f l(a,,) 1- fn (an)- f(a) I f, (a,) - f(a,) folgt ferner: lim l fn (an) - f,n (a,) | < lim ftin (an)- f(a,) l + lim i f' (an ) f (a) 2 U (a; {;,}, ) und somit auch: O(a; {f}, 9) 2 U(a;{;}, 9). Damit ist auch die zweite Hälfte von (*) bewiesen und der Beweis von Satz X beendet. Neben Satz V tritt nun: Satz XI. Sind alle f;, endlich1), so ist, damit die konvergente Folge {f,.} eigentlich gleichmäßig konvergent sei in a auf 9f, notwendig und hinreichend, daß: U(a; {f /}, n)= 0. In der Tat, dies folgt unmittelbar aus Satz V, da nach Satz X die beiden Bedingungen: U(a; {f}, 9)==O und O(a; {f,}, 2)=-O gleichbedeutend sind. ~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz. Sei wieder {f,} eine auf Wf gegebene Funktionenfolge. In Analogie zu Kap. III, ~ 2, Satz XVI erhalten wir: Satz I. Die Menge aller Punkte von 92, in denen 0(a; {f} V)>q (oder U(a; {f,} 9-t)>q) ist (für jedes q) abgeschlossen in X. In der Tat, dies folgt vermöge Kap. 11, ~ 9, Satz IV aus der Tatsache, daß 0(a; {f,}, 92) und U(a; {f,}, 9) oberhalb stetig auf 9t ist (~ 5, Satz IV, IX). In Analogie zu Kap. III, ~ 3, Satz I folgern wir daraus: Satz II. Ist {fy} eine beliebige Folge auf 91, so ist die Menge aller Punkte von 91, in denen {f,,} nicht gleichmäßig auf 92 konvergiert, Vereinigung abzählbar vieler in 92 abgeschlossener Teile von 91. In der Tat, geht {f,} durch die Schränkungstransformation über in {f,*}, so sind {f,} und { fi} in denselben Punkten von 9 gleich1) Statt dessen kann es auch heißen: "Ist f endlich".

268 Funktionenfolgen. mäßig konvergent. Wir können also {f/} als beschränkt voraussetzen. In jedem Punkte, in dem die Folge gleichmäßig konvergiert, konvergiert sie dann auch eigentlich gleichmäßig. Nach ~ 5, Satz V ist also die Menge 33 aller Punkte von 91, in denen {f,} nicht gleichmäßig auf 2 konvergiert, nichts andres als die Menge aller Punkte von 29, in denen: 0(a; {f,,f, 1)>0. Bezeichnen wir noch mit!8 die Menge aller Punkte von X(, in denen: O(a; {f)}, )~>-, so ist demnach: Nach Satz I aber ist jede Menge 03, abgeschlossen in 91, und Satz II ist bewiesen. Sei nun insbesondere {tf} konvergent auf 91. Wir nennen dann jeden Punkt von 9(, in dem {fb} gleichmäßig auf 91 konvergiert, einen Punkt gleichmäßiger, jeden andern Punkt von 91 einen Punkt ungleichmäßiger Konvergenz von {f,} auf 91. Satz III. Ist {f,} konvergent auf 9l, so ist die Menge aller Punkte ungleichmäßiger Konvergenz von {f,} auf 21 Vereinigung abzählbar vieler in 91 abgeschlossener Teile von 1291. Dies folgt unmittelbar aus Satz II, da jeder isolierte Punkt von 91 notwendig ein Punkt gleichmäßiger Konvergenz von {t} auf 91 ist. Wie in Kap. III, ~ 3 wollen wir uns überzeugen, daß von den Sätzen II und III die Umkehrung giltl). Wir nennen die auf 9 konvergente Folge {f,} total - ungleichmiäßig konvergent auf 91, wenn für sie jeder Punkt von 91 ein Punkt ungleichmäßiger Konvergenz ist. Wir gehen schrittweise vor und beweisen zunächst: Satz IV. Ist die (nicht leere) Menge 29 insichdicht, so gibt es eine auf 91 total-ungleichmäßig gegen 0 konvergierende Folge {ff} von Funktionen, deren jede auf 91 totalunstetig ist, und nur die beiden Werte 0 und I annimmt. In der Tat, beim Beweise von Kap. III, ~ 3, Satz IV haben wir gesehen, daß 91 gespalten werden kann in zwei in 91 dichte Teile: __gl._ hieu und Pr= ) - 3. 1) Vgl. hierzu W. H. Young, Lond. Proc. (2) 1 (1904), 356.

Kap. IV, ~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz. 269 Da dann ebenso wie 9 auch Öd' insichdicht ist, so kann auch (' gespalten werden in zwei in ~i' und mithin in f dichte Teile: ( und 2- ' -.2' Indem man so weiter schließt, erkennt man, daß 9 zerspalten werden kann in abzählbar-unendlich viele zu je zweien fremde, in 1 dichte Teile: t= *' + Wir definieren nun: (1 auf 9,, f 0 auf 91-,. Dann ist f, total-unstetig auf 91. In jedem Punkte von 91 ist: f,=- für fast alle v, daher ist {f,} konvergent auf 91: lim f= 0. s,= r0 Da hingegen jeder Punkt von I1 Häufungspunkt jeder Menge 91, ist, so ist offenbar in jedem Punkte von 91: U(a; {f,}, 2)==1. Damit aber ist Satz IV bewiesen. Satz V. Ist e in 9 abgeschlossen und nirgends dicht1), so gibt es eine auf 9 konvergente Folge {f,} auf 1 stetiger, den Beziehungen O < f<, lim f,, 0 v-0co genügender Funktionen, die in jedem Punkte von 3 ungleichmäßig, in jedem Punkte von 1- S3 gleichmäßig auf 91 konvergiert. Sei in der Tat h,((r) folgende (für r 0 definierte) Funktion der reellen Veränderlichen r (Fig. 12): 0 für r= — und für r>, (0) h (r)=. 1 für r==1uiear 11 [1l 21 V v linear in 0, und in -. Fig. 12. Ist dann a ein Punkt von 91 und r (a, 93) sein Abstand von 3, so ist ____ fs (a)= h; (r (a, 3)) ) Dann ist gewiß 3< 91W.1

270 Funktionenfolgen. eine auf Q stetige Funktion von a. In jedem Punkte von 89 ist für alle v, in jedem Punkte von - 3 für fast alle v: f (a)= 0, somit ist {ft} konvergent auf 9: (00) lim f-=0. Sei nun a ein Punkt von - 93, {a} eine Folge aus 9, {v,} eine Indizesfolge mit: lim an = a; lim = — ~ o. Da 93 abgeschlossen in 9f, ist: limr (a,, 3) =- r(a, 3) > 0, n= o und mithin: 2 r(an', 3) - für fast alle n. Es ist also auch: fn (an) - für fast alle n, und somit, wegen (00): U(a;{f'}, 9)=0, d. h. jeder Punkt von 91-3 ist ein Punkt gleichmäßiger Konvergenz (~ 5, Satz XI). Sei sodann a ein Punkt von 93. Da 93 nirgends dicht in 91, gibt es in 9-93 eine Punktfolge {an}, so daß: (000) lima ==a, und somit limr(a, 3)-=0. -00n= n=- o Wie aus (0) folgt, gilt aber für jedes r aus (0,1): h. (r) >- für mindestens ein v. Also gibt es zu fast allen a% ein v, so daß: 2 und da wegen (000) offenbar lim v=-+- oo, so ist wegen (00): n =- oo U(a; {f,}, 2) d.h. jeder Punkt von 93 ist ein Punkt ungleichmäßiger Konvergenz. Damit ist Satz V bewiesen.

Kap. IV, ~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz. 271 Satz VI. Die Aussage von Satz V bleibt bestehen, wenn B Vereinigung abzählbar vieler in 9 abgeschlossener und nirgends dichter Mengen ist. Sei in der Tat: wo jede Menge e, ein in 9/ abgeschlossener und nirgends dichter Teil von 91. Nach Satz V gibt es zu jeder Menge $,3 eine Folge f,, v} auf 1 stetiger Funktionen, so daß: y= aO und so daß die Konvergenz von {f,,} gleichmäßig ist auf 9 in den Punkten von 9- -, ungleichmäßig in den Punkten von 93,. Wir bilden nun die Doppelfolge: u. *fo, (7,r=-l, 2,.). Wir ordnen sie irgendwie in eine einfache Folge, fl2, **...,T.... von der wir nun leicht erkennen, daß sie die in Satz VI verlangten Eigenschaften hat. In der Tat, zunächst ist auf ganz 91: (*) lim f,= O. Y=00 Andernfalls gäbe es einen Punkt a von 91 und ein e >0, so daß: (**) f (a) e für unendlich viele v. Da aber: 1 (**%*) 0O- i ft,,<e für a,>- und alle v, müßte es wegen (**) mindestens ein i- geben, für das: 1 - f,,v(a) > e für unendlich viele v, im Widerspruche mit: lim f,, -0, womit (*) bewiesen ist. Da die Folge 1 1 1

272 Funktionenfolgen. eine Teilfolge von {f,} ist, so ist offenbar: U (a; {>f } -U (a; {f,,, }) mithin ist {f,}, ebenso wie {fu,,), ungleichmäßig konvergent auf 9f in jedem Punkte von 8ö, und da dies für jedes / gilt, auch in jedem Punkte von 3. Sei endlich a ein Punkt von 9[ - 3, {a} eine Punktfolge aus 9I, {v.} eine Indizesfolge mit: lim a. —a; lim va -+ oo. n=-oo n=oo Um zu zeigen, daß {f,} in a gleichmäßig auf S1 konvergiert, haben wir nachzuweisen: lim f,. (an)= O. n=cO Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es ein e>0, so daß fVn (a,)>_ für unendlich viele n, und, indem wir von {aj} zu einer Teilfolge übergehen, können wir geradezu annehmen: (***) fn(a,) ef für alle n. Wegen (***) müßte es also ein *(<) geben, so daß unendlich viele.f zur Folge -.1 f**, } gehören. Dann aber steht (**) in Widerspruch zur Tatsache, daß {ft*,,} in a gleichniäßig auf 9f gegen 0 konvergiert. Damit ist Satz VI bewiesen. Nunmehr können wir die Umkehrung von Satz III beweisen: Satz VII. Damit es eine a'uf 1 konvergente Funktionenfolge {f-} gebe, die ungleichmäßig auf 2f konvergiert in allen Punkten von $, gleichmäßig auf 9 in allen Punkten von X -t, ist notwendig und hinreichend, daß 3 Vereinigung abzählbar vieler in 9f abgeschlossener Teile von 9f1 sei. Die Bedingung ist notwendig; dies ist schon in Satz III enthalten. Die Bedingung ist hinreichend. Sei in der Tat: wo js, ages sen in. Nach K. +;, ~ 2, Satz X I k tn wo jedes i 3, abgeschlossen in n. Nach Kap. I, ~ 2, Satz XI können wir annehmen:

Kap. IV, ~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz. 273 Wie beim Beweise von Kap. III, ~ 3, Satz V zerlegen wir: 3,=, + '-, worin: Q', (t - ); dann ist, wie wir dort sahen, eS in sichdicht, während offenbar 3' nirgends dicht und abgeschlossen in X ist. Ferner ist, wie wir gleichfalls dort sahen, -<" " t Wir setzen: - -- 1 t...... ~ ~ ~ /~ +: 4;S~ ~ ~ + -2.6 Nach Satz IV gibt es nun zu jeder (nicht leeren) Menge 58' eine Folge total-unstetiger Funktionen gSt, L gSy, 2 ' * ', 'X?) * * * die nur die beiden Werte 0, 1 annehmen, und die auf 3'' totalungleichmäßig gegen 0 konvergieren: (t) lim gi,, 0. a, = CO Wir definieren eine Funktionenfolge {g } auf 92 durch: g,=-gi, 1, auf 31'; 1, t,. auf -. -I; g,- =0 auf 2 - 3". Aus (t) folgern wir sofort: ~(ttff) lim g=0 auf Sf, während wir, ganz wie beim Beweise von Kap. III, ~ 3, Satz V, erkennen, daß die Konvergenz ungleichmäßig ist in jedem Punkte von S3", gleichmäßig in jedem Punkte von 2- B3". Da S' Vereinigung abzählbar vieler, in 9I abgeschlossener und nirgends dichter Mengen ist, gibt es nach Satz VI eine Funktionenfolge {h,} auf S9, so daß: (tt -) limh, — 0 auf 91, und so daß die Konvergenz ungleichmäßig auf 9 ist in jedem Punkte von 3', gleichmäßig in jedem Punkte von W - $'. Bilden wir nun die Folge: (ttt) g1, hl, g2, h,..., g,, h,2,...., so konvergiert auch sie, wegen (tt) und (ttt) auf ganz 9 gegen 0. Da in jedem Punkte von 93 =-3'- 3" sei es {gv}, sei es {h,} ungleichmäßig auf 9 konvergiert, so auch (ttt). Da in jedem Punkte von 9 - S sowohl gy als hi gleichmäßig auf 9 konvergiert, so auch (ttt). Damit ist Satz VII bewiesen. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 18

274 Funktionenfolgen. Endlich können wir nun auch noch Satz II umkehren. Satz VIII. Damit es auf 91 eine Funktionenfolge {f/} gebe, für die der Teil S von 9C die Menge aller Punkte ist, in denen {f,} nicht gleichmäßig auf 91 konvergiert, ist notwendig und hinreichend, daß 23 Vereinigung abzählbar vieler in 91 abgeschlossener Mengen sei. Die Bedingung ist notwendig; dies ist schon in Satz II enthalten. Die Bedingung ist hinreichend. Sei in der Tat 3 Vereinigung abzählbar vieler in 91 abgeschlossener Mengen. Wir setzen: Dann ist 51 Vereinigung abzählbar vieler in 9~ abgeschlossener Teile von 91.91. Also gibt es nach Satz VII eine auf 91 konvergente Funktionenfolge {gv}, die in den Punkten von 31 ungleichmäßig, in denen von 9 — 31 gleichmäßig auf 1 konvergiert. Wir setzen nun: h(a) (1)V r(a,5l-,); f932g + 11 ^. Die Folge {hi} ist gleichmäßig konvergent auf W1 in jedem Punkte von 1- S,; hingegen konvergiert sie nicht in den Punkten von 2 1). Also konvergiert auch {f4} nicht in den Punkten von 2, während in den Punkten von 9-, {f,} gleichzeitig mit {g,} gleichmäßig konvergent ist auf 91 oder nicht. Damit ist Satz VIII bewiesen. ~ 7. Punktweise ungleichmäßige Konvergenz. In Analogie zur Definition der punktweise unstetigen Funktionen (Kap. III, ~ 4) definieren wir nun: Die auf 91 konvergente Funktionenfolge {f,} heißt punktweise unstetig (bzw. ungleichmäßig) konvergent auf 91, wenn die Menge aller Punkte von 91, in denen {f/} stetig (gleichmäßig) auf 91 konvergiert, dicht in 91 ist. Nur mit dem Falle punktweise ungleichmäßiger Konvergenz (in dem die gleichmäßige Konvergenz auf 91 als Spezialfall enthalten ist) wollen wir uns näher befassen. In Analogie zu den Sätzen II, III, IV von Kap. III, ~ 4 stehen die ganz ebenso zu beweisenden Sätze: Satz I. Ist die auf 9S eigentlich konvergente Folge {I} punktweise ungleichmäßig konvergent auf 91, so ist für jedes q>O die Menge aller Punkte, in denen: 1) Denn jeder Punkt a von SS ist ein isolierter Punkt von 91, so daß für ihn r(a, 9 - 2) > O.

Kap. IV, ~ 7. Punktweise ungleichmäßige Konvergenz. 275 (,) v(a; {f 2)> q ist, nirgends dicht in 9W. Satz II. Ist die auf 9f konvergente Folge {f}, punktweise ungleichmäßig konvergent auf 9f, so ist die Menge aller ihrer Punkte ungleichmäßiger Konvergenz von erster Kategorie in 9. Satz III. Ist {f,} konvergent auf der relativ-vollständigen Menge 9/, und ist für jedes q>O die Menge aller Punkte, in denen (*) gilt, von erster Kategorie in 91, so ist {f,} punktweise ungleichmäßig konvergent auf 9. Vergleichen wir in ~ 6 Satz IV einerseits mit den Sätzen V nnd VI andererseits, so sehen wir, daß die total-ungleichmäßig konvergente Folge {f,} von Satz IV aus total-unstetigen Funktionen besteht, während die Folgen {f"} der Sätze V und VI aus stetigen Funktionen bestehen. Es erhebt sich daher die Frage: Gibt es total-ungleichmäßig konvergente Folgen stetiger Funktionen? Diesbezüglich gilt: Satz IV1). Ist w 9 relativ-vollständig2), so ist jede konvergente Folge {f,} auf S9 stetiger Funktionen punktweise ungleichmäßig konvergent auf 1. 1) Dieser Satz wurde (unter der einschränkenden Voraussetzung, lim f sei stetig) zuerst bewiesen von W. F. Osgood, Am. Journ. 19 (1897), 155, sodann (ohne diese Einschränkung) von W. H. Young, Lond. Proc. (2) 1 (1904), 89. Andre Beweise von E. W. Hobson, Lond. Proc. 34 (1902), 245; Theory of functions of a real variable (1907), 485. C. A. Dell' Agnola, Rend. Linc. 19/2 (1910), 108. - Durch diesen Satz ist ein von P. Du Bois-Reymond gegebenes Beispiel (Berl. Ber. 1886, 366) einer vermeintlich total-ungleichmäßig konvergenten Folge im 9i stetiger Funktionen als irrig nachgewiesen. 2) Diese Einschränkung kann nicht entbehrt werden. Beispiel (Fig. 13): Sei 1 die Menge r1, r,..., rv... aller rationalen Punkte des 91. Sei h. > 0, rational und so klein, daß die v Intervalle (ri, ri - 2 b) (i- 1, 2,..., v) fremd sind. G C+2hv 7? V v 2 5 y+2As Fig. 13. Sodann werde f. definiert durch: f,= 0 außerhalb dieser Intervalle; f 1 in ri + h, (i = 1,2,..., v); ft linear in [ri, r, - h\] und [ri - h, r +- 2h] (i 1, 2,..., v). Dann ist ff } konvergent (lim f-==0), aber total -ungleichv=Cm mäßig konvergent auf 2, und zwar ist in jedem Punkte a von 92: U(a; {f~, 1)==1. 18*

276 Funktionenfolgen. Vermöge der Schränkungstransformation können wir beim Beweise {f~} als beschränkt annehmen. Nach Satz III genügt es, zu beweisen: Für jedes q > 0 ist die Menge 9fq der Punkte von 92, in denen (*) gilt, nirgends dicht in 91. Angenommen, es wäre 2/q nicht nirgends dicht in 91; dann gäbe es eine in 91 offene Menge 91', in der 21 dicht wäre. Und da nach ~ 6, Satz I 592 abgeschlossen in 91 ist, so wäre: (**) l-<5. Wir wollen zeigen, daß dies unmöglich ist. Angenommen, es gelte (**); dann ist in jedem Punkte von 91' (*) erfüllt. Sei a ein solcher Punkt. Ist dann lU (a) eine beliebige Umgebung von a in 91, v ein beliebiger Index, so gibt es (~ 5, Satz VI) in iU(a) einen Punkt a' und einen Index ~ > v, so daß:,(a') - f(a') > (f iim,). Es gibt daher auch ein p2 ~ ~r, so daß: Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit aller f, gibt es daher eine Umgebung l (a') von a' in 91, so daß: f ~, - > auf U (a'). Das aber heißt mit anderen Worten: Die Menge 93,, aller Punkte von 92', in denen 1 f-f ~-1 f üt fr v'>v, r">,' ist nirgends dicht in 91. Also ist die Vereinigung von erster Kategorie in 91. Da 91' offen in 92, kann also nach Kap. I, ~ 8, Satz XVI nicht jeder Punkt von 91' zu 93 gehören. Dies aber steht im Widerspruche zur vorausgesetzten (eigentlichen) Konvergenz von {f,}, derzufolge jeder Punkt von 91 zu 3 gehört. Damit ist Satz IV bewiesen. Satz V1). Ist 91 relativ-vollständig2), so ist die Grenz1) Dieser Satz wurde (auf anderem Wege) zuerst bewiesen von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 30; Le9ons sur les fonctions discontinues (1905), 108. Vgl. auch W. H. Young, Mess. of math. (2) 37 (1907), 49; C. A. Dell'Agnola, Rend. Lomb. 41 (1908), 303, 683. 2) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei 91 die

Kap. IV, ~ 7. Punktweise ungleichmäßige Konvergenz. 277 funktion einer konvergenten Folge {f,} auf 92 stetiger Funktionen punktweise unstetig auf 9f. In der Tat, nach Satz IV liegen die Punkte gleichmäßiger Konvergenz von {f,} dicht in 92; nach ~ 3, Satz X ist aber in jedem solchen Punkte die Grenzfunktion stetig auf 9I. Damit ist Satz V bewiesen. In Satz IV war die Folge {f)} als konvergent vorausgesetzt; wir wollen nun feststellen, was an Stelle von Satz IV tritt, wenn diese Voraussetzung fallen gelassen wird'). Wir nennen die Folge {f,} punktweise unstetig (ungleichmäßig, sekundär-ungleichmäßig) oszillierend auf X, wenn die Menge aller Punkte von S9, in denen sie stetig (gleichmäßig, sekundär-gleichmäßig) oszilliert auf 9C, dicht in 91 ist. Wir schicken den Satz voraus2): Satz VI. Für jede Folge auf 2 unterhalb stetiger3) Funktionen {fv} ist die Menge aller Punkte von 9f, in denen {fv} nicht oberhalb stetig (oberhalb sekundär-gleichmäßig) auf 9f oszilliert, von erster Kategorie in 914). Sei fk die obere Schrankenfunktion der k-ten Restfolge von {f,} und f die obere Grenzfunktion von {fy}. Dann ist (Einleitung ~ 6, Satz V): f lim fk. In jedem Punkte von 92, in dem {f,} nicht oberhalb stetig auf 91 oszilliert, d. h. in dem (~ 2, Satz XIII): (t) r(a; e fv }, 9t) > f(a), Menge r, r2,..., r,,... der rationalen Punkte des R1,. Sei h, > 0, rational und so klein, daß die Intervalle (ri - h,,, ri +- z) (i, 2,..., v) fremd sind. Sodann werde f, definiert durch: f= 0 außerhalb dieser Intervalle; ist m. 1 ri = + (m,, ni teilerfremde ganze Zahlen > 0), so sei f, (ra) - (i=l, 2,...,, ni und in jedem Intervalle [ri - I,,, ri], [ri, r + h,] (i- 1,2,.., r ) sei f, linear. Dann ist lim f (r)== —, und somit total-unstetig auf 9S. l iner. D ann ist lmf (ri) —, 1) Die folgenden Sätze rühren her von W. H. Young, Lond. Proo. (2) 6 (1908), 312; (2) 12 (1913), 355. 2) Beim Beweis dieses, wie der folgenden Sätze kann, vermöge der Schränkungstransformation, {f,} als beschränkt angenommen werden. 3) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei 9 der 91, und seir r, r,.., r, r,... die Menge aller rationalen Punkte des 91. Sei f,= 1 in r", sonst =-0. Dann ist jedes f, oberhalb stetig, aber in keinem Punkte des 9, ist {fy} oberhalb stetig (oder oberhalb sekundär-gleichmäßig) oszillierend. 4) Sind die f4 oberhalb stetig, so gilt dies für die Punkte, in denen {fO} nicht unterhalb stetig (unterhalb sekundär-gleichmäßig) oszilliert.

278 Funktionenfolgen. ist also auch: (tt) F(a; {f,}, ß) > fk,(a) für fast alle k. Bezeichnen wir mit 8 den Teil von 21, auf dem (t) gilt, mit 9k den Teil von K9, auf dem (tt) gilt, so ist demnach: (ttt) 23- = Be + * *... + 223, +... Wir beweisen zunächst, daß jede Menge 5u, von erster Kategorie in -f ist. Bezeichnen wir mit fl7 ki + den größten unter den 1+-1 Funktionswerten fk, fk +1 *' fk+- l so ist fk;k+- unterhalb stetig auf 1 (Kap. II, ~ 8, Satz IX). Nun ist aber (Einleitung ~ 6, Satz VI): fk —lim fic, k-; fkC,k+ <- fk, k-+l also ist nach Kap. II, ~ 10, Satz I, auch lf unterhalb stetig auf 92. Da aber (~ 1, Satz IX) r(a; {f,}, 2) oberhalb stetig auf fist, so ist (Kap. II, ~8, SatzVI,VII): F(a; {f,}, 2) - fk(a) oberhalb stetig auf 91. Infolgedessen ist die Menge k, aller Punkte von 91, in denen: (\P r) r(a; {(f"}, )- f1c() > it X abgeschlossen in 91 (Kap. II, ~ 9, Satz IV). Daraus folgern wir weiter, daß 3k,, nirgends dicht in 9f. Denn andernfalls gäbe es eine in 1 offene Menge 2S', in der 3k, E dicht ist, und da k, n abgeschlossen in -1, wäre: ''< ek,. In jedem Punkte von 9' wirde also (i ) gelten, und mithin auch: 1 (t.~) Fr(a; { vJ, 9)> f (a) + - für alle > k. n Nach ~ 1, Satz VII aber gibt es zu jedem Punkt a' von 91' eine Punktfolge {a1} in 92 und eine Indizesfolge {v }, so daß: (_) lim a0=- a ll imlim =+oo; l f, (ai) - F=(a', {f,}, 2). I — o i- - Go it i Da 9W' offen in 91, gehören fast alle at zu 91'; fast alle vi sind > k, es ist also wegen (t) r(a,; {f,,}3 51)~,i(1.)+ - für fast alle i, mithin wegen () durch den Grenzübergang i —> o: lim r(a,; {ft,},:) > F(a'; {Lf}, 5[) +1 entgegen der Tatsache, daß F(a; {f,}, W) oberhalb stetig auf 91. Damit ist bewiesen, daß 3k n nirgends dicht in 91 ist.

Kap. IV, ~ 7. Punktweise ungleichmäßige Konvergenz. 279 Da nun aber ^-k = k,l +k,2+'- *.+ ek,n+ *... so ist B;k von erster Kategorie in 9t, wie behauptet. Mithin ist nach (ttt) auch 3 von erster Kategorie in '9 (Kap. I, ~ 4, Satz XX). Damit ist gezeigt, daß die Menge aller Punkte von 9f, in denen {f,} nicht oberhalb stetig auf 29 oszilliert, von erster Kategorie in 9 ist. Nach ~ 4, Satz Va gilt dies dann auch für die Menge aller Punkte von 9t, in denen {f)} nicht oberhalb sekundär-gleichmäßig auf 91 oszilliert, und Satz VI ist bewiesen. Satz VII. Ist 29 relativ-vollständig, so ist jede Folge auf 21 stetiger Funktionen {f,} punktweise unstetig (punktweise sekundär-ungleichmäßig) oszillierend auf S9. In der Tat, nach Satz VI ist sowohl die Menge aller Punkte von 9W, in denen {f)} nicht oberhalb stetig, als die, in denen {f)} nicht unterhalb stetig auf 29 oszilliert, von erster Kategorie in 9t. Dasselbe gilt daher von ihrer Vereinigung, d. h. der Menge aller Punkte, in denen {f,} nicht stetig auf 9/ oszilliert. Also ist (Kap. I, ~ 8, Satz XV) ihr Komplement, d. h. die Menge aller Punkte, in denen {fv} stetig auf 29 oszilliert, dicht in 91, und Satz VII i st bewiesen. Für die gleichmäßige Oszillation gilt ein solcher Satz nicht, wie folgendes Beispiel zeigt. Sei ri, r2,..., r,,... die Menge der rationalen Punkte des 9S,; mit 3. bezeichnen wir eine Vereinigung endlich vieler offener Intervalle des 9S mit folgenden Eigenschaften1): 1. y, enthält die Punkte r,, r,..., r,. 2. Die untere Gemeinschaftsgrenze (3 (Einleit. ~ 1, S. 4) der Mengen 9-i S (- 1, 2,...) ist dicht im i1,. Sei sodann f: eine im 91, stetige Funktion, die = 1 ist in r,, r,..., r, und =0 in S -3-,. Wir behaupten: Die Folge {fv} ist in keinem Punkte des 1,S oberhalb gleichmäßig oszillierend. In der Tat, in allen Punkten von (3 ist: lim f,-0. v =0 Sei nun a ein ganz beliebiger Punkt des 1,. Wäre {f,} oberhalb gleichmäßig oszillierend in a, so gäbe es eine Umgebung U (a) und einen Index v0, so daß (0) 1f < lim fv+-=- auf U(a)d für alle v~vO. Das aber kann nicht sein. In der Tat, in U (a) gibt es einen rationalen Punkt rv,* (,* > vO). Wegen f*,(r*) = 1 und wegen der Stetigkeit von f,. muß daher in einem r,,* enthaltenden Intervalle die Ungleichung gelten: im Widerspruche mit (0). Also ist {f/} in keinem Punkte oberhalb gleichmäßig oszillierend im 9,. Wohl aber gelten für die gleichmäßige Oszillation die folgenden Sätze: 1) Man erhält solche Mengen!3 in folgender Weise: Sei s,, S S..., s,... eine abzählbare Menge irrationaler Punkte, die im 1, dicht ist. Man wähle nun für 2, eine Vereinigung endlich vieler offener Intervalle, die die Punkte r, r,..., r. enthalten, s,. s aber nicht.

280 Funktionenfolgen. Satz VIII. Ist 1 relativ-vollständig, und ist die Folge {f,} auf 91 stetiger Funktionen sekundär-gleichmäßig oszillierend auf 91, so ist sie punktweise ungleichmäßig oszillierend auf 91. In der Tat, bezeichnet wieder fk, k+ den größten der Funktionswerte fk, f+l,,... fk+v) so ist (Kap. II, ~ 3, Satz VIII) fk, k+ stetig. Wegen der sekundär-gleichmäßigen Oszillation konvergieren in jedem Punkte von 91 die fk k+, gleichmäßig gegen fk, also ist auch fk stetig auf 9 (~3, Satz X). Also ist f=lim fk punktweise unstetig auf 91 (Satz V). Ganz ebenso k= oo beweist man, daß auch die untere Grenzfunktion f von {f} punktweise unstetig ist auf 91. Also liegen (Kap. III, ~ 4, Satz VII) die gemeinsamen Stetigkeitspunkte von f und f dicht in 91. Nach ~ 4, Satz VI ist aber in jedem solchen Punkte {fv} auch gleichmäßig oszillierend auf 91, und Satz VIII ist bewiesen. Satz IX. Ist 9S relativ-vollständig, sind die f, stetig auf 9, und ist sowohl die obere Grenzfunktion f als die untere Grenzfunktion f von {f,} punktweise unstetig auf 9, so ist {(f} punktweise ungleichmäßig oszillierend auf 91. In der Tat, wie wir beim Beweise von Satz VIII sahen, sind die dort mit 4f, k- bezeichneten Funktionen stetig auf 91. Die obere Schrankenfunktion der k-ten Restfolge: fk==lim fk, k+ v = w ist also nach Satz V punktweise unstetig auf 91; ebenso die untere Schrankenfunktion fk der k-ten Restfolge. Da nach Annahme auch f und f punktweise unstetig sind auf 91, so gibt es nach Kap. III, ~ 4, Satz VII, einen in 91 dichten Teil 3 von 91, in dessen Punkten f,f und sämtliche f4, fk (k- 1,2,...) stetig sind auf 91. Nach ~ 2, Satz X, ist also die Konvergenz von {fk} gegen f und von {fk} gegen f in jedem Punkte von 9 stetig und mithin auch (~ 3, Satz II) gleichmäßig auf 91. Nach ~ 4, Satz III ist also {fi,} in jedem Punkte von 93 gleichmäßig oszillierend auf 9, und Satz IX ist bewiesen. ~ 8. Einfach-gleichmäßige und quasi-gleichmäßige Konvergenz. Sei {f,} eine auf 9 konvergente Folge von Funktionen, die im Punkte a von 91 stetig auf 91 (oder auf ganz 91 stetig) sind. Damit auch ihre Grenzfunktion stetig in a auf 9 (oder stetig auf 9) sei, ist, wie wir gesehen haben (~3, Satz X, XVI) hinreichend, daß {f,} gleichmäßig in a auf 91 (bzw. gleichmäßig auf 9) konvergiere. Doch ist diese Bedingung nicht notwendig ), wie die Untersuchungen 1) Die Frage, ob die gleichmäßige Konvergenz auch notwendig ist füir die Stetigkeit der Grenzfunktion, war lange Zeit offen. (S. z. B. H. E. Heine J. f. Math. 71 (1870), 353.). Noch O. Stolz hielt sie für notwendig: Ber.

Kap. IV, ~ 8. Einfach-gleichmäßige u. quasi-gleichmäßige Konvergenz. 281 von ~ 6 lehren; ein besonders einfaches Beispiel liefert nachstehende Folge von Funktionen {f,} einer reellen Veränderlichen: Sei fV 0 in (-o, 0], und in L, + — ); fv () 1 und f, linear in 0o, und in F, 2] (Fig. 6, S. 244). Dann ist überall im 9: lim f -=0, V = 00 die Konvergenz aber ist ungleichmäßig im Punkte 0. Wir geben noch. ein Beispiel einer Folge {f,} stetiger Funktionen einer reellen Veränderlichen, die überall im 91 gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert, während die Konvergenz ungleichmäßig ist in einer im 91 dichten Punktmenge 1). Sei 0, (v = 0, 1, 2,...) die Menge aller Punkte (i= 0, + 1, +2,...) des 9i. Die Funktion f sei linear in jedem Intervalle Li, i T-, und.. 0 l 8 2 8 Öl 8 Fig. 14. ihre Werte in den Punkten von S3 seien gegeben durch die Vorschrift (Fig. 14): f ==0 auf eSv1; gehört a zu S3, - _, so ist f,(a)-, wennwenigstens einer der beiden Nachbarpunkte von a in 3,_i zu 33, aber keiner zu _gehört. Dann ist überall im 91: lim f =- 0, die Konvergenz aber ist ungleich1' = 00 mäßig in jedem Punkte von S3, + -2....-, -... Wir wollen nun Bedingungen aufstellen, die gleichzeitig notwendig und hinreichend sind, damit aus der Stetigkeit der Funktionen einer konvergenten Folge {f4} auch die Stetigkeit der Grenzfunktion folge. Anknüpfend an die in ~ 3, Satz VIII gegebene Formulierung des Begriffes der gleichmäßigen Konvergenz in einem Punkte definaturw. Ges. Innsbruck 5 (1875), 31. Die ersten, die durch Beispiele das Gegenteil zeigten, waren: G. Darboux, Ann. Ec. Norm. (2) 4 (1875), 79. P. du Bois-Reymond, Münch. Abh. 12 (1875), 119. G. Cantor, Math. Ann. 16 (1880), 268. 1) Ein anderes Beispiel: W. F. Osgood, Am. Bull. (2) 3 (1896), 69. Allgemein wurde diese Frage bereits in ~ 6, Satz VI behandelt.

282 Funktionenfolgen. nieren wir: Ist a ein Punkt von Wo, so heißt die auf 2f eigentlich konvergierende Folge {fv} eigentlich einfach-gleichmäßig konvergent nin a uf 2f gegen ihre Grenzfunktion f, wenn es zu jedem e>0, zu jeder Folge {an} aus Sr mit lim a=- a, und zu jedem = 00 Index v0 einen Index nw und wenigstens ein v* vo gibt, so daß: (0) fi,*(ca.)- f(a ) < e für n no. Eine beliebige auf St konvergente Folge {f,} heißt einfachgleichmäßig konvergent in a auf 2f, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformation entstehende Folge eigentlich einfach-gleichmäßig konvergiert in a auf 9f. In Analogie zu ~ 3, Satz IX erhalten wir: Satz I. Damit die (auf X konvergente) Folge {f,} eigentlich einfach-gleichmäßig in a auf i gegen ihre Grenzfunktion f konvergiere, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 und zu jedem Index v% eine Umgebung U von a in Si und ein v*~vO gebe, so daß: I f,*(a')-f(a')<e für alle a' von U. Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie sei nicht erfüllt. Dann gibt es ein e>0 und einen Index v von folgender Eigenschaft: ist v vO, so liegt in U (a; 1 ein Punkt av, in dem: f(an,)- f (an,) > E. Wir bilden nun die Folge: Ctl, ' vo; 2C,, c, +1; 3,'o?, 3, 'o-1 a3, 'o+2; ~ ~; Cao n,o,,,,+*l..., nn,a,,o+n-1*;..* sie konvergiert offenbar gegen a. Ist v* irgendein Index > v, so ist aber für alle n>v* - O: f/;, (C,*) -, f(a,*) a E, also ist die Bedingung für eigentliche, einfach-gleichmäßige Konvergenz in a auf 2 nicht erfüllt. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Ist {a"} eine Punktfolge aus %1 mit lima =a, so gibt n =o es ein nO, so daß a, für n >o in U liegt. Dann aber ist für n > Bedingung (0) erfüllt. Damit ist Satz I bewiesen. An Stelle des Satzes X von ~ 3 tritt nun der Satz:

Kap. IV, ~ 8. Einfach-gleichmäßige u. quasi-gleichmäßige Konvergenz, 283 Satz II1). Ist die Folge {f;} konvergent auf 92, und sind alle f;, stetig in a auf 9f, so ist, damit auch die Grenzfunktion f von {f,} stetig in a auf %9 sei, notwendig und hinreichend, daß {f"} einfach-gleichmäßig in a auf 9 gegen f konvergiere. Vermöge der Schränkungstransformation können wir beim Beweise annehmen, f sei beschränkt. Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, f sei stetig in a auf 9. Ist e > 0 sowie der Index v0 beliebig gegeben, so gibt es wegen der Konvergenz von { f} gegen f ein v* vO, so daß: (00) I f,*(a) - f((a) < e. Ist {a"} eine Punktfolge aus S1 mit lima =a, so folgt aus (00), wegen der Stetigkeit von f und fy,*: n= l f*,(a)- -f(a,) < e fiür fast alle n. Dies ist aber gleichbedeutend mit (0), d. h. {f,} ist einfach-gleichmäßig konvergent in a auf 91, wie behauptet. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Sei e>0 beliebig gegeben und {a"} eine Punktfolge aus 91 mit lima, =a. Wegen der Konvergenz von {f,} gibt es ein vo, so daß: (t0) j~f,(a)-f(a) < f für Y>vO. Wegen der einfach gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein v *>o, so daß: (tt) 1;(a,) - f(a) | < für fast alle n. Wegen der Stetigkeit von f,,* ist: (t1t) fv*(a") *(a) < für fast alle n. Wegen (t) ist insbesondere: (+t+) ' f*(a) f(a) <3 Aus (tt), (ttt), (-it) aber folgt: f(a ()- f(a) < für fast alle n. D. h. f ist stetig in a auf 91. Damit ist Satz II bewiesen. 1) Vgl. hierzu E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable (1907), 489. - C. A. Dell' Agnola, Atti Ven. 69 (1909/10), 1098. - F. Hausdorff, Grundzüge d. Mengenlehre (1914), 386. - Satz II ist, ebenso wie die folgenden Sätze dieses Paragraphen, ein allgemeiner Grenzsatz.

284 Funktionenfolgen. Satz III. Ist die monotone Folge {/;,} einfach-gleichmäßig konvergent in a auf 9f, so ist sie auch gleichmäßig konvergent in a auf 9f. In der Tat, wir können wieder annehmen, f sei beschränkt. Wegen der einfach-gleichmäßigen Konvergenz gibt es zu jeder Folge {a,} aus If mit limalz a, jedem e 0 und jedem vr ein v*>Vo und ein 20o, so daß (wenn wieder lin f - f gesetzt wird): 3p = CO (*) f,, *(a,)- f(a,,) < für ni > 0. Wegen der Monotonie von {fi} ist aber: ifi(a)j- f(a) <| f*( (a) - f(a,) für, v*. Also folgt aus (*): | (aj -( - f() 1 < e für n > z, v > v. Nach ~ 3, Satz VIII ist damit die gleichmäßige Konvergenz von {f,} in a auf 2f nachgewiesen. Satz II und III ergeben'): Satz IV2). Ist die Folge {/} monoton, und sind alle f,, stetig in a auf 9/, so ist, damit auch die Grenzfunktion von {f,} stetig in a auf If sei, notwendig und hinreichend, daß {f,} gleichmäßig in a auf- l konvergiere. Nachdem wir bisher einfach-gleichmäßige Konvergenz in einem Punkte betrachtet haben, definieren wir nun3): Die Folge {f } konvergiert eigentlich einfach-gleichmäßig auf 9? gegen f, wenn es zu jedem e > 0 und jedem 1, mindestens ein v*>v0 gibt, so daß: if'*-f < auf ganz 92. Die Folge {f,} heißt einfach-gleichmäßig konvergent auf 9f, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformätion entstehende Folge eigentlich einfach-gleichmäßig auf 9 konvergiert. Offenbar ist jede auf E% einfach-gleichmäßig-konvergente Folge auch einfach gleichmäßig konvergent auf 91 in jedem Punkte von 92. Im Gegensatze zu ~ 3, Satz XIII gilt die Umkehrung hiervon nicht. Es kann also zwar aus Satz II unmittelbar geschlossen werden: Satz V. Konvergiert die Folge {f,} auf 51 stetiger Funktionen einfach-gleichmäßig auf 5 gegen f, so ist auch f stetig auf?. 1) Dies folgt übrigens auch aus ~ 2, Satz XI und ~ 3, Satz II einerseits, ~ 3, Satz X andrerseits. 2) U. Dini, Grundlagen f. eine Theorie d. Funktionen (1892) 148. - P. Montel, Ann. Ec. Norm. 24.(1907), 263. - C. A. Dell'Agnola, Atti Ven. 70 (1910/11), 383. 8) U. Dini, a. a. O.

Kap. IV, ~ 8. Einfach-gleichmäßige u. quasi-gleichmäßige Konvergenz. 285 Hingegen kann nicht gefolgert werden, daß die einfach-gleichmäßige Konvergenz auf 5 auch eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit der Grenzfunktion wäre'). Übrigens ist die einfach-gleichmäßige Konvergenz auf einer Menge 91 von geringem Interesse. Es gilt nämlich: Satz VI2). Konvergiert die Folge {f"} einfach-gleichmäßig auf 91 gegen f, so gibt es in ihr eine gleichmäßig auf 91 gegen f konvergierende Teilfolge {fvi}. In der Tat, es gibt wegen der einfach-gleichmäßigen Konvergenz von {f;,} eine stets wachsende Indizesfolge s{i}, so daß: f- 1 If, _-f <. Dann aber konvergiert {f,,} gleichmäßig auf S( gegen f, und Satz VI ist bewiesen. Nachdem wir in der einfach-gleichmäßigen Konvergenz in einem Punkte eine Bedingung kennen gelernt haben, die notwendig und hinreichend dafür ist, daß aus der Stetigkeit aller f, einer konvergenten Folge in einem Punkte auch die Stetigkeit der Grenzfunktion in diesem Punkte folge, stellen wir eine Bedingung auf, die notwendig und hinreichend dafir ist, daß aus der Stetigkeit aller f, auf ganz 91 auch die Stetigkeit der Grenzfunktion auf ganz 91 folge. Die konvergente Folge {f,,} heißt eigentlich quasi-gleichmäßig konvergent3) auf 91 gegen ihre Grenzfunktion f, wenn es zu jedem e > 0 und jedem Index ve einen Index vo > v gibt, derart, daß in jedem Punkte von 91 mindestens eine der v' - v Ungleichungen gilt: L;' -f! < (vO <v< V') Die Folge {f,} heißt quasi-gleichmäßig konvergent auf 91, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformation entstehende Folge eigentlich quasi-gleichmäßig konvergent ist auf 9. Der Zusammenhang mit dei Begriff der einfach-gleichmäßigen Konvergenz in einem Punkte wird hergestellt durch die beiden folgenden Sätze: 1) Dies zeigen auch die zu Beginn dieses Paragraphen angegebenen Beispiele. 2) C. Arzell, Mem. Bol. (5) 8 (1899), 174; E. W. Hobson, Lond. Proc. (2) 1 (1904), 374. 3) Dieser Begriff stammt von C. Arzel, der diese Art der Konvergenz,als,convergenza uniforme per tratti" bezeichnet. Der Name,quasigleichmäßige Konvergenz" stammt von E. Borel. Vgl. die Literatur zu Satz IX.

286 Funktionenfolgen. Satz VII. Konvergiert die Folge {f~} auf fl stetiger') Funktionen quasi-gleichmäßig auf 91, so konvergiert sie einfach-gleichmäßig auf 9I in jedem Punkte von 9W. Es genügt, den Beweis für beschränkte Folgen {f,} zu führen. Sei a ein Punkt von 91, {aj} eine Punktfolge aus 9. mit lima =-a, fl = 00 und sei ~>0 beliebig gegeben. Wegen der Konvergenz von {fv(a)} gibt es ein v, so daß: (0) I f(a) - f, (a) < für ' > r, v)>. 2 - -0 Wegen der quasi-gleichmäßigen Konvergenz von {f } gibt es ein vo' >V so daß in jedem Punkte von 91 mindestens eine der Ungleichungen erfüllt ist: (00) |f -f I< < o <v. 2' 0= Wegen der Stetigkeit der f4 folgt aus (0): Es gibt ein ni, so daß: (000) |f,,,(a,)- ( f,(a)|<1 für rV O'< <to'; o <"< 0;n n0. Ist nun v* ein beliebiger Index vov <v o', und v ein Index v v" <v ', für den (00) im Punkte a" erfüllt ist, so haben wir aus (00) und (000): I f (a) - f(aj) [ < 2- f*,(aa,) - fW (az) | < 2 und mithin: l f*(a,)- f(aG ) < e fir n ii no d. h. {f,} konvergiert einfach-gleichmäßig in a auf T9, wie behauptet. Satz VIII. Ist 9 kompakt, und konvergiert die Folge {f,} einfach-gleichmä-ßig auf 91 gegen f in jedem Punkte von 1~, so konvergiert sie quasi-gleichmäßig auf 9 gegen f. Wir können beim Beweise wieder {f4} als beschränkt voraussetzen. Angenommen, {f4 } konvergiere nicht quasi-gleichmäßig gegen f auf 9S. Dann gibt es ein e > 0, eine Folge {ca} aus 91 und einen Index v%, so daß: (~O0) f (a") - f(a) ~ > E für vO v < v v + +n. 1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei '[ der E9, und sei: f2r —=l1 in (O, ), sonst =0; f2 = 1 in ( —,0), sonst -0. Dann konvergiert {f,} quasi-gleichmäßig gegen 0, aber die Konvergenz ist nicht einfach-gleichmäßig im Punkte 0.

Kap. IV, ~ 8. Einfach-gleichmäßige u. quasi-gleichmäßige Konvergenz. 287 Da 9I kompakt, gibt es in {a}, eine konvergente Teilfolge {a,i1}; sei etwa: lim a -- a; i=ooi dann gehört a zu 91. Wegen der einfach-gleichmäßigen Konvergenz von {f)} in a gibt es ein v*r>v und ein ij, so daß: fl*(ai) -- f(a, ) I< für i i o. Das aber steht im Widerspruche mit (000), wodurch Satz VIII bewiesen ist. Nun kommen wir zum Schlußergebnis dieser Untersuchungen: Satz IX1). Sind in der konvergenten Folge {f,} alle f, stetig auf 91, so ist, damit auch ihre Grenzfunktion f stetig sei auf X9, notwendig und hinreichend, daß die Konvergenz von {f,} gegen f quasi-gleichmäßig sei auf jedem abgeschlossenen und kompakten Teile von 91. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat 23 ein abgeschlossener und kompakter Teil von 9. Ist f stetig auf 91, so auch auf 38, also muß nach Satz II die Konvergenz von {f,} gegen f einfach-gleichmäßig auf 8 sein in jedem Punkte von 23. Da aber 2 abgeschlossen, ist S 3~_O. Nach Satz VIII konvergiert also {fy} quasi-gleichmäßig gegen f auf 3, wie behauptet. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Sei a ein Punkt von 9 und {a,} eine Folge aus 9 mit lim a-=a; mit 2S bezeichnen wir die aus den Punkten a und a, (n-= 1, 2,...) bestehende Punktmenge. Dann ist 2 kompakt und abgeschlossen; also ist nach Annahme {f } quasi-gleichmäßig konvergent auf S3, und mithin nach Satz VII auch einfach-gleichmäßig konvergent in a auf 23. Nach Satz II ist also f in a stetig auf 23, d. h. es ist: f). lim f(a")=- f(a). n = c Also ist f stetig in a auf 91, und Satz IX ist bewiesen. 1) Dieser Satz stammt von C. Arzela, Rend. Bol. (1) 19 (1883/84), 83; Mem. Bol. (5) 8 (1899/1900), 13f (Deutsche Bearbeitung von J. Pohl, Monatsh. f. Math. 16 (1905), 54), Rend. Bol. 7 (1902/03), 22. Die Bemerkung, daß es sich um einen allgemeinen Grenzsatz handelt, stammt von M. Fr6chet, Rend. Pal. 22 (1906), 9. Weitere Literatur: E. W. Hobson, Lond. Proc. (2) 1 (1904), 380; E. Borel, Legons sur les fdnctions de variables reelles (1905), 41. C. A. Dell' Agnola, Rend. Lomb. (2) 40 (1907), 369; (2) 41 (1908), 287; G. Vivanti, Rend. Pal. 30 (1910), 85. W. H. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910), 353. T. H. Hillebrandt, Am. Bull. (2) 18 (1912), 447; Ann. of math. (2) 14 (1912), 81. L. Orlando, Ann. Ac. Porto 6 (1911), 188; 7 (1912), 97; Rend. Linc. 22/2, (1913), 415.

Funktionenfolgen. ~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen. Wir haben im vorstehenden die Frage behandelt, unter welchen Umständen aus der Stetigkeit der Funktionen einer konvergenten Folge {f},) auf die Stetigkeit der Grenzfunktion geschlossen werden kann. Sei: (0) f-lim f;, l,-= Co und seien alle t;, stetig in a auf W1. Es ist auch f stetig in a auf 9X, wenn für jede Folge {(a} aus 91 mit lima =a: lim f(a") = f (a). n= oo Wegen (0) ist dies gleichbedeutend mit: lim (lim f~ (aj)) = lim fr (a), n=oo v=wo - =C O und wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der f4 weiter mit: li (lim f ) li m (lim,(a)) i (i (az)). n=oo y=Mx 1r=oo n=xo Es handelt sich also um einen speziellen Fall der Frage: Unter welchen Umständen können bei einer Doppelfolge reeller Zahlen') a' die beiden Grenzübergänge m — > oo, n —> oo vertauscht werden? Wir wollen uns, bevor wir zu einer noch allgemeineren Fragestellung aufsteigen, kurz mit diesem Probleme befassen. Der Einfachheit halber setzen wir die Doppelfolge als beschränkt voraus, was ja durch die Schränkungstransformation stets erreicht werden kann. Satz I. Sei {a,} eine beschränkte Doppelfolge reeller Zahlen; für jedes n existiere der Grenzwert: (1) a ==-limam, m = X für jedes m existiere der Grenzwert: (2) am - lim a~m Dann ist für die Gültigkeit der Formel: (3) lim (lim a) = lim (lim '"t) m-=co n_=oo n = n==o notwendig und hinreichend, daß es, wenn e>0 beliebig t) Näheres über solche Doppelfolgen findet man bei A. Pringsheim, Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre. Erster Band (1916), 247ff.

Kap. IV, ~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen. 289 gegeben ist, zu fast allen m einen Index n, gebe, so daß: (4) a _-anl<e für n>n,. Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, es gelte (3), d. h. es sei: (5) lim all = lim an a. m_ = 0o n = oo Dann gibt es ein min, so daß: ait - a < e für m mo; wegen (2) und (5) gibt es daher auch zu jedem mn>mo ein nm, so daß (4) gilt, und die Behauptung ist bewiesen. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Es gibt dann ein mN, so daß für m rm (4) gilt. Also wenn m' m, nm" m0: (6) am'-a l -< für n>nm'; aan -,an <- für Nnlrm". Wegen (2) gibt es nun ein n(~(>_n und fm",), so daß: 4 n 4" (7) 7-ca^|< _; am-am <4 Aus (6) und (7) aber folgt: am' -a "l < E für m'm, m" mo. Es existiert also der Grenzwert: lim ham - a. Es gibt daher ein m*, für das einerseits (4) gilt, d. h. (8) an — an < e für fast alle n, und für das andrerseits: (9) am* -a I< e. Wegen (2) ist ferner (10) am*- - 1 <*< e für fast alle n. Aus (8), (9), (10) aber folgt: la,-a1<3e' für fast alle n, d. h.: lim a, = a. n z= co Damit aber ist (3) nachgewiesen, und der Beweis von Satz I beendet. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 19

290 Funktionenfolgen. Am bekanntesten ist der Fall, daß die n, von m unabhängig gewählt werden können, etwa = no (vgl. ~ 3, Satz X). Die Bedingung, die man so erhält, und die hinreichend, aber nicht mehr notwendig ist für die Gültigkeit von (3), ist nun aber notwendig und hinreichend für die Existenz des zweifachen Grenzwertes lim am m oo, n = Do (in der ja, unter den Voraussetzungen von Satz I, die Gültigkeit von (3) mit enthalten ist). Es gilt nämlich: Satz II. Unter den Voraussetzungen von Satz I ist für die Existenz des zweifachen Grenzwertes: (11) a= lim a mn = o, n = oo notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 zwei Indizes mo und no gebe, so daß: (12) lar —a I<e für rnmo, n>no. Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, aus (11) folgt: es gibt ein min und ein no, so daß: (13) la -a|<- für nz>m, n>n,. Durch den Grenzübergang m —>oo folgt daraus: (14) lan-a _- für n~no. Aus (13) und (14) aber folgt (12), wie behauptet. Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, ist sie erfüllt, so lehrt Satz I das Bestehen des Grenzwertes: a = lim a; n = oo es ist also, wenn no hinlänglich groß: (15) 1\a- al<e für n~n0.. Aus (12) und (15) aber folgt: |a^'-al<2e für mrnm, n no, d. h. das Bestehen von (11). Damit ist Satz II bewiesen. Von Satz II ist am bekanntesten der Fall, daß no von e unabhängig gewählt werden kann. Es ist dann keinerlei Einschränkung, no -1 anzunehmen. Man definiert dann: Gilt für jedes n die Be

Kap. IV, ~ 9. Vertauschung von Grenzübergangen. 291 ziehung (1), und gilt bei beliebigem e> 0: la-a, <e für fast alle m und alle n, so heißt die Konvergenz von ai gegen agleichmäßig in n. Und wir erhalten als Spezialfall von Satz II: Satz III. Gelten für {a} die Voraussetzungen von Satz I, und ist die Konvergenz von an gegen a, gleichmäßig in n, so ist: lim (lin a) = lim (lim a) == lim an.,1n "oo n = n=oo no i = om=o,n==oo So wie Satz X von ~ 3 enthalten ist in Satz II, so erweist sich nun Satz II von ~ 8 als Spezialfall des Satzes: Satz IV. Sei {am} eine beschränkte Doppelfolge reeller Zahlen, für die die Grenzwerte (1) und (2) von Satz I und ferner der Grenzwert') (16) lim a(l (lim a,()) *nI = oo m =t cX n == oo existiert. Dann ist für die Gültigkeit der Formel (3) von,Satz I notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 und zu jedem Index mo einen Index no und ein m*~mo gebe, so daß: (17) la -a, <<e für n>no. Die Bedingung ist notwendig; dies ist schon in Satz I enthalten. Die Bedingung ist hinreichend. Nehmen wir sie in der Tat als erfüllt an. Bezeichnen wir wieder den Grenzwert (16) mit a, so gibt es ein mt, so daß: lam_-a <e für m> n. Ist dann m* ein Index mno, für den (17) gilt, so haben wir wieder die Ungleichungen (8), (9), (10) von Satz I, aus denen die Behauptung folgt. Setzen wir die Existenz des Grenzwertes (16) nicht mehr voraus, so können wir nur mehr behaupten: 1) Zum Unterschiede von Satz I kann hier die Existenz dieses Grenzwertes nicht gefolgert, sondern muß eigens vorausgesetzt werden. Beispiel: Sei für gerades m: a` = 0- für alle n, für ungerades m: an=1 für n n } 1 für n > m. Hier ist lim (lim am) Ö-ä, während der Grenzwert (16) nicht existiert. 19*

292 Funktionenfolgen. Satz V. Ist {anz} eine beschränkte Doppelfolge reeller Zahlen, für die die Grenzwerte (1) und (2) von Satz I existieren, und gibt es zu jedem e>0 und zu jedem mo ein no und ein m*>no, so daß (17) gilt, so existiert der Grenzwert: lim (lim an). In der Tat, wegen (17) gibt es ein m* und ein no, so daß: (18) a1 t[< < 3; |I C - < für n'> n >n. 3 O< Wegen der Existenz des Grenzwertes (2) aber kann %n auch so groß angenommen werden, daß: (19) - a, < für n' n0 n" Aus (18) und (19) aber folgt: an, - anf < e für n' >no, n" n und somit die Existenz von lim an. Damit ist Satz V bewiesen. n = X' Die vorstehenden Sätze über Vertauschung von Grenzübergängen bei Doppelfolgen sind Spezialfälle viel allgemeinerer Sätze über Vertauschung von Grenzübergängen bei Funktionen von Punkten zweier metrischer Räume. Seien ( und Z zwei metrische Räume. Mit x bezeichnen wir die Punkte von ~, mit y die von $. Wir definieren dann als den ~Verbindungsraum": die Menge aller Paare (x, y). Wir denken uns i zu einem metrischen Raum gemacht durch eine geeignete Abstandsdefinition1), die wir nur den Beschränkungen unterwerfen: r (x, y),(x', y'))_ r (x,, '); {(xy),(z;?)) ^(YW); r ((x, y), (x', y)) - r (x, '); r ((x, y), (x, y')) = r (y, y'); '((x, y), (x', y~))- r (x, x'); r(~x, y), (x,y' (y, yO Aus der Dreiecksungleichung folgt dann r ((x, y), (x', y')) < r (X, x') + r (y, y'). Es ist also die Beziehung: lirn (x., y")= (x, y) ) Eine solche ist z. B. gegeben = duch die Festsetzung 1) Eine solche ist z. B. gegeben durch die Festsetzung: r ~{x, y), (x', )) == V ^l( r (x, x')' +r (y,

Kap. IV, ~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen. 293 völlig gleichbedeutend mit den beiden Beziehungen: lim x =- x; lim y, =y. n = s- = Co Ist nun 9 eine Punktmenge aus ( und (E eine Punktmenge aus S, sind b und c die Punkte von s3 bzw. von (E, so können wir die aus allen Paaren (b, c) bestehende Verbindungsmenge Q3 X f( bilden. Sie ist eine Punktmenge des Verbindungsraumes. Sei nun eine Funktion auf 53 X fg gegeben. Wir können sie bezeichnen mit f(b, c). Für jedes feste c aus ( ergibt sie eine auf 53 definierte Funktion von b, für jedes feste b aus 5 eine auf 2 definierte Funktion von c; wir wollen diese beiden Funktionen bezeichnen mit ft(b) und f (c). In jedem Punkte bo von 23' können wir dann die beiden reduzierten Schrankenfunktionen G'(bo; f, 93), g'(bo; f, 93) auf 3 von f (b) bilden. Sind sie einander gleich, d. h. (Kap. II, ~ 11, S. 1.70) hat f, in bo einen Grenzwert auf 93, so schreiben wir kurz ): lim f(b, c) G' (bo; fc, 3) -g' (bo; fc, 93), b =bo und in Anlehnung an diese Schreibweise setzen wir allgemein: lim f(b, c) G'(bo; f0, 3); lim f(b, c)== (bo; f, 8). b= -bo b bo In ganz analoger Weise werden die Symbole definiert: lini f(b, c); lim f(b, c); lim f(b, c). c= c c=co c=co Jeder der Ausdrücke: lim f(b, c), lim f(b, c) b —bo b bo ist nun eine auf ( definierte Funktion von c, für die reduzierte obere und untere Schranke in co auf (E gebildet werden können; wir bezeichnen diese reduzierten Schranken mit: (*) lim (lim f(b, c)); limni(in f(b, c)); lim (lim f(b, c)); lim(imm f(b, c)). C=Co B bo c-=Co bI=b c= Bo bc=o C=Co b-bo Offenbar ist: lim (lim f(b,c)) lim (lim f (b, c)). c-coo bo = b=-bo Sind hierin beide Seiten gleich, so haben alle vier Ausdrücke (*) 1) Allgemein bedeutet im folgenden das Symbol lim: "Grenzwert in bo auf S"; ebenso lim:,Grenzwert in co auf i". b=bo c= co

294 Funktionenfolgen. denselben Wert, und wir bezeichnen diesen gemeinsamen Wert kurz mit: lim (lim f(b, c)), =Co b =bo und analog ist die Definition des Symboles: lim (lim f (b, c)). b =bo C=C An Stelle von Satz I tritt nun: Satz VI1). Damit für die beschränkte Funktion f(b, c) die Formel gelte: (20) lim (lim f(b, c))=lim (lim f(b, c)), b=bo C=co C=Co b=-b ist notwendig und hinreichend, daß die beiden Bedingungen bestehen: 1. Es ist2): lim (lim f (b c)-lim f(b, c)) 0; b-bo c —Co C — Co (21) lim (lim f(b, c)- lim f(b, c)) 0. c=co b=bo b=bo 2. Zu jedem e>0 gehört eine reduzierte Umgebung U'(co) von co in y von folgender Eigenschaft: Zu jedem Punkt c* vonl '(co) gibt es eine reduzierte Umgebung U'(bo) von bo in e, so daß: (22) lim f(b,c) < f(b, c*)< limf(, c) +e auf U'(bo). coco C=Co Die Bedingungen sind notwendig. Für 1. ist dies evident. Denn das Bestehen des Grenzwertes lim (lim f(b, c)) ist gleichbedeutend mit: b=bo C=co lim (lim f(b, c)) lim (lim f(b, c)), b=bo c=co b=bo c-co und daher mit der ersten Gleichung (21); und ebenso beweist man die zweite. 1) Dieser und die folgenden Sätze wurden (für den 9E) bewiesen von E. W. Hobson, Lond. Proc. (2) 5 (1907), 225. Eine Umformung von Satz VI findet man bei P. Martinotti, Rend. Pal. 37 (1914), 23. 2) Diese Bedingung tritt an Stelle der Voraussetzung von Satz I, daß die Grenzwerte (1) und (2) existieren. Insbesondere ist Bedingung (21) erfüllt, wenn die beiden Grenzwerte existieren: lim f(b, c) und lim f(b, c). C = Co b- = bo

Kap. IV, ~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen. 295 Was nun Bedingung 2. anlangt, so setzen wir: (23) im f(b, c) l(c); lim f(b, c)=l(c); b=bo b=bo lim (lim f(b, c))- =l. c=CO b=bo Es ist also: lim l(c) = lim (c) == 1. C=Co C=CO Daher gibt es eine reduzierte Umgebung U' (c) von co in (, so daß: - <I (c) < (c) < + in U'(c). 2 -— 2 Ist also c* ein Punkt von U'(co), so gibt es wegen der Bedeutung (23) von l(c) und l(c) eine reduzierte Umgebung U'(bo) von bo in 3, so daß auch: (24) < <f(b,c*)<l+ 2 in U'(bo). Wegen (20) ist nun aber auch: lim (lim f(b, c)) -, b=bo =Co es kann also U'(bo) auch so angenommen werden, daß: (25) 1 < lim f(b, c) lim f(b, c) < + e in U'(bo). c=cO c=CO Aus (24) und (25) aber folgt (22), wie behauptet. Die Bedingungen sind hinreichend. In der Tat, wir nehmen sie als erfüllt an, und zeigen zunächst, daß dann der Grenzwert existiert: (26) 1- lim (lim f(b, c)). c =C b=bo Wegen Bedingung 2. gibt es eine reduzierte Umgebung U'(co) von cO in (~, derart, daß zu je zwei Punkten c', c" von U' (c) eine reduzierte Umgebung U'(bo) von bo in e gehört, in der: lim f (b, c)- < f (b, c')< lim f(b, c)- +8, (27) c=CO e Co lim f(b, c)- e< f(b, c")<lim f(b, c) + e. C=CO c=CO Wegen der zweiten Gleichung (21) wird, wenn U'(co) hinlänglich klein gewählt ist:

296 Funktionenfolgen. (28) lim f(b, c') - lim f(b, c') < e; lim f(b, c") -lin f(b, c") < e, b-bo b-bo- b=bo b=bo und infolgedessen wird es in l' (b0) ein b* geben, so daß: lim f(b, c') - e < f(b*, c') < lim f (b, c') + e, (29) b=bo b=bo lim f(b, c")- < f (b*, c") < lin f(b, c") +. b=bo b=bo Wegen der ersten Gleichung (21) kann b* auch so gewählt werden, daß: lim f(b*,c) < lim f(b*,c)-e. =Co C=Co Hieraus, zusammen mit (27) und (29) aber folgern wir1): | lim f(b, c')- lim f(b, c") ] < 5 e; lim f(b, c') - lim f(b, c") | < 5 e. b=bo b=bo bbo bbo Nach Kap. II, ~ 11, Satz XI existieren also die beiden Grenzwerte: lim (lim f(b, c)) und lim (lim f(b, c)), c=co b=bo c=co b-bo und wegen der zweiten Gleichung (21) sind sie gleich. Damit ist die Existenz des Grenzwertes (26) nachgewiesen. Wegen (26) und wegen Bedingung 2. gibt es nun ein c* und eine reduzierte Umgebung U'(bo) von bo in 3, so daß die beiden Ungleichungen gelten: (30) l- < lim f(b, c*) lim f (b, c) < l +. b=bo b=bo (31) lim f(b*, c)- < f(b*, c*) < lim f(b*, c) + CCo c^=co für alle b* von Ul'(bo). Wegen der ersten Gleichung (21) kann ferner U'(bo) so gewählt 1) In der Tat, aus (29) folgt: f(b*, c') -e < lim f (b, c' ) < f(b*, c') + e, b bo f(b*, c") - E < lim f(b, c") < f(b*, c") +, bb =o und aus (27) folgt: lim f(b*, c) - < f(b*, c') < lim f(b*, c) + 2,, C=CO C=Co lim f(b*, c) - < f(b*, c") < lim f (b*, c) + 2, C=Co C=-Co und somit: f(b*, c') - f(b*, c") < 3e.

Kap. IV, ~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen. 297 werden, daß: (32) lim f(b*, c) -lim f(b*, c) < e für alle b* von U' (bo). C=CO c=CO Wegen der zweiten Gleichung (21) kann endlich c* und U'(bo) so angenommen werden, daß: (33) lim f(b, c*)-e<f f(b*, c*) < lim f(b, c*) + e b=bo b=bo für alle b* von 1I'(b). Aus (30), (31), (32), (33) aber folgt für alle b* von U'(bo): mli f(b*, c)-1<4e; lim f(b*, c) -l<4e. C=Co c-co Das aber heißt: lim (lim f(b, c))= 1, b=bo c=co womit Satz VI bewiesen ist. An Stelle von Satz II tritt nun: Satz VII. Gehört bo zu ~o- und co zu o - O, so ist, damit die beschränkte Funktion f(b, c) in (bo, co) einen Grenzwert auf 23 X ( besitze, notwendig und hinreichend, daß die beiden Bedingungen bestehen: 1. Es ist: lim (lim f(b, c)- lim f(b, c))= 0; (34) b-bo c=co =c, lim (lim f(b, c)- lim f(b, c))- O. c=co b=bo b=bo 2. Zu jedem e>0 gibt es eine Umgebung1) U'(bo) von bo in SS und eine Umgebung U'(cO) von co in e, so daß für alle b* aus U'(bo) und alle c* aus U'(cO): (35) liml f(b*, c)- e < f(b*, c*)< lim f (b*, c)+ e. C-Co C -C0 Die Bedingungen sind notwendig. Habe in der Tat f(b, c) in (bo, c,) auf 3 X ( den Grenzwert 1. Ist dann e> 0 beliebig gegeben, so gibt es eine Umgebung IU'(bo) von bo in S, und U'(co) von co in s, so daß für alle b aus II'(bo) und alle c aus 11'(co): (36) if(b, c)-1 <1) Da nach Voraussetzung bo nicht zu S gehört, ist hier der Begriff der Umgebung und der reduzierten Umgebung von bo in S identisch.

298 Funktionenfolgen. Infolgedessen ist für alle b aus U' (b): (37) |lim (bc)-Z|<-2, |limf(bc) —l< c=cO 2 2' C —o - - C also: lim f(b, c) -lim f(b, c) I<e, cs=Co Coco womit die erste Gleichung (34) nachgewiesen ist. Ebenso beweist man die zweite. Aus (36) und (37) folgt aber auch (35). Die Bedingungen sind hinreichend. In der Tat, sind sie erfüllt, so lehrt zunächst Satz VI das Bestehen des Grenzwertes: (38) = lim (lim f(b, c)) — lim (lim f(b, q)). bc=bo c=co C-=o b bo Es kann also die in Bedingung 2. auftretende Umgebung I' (bo) von bo in S3 so angenommen werden, daß für alle b* aus U'(bo): (39) 1 - e <lim f (b*, c) <lim f(b*, c)<l + e. C —CO C=Co Aus (35) und (39) aber folgt dann für alle b* aus U'(bo) und alle c* aus U'(co): 1 - 2 e < f(b*, c*) < + 2 e, d. h. es hat f(b, c) in (bo, co) auf X>< den Grenzwert 1, womit Satz VII bewiesen ist. Wir heben auch hier den dem Satz III entsprechenden Spezialfall von Satz VII hervor: Existiert für jedes b aus 8 der Grenzwert l(b)=lim f(b, c), C= —CO so wollen wir sagen: es konvergiert f(b, c) für c —>c0 gleichmäßig für alle b von n3 gegen 1(b), wenn es zu jedem e>0 eine reduzierte Umgebung Ul(co) von co in ( gibt, so daß: f(b, c)-l(b) <e für alle c von 1U(co) und alle b von B3. Dann folgt aus Satz VII bei Beachtung von (38): Satz VIII. Sei bo Punkt von 23~0-S und co Punkt von (~ - (; für alle b von 5 existiere der Grenzwert: l(b)= lim f(b, c), C=CO und für alle c von d: existiere der Grenzwert: m (c)-lim f(b, c), b=bo

Kap. IV, ~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen. 299 und die Konvergenz von f(b, c) gegen l(b) sei gleichmäßig für alle b. Dann hat f(b, c) in (bo, co) auf i3X einen Grenzwert 1, der gleich ist jedem der Werte: lim (lim f(b, c))== lim (lim f (b, c)). b =bo c =o c =co b= o An Stelle von Satz IV tritt hier der Satz: Satz IX. Existiert für die beschränkte Funktion f(b, c) der Grenzwert: (40) lim (him f(b, c)), C-Co b0=bo so ist für die Gültigkeit der Formel: lim (lim f(b, c))= lim (lim f(b, c)) b —boc=co:==Co b —bo notwendig und hinreichend, daß die beiden Bedingungen bestehen: 1. Es ist: linr (lim f (b, c)-lim f(b, c)) 0; b —bo co c-CO (41) lim (lim f(b, c) lim f (b, c))= 0. C=Co b=b&o bbo 2. Zu jedem e>0 gibt es in jeder reduzierten Umgebung U'(co) von co in -'ein c*, und dazu eine reduzierte Umgebung U'(bo) von bo in 03, so daß: lim f(b, c)- e < f(b, c*)< lim f(b, c)+ e auf 1' (bo). Die Bedingung ist notwendig. Dies ist schon in Satz VI enthalten. Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, da die Existenz des Grenzwertes (40) ausdrücklich vorausgesetzt wurde, gilt hier Ungleichung (30) in einer reduzierten Umgebung U'(co) von co in Q. Vo ii Ungleichung (30) an aber kann der Beweis von Satz VI wörtich wiederholt werden. Satz X. Genügt die beschränkte Funktion f(b, c) den Be dingungen 1. und 2. von Satz IX, so existiert der Grenzwer t: (42) lim (lim f(b, c)). b=bo c-o In' der Tat, aus den beiden Bedingungen 1. und 2. folgert man: In jeder reduzierten Umgebung U'-(Co) von cd in ( gibt es ein c*

300 Funktionenfolgen. und dazu eine reduzierte Umgebung U'(bo) von bo in 8, so daß für jedes Punktpaar b', b" aus U' (bo): f(b', c) — lim f(b', c) <; (b', *)lm f(, c)< ~ -- CO C - CO (43) e f (b"' c*) - lirm f (b", c) < f(b,c*)li f (b, c)<. C== Co c= Co Weiter kann wegen der zweiten Gleichung (41) c* so angenommen werden, daß: lim f(b, c*)- lim f(b, c*) <-. b = bo e b=bo Dann ist aber, wenn U'(bo) entsprechend klein angenommen wird, auch: (44) 1 f(b', c*) - f(", c*)|<. Aus (43) und (44) aber folgt für alle b', b" von U' (b): i lim f(b', c) - lim f(b", c)[ < e, lim f(b', c) - lim f(b", c) j< e. C=OCQ C= Cc C --- Co C - Co Nach Kap. II, ~ 11, Satz XI existieren also die beiden Grenzwerte: lim (lim f(b, c)) und lim (lim f(b, c)), b —= b C== C b =-b0 = co und wegen der ersten Gleichung (41) sind sie gleich. Damit ist die Existenz des Grenzwertes (42) nachgewiesen. ~ 10. Gleiehgradig stetige Funktionenmengen. Im engsten Zusammenhange mit der Lehre von den Funktionenfolgen stehen einige Sätze aus der Theorie der Funktionenmengen, auf die wir nun kurz eingehen wollen. Sei auf der Punktmenge 21 eine Menge j von Funktionen f gegeben. Sie heißt beschränkt, wenn alle f von 2 eine gemeinsame endliche Ober- und Unterzahl besitzen. Die. beschränkte Funktionenmenge! heißt im Punkte a von 29 gleichgradig stetig') auf ~9, wenn es zu jeder Punktfolge {a%} aus 9 mit limn a = a und zu jedem e > 0 einen Index no gibt, so daß: ~== (0) f(a,) f(a) l< e für n n0 und alle f von,. ~) Dieser Begriff wurde eingeführt von G. Ascoli, Mem. Line. 18 (1883), 545. Vgl. auch C. A. Dell'Agnola, Atti Ven. 69 (1909/10), 1103.

Kap. IV, ~ 10. Gleichgradig stetige Funktionenmengen. 301 Die beliebige Funktionenmenge i heißt gleichgradig stetig in a auf 9f, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformation entstehende Funktionenmenge gleichgradig stetig in a auf 51 ist. Es wird daher genügen, im folgenden alle Beweise nur für beschränkte Funktionenmengen zu führen. Satz I. Damit die beschränkte Funktionenmenge W gleichgradig stetig sei in a auf 9, ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 eine Umgebung U(a) von a in 5 gebe, so daß: (00) f(a)-f(a)\<e für alle a' von Ul(a) und alle f von /. Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie sei nicht erfüllt. Dann gibt es ein e > 0 und für jedes n in U a; - einen Punkt an von 2 und in: eine Funktion fn, so daß: I fü (ani)- fü (a) I e. Da lim a,=-a, ist also: nicht gleichgradig stetig in a auf f. Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, und ist {a t} eine Punktfolge aus 2f mit lim a = a, so liegen fast alle al in t (a), und es ist somit wegen (00) auch (0) erfüllt. Satz II1). Ist die Folge {f,} im Punkte a konvergent, und sind alle f, stetig in a auf 2f, so ist, damit die von den f, gebildete Funktionenmenge H gleichgradig stetig sei in a auf 29, notwendig und hinreichend, daß {f,} stetig konvergent2) sei in a auf 5f. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat {f, (a)} konvergent: (*) lim f,, (a) =1, und sei g gleichgradig stetig in a auf 5f. Ist dann {a} eine Punktfolge aus 95 mit lima a=c a, so gibt es ein %l, so daß: (**) If (a,)- f(a) <e für n > 0 und alle r. 1) C. Arzela, Mem. Bol. (5), 5 (1895), 55; (5), 8 (1899), 176 (Deutsche Bearbeitung von J. Pohl und Br. Rauchegger, Monatsh. f. Math. 16 (1905), 250). Vgl. auch C. A. Dell' Agnola, Rend. Linc. 19/2 (1910), 106. Satz II ist, wie die folgenden Sätze dieses Paragraphen, ein allgemeiner Grenzsatz: M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 10. 2) Wegen ~ 3, Satz II, III kann es statt dessen auch heißen: gleichmäßig konvergent.

302 Funktionenfolgen. Wegen (*) gibt es ferner ein vo, so daß: (***) fv (a)- l < -für v o. Aus (**) und (***) aber folgt: fv,(alt)-l < 2e für n n0o und v %vo, und somit: lim f, (a,)=L t =, v = CO Es existiert also, wenn lim v — + c, der Grenzwert lim f,(, (a"), n= oo n = oo d. h. es ist {f,} stetig konvergent in a auf 9W, wie behauptet. Die Bedingung ist hinreichend. Sei in der Tat {f,} stetig konvergent in a auf 9f. Dann ist, bei Beachtung von (*) r(a; {fv}, ) =y7(a; {f,},)=, 1 und mithin gibt es, wenn {an} eine Punktfolge aus 29 mit lim a,- a bedeutet, zu jedem e>0 ein w% und ein vo, so daß n-= (*8*) I-e<fv(a,)<l-E-+ für n>n, v>_O. Aus (***) und (***)'aber folgt: (***) |ff(a)-fp(a)|<2e für >no, vo. Wegen der Stetigkeit der f4 kann %n auch so groß angenommen werden, daß (**S) Ifv(a,^)- f(a)\<28 für n > =,,2,...,v- 1. Die Ungleichungen (***) und (* *) zusammen besagen aber die gleich-. gradige Stetigkeit von: in a auf 9f. Damit ist Satz II bewiesen. Wir wollen nun eine auf 92 gegebene Funktionenmenge H kompakt nennen'), wenn es in jeder Funktionenfolge {f~} aus: eine gleichmäßig auf 9 konvergierende Teilfolge gibt. Dann gelten die folgenden Sätze2): 1) Man kommt zu dieser Terminologie, indem man jede Funktion f auf 9I als Punkt eines Raumes S denkt, den man zu einem metrischen macht durch die Festsetzung: Sind f', f" zwei Funktionen auf 21, die durch die Schränkungstransformation übergehen in f*, f**, so sei: r (f', f")_= obere Schranke von If* -f** l auf S2. Konvergenz der Punktfolge {f } aus 2 gegen den Punkt f bedeutet dann g 1 ei chmäß i g e Konvergenz auf 9S der Funktionenfolge {f } gegen die Funktion f. 2) C. Arzela, a.a.O. Vgl. auch P. Montel, Ann. Pc. Norm. (3) 24 (1907), 237, 249. W. Groß, Wien. Ber. 123 (1914), 806. L. Tonelli, Atti Tor. 49 (1914), 4.

Kap. IV, ~ 10. Gleichgradig stetige Funktionenmengen. 303 Satz III. Damit die Menge 7 auf 91 stetiger Funktionen kompakt sei, ist notwendig, daß sie in jedem Punkte von 2 gleichgradig stetig sei auf 9. Angenommen in der Tat, es wäre ~ nicht gleichgradig stetig in a auf 91. Dann gibt es in S eine Punktfolge {a}, mit lim a,- a,. n== in a eine Funktionenfolge {f,}, und ein e>0, so daß: (t) fn (an)-f, (a) für alle n. Wäre nun eine Teilfolge {fv} von {f,} gleichmäßig, und mithin (~ 3, Satz III) auch stetig konvergent in a auf S9, so müßte nach Satz II die Menge der Funktionen [,n (i = 1, 2,...) gleichgradig stetig sein in a auf S9, im Widerspruche mit (i). Damit ist Satz III bewiesen. Was die Umkehrung dieses Satzes anlangt, zeigen wir zunächst: Satz IV. Ist 9f separabel und H eine in jedem Punkte von 2f gleichgradig stetige Funktionenmenge, so gibt es in jeder Funktionenfolge {f,} aus eine Teilfolge, die in jedem Punkte von 95 stetig auf 9 konvergiert. Sei in der Tat 8 ein abzählbarer und in 2f dichter Teil von 91, bestehend aus den' Punkten: b, b2,..., b,... In {fL} gibt es eine Teilfolge, sie werde bezeichnet mit {fs)}, so daß lim f(1)(bl) existiert. In der Folge {f()} gibt es eine Teilfolge {f()}, so daß lim f()(b,) existiert, rnd indem man so weiter -- c0 schließt, kommt man zu einer Folge von Folgen: {/^ {^ *-{W")).... (f?}.., die die beiden Eigenschaften hat: 1. Es ist {f(n+')} Teilfolge von {f()} 2. Es existiert der Grenzwert limf"n)(b,). Setzen wir nun: f() = f(v) so ist { f()} eine Teilfolge von {f,}, die auf ganz 8 konvergiert; denn für v n gehört f(') zu { sf>)}, so daß lim f(v) (b,) existiert. Aus der vorausgesetzten gleichgradigen Stetigkeit von H folgt dann aber leicht auch die Konvergenz von {f(v)} in den Punkten von 9 - S. Sei in der Tat a ein Punkt von 1-S2. Es gibt in 13 eine

304 Funktionenfolgen. Folge {(b,~) rmit limba a. Sei e>0 beliebig gegeben. Wegen der gleichgradigen Stetigkeit von a gibt es ein k, so daß für je zwei Indizes v', v": (tt f ) f() (b) - f("); (,) -- f(v") (a)l Wegen der Konvergenz von {f(")(b",)} gibt es ein v, so daß: (ttt) I fl') (b,, )- f(..) (b) |< 3 für v >_v, v v.o Die Ungleichungen (tt), (t-i') zusammen aber ergeben: f(V') (a)- f ") (a) |< e für '_, " v, d.h. die behauptete Konvergenz von {f()(a)}. Es ist also {f ()} konvergent in jedem Punkte von 2f, und somit nach Satz II auch stetig konvergent auf I2 in jedem Punkte von X1. Damit ist Satz IV bewiesen. Nun erhalten wir sofort folgende Umkehrung von Satz III: Satz V. Ist die Punktmenge 51 kompakt und abgeschlossen'), und ist die Funktionenmenge i gleichgradig stetig auf S[ in jedem Punkte von St, so ist sie kompakt. In der Tat, nach Kap. I, ~ 7, Satz IV ist 52 separabel, nach Satz IV gibt es also in jeder Folge {f4} aus eine Teilfolge {f()}, die in jedem Punkte a von 2 stetig und mithin (~ 3, Satz II) auch gleichmäßig auf 52 konvergiert. Nach ~ 3, Satz XIII konvergiert dann {f()} auch gleichmäßig auf s2, und Satz V ist bewiesen. Satz II ist Spezialfall des Satzes: Satz VIP). Ist H eine Menge von Funktionen, die stetig sind in a auf gf, so ist für die gleichgradige Stetigkeit von: in a auf 2 notwendig und hinreichend, daß jede Folge {fr} aus V stetig oszilliere in a auf 2. Die Bedingung ist notwendig: Sei in der Tat E gleichgradig stetig in c auf 91, und sei {f,} eine Folge aus S2. Wir setzen: f ihn f,. Ist s > 0 beliebig gegeben, so gibt es ein vt, so daß: (l) f, (a) < f(a)-1- für v >,. 1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im aS: Sei f-=0 in (-oo, v-l] und [v-+1l, +-0), f,(v)=l und f, linear in [v-1, v] und [v, v + 1]. Dann ist die Menge der f, gleichgradig stetig in jedei Punkte des 9E, es gibt aber in {Of} keine im 91 gleichmäßig konvergente Teilfolge. 2) Vgl. W. H. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910), 356.

Kap. IV, ~-11. Schranken- u. Grenzfunktionen einer Funktionenmenge. 305 Ist {an} eine Folge aus S9 mit lim a= a, so gibt es wegen der gleichn= oo gradigen Stetigkeit ein no, so daß: (2) | f ((an) - (a) f < 2 für n >n o und alle v. Aus (1) und (2) folgt: f,(an)<f(a) —+ für nt>n0 und iro, und somit für jede Indizesfolgo {v,} mit linm v, =+ oo: n== lim fv, (a~) _ f(a). Es ist also gewiß: r(a; {f}, ) = f(a), d. h. es ist {f,} oberhalb stetig oszillierend in a auf 2. Ebenso weist man nach, daß {f,} unterhalb stetig, und mithin auch stetig oszilliert in a auf 2, wie behauptet. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, es sei 0 nicht gleichgradig stetig in a auf 1. Dann gibt es ein e> 0, eine Punktfolge {an} aus 1 mit lim a,~=a, und eine Funktionenfolge {fv} aus H, so daß: n=oO (3) [ f(a,)-f, (a) | e für alle v. In {f,} gibt es eine Teilfolge {ff}, die in a konvergiert; etwa: lim fvi (a) --. =~oo Wegen (3) liegen fast alle Funktionswerte fv.(a,.) außerhalb (-,- 2-. Es gilt daher mindestens eine der beiden Ungleichungen: r(a; {fi ) > ); y (a; {f,j), O) <, so daß (ff} nicht stetig oszilliert in a auf 21. Damit ist Satz VI bewiesen. ~ 11. Schranken- und Grenzfunktionen einer Funktionenmenge. Unter der oberen (unteren) Schranke der Funktionenmenge: im Punkte a verstehen wir die obere (untere) Schranke der Menge aller Werte, die die Funktionen von - im Punkte a annehmen. Unter der oberen (unteren) Schrankenfunktion von H verstehen wir die Funktion, die in jedem Punkte a gleich ist der oberen (unteren) Schranke von H in diesem Punkte. Wir nehmen nun einen Schnitt vor in der Menge der reellen Zahlen, in dessen erste Komponente wir alle reellen Zahlen p aufnehmen, derart, daß f(a)2p für unendlich viele f aus l. Die diesen Schnitt hervorrufende Zahl nennen wir die obere Grenze von H im Punkte a. Unter der oberen Grenzfunktion von 9 Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 20

306 Funktionenfolgen. verstehen wir die Funktion, die in jedem Punkte a gleich ist der oberen Grenze von i in diesem Punkte. Analog ist die Definition der unteren Grenzfunktion. Satz I1). Ist i gleichgradig stetig in a auf 1I, so sind obere und untere Schrankenfunktion von ~ stetig in a auf 9. Sei zum Beweise F die obere Schrankenfunktion von von. Ist {a} eine Punktfolge aus g mit lima,-a, und ist e>0 beliebig gegeben, so gibt es wegen der gleichgradigen Stetigkeit von H ein nt, so daß: (0) f(a)- < f(a,)< f(a)+ - für n > n und alle f von ~. Nach Definition von F ist: f(a)< F(a) für alle f von i. Mithin wegen (0): f(a,)<F(a)+- für n'no und alle f von g; daher weiter nach Definition von F: (00) F(a) <F(a)+e für n >n0. Andererseits folgt aus der ersten Hälfte von (0): (5F(a) ) (a) — fü für n>n, und somit auch: (000) F(a) > F(a)- e für n>_n. Die Ungleichungen (00) und (000) besagen die behauptete Stetigkeit von F(a). Ebenso zeigt man die Stetigkeit der unteren Schrankenfunktion, und Satz I ist bewiesen. Satz II). Ist ~ gleichgradig stetig in a auf 91, so sind obere und untere Grenzfunktion von n stetig in a auf 9. Sei zum Beweise f die obere Grenzrunktion von I. Ist {a,} eine Punktfolge aus in;t lima,=a, und ist e> 0 beliebig gen=: geben, so gilt wieder (0). Nach Definition von f ist: f(a) <f(a) — für fast alle f von i. 1) C. Arzela, Mem. Bol. (5) 5 (1895), 61. Satz I ist, wie die anderen Sätze dieses Paragraphen, ein allgemeiner Grenzsatz. Vermöge der Schränkungstransformation kann wieder durchweg H als beschränkt angenommen werden. 2) P. Montel, Ann. Ec. Norm. (3) 24 (1907), 261.

Kap. IV, ~ 11. Schranken- u. Grenzfunktionen einer Funktionenmenge. 307 Mithin wegen (0): f(a)< f(a)+e- für n>no und fast alle / von e; daher weiter nach Definition von f: (0) f (aj)f (a) +e für n.. Andererseits ist, nach Definition von f: f(a)> f(a) - - für unendlich viele / von ~; und wegen (0) gilt für diese unendlich vielen f: f (a,) > f (a) - für n. Nach Definition von f ist also auch: (~~ f (a)) f ~f(a) - für n > n. Die Ungleichungen (0o) und (0Q0) besagen die behauptete Stetigkeit von f. Ebenso zeigt man die Stetigkeit der unteren Grenzfunktion, und Satz II ist bewiesen. Satz III1). Sei die Punktmenge 91 kompakt und abgeschlossen2), und sei die Funktionenmenge - beschränkt auf Q und gleichgradig stetig auf 1 in jedem Punkte von 9T. Für jedes e>0 genügen dann (wenn f und f obere und untere Grenzfunktion von H bedeuten) fast alle f von H auf ganz % der Ungleichung: f-E<f<f+e. Angenommen in der Tat, dies wäre nicht der Fall. Dann gäbe es ein e>0 und unendlich viele f, für die sei es die Ungleichung: f<f+ sei es die Ungleichung: f>nicht auf ganz gilt. Nehmen wir etwa ersteres a. Dann gib e nicht auf ganz 91 gilt. Nehmen wir etwa ersteres an. Dann gibt es eine Funktionenfolge {f4} in H, und eine Punktfolge {aC} in X, so daß: (t) f, (a,) f(a,) +- für alle v. Da 2 kompakt, gibt es in {aÖ} eine konvergente Teilfolge {ai}, deren Grenzpunkt a, weil [ abgeschlossen ist, zu 7I gehört. 1) P. Montel, a. a. 0. 262. 2) Diese Einschränkung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel S. 304 Fußn. 1). 20*

308 Funktionenfolgen. Wegen der gleichgradigen Stetigkeit von ~ ist: (tf) t/; (ca) > f,(a,,i)- - für alle Y und fast alle i. Wegen der Stetigkeit von f (Satz II) ist: tt'\ - f(a,) > f (a) - für fast alle i. Wegen (-j-) ist: (t) f1i (a.) > f(ai)j+ - für alle i. Aus (tt), (tt), (t) aber folgt: fn (a) > f (a) + für fast alle i, im Widerspruche mit der Definition von f. Damit ist Satz III bewiesen. Da zugleich mit l~ auch jeder Teil von ~ gleichgradig stetig ist, so hat nach Satz 11 auch jeder unendliche Teil einer gleichgradig stetigen Funktionenmenge stetige Grenzfunktionen. Die Umkehrung gilt nicht; sei in der Tat {f,} eine Folge stetiger Funktionen, die ungleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion f konvergiert (~ 8, S. 281), und sei g die Menge der Funktionen f,,. J eder unendliche Teil von 3 hat dann zur oberen und unteren Grenzfunktion die stetige Funktion f, aber nach ~ 10, Satz II kann i nicht gleichgradig stetig sein. Die Funktionenmengen, in denen jeder unendliche Teil eine stetige obere und untere Grenzfunktion besitzt, stellen also eine Verallgemeinerung der gleichgradig stetigen Funktionenmengen dar. Und in Verallgemeinerung von ~ 10, Satz IV gilt nun: Satz IYV). Ist 91 separabel, und hat in der Menge 2 auf 9( stetiger Funktionen jeder unendliche Teil eine auf 91 stetige obere Grenzfunktion, so gibt es in jeder Folge {f,} aus 3 eine Teilfolge {fy}, die gegen eine auf 91 stetige Grenzfunktion konvergiert2). Sei in der Tat ~8 ein abzählbarer und in 29 dichter Teil von 21. Wie beim Beweise von Satz IV, ~ 10 erhalten wir eine Teilfolge {f(*')} von {f~,}; die in jedem Punkte von SS konvergiert. Es genügt, nachzuweisen, daß {/'()} auch in jedem Punkte von 2I - -3 konvergiert, denn dann ist nach Voraussetzung die Grenzfunktion f von {/f()} von selbst stetig auf 21. Sei also {f(v')} irgendeine Teilfolge von {f(v)}. Nach Voraussetzung ist sowohl lirm f(') als auch limn f() stetig auf 21; und da auf [3: V — 0 '=00 (*) iim f(')= lima f(*C ) -____________ y0=3 i — o 1) W. H. Young', Lond. Proc. (2) 8 (1910), 355. 2) Der Unterschied gegen Satz IV von ~ 10 ist der, daß hier die Folge {f,} im allgemeinen nicht stetig gegen ihre Crenzfun'ktion konvergieren wird.

Kap. IV, ~ 12. Verdichtung von Singularitä.tei. 309 ist, und S3 dicht in 9' ist, so gilt (*) in allen Punkten von 9t. Nun gibt es aber, wenn a ein Punkt von 9f ist, in {fn')} eine Teilfolge {f(')}, so daß: lim () 'im f) (); -00.p:-oo wegen (*) ist also: liln f(' (a)= lira f/() (a), d. h. {f(0' (a)} ist konvergent, wie behauptet. Damit ist Satz IV bewiesen. Die Umkehrung von Satz IV gilt nicht, wie folgendes Beispiel zeigt. Sei 2f der 91, und sei f,0 in ( —O, 0] und in [+, +o); f4, () 1 und, linear in 0o, j und in [-, -. Wir setzen t, '~ ---~(f r, 1,, 2,,..) und betrachten die Menge a aller dieser Funktionen,, Für die obere Grenzfunktion f von gilt; f(~) —; f -) (v_1, 2,..), also ist /f unstetig im Punkte 0. Trotzdem gibt es in jeder unendlichen Folge {(-, w,,} aus ~ eine Teilfolge, die gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert. In der Tat, dies ist trivial, wenn unter den Indizes UIk, %v( nur endlich viele verschiedene auftreten. Gibt es aber unter den r'l unendlich viele verschiedene, so konvergieren die zugehörigen fk,, gegen 0. Gibt es hingegen unt;er den i,/ nur endlich viele, unter den pt aber unendlich viele verschiedene, so gibt es in {f/,,, } eine Teilfolge {fViFT' }, in der alle I, denselben Wert v'* haben und lim (,:- -oo ist. Dann aber ist: k- co lira und die Behauptung ist bewiesen. ~ 12, TVeriecht' ng von ingsnlaritäteen Die konvergenten Funktionenfolgen, oder, was dasselbe heißt, die konvergenten Reihen, deren Glieder Funktionen sind'), bilden ein viel benütztes Hilfsmittel zur analytischen Darstellung von nIktiolnen, die ein vorgeschriebenes singuläres Verhalten zeigen. Von bedeutendem theoretischen Interesse ist hier das Prinzip der Verdichtung (Kondensation) der Singularitiäten, dessen Aufgabe es ist, ause einem analytischen Ausdrucke, der in einen gegebenen -Punkte ein singuläres Verhalten a ufweist, einen analytischen Aus1) Ist {f,} eine konvergente Funktionenfolge, so ist fl i- (l'+- -f,) v=l eine unendliche Reihe, deren Teilsummen gerade die Folge {fv} bilden.

310 Funktionenfolgen. druck herzuleiten, der dasselbe singuläre Verhalten in einer unendlichen Punktmenge aufweist. Der erste, der sich allgemein mit dieser Aufgabe beschäftigte, war H. Hankel1): Ist b (y) eine Funktion der reellen Veränderlichen y, die etwa für y= 0 das singuläre Verhalten aufweist, so setzt er: sv (x) = =z A f (sin knx); s (x)= lim s (x)z= Ak T (sin knx). k= 1 t —t k-=1 Da 9 (sin k x) das singuläre Verhalten, das ja im Nullpunkte aufweist, in allen rationalen Punkten vom Nenner k aufweisen wird, so laßt sich erwarten, daß, wenigstens bei geeigneter Wahl der Koeffizienten ABC die Funktion s(x) dieses Verhalten in allen rationalen Punkten der x-Achse aufweisen wird. Inwiefern dies für gewisse einfache Singularitäten wirklich zutrifft, wurde von U. Dini2) ausführlich behandelt. Diese Hankeische Methode leidet aber, wie G. Cantor ausgeführt hat3), an folgenden Mängeln. Erstens weisen an einer rationalen Stelle x==s- unendlich viele Glieder der s(x) darstellenden q Reihe die fragliche Singularität auf (nämlich alle, deren Index k ein Vielfaches von q ist), so daß es denkbar ist, daß diese Singularitäten sich gegenseitig zerstören4); zweitens werden-durch die Einführung des Sinus unnötige Komplikationen eingeführt, die mit dem Wesen der Sache nichts zu tun haben; drittens ist die Menge der Punkte, auf welche die fragliche Singularität übertragen wird, sehr spezieller Natur. G. Cantor hat, einer Anregung von K. Weierstraß folgend, das nachstehende, von diesen Mängeln freie Verfahren angegeben: Es sei ek (k 1, 2,...) eine beliebige abzählbare Menge von Punkten des 91), und es sei wieder p (y) eine Funktion, die an der Stelle y 0 eine bestimmte Singularität aufweist. Bildet man dann die Funktion: (0 (0) S (x)= A, 9 (- — x ),, k=l so läßt sich erwarten, daß die Funktion s(x), wenigstens bei geH) H. H ank el, Gratulationsprogr. d. Tübinger Univ. 1870 Math. Ann. 20 (1882), 77= Ostw. Klass. Nr. 153, 61. 2) U. Dini, Grundl. f. e. Theorie d. Funkt. 157 ff. 3) G. Cantor, Literar. Centralbl. 1871, 150; Math. Ann. 19 (1882), 588. 4) Ein Beispiel hiefür: Ph. Gilbert, Bull. Ac. Belg. (2) 23 (1873), 428. Vgl. auch G. Darboux, Ann. Ec. Norm. (2) 4 (1875), 58. 5) Die Übertragung auf mehrdimensionale Räume (Funktionen von mehreren Veränderlichen) ist unmittelbar.

Kap. IV, ~ 12. Verdichtung von Singularitäten. 311 eigneter Wahl der Koeffizienten Ak, die fragliche Singularität an jeder Stelle %k aufweisen wird. Auch dieses Verfahren wurde näher untersucht von U. Dinil). Wir werden weiterhin wiederholt von diesem Verfahren Gebrauch machen; hier sei nur folgendes erwähnt: Ist (p(y) eine beschränkte Funktion, die im Punkte y- 0 un00 stetig, sonst überall stetig ist, und ist lAk i eigentlich konvergent, k=i so ist die Reihe (0) eigentlich gleichmäßig konvergent. Nach ~ 3, Satz XIV ist also die durch sie dargestellte Funktion s(x) in jedem von allen ek verschiedenen Punkte der x-Achse stetig. Aus demselben Grunde stellt die aus der Reihe (0) durch Weglassung des k-ten Gliedes entstehende Reihe eine auch im Punkte Ek stetige Funktion dar, sodaß s(x) tatsächlich im Punkte e, eine ebensolche (vom Gliede A,.g(x —k) herrührende) Unstetigkeit aufweist, wie (y) im Nullpunkte. Je nachdem ob man für cp(y) eine Funktion wählt, deren Unstetigkeit im Nullpunkte von erster oder zweiter Art ist (Kap. III, ~ 6, S. 216) erhält man für s(x) eine punktweise unstetige Funktion, deren sämtliche Unstetigkeiten von erster bzw. zweiter Art sind. Ein Beispiel findet sich bereits bei B. Riemann2). Es bedeute das Symbol (x) die Funktion der Periode 1, die in [0,1] gegeben ist durch: (x)==x in [0, ); ( )=0; (x)==x-Z in (i, 1, und es werde betrachtet die unendliche Reihe: (00) (00) ~(x)0.= (v x) Da die Reihe (00) eigentlich gleichmäßig konvergiert, kann ihre Summe s (x) nur dort unstetig sein, wo mindestens einer ihrer Summanden unstetig ist. Sie ist also überall stetig, ausgenommen die rationalen Punkte x == 2 m+. Eine einfache Überlegung3) zeigt, daß sie in jedem dieser Punkte tatsächlich unstetig ist (und zwar von erster Art, ebenso wie (x) im Punkte -). Ein Seitenstick zu dem oben besprochenen Verdichtungsverfahren, wobei aber statt unendlicher Rei h en unendliche Produkte verwendet werden, bildet ein Verfahren von T. B r o d n4) zur analytischen Darstellung punktweise un1) U. Dini, a. a. 0. 188 ff. Man findet dort viele Beispiele. 2) B. Riemann, Habilitationsschr. 1854. Ges. Werke, 2. Aufl., 242.:) Diese ergänzende Überlegung ist hier deshalb nötig, weil bei diesem Beispiele (ähnlich wie bei der Hankelschen Methode, und im Gegensatze zur Cantorschen Methode) in dem Punkte x==+ —~- unendlich viele Summanden von (00) unstetig sind. 4) T. Broden, Math. Ann. 51 (1899), 299.

12 Funktionenfolgen. stetiger Funktionen einer Veränderlichen, deren sämtliche Stetigkeitsstellen Nullstellen sind. Er geht aus von folgenderDarstellung der reellen Zahlen: Sei 1", 12,..., l,... eine gegebene Folge natürlicher Zahlen > 2; dann kann jedes reelle x in der Form geschrieben werden: (i) Z _ er+ + ES+ v+ E + () 11 2 1 * wo so eine ganze Zahl, die übrigen ey (v' 1) der Ungleichung O < s< lv -1 genügende ganze Zahlen bedeuten. Diejenigen x, die einer endlichen Darstellung der Form (1) fähig sind (ev=O für fast alle v), mögen von erster, die übrigen von zweiter Art heißen. Jede Reihe (1), in der nicht er~ 0 für fast alle v oder e, 1, - 1 für fast alle v, stellt eine Zahl der zweiten Art dar. Wir setzen zur Abkürzung: Lv - -- l_... I v. Ferner bedeute R (x) den Abstand der Zahl x von der nächstgelegenen ganzen Zahl ). Offenbar ist, wenn in (1) der Koeffizient es+i einen der Werte 0, 1, lv+l- 2, l~v+l-l hat: (2) R(L x) <. -Iv+ l Man entnimmt daraus leicht: Ist lim lv - +oo, so bilden diejenigen x der zweiten Art, für die 1''= (3) lim R (La x) =0 ist, eine Menge, die in jedem Intervalle die Mächtigkeit c hat. Natürlich hat auch die Menge jener x der zweiten Art, für die (3) nicht gilt, in jedem Intervalle die Mächtigkeit c; und im Falle, daß die lv unter einer endlichen Schranke bleiben, gibt es überhaupt kein x der zweiten Art, für das (3) gelten würde. Für das Folgende ist es nun zweckmäßig, alle lv ungerade zu wählen. Bildet man die Funktionen cos 2 n Lv x, so erfüllen ihre Nullstellen mit wachsendem v den 9i überall dicht. Das Produkt aus diesen Funktionen selbst: 00 fIcos 2Lvx ist aber für unsere Zwecke nicht verwendbar, denn an den r'=l Stellen x= -m+ ist es nicht konvergent, da für v > n seine Faktoren den 2 ln - Wert'- 1 haben. An seiner Stelle betrachtet deshalb B ro de n das Produkt ): (4) p (x)= q (cos 2z Lv x), Y=l wo gesetzt ist: __ (y)=y. e- 1 1) D. h.: Ist v eine ganze Zahl, so daß vzx< -v+-1, so ist R(x) die kleinere der beiden Differenzen x - v und v - 1- x. 2) Man könnte statt dessen auch das Produkt J/(cos 2 Lv )'2 betrachten (T. Brod6n, a. a. 0., 318). =

Kap. IV, ~ 13. Die Borelschen Reihen. 313 Man erkennt nämlich leicht, daß das Produkt TfY (y), wenn alle yv < 1 sind, stets gegen einen endlichen Wert konvergiert, und daß, wenn alle yv, 4 0' sind, dieser Wert + 0 oder -= 0 ist, je nachdem (1 - y) eigentlich konv= 1 vergiert oder nicht. Dies, zusammen mit dem oben über die Darstellung (1) Gesagten lehrt nun: Das Produkt (4) konvergiert für jedes x gegen einen endlichen Wert. Dieser Wert ist + 0 für alle x der ersten Art (da in diesem Falle alle Faktoren unsres Produktes += 0 und fast alle = 1 sind). Bleiben die 1, unter einer endlichen Schranke, so hat das Produkt für alle x der zweiten Art den Wert 0. Ist limr lv --- 00cL, so zerfallen die x der zweiten Art in zwei Mengen, deren jede ll=0' in jedem Intervalle die Mächtigkeit c hat und auf deren einer der Wert des Produktes + 0 ist (sie enthält jedes x, für das für fast alle v Ungleichung (2) gilt), während auf der anderen der Wert des Produktes 0= ist (sie enthält jedes x, für das nicht (3) gilt). Man beweist über die durch (4) dargestellte Funktion p (x) noch leicht: ihre sämmtlichen Nullstellen sind Stetigkeitsstellen. Sowohl die x, in denenp (x) positiv ist, als diejenigen, in denen p (x) negativ ist, liegen auf der x-Achse dicht. Jedes x der ersten Art ist Grenzwert von andern x der ersten Art, für die! p (x) i ober einer positiven Zahl verbleibt, so daß in jedem Intervalle die Menge aller Punkte, in denen für die Schwankung co von 1 (x) gilt co > k, für jedes hinlänglich kleine positive k unendlich ist, während bei den durch das Hankels eche oder Cantorsche Verdichtungsverfahren hergestellten punktweise unstetigen Funktionen diese Menge stets in jedem endlichen Intervalle endlich ist'). ~ 13. Die Borelschen Reihen. An G. Cantors Verdichtungsverfahren knüpft sich ein Typus von Reihen, die von E. Borel näher untersucht wurden2). Es bedeute, (v 1= 2,...) irgendeine abzählbare Punktmenge 91 des,, mv (= 1-, 2,...) eine beschränkte Folge positiver Zahlen, sie mögen sämtlich der Ungleichung genügen: mv < mn (rv l, 2,...), 00 und endlich bedeute A,, eine Reihe positiver Zahlen von endlicher Summe. Y=1 Wir betrachten die Reihe: ~~(O~~~) ~s (x)- = - Ä (m,, < m)., x - ~, I Verstehen wir für x =,, unter x -, iv- ' den Wert 4 — oo, so hat diese Reihe in jedem Punkte von 91 den Wert + 4-oo, in jedem nicht zu 91~ gehörigen 1) Vgl. U. Dini, Grundl. f. e. Theorie d. Funkt., 161, 190. 2) E. Borel, C. R. 118 (1894), 340; Leg. s. 1. thUorie des fonctions (1898), 62.

314 Funktionenfolgen. Punkte ist sie eigentlich konvergent. Fraglich bleibt ihr Verhalten in den Punkten von ~ 0-S. Da die Teilsummen von (0) stetig sind, ist die Menge Bv (k) aller Punkte, in denen die v-te Teilsumme: s, (x) > k ist, offen. Infolgedessen ist die Menge 231 aller Punkte, in denen s (x) > k ist, als Vereinigung aller 2v (k) (v = 1, 2,...) ebenfalls offen (Kap. I, ~ 2, Satz VII). Daher ist die Menge 3 aller Punkte, in denen s (x) =+ -- ist, als Durchschnitt der Mengen t3, (n = 1, 2,...) ein o-Durchschnitt. Besitzt also 91 (und mithin, wegen SC< 3, auch S) einen irisichdichten Teil, so hat (Kap. I, ~ 8, Satz IX) B3 die Mächtigkeit c, und es gibt somit, außer den abzählbar vielen Punkten von 91, noch eine Menge der Mächtigkeit c von Punkten, in denen s(x) = —+co. Wir bemerken noch, daß B von zweiter Kategorie in W91 ist. In der Tat, wegen SI< S8, ist 53 dicht in [~0; also ist, wegen SB^<, auch jede Menge 3, dicht in 1~0. Und da SI, offen, also die Menge: ==_ o-W0 o s" abgeschlossen ist, so ist:,, nirgends dieht in 9~0. Also ist das Komplement von 3 zu 91~: t~-~ -^+^+. - 1 2+. +... von erster Kategorie in 91~, und somit (Kap. I, ~ 8, Satz XVII) 3 von zweiter Kategorie in 9I~, wie behauptet ). Wir wollen nun zeigen, wie bei geeigneter Wahl der Koeffizienten A," in (0) noch eine weitere Aussage über die Menge S3 gemacht werden kann. Sei 7 u, eine eigentlich konvergente Reihe positiver Zahlen. In jedem v= =i Punkte, in dem für alle v: Av ------ - < UY, oder, was dasselbe heißt: (00) {-m I (_ vr) ist, wird auch die Reihe (0) eigentlich konvergieren2). Mit anderen Worten: In jedem Punkte x, der keinem der Intervalle (,- vv, v+ ~v) (v=l1, 2,...) angehört, wird die Reihe (0) eigentlich konvergieren. 1) Dies folgt übrigens auch unmittelbar aus Satz V von ~ 7. Vgl. W. H. Young, Mess. of math.\ 1907, 54. a) In der Tat, ist 1 x- r < 1, so ist A, A lx-~ e ~, x- ~.Iist hingegen 1 x- - i 1, l so ist:. - w \x-^^~

Kap. IV, ~ 13. Die Borelschen Reihen. 315 Sei nun g irgendeine positive Zahl. Wir setzen: ur' =g; Vv= - vrg m. Indem wir an der Reihe der u,' ebenso argumentieren, wie vorhin an der Reihe der ue, finden wir: In jedem Punkte x, der keinem der Intervalle (- -vr',,-" v,') (-=1, 2,...) angehört, ist die Reihe (0) eigentlich konvergent. Angenommen nun, die Reihe der vr sei eigentlich konvergent. Dann ist auch (für jedes positive g) die Reihe der vo' eigentlich konvergent. Wir lassen nun die Zahl g eine wachsende Folge {gk} mit lim gk= oo durchlaufen, k= co und bezeichnen die mit Hilfe der Zahl gk gebildete Intervallmenge ( v-vv', "- + v') (v = 1, 2,...) mit 3k. Dann kann!3 auch aufgefaßt werden als Vereinigung abzählbar vieler zu je zweien fremder Intervalle, und es ist Zk+< ZSk. Die Summe der Langen der (zu je zweien fremden) Intervalle von Zk bezeichnen wir als den linearen Inhalt p (I3) von 3k: 00 1 CO p (h) < 2 — 1'==2 gj E ZV. — 1, '=-1 Infolgedessen ist: lim A (vk)= O. Man sagt deshalb, der Durchschnitt: Z- =. -...... *l,k... habe den linearen Inhalt 01), ebenso jeder Teil dieses Durchschnittes. Da nun außerhalb ) die Reihe (0) überall eigentlich konvergiert, so sehen wir: Ist Y'., eigentlich konvergent, so ist auch die Reihe (0) überall eigent1 =! lieh konvergent, abgesehen von einer Menge des Inhaltes 0. Nun war v, gegeben durch (00), worin die Uv irgendwelche positive Zahlen von endlicher Summe waren. Wir können also immer dann 2) erreichen,; i daß die Reihe der v. eigentlich konvergiert, wenn nur die Reihe Ai m + v= 1 eigentlich konvergiert. In der Tat, wir haben dann nur zu setzen: i1 1 u, =-m Am+, und somit: Vv,- A,, m+. Wir haben also gezeigt: Satz I. Sind die A, (= — 1, 2,...) positive Zahlen, für die C 1 XAÄVn+l eigentlich konvergiert, und sind die mr positive Zahlen 1) Näheres über den Inhalt von Punktmengen in Kap. VI, ~ 8. '2) Aber auch nur dann; denn aus der bekannten Cesaro-Hölderschen Ungleichung (0. Hpl der, Gött. Nachr. 1899, 44) folgt, daß gleichzeitig mit Zuv 1 Vm 1 und v, aucoh zu. Miv ~,m+ 1 ZeA. + 1 eigentlich konvergiert.

316 Funktionenfolgen. <m, so ist die Reihe (0) überall eigentlich konvergent, abgesehen von einer Menge des (linearen) Inhaltes 0. Es hat keinerlei Schwierigkeiten, die Untersuchungen auf den 9i (und ebenso auf den 91) zu übertragen. Sei 9S eine abzählbare Menge von Punkten (tv, y,) (V0 1, 2,...) des 92. Wir setzen: r, (x, y) - ) +t (y - V,) und betrachten die Reihe: (*) S(Z) y) Srym ' y=l wo die Av und die mv dieselbe Bedeutung haben, wie in (0). Ist wieder Öu v=1 eine eigentlich konvergente Reihe positiver Zahlen, so wird jetzt (*) eine endliche Summe haben in jedem Punkte, in dem fir alle v: > v (=v). Wir legen um jeden Punkt (v', rv) den Kreis vom Radius Vv, und an der früheren Überlegung ändert sich nichts, als daß an Stelle des Inhaltes der dort betrachteten Intervallmenge nun hier der Inhalt der Vereinigung aller dieser Kreise tritt. An Stelle der dort gemachten Annahme, daß,, v==l eigentlich konvergiert, wird also hier die Annahme treten müssen, daß b Vv2 v=l1 eigentlich konvergiert, und das kann man immer dann1) erreichen, wenn Co 2 a2 XA v+ 2 eigentlich konvergiert: man hat nur uv =Am7 + 2 zu wählen. Das gibt v=1 den Satz: Satz II. Sind die Av (v l, 2,...) positive Zahlen, für die Ce 2 A;,s+2 eigentlich konvergiert2), und sind die mv positive Zahlen v=1 ~m, so ist die Reihe (*) überall eigentlich konvergent, abgesehen von einer Menge des (ebenen) Inhaltes 0. oo 1 Setzen wir darüber hinaus wie in Satz I voraus, daß auch.A,,Ä, + v=l 1) Aber auch nur dann; denn aus der Cesaro-Hölder sehen Ungleichung 2 2 a folgt,daß gleichzeitig mit uv und,v auch zUv +2 V + 2 V iAns, + eigentlich konvergiert. 2) Im NR, muß LAmY+n eigentlich konvergent sein. Y Ei

Kap. IV, ~ 13. Die Borelschen Reihen. 317 1 eigentlich konvergiert, so können wir wieder uv Aym+i und mithin auch v-yAv-+Fi wählen. Es ist dann nicht nur die Summe der Inhalte, sondern auch die Summe der Radien der um die Punkte (Ie, i7) gelegten Kreise endlich. Nun ist auf jeder Geraden, die außerhalb aller dieser Kreise verläuft, die Reihe (*) eigentlich gleichmäßig konvergent. Ersetzt man wieder, wie oben, uv durch u/'-gUv und läßt wieder g eine Folge {gk} wachsender Zahlen m it lim =gk -+ o durchlaufen, so erkennt man: k= 0x Satz III. Sind die A (v=, 2,...) positive Zahlen, für die lYAvm+i eigentlich konvergiert, und;sind die mv positive Zahlen v= 1 <m, so bilden für jede Schar ~ paralleler Gerader die Schnittpunkte derjenigen Geraden aus a3, auf denen die Reihe (*) nicht gleichmäßig gegen eine beschränkte Grenzfunktion konvergiert, mit einer beliebigen Geraden G auf G eine Menge des (linearen) Inhaltes 0. Man kann noch dies Resultat auf andere Kurvenscharen übertragen; auch lassen sich Bedingungen angeben, unter denen auf gewissen Kurven die Reihe (*) beliebig oft gliedweise differenziert werden kann. Wegen dieser Fragen, sowie wegen der funktionentheoretischen Anwendungen der Borelschen Reihen muß auf die Darstellung von Borel verwiesen werden.

Fünftes Kapitel. Die Baireschen Funktionen. ~ 1. Funktionen a-ter Klasse. Der Übergang von den Funktionen f, einer konvergenten Funktionenfolge {f,} zur Grenzfunktion f -lim tf ist das wichtigste analyv oo tische Hilfsmittel, um aus e&nfacheren Funktionen kompliziertere herzustellen. Wir fassen als die einfachsten Funktionen auf einer gegebenen Menge t die auf 9X stetigen Funktionen auf und wollen nun systematisch die Funktionen studieren, die ausgehend von stetigen Funktionen durch beliebig oftmaligen Gi enzübergang gebildet werden können 1). Wir definieren nun2) für jede transfinite Ordinalzahl a der ersten oder zweiten Zahlklasse Funktionen a-ter Klasse auf 91 durch die Festsetzung: Die Funktionen 0-ter Klasse auf 91 sind die auf t stetigen Funktionen3); ist {f,} eine auf 91 konvergente Funktionenfolge, in der jede Funktion f, zu einer Klasse a, < a gehört, während die Grenzfunktion f= lim f, zu keiner Klasse a' < a gehört, so heißt f v = 00 eine Funktion a-ter Klasse auf 2f. Von erster Klasse auf _9 sind demnach diejenigen Funktionen, die, ohne auf 21 stetig zu sein, Grenzfunktion einer Folge auf 2 stetiger Funktionen sind usf. Wo über die zugrunde gelegte Menge 9 kein Zweifel sein kann, sprechen wir kurz von,Funktionen xa-ter Klasse". 3) Ist 2t der )9k, so ist bekanntlich jede auf 21 stetige Funktion Grenzfunktion einer Folge von Polynomen. Die durch iterierte Grenzübergänge aus stetigen Funktionen herstellberen Funktionen sind dann also auch durch iterierte Grenzübergänge aus Polynomen darstellbar: sie sind "analytisch darstellbar". Näheres hierüber H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 1 ff. 2) Nach R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 6S. 3) Abweichend hiervon werden manchmal nur diejenigen Funktionen als von 0-ter Klasse auf 21 bezeichnet, die zu einer auf 10[ stetigen Funktion erweitert werden können.

Kap. V, ~ 1. Funktionen a-ter Klasse. 319 Die Funktionen, die einer Klasse a'< a angehören, nennen wir von geringerer als a-ter Klasse; diejenigen, die einer Klasse a' < a angehören, nennen wir von höchstens a-ter Klasse1). Eine Weiterführung dieser Klasseneinteilung über die Zahlen der ersten und zweiten Zahlklasse hinaus ist unmöglich2). Denn ist {f4} eine konvergente Folge von Funktionen auf 1, und ist fy von ca-ter Klasse auf 1f, so gibt es nach Einleitung ~ 4, Satz XIII, wenn alle ccy < oN sind (co1 bedeutet die Anfangszahl von 3g), auch eine Zahl <ao1, so daß: o, <, für alle v, und demnach ist f= limt von höchstens ß-ter Klasse, wo auch ß zur ersten oder zweiten Zahlklasse gehört. Wir nennen nun jede Funktion auf 91, die einer dieser Klassen angehört, eine Bairesche Funktion auf 91, wobei der Zusatz ~auf 91" wieder wegbleiben mag, wenn kein Mißverständnis möglich ist. Satz I:). Ist 21 separabel, so hat die Menge aller Baireschen Funktionen auf X1 die Mächtigkeit c. Um dies zu beweisen, zeigen wir zunächst durch Induktion, daß die Menge aller Funktionen höchstens cr-ter Klasse die Mächtigkeit c hat. In der Tat, dies ist richtig für a- 0 (Kap. II, ~ 5, Satz III). Angenommen, es sei richtig für alle cc'<ca. Ist nun feine Funktion höchstens c-ter Klasse, so ist (0) f-=lim t, wo jedes f, von geringerer als C:-ter Klasse. Durch (0) ist aber jeder Funktion f höchstens a-ter Klasse zugeordnet eine Belegung der Menge 1, 2,..., v,... mit Elementen der Menge rJ aller Funktionen geringerer als a-ter Klasse. Und da nach Annahme fir die Mächtigkeit m von 9 gilt: so hat die Menge aller Funktionen höchstens a-ter Klasse eine Mächtigkeit _ c"o - c (Einl. ~ 7, Satz X). Und da sie mindestens die Mächtigkeit c hat, so ist ihre Mächtigkeit c, wie behauptet. Da nun a der ersten oder zweiten Zahlklasse angehört, also nur N verschiedene Werte haben kann, ist die Menge aller Baireschen Funktionen Vereinigung von höchstens 'l Mengen der Mächtigkeit c. Ihre 1) Abweichend hiervon werden manchmal alle Funktionen, die wir ~von höchstens oc-ter Klasse" nennen, als Funktionen ac-ter Klasse bezeichnet. 2) Vgl hierzu H. Lebesgue, a. a. 0. 151 (Fußnote). 3) Sämtliche Sätze dieses Paragraphen sind allgemeine Grenzsätze.

320 Die Baireschen Funktionen. Mächtigkeit ist also (Einl. ~ 4, Satz XV; ~ 7, Satz X) c < c = c. Und da sie gewiß ~ c ist, so ist Satz I bewiesen. Satz II. Auf einer separablen Menge X der Mächtigkeit c gibt es Funktionen, die nicht Bairesche Funktionen sind. In der Tat, die Menge aller Baireschen Funktionen auf 9f hat nach Satz I die Mächtigkeit c, die Menge aller Funktionen auf f aber hat die Mächtigkeit1): cc= 2C> c, womit Satz II bewiesen ist. Aus der Definition der Funktionen a-ter Klasse folgt sofort: Satz IIl. Ist die Funktion f von a-ter Klasse auf 2, so ist sie von höchstens a-ter Klasse auf jedem Teile T von?. Wir beweisen dies durch Induktion. Die Behauptung ist richtig für a -— 0. Angenommen, sie sei richtig für alle a' < a. Nun ist nach Definition (00) f= - im f, wo jedes fy von geringerer als a-ter Klasse auf X, und mithin nach Annahme auch auf e. Also lehrt (00), daß f auch auf S von höchstens a-ter Klasse, wie behauptet. In ganz derselben Weise zeigt man durch Induktion: Satz IV. Ist f von a-ter Klasse, so auch die aus f durch die Schränkungstransformation entstehende Funktion (und umgekehrt). Wir beweisen noch einige einfache Sätze über Bairesche Funktionen, die Verallgemeinerungen bekannter Sätze über stetige Funktionen sind2). Satz Y. Sind f1, f,..., f endliche3) Funktionen höchstens a-ter Klasse auf 9f, und wird durch X = fl, X — X f,.., X. = f die Punktmenge 2t abgebildet auf einePunktmenge des 79, auf der F(x1, x2,..., Xk) von ß-ter Klasse ist, so ist F(f1, f,...,f) von höchstens (a+ —)-ter Klasse auf tW. Der Satz ist richtig für a= 0, ß = 0, da er sich dann auf einen Spezialfall von Kap. II, ~ 6, Satz VIII reduziert. Angenommen, er sei richtig für f== 0 und alle a'< a. Weil die fi von höchstens a-ter Klasse sind, haben wir: 1) Vgl. Kap. II, ~ 5, S. 134. 2) H. Lebesgue, a. a. 0. 153. 3) Ist die Funktion F(x, x2,..., xi) auch definiert, wenn einzelne ihrer Veränderlichen unendliche Werte annehmen, so kann diese Einschränkung wegbleiben.

Kap. V, ~ 1. Funktionen ac-ter Klasse. 321 -=lim f,,~ (i= 1, 2,..., k), wo die fi, von geringerer als a-ter Klasse sind. Indem wir nötigenfalls die Schränkungstransformation ausüben, können wir alle f, als endlich voraussetzen. Ist also F von 0-ter Klasse (d. h. stetig), so ist nach Annahme F(fi,,, f2,,... fk,) von geringerer als a-ter Klasse. Wegen der Stetigkeit von F aber ist: F (f:, /2 )=limF(l.... f,)=) f, d. h. es ist F(f1, f2,..., f) Grenzfunktion von Funktionen geringerer als a-ter Klasse, und somit von höchstens a-ter Klasse. Damit ist Satz V für -- 0 und alle a bewiesen. Angenommen nun, der Satz sei richtig für ein gegebenes a und alle ß'< ß. Ist F von ß/-ter Klasse, so ist F= lim F", == o00 wo F, von geringerer als /f-ter Klasse. Infolgedessen ist nach Annahme F, (fi, f2...,f) von geringerer als (a -/) -ter Klasse1), und somit: F(f, f2,..., fk)=lim F,,(f, f,..., f,) v = 00 von höchstens (a -+ /) -ter Klasse. Damit ist Satz V bewiesen. In Satz V sind nun als Spezialfälle enthalten die Sätze: Satz VI. Ist f von a-ter Klasse, so ist I fl von höchstens a-ter Klasse. In der Tat, dies geht aus Satz V hervor, indem man setzt: F (x) x xl und beachtet, daß x 1 stetig im 911 ist. Satz VII. Sind f1 und f, von höchstens a-ter Klasse auf /f, so ist jede der Verknüpfungen: f_ fi + fh fi - f2 f; fi'; f2 von höchstens a-ter Klasse auf dem Teile 9f' von 9f, auf dem sie ausführbar ist. In der Tat, man hat nur in Satz V unter F eine der Funktionen 4 x - x, x x - zu verstehen und Satz III zu beachten. Xi + X2, X1 — X2 > Xi' x2, x2 Satz VIII. Seien f, f2,,..., f4 endlich viele Funktionen höchstens a-ter Klasse. Ist f der größte (oder kleinste) ~) In der Tat, aus ß'<ß folgt ac+-i'<-ax +ßf; denn es ist '+l~ 1 f und mithin Ha+, T'(a + r)~ e ==ua+(+o 1)e a+ l. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 21

322 Die Baireschen Funktionen. unter den k Funktionswerten fl, f..., f1, so ist auch f von höchstens a-ter Klasse. In der Tat, man hat nur in Satz V unter F (x1, x,..., x,) den größten (bzw. kleinsten) unter den k Werten x1, x,..., xk zu verstehen. Dann ist F stetig im rk, und Satz VIII ist bewiesen. Wir heben noch folgenden Spezialfall von Satz VIII hervor: Satz VIIIa. Ersetzt man bei einer Funktion a-ter Klasse alle Werte <p durch p, alle Werte >q durch q, so entsteht eine Funktion höchstens a-ter Klasse. In der Tat, versteht man in Satz VIII unter f1 die Funktion f, unter f2 die Konstante p, so sieht man: Die Funktion g, die aus f entsteht, indem man alle Werte <p durch p ersetzt, ist von höchstens a-ter Klasse. Wendet man nochmals Satz VIII an, indem man unter f1 die Funktion g, unter f2 die Konstante q versteht, erhält man Satz VIIIa. Eine unmittelbare Folgerung aus Satz VIIIa besagt: Satz IX. Genügt dieFunktion f a-ter Klasse der Ungleichung: p ~ f< q, so ist sie Grenzfunktion einer Folge {f,} den Ungleichungen p f, < q genügender Funktionen geringerer als a-ter Klasse. In der Tat, zunächst ist f=-limg, wo jedes g, von geringerer 1' = 00 als a-ter Klasse. Ersetzen wir in g, alle Werte ~p durch p, alle Werte q durch q, so entsteht nach Satz VIIIa eine Funktion f, geringerer als a-ter Klasse, und es ist offenbar auch f= lim f", womit Satz IX bewiesen ist. = Satz X. Die Grenzfunktion feiner auf % gleichmäßig konvergierenden Folge von Funktionen höchstens a-ter Klasse ist von höchstens a-ter Klasse auf 91. Auf Grund von Satz IV können wir beim Beweise {f~} als beschränkt annehmen. Sei {ei} eine Folge positiver Zahlen von endlicher Summe. Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von {f,} gibt es dann ein i, so daß: (1) I f-fv, < e auf ganz 91. Wir können schreiben, f= f>1 + (f2 - fr) + (f, - 2) + *. In dieser Reihe ist nach Satz VII jedes Glied von höchstens a-ter

Kap. V, ~ 1. Funktionen a-ter Klasse. 323 Klasse, und wegen (1) ist: (2) fv —i f'_<i- 1 auf ganz f. Es gibt also Funktionen gi,t von geringerer als a-ter Klasse, so daß: (3) f.=limin; f-fr, - = lim gi,n n 00= oo oo und nach Satz IX kann wegen (2) auch angenommen werden: (4) g, e |i< - (i = 2, 3,...). Wir behaupten: dann ist (5) f= lim (gx,, +- g,, + --.. + gn,n). n = oo In der Tat, ist e>0 beliebig gegeben, so gibt es, weil die Summe der ei als endlich angenommen wurde, ein i, so daß: (6) E,+e +.. < e. Wegen (1) ist dann auch: (7) \f-I fl <e auf ganz 2. In jedem gegebenen Punkte von 2[ ist wegen (3): (8) f,- (gi,n+ -g2,n+ -- ** gi,) < für fast alle n. Wegen (4) und (6) ist aber: (9) |(yi,n+-t. -- n,) - (gl,. + i,n) < 2 e für n i auf ganz 9. Aus (7), (8), (9) aber folgt, daß im betrachteten Punkte: f-(g,+ — *... + gn,)lj < 4e für fast alle n. Also gilt tatsächlich (5) in jedem Punkte von 21. Da aber naoh Satz VII (gi, n +... + g, n) von geringerer als a-ter Klasse, so besagt (5), daß f von höchstens a-ter Klasse, und Satz X ist bewiesen. Ist {f,} eine konvergente Folge von Funktionen geringerer als a-ter Klasse, so ist nach Defihition die Grenzfunktion von höchstens a-ter Klasse. Ist {f,} nicht konvergent, so kann immer noch nach oberer (unterer) Schrankenfunktion, sowie nach oberer (unterer) Grenzfunktion von {f,} gefragt werden (Kap. IV, ~ 1, S. 231). Für diese Funktionen gelten die Sätze: Satz XI. Ist {f,} eine Folge von Funktionen geringerer als cc-terKlasse, so ist die obere (untere) Schrankenfunktion F von {fL} von höchstens a-ter Klasse. In der Tat, ist F, der größte unter den v Funktionswerten f, f,..., f,, so ist: 0y 021 21*

324 Die Baireschen Funktionen. Nach Satz VIII aber ist hierin F, von geringerer als a-ter Klasse, also F von höchstens a-ter Klasse, wie behauptet. Satz XII. Ist {f,} eine Folge von Funktionen geringerer als a-ter Klasse, so ist die obere (untere) Grenzfunktion von {f,} von höchstens (a- 1)-ter Klasse. Sei in der Tat f4 die obere Schrankenfunktion der Folge f, f+i, l,+, fv... +i Dann ist die obere Grenzfunktion von {f,} gegeben durch (Einleitung ~ 6, Satz V): f lim f. 7' = 00 Nach Satz XI aber ist hierin fv von höchstens a-ter Klasse, also f von höchstens (cc -1)-ter Klasse, wie behauptet. Aus Satz XI folgern wir: Satz XIII. Die obere (untere) Schrankenfunktion einer Folge {f}, Bairescher Funktionen ist eine Bairesche Funktion. In der Tat, ist f, von ac-ter Klasse, so gibt es (Einl. ~ 4, Satz XIII) ein a der ersten oder zweiten Zahlklasse, das > c, (für alle v). Nach Satz XI ist die obere Schrankenfunktion von {(f} von höchstens a-ter Klasse, mithin gewiß eine Bairesche Funktion, und Satz XIII ist bewiesen. Ebenso folgert man aus Satz XII: Satz XIV. Die obere (untere) Grenzfunktion einer Folge Bairescher Funktionen ist eine Bairesche Funktion. Und hierin ist als Spezialfall enthalten: Satz XV. Die Grenzfunktion einer konvergenten Folge Bairescher Funktionen ist eine Bairesche Funktion. ~ 2. Eigenschaften, die bei Grenzübergang erhalten bleiben. Der Begriff der Funktion a-ter Klasse wurde durch transfinite Induktion eingeführt. Es ist also zu erwarten, daß das wichtigste Hilfsmittel in der Theorie der Baireschen Funktionen der Beweis durch transfinite Induktion sein wird; in der Tat haben wir in ~ 1 schon wiederholt von diesem Mittel Gebrauch gemacht. Insbesondere bestätigt man durch transfinite Induktion sofort den Satz: Satz I. Eine Aussage A habe folgende Eigenschaften: 1. Sie gilt für alle auf 9f stetigen Funktionen. 2. Falls sie für alle Funktionen f4 einer auf 1 konvergenten Funktionenfolge gilt, so gilt sie auch für die Grenzfunktion f= lim f,. v = CO

Kap. V, ~ 2. Eigenschaften, die bei Grenzübergang erhalten bleiben. 325 Dann gilt diese Aussage A für alle Baireschen Funktionen auf 91. Wir wollen an dieser Stelle nur eine solche Aussage anführen, die Aussage:,f ist punktweise unstetig auf 91 bei Vernachlässigung von Teilen erster Kategorie von 91" (Kap. III, ~ 7, S. 227). Für die auf 91 stetigen Funktionen f ist diese Aussage in trivialer Weise richtig. Es bleibt also nur zu zeigen, daß für diese Aussage Eigenschaft 2. gilt. Wir zeigen: Satz II). Ist in der konvergenten Folge (ff} jede Funktion f, punktweise unstetig auf der separablen, relativ-vollständigen Menge 91 bei Vernachlässigung von Teilen erster Kategorie von 9, so gilt dies auch für die Grenzfunktion f==limfv. = 00 Vermöge der Schränkungstransformation können wir beim Beweise alle auftretenden Funktionen als beschränkt voraussetzen. Nach Kap. III, ~ 7, Satz XVI2) genügt es, nachzuweisen, daß für jedes q > 0 die Menge aller Punkte von 91, in denen (0) o *(a; f,)> q ist, nirgends dicht (und mithin von erster Kategorie) in 9 ist. Nun ist aber nach Kap. III, ~ 7, Satz XIII co*(a; f, 9) oberhalb stetig auf 91, und mithin ist (Kap. II, ~ 9, Satz IV) die Menge aller Punkte von 91, in denen (0) gilt, abgeschlossen in 9. Wäre sie nicht nirgends dicht in 91, so müßte sie also einen nicht leeren) in 91 offenen Teil e3 von 91 enthalten. Wir haben also nur mehr zu zeigen, daß dies unmöglich ist. Nach Kap. III, ~ 7, Satz XII gibt es zu jeder Funktion fv eine auf 91 punktweise unstetige Funktion fv, die sich von f4 nur auf einem Teile erster Kategorie von 91 unterscheidet, den wir mit 9/, bezeichnen wollen. Nach Kap. III, ~ 4, Satz III ist auch die Menge 91A aller Unstetigkeitspunkte von ft auf 91 von erster Kategorie in 91. Nach Kap. I, ~ 4, Satz XX ist auch die Vereinigung S-9l+tl+ W++ 1s '..*2+ +^ ^4 +.. von erster Kategorie in 91. Setzen wir (i== -$, so sind alle fv stetig auf C. Angenommen, nun es sei Q8 eine nicht. leere, in 9 offene Menge, in deren sämtlichen Punkten (0) gilt. Nach Kap. I, ~ 8, Satz XVI ist B93 nicht leer. Sei aO ein Punkt von ~(1, und sei der Index v% beliebig gegeben. Wegen f== lim fv gibt es einen Index v,-> v, so daß: S, = 00 i fr - (a) - f(a0) I < und weil auf ( alle fv stetig sind, gibt es eine Umgebung U(ao), so daß: (00) [ fvl(a)- f(a,) i < auf U(ao)S. 1) R. Baire, Acta math. 30 (1906), 27; vgl. auch Ann. di mat. (3) 3 (1899), 81. Der Satz folgt auch leicht aus den Sätzen Kap. IV, ~ 7, Satz IV und V. a) Unter den dort auftretenden E-Mengen sind hier die Teile erster Kategorie von 91 zu verstehen.

326 Die Baireschen Funktionen. Da nun in aO Ungleichung (0) gilt, und da es bei Bildung von co* auf die Menge erster Kategorie 9C - 1 =1= gar nicht ankommt, so ist auch: (f, (ao) 3 ) q. Also gibt es nach Kap. III, ~ 2, Satz II in l (ao)S23 zwei Punkte a', a", für die: f(a') f(a") > Für mindestens einen dieser Punkte, etwa für a', ist dann: Wg(o00) im i f(a') - f(ao) 1 > _ 3 Wegen f=lim ft, gibt es einen Index v2> v, so daB: f(a') -f (a') < - und weil auf ( alle f, stetig sind, gibt es eine Umgebung U (a'), so daß: (o~o) f,,(a) f(a') -- auf U(a').(. Aus (00), (~o~), (o~o) folgt nun aber: (000) i f (a) - f(a) l>- auf (a) U (a') S. Da U (o) U (a') 3 ( offen in (s, so sehen wir also: Ist vO ein beliebiger Index, und ist ao ein beliebiger Punkt von 51, so gibt es in jeder Umgebung von aO eine in 62 offene Menge, in deren sämtlichen Punkten: I f,,() - f"(a) 1 >.- (v => >o, "z - o). Also ist die Menge sJyv aller Punkte von S3 (, in denen: f,,(a) —f (a) < - für v' o, nirgends dicht in (. Setzen wir hierin der Reihe nach o =1, 2,..., so sehen wir: Die Vereinigung 2 = + +.4 ' - - i I + - i ist von erster Kategorie in (E und mithin in 9f. Da aber {/,} in jedem Punkte von 53E eigentlich konvergiert, muß sein. Also ist 13 ( von erster Kategorie in S1. Nun war auch 513 2 - X von erster Kategorie in W9, mithin auch 5-. 3, und mithin ist auch die Menge 3 +== (Ä _ (+I- ) 3(=; + 51 3 von erster Kategorie in 9f, als Vereinigung zweier Teile erster Kategorie von 2t. Das aber ist nach Kap. I, ~ 8, Satz XVI unmöglich, weil 3 in E/ offen ist. Damit ist Satz II bewiesen. Aus den Sätzen I und II folgt nun sofort1): 1) Ein andrer Beweis bei H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 187.

Kap. V, ~ 2. Eigenschaften, die bei Grenzübergang erhalten bleiben. 327 Satz III. Jede Bairesche Funktion auf einer separablen, relativvollständigen Menge 91 ist punktweise unstetig auf 2 bei Vernachlässigung von Teilen erster Kategorie von 9f. Aus Satz III entnehmen wir folgendes Beispiel einer nicht-Baireschen Funktion1). Sei 92 eine separable, relativ-vollständige Menge, und sei eine Zerlegung gegeben, derart, daß für jede offene Menge 3, für die 21 3 nicht leer ist, sowohl 9iX' als auch 9/"3 von zweiter Kategorie in 2S sei2). Setzen wir: f= 1 auf 1', f=O0 auf 9'", so ist f gewiß nicht punktweise unstetig auf W9 bei Vernachlässigung von Teilen erster Kategorie von 21, und mithin keine Bairesche Funktion. Da jeder abgeschlossene Teil einer separablen, relativ-vollständigen Menge wieder separabel und vollständig ist, folgt aus Satz III unmittelbar: Satz IV. Jede Bairesche Funktion auf einer separablen, relativvollständigen Menge 1 ist punktweise unstetig auf jedem abgeschlossenen Teile 1' von 21 bei Vernachlässigung von Teilen erster Kategorie von 1'. Ob es auch nicht-Bairesche Funktionen geben kann, denen die durch Satz IV ausgesprochene Eigenschaft zukommt, scheint bisher nicht bekannt zu sein. Aus Satz III fließen unmittelbar zwei Folgerungen, die noch erwähnt seien, und die wieder die sehr spezielle Natur der Baireschen Funktionen deutlich hervortreten lassen: Satz V. Zu jeder Baireschen Funktion f auf der separablen, relativ-vollständigen Menge 21 gibt es eine auf 91 oberhalb stetige und eine auf 9f unterhalb stetige Funktion, von deren jeder sich f nur auf einem Teile erster Kategorie von 9 unterscheidet. In der Tat, nach Kap. II, ~ 12, Satz V hat man, wenn g* und G* obere und untere Schranke von f bei Vernachlässigung von Teilen erster Kategorie bedeuten, überall auf 9C, abgesehen von einer Menge erster Kategorie: (t) g*(a; f, 9) f(a) G*(a; f, 9). Da nach Satz III f auf 91 punktweise unstetig ist bei Vernachlässigung von Mengen erster Kategorie, ist (Kap. III, ~ 7, Satz XV) überall auf 21, abgesehen von einer Menge erster Kategorie: (tt) g*(a; f, ) = G*(a; f, 2). Aus (t) und (tt) folgt, daß f sowohl mit g* als mit G* überall übereinstimmt, abgesehen von einer Menge erster Kategorie, und da g * unterhalb, G* oberhalb stetig ist, so ist Satz V bewiesen. Satz VI. Zu jeder Baireschen Funktion f auf der separablen, relativ-vollständigen Menge 1 gibt es einen Teil R erster Kategorie von 91, so daß f/auf 291 — stetig ist. In der Tat, nach Satz V gibt es eine auf 91 oberhalb stetige Funktion G*, von der sich f nur in einer Menge erster Kategorie g' unterscheidet. Nach 1) H. Lebesgue, a. a. 0., 186. 2) Über die Möglichkeit solcher Zerlegungen vgl. H. Lebesgue, Bull. soc. math. 35 (1907), 207, 212. P. Mahlo, Leipz. Ber. 63 (1911), 346.

328 Die Baireschen Funktionen. Kap. III, ~ 6, Satz II ist G* punktweise unstetig, und mithin (Kap. III, ~ 4, Satz III) bilden die Unstetigkeitsstellen von G* gleichfalls eine Menge erster Kategorie k". Setzt man R ='+"- ", so ist auch a von erster Kategorie, und es ist f auf - 3 stetig. Damit ist Satz VI bewiesen. ~ 3. Funktionen a-ter Ordnung. Zufolge ihrer Definition sind die Baireschen Funktionen diejenigen, die aus den stetigen Funktionen durch iterierte Grenzübergänge entstehen. Wir wollen uns nun überzeugen, daß man sich dabei auf monotone Grenzübergänge beschränken kann. Wir wollen die Grenzfunktionen von monotonen Folgen auf 91 stetiger Funktionen {f,} als Funktionen erster Ordnung auf 2 bezeichnen; sie sind unterhalb stetig auf W, wenn {f,} monoton wachsend (Kap. II, ~ 10, Satz II), dann nennen wir sie Funktionen G1; sie sind oberhalb stetig auf 21, wenn {f,} monoton abnehmend, dann nennen wir sie Fun k tion e n g. Nachdem so die Funktionen erster Ordnung, die Funktionen G1, die Funktionen g1 definiert sind, definieren wir für jedes a der ersten oder zweiten Zahlklasse die Funktionen a-ter Ordnung, die Funktionen Ga, die Funktionen g, durch Induktion. Wir nehmen an, diese Begriffe seien schon definiert für alle ß < a, und zwar so, daß die Funktionen Gß und gß zusammen die Funktionen ß-ter Ordnung bilden. Jede Funktion ß-ter Ordnung (B <a) heißt von geringerer als a-ter Ordnung. Und nun definieren wir: Die Grenzfunktionen von monotonen Folgen {fL} von Funktionen geringerer als a-ter Ordnung heißen, wenn sie nicht von geringerer als a-ter Ordnung sind, Funktionen a-ter Ordnung; und zwar heißen sie-Funktionen G~, wenn {f~} monoton wächst, Funktionen ga, wenn {f,} monoton abnimmt. Ist f von a-ter oder geringerer Ordnung, so sagen wir, f sei von höchstens a-ter Ordnung. Ist f eine Funktion Ga (g,) oder von geringerer als a-ter Ordnung, so sagen wir, f sei höchstens eine Funktion G, (ga). Satz I. Die Gesamtheit aller Baireschen Funktionen auf 9 ist identisch mit der Gesamtheit aller Funktionen a-ter Ordnung auf 91 (für alle a der ersten und zweiten Zahlklasse). In der Tat, sei f eine Funktion cc-ter Ordnung; wir behaupten: sie ist von höchstens a-ter Klasse. Die Behauptung ist richtig für a= 1; denn die Funktionen erster Ordnung wurden definiert als Grenzen stetiger Funktionen, d. h. sie sind von höchstens erster Klasse. Angenommen, die Behauptung sei richtig für alle ao'<ca.

Kap. V, ~ 3. Funktionen a-ter Ordnung. 329 Als Funktion a-ter Ordnung ist f Grenze von Funktionen geringerer als a-ter Ordnung, die also - nach Annahme - auch von geringerer als a-ter Klasse sind. Also ist f von höchstens a-ter Klasse, wie behauptet. Sei sodann f eine Bairesche Funktion etwa ß-ter Klasse. Wir behaupten: sie gehört einer unserer Ordnungen, etwa der a-ten an. Dies ist richtig für ß- 0, denn jede stetige Funktion kann auch als Grenze einer monotonen Folge stetiger Funktionen aufgefaßt werden, und ist somit von erster Ordnung. Angenommen, die Behauptung sei richtig für alle ß' <ß. Es ist f lim f, v = 00 wo f, von geringerer als f-ter Klasse. Wir bezeichnen mit f, k den größten unter den Funktionswerten f, f+1,..., fv+k. Dann ist (Einl. ~ 6, Satz VI): (0) f=-lim (lim t, k), v=o k=oo und nach ~ 1, Satz VIII ist auch f4,k von geringerer als f-ter Klasse, und gehört mithin nach Annahme einer Ordnung, etwa vak an. Nach Einl. ~ 4, Satz XIII gibt es ein a der ersten oder zweiten Zahlklasse, das größer als alle a^, ist. Die Folge f,1, f,2,..., fk,... ist also eine monoton wachsende Folge von Funktionen geringerer als a- ter Ordnung, ihre Grenzfunktion: f 4 lim f4, k k-X ist also von höchstens a-ter Ordnung; nach (0) ist nun fv = lim f,,, und {f} ist eine monoton abnehmende Folge von Funktionen höchstens a-ter Ordnung, also ist f eine Funktion höchstens (a-+ 1)-ter Ordnung, und die Behauptung ist bewiesen. Damit ist der Beweis von Satz I beendet. Wie für Funktionen a-ter Klasse (~ 1, Satz III, IV), so gelten auch für Funktionen a-ter Ordnung die Sätze: Satz II. Ist die Funktion f eine Funktion Ga (oder g,) auf 9, so ist sie höchstens eine Funktion Ga (bzw. ga) auf jedem Teile von 9. Satz III. Ist f von a-ter Ordnung, so auch die aus f durch die Schränkungstransformation entstehende Funktion (und umgekehrt).

-330 Die Baireschen Funktionen. Wir beweisen nun gleichzeitig die folgenden vier Sätze, von denen der zweite und dritte unmittelbare Folgerungen aus dem ersten sind (vgl. ~ 1, Satz V, VIII, VIIIa): Satz IV. Sind die endlichen1) Funktionen f", 2,..., fk höchstens Funktionen Ga (oder ga) auf 9f, und ist F(xi, x2,...,xk) eine im 9k stetige Funktion, die als Funktion jeder einzelnen Veränderlichen xi monoton wächst, so ist F(f, f2,..., fk) auch höchstens eine Funktion Ga (bzw. g,). Satz V. Sind f,, f,...,f höchstens Funktionen Ga2), und ist f der größte (oder kleinste) unter den k Funktionswerten fi1 f2,...;, so ist auch f höchstens eine Funktion Ga. Satz VI. Ersetzt man bei einer Funktion Ga (oder ga) alle Werte <p durch p, alle Werte > q durch q, so entsteht höchstens eine Funktion Ga (bzw. ga). Satz VII3). Sind in der monoton wachsenden (oder abnehmenden) Folge {fv} alle f, höchstens Funktionen Ga (bzw. ga), so ist auch ihre Grenzfunktion f höchstens eine Funktion Ga (bzw. g,). Wir führen den Beweis der Sätze IV bis VII durch transfinite Induktion. Satz IV (und somit auch V und VI) ist richtig für a= 1. Seien in der Tat f,, f2,..., fk Funktionen G1, d. h. unterhalb stetig. Dann folgt aus lim a a a: n= oo lim f, (a,) fi (a) (i 1, 2,..., k), qn = Co mithin wegen der Stetigkeit und der Monotonieeigenschaft von F: lim F (fi (an), f2 (an),, f4 (an)) ' F(f, (a), f, (a),..., f (a)). n= oo Das aber heißt: F ist unterhalb stetig, und mithin eine Funktion G., wie behauptet. Satz VII ist richtig für cc =1; in der Tat, dies ist enthalten in Kap. II, ~ 10, Satz I. Nun nehmen wir an, es gelte Satz IV (und mithin V und VI), sowie Satz VII für alle a' < a, und zeigen, daß diese Sätze dann auch für a gelten. 1) Ist die Funktion F (x, x.2..., xk) auch definiert, wenn einzelne ihrer Veränderlichen unendliche Werte annehmen, so kann diese Einschränkung wegbleiben. 2) Der Satz gilt auch für die Funktionen ga. 3) Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung von Kap. II, ~ 10, Satz I.

Kap. V, ~ 3. Funktionen a-ter Ordnung. 331 Beweis von Satz IV. 1. Fall: a ist eine isolierte Zahl. Da die fi höchstens Funktionen Ga sind, haben wir: ~~~~(t)~~ ~ f-==lim fi, V = 0o wo die Folge fi, f f, 2, i,,... monoton wächst und jedes fi,, von geringerer als a-ter Ordnung ist. Dabei können wir annehmen, jedes fi,, sei höchstens eine Funktion g -1. In der Tat, dies ist richtig, wenn fi selbst höchstens eine Funktion ga,- ist, denn dann können wir setzen: l>, - i Es ist auch richtig, wenn fi eine Funktion G,-i ist, denn dann können für die fi, Funktionen geringerer als (ac —1)-ter Ordnung gewählt werden1). Es ist endlich richtig, wenn fi eine Funktion Ga ist. In der Tat müssen sich dann in (t) unter den fi, unendlich viele Funktionen ga-i finden; denn andernfalls wären fast alle fi,, höchstens Funktionen Ga-i, und der (für c' <a als richtig angenommene) Satz VII würde lehren, daß auch fi höchstens eine Funktion Ga-_ ist, entgegen der Annahme, fi sei eine Funktion Ga. Da aber unter den fi, in (t) unendlich viele Funktionen ga - vorkommen, kann man alle übrigen weglassen, und die Behauptung ist bewiesen. Da nun alle f",, höchstens Funktionen ga-_ sind, ist wegen des für a' < c als richtig angenommenen Satzes IV F(f i, f,,... fk, v) höchstens eine Funktion ga-l. Wegen der Stetigkeit von F und wegen (t) ist: F (fl, f2* fk-)=- lim F (l, f2,,*n f*,) In = co und wegen der Monotonieeigenschaft von F folgt aus der Monotonie der Folgen {fiv}, daß auch die Folge {F(fi,?t,, f, 2. fk, )} monoton wächst. Also ist F (fl, f,., fk) höchstens eine Funktion G,, wie behauptet. 9 2. Fall: a ist eine Grenzzahl. Zu jedem v gibt es dann ein aC<cc, so daß in (t) die k Funktionen f,,, f2,.... f, k, höchstens Funktionen gh sind. Mithin ist, nach dem für a' <a als richtig angenommenen Satz IV, F(f 2, f,.... fk,,) gleichfalls höchstens eine Funktion ga,. Wie im 1. Falle schließt man nun weiter, daß F(fl, fg,..., f) höchstens eine Funktion G, ist, und Satz IV (und somit V und VI) ist bewiesen. 1) Vorausgesetzt daß o > 2; im Falle =c= 2 können nach Kap. II, ~ 10, Satz III für f, stetige Funktionen gewählt werden, die ja auch Funktionen g1 sind.

332 Die Baireschen Funktionen. Beweis von Satz VII. 1. Fall: a ist eine isolierte Zahl. Da alle f, höchstens Funktionen Ga sind, so haben wir: (tt) f- lim fv, ~, = oo wo fy, 1, fv, 2,., 4 fv, y,... eine monoton wachsende Folge von Funktionen geringerer als a-ter Ordnung bedeutet. Wie wir vorhin sahen, können wir dabei annehmen, die f4,, seien höchstens Funktionen ga_ 1. Wir verstehen unter f4, den größten unter den v Funktionswerten fi, t, f2, M,... f,,. Zufolge dem (für a' < a als richtig angenommenen) Satze V, ist nun auch f4,, höchstens eine Funktion ga-1. Aus der Definition von fl,, folgt unmittelbar: (tt) fvq-",' fv, yt; und weil die Folgen fV,,t,2,, fv.,,,,.. monoton wachsen, ist (ttf) s+ /,.. Aus (ttf) und (ttt) aber folgt: (ttt) f4v',, afvY für v'>v,y U. Da die Folge {f4} monoton wächst, folgt aus (tt): f = lim f,. Aus (tti) folgert man daher leicht f= lim 4=, lim (lim f4, S,) lim f,. v- =o V — O / — = 00 Y = vO Da {f, 4} eine monoton wachsende Folge von Funktionen höchstens (a- 1)-ter Ordnung ist, so ist also f höchstens eine Funktion G,, wie behauptet. 2. Fall. ca ist eine Grenzzahl. Da in (tt) jede der v Funktionen fi,, f2,,?..., 4f, von geringerer als a-ter Ordnung ist, gibt es ein a^c,<ca, so daß diese v Funktionen höchstens Funktionen ga f, sind. Ist wieder f4. der größte unter den v Funktionswerten i,t, f2,,,..., f, v,, so ist nach dem (für a' <a als richtig angenommenen) Satze V 4F,ö höchstens eine Funktion g9 E und mithin von geringerer als a-ter Ordnung. Indem man nun schließt, wie im 1. Falle, beendet man den Beweis von Satz VII. Wir merken noch an, daß wir beim Beweise von Satz IV auch folgenden Satz bewiesen haben: Satz VIII. Ist die Funktion f höchstens eine Funktion Ga(cc>1), so ist sie Grenzfunktion einer monoton wachsen

Kap. V, ~ 3. Funktionen a-ter Ordnung. 333 den Funktionenfolge {fv}, in der jedes f,, höchstens eine Funktion g" (ac, < a) ist. Wählt man in Satz IV für F die Funktion x-+ x2, so erhält man: Satz IX. Sind f1 und f2 höchstens Funktionen Ga (oder g~) auf?f, so ist auch die Summe f- + -f höchstens eine Funktion Ga (bzw. g,) auf dem Teile 9f' von 9X, auf dem sie ausführbar ist. Wählt man in Satz IV F===xl x für x1>O, > 0, so erhält man: Satz X. Sind f1 und f2 nicht negativ und höchstens Funktionen Ga (oder g,) auf 92, so ist auch das Produkt f.fs höchstens eine Funktion G, (bzw. ga) auf dem Teile 92' von )2, auf dem es ausführbar ist. Endlich erhalten wir noch: Satz XI. Ist f eine Funktion Ga (oder ga), so ist - f eine Funktion g, (bzw. Ga). In der Tat, nach Kap. II, ~ 8, Satz VI ist dies richtig für -1. Angenommen, es sei richtig für alle a'< a. Ist f eine Funktion Ga, so ist: f= lim f,, V = 00 wo {f,} eine monoton wachsende Folge von Funktionen geringerer als a-ter Ordnung. Nach Annahme ist dann auch - fy von geringerer als a-ter Ordnung, und da {- f,} monoton abnimmt, ist f lim (- f,) V= 00 höchstens eine Funktion g,. Wäre nun - f von geringerer als a-ter Ordnung, so nach Annahme auch f. Da aber f als Funktion Ga vorausgesetzt war, ist es nicht von geringerer als a-ter Ordnung; also ist auch - f nicht von geringerer als a-ter Ordnung, und mithin eine Funktion ga. Damit ist Satz XI bewiesen. Als Gegenstück zu ~ 1, Satz X gilt hier: Satz XII1). Die Grenzfunktion f einer auf 29 gleichmäßig konvergenten Folge {fy} ist, wenn alle f, höchstens Funktionen Ga (oder ga) sind, gleichfalls höchstens eine Funktion Ga (bzw. ga). ~) Ein anderer Beweis dieses Satzes bei W. H. Young, Lond. Proc. (2) 12 (1913), 357.

334 Die Baireschen Funktionen. Sei in der Tat {e} eine Folge positiver Zahlen, so daß: i(* ) < und mithin lim = O. 3 i==ä Dann gibt es1) in {fr} eine Teilfolge {fi, so daß: I f — <i Hieraus folgt sofort: fri- 2 Ei < -; fi l-2 eiS f- 3ei-i, und somit wegen (*): fvi — 2 ei < fvi+l -2 ei1 Es ist also die Folge {f,- 2 ei monoton wachsend, und da (Satz IX) zugleich mit fi auch f - 2 ei höchstens eine Funktion Ga ist, folgt wegen f lim (fi- 2 ei) i = 00 aus Satz VII, daß auch f höchstens eine Funktion G0 ist. Damit ist Satz XII bewiesen. ~ 4. Borelsche Mengen. In engster Beziehung zu den Baireschen Funktionen stehen gewisse Punktmengen, die durch iterierte Vereinigungs- und Durchschnittsbildungen, ausgehend von den abgeschlossenen und offenen Punktmengen gewonnen werden, und die wir als Borelsche Mengen bezeichnen wollen, weil E. Borel wiederholt auf ihre Bedeutung hingewiesen hat. Sei %9 eine gegebene Punktmenge. Wir bezeichnen die in 9/ abgeschlossenen Mengen als Mengen ' (in 91) 2), die in 9/ offenen Mengen als Mengen 1 (in 21). Die Mengen 'D und l bezeichnen wir auch als die Mengen erster Ordnung (in 29). Nun definieren wir für jedes a der ersten oder zweiten Zahlklasse die Mengen a-ter Ordnung, die Mengen 'a und 3a durch Induktion. Wir nehmen an, diese Begriffe seien schon definiert für alle f< a, und zwar so, daß die Mengen S) und $p zusammen die Mengen ß-ter Ordnung bilden. Jede Menge ß-ter Ordnung (ß< a) heißt von geringerer als a-ter Ordnung. Und nun definieren wir: Die Vereinigung einer monoton wachsen1) Vermöge der Schränkungstransformation können wir uns auf den Fall eigentlich gleichmäßiger Konvergenz beschränken. 2) Der Zusatz "in 91" wird weggelassen, wo kein Zweifel über die zugrunde gelegte Menge möglich ist.

Kap. V, ~ 4. Borelsche Mengen. 335. den Folge von Mengen geringerer als a-ter Ordnung heißt, wenn sie nicht von geringerer als a-ter Ordnung ist, eine Menge 23a, der Durchschnitt einer monoton abnehmenden Folge von Mengen geringerer als a-ter Ordnung heißt, wenn er nicht von geringerer als a-ter Ordnung ist, eine Menge Z.. Die Mengen 3c, und," heißen Mengen ar-ter Ordnung. Ist die Menge ~9 von a-ter oder geringerer Ordnung, so heißt sie von höchstens a-ter Ordnung; ist sie eine Menge 58, (.) oder von geringerer als a-ter Ordnung, so sagen wir, sie sei höchstens eine Menge 3a. (ta). Die Mengen 58. und 'a (für irgendein a der ersten oder zweiten Zahlklasse) bezeichnen wir als Borelsche Mengen (in 2f), oder Borelsche Teile von 2f. Satz I. Das Komplement zu 91 einer Menge 3,a (in 91) ist eine Menge,a (in 91) und umgekehrt. In der Tat, dies ist richtig für a —1. Angenommen, es sei richtig für a'< a. Ist 9)1 eine Menge 3a, so ist m = m, b 2 -5... -... *, wo {)Jl,} eine monoton wachsende Folge von Mengen geringerer als a-ter Ordnung. Dann aber ist: wo {92 - -,} eine monoton abnehmende Folge von Mengen ist, deren jede, wegen des für a' < a als richtig angenommenen Satzes I,. von geringerer als a-ter Ordnung ist. Demnach ist 91-91N höchstens eine Menge Za. Wäre 91- 91 von geringerer als a-ter Ordnung, so zufolge dem für a' <a als richtig angenommenen Satz I auch sein Komplement zu 91, d. h. s9t. Da aber 9)J nach Annahme eine Menge 3a, also nicht von geringerer als a-ter Ordnung ist, so ist Satz I bewiesen. Wir beweisen nun durch Induktion gleichzeitig die drei Sätze: Satz II1). Ist die Menge 9r höchstens eine Menge 2a(a>1), so ist sie Vereinigung einer monoton wachsenden Mengenfolge {),,}, in der jedes 9, höchstens eine Menge $%(av<c<) ist. Satz III. Sind die abzählbar vielen Mengen, (v = — 1, 2,...) höchstens Mengen 3,, so auch ihre Vereinigung. Sind sie höchstens Mengen Z, so auch ihr Durchschnitt. Satz IV. Sind die endlich vielen Mengen 9, (vz= l, 2,...,n) höchstens Mengen B,, so auch ihr Durchschnitt. Sind sie; höchstens Mengen,, so auch ihre Vereinigung. 1) Ein analoger Satz gilt, wenn 9)? höchstens eine Menge $a ist.

336 Die Baireschen Funktionen. In der Tat, für a -1 sind die Behauptungen richtig: Satz II kommt für ac =1 nicht in Frage, Satz III und IV aber reduzieren sich auf Kap. I, ~ 2, Satz IV, V, VI, VII. Wir nehmen nun an, die Behauptungen von Satz II, III, IV treffen zu für alle c'< a, und beweisen, daß sie dann auch für a zutreffen. Beweis von Satz II: Die -Behauptung ist offenbar richtig, wenn a eine Grenzzahl; denn es ist zufolge Definition der Mengen E": (0) = +- - +-... +.+-..., wo {l,} monoton wachsend, und jedes W9 von geringerer als a-ter Ordnung. Ist etwa Wy von der Ordnung 'f, so ist wegen ßv<ma auch ß, + 1 < a und W9 ist höchstens eine Menge fs+ i. Ist hingegen a eine isolierte Zahl, so haben wir drei Fälle zu unterscheiden. 1. Fall: 9) ist höchstens eine Menge )a-1. Dann ist die Behauptung richtig; man hat nur zu setzen: 9)l,==). 2. Fall: 9D1 ist eine Menge a-i1. Dann ist die Behauptung richtig; denn für ac> 21) gilt wieder (0), wo nun jedes W, von geringerer als (c - 1)-ter Ordnung und mithin höchstens eine Menge Sa-lt 3. Fall: 9) ist eine Menge 8,. Wieder gilt (0), wo nun jedes 9:, von geringerer als a-ter Ordnung. Gäbe es unter den 9, unendlich viele, die höchstens Mengen _,-i sind, so könnte (da {9W} monoton wächst) D9 als Vereinigung dieser aufgefaßt werden, und wäre nach Satz III (der für a- 1 als gültig angenommen ist) selbst höchstens eine Menge 8~_i, entgegen der Annahme. Also sind fast alle W, Mengen a-i1. Indem man die endlich vielen 9W, die es nicht sind, wegläßt, entsteht aus {1,} die gewünschte Folge {9)1}, und Satz II ist bewiesen. Beweis von Satz III: Sei -- = 4-... 4 4.X.., wo jedes 9)v höchstens eine Menge a,. Es ist also nach Satz II: (00) s= - i+,2+-* + + 9 wo jedes V),A, höchstens eine Menge ay, (aC,,. < c). Wir bezeichnen mit s91k die Vereinigung der Mengen )4,,. (v 1, 2,..., k; / =- 1, 2,..., k). Nach Satz IV (der fir a' < a als gültig angenommen wurde) ist dann q) von geringerer als a-ter Ordnung. Ferner ist: Im Falle 2 reduziert sich die Behauptung auf Kap., ~ 3, Satz IV. 1) Im Falle a= 2 reduziert sich die Behauptung auf Kap. I, ~ 3, Satz IV.

Kap. V, ~ 4. Borelsche Mengen. 337 Und da die Mengenfolge {9k} monoton wächst, ist Du von höchstens a-ter Ordnung. Damit ist die eine Hälfte von Satz III bewiesen. Analog beweist man die andre. Beweis von-Satz IV: Sei 9 -- t ' ' n ~... wo jedes I, höchstens eine Menge 23,. Wieder gilt (00), und dabei kann nach Satz II stets angenommen werden, jedes U",~, sei höchstens eine Menge,y, wo a,,< a. Also ist nach Annahme für alle,i =1, 2,... der Durchschnitt l,' Y 2,1,.. *, n,, von geringerer als a-ter Ordnung. Nun ist aber 9J die Vereinigung aller Durchschnitte,/~ *, 2 *... ~,,, fIn und mithin nach Satz III höchstens eine Menge -3,. Damit ist die eine Hälfte von Satz IV bewiesen. Analog beweist man die andre. Gemäß ihrer Definition waren die Mengen a. Vereinigungen monoton wachsender Folgen, die Mengen Z), Durchschnitte monoton abnehmender Folgen von Mengen geringerer als a-ter Ordnung. Nun sehen wir, daß die Beschränkung auf m o not o ne Mengenfolgen ohne weiteres wegbleiben kann. Satz V. Die Vereinigung (der Durchschnitt) sl einer Folge {9,,} von Mengen geringerer als a-ter Ordnung ist höchstens eine Menge S, (bzw. Za).l) In der Tat, da jede Menge JRy von geringerer als a-ter Ordnung, ist sie höchstens eine Menge S, (bzw. a)), und Satz V ist in Satz III enthalten. Daraus folgt sofort: Satz VI. Die Vereinigung (der Durchschnitt) abzählbar vieler Borelscher Mengen in f ist eine Borelsche Menge in f1. Sei in der Tat: m- 41-, +...+ +..., wo jedes DlYV eine Boreische Menge, und zwar sei 9,4 von ac,-ter Ordnung. Nach Einleitung ~ 4, Satz XIII gibt es ein a der ersten oder zweiten Zahlklasse, das größer als alle ac ist. Dann sind alle 9JlV von geringerer als a-ter Ordnung; nach Satz V ist also 39 höchstens eine Menge 2a, und Satz VI ist bewiesen. 1) Aus Satz V entnimmt man sofort: "a-Vereinigung in 2f " heißt dasselbe wie: "höchstens Menge SS in 2W";,o-Durchschnitt in f1" heißt dasselbe wie: "höchstens Menge 2) in 9X". Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 22

338 Die Baireschen Funktionen. Wegen einer künftigen Anwendung zeigen wir noch: Satz VII. Ist 33-<2 und ( höchstens eine Menge,)($7a) in 23, so ist: (x) - = -(s.*, wo (* höchstens eine Menge,.(3,a) in E. Die Behauptung ist richtig für ca= 1 (Kap. I, ~ 3, Satz XII). Angenommen sie sei richtig für alle c'< a. Es ist: wo alle ( von geringerer als cc-ter Ordnung in e sind, und daher die Form haben:,;, = ( Q* (G* von geringerer als a-ter Ordnung in 2t). Setzen wir also: so ist (* höchstens eine Menge Sa in 91, und da: ist Satz VII ist bewiesen. Satz VIII. Ist 58 höchstens eine Menge Sa in 92 und (E höchstens eine Menge ", in 83, so ist t auch höchstens eine Menge 'Sa in 29. In der Tat, dies folgt vermöge Satz III unmittelbar aus (x) von Satz VII, da darin nun sowohl 3 als (* höchstens Mengen Za (in 2) sind. Wie wir in Kap. I, ~ 8, Satz IX sahen, ist jeder o-Durchschnitt in einer separablen vollständigen Menge abzählbar oder von der Mächtigkeit c. Wir wollen nun zeigen1), daß dasselbe für alle Borelsehen Mengen gilt (unter denen ja die o-Durchschnitte als Spezialfall enthalten sind). Wir zeigen zunächst: Satz IX. In einer separabjen und vollständigen Menge besitzt jede nicht abzählbare Borelsehe Menge einen (nicht leeren) perfekten Teil. Sei zunächst 59 irgendeine Boreische Menge von einer Ordnung ac>1. Sie kann in folgender Form dargestellt werden: wo jd n n oes... o g.... wo jede Menge H 33 eine Borelsche Menge von geringerer als a-ter 1) F. Hausdorff, Math. Ann. 77 (1916), 430.

Kap. V, ~ 4. Borelsche Mengen. 339 Ordnung und 583-< $+'1. In der Tat, dies ist richtig, wenn B3 eine Menge 'a, denn dann können schon die S, von geringerer als c-ter Ordnung angenommen werden, und man kann dann 8ä== ), setzen; es ist aber auch richtig, wenn S3 eine Menge la, denn dann kann man Sy, —8 setzen, und sodann die j8ä von geringerer als ca-ter Ordnung wählen. Ist 53 von erster Ordnung, so gilt wieder eine Darstellung (*), wo nun die 33 offene Mengen bedeuten; in der Tat, da die Menge 53 von erster Ordnung, ist sie offen oder abgeschlossen. Im ersten Falle kann man setzen S= —= -, im zweiten kann man nach Kap. I, ~ 3, Satz III für die e, offene Mengen wählen, und sodann s -Y- 3, setzen. Sei nun 9 irgendeine Borelsche Menge. Nach (*) kann sie in der Form dargestellt werden: wo (falls nicht SI von erster Ordnung) jedes hä von geringerer Ordnung als 52 und: (*%) C 4+i Für jede einzelne der Mengen,h, etwa für gilt, gilt wieder nach (*): _ 1 1., 2 X... X f,, 7 V. ' 1, V === ^.1, X -T WYi, l V + + T" M 'l. S Et * * * wo (falls nicht W"I' von erster Ordnung) jedes 5l2,', von geringerer Ordnung als l"'1 und: (*E*) ~(t4,, ar+l Für jede einzelne dieser Mengen e^tY1, ' etwa für 1Fi't '' gilt wieder eine Darstellung durch Mengen.'1,,2, usf. Sind die beiden Indizesfolgen {/%}, {V} beliebig gegeben, so können auf diese Weise die Mengen gebildet werden: Wi' yeh ale In j 2ed> r 1, oe F og i d,...,*...f Wir behaupten: In jeder solchen Folge sind fast alle Mengen offen. In der Tat, ist a, die Ordnung von 2Ij17,,', so ist aq> an+-i, wenn nicht a - =1. Also muß a=-1 sein für fast alle n, da wir sonst eine stets abnehmende Folge von Ordinalzahlen hätten, entgegen der Tatsache (Einleitung ~ 4, Satz VIII), 22*

340 Die Baireschen Funktionen. daß die Ordinalzahlen <~ eine wohlgeordnete Menge bilden. Ist aber ar=-1, so ist r',1,.2. V+::f offen; dasselbe gilt dann für alle folgenden Mengen, und die Behauptung ist bewiesen. Bemerken wir noch, daß alle möglichen Indizeskombinationen (v, vY,..., Y) in eine Folge geordnet werden können nach wachsender Indizessumme'): (1); (2), (1, 1); (3), (2,1), (1, 2), (1, 1, 1);... Nach Annahme ist 3 nicht abzählbar. Wegen (*) ist: - ~t = +t + O5- + *... 5 + 1 2+-.. Es ist also auch mindestens eine der Mengen W Lf nicht abzählbar, etwa i2 T 1. Nach Kap. I, ~ 7, Satz XIV, XVII gibt es in 21 f gewiß zwei Kondensationspunkte ao und a.. Dann gibt es ein ei: 0 < ei1- 2 so daß die abgeschlossenen Umgebungen U (a,; 1), U (a1; 2) die folgenden Eigenschaften haben: 1. Sie sind fremd; 2. falls 9s1 offen ist, liegen sie in 91f. Wir schreiben abkürzend: K (ao; eß) =U o; U (a,;,o )=,. Wir unternehmen nun den zweiten Schritt unsres Verfahrens, in den solche Mengen (t) eingehen, bei denen die untere Indizessumme 2 ist. Da jede der beiden Mengen: Ul i %2f1 (i =0, 1) nicht abzählbar ist, und da nach (**) U~.. 5)f. ~? =. u,. U~. 5Qf..i f'. ~ =. ~fÄ1. ~i'. + q ~. ~. ~. ~ q-. +-. i' )* +. *i q i..., so ist wieder mindestens eine der Mengen U i.9 f.912i nicht abnählbar, etwa Uz. Q 1.. f912 (wobei wegen (**) offenbar 22 für die beiden Fälle i=0, 1 gemeinsam gewählt werden kann). In ganz derselben Weise erschließt man aus (***), daß auch mindestens eine der Mengen: 1) Die endlich vielen Kombinationen gleicher Summe können dabei in eeliebiger Reihenfolge angeschrieben werden.

Kap. V, ~ 4. Borelsche Mengen. 341 nicht abzählbar ist, etwa: Ui-l 2.* 92 2.9 2 lX,, (wobei wegen (***) wieder 21, für i 0 und 1 gemeinsam gewählt werden kann). Es gibt also wieder in Ui.-l. W*. gfi2 *. g i2S 1A1,1 zwei Kondensationspunkte a,,( ai,1. Dann gibt es ein 92: 0<22 -22 so daß die abgeschlossenen Umgebungen l (ai,j; 2) (i,j=0, 1) die folgenden Eigenschaften haben: 1. Sie sind fremd; 2. sie gehören jeder der beiden Mengen 9 22, '1ili,'l an, die etwa offen ist; 3. U(a" j;,p) C U (a/;) Wir schreiben abkürzend: Uj-=U (a, j; 92). Nun unternehmen wir in derselben Weise den dritten Schritt unsres Verfahrens, in den solche Mengen (t) eingehen, bei denen die untere Indizessumme 3 ist. Wir finden so Mengen: U~ij..2 *- gi1 s 1 * gÄ3 ^XA2 ^i2, 1 *.1^ A1, 2., 1,1,1 (1 =o 0), die nicht abzählbar sind, und sodann Kondensationspunkte aijk (i,j,k=O,l) in diesen Mengen mit abgeschlossenen Umgebungen t(aj, k; C) ( ~<3 23), die folgenden Bedingungen genügen: 1. Sie sind fremd; 2. sie gehören jeder der Mengen g2ia, 21 2,22, iX1 2, 'i, 1,i,' 1, an, die etwa offen ist; 3. ut (ai, j, k; C) U (ai, j; o,). Wir setzen wieder: u (ai, j, k;.s) = i, In dieser Weise fortfahrend erhält man zu jeder Folge i, i2,..., in von Ziffern 0, 1 eine Menge Uiq,i,.... Wir bezeichnen mit Un die Vereinigung aller dieser Mengen Uil,i,...i mit n Indizes, und bilden den Durchschnitt: (rtt) i-n, = -- ~.u.....u.... Wie beim Beweise von Kap. I, ~ 8, Satz VI sehen wir, daß X perfekt ist. Es bleibt also nur mehr zu zeigen, daß: T -< 2f..

342 Die Baireschen Funktionen. Sei zu dem Zwecke a ein nicht zu 91 gehöriger Punkt. Wegen der crsten Formel (**) gehört er dann auch mindestens einer Menge %, nicht an, etwa der Menge 91,. Wegen der zweiten Formel (**) gehört er dann keiner Menge 911, insbesondere auch nicht der beim v1-ten Schritte unsres obigen Verfahrens auftretenden Menge 12f,1 an. Daher gehört er, wegen der ersten Formel (***) mindestens einer Menge 2f i1 nicht an, etwa 2f, und daher gehört er wegen der Vi, Vi, 2 zweiten Formel (***) keiner der Mengen 91f1, st an, insbesondere auch nicht der beim (,L -+-r )-ten Schritte unsres Verfahrens auftretenden Menge 9 ~', vl '2,~'. Indem man so fort schließt, erhält man eine unendliche Folge von Mengen (ttt) tf t 1) t fl f1 A1, 1'2 rl ) X 7 2 1 1Y2) s1l. V, )2 (+++ 111, v2 Vl, 1'2 '1% denen der Punkt a nicht angehört. Die Folge (ftt) ist nun eine Folge (t), fast alle ihre Glieder sind also offene Mengen. Wegen Eigenschaft 2. der von uns benutzten Ulil, 2..., ist demnach füir fast alle n Ui, Teil einer Menge aus (ttt). In allen diesen Ut ist mithin a nicht enthalten, und daher wegen (tt) auch nicht in '5. Ein nicht in 9f enthaltener Punkt ist also auch in Z nicht enthalten, d. h. es ist ' -< 91 wie behauptet. Damit aber ist Satz IX bewiesen. Nach Kap. I, ~ 8, Satz IX und Kap. I, ~ 7, Satz I ist damit zugleich gezeigt: Satz X. In einer separablen und vollständigen Menge ist jede Borelsche Menge entweder abzählbar oder von der Mächtigkeit c. ~ 5. Die Ordnung einer Baireschen Funktion, charakterisiert durch Borelsche Mengen. Wir wollen nun zeigen, wie die Ordnung einer Baireschen Funktion durch gewisse Borelsche Mengen charakterisiert werden kann1). Wir werden dabei mit 9 (f>2p) die Menge aller Punkte von 91 bezeichnen, in denen f>p ist. Analoges bedeuten Symbole wie 9(fK<p), 91(f p), 1 (f=-p), 1(p<f<q) usw. Wir gehen aus von der Bemerkung: 1) Vgl. W. H. Young, Lond. Proc. (2) 12 (1912), 279. Von einem all gemeineren Gesichtspunkte aus werden die in ~~ 5-8 besprochenen Fragen behandelt in einer während der Drucklegung erschienenen Abhandlung von F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 298.

Kap. V, ~ 5. Die Ordnung einer Baireschen Funktion, usw. 343 Satz I. Ist 33 höchstens eine Menge 3, in f1, und ist f-=l auf D9 und f=O auf 9W-931, so ist f höchstens eine Funktion G, auf 2. Ist 931 höchstens eine Menge," in sa, und ist f=-1 auf 93I und f==0 auf W-9he, so ist f höchstens eine Funktion g, auf sX1t). In der Tat, die Behauptung ist richtig für a c= 1, da die Mengen 3 und % offen bzw. abgeschlossen in 91, die Funktionen G1 und gl unterhalb bzw. oberhalb stetig auf 91 sind. Angenommen, die Behauptung sei richtig für alle ac'<a. Ist S höchstens eine Menge 5,, so gibt es eine monoton wachsende Folge {93e,} von Mengen geringerer als a-ter Ordnung, so daß: Wi9 bilden die Funkti on Wir bilden die Funktion: t;,=- auf 9ö,; f;,-O auf 9 —91,. Nach Annahme ist sie von geringerer als a-ter Ordnung. Ferner ist {ft} monoton wachsend, und es ist: f- lim f,,. He' =- Ax Also ist f höchstens eine Funktion G-. Damit ist die eine Hälfte von Satz I bewiesen. Analog beweist man die andre. Satz II. Damit f höchstens eine Funktion Ga auf 9 sei, ist notwendig und hinreichend, daß für jedes p die Menge; (f>p) höchstens eine Menge a, sei2). Der Satz ist richtig für ca=l, da er sich dann auf Kap. II, ~ 9, Satz IV reduziert; in der Tat ist dann f unterhalb stetig, die Menge (f p) abgeschlossen in f1, die Menge 91 (f>p) demnach offen in 91, d. h. eine Menge,l. Wir nehmen nun den Satz sowie den entsprechenden Satz für Funktionen g, (Fußn. 2) als richtig an für alle a'<ca, und zeigen, daß er dann auch für a gilt. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f höchstens eine Funktion G, und {f,} eine monoton wachsende Folge von Funktionen geringerer als a-ter Ordnung mit lim f, f. __ = 00 1) Die Zahlen 0 und 1 sind dabei nur der Einfachheit halber gewählt Es kann 0 ersetzt werden durch irgendeine Zahl a, und 1 durch irgendeine Zahl b > a. 2) Den entsprechenden Satz für Funktionen g,. erhält man, indem man t (f > p) durch % (f < p) erset zt.

344 Die Baireschen Funktionen. Nach ~ 3, Satz VIII können wir annehmen, f, sei höchstens eine 1 Funktion ga, (a, < a). Indem wir noch f, ersetzen durch f —, können wir annehmen, die Folge {fr} sei stets wachsend1). Dann ist: (f<p) = f (fi < p). (f, < )..... (f, < p).... Da aber für alle a'< a der dem Satz II analoge Satz für Funktionen ga, als richtig vorausgesetzt wurde, ist jede Menge 9(f v<p) von geringerer als a-ter Ordnung, und somit X (f~p) höchstens eine Menge S", und endlich (~ 4, Satz I) (f>p) höchstens eine Menge 3a. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Vermöge der Schränkungstransformation (~ 3, Satz III) können wir f als beschränkt annehmen: u<f<v. Wir teilen das Intervall [u,v] in v gleiche Teile durch Einschalten der Teilpunkte: - G(V) < U,(' ) <.<. U() < V und setzen: f,- = u? auf 9I (u')1 < f u()) (i,2,.., v). Dann konvergiert {f,} gleichmäßig gegen f. Nach Voraussetzung ist jede der Mengen gf (f> Uv)) (i - 0, 1,..., v- 1) höchstens eine Menge 23. Die durch: fv1= zb( ) auf f; f, -.- (.u~) auf (f> _,>); f^, =- auf (f u-,1) definierten Funktionen sind also nach Satz I höchstens Funktionen Ga; also ist auch fv = f"v, i + fv,2 + + fv,v höchstens eine Funktion G, (~ 3, Satz IX) und somit auch f (~ 3, Satz XII). Satz III. Damit f eine Funktion Ga auf 9 sei, ist notwendig und hinreichend, daß für jedes p die Menge 9C(f>p) höchstens eine Menge 8, sei, während für kein ß<a alle Mengen 9i(f>p) und ebenso für kein ß<a alle Mengen /(f<p) höchstens Mengen SpS sind2). 1) Dabei sind die fv als endlich vorausgesetzt, was durch die Schränkungstransformation stets erreicht werden kann. 2) Den entsprechenden Satz für Funktionen g~ erhält man, indem man die Mengen 9 (f> p) und 9 (f <p) miteinander vertauscht.

Kap. V, ~ 6. Zusammenhang zwischen Klasse und Ordnung usw. 345 Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f eine Funktion Ga. Nach Satz II ist jede Menge 9(f> p) höchstens eine Menge Ba. Angenommen nun, es gäbe ein ß, so daß alle Mengen 9(f>p) auch höchstens Mengen 5Sp wären, so wäre nach Satz II f höchstens eine Funktion Gß entgegen der Annahme. Gäbe es ferner ein fß < a, so daß alle Mengen rt (f<p) höchstens Mengen 23 wären, so wäre nach Satz II (Fußn. 2) f höchstens eine Funktion gß entgegen der Annahme. Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so ist f zunächst nach Satz II höchstens eine Funktion Ga. Wäre nun f nicht wirklich eine Funktion Ga, so wäre f für ein f < a eine Funktion Gß oder gß. Nach Satz II wären dann alle Mengen r9(f> p) bzw. alle Mengen 91(f<p) höchstens Mengen eß, entgegen der Annahme. Damit ist Satz III bewiesen. Wir lassen hier noch einen Hilfssatz folgen, den wir weiterhin brauchen werden, und der, für den Fall, daß a eine isolierte Zahl ist, eine Ergänzung zu Satz I bringt. Satz IV. Ist a eine isolierte Zahl> 1, und Du höchstens eine Menge ")a in 91, so gibt es eine Funktion f, die höchstens eine Funktion ga-i ist, so daß: f-=O auf; O < f < 1 auf - s9). In der Tat, da 9 - 9) höchstens eine Menge 93a ist (~ 4, Satz I), so gibt es eine Darstellung (~ 4, Satz II): W- Du-9= 1+t 74 + - + + '''...4n ~.., wo jedes 9)J höchstens eine Menge ),_-. Nach Satz I ist also die Funktion f,, die gegeben ist durch: fv=- auf 9)t,; f,==O auf g9- 9) höchstens eine Funktion ga1_. Nach ~ 3, Satz XII ist also auch: 00 f: = t höchstens eine Funktion gG_, womit Satz IV bewiesen ist. ~ 6. Zusammenhang zwischen Klasse und Ordnung einer Baireschen Funktion. Nunmehr sind wir in der Lage, den Zusammenhang zwischen Klasse und Ordnung einer Baireschen Funktion festzustellenl). 1) Vgl. zum Folgenden W. H. Young, Lond. Proc. (2) 12 (1912), 283.

346 Die Baireschen Funktionen. Satz I. Die Gesamtheit aller Funktionen höchstens a-ter Klasse besteht aus allen Funktionen höchstens a-ter Ordnung, und allen Funktionen (a —l)-ter Ordnung, die sowohl Funktionen Ga+1 als auch Funktionen ga+i sind. Die Behauptung ist richtig für a ==0; denn die Gesamtheit der Funktionen 0-ter Klasse (d. h. der stetigen Funktionen) ist identisch mit der Gesamtheit jener, die sowohl Funktionen G, als g1, d. h. sowohl unterhalb als oberhalb stetig sind. Wir nehmen nun die Behauptung als richtig an für alle a' <cc, und zeigen, daß sie dann auch für a gilt. 1. Teil des Beweises. Sei f von höchstens a-ter Klasse. Dann ist: fi lim f',, 7' = c0 wo jedes f, von geringerer als a-ter Klasse. Wir bezeichnen mit fvk den größten unter den k - 1 Funktionswerten f,,, f,+l,..., f,,i-. Nach ~ 1, Satz VIII ist auch f,,k von geringerer als a-ter Klasse, und daher, da Satz I für a' < a als richtig angenommen ist, höchstens eine Funktion G,. Da die Folge f, 1, /f, 2,..., f,,, k... monoton wächst, ist nach ~ 3, Satz VII auch f, = lim f~, k k=co höchstens eine Funktion G,, und da die Folge {f,) monoton abnimmt, ist: f= lim f4 höchstens eine Funktion ga+i. Bezeichnet man mit f, k den kleinsten unter den Funktionswerten fY, f,+..., fv+k und setzt f,-==lim f,,k, so beweist man k =co ebenso, daß f höchstens eine Funktion Ga+i ist. Ist also f nicht von höchstens a-ter Ordnung, so ist es sowohl eine Funktion G,+i als auch eine Funktion ga+1, wie zu beweisen war. 2. Teil des Beweises. Wir haben nun noch die Umkehrung zu beweisen, und haben dabei die beiden Fälle zu unterscheiden: Fall a). Die Funktion f ist von höchstens a-ter Ordnung. Fall b). Die Funktion f ist sowohl eine Funktion Ga+i als auch eine Funktion ga,1. Fall a). Da f von höchstens a-ter Ordnung, ist f 7]im',, V, == 00

Kap. V, ~ 6. Zusammenhang zwisehen Klasse und Ordnung usw. 347 wo jedes f, von geringerer als a-ter Ordnung. Da aber für alle a.< Satz I als richtig angenommen ist, so ist dann jedes fy, auch von geringerer als a-ter Klasse, und mithin f von höchstens a-ter Klasse, wie zu beweisen war. Fall b). Da nun f sowohl eine Funktion G +i als auch eine Funktion,_-1-, so ist nach ~ 5, Satz II jede Menge X[(f> q) und. jede Menge 29 (f <p) höchstens eine Menge ß93+1, mithin jede Menge 91(f~ q) und jede Menge it(ft~p) höchstens eine Menge T-+i1; und wegen: f (P ~ f ~ q) -1:(f~p). f (f ~ q) ist (~ 4, Satz III) auch 9 (p ~ f < q) höchstens eine Menge "-,-i+ Vermöge der Schränkungstransformation können wir f als beschränkt annehmen: u<f< v. Wir teilen das Intervall [u, v ] in v gleiche Teile durch Einschalten der Teilpunkte: ^< < < < U_ < U == V. Da, wie eben gezeigt, die Menge 1 (u1 <f f< u' ) höchstens eine Menge Z,+i ist, gibt es nach ~ 5, Satz IV eine Funktion f(), die höchstens eine Funktion g~ ist, so daß: ) o=0 auf 9(u_<f _<f< )) o <_ 1 1 auf 1(f< u )+ ) f(f> u j). Wie wir schon unter Fall 'a) sahen, ist <(", weil höchstens eine Funktion g~, auch von höchstens a-ter Klasse. Wir setzen nun ): () ) / v ") ____. 1 2" hi -— ~ 1' (i s.().,'()(v(" >) ( Pi und es ist: h = -O auf (f~= uL>); -A=1 auf 9 (f>,); 0 < h"') < 1 auf 9 (uY) 1 < f< )). ~) Nach H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1904), 168.

348 Die Baireschen Funktionen. Nach ~ 1, Satz VII ist auch hA) von höchstens a-ter Klasse. Wir setzen weiter: hy- v: () 27z (uk) _ UVL ) h>) Ä(V h1GDann ist auch h, von höchstens c-ter Klasse, und es ist: (v) h, <u(v) auf W(ti(") f u(v)) Es konvergiert also {hi} gleichmäßig gegen f, und somit ist nach ~ 1, Satz X f ebenso wie die h, von höchstens a-ter Klasse. Damit ist Satz I bewiesen. Satz II. Ist a eine isolierte Zahl, so besteht die Gesamtheit aller Funktionen a-ter Klasse aus allen Funktionen G., die nicht zugleich Funktionen ga sind, allen Funktionen ga, die nicht zugleich Funktionen Ga sind, und allen Funktionen, die zugleich Funktionen Ga.i und ga,.i sind. - Ist a eine Grenzzahl, so besteht die Gesamtheit aller Funktionen a-ter Klasse aus allen Funktionen Ga, allen Funktionen ga und allen Funktionen, die zugleich Funktionen Ga,+ und ga+l sind. Sei in der Tat f eine Funktion a-ter Klasse. Nach Satz I ist sie entweder sowohl eine Funktion Ga,+i als auch eine Funktion g,+1, oder sie ist von höchstens a-ter Ordnung. Im letzteren Falle kann sie nicht von geringerer als a-ter Ordnung sein, da sie sonst nach Satz I auch von geringerer als a-ter Klasse wäre, entgegen der Annahme. Also ist sie von a-ter Ordnung, d. h. eine Funktion G, oder eine Funktion g#,. Ist nun a eine isolierte Zahl, so kann die Funktion f, wenn sie eine Funktion G, ist, nicht gleichzeitig eine Funktion g sein, und, wenn sie eine Funktion g, ist, nicht gleichzeitig eine Funktion G, sein, da sie sonst nach Satz I von höchstens (c - 1)-ter Klasse wäre, entgegen der Annahme. Damit ist die eine Hälfte der Behauptung bewiesen. Wir haben noch die Umkehrung zu beweisen. Ist die Funktion f sowohl eine Funktion G,+a als auch eine Funktion ga,+, so ist sie nach Satz I von höchstens a-ter Klasse. Wäre sie von geringerer als a-ter Klasse, so wäre sie nach Satz I von höchstens a-ter Ordnung, entgegen der Annahme. Sie ist also genau von a-ter Klasse. Ist endlich f eine Funktion Ga (oder g), so ist sie nach Satz I von höchstens a-ter Klasse. Sie kann nach Satz I von ß-ter Klasse (ß < c) nur sein, wenn + 1 = a (und somit a eine isolierte Zahl)

Kap. V, ~ 7. Die Klasse einer Baireschen Funktion usw. 349 und f gleichzeitig eine Funktion g, (bzw. Ga). Ist dies nicht der Fall, so ist also wieder f genau von a-ter Klasse. Damit ist Satz II vollständig bewiesen. ~ 7. Die Klasse einer Baireschen Funktion charakterisiert durch Borelsche Mengen. Die Sätze von ~ 6 ermöglichen es uns, von der in ~ 5 gegebenen Charakterisierung der Ordnung einer Baireschen Funktion durch gewisse Borelsche Mengen zu einer analogen Charakterisierung ihrer K 1 a s s e berzugehen 1). Satz I. Damit f eine Funktion höchstens c-ter Klasse sei, ist notwendig und hinreichend, daß für alle p und q die Menge hö(p~<fq) höchstens eine Menge,a+i sei. Die Behauptung ist richtig für ac 0; denn dann ist f stetig, und die Mengen ~1 sind die abgeschlossenen Mengen. Und da: (0) t (p~ f q)= (f P) (f q) ist, folgt die Behauptung aus Kap. II, ~ 4, Satz VI. Wir nehmen sie. nun als richtig an für alle a' <c, und beweisen sie für a. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f von höchstens a-ter Klasse. Nach ~ 6, Satz I ist dann f höchstens eine Funktion Ga+l und gleichzeitig höchstens eine Funktion ga+l. Nach ~ 5, Satz II sind also die Mengen 9 (f < p) und 1 (f > q) höchstens Mengen ~+1i, ihre Komplemente 9(f~p) und 9 (f q) also höchstens Mengen -a,+i. Also ist nach (0) ihr Durchschnitt 9(p fq) auch höchstens eine Menge Sa+l, wie behauptet. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Wählt man p - oo oder q = xoo, so sind dann alle 9 (f q) und 9(f>p) höchstens Mengen ',a+1, mithin alle 9(f> q) und 91 (f <p) höchstens Mengen a+i, und aus ~ 5, Satz II folgt, daß f höchstens eine Funktion Ga+ und gleichzeitig höchstens eine Funktion ga+l ist. Nach ~ 6, Satz I ist f also auch von höchstens a-ter Klasse, und Satz I ist bewiesen. Satz II. Ist a eine isolierte Zahl, so ist, damit f von a-ter Klasse sei, notwendig und hinreichend, daß alle 9/(p f< q) höchstens Mengen )a+il aber nicht alle höchstens Mengen ')" seien. - Ist a eine Grenzzahl, so ist, damit f von a-ter Klasse sei, notwendig u-nd hinreichend, daß alle 1) Vgl. zum Folgenden: H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1904), 156ff. W. Sierpiiiski, Bull. Crac. 1918, 168.

350 Die Baireschen Funktionen. Q(pf q) höchstens Mengen 5a+j, aber für kein ß< a höchstens Mengen Zß seien. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f von a-ter Klasse. Nach Satz I sind alle 9{(p f q) höchstens Mengen.+atl. Ist a isoliert, und sind alle (p f~ q) auch Mengen a", so wäre nach Satz I (angewendet auf a - ) f höchstens von (a — )-ter Klasse entgegen der Annahme. Ist a Grenzzahl, und sind alle (p f q) höchstens Mengen Zß (ß <a), so wäre nach Satz I f von höchstens f-ter Klasse, entgegen der Annahme. Damit ist die Behauptung bewiesen. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Nach Satz I ist dann f von höchstens cc-ter Klasse. Sei a eine isolierte Zahl; wäre dann fvon höchstens (a - 1)-ter Klasse, so wären nach Satz I alle 9 (p ~ f< q) höchstens Mengen )"a entgegen der Annahme. Sei sodann a eine Grenzzahl; wäre f von c'-ter Klasse (a' <ca), so wären nach Satz I alle 9 (p < f q) höchstens Mengen a' + 1, was, wegen ca'+1 <a, wieder der Annahme widerspricht. Also ist f von a-ter Klasse, und Satz II ist bewiesen. Die Sätze I und II können noch ein wenig anders formuliert werden: Satz III. Ist f endlich, so können in den Sätzen I und II die Mengen t(p< f~<q) durch die Mengen 91(p<f<q) ersetzt werden, wenn gleichzeitig die Mengen ' durch die entsprechenden Mengen S8 ersetzt werden. Zum Beweise genügt es, zu zeigen: Ist f endlich, und sind alle 9 (p < f< q) höchstens Mengen Z., so sind alle 9 (p < f< q) höchstens Mengen Sja, und umgekehrt. Seien also alle (p ~ f< q) höchstens Mengen a. Dies gilt dann insbesondere auch von den beiden Mengen 1 (q f +- oo), 9 (- c~ f< p), und mithin (~ 4, Satz IV) auch von deren Vereinigung. Da aber die Menge 1 (p <f < q) das Komplement dieser Vereinigung zu 9 ist, so ist sie (~ 4, Satz I) höchstens eine Menge 3,, wie behauptet. Seien umgekehrt alle 9(1 (p< f< q) höchstens Mengen 9,. Dies gilt dann insbesondere auch von den beiden Mengen 91 (q < f< -+ 0), 9(- oo < f<p) und daher auch von deren Vereinigung (~ 4, Satz III). Da aber die Menge 1(p f q) das Komplement zu 9 dieser Vereinigung ist, so ist sie höchstens eine Menge "," wie behauptet. Damit ist Satz III bewiesen. Wir können nun leicht eine für alle Baireschen Funktionen charakteristische Bedingung aufstellen~). 1) H. Lebesgue, a. a. O. 168.

Kap. V, ~ 7. Die Klasse einer Baireschen Funktion usw. 351 Satz IV. Damit f eine Bairesche Funktion sei, ist notwendig und hinreichend, daß alle Mengen 91(p~f~q)1) Borelsche Mengen seien. Die Bedingung ist notwendig: dies ist in Satz I enthalten. Die Bedingung ist hinreichend. Vermöge der Schränkungstransformation können wir beim Nachweise f als endlich annehmen. Sei [r', r] (v ==1, 2,...) die Gesamtheit der (abzählbar vielen) Intervalle des ~9 mit rationalen Endpunkten. Nach Annahme sind dann alle 9(r, _ f r") Boreische Mengen; sei etwa (r' f< r') von der Ordnung a,. Dann gist es (Einleitung ~ 4, Satz XIII) ein a der ersten oder zweiten Zahlklasse, das größer als alle a, (v - 1, 2,...) ist. Alle Mengen 9(r' f r') sind dann höchstens Mengen Za. Sei nun das endliche Intervall [p, q] beliebig gegeben. Unter den [r', r"] gibt es dann eine Folge [r',., r'.], so daß [p, q] -= [r, r,';].' [r2,, r,21,...' [r," r]j.... Dann ist auch: 1 (p < f < q) = f (4 r < f < ). r 2 f<) *.... (r < f< ' und somit ist auch 91 (p f< q) höchstens eine Menge Za (~ 4, Satz III). Nach Satz I ist also f von höchstens a-ter Klasse, und somit eine Bairesche Funktion. Damit ist Satz IV bewiesen. Aus Satz IV folgern wir leicht: Satz V. Ist 91 separabel. so hat die Menge aller Borelschen Teile von 9I höchstens die Mächtigkeit c. In der Tat, sei 23 ein Borelscher Teil von 9. Wir setzen f — auf 3, f —=O auf 91 —S. Nach Satz IV ist f eine Bairesche Funktion auf 9. Nach ~ 1, Satz I aber hat die Menge aller Baireschen Funktionen auf 91 die Mächtigkeit c. Damit ist Satz V bewiesen. Als Anwendung von Satz I beweisen wir: Satz VI2). Ist f=-O überall auf 91, abgesehen von einer abzählbaren Punktmenge, so ist f von höchstens zweiter Klasse auf 91. In der Tat, jeder Punkt von 91 ist eine Menge Z, jeder abzählbare Teil von 9 daher höchstens eine Menge Q3, sein Komplement somit höchstens eine Menge 3. Für unsere Funktion f nun ist jede Menge 9 (p f< q) abzählbar, oder die Vereinigung einer abzählbaren Menge mit dem Komplement einer abzählbaren Menge, 1) Bei endlichem f kann es statt dessen auch heißen: alle Mengenr 9P(p f< q). Vgl. den Beweis von Satz III. 2) R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 72.

352 Die Baireschen Funktionen. also nach dem Gesagten Vereinigung zweier Mengen von geringerer als dritter Ordnung und mithin höchstens eine Menge Z.. Nach Satz I ist also f von höchstens zweiter Klasse, wie behauptet. Satz VII1). Ändert man die Werte einerFunktion höchstens a-ter Klasse (cca 2) in abzählbar vielen Punkten ab, so entsteht wieder eine Funktion höchstens a-ter Klasse. In der Tat, die Werte von f in abzählbar vielen Punkten abändern, heißt so viel wie2): zu f eine Funktion f* addieren, die überall = 0 ist, abgesehen von einer abzählbaren Punktmenge. Nach Satz VI nun ist f* von höchstens zweiter Klasse, -mithin wegen a ~ 2 auch von höchstens a-ter Klasse. Also ist nach ~ 1, Satz VII auch f+ f* von höchstens a-ter Klasse, wie behauptet. ~ 8. Charakteristische Eigenschaften der Funktionen höchstens a-ter Klasse. Wir beweisen nun eine Reihe von Sätzen, die von Wichtigkeit sind, weil sie in vielen Fällen zum Nachweis verwendet werden können, daß eine gegebene Funktion von höchstens a-ter Klasse ist. Wir schicken den Satz voraus3): Satz I. Sind f, f,., f f,... Funktionen höchstens a-ter Klasse (al1) auf., ist crc = ^4f- ^4-t...4- 4-., wo jedes 9)? höchstens eine Menge 'a in 2t, und ist: f=f1 auf m9; f=- f auf (l 4-... -,,) —( 4-9+2-...+-n-1) (n>1), so ist f von höchstens a-ter Klasse auf 9i. Zum Beweise setzen wir abkürzend: m^m9,; 9R = 9R1 + + -+gn ( >1)9 so daß auch jedes 9,), höchstens eine Menge ', ist, und zeigen zunächst: Zu jeder Menge 9nJ gibt es eine Folge hn, 1, hn,, 2..., h,,v... von Funktionen geringerer als a-ter Klasse, so daß: f J h,,=,=0 auf n9L3?J für alle v, h,), 1 auf 9/f - für fast alle v. 1) R. Baire, Acta math. 30 (1906), 32. 2) Dabei ist f als endlich vorausgesetzt, was vermöge der Schränkungstransformation zulässig ist. 3) 'Ein Spezialfall dieses Satzes wurde bewiesen von R. Baire, Acta math. 30 (1906), 31.

Kap. V, ~ 8. Charakteristische Eigenschaften der Funktionen usw. 353 Sei, um dies einzusehen, zunächst a = 1. Jede Menge J), ist dann abgeschlossen in 9I. Wir setzen: hn,(a)-= der kleineren der beiden Zahlen I und v r (a, 2k,). Nach Kap. II, ~ 4, Satz I und Kap. II, ~ 3, Satz VIII ist dann h,", stetig, und mithin von 0-ter Klasse, und die Forderungen (0) sind offenbar erfüllt. Sei sodann a> 1. Dann gibt es eine Darstellung: =n,n Rn, 1 n, 2'-... * -9n,... wo {S,,,,} eine monoton abnehmende Folge von Mengen geringerer als a-ter Ordnung. Wir setzen: h~,=0 auf 9R,,; hn,-=1 auf 9 —,,. Nach ~ 5, Satz I ist dann hn,v von geringerer als a-ter Ordnung, mithin nach ~ 6, Satz I auch von geringerer als a-ter Klasse. Die Forderungen (0) sind wieder erfüllt. Die gewünschte Funktionenfolge {hn,,} ist also in jedem Falle hergestellt. Da nun f. von höchstens a-ter Klasse, gibt es eine Darstellung: (00) f~= lim fn,, v= 00 wo jedes f,v, von geringerer als a-ter Klasse. Vermöge der Schränkungstransformation können wir dabei alle f, und alle f,, als endlich annehmen. Wir setzen: = fl, v -4 (f2,v -- fl, v) 1, v 4(3,v f — f3,,) 2, -f- - (f-, v - f,, ) y-l,, Nach ~ 1, Satz VII ist auch h, von geringerer als a-ter Klasse. Aus (0) folgt sofort: auf ~9, ist h ==fi, für alle v auf Wn-n -, ist hl==fn,v für fast alle v. Wegen (00) ist also: f===lim h,, und mithin ist f von höchstens a-ter Klasse. Damit ist Satz I bewiesen. Nunmehr sind wir in der Lage, folgende charakteristische Eigenschaft der Funktionen höchstens a-ter Klasse zu beweisen'): Satz II. Damit die auf 91 endliche Funktion f von höchstens a-ter Klasse sei (a~1), ist notwendig und hin~) H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 173. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 23

354 Die Baireschen Funktionen. reichend, daß es zu jedeme>0 eine Folge von Teilen {9X} von %9 und eine Folge von Funktionen {f,} auf 9f gibt, mitfolgenden Eigenschaften: 1. Jedes 9cJ ist höchstens eine Menge ZS in 9f. 2. 9= 91 + A l2 +. + + v( * 3. Jedes f;, ist von geringerer als a-ter Klasse auf 91. 4. f-fv\j~ auf ~ (V=, 2,...). Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f von höchstens x-ter Klasse auf 92. Dann gibt es eine Darstellung: (*) f== lim f', V, = 00 wo die, von geringerer als a-ter Klasse. Indem wir (nach ~ 1, Satz VIIIa) alle Werte von f, die > v sind, durch v ersetzen, alle Werte, die <-v sind, durch -v, sehen wir, daß wir die f, als endlich annehmen können. Sei e > 0 beliebig gegeben. Wir setzen zur Abkürzung:(**) in,-t v - ((f1 _ fd+ )2 < f 2) und setzen weiter: =Jfl. 1, ' t, 2,.. ' Ot,, t.... Da (fv- f/+t)2 von geringerer als a-ter Klasse, ist nach ~ 7, Satz I:yiJ, höchstens eine Menge $C, und daher ist nach ~ 4, Satz III auch 9J1V höchstens eine Menge Sa, wie Eigenschaft 1. es verlangt. Da nach Voraussetzung f endlich ist, so ist {fü} überall auf 9 eigentlich konvergent, und mithin ist: ()***,) t =~m, tr,+ 9 +- +... wie Eigenschaft 2. es verlangt. Da jedes f, von geringerer als a-ter Klasse, ist Eigenschaft 3. erfüllt. Und wegen (**) ist 1 fi- f,,+_ Ce auf 9Jl, für alle,u; Der Grenzübergang u — oo ergibt daraus das Bestehen von Eigenschaft 4., womit die Behauptung bewiesen ist. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie sei erfüllt. Wir bezeichnen mit 9f die Funktion, die = f ist auf m und = f auf (- + SR2 +...+ 9,)- (r1 + 2 +... - + 9Xi) (für v>1). Nach Satz I ist sie von höchstens a-ter Klasse auf 9, und es ist auf ganz 91: i -f ~e. Ist {e"} eine Folge positiver Zahlen mit lim E-= 0, so können ti =00

Kap. V, ~ 8. Charakteristische Eigenschaften der Funktionen usw. 355 wir dies für jedes e. machen, und erhalten so zu jedem n eine Funktion gpg höchstens a-ter Klasse, so daß auf ganz 9X: Die Funktionenfolge {q,} konvergiert also gleichmäßig auf XI gegen f; somit ist nach ~ 1, Satz X auch f von höchstens a-ter Klasse auf 9[, und Satz II ist bewiesen. Satz IIIt). Damit die auf 29 endliche Funktion f von höchstens a-ter Klasse sei (a>1), ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 eine Folge von Teilen {J,} von 9f gibt mit folgenden Eigenschaften: 1. Jedes,y, ist höchstens eine Menge," in Uf. 2. = t4 — ^4-...4- ~... 3. Für die Schwankung von f auf 9i, (Kap. III, ~ 2) gilt: Cü(f,m,)<e. Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f von höchstens a-ter Klasse. Nach Satz II gibt es Teile '9, von 91, die höchstens Mengen Z" sind, und Funktionen f, von geringerer als a-ter Klasse, so daß: und: jf-f <K l auf IY'. Wir setzen nun:,,- (-f,,(i+-) 1). (i=0,~ +1, ~2,...). Nach ~ 7, Satz I ist jede der Mengen 9,,i höchstens eine Menge Z,. Dasselbe gilt daher von jeder der Mengen T9t,, i=,, i' -9. Wir bezeichnen die abzählbar vielen Mengen 9N, i (v = 1, 2,...; i 0, + 1, + 2,...) mit g9J, ) 9x..., *... und erkennen ohne weiteres, daß die Eigenschaften 1., 2., 3. erfüllt sind. Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, ist sie erfüllt, so gibt es wegen 3. eine Konstante, von der f sich auf ~9, um weniger als e unterscheidet. Und da (wegen a 1) eine Konstante eine Funktion geringerer als a-ter Klasse ist, folgt die Behauptung aus Satz II. In Verallgemeinerung des Satzes von der Erweiterung einer stetigen Funktion (Kap. II, ~ 5, Satz X) zeigen wir: 1) H. Lebesgue, a. a. O. 23*

356 Die Baireschen Funktionen. Satz IV. Ist a>l, und ist der Teil e von 2f höchstens eine Menge 2, in 52, so kann jede Funktion f, die auf 23 von höchstens a-ter Klasse ist, zu einer Funktion erweitert werden, die auch auf 5 von höchstens a-ter Klasse ist, indem man setzt: f O auf %-S. Vermöge der Schränkungstransformation können wir f als endlich annehmen. Nach Satz III gibt es eine Folge { vl',} von Teilen der Menge 3, die höchstens Mengen 5", in 3 sind, deren Vereinigung 3 ist, und auf denen: c(f, ^')<; es gibt also eine Konstante fX, so daß: If-f:l<e auf Öl'. Nach ~ 4, Satz VIII ist X' auch höchstens eine Menge B" in 2. Da e höchstens eine Menge ')", ist 51 - 3 höchstens eine Menge?5a in 2, und es ist daher: t - = ' +- 2 + ** + Jul +- * * * wo jedes 9"' von geringerer als a-ter Ordnung1), also höchstens eine Menge 3). Wir setzen mt^-, sJ'= m,.. verstehen unter f2v-l die Konstante f, unter f2, die 0. Anwendung von Satz II ergibt dann sofort die Behauptung von Satz IV. ~ 9. Verhalten Bairescher Funktionen in der Umgebung eines Punktes. Erweiterung einer Baireschen Funktion. Wir definieren2): Die (endliche) Funktion f heißt im Punkte a von 5 mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf 1, wenn es eine Umgebung 1 (a) von a in 5 und eine Funktion f* höchstens a-ter Klasse auf 52 gibt, so daß3): _______ f-f* <e auf 11(a). 1) Dies gilt, wenn a> 1. Ist a =1, so ist 3 abgeschlossen in?i, also SI- e offen in XI, und für, die O'I können in 9 abgeschlossene Mengen gewählt werden (Kap. I, ~ 3, Satz IV). 2) Diese Definition, sowie der gesamte Inhalt dieses Paragraphen bis einschließlich Satz VI stammt von H. Lebesgue, a. a. O. 174ff. 3) Für a=O ist dann auch co(a; f, I) 2 e.

Kap. V, ~ 9. Verhalten Bairescher Funktionen usw. 357 Es gibt dann sicher auch eine abgeschlossene Umgebung 11(a) von a in 9f, so daß: f-f*~ IE auf U1(a)1). Die beschränkte Funktion f heißt im Punkte a von 9 von a-ter Klasse auf 29, wenn sie für jedes e>0 im Punkt a mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf 9S ist. Die beliebige Funktion f heißt im Punkte a von a-ter Klasse auf 91, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformation entstehende Funktion im Punkte a von a-ter Klasse auf 29 ist2). Satz I. Ist f in jedem Punkte der separablen Menge 91 mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf X9, so gibt es auf 9 eine Funktion F höchstens a-ter Klasse, so daß auf ganz 91: If-F\ e8. In der Tat, für a =0 reduziert sich 3) die Behauptung auf Kap. III, ~ 2, Satz XVII. Sei also acl1. Zu jedem Punkte a von 9 gibt es eine abgeschlossene Umgebung 1 (a) in 92, und eine Funktion höchstens a-ter Klasse f*, so daß: if-f* l< auf 11(a). Nach dem verallgemeinerten Borelschen Theorem (Kap. I, ~ 6, Satz III) gibt es unter diesen U (a) abzählbar viele, etwa: Ut (a]), 1u (a,),..., 1 (am),..., so daß: - (a,-) + u (a2) +...+ (a) +... Wir bezeichnen die zu U (aG) gehörige Funktion f* mit f, und setzen: F=f, auf (a,); F= f aufi (11 (a,)...-+ (a,))- (a (a,)+... + U(a,_l)).,: Die U (a.) sind, weil abgeschlossen in W, höchstens Mengen,; nach Annahme ist f, von höchstens a-ter Klasse auf 91. Also ist (~ 8, Satz I) F von höchstens a-ter Klasse auf 9{, undxSatz I ist bewiesen. 1) In der Tat, man hat nur e > 0 so klein zu wählen, daß 1 (Q; a) < 1 (a), und kann dann U (a) = U (; a) setzen. 2) Die Aussage:,f ist in a von 0-ter Klasse auf 91" ist lalsoa gleich bedeutend mit:,f ist in a stetig auf 91". a) Wegen Fußn. 3, S. 356.

358 Die Baireschen Funktionen. Satz II. Ist eine Funktion f in jedem Punkte der separablen Menge 91 von a-ter Klasse auf 91, so ist sie von höchstens a-ter Klasse auf 9. Dies ist trivial für a=O0. Sei also a 1. Vermöge der Schränkungstransformation genügt es, den Beweis für beschränkte f zu führen. Ist {e,} eine Folge positiver Zahlen mit lim,,-= 0, so 1'= C5 ist f in jedem Punkte von 9I mit der Annäherung e, von a-ter Klasse, es gibt also nach Satz I eine Funktion F" höchstens c-ter Klasse, so daß auf ganz 91: (*) f-F, = Es konvergiert also {F,} gleichmäßig auf 91 gegen f, also ist nach ~ 1, Satz X auch f von höchstens a-ter Klasse auf 91, und Satz II ist bewiesen. Ist nun die beschränkte Funktion f nicht von höchstens a-ter Klasse auf der separablen Menge 91, so gibt es, wie Satz II lehrt, gewiß einen Punkt a von 91, in dem sie nicht von x-ter Klasse auf 1 ist. Für jedes hinlänglich kleine e>0 ist dann f in a auch nicht mit der Annäherung e von ac-ter Klasse. Wir stellen zunächst fest: Satz III. Die Menge aller Punkte von 91, in denen die beschränkte Funktion f nicht mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf C9 ist, ist abgeschlossen in 91. In der Tat, es ist zu zeigen: die Menge B3 aller Punkte von 9, in denen f mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf 9 ist, ist offen in 91. Sei a ein Punkt von 93, d. h. es gibt eine Umgebung U (a) von a in 91 und eine Funktion f* höchstens a-ter Klasse, so daß: f- f* 1 e auf U (a). Daraus aber folgt: Auch in jedem Punkte von 1 (a) ist f mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf 91; es gehört also auch jeder Punkt von U (a) zu e, und mithin ist 93 offen in 91. Damit ist Satz III bewiesen. Satz IV. Ist die beschränkte Funktion f nicht von höchstens a-ter Klasse (a> 1)1) auf der separablen Menge 91, und ist e>0 so klein gewählt, daß die in 91 abgeschlossene Menge D9 aller Punkte von 91, in denen f nicht mit der An1) Für == 0 gilt dieser Satz nicht, wie jede Funktion zeigt, die auf einer abgeschlossenen Menge = 1, sonst = 0 ist.

Kap. V, ~ 9. Verhalten Bairescher Funktionen usw. 359 näherung e von cc-ter Klasse auf 9X ist, nicht leer ausfällt, so ist f in keinem Punkte von D9u mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf 9SZ. Angenommen in der Tat, im Punkte a0 von u wäre f mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf 9. Dann gibt es eine Umgebung U (a) von ao in 9, und eine Funktion fo, die auf si von höchstens a-ter Klasse ist, so daß: (t) ~i[f- fo,e auf.U(a,). Erweitern wir die Definition von fo auf ganz f durch die Festsetzung: f0=O auf 2f-9, so ist, da 9J eine Menge 1 in [, nach ~ 8, Satz IV fo von höchstens a-ter Klasse auf 1f. Ferner gibt es zu jedem Punkte a von s - -9 eine abgeschlossene Umgebung U (a) in 92, und eine Funktion f* höchstens a-ter Klasse auf Xf, so daß: |f-fPt e auf 1 (a). Da 9YX abgeschlossen in 92, können wir ohne weiteres annehmen: U (a) < f- 1. Nach dem verallgemeinerten Borelschen Theorem (Kap, I, ~ 6, Satz III) gibt es unter diesen 1 (a) abzählbar viele, etwa: U (a1(), ( )..., I (a,),..., so daß: % - = u (a)4- U (a,)+... (a,)... Die zu U (a,) gehörige Funktion f* bezeichnen wir mit f,. Es ist also: (tt) \f- f, < e auf U (a,). Nun haben wir: =t u1 + u (a1) U(a)+...+ U (a)+.., wo rechts jeder Summand eine Menge )1 in 9 ist. Ferner ist jede der Funktionen fo, fl,..., f,... von höchstens a-ter Klasse auf 91. Wir setzen: F=- o auf m; F=- f= auf 11(a1); F-f, auf (U (a,) -...+ U(a,))-( (a,) +... - (a_)). Nach ~ 8, Satz I ist F von höchstens a-ter Klasse auf 9t, und es ist wegen (t) und (tt) i f —F 1 auf 11(a0).

360 Die Baireschen Funktionen. Es wäre also f in aO mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf 21, entgegen der Definition von 9t. Somit ist Satz IV bewiesen. Wir können nun Satz III noch weiter präzisieren: Satz V. Ist atl, so ist die Menge D9 aller Punkte der separablen Menge 2f, in denen die beschränkte Funktion f nicht mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf X ist, perfekt in 91. In der Tat, da die Menge 9) nach Satz III abgeschlossen in S ist, so ist nur mehr zu zeigen, daß sie insichdicht ist, d. h. daß sie keinen isolierten Punkt enthält. Das aber folgt unmittelbar aus Satz IV. Denn in einem isolierten Punkte wäre f stetig auf 9E, mithin auch von a-ter Klasse auf 9)t, was nach Satz IV nicht der Fall ist. Satz VI. Damit die Funktion f auf der separablen Menge 9f von höchstens a-ter Klasse sei (a>_), ist notwendig und hinreichend, daß es auf jedem (nicht leeren) in 9 perfekten Teile y von 91 einen Punkt gebe, in dem f von a-ter Klasse auf 1 ist. Die Bedingung ist notwendig. Denn ist f von höchstens a-ter Klasse auf 91, so auch auf jedem Teile von 9I. Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist f nicht von höchstens a-ter Klasse auf 91, so gibt es, wie Satz IV und V lehren, einen in 91 perfekten Teil s9 von 9 derart, daß f in keinem Punkte von 9D auf 9J von a-ter Klasse ist. Sei nun 3B ein in 9f dichter Teil von 9f. Wir wollen untersuchen, unter welchen Umständen eine Funktion höchstens a-ter Klasse auf S2 zu einer Funktion höchstens a-ter Klasse auf 9- erweitert werden kann. Wir definieren: Die auf 3 gegebene und endliche Funktion f heißt im Punkte a von %9 mit der Annäherung s von a-ter Klasse erweiterbar auf 29, wenn es eine Umgebung U (a) und eine Funktion f* höchstens a-ter Klasse auf 9/ gibt, so daß: i f- fe* I auf U (a) -. Die auf S3 gegebene und beschränkte Funktion f heißt im Punkte a von 91 von a-ter Klasse erweiterbar auf 91, wenn sie für jedes e > 0 im Punkte a mit der Annäherung e von a-ter Klasse erweiterbar auf 91 ist. Die beliebige auf 3 gegebene Funktion f heißt im Punkte a von 91 von a-ter Klasse erweiterbar auf 9/, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformation entstehende Funktion im Punkte a von ac-ter Klasse erweiterbar auf 9t ist. Satz VII. Ist 5 ein in 9/ dichter Teil der separablen Menge 9, und ist die auf 2 gegebene Funktion f in jedem Punkte von 9f mit der Annäherung E von a-ter Klasse erweiterbar auf 91, so gibt es auf 91 eine Funktion F von höchstens a-ter Klasse, so daß: If- FI~~ auf B3.

Kap. V, ~ 9. Verhalten Bairescher Funktionen usw. 361 Der Beweis ist derselbe wie für Satz 11). Satz VIII. Ist 9 ein in 91 dichter Teil der separablen Menge S, und ist die auf 3 gegebene Funktion f in jedem Punkte von % von a-terKlasse erweiterbar auf 91, so gibt es eineFunktionF höchstens a-ter Klasse auf 9C, so daß: F=-f auf 9B. In der Tat, für a =0- reduziert sich' dies auf Kap. II, ~ 5, Satz VI. Für a > 1 ist der Beweis zunächst derselbe, wie für Satz II, nur daß die dortige Ungleichung (*) hier nur auf 93 gilt: (X) tIf-i 1 <e auf 93. Dabei können wir annehmen, die se seien so gewählt, daß F eV eigentlich konvergiert.,= 1 Wir ersetzen nun in EF jeden Wert > Fl +- e1 durch F + el, jeden Wert < F - e durch F1 - e, wodurch eine Funktion F* höchstens a-ter Klasse entsteht (~ 1, Satz VIII). Da wegen (x): Fl1 -e El _< flF1 + el auf 93, ist: F2-fi1\F2-f\ auf 9, und somit wegen (x): i{F*-f le2 auf 93. In derselben Weise fortfahrend bilden wir FE*, indem wir alle Werte von F3, die > F* +, sind, durch F~ + ~, alle Werte, die < 2* - E2 sind, durch * - e2 ersetzen usf. Wir erhalten so eine Folge {F*} von Funktionen höchstens cc-ter Klasse auf 91, so daß: (XX) F -*+ * II< auf,9 (xxx) Iy —ft |-^ auf 3. Wegen (xx) und der eigentlichen Konvergenz von XE konvergiert {F} 9=1 gleichmäßig auf S9 gegen eine Grenzfunktion F höchstens oc-ter Klasse (~ 1, Satz X). Wegen (xxx) ist f —= auf 5, und Satz VIII ist bewiesen. Ist nun f eine auf e gegebene, beschränkte Funktion, die nicht zu einer Funktion höchstens c-ter Klasse auf 91 erweitert werden kann, so gibt es, wie Satz VIII lehrt, einen Punkt a von W1, in dem sie nicht von ac-ter Klasse erweiterbar auf 91 ist. Für jedes hinlänglich kleine s > 0 ist dann f in a auch nicht mit der Annäherung e von a-ter Klasse erweiterbar auf 9S. Wie oben Satz III, so beweist man hier: Satz IX. Ist 93 ein in 91 dichter Teil der separablen Menge 1, so ist die Menge aller Punkte, in denen die auf e gegebene und beschränkte Funktion f nicht mit der Annäherung e von a-ter Klasse erweiterbar auf 91 ist, abgeschlossen in 1. An Stelle von Satz IV tritt nun: Satz X. Ist e ein in It dichter Teil der separablen Menge 91, und ist f eine auf 93 gegebene, beschränkte Funktion, die nicht. 1) Im Falle ca=0 wende man Kap. III, ~ 2, Satz XVII auf diejenige Funktion an, die = f ist auf 9, und = G (a; f, 98) auf 1 - 3B.

362 Die Baireschen Funktionen. zu einer Funktion c-ter Klasse (c> 1) auf 21 erweitert werden kann, ist ferner s> 0 so klein gewählt, daß die in 9I abgeschlossene Menge DJ aller Punkte von 2I, in denen f nicht mit der Annäherung e von a-ter Klasse erweiterbar ist auf 91, nicht leer ausfällt, so ist S dicht in E9, und fist in keinem Punkte von 9J3 mit der Annäherung e von a-ter Klasse erweiterbar auf.lq. Angenommen in der Tat, 3 sei nicht dicht in 9X. Dann gibt es in 9J einen Punkt ao mit einer Umgebung U (a0), die keinen Punkt von S9)3 enthält. Zu jedem Punkte a von X1 - 9 gibt es eine abgeschlossene Umgebung U (a) und eine Funktion f* höchstens a-ter Klasse auf S1, so daß:!f — f i auf U1(a).-. Indem wir nun ganz so weiter schließen, wie beim Beweise von Satz IV, wobei wir nur unter f0 die Funktion verstehen, die = 0 ist auf ganz 91, kommen wir zu einer Funktion F höchstens ~c-ter Klasse auf X1, so daß: ~(*) \'~f- F <s auf tU(a). S3. Es wäre also f in ao mit der Annäherung s von o-ter Klasse erweiterbar auf s1, entgegen der Definition von 91. Also ist 3 dicht in 9S. Angenommen nun, es wäre f im Punkte a0 von Dl mit der Annäherung e von ca-ter Klasse erweiterbar von S.33 auf 93. Dann gibt es eine Umgebung I (a0) und eine Funktion fo höchstens a-ter Klasse auf 9J), so daß f- f0o I auf lU(ao). S.9. Erweitern wir die Definition von fo auf ganz 92, indem wir setzen: fo 0 auf 9f- 9(, so ist wie beim Beweise von Satz IV /o von höchstem c-ter Klasse auf 21. Indem wir wieder in derselben Weise weiter schließen, wie beim Beweise von Satz IV, gelangen wir zu einer Funktion F höchstens ca-ter Klasse auf 2, die (*) erfüllt, womit wir abermals bei einem Widerspruche angelangt sind. Und Satz X ist bewiesen. Wie vorhin die Sätze V und VI erhält man nun die Sätze: Satz XI. Ist 3 ein in 2S dichter Teil der separablen Menge 2l, so ist die Menge aller Punkte von 21, in denen die auf B gegebene und beschränkte Funktion f nicht mit der Annäherung von ca-ter Klasse (c 1l) erweiterbar ist auf s), perfekt in S1. Satz XII. Ist B ein in W dichter Teil der separablen Menge 21, so ist, damit die auf S gegebene Funktion f zu einer Funktion höchstens a-ter Klasse (cal) auf 21 erweitert werden könne, notwendig und hinreichend, daß es auf jedem (nicht leeren) in 1 perfekten Teile $ von W1, in dem 3 dicht ist, einen Punkt gebe, in dem f von a-ter Klasse erweiterbar auf $ ist. Und nun können wir das Schlußresultat dieser Untersuchung aussprechen: Satz XIII. Sei. der metrische Raum 91 separabel. Damit die auf der Menge S gegebene Funktion f zu einer Funktion erweitert werden könne, die im ganzen Raume S von höchstens,-ter Klasse (ocl1) ist, ist notwendig und hinreichend, daß es auf jedem perfekten Teile von S~, in dem S dicht ist, einen Punkt gebe, in dem f von Cc-ter Klasse erweiterbar auf S3~ ist. In der Tat, nach Satz XII ist die Bedingung notwendig und hinreichend dafür, daß f zu einer Funktion höchstens a-ter Klasse auf 3~ erweitert werden

Kap. V, ~ 10. Funktionen erster und zweiter Klasse. 363 könne. Da aber 03 abgeschlossen, mithin höchstens eine Menge Ta ist, kann nach ~ 8, Satz IV diese Funktion zu einer Funktion erweitert werden, die im ganzen Raume von höchstens a-ter Klasse ist, ~ 10. Funktionen erster und zweiter Klasse. Beispiele von Funktionen erster Klasse können unschwer gebildet werden: Nach ~ 6, Satz I ist z. B. jede oberhalb oder unterhalb stetige Funktion, die nicht zugleich stetig ist, eine Funktion erster Klasse. Satz I. Auf einer abzählbaren Menge 91 ist jede Funktion von höchstens erster Klasse. In der Tat, bestehe 91 aus den Punkten a1, a...., a>,..., und sei f eine beliebige Funktion auf S1. Wir bezeichnen mit 9Sy) die Menge, die nur aus dem Punkte a, besteht. Dann ist: = 1+,+t... + 9+ +..., und es ist jedes 9IYV eine Menge 'f; ferner ist: c (f, ) = 0. Also ist nach ~ 8, Satz III f von höchstens erster Klasse auf 9, und Satz I ist bewiesen. Ist 91 relativ-vollständig, so kann für Funktionen erster Klasse Satz VI von-~ 9 wesentlich verschärft werden: Satz II1). Ist die 'separable Menge 1 relativ-vollständig, so ist, damit f von höchstens erster Klasse sei auf 91, notwendig und hinreichend, daß f punktweise unstetig sei auf jedem in 91 perfekten Teile von t. Die Bedingung ist notwendig. Denn ist f von höchstens erster Klasse auf 51, so auch auf jedem in 91 perfekten Teile V von 1. Also ist f nach Kap. IV, ~ 7, Satz V punktweise unstetig auf Ö. Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so gibt es in jedem in 1 perfekten Teile von 91 einen Punkt, in dem f stetig auf Sp, d. h. von nullter Klasse auf Xß, mithin auch von erster Klasse auf $ ist. Also ist nach ~ 9, Satz VI f von höchstens erster Klasse auf 91, und Satz II ist bewiesen. 1) Dieser Satz wurde zuerst bewiesen von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 16 (für Funktionen einer reellen Veränderlichen); Bull. soc. math. 28 (1900), 173 (für Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher). Andere Beweise H. Lebesgue, C. R. 128 (1899), 811; Bull. soc. math. 32 (1904), 229; Journ. de math. (6) 1 (1905), 182; C. A. Dell'-Agnola, Atti Ven. 68 (1909), 775; Rend. Lomb. 41 (1908), 287, 676.

364 Die Baireschen Funktionen. Aus Satz II entnehmen wir: Satz III. Hat f auf der separablen relativ-vollständigen Menge 91 nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte, so ist f von höchstens erster Klasse auf 9I. Sei in der Tat $ ein in VX perfekter Teil von 91. Es gibt nur abzählbar viele Punkte von $3, in denen f unstetig auf $ ist. Die Menge e3 aller dieser Punkte ist also von erster Kategorie in $ (Kap. I, ~ 4, Satz XXII). Da $ relativ-vollständig, ist also nach Kap. I, ~ 8, Satz XV die Menge 3 - 08, d. h. die Menge aller Stetigkeitspunkte von f auf $ dicht in $, d. h. f ist punktweise unstetig auf $. Nach Satz II ist also f von höchstens erster Klasse auf 2I, und Satz III ist bewiesen. Ganz gleichbedeutend mit der Forderung, f sei punktweise unstetig auf jedem in 91 perfekten Teile von X1, ist die Forderung, in jedem in 91 perfekten Teile $ von 91 gebe es einen Punkt, in dem f stetig auf $ß, d.h. von nullter Klasse auf $ ist. Man sieht so, wie die Aussage von Satz II über den Spezialfall a = — 1 von ~ 9, Satz VI hinausgeht, wo nur die Forderung auftritt, in $ gebe es einen Punkt, in dem fvon erster Klasse auf $. Für a > 1 ist eine solche Verschärfung von ~ 9, Satz VI unmöglich. Denn sei f eine Funktion a-ter Klasse auf 91, und sei a > 1. Dann gibt es kein ßf < a derart, daß auf jedem in 91 perfekten Teile $ von 9 ein Punkt a läge, in dem f von ß-ter Klasse auf $p ist. Denn gäbe es auf jedem $ einen solchen Punkt, so wäre nach ~ 9, Satz VI f von höchstens ß-ter (fß 1), und somit nicht von a-ter Klasse auf 91. Nun kann in analoger Weise auch Satz XII von ~ 9 für a == 1 verschärft werden: Satz IY1). Sei 91 separabel und relativ-vollständig, und sei 53 ein in 91 dichter Teil von 9%. Damit die auf S3 gegebene Funktion f zu einer Funktion höchstens erster Klasse auf %I erweitert werden könne, ist notwendig und hinreichend, daß es auf jedem in X perfekten Teile $ von W1, in dem 53 dicht ist, einen Punkt gebe, in dem: (0) o (a; f, $ß))=0. Die Bedingung ist notwendig. Denn ist die Funktion f von höchstens erster Klasse auf 9S, so ist sie nach Satz II punktweise unstetig auf ~$. Es gibt also in $ einen Punkt, in dem: co (a; f, $)=0, und da: c(a; f, 9 3)< (a; f, ), ist in diesem Punkte auch (0) erfüllt. 1) Auf andrem Wege zuerst bewiesen von R. Baire, Acta math. 30 (1906), 17.

Kap. V, ~ 10. Funktionen erster und zweiter Klasse. 365 Die Bedingung ist hinreichend. Vermöge der Schränkungsformation kann f als beschränkt angenommen werden. Ist im Punkte a von S (0) erfüllt, so gibt es zu jedem e > 0 eine Zahl c und eine Umgebung 1U (a), so daß: f- c < auf U(a).~.3. Da die Konstante c von nullter Klasse auf S ist, so ist f im Punkte a für jedes e > 0 mit der Annäherung e von erster Klasse erweiterbar auf $, d. h. f ist in a von erster Klasse erweiterbar auf $. Nach ~ 9, Satz XII kann also f zu einer Funktion höchstens erster Klasse auf 91 erweitert werden, und Satz IV ist bewiesen. Wir lassen ein Beispiel einer Funktion folgen, die auf einerMenge B3 von erster Klasse ist, aber nicht zu einer Funktion erweitert werden kann, die auf 23~ von erster Klasse ist. Sei 21 eine nirgends dichte perfekte Menge des 9i, und sei e die Menge ihrer Punkte erster Art. Dann ist (Kap. I, ~ 9, Satz IV) und es ist (Kap. I, ~ 9, Satz III) 53 abzählbar. Wir definieren die Funktion f auf 3 durch die Vorschrift: f= 1 in den rechten, -- 1 in den linken Endpunkten der zu 2 komplementären Intervalle. Nach Satz I ist f von erster Klasse auf B3; da aber jede Funktion auf 2, die auf 3 mit f übereinstimmt, auf 2 total-unstetig ist, kann nach Satz II f nicht zu einer Funktion erster Klasse auf S erweitert werden. Satz V. Unterscheidet sich f von einer Funktion höchstens erster Klasse auf 91 nur in einer abzählbaren Punktmenge, so ist f von höchstens zweiter Klasse auf 2. In der Tat, da jede Funktion höchstens erster Klasse auch von höchstens zweiter Klasse auf 2 ist, ist Satz V für ac 2 enthalten in Satz VII von ~ 7. Ist z. B. f= — 1 in allen rationalen, = 0 in allen irrationalen Punkten des St, so ist f von zweiter Klasse im S1. In der Tat, da f sich von der stetigen Funktion hO0 nur in den abzählbar vielen rationalen Punkten unterscheidet, ist nach Satz V f von höchstens zweiter Klasse, und da f total-unstetig ist, kann nach Satz II f nicht von höchstens erster Klasse sein, ist also wirklich von zweiter Klasse im li, wie behauptet ). Ein andres Beispiel einer Funktion zweiter Klasse im WSl ist dieses: Sei $ eine nirgends dichte perfekte Punktmenge im D9. Die Funktion h, de = 1 ist auf a und =0 auf 91- - ist, weil oberhalb stetig, von erster Klasse. Daher ist nach Satz V von höchstens zweiter Klasse die Funktion f, die aus h entsteht, indem man den 1) Es hat keinerlei Schwierigkeit, f explizit durch zweifachen Grenzübergang aus stetigen Funktionen herzustellen, z. B. (nach A. Pringsheim, Encykl. d. math. Wiss. II A, 7): f (x) lim (lim cos2n n! xx); n=o m-O vgl. hierzu auch L. Galvani, Rend. Lomb. (2) 44 (1911), 947.

366 Die Baireschen Funktionen. Wert von h in den abzählbar vielen Punkten erster Art von $ in 0 verwandelt. Und da f total-unstetig ist auf q3, mithin nach Satz II nicht von höchstens erster Klasse im 9, seih kann, ist f von zweiter Klasse im 91, wie behauptet. Auf Grund von Satz V ist es von Interesse, die Funktionen näher zu betrachten, die sich von einer Funktion höchstens erster Klasse nur in einer abzählbaren Punktmenge unterscheiden. Wir definieren: Die auf 91 endliche Funktion f heißt im Punkte a von 91 mit der Annäherung s von erster Klasse auf 91 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, wenn es eine Umgebung U (a), einen abzählbaren Teil W9 von 9 und eine Funktion f* höchstens erster Klasse auf 1 gibt, so daß: {f-f*t =e auf 11(a).(9t-9). Die auf 1 beschränkte Funktion f heißt im Punkte a von 9 von erster Klasse auf 9 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, wenn sie für jedes > 0 im Punkte a mit der Annäherung e von erster Klasse ist auf 91 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen. Die beliebige Funktion f heißt im Punkte a von erster Klasse auf 91 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformation entstehende Funktion in a von erster Klasse ist auf 91 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen. Satz VI. Ist f in jedem Punkte der separablen Menge 91 mit der Annäherung E von erster Klasse auf 91 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, so gibt es eine Funktion F höchstens erster Klasse auf 91 und einen abzählbaren Teil W von 91, so daß: (0) If-FIl<e auf 1-W. In der Tat, zu jedem Punkte a von 91 gibt es eine abgeschlossene Umgebung it (a) in 91, eine Funktion höchstens erster Klasse f* und einen abzählbaren Teil R9a von (a), so daß: If-f* <e auf U(a)-9a,. Wieder gibt es (vgl. den Beweis von ~ 9, Satz I) unter diesen U (a) abzählbar viele U (a,) (v = 1, 2,...), deren Vereinigung 91 ist. Die zugehörigen f* nennen wir fv, die zugehörigen 97a nennen wir ",. Bilden wir die Funktion F, wie beim Beweise von ~ 9, Satz I, und setzen: W = W+, _ 4 —...4-..., so ist 91 abzählbar, und es gilt (0), womit Satz VI bewiesen ist. Satz VII. Ist die Funktion f in jedem Punkte der separablen Menge 91 von erster Klasse auf 91 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, so unterscheidet sie sich von einer Funktion höchstens erster Klasse auf 91 nur in einer abzählbaren Punktmenge. Der Beweis ist zunächst derselbe wie für ~ 9, Satz II, nur daß an Stelle der dortigen Ungleichung (*) nunmehr tritt: (00) f-F, I e auf 91 -, wo W9 ein abzählbarer Teil von 91. Dabei können wir annehmen, die F seien 00 so gewählt, daß eSy eigentlich konvergiert. Uv-1=

Kap. V, ~ 10. Funktionen erster und zweiter Klasse. 367 Wir ersetzen nun in F2 jeden Wert > F1' + - durch F1 + e,- jeden Wert < F- e, durch F - e, wodurch eine Funktion F2'* höchstens erster Klasse entsteht (~ 1, Satz VIII). Da wegen (00) F, - =< f< F, +, auf 91 —,, ist: iF* -fl= iF2~-fl auf 1-1,, und somit wegen (00): I F*-f I auf - (W, + 92). In derselben Weise fortfahrend, bilden wir F*, indem alle Werte von Fs, die > F*, -- e2 sind, durch F* + -, alle Werte, die < F~ - 2 sind, durch v -- F ersetzt werden usf. Wir erhalten so eine Folge {F*} von Funktionen höchstens erster Klasse auf 91, so daß: (0o) F,*+ -F,* Y <e auf W, (~o0) \ F*-rf\ = < auf a —( - +,...- + W). Wegen (000) und der eigentlichen Konvergenz von s e, konvergiert v=1 (F,*} gleichmäßig auf 1 gegen eine Funktion F höchstens erster Klasse (~ 1, Satz X). Wegen (~o~) ist f==F auf - (W+1-hW2.....+ ), und da (9N + 92 +... * ' + + *...) abzählbar, ist Satz VII bewiesen. Gibt es nun keine Funktion höchstens erster Klasse auf 91, von der sich die Funktion f nur in einer abzählbaren Punktmenge unterscheidet, so gibt es, wie Satz VII lehrt, gewiß einen Punkt von 91, in dem sie nicht von erster Klasse auf 91 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen ist. Für jedes hinlänglich kleine s > 0 ist dann f in a auch nicht mit der Annäherung E von erster Klasse bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen. Wie Satz III von ~ 9 wird bewiesen: Satz VIII. Die Menge aller Punkte von 91, in denen die beschränkte Funktion f nicht mit der Annäherung s von erster Klasse auf 9 ist bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, ist abgeschlossen in 91. Wie Satz IV von ~ 9 zeigt man dann'): Satz IX. Gibt es keine Funktion höchstens erster Klasse auf der separablen Menge 1[, die sich von der beschränkten Funktion f nur in einer abzählbaren Punktmenge unterscheidet, und ist s>0 so klein gewählt, daß die in 9 abgeschlossene Menge 9J aller Punkte von 91, in denen f nicht mit der Annäherung s von erster Klasse auf 91 ist bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, nicht leer ausfällt, so ist f in keinem Punkte von 9t) mit der Annäherung s von erster Klasse auf ~9 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen. 1) Der Beweis entsteht aus dem Beweise von ~ 9, Satz IV durch ganz dieselben Abänderungen wie der Beweis von Satz VI aus dem Beweise von ~ 9, Satz I.

368 Die Baireschen Funktionen. Daraus folgt nun weiter (wie Satz V und VI in ~ 9): Satz X. Die Menge 9 aller Punkte der separablen Menge 1, in denen die beschränkte Funktion f nicht mit der Annäherung s von erster Klasse auf W ist bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, ist perfekt in 91. Satz XI. Damit es auf der separablen Menge 1 eine Funktion höchstens erster Klasse gebe, die sich von f nur in einer abzählbaren Punktmenge unterscheidet, ist notwendig und hinreichend, daß es auf jedem (nicht leeren) in 9 perfekten Teile 3 von 9 einen Punkt gebe, in dem f von erster Klasse auf, ist bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen. Nunmehr können wir zeigen: Satz XII1). Damit es auf der separablen, relativ-vollständigen Menge 91 eine Funktion höchstens erster Klasse gebe, die sich von f nur in einer abzählbaren Punktmenge unterscheidet, ist notwendig und hinreichend, daß f punktweise unstetig sei bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen2) auf jedem in % perfekten Teile von 9. Die Bedingung ist notwendig: dies folgt unmittelbar aus Satz II. Die Bedingung ist hinreichend: denn ist sie erfüllt, so gibt es in jedem in 91 perfekten Teile, von 9 Punkte, in denen f stetig und mithin auch von erster Klasse ist auf $ bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, und die Behauptung folgt aus Satz XI. Vermöge Satz V folgt aus Satz XII: Satz XIII. Ist 1 separabel und relativ-vollständig, und ist f punktweise unstetig bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen auf jedem in 9 perfekten Teile von 91, so ist f von höchstens zweiter Klasse auf 9. Wir haben bisher nur solche Funktionen zweiter Klasse kennen gelernt, die sich von einer Funktion höchstens erster Klasse nur in einer abzählbaren Punktmenge unterscheiden. Wir wollen nun zeigen, daß es auch Funktionen zweiter Klasse gibt, die nicht durch bloße Abänderung der Werte in einer abzählbaren Punktmenge in eine Funktion höchstens erster Klasse verwandelt werden können. Sei zu dem Zwecke 9 eine separable, vollständige, insichdichte Menge, und sei die abzählbare Menge der Punkte a, (v 1, 2,...) von 9 dicht in 9. Sei 9, ein den Punkt a, enthaltender, perfekter und in 9 nirgends dichter Teil von S9 (Kap. I, ~ 8, Satz VIII). Die Menge -==,+S, + 94+... ist höchstens eine Menge B2 in 9. Sie selbst und ihr Komplement zu 9 sind also höchstens Mengen t. Setzen wir: 1) Auf andrem Wege bewiesen von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 75. 2) Kap. III, ~ 7, S. 227.

Kap. V, ~ 10. Funktionen erster und zweiter Klasse. 369 f=1 auf Ö; f-=0 auf -3, so ist also f nach ~ 7, Satz I von höchstens zweiter Klasse auf {. Da jeder Punkt a, in 3 vorkommt, ist 3 dicht in 9. Da 8 von erster Kategorie in 1 ist, ist l - -3 dicht in % (Kap. I, ~ 8, Satz XIV), also ist f total-unstetig auf 9f, und mithin nach Satz II wirklich von zweiter Klasse auf A1. Sei, irgendeine offene Menge, die einen Punkt von % enthält. Jede der beiden Mengen S S und L (1 - 3) hat dann die Mächtigkeit c (Kap. I, ~ 8, Satz XII, XV, VI). Ist also W irgendein abzählbarer Teil von 2, so sind B -91W und (2 Ö3)- 9(2 - ) dicht in 91. Ändert man also die Werte unsrer Funktion f in einer beliebigen abzählbaren Punktmenge ab, so bleibt sie total-unstetig auf 21, kann also dadurch nicht in eine Funktion höchstens erster Klasse übergeführt werden. Satz XIV. Ist {f,} eine Folge auf 1 stetiger Funktionen, so sind lim f und lim f von höchstens zweiter Klasse auf 2, W = 00 3 = v( und zwar ist limf, höchstens eine Funktion g2 und limf, = QO y = a höchstens eine Funktion G2. In der Tat, daß lim f, von höchstens zweiter Klasse ist, ist (für a- 1) enthalten in ~ 1, Satz XII. Bezeichnet f, k den größten unter den k + 1 Funktionswerten f, f +i,..., f,+k, so ist fvc stetig (Kap. II, ~ 3, Satz VIII), und die Folge f^,l, f,2,.., f],,... ist monoton wachsend. Daher ist = — lim frk k=co höchstens eine Funktion Gl, und mithin, wegen lim f-= lim fi, v = 00o v = 00 ist, da {f,} monoton abnimmt, limf4 höchstens eine Funktion g3. V= 00 Satz XV. Sei f(a, t) für jedes t aus (0, 1) eine auf 2 stetige Funktion von a, so sind limr f(a, t) und lim f(a, t) von höchstens t=+o t=+o zweiter Klasse auf 2, und zwar ist limf(a,t) höchstens eine t=+O Funktion g2 und limf(a,t) höchstens eine Funktion G2. t=+O Sei in der Tat F(a; t, t) die obere Schranke der Funktions. werte f(a,t) für alle t aus [t',t"] (bei festgehaltenem a). Wir zeigen Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 24

370 Die Baireschen Funktionen. zunächst: F(a; t, t") ist eine auf 9I unterhalb stetige Funktion von a. Sei in der Tat p irgendeine Zahl: (t-) - p < <F(a; t', t"). Dann gibt es ein t* in [t',t"], so daß: (tt) f(a,t*)>p. Sei nun {a,} irgendeine Punktfolge aus [ mit lim a=a. Aus (tt) v = O folgt wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von f: f(a, t*) >p für fast alle Y. Also ist auch F(a~; t', t")>p für fast alle v. Also ist: lim F(a,; t', t")_p, yv= Xo und da dies für jedes (t) erfüllende p gilt: lim F(a"; t', t") > F(a; t, t"), v= X d. h. F (a; t', 't) ist als Funktion von a unterhalb stetig, wie behauptet. Da F(a; t', t") als Funktion von t' mit abnehmendem t' monoton wächst, ist: lim F(a; t', t") - lim F a;-, t ( (a, t)) t'-=+O = o VY gleichfalls unterhalb stetig auf f (Kap. II, ~ 10, Satz I) und mithin eine Funktion G1. Und da F(a,t") mit abnehmendem t' monoton abnimmt, ist: iim f(a, t) lim F(a, t") lim F (a,) t=+O t"=+0 v=- C V/ höchstens eine Funktion g2 und somit (~ 6, Satz I) von höchstens,zweiter Klasse, wie behauptet. ~ 11. Funktionen dritter Klasse. Wir wollen nun ein Beispiel einer Funktion dritter Klasse geben 1). Sei 9 eine separable, kompakte, vollständige und insichdichte Punktmenge, und sei die abzählbare Menge der Punkte al (v1= 1, 2,...)von 51 dicht in S. Wir 1) Das erste Beispiel einer Funktion dritter Klasse wurde von R. Baire angegeben (Acta math. 30 (1906) 30ff.); wir kommen darauf unten zurück. Wie R. B ire mitteilt (a. a. 0. 47), war V.Volterra schon 1898 im Besitze eines solchen Beispieles.

Kap. V, ~ 11. Funktionen dritter Klasse. 371 bezeichnen mit 9(1) (1 ==1, 2,...) einen a, enthaltenden perfekten und in 9( nirgends dichten Teil von Si. Die Vereinigung i ( 1)_ i~ ' +V1 ~ '~* ist dann dicht in 9. Dabei können wir je zwei W(l) als fremd annehmen ). Wir denken uns sodann einen abzählbaren, in 9(1) dichten Teil von (1) gegeben: al, (v 1, 2,...). Wir bezeichnen mit i(2) einen perfekten und in X91( nirgends dichten Teil von 2t(1) der den Punkt al, y2 enthält. Die Vereinigung: v1 11 + 1,2+ '1 2 ist dann dicht in A1(). Dabei können wir je zwei 9[I(2) als fremd annehmen. Indem wir so fortfahren, erhalten wir Mengen (i) von folgenden ' i!, ~ ' i ' ~ ~' Eigenschaften: Es ist (1 i+l) y2. + ein perfekter und in 91()... nirgends dichter Teil von 9(),..,? und es ist die Vereinigung: w(i) __ 1+i) 4+ +9(i+1) 4-.i(+1), 2,...,ri ''), 12,*.2 *t '1, )S'2.... * * ' ' '* dicht in 9f(i) Je zwei (i+l) sind fremd2). rx, ~'~ 1.~....i ' ~[~x, V 'a..... 2 i+l Bezeichnen wir noch mit 1(i) die Vereinigung aller 1(0),*,. (v,, a.... v -1, 2,...), so ist (Kap. I, ~ 4, Satz IX) jede Menge 9(i) dicht in 9s, und endlich ist: Der Durchschnitt: gto(w) - 9(1) 9(2).....91()... ist dann nicht leer, da nach Kap. I, ~ 2, Satz VIII die Folge abgeschlossener Mengen (1) >-!I),,>2 *. >.., ".....,i >.. mindestens einen gemeinsamen Punkt enthält. 1) In der Tat, man konstruiere 1(1) nach dem Verfahren von Kap. I, ~ 8, Satz VIII, indem man unsern Punkt a., falls er nach U (ai; e) (i = 0, 2) fällt, als Punkt ail, wählt, ebenso den Punkt a3, falls er nach 11(ai, i2; e2) (i, i == 0, 2) fällt, als Punkt ai,, i, i, usf. Dann enthält 9(1 keinen der Punkte a2,a3,... Der Punkt an hat also von 91(1) positiven Abstand Q. Nun konstruiere man die Menge 91() in U (a2; ), und so, daß sie die Punkte a, a... nicht enthält. Dann hat a3 von (1-) + 9() positiven Abstand a. Man konstruiere die Menge [(1) in U (a3; o), und so, daß sie die Punkte a4, aa,.. nicht enthält usf. Je zwei Mengen (t) (v = 1, 2,...) sind dann fremd. 2) Es würde übrigens für das Folgende genügen, wenn der Durchschnitt je zweier dieser Mengen in jeder von beiden von erster Kategorie ist. 24*

372 Die Baireschen Funktionen. Da t(i+1) von erster Kategorie in A.(j) ist, und da 9/(o )< Si+l, ist auch 2o(w) von erster Kategorie in 1(i) Als Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Mengen ist jede Menge W(i) höchstens eine Menge 2, mithin (o') höchstens eine Menge 3, und { - (') höchstens eine Menge 83, also sind sowohl 9(@) als 9 - 9/() höchstens Mengen )4. Definieren wir nun eine Funktion f durch: (0) f-= 1 auf 91(w); f =0 auf 9- 2(), so ist f nach ~ 7, Satz I von höchstens dritter Klasse auf It. Wir wollen zeigen, daß f wirklich von dritter Klasse auf f ist. Angenommen, es wäre f von höchstens zweiter Klasse auf 9L. Dann gibt es eine Darstellung: (00) f =- lim f,,, n = X0 wo jedes f, von höchstens erster Klasse auf 92. Nach ~ 10, Satz II ist demnach f, punktweise unstetig auf (1). Die Menge 2n aller Punkte, in denen f, nicht stetig ist auf 2(t1) ist demnach von erster Kategorie in 9W(l) (Kap. III, ~ 4, Satz III), und da - wie wir schon sahen - auch 9/(X) von erster Kategorie in 2(1) ist, so ist auch (Kap. I, ~ 4, Satz XX): - ' )-t 1 - Se -f * '...4- *... von erster Kategorie in 9(1). Es gibt also (Kap I, ~ 8, Satz XIV) in 9[(1) einen nicht zu 3 gehörigen Punkt bl, d. h. einen Punkt bh, in dem alle f, stetig sind auf 91(1) und der zu 91 - -(') gehört. Zufolge (0) und (00) ist daher: lim f; (b0,) 0; es gibt also einen Index ne, so daß: fnl(b) < 1 und weil fnl stetig auf 9(1) ist in bt, gibt es eine abgeschlossene Umgebung Ül(bl;ei) von bl in P9($), auf der: fni< 2 - Dabei kann ohne weiteres angenommen werden: 1 2t~~. Da W1(2) dicht in tx1) ist, gibt es in U (bl; e) auch Punkte von g9(2) und mithin auch Punkte einer Menge 9,. Da die fn auch auf (2) punktv1, v/ Y1,2 p k weise unstetig sind, und W(') auch in (2) von erster Kategorie ist, gibt es in U (b1; ei). 91( einen Punkt b*, in dem alle f, stetig sind auf 9(2) und der zu 9 - 9() gehört.

Kap. V, ~ 11. Funktionen dritter Klasse. 373 Wie vorhin folgert man die Existenz eines Index na sowie einer abgeschlossenen Umgebung u (b2;,E) von b2 in ~(2), auf der fnA < Dabei kann ohne weiteres angenommen werden: _-~~~~ 1 U(b2, Q)< <n (bl ); e<-; ^ 2t 2 Indem wir so weiter schließen, erhalten wir eine Punktfolge {6b} und eine Indizesfolge {va}, so daß bi zu eI(il) gehört; ferner zu jedem bi eine abgeschlossene Umgebung 1(bj;e ) in l (,l V und endlich eine Indizesfolge {}i), so daß: fn, auf U(b); es). Dabei kann angenommen werden: Daraus entnimmt man sofort, daß {bt} eine Cauchysche Folge ist (Kap. I, ~ 8, S. 99). Es existiert also, da 91 vollständig ist, der Grenzpunkt: bo-= lim b, in Co und gehört zu 2'. Da ferner bo, allen Ui (bi; ei) angehört, ist: (000) fn(bo) < - für alle i. Der Punkt b< gehört aber auch zu 9(O). In der Tat, der Punkt bi gehört zu,x,,., und somit auch zu 9,(1 2) -) d. h. j~1 /',,__ i; d. h. in der Folge {bi} gehören alle Punkte zu 21(1), alle von b2 an zu n(2), alle von bi an zu (l,/ 1 s,. Und da jede dieser Mengen abgeschlossen ist, gehört auch der Grenzpunkt b, von { bt} zu allen diesen Mengen, und somit auch zu deren Durchschnitt, und somit auch zu 91(O). Nach (0) und (00) muß also sein: lim fn (b,)= 1, was wegen nü>i im Widerspruch steht mit (000). Die Annahme, f sei von höchstens zweiter Klasse, führt also auf einen Widerspruch, und somit ist f von dritter Klasse, wie behauptet. Als Spezialfall erhält man hieraus das erste, von R. Baire angegebene1) Beispiel einer Funktion dritter Klasse. Sei 91 das Intervall [0, 1] des 91,. Mit (ca, a2,... V,...) bezeichnen wir den Kettenbruch: 1l 1 e2 +.. 1 c'~+ ~ 1) A. a. 0., wo man auch alle Beweise der folgenden Behauptungen findet.

374 Die Baireschen Funktionen. wobei die %,, natürliche Zahlen bedeuten. Seien i, ac, c,..., a y beliebige natürliche Zahlen, nur sei, falls v> 1 ist, <a, ~i. Mit S9(/) bezeichnen (Cei,as...,) wir die Menge aller (endlichen und unendlichen) Kettenbrüche (ac, ~2,., ßv+l' ßy+2..- '), in denen alle Teilnenner fl+1, ßyf+2, ***. soweit vorhanden, > i sind. Bei gegebenem i gibt es abzählbar viele Mengen.(i) ) die (al, a......%)' man erhält, indem man v, c1, a~,..., %c, alle zulässigen natürlichen Zahlen durchlaufen läßt. Bei gleichem i können zwei verschiedene Mengen(i),...a,, ) nur rationale Punkte gemein haben. Jede Menge (1) a ist eine in [0, 1] nirgends dichte, perfekte Menge, und unter den Mengen?'I( unsrer allgemeinen Theorie kann man nun die abzählbar vielen Mengen (.l) verstehen'). '(al, a2.....% Ebenso kann man unter den Mengen (, ) unsrer allgemeinen Theorie die Mengen f(i)P verstehen. Denn ist 2f eine dieser (, as.. aa) eal, adies) Mengen, ist /i ~ v, und ist (im Falle y > v): 1+i>, j.... % —li, =i-l 1, so ist (tl). ein in 9() nirgends dichter perfekter Teil von (al, a2 (... ) (al, a2. a (I ly, af. *v)Die Menge ZI(') besteht dann aus allen endlichen Kettenbrüchen (~1, ~2,..., Ce), d. h. aus allen rationalen Zahlen, und allen denjenigen unendlichen Kettenbrüchen (cq, c,..., ~,,...), in denen lim c, -- 00.,-' co ~ 12. Existenz von Funktionen - ter Klasse. Wir wenden uns nun dem Nachweise zu, daß es für jedes a aus i + 3 wirklich Funktionen a-ter Klasse gibt. Wir führen den Beweis zunächst für den 94, d. h. für Funktionen einer Veränderlichen. Dabei gehen wir aus von der Bemerkung: Satz I. Es gibt eine abzählbare Menge in [0,1] stetiger Funktionen: (0) 1(x), h(x),..., ha(x),... von folgender Eigenschaft: Jede in [0,1] stetige Funktion f(x) ist Grenzfunktion einer (gleichmäßig konvergenten) Teilfolge aus (0): f(x)== lim hn (x). Vermöge der Schränkungstransformation können wir beim Beweise die Ungleichungen ansetzen: __ - f) Vgl. S. 371, Fun1 ( i,...). 1) Vgl. S. 371, Fußn. 2).

Kap. V, ~ 12. Existenz von Funktionen o-ter Klasse. 375 Wir betrachten, wenn 1 eine natürliche Zahl ist, die Menge aller jener in [0,1] stetigen Funktionen h() (x), die in den Punkten (i- 0, 1,..., l) rationale Werte aus (- 1, 1) annehmen und in den Intervallen 1[ _ J (i 1,2,.... ) linear variieren. Diese Menge ist gleichmächtig mit der Menge aller Belegungen der 1-+ 1 Punkte Z (i=O,1,...,i) mit der Menge der rationalen Zahlen aus (-1,1), hat also die Mächtigkeit No+1=-o, d. h. es gibt (bei gegebenem 1) abzählbar viele Funktionen h( (x). Also ist auch die Menge all er Funktionen h(1)(x) (1= 1,2,...) abzählbar und kann also in der Form (0) angeschrieben werden. Sei nun k eine beliebige natürliche Zahl. Nach Kap. II, ~ 4, Satz IX gibt es ein 1, so daß für jedes x aus -I-, [J: (00) f (x) f < insbesondere also auch: (000) f( -)-f <) <. Unter den Funktionen h() (x) gibt es solche, deren Werte an den Stellen - den Ungleichungen genügen: ( ~): r) h(1I) <k (t. Sei h"* eine solche Funktion. Aus (000) und (000) folgt: 3 hk -hnk ik' und da hn (x) linear ist in [ >,, gilt für alle x dieses Intervalles: (000) k (x) - h ( ) < * Aus (00), (000o) und (000) aber folgt für alle x aus [0, 1]: f(X)- h () 1< d. h. die Folge {hk (x)} konvergiert in [0, 1] gleichmäßig gegen f(x). Damit ist Satz I bewiesen. Satz II. Auch jede Funktion f(x) höchstens erster Klasse in [0,1] ist Grenzfunktion einer Teilfolge aus (0).

376 Die Baireschen Funktionen. Sei in der Tat f(x) von höchstens erster Klasse in [0,1]. Dann gibt es eine Folge {fy (x)} in [0, 1] stetiger Funktionen, so daß: (*) f (x) -- lim fV (x). v = 0 Vermöge der Schränkungstransformation können wir f und die f, als beschränkt annehmen. Nach Satz I gibt es zu f (x) in (0) eine Funktion hn( (x), so daß: (**) -v()-h (x) <_ in [0, 1]. Aus (*) und (**) aber folgt: f (x) -=-imn h, (x), und Satz II ist bewiesen. Satz III. Es gibt eine Bairesche Funktion h(x,t) im Einheitsquadratel) der xt-Ebene, aus der jede der Funktionen h"(x) von Satz I erhalten werden kann, indem man der Veränderlichen t einen festen Wert erteilt. Sei in der Tat cp,(t) die Funktion erster Klasse, die definiert ist durch: 1 1 P (t) =1 für t=-, q~(t)=0 für t + -, In n eo ist die durch: h (x, t)a= cpF, (t) hn (x) definierte Funktion eine Bairesche Funktion (höchstens zweiter Klasse), und es ist: n (x) =h ). Damit ist Satz III bewiesen. Satz IV. Es gibt eineBairescheFunktion f(x,t) im Einheitsquadrate der xt-Eben6, aus der jede Bairesche Funktion f(x) von geringerer als a-ter Klasse in [0,1] erhalten werden kann, indem man der Veränderlichen t einen festen Wert erteilt. Für den Beweis von Satz IV wollen wir die bisherige Terminologie dahin abändern, daß wir unter Funktionen 0-ter Klasse nicht mehr alle stetigen Funktionen, sondern nur mehr die abzählbar vielen Funktionen (0) verstehen. Nach Satz II bleibt der Begriff 1) D. h. im Quadrate Ox<1, O~t<l.

Kap. V, ~ 12. Existenz von Funktionen a-ter Klasse. 377 ~Funktion höchstens erster Klasse" und damit für ac> 1 auch der Begriff ~Funktion a-ter Klasse" dabei ungeändert. Wir führen den Beweis von Satz IV durch Induktion. Für a 1 ist (in der neuen Terminologie) die Behauptung richtig zufolge Satz III. Wir nehmen sie als richtig an für alle ß< a und zeigen, daß sie dann auch für a zutrifft. 1. Fall: a ist eine isolierte Zahl. Nach Annahme gibt es eine Bairesche Funktion im Einheitsquadrate der x u-Ebene, g (x, u), aus der jede Bairesche Funktion g(x) geringerer als (a- 1)-ter Klasse in [0, 1] erhalten werden kann, indem man der Veränderlichen u einen festen Wert erteilt. Nach Kap. II, ~ 7, Satz IV gibt es eine Folge in [0, l] stetiger, den Ungleichungen o < u (t) _ 1 genügender Funktionen von t, derart, daß die Folge {ui(t)} für mindestens einen Wert t aus [0, 1] übereinstimmt mit einer beliebigen Folge {u}, in der O _< ~ (=i, 2,...). Wir bilden nun die Folge der Funktionen g(x, ui (t)) ( 2,.). Nach ~ 1, Satz V sind es Bairesche Funktionen im Einheitsquadrat der x t-Ebene. Nach ~ 1, Satz XIV ist daher auch: f(x, t) - lim g (x, ui (t)) eine Bairesche Funktion. Wir behaupten: es ist die gesuchte. Sei in der Tat f(x) eine beliebige Funktion geringerer als a-ter Klasse in [0,1]; es ist also: k(***) f(x) lim gi(x), s= 00 wo die g (x) von geringerer als (a- 1)-ter Klasse in [0,1]. Es gibt daher ein ui in [0,1], so daß: g, (x) g (x, u). Es gibt weiter ein to in [0,1], so daß: i =i) (to) i 2,...), und somit: gi (x) - g (X, Ui (to)). Nun geht (***) über in f(x) = lim g (x, ui (t))= lim g (x, ui (t0)) = f(x, t0), i =de Bg = is und die Behauptung ist bewiesen.

378 Die Baireschen Funktionen. 2. Fall: a ist eine Grenzzahl. Dann gibt es (Einl. ~ 4, Satz XVII) eine wachsende Folge {,,} von Ordinalzahlen, so daß,( )~ a —c=limß, V = 00 Nach Annahme gibt es eine Bairesche Funktion gv(x,u) im Einheitsquadrate der x u- Ebene, aus der jede Bairesche Funktion f(x) geringerer als y-ter Klasse in [0,1] erhalten werden kann, indem man der Veränderlichen u einen festen Wert erteilt. Seien [an, b,] (v ==, 2,...) zu je zweien fremde Intervalle aus [0, 1]. Wir bilden durch: t -- a,, U b -- a, das Intervall [a", b] ab auf [0, l] und definieren eine Funktion f(x, t) im Einheitsquadrate der x t-Ebene durch: f(Xt)=y(x,t -a) für 0 ~x:1; a, < t< b, (Y-1,2,...); f(x,t)=0 in den übrigen Punkten. Wir erkennen leicht, daß f(x,t) eine Bairesche Funktion ist; in der Tat, nach ~ 1, Satz V ist gv (x, i-av) eine Bai resche Funktion. Also ist (~ 7, Satz IV) die Menge aller Punkte, in denen ine B he Menge, daher ist auch die Menge aller Punkte, in denen eine Borelsche Menge, daher ist auch die Menge aller Punkte, in denen p < f (x, t)~ q, als Vereinigung abzählbar vieler Borelscher Mengen eine Borelsche Menge; daher ist (~ 7, Satz IV) f(x,t) eine Bairesche Funktion. Sei nun f(x) eine Bairesche Funktion geringerer als a-ter Klasse in [0, 1]. Wegen (* * *) gibt es ein ß,, so daß f(x) auch von geringerer als /ß,-ter Klasse. Aus der Definition von f(x, t) folgt also sofort, daß für ein t aus [0, 1]: f(x)= f(x,t), womit Satz IV bewiesen ist. Aus Satz IV nun schließen wir leicht: Satz V1). Für jedes a aus 3i — 3. gibt es Bairesche Funktionen f(x) a-ter Klasse in [0,1]. 1) Dieser Satz wurde zuerst bewiesen von H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 205 ff. Eine vereinfachte Darstellung des Beweises, der

Kap. V, ~ 12. Existenz von Funktionen a-ter Klasse. 379 In der Tat, offenbar genügt es, nachzuweisen, daß es eine Bairesche Funktion f(x) gibt, die nicht von geringerer als a-ter Klasse ist. Sei nun f(x,t) die Funktion von Satz IV. Wir definieren in [0,1] eine Funktion f(x) durch: f * ( -) 0 wenn f(xx)+ I wenn f(x,x)=0. Dann ist f(x) eine Bairesche Funktion. Denn nach ~ 1, Satz V ist f(x,x) eine Bairesche Funktion; es sind also die Mengen aller Punkte von [0, 1], in denen f(x,x) = 0 bzw. =0, Borelsche Mengen (~ 7, Satz IV), also auch die Mengen aller Punkte von [0, 1], in denen f(x)=O bzw. = 1, also ist f(x) eine Bairesche Funktion (~ 7, Satz IV). Es kann aber f(x) nicht von geringerer als a-ter Klasse sein, denn sonst wäre für ein gewisses t: f(x)= f(, t), und indem man hierin x = t setzt, würde ein Widerspruch mit (***) entstehen. Damit ist Satz V bewiesen. Aus Satz V entnehmen wir noch eine für das Folgende wichtige Tatsache: Satz VI. Ist 9D) die Menge aller jener Punkte aus [0,1], die nicht darstellbar sind durch einen endlichen Systembruch der Grundzahl 2, so gibt es für jedes a aus 31+82 auf 9)D Bairesche Funktionen a-ter Klasse. In der Tat, angenommen es gäbe in,81 -+, ein f (> 3), so daß jede Bairesche Funktion auf Du von höchstens f-ter Klasse wäre. Sei nun 9)' das Komplement von 9)J zu [0, 1]. Die Menge 9S' ist, weil abzählbar, eine Menge 2, also ist D9 eine Menge ), und sowohl ) als 9S)' sind höchstens Mengen Sa. Sei nun f eine beliebige Bairesche Funktion in [0,1]; sie ist dann auch eine Bairesche Funktion auf 9. Nach ~ 10, Satz I ist sie auf 9J' von höchstens erster Klasse, nach Annahme ist sie auf 9u von höchstens f-ter Klasse; nach ~ 8, Satz IV gibt es daher eine Funktion f, höchstens ß-ter Klasse in [0, 1], die auf 9S' mit f übereinstimmt, und eine Funktion f2 höchstens ß-ter Klasse in [0, 1], die auf 9)u mit f übereinstimmt. Also ist f nach ~ 8, Satz I auf [0, 1] von höchstens ßf-ter Klasse. Es gäbe also für > ß in [0,1] keine Funktionen a-ter Klasse, entgegen Satz V. Damit ist Satz VI bewiesen. wir uns hier angeschlossen haben, wurde gegeben von Ch. J. de la ValleePoussin in: Int6grales de Lebesgue, Fonctions d'ensemble, Classes de Baire (Paris 1916), 145ff.

380 Die Baireschen Funktionen. Nunmehr gehen wir wieder über zu beliebigen metrischen Räumen und können Satz V in folgender Weise verallgemeinern: Satz VII. Auf jeder relativ-vollständigen Menge X, deren insichdichter Kern K nicht leer ist, gibt es für jedes a aus ß, -+32 Bairesche Funktionen a-ter Klasse. Nach Kap. I, ~ 4, Satz VI ist e abgeschlossen in 9t, also ein o-Durchschnitt in 91, und da 9 relativ-vollständig, ist k ein o-Durchschnitt in einer vollständigen Menge. Nach Kap. I, ~ 8, Satz VI und VII gibt es daher in S, und somit in 9I einen Teil '), der umkehrbar eindeutig und stetig auf die Menge w von Satz VI abgebildet werden kann. Zu jeder Funktion f auf 93t gehört vermöge dieser Abbildung eine Funktion g auf ), so daß f und g in entsprechenden Punkten von 93 und ' dieselben Werte annehmen. Wegen der Stetigkeit der Abbildung sowie ihrer Umkehrung sind die beiden Funktionen f und g stets gleichzeitig stetig und daher auch gleichzeitig von a-ter Klasse. Da es nun für jedes a aus 31+32 auf 9 Funktionen a-ter Klasse gibt (Satz VI), so auch auf i. Wäre nun auf 9 jede Bairesche Funktion von geringerer als a-ter Klasse, so erst recht auch auf '). Da dies aber nicht der Fall ist, gibt es auf 9 Funktionen a-ter Klasse, und Satz VII ist bewiesen. ~ 13. Unvollständige Bairesehe Funktionen. Ist {f4} eine auf 91 definierte Funktionenfolge, so bezeichnen wir die Menge aller Punkte von 91, in denen {f,} konvergiert, als die Konvergenzmenge von {ff} in 9/. Satz 1. Ist {ff} eine Folge Bairescher Funktionen auf 91 von geringerer als a-ter Klasse, so ist die Konvergenzmenge von {f,,} in 1 höchstens eine Menge S+,-2). In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation können wir {f} als beschränkt annehmen. Nach ~ 1, Satz XII sind lim f,, und lim fy von höchstens (c- + )-ter Klasse; dasselbe gilt dann auch V = GO von der Differenz: (*) lim fV — lim f,,. V r=_ C O Vj 00 1) Von diesem Satze gilt auch die Umkehrung: Ist 9)1 höchstens eine Menge Sa-2a in 9m, so gibt es eine Folge {fv} von Funktionen geringerer als a-ter Klasse auf 91, deren Konvergenzmenge 9) ist. Wegen des Beweises verweisen wir auf H. Hahn, Arch. d. Math. u. Phys. (3) 28 (1919), 34.

Kap. V, ~ 13. Unvollständige Bairesche Funktionen. 381 Die Konvergenzmenge von {f,} in 9 aber ist die Menge aller Punkte von 1, in denen der Ausdruck (*) =0 ist. Also ist sie nach ~ 7, Satz I1) höchstens eine Menge Ig+-2, und Satz I ist bewiesen. Satz II. Ist {f,} eine Folge Bairescher Funktionen auf X, so ist die Konvergenzmenge von {f,} in 91 eine Borelsche Menge. In der Tat, ist f, von a,-ter Klasse, und a>cta für alle v (Einl. ~ 4, Satz XIII), so ist nach Satz I die Konvergenzmenge von {fh} höchstens eine Menge 4+ 2, und Satz II ist bewiesen. Sei zunächst {f,} eine Folge auf X stetiger Funktionen, 9 ihre Konvergenzmenge in 9. Ist ) —= 9, d. h. ist (f,} auf ganz 9 konvergent, so hieß die Grenzfunktion f= lim f, (wenn sie nicht stetig, d. h. von nullter Klasse auf 9 ist) eine Funktion erster Klasse auf 9. Wir wollen nun auch den Fall in Betracht ziehen, daß 9J) echter Teil von 91 ist, und setzen fest: Die auf 9SD durch f —limf, definierte Funktion heißt (wenn nicht u9) - und f stetig auf 9 ist) eine unvollständige Bairesche Funktion erster Klasse auf 912). Nun definieren wir durch Induktion den Begriff der unvollständigen Baireschen Funktion a-ter Klasse für alle a> 1 der ersten und zweiten Zahlklasse. Sei {fv} eine Folge unvollständiger Bairescher Funktionen auf 9 von geringerer als a-ter Klasse. Ist 91, der Teil von 9, auf dem f, definiert ist, so ist die ganze Folge {fv} definiert auf dem Durchschnitte -- ~. ~...... ~,... Ist D9 die Konvergenzmenge von {f,} in Z, so ist durch f- lim f, V = 00 auf 9) eine Funktion definiert, die wir (falls sie nicht eine unvollständige Bairesche Funktion geringerer als a-ter Klasse auf 9 ist) als unvollständige Bairesche Funktion a-ter Klasse auf S bezeichnen wollen. Der Gleichförmigkeit halber setzen wir noch fest: Eine unvollständige Bairesche Funktion 0-ter Klasse auf 9 sei dasselbe wie eine Bairesche Funktion 0-ter Klasse auf 9, d. h. eine auf ganz W definierte und stetige Funktion. ) Man hat dort p = q 0 zu setzen. 2) Wie man sieht, sind die Baireschen Funktionen erster Klasse als Spezialfall hierin enthalten, nämlich wenn Du == und f nicht stetig auf 91. Auch im Falle, daß b0 leer ist, sprechen wir - in uneigentlichem Sinne - von einer (nirgends auf $I definierten) unvollständigen Baireschen Funktion erster Klasse,

382 Die Baireschen Funktionen. Für a= 1 gilt: Satz III. Ist f eine unvollständige Bairesche Funktion erster Klasse auf 9, so ist die Menge 93 aller Punkte, in denen f definiert ist, höchstens eine Menge Z) in 9t, und es gibt eine Funktion höchstens zweiter Klasse auf 9(, mit der f auf 9) übereinstimmt. In der Tat, die Menge 9J) aller Punkte von 9, in denen f definiert ist, ist die Konvergenzmenge einer Folge {f,) auf 9 stetiger Funktionen, und mithin nach Satz I höchstens eine Menge 18. Und auf 9m ist: f==lim fv (=lim f)), v = ao Y oo und nach ~ 10, Satz XIV ist lim f von höchstens zweiter Klasse auf v =' 0 9. Damit ist Satz III bewiesen. Für a > begnügen wir uns mit dem Beweise des Satzes: Satz IV. Ist f eine unvollständige Bairesche Funktion auf 91, so ist die Menge 9D) aller Punkte, in denen f definiert ist, eine Borelsche Menge in 91, und es gibt eine Bairesche Funktion auf 91, mit der f auf 9) übereinstimmt. Nach Satz III ist die Behauptung richtig, wenn f eine unvollständige Bairesche Funktion höchstens erster Klasse auf 9 ist. Allgemein führen wir den Beweis durch Induktion. Sei f eine unvollständige Bairesche Funktion cc-ter Klasse, und die Behauptung werde als richtig angenommen für alle unvollständigen Baireschen Funktionen von geringerer als a-ter Klasse. Es ist auf 9: f lim fi, wo f eine unvollständige Bairesche Funktion geringerer als a-ter Klasse auf 91. Sei 9I, der Teil von S9, auf dem f" definiert ist. Nach Annahme ist I,, eine Borelsche Menge in 9. Nach ~ 4, Satz VI ist dann auch der Durchschnitt: -- x) '?I2 "'"?... eine Borelsche Menge in 9. Ferner gibt es nach Annahme eine Bairesche Funktion F, auf 91, mit der f, auf 9, übereinstimmt. Nach Satz II ist die Konvergenzmenge W von {FV} in 91 eine Borelsche Menge. Wegen:.. ist also auch 9S, als Durchschnitt zweier Borelscher Mengen, eine Borelsche Menge, wie behauptet.

Kap. V, ~ 14. Funktionen mehrerer Punkte. 383 Nach ~ 1, Satz XIV ist lim F, eine Bairesche Funktion auf 91. Da aber ~'= ~ f== lim F,(=- lim F) auf 9m, Y=O y00o so stimmt f auf 9A1 mit einer Baireschen Funktion auf 91 überein, und Satz IV ist bewiesen. Satz V. Ist f eine unvollständige Bairesche Funktion auf 91, so ist für alle p und q die Menge 9(p f~ q)1) eine Borelsche Menge in 91. In der Tat, ist f definiert auf dem Teile 9A von 91, so ist nach Satz IV 9J) eine Borelsche Menge in 91, und es gibt eine Bairesche Funktion F auf 91, so daß: f=F auf 9. Nach ~ 7, Satz IV ist die Menge 91(p < F _ q) eine Boreische Menge in 9t. Infolgedessen ist auch die Menge: 9 (p ~ f ~ q) J- 1 (p ~ F < q) als Durchschnitt zweier Bo rel scher Mengen eine B or e 1 sche Menge in 91, und Satz V ist bewiesen. ~ 14. Funktionen mehrerer Punkte. Wir betrachten nun Funktionen, die von den Punkten mehrerer metrischer Räume abhängen2). Sind 9(), St(2),..., 91(k) endlich viele metrische Räume, und werden die Punkte von ~9(i) mit a(i) bezeichnet (i= 1, 2,..., k), so verstehen wir unter dem Verbindungsraume i g i(1) X 91~2) X... X. t~q die Menge aller k-gliedrigen Folgen: (0) (a), a(2),..., a(k Wir machen D9 zu einem metrischen Raum durch eine geeignete Abstandsdefinition3), die wir nur den Forderungen unterwerfen: 1. Stimmen in den beiden Punkten a- (a (l),...,a(k)); a' - -(a'(1),...,a(k~) von 91 die sämtlichen Koordinaten überein mit Ausnahme der i-ten: a(J)=a'<i) (j=1 i), ~) Ebenso die Menge 2 (p < f< q). a) Vgl. Kap. IV, ~ 9, S. 292. 3) Eine solche ist z. B. die folgende: r (a, a') = (r (a(, a'(1))2 -.. - r (a(k), a(k))2.

384 Die Baireschen Funktionen..o ist: r (a, a') r (a(i), a'b(). 2. Es ist stets: r (a, a') r (a(O), a'()) (i= 1, 2,..., k). Aus der Dreiecksungleichung folgt dann sofort: r (a, ') ~ r (a(1), d(a)) + r (a(2), a'()) -.. + r (a(k), a(k)). Es ist also die Beziehung: lim (a(t), a(), a(k)) (al), (2),..., a()) n= oo völlig gleichbedeutend mit den Beziehungen: lim a)m a; lm a a);...; lim a a(k). n = O n o o n oo 00 Sei nun f(i) eine Punktmenge aus 1(i) (i - 1, 2,..., k). Die Menge aller Punkte (0) von 9R, in denen a(i) zu 1(i) gehört (i=, 2,.,, k) bildet die Verbindungsmenge: _ (1) X 9(2) X... X (k) der Mengen W(i). Eine auf einer solchen Menge 2f definierte Funktion bezeichnen wir mit f(a(l), a(2),..., a(k)). Halten wir alle a(J) mit Ausnahme von a(i) fest, so entsteht eine auf 92(i) definierte Funktion von a(i). Bekanntlich können die k so aus f(a( ), a(),..., a(k)) entstehenden Funktionen eines Punktes a(i) (i -1, 2,..., k) sämtlich stetig sein auf der betreffenden Menge 9(i), ohne daß f stetig ist auf A. Ein Beispiel (für k==2) ist das folgende'): Sei f(x, y) | T X + 'xy für (, y)+ (0, 0) [ 0 für (, y)==(0, 0). Dann ist f für jedes feste y eine stetige Funktion von x, für jedes feste x eine stetige Funktion von y, aber als Funktion von (x, y) unstetig in (0, 0). Durch das Verfahren der Verdichtung der Singularitäten (Kap. IV, ~ 12) kann man ohne alle Schwierigkeiten aus f(x, y) Funktionen bilden, die analoges Verhalten in einer abzählbaren, im 92 der (x, y) dichten Punktmenge zeigen2). 1) Dabei bedeutet S(1) den S, der reellen Veränderlichen x, (i2) den 9N der reellen Veränderlichen y, und mithin =-= 9'(1) x t(2) den i, der Punkte (x, y). 2) Übrigens kann nicht einmal aus der Annahme, es sei f(x, y) stetig auf jeder Geraden des 12, oder sogar auf jeder analytischen Kurve des a1,

Kap. V, ~ 14. Funktionen mehrerer Punkte. 385 Wir werden uns im folgenden überzeugen, daß die Funktionen f (a(), a(2),..., a(k)), die als Funktionen von jedem einzelnen Punkte a(i), bei Festhaltung aller übrigen, stetig sind, stets Bairesche Funktionen sind, Wir schicken einige Hilfsbetrachtungen voraus. Satz I. Sei % eine separable Menge, und sei: (*) a,a,..., an... ein in Qf dichter, abzählbarer Teil von 9. Jedem dieser Punkte an sei eine reelle Zahl t, zugeordnet. Dann gibt es eine Folge auf 9 stetiger Funktionen {F,}, so daß: F? (an)= t (n,2,...,), und so daß, wenn t, und ty größte und kleinste unter den v Zahlen t, t,..., t, bedeuten: (**) t,_<F_<t, auf ganz 2. In der Tat, wir bezeichnen mit 29[ die Menge der v Punkte at, a,..., a, und erweitern nach dem Verfahren von Kap. II, ~ 5, Satz VIII die auf 2, durch (***) f (a) = tn (n = 1, 2,.., v) definierte Funktion f zu einer auf ganz 21 stetigen Funktion F,. Wie dort können wir ohne weiteres annehmen, daß alle t. der Ungleichung genügen: O t<tn (n= 1,2,...). Ist nun a ein beliebiger Punkt von T- %y, so gilt für die a. a. 0. durch (4) definierte Funktion f,: O fa (a) t (n==,2,..., ), daher auch für ihre obere Schranke auf %,: G (fawv) t und aus der durch (5) a. a. 0. gegebenen Definition von F, folgt: (***) F,, t, auf ganz 1. Sei wieder a ein beliebiger Punkt von 1- -2, und sei ak einer der v Punkte a1 a,..., a,, der a am nächsten liegt: r (a, ) r (a, ak). Aus (3) und (4) a. a. 0. folgt sofort: fa (ak) tk, auf die Stetigkeit von f(x, y) im 92 geschlossen werden. Vgl. H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 199. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 25

386 Die Baireschen Funktionen. mithin: (fa~ 9a) t und daher weiter: (***) Fv 4tv auf ganz 9. Durch (***) und (***) aber ist (**) bewiesen, und der Beweis von Satz I ist beendet. Satz II. Genügen die t^ in Satz I den Ungleichungen: O t_ (n =l,2,...), und ersetzt man sie durch Zahlen t' die den Ungleichungen genügen: (x) Ot ^ <-8; ~_t'< (n- l,2,...), (x) I t& - t, 1 < e; o=< tl, s, wodurch F, in F' übergehen möge'), so ist: (xx) F',,-F, <e auf ganz 92. In der Tat, habe wieder f die Bedeutung (**), und sei f' definiert auf 29 durch: f'(a,) =t (n= 12,..., ). Sowohl aus f als auch aus f' leiten wir nach (4) a. a. 0. eine Funktion fa bzw. f' her. Aus (X) folgt offenbar: I fa~ ' < auf ganz 2,. Daraus aber folgt weiter: I G(fa, 4)- G (f't, )i <E, und daraus weiter (xx), womit Satz II bewiesen ist. Satz III. Ist f eine auf X stetige Funktion, und setzt man in Satz I: tn = f (a"), so gilt auf ganz 91: f==lim F. V= 00 Beim Beweise können wir, vermöge der Schränkungstransformation, f als endlich annehmen. Sei a ein Punkt von 91. Ist e > 0 beliebig gegeben, so gibt es wegen der Stetigkeit von f ein p> 0, so daß für alle a' der Umgebung 1 (a; p) von a in 91: (0) If(a- f (a' ) < \ e. Bezeichnet wieder X, die Menge der v Punkte a., a2,..., a", so ist, 1) Hier, wie im Folgenden, bedeutet {FY} die im Beweise von Satz I aus den tn konstruierte Funktionenfolge, {F',} die in derselben Weise aus den t,' konstruierte Funktionenfolge.

Kap. V, ~ 14. Funktionen mehrerer Punkte. 387 weil die Menge der Punkte (*) dicht in W: r (a,)< ifür fast alle v. Für alle außerhalb U1(a; ) liegenden Punkte a" von f ist aber dann: r(a, a") > 3r( a, 4). Nach (3) von Kap. II, ~ 5, Satz VIII haben daher die Werte t = f(a,) die f in den außerhalb U (a; 9) gelegenen Punkten (*) annimmt, auf den Wert F, (a) gar keinen Einfluß; sie können also, ohne daß sich F,(a) irgendwie ändert, durch beliebige andere ersetzt werden, insbesondere also auch durch solche, die der Ungleichung genügen: (00) ti -f (a) < e. Wegen (0) liefern aber auch alle nach U (a; Q) fallenden Punkte (*) Werte t~, die (00) genügen. Wegen (*) von Satz I ist also: F,(a)- f(a)|<e für fast alle v. Damit aber ist Satz III bewiesen. Satz IV. Ersetzt man in Satz I die ti durch Funktionen f,(b), die stetig sind auf einer Punktmenge 58, so werden aus den F, Funktionen F,(a,b) die stetig sind auf 9X><9. In der Tat, wir haben zu beweisen: ist {aj} eine Punktfolge, a' ein Pund {} eine Punktolge, ein kt aus, und ist: lim a a'; lim b b=', k-X k-a 16 = oo ie = co so ist auch: (t) lim F, (a(, b) =- F, (a', b'). = 00oo Wir können, wie beim Beweise von Kap. II, ~ 5, Satz VIII annehmen, daß alle f,(b) der Ungleichung genügen: (t-f) ~fn(b) < 1. Ist e> 0 beliebig gegeben, so ist dann für fast alle k: If, \(b) (n 1,2,..., ), also nach Satz II auch: | F(a, bk) - F,(a, b') \ < E auf l, d. h. die Folge der F,(a,bk) (k= 1,2,...) konvergiert gleichmäßig auf SC gegen F,(a,b'). Nach Kap. IV, ~ 3, Satz III ist sie daher auch stetig konvergent in a' auf 9f, und aus Kap. IV, ~ 2, Satz IV folgt das Bestehen von (t). Damit ist Satz IV bewiesen. 25*

388 Die Baireschen Funktionen. Satz V. Ersetzt man in Satz I die t, durch Funktionen f,(b), die von höchstens a-ter Klasse auf S sind, so werden aus den F, Funktionen F,(a, b), die von höchstens a-ter Klasse auf 1X >3 sind. Die Behauptung ist nach Satz IV richtig für =0. Wir beweisen sie allgemein durch Induktion, wobei wir wieder annehmen können, die f,(b) genügen der Ungleichung (tt). Angenommen, die Behauptung sei richtig für alle a'< a. Da die f,(b) von höchstens a-ter Klasse auf S, gilt eine Darstellung: fn (b) =lim, k (b), k-=oo wo die f,k von geringerer als a-ter Klasse auf 3 sind und der Ungleichung genügen: 0 < f,k (b) 1. Ist b ein gegebener Punkt von 3, und ist e> 0 beliebig gegeben, so ist für fast alle k: fn,k(b)- f (b)< e (n 1,2,...,v). Wegen Satz II ist daher, wenn mit F,,,(a, b) die Funktion bezeichnet wird, die entsteht, wenn man bei Bildung von F,(a, b) die f,(b) durch f,,k(b) ersetzt: FV,k(a,b)- F,(a,b) < e für fast alle k; d. h. es ist: (ttt) F,(a, b) == lim,k (a,b). Nun waren die v Funktionen fn,k(b) (n=1,2,..., v) von geringerer als a-ter Klasse, höchstens etwa von c%-ter Klasse (c,<a). Nach Annahme ist aber dann auch F, k(a,b) von höchstens cc-ter Klasse auf 2 X BI. Wegen (ttt) ist daher F,,(a, b) von höchstens a-ter Klasse auf 2X><8, und Satz V ist bewiesen. Satz VI. Ist die Funktion f(a (), a(2)) für jedes a(2 aus (2) eine auf der separablen Menge 2(1) stetige Funktion von a(1), und für jedes a(X) aus W(1) eine auf 92(2) stetige Funktion von a(2>, so ist sie auf der Verbindungsmenge g(l)>X1(2) von höchstens erster Klasse. Sei in der Tat (0) (1) (()\J) U ~a(1), (),..., a(),... ein in 21(1) dichter, abzählbarer Teil von W(1). Wir setzen abkürzend: Nach Voraussetzung ist dann f (a()) setig auf (). Nach Voraussetzung ist dann f&(a(2~) stetig auf,(2)

Kap. V, ~ 14. Funktionen mehrerer Punkte. 389 Nach Satz IV1) bilden wir nun aus den f (a(2)) die Folge auf 9<(1) X><(2) stetiger Funktionen F, (a(), a(2)). Da für jedes feste a(2) die f (a(2)) die Werte in den Punkten (0) der nach Voraussetzung auf 9(1) stetigen Funktion f(a(1), a(2)) sind, ist nach Satz III: (00) lim F, (a(l), a(2)) f(a(1), a(2). y= _X Da aber F (at), a(2)) stetig auf 91 ist, so besagt (00), daß f(a(), a(2)) von höchstens erster Klasse auf 91 ist, und Satz VI ist bewiesen. Satz VII. Ist die Funktion f(a(1), a(2)) für jedes a(2) aus 9(2) eine auf der separablen Menge 29(1) stetige Funktion von a(1) und für jedes a(t) aus 9(1) als Funktion von a(2) von höchstens a-ter Klasse auf 91(2), so ist sie auf der Verbindungsmenge 9(1)><9X(2) von höchstens (a+1)-ter Klasse. In der Tat, wie beim Beweise von Satz VI gelangen wir zur Beziehung (00). Nur sind darin die F(3)(a(1), a(2)) nicht mehr stetig, sondern nach Satz V von höchstens a-ter Klasse auf 9(1) X 9[(2). Also ist zufolge (00) f(a(1), a(2)) von höchstens (a +- 1)-ter Klasse, und Satz VII ist bewiesen. Satz VIII2). Ist jede der Mengen (i) (i-=, 2,..., k) separabel, und ist die Funktion f(a(), a(2),..., a(k)) als Funktion von a(i stetig auf W(i), wenn die übrigen Punkte a(J (j+i) festgehalten werden, so ist sie als Funktion von (a(1), a(),..., a(k)) von höchstens (k- 1)-ter Klasse auf der Verbindungsmenge [(1) X /() X....X g(k). Die Behauptung ist nach Satz VI richtig für k- 2. Wir beweisen sie allgemein durch Induktion. Angenommen, sie sei richtig für k —. Wir setzen: a' (a(2), a(3),..., a(k). Dann ist die Funktion: f(ca(1), a')= f(a(1), a(2),..., a(k)) für jedes a(<) aus %9(1) als Funktion von a' von höchstens (k - 2)-ter 1) Die dort mit a und b bezeichneten Punkte sind hier a(1) bzw. a(). 2) Dieser Satz wurde (für Funktionen von k reellen Veränderlichen) zuerst bewiesen von HI. Lebesgue, Bull. sci. math. (2) 22 (1898), 284; Journ. de math. (6) 1 (1905), 201. Vgl. auch R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 87 ff.; H. Lebesgue, Bull. soc. math. 32 (1904), 234. - H. Lebesgue hat weiter bewiesen (Journ. de math. (6) 1 (1905), 202): Ist f(t) eine Funktion (k-1)-ter Klasse der reellen Veränderlichen t, so gibt es stets eine Funktion f(x1, x2... xk) von k reellen Veränderlichen, die als Funktion jeder einzelnen ihrer Veränderlichen stetig ist, und für die: f(t,t,..., t)= f (t).

390 Die Baireschen Funktionen. Klasse auf der Verbindungsmenge =' 92(2) X 2(83) X... X g(k), und für jedes a' aus 'i stetig auf 92(1) als Funktion von a(l). Also ist sie nach Satz VII als Funktion von (a(l), a') von höchstens (k - 1)-ter Klasse auf W21X 2', d. h. es ist f(a(), a2),..., a() von höchstens (k - 1)-ter Klasse auf I(1l) X f(2)X... X (k), und Satz VIII ist bewiesen. Wir kehren zurück zur Betrachtung von Funktionen f (a1), a()), die stetig sind nach aml) für jedes a(2), stetig nach a(2) für jedes a(l). Nach Satz VI ist eine solche Funktion von höchstens erster Klasse und mithin (~ 10, Satz II) punktweise unstetig'). Wir können diese Tatsache noch weiter präzisieren. Wir führen zunächst folgende Definition ein: Ist B3 ein Teil der Verbindungsmenge 2m(1) X gl), so verstehen wir unter der Projektion von 53 in A(1) die Menge aller in den Punkten (a(1), a(2)) von [3 auftretenden a('). Dann gilt: Satz IX2). Sei t(1> relativ-vollständig, 2(2) kompakt und abgeschlossen, und sei f(aMl, a(2)) stetig auf %(1) als Funktion von a() für jedes a(2) aus S2>), beschränkt und stetig auf g(2) als Funktion von a(2) für jedes a(l aus 5(1). Ist S die Menge aller Punkte (a<', a(2)), in denen die Schwankung von f auf 2x(1 x 2(2>: c (a0), a(2); f, t(1) X t(2)) > V ist (? > 0), so ist die Projektion von 53 in 21') nirgends dicht in '(l). Sei in der Tat 2(1') ein (nicht leerer) in 2(') offener Teil von 9[(1). Nach Kap. II, ~ 4, Satz IX gibt es zu jedem a(l) von '(1) ein > 0, so daß: f (a1), a'(2) - f (a(1), a(<2)) l<, wenn r (a', a"2)). 44'~~~~~ 1 Bezeichnen wir mit L,: die Menge aller Punkte von 2((1), in denen P > - gewählt werden kann, so ist: g)=^ -f+ 2,+...+^+...- * Hierin können nicht alle 6,: nirgends dicht in 91(1) sein, da sonst (I') von erster Kategorie in 59[1) wäre, entgegen Kap. I, ~ 8, Satz XVI. Es gibt also einen nicht leeren, in W(1) (und mithin in W(')) offenen Teil 91() von 2(.t) und ein 1~g, so daß n, dicht in V(D. Wir behaupten: Es ist (1) 511< C:, n,. Angenommen in der Tat, es gäbe in %(1) einen Punkt a(1), der nicht zu (, gehört. Dann gibt es in E2) zwei Punkte a'(2), a(2), so daß: { f(a(), a'(i) - f (a<(), a"(2)) >; r (a'<2), a"(2) < 1) Allgemein ist jede Funktion f(a(l), al2),..., a()), die stetig ist als Funktion jeder einzelnen ihrer Veränderlichen bei Festhaltung der übrigen, punktweise unstetig als Funktion von (a(), a2),..., a(k)). Dies wurde für k 3 gezeigt von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 95, allgemein von H. Hahn, Math. Zeitschr. 4 (1919), 306. 2) R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 94. E.B. Van Vleck, Am. Trans. 8 (1907), 200.

Kap. V, ~ 14. Funktionen mehrerer Punkte. 391 Wegen der Stetigkeit von f als Funktion von a(l) gibt es eine Umgebung U (a(1)) von a(l) in A(1), so daß auch: f (a(), a'(2))- f (a(), a"(2)) 1 > für alle a(1) von 1 (at(1). Da (, dicht in i(1), gäbe es in U (a(')) Punkte von,, was der Definition von n, widerspricht. Damit ist (1) nachgewiesen. Setzen wir noch: 1 so können wir also sagen: Ist a(ll Punkt von 9 (), so ist: (2) I f(a)', a'(2) - f (a(), a"(2)) 1 <, wenn r (a2), a(2) < 8. Sei nun (a(1),,(2)) ein beliebiger Punkt von >1(<) X f(2). Wegen der Stetigkeit von f nach a1l) gibt es eine Umgebnng lI (a')) von a(') in t(1), so daß: (3) i f(al a()-f, a(2) - f ((), a()) für alle a von U (a(l), und da (1,) offen in [(1), können wir annehmen: lt (a(1)) <.gf). Dann gilt für jedes a(l) von U1 (a()) Ungleichung (2), insbesondere gilt also, wenn a(l) zu Ul ((l)) und a(2) zu f(2) gehört: (4) I f(a(l), a()) - f(a(l), a2)) ~1 4, wenn r (a(2), a(2) < 3 Bezeichnen wir noch mit Ul ((') die Umgebung 6 von a(2) in al(2), so folgt aus (3) und (4): Für jeden Punkt (a(l), a(2)) aus 1U (C( ))X U (a(2)) ist: I f(al), a(2)) - f(a(l), a(2)) I < Infolgedessen ist die Schwankung von f auf lI (a())X U (c(2)): wo (f, u (a()) x u (a>)><, und da 11 (a() x U (ä(')) eine Umgebung von (a('), a(2) in?[(1) X (2) ist, so ist erst recht: (5) @(cl,)o(, a(2; f, [(l) X t(2)) _ u. In jedem Punkte von X('1 x (e) gilt also (5). Kein Punkt der Menge 3 von Satz IX fällt also nach 9(1) X 5(2), und daher enthält *(1) keinen Punkt der Projektion von 23 in [(1). Wir haben bewiesen: In jeder in W(()1 offenen Menge M1) gibt es eine in 2'1") offene Menge 9W(), die zur Projektion von S in f'(1) fremd ist. Das aber heißt: Die Projektion von 5 in (1') ist nirgends dicht in 9A(1), und Satz IX ist bewiesen. Satz X1). Sei (1) relativ-vollständig, C92) kompakt und abgeschlossen, und sei f(a(l), a(2) stetig auf 9(11 als Funktion von all) für jedes 2 a aus 2(2), stetig auf 2(2) als Funktion von a(2) für jedes all) aus 2(1). Dann gibt es einen in (1l' dichten Teil Du von ('1), so daß f(a(>, a(2)) in allen Punkten von 91t X > (2) stetig ist auf (1) x <X(e) als Funktion von (a(1), a(2). 1) E. B. Van Vleok, a.a.O. Vgl. auch R. Baire, a. a. 0. 27.

392 Die Baireschen Funktionen. Vermöge der Schränkungstransformation können wir f als beschränkt voraussetzen. Sei n, die Menge aller Punkte von %(1)X <(<), in denen: (a(1) a(2); f, W(1) x?()) >, 1 und sei ß,, die Projektion von n3 in 1(1). Nach Satz IX ist 9n nirgends dicht in l(1). Also ist: - 8- i -^ +^ $ + * * * + In +. ~ * von erster Kategorie in W11). Setzen wir also: so ist nach Kap. I, ~8, Satz XV m dicht in c(1). In jedem Punkte von mx 5(1) aber ist: co(a(, a(2); f, (1l) >< 2)) 0, d. h. in jedem Punkte von m x (2) ist f stetig auf X<(1' X (2). Damit ist Satz X bewiesen.

Sechstes Kapitel. Die absolut-additiven Mengenfunktionen. ~ 1. Additive und absolut-additive Mengenfunktionen. Wir haben uns bisher mit Funktionen beschäftigt, die jedem Punkte einer Punktmenge 9 eines (metrischen) Raumes 91 eine Zahl zuordnen. Wir können sie als Punktfunktionen bezeichnen, im Gegensatze zu den nun zu behandelnden Mengenfunktionen. Sei M irgendein System von Mengen. Ist jeder Menge 9 aus M eine Zahl qp (9) zugeordnet, so sagen wir, es sei in M eine Mengenfunktion definiert ). Das System M heißt ein Körper2), wenn neben je zwei Mengen 9 und S, die in M vorkommen, auch ihre Vereinigung 9 —+ 3, und - wenn 8 -<9 - auch das Komplement 9 - S3 in M vorkommt. Es kommt dann offenbar auch die leere Menge, sowie der Durchschnitt s. t je zweier Mengen aus M in M vor3). Ist M ein Körper, so heißt eine in M definierte Mengenfunktion, unter deren Werten es nicht zwei unendliche von entgegengesetzten Zeichen gibt4), additiv, wenn für je zwei fremde Mengen 9 und 9 aus M: (0) (p + -)=- (W + () Satz I. Ist die Mengenfunktion 9 additiv, und sind ihre Werte nicht durchweg unendlich5), und ist S die leere Menge, so ist: (00) (S)=0. 1) Der Begriff der Mengenfunktion stammt von H. Lebesgue, Ann. ~ic. Norm. (3) 27 (1910), 380. 2) Nach F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre 15. 8) Denn es ist: -. = 1- ((91 + 3 )- ). 4) Diese Voraussetzung wird gemacht, damit in (0) die rechte Seite stets einen Sinn habe. 6) Es sei ein für allemal festgesetzt, daß wir Mengenfunktionen, die über

394 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. In der Tat, aus (0) folgt, indem man unter A eine Menge versteht, für die p (9) endlich ist, und 3=- setzt: (9W+) ( (Ö) + 9 (), woraus weiter (00) folgt. Satz II. Ist p additiv im Körper M, und gibt es in der Menge 91 aus M einen zu M gehörigen Teil 38, für den: (*) )f (ä) = + oo (oder - o), so ist auch: (**) p (i) =+ c (bzw. = - o). In der Tat, es ist: (**) cp {) -— 9 = 99 (e) + (9 - ). Gilt nun (*), so ist nach Annahme: p (9 - 3)+- - so daß aus (***) die behauptete Gleichung (**) folgt. Satz III. Ist die nicht-negative Mengenfunktion p additiv im Körper M, so folgt aus 3-<~9: f) (~p) ( f(9i) In der Tat, aus: 9=1 3 + (91- -) folgt: f(W)=- cp ()+9(9-3) und somit, wegen die Behauptung von Satz III. Der Körper M heißt ein a-Körper1), wenn neben jeder Mengenfolge {ä,} aus M auch die Vereinigung g1 --- 42 -...++ f - *... in M vorkommt. Es kommt dann neben jeder Mengenfolge {T,} auch der Durchschnitt 9.9. -.. 9.'... in M vor. In der Tat, da M ein Körper ist, kommt der Durchschnitt je zweier, und daher auch der Durchschnitt endlich vieler Mengen aus M in M vor. Es gehören also alle Mengen:, '.^ '...' ", zu M. Nun ist aber: haupt keine endlichen Werte annehmen, von unseren Betrachtungen ausschließen. 1) F. Hausdorff, a. a.O. 23.

Kap. VI. ~ 1. Additive und absolut-additive Mengenfunktionen. 395 1~ */.. * 9 *,..... I,.- * *.....* ' ~ ~ ~ _1 - {()1 2-,)+ ( _ - ~) +... + (<,_- <+-) +..,} woraus man die Behauptung unmittelbar abliest. Ist M ein a-Körper, so kommen neben jeder Mengenfolge {gl,} auch deren obere und untere Gemeinschaftsgrenze lim 9f und lim 92, in M vor. In der Tat, setzt man: "'= 1' 00.,/ S^=^*,+1...., so ist (Einleitung ~ 1, Satz IV): lim -,...0; (*) lim ~, = - F + ', -...4*+ - +- -..., l'= 30 woraus wieder die Behauptung unmittelbar folgt. Eine in einem a-Körper M definierte additive Mengenfunktion heißt absolut-additiv1), wenn für jede Folge {Jä,} zu je zweien fremder Mengen aus M die Gleichung gilt2): ( + +...++.- +-) )+ (= ( +- (.+ P (W')+. Satz IV. Ist t absolut-additiv im a-Körper M, und ist 9 die Vereinigung der monoton wachsenden Mengenfolge {9,} aus M, so ist: (==)-lim f (~f,). v =00 In der Tat, die Behauptung folgt aus Satz II, wenn es unter den Mengen 9, eine gibt, für die q(X,,) unendlich ist. Seien also alle g?(9,,) endlich. Es ist:,= +(t - - )+...+(s- ~,,_1)+4.. 1) Diese Bezeichnung stammt von J. Radon (Wien. Ber. 122 (1913), 1299), der Begriff von H. Lebesgue, a. a. O. - Man erhält eine gute Veranschaulichung der absolut-additiven Mengenfunktionen, indem man eine solche Funktion als Massenbelegung (mit positiver und negativer Masse) deutet; ( (91) ist dabei die von der Menge 91 getragene Masse. 2) Natürlich muß in der folgenden Gleichung die rechte Seite (ebenso wie die linke) einen von der Anordnung der Summanden unabhängigen Wert haben. Bekanntlich ist das dann und nur dann der Fall, wenn sei es die Reihe der positiven, sei es die Reihe der negativen unter den 9 (92,) eigentlich konvergent ist. Im Falle, daß auch die Reihe der fq (2,) selbst eigentlich konvergiert, heißt das: die Reihe der a (2Sy) ist eigentlich konvergent, mit andern Worten: die Reihe der 9p (2f) ist eigentlich absolut-konvergent. Daher rührt auch der Name: "absolut-additive Mengenfunktion".

396 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. und mithin: 9 (t)- ( 1) + ( (2)- 9 (W)) + *** + ((, (V)- 9 (OS- )) + * * * -lim (9), wie behauptet. Satz V. Ist f absolut-additiv im a-Körper M, ist % der Durchschnitt der monoton abnehmenden Mengenfolge {(I}, und sind nicht alle 99(2) unendlich'), so ist: 99 ()-lim f (9,). In der Tat, es ist: (ttt) x= + (j - Wo) + (Ws - ) +...+ (, - 4+1) + * Wir können ohne weiteres (indem wir nötigenfalls endlich viele, weglassen) annehmen, 9 (9,) sei endlich. Dann sind nach Satz II 99 () und alle q'(Sf) endlich, und aus (ttt) folgt: 9, (t)= -9 (g1) - {(9 (,1)- (t (S2)) - ( ( 2) - 9 (3)) -+ * * + (t (9L)- 9 (i+1)) + 9.. ) - lim 9 (IV ) V=-oo wie behauptet. Wir beschränken uns nun auf nicht-negative Mengenfunktionen:;9~0. Für diese gelten die Sätze: Satz VI. Ist die nicht-negative2) Mengenfunktion P9 absolut-additiv im a-Körper M, und ist 9 die untere Gemeinschaftsgrenze der Mengenfolge {%,} aus M, so ist: 99 (%) < lim p (,,). y=- oo In der Tat, benutzen wir wieder die Bezeichnungsweise (t), so ist nach (tt): ~) Dieser Zusatz kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei ) eine nicht abgeschlossene Punktmenge und (91) die Anzahl der Punkte von 91.9S. Ist a ein Punkt von 91~-9 J und 9v = 1 (a; 1), so ist (V)= + ~, (1. - -.......) = 0. 9) Diese Einschränkung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei M die Gesamtheit aller Borelschen Mengen des 11 und 9p der negativ genommene lineare Inhalt (~ 8). Ist dann g2y_x das Intervall [0, 1] und %2v das Intervall [- 1, 0], so besteht 91 nur aus dem Punkte 0, und es ist: -T 1 =-i (KW ==0.

Kap. VI, ~ 1. Additive und absolut-additive Mengenfunktionen. 397 und mithin nach Satz IV: (t) ==lim f (,). Da %, >-, und p nicht-negativ, ist nach Satz III: f () f (v) p und mithin: 9p () =lim t (p)) m - (,)l im () im (pV), Y==cf VOO wie behauptet. Satz VII. Ist die nicht-negative Mengenfunktion p absolut-additiv im a-Körper M, und ist {9,} eine Folge von Mengen aus M, für deren Vereinigung fp (91 — -2*-...- '. *.) endlich ist1), so gilt für die obere Gemeinschaftsgrenze? von {'}: (9) > im r (W9,). In der Tat, nach (tt) ist: =-1 * 2 * 1.... '. Sv'.. Wegen: ist p (pv) endlich (Satz II), und es ist daher nach Satz V:, (9) lim q (S). Da 9,,- <% und qg nicht-negativ, ist: 47 ($y)~ > f (xv) und mithin: f (t) = lim f (Lv) = lim f (L,) > lim 5P (g/), vy=or y=W=o Y=o wie behauptet. Wir beweisen endlich noch einen Satz, der die Sätze IV und V als Spezialfälle enthält: Satz VIII. Ist die nicht-negative2) Mengenfunktion p absolut-additiv im a-Körper M, und ist {(}, eine kon1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei M die Gesamtheit der Borelschen Mengen des I9 und p der lineare Inhalt; ist dann KY das Intervall [v, -+ 1], so konvergiert {(9} gegen die leere Menge 2, es ist also auch 91-== und mithin (),)= =i; (w)= 0. 2) Der Satz gilt auch ohne diese Einschränkung: ~ 2, Satz XVII.

398 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. vergente Folge von Mengen aus M, für deren Vereinigung 9p(g1,+12+...+4 —t+.) endlich istl), so gilt für die Gemeinschaftsgrenze 9=- lim 2v,: v= co (x) 5 (9)-lim 9 (S9). In der Tat, setzen wir wieder: lim,- =-g, iim 2 ---, so ist: und mithin auch:. (5i)=9 (2)= =9 (W(). Nach Satz VI und VII ist daher: lim f (9/2) ) 99 (2)~ lim 9 (9y) Iv=CO yv=C und somit: lim 9g (p,,) =lim T9 (,)-= 9 (tI), womit (X) bewiesen ist. Sei wieder 99 eine nicht-negative, im a-Körper M absolut-additive Mengenfunktion. Ist 21 eine Menge aus M, für die 9 (W) =0, so wollen wir jeden Teil von 91 (gleichgültig ob er zu M gehört oder nicht) eine Nullmenge für 99 nennen. Die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen ist dann offenbar wieder eine Nullmenge, denn ist: wv< g,, f( )=0, so ist auch: + *... + +...< + + -..* +... 9 (l 2 + * **+. + * *)= o. Betrachten wir nun die sämtlichen Mengen: (xx) = (t + a')- 1" wo 91 eine beliebige Menge aus M, und 9', 91" Nullmengen für 99 bedeuten (91" -<2A). Offenbar bilden auch diese Mengen einen 1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel von Fußn. 1), S. 397.

Kap. VI, ~ 2. Positivfunktion, lNegativfunktion, Absolutfunktion. 399 o-Körper, den wir als den erweiterten o-Körper M bezeichnen wollen. Erweitern wir nun die Definition von 5p auf M durch: (xxx) <( )='(), so ist f9 offenbar auch in M absolut-additiv, und wir haben: Satz IX. Ist die nicht-negative Mengenfunktion p9 absolut-additiv im o-Körper M, und bilden wir den erweiterten u-Körper M aller Mengen (XX), so ist die durch (XXX) auf M erweiterte Mengenfunktion f9 auch absolut-additiv in M. ~ 2. Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion. Sei {(g} eine (endliche oder unendliche) Folge zu je zweien fremder Mengen aus dem a-Körper M. Wir sagen: die 9, bilden eine Zerlegung Z der Menge 9 aus M, wenn: (0) - = + +- + +.... Eine zweite Zerlegung Z' von 9: = t- +2 +. + +.... heißt eine Unterzerlegung von Z, wenn jede Menge X' Teil einer Menge is, ist. Sei fp eine im a-Körper M absolut-additive Mengenfunktion, sei 2f eine Menge aus M, und sei durch (0) die Zerlegung Z von 2 gegeben. Wir setzen: wenn p( f") 0 ion ( _) = <^)(o (,) = 0 wenn (Ws) < O (00).(~((00) fAJ0 wenn 99(9I,,) > 0 () -- \pQ(SP)I wenn 9(9Sv)<0 und bilden die Summen: Op () = (Z;v vz f (, ) (~) A~(Z)=~ ( (Z). Dann ist offenbar: (o00) A(Z)=P(Z)+N(Z); p()=P(Z) - N(Z). Satz I. Ist Z' Unterzerlegung von Z, so ist: P(Z') > P(Z); N(Z') > N(Z); A(Z') > A(Z). Es wird genügen, die erste dieser Ungleichungen zu beweisen; denn die zweite beweist man ebenso, und die dritte folgt dann aus (000).

400 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Da Z' Unterzerlegung von Z, ist jede Menge, von Z' Teil einer Menge Wy von Z. Bezeichnen wir alle 7," die Teile von 7, sind, mit 79,a, so ist: (*) == S WV, A; t=S t, A A V, A Wegen der zweiten, dieser Beziehungen ist: (**) P (Z') =2 (L, A) 2 (2 f ( v, A)) v,i l v A Wir behaupten: Hierin ist + (S-,A) >(SX). Dies ist nach (00) trivial, wenn 9q(tQ)< 0, da dann (2v)==0. Ist hingegen 9 (S,) > 0 und mithin: f)= (gv) - ), so folgt aus der ersten Beziehung (*): ()-f(~t) = 9(Wv, A) _ 9(Luv, A) Z 99 AGA Mithin ist wegen (**): P(Z)=> (w) ~ 2 C2 (," )~ P (Z), v;v A womit Satz I bewiesen ist. Sei nun 9 eine in M absolut-additive Mengenfunktion, 7 eine Menge aus M. Zu jeder Zerlegung Z von 2f bilden wir die Summen P(Z), N(Z), A(Z). Die obere Schranke aller dieser Summen') P(Z) nennen wir den positiven Teil von f0 auf 7 und bezeichnen sie mit zn(, 1); die obere Schranke der N(Z) nennen wir den negativen Teil von fp auf 7 und bezeichnen sie mit v(Q, W); die obere Schranke der A(Z) nennen wir die absolute Summe2) von (p auf 91 und bezeichnen sie miit a(9, A9). Jede der drei Zahlen n (99, 1 9), v (9 (, ) (, a ) ist > 0. Aus dieser Definition folgt unmittelbar: Satz II. Ist die in M absolut-additive Mengenfunktion 9p nicht-negativ für alle 1 von M, so ist: 1) Man erhält dieselbe obere Schranke, wenn man nur die Zerlegungen Z von 9 in endlich viele Summanden in Betracht zieht. 2) Vgl. hierzu H. Lebesgue, Ann. ic. Norm. (3) 27 (1910), 380ff. J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913), 1299ff. Bei Lebesgue und Radon wird sie als Variation bezeichnet. Wir vermeiden diesen Ausdruck, weil wir sonst in Kollision mit dem eingebürgerten Ausdrucke "Variation einer Funktion einer Veränderlichen" kämen. Vgl. Kap. VII, ~ 5, S. 496.

Kap. VI, ~ 2. Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion. 401 a(t(9), ' = (, )= (=); v (,5)=O0; ist sie nicht-positiv für alle % von M, so ist:,((,,)= V (t, )= - (); (t,,)= 0. Satz III. Aus 83 -<E folgt, wenn 51 und 3 zu M gehören: - V (,5 W)__ - (0)__ ( 7 (, 5). In der Tat, durch - 5=3 4- (2 - ( 3) ist eine Zerlegung Z von 9/ gegeben, und es ist: (e) < (9) P(Z) < (, < ), womit die eine Hälfte der Behauptung bewiesen ist. Analog beweist man die andere Hälfte. Satz IV. In jeder Menge 51 aus M gibt es zu M gehörige Teile 9I' und 92", so daß: 7(p, 5) = f (5'); v (q, ) = _ p(w"). Es wird genügen, die erste Hälfte dieser Behauptung zu beweisen. Dabei können wir immer annehmen, für jeden (zu M gehörigen) Teil 5 von 2 sei: (1)9() < + oo. In der Tat, wegen (Satz III): ist dies sicher der Fall, wenn n (9p, X) endlich. Ist hingegen (99, ) ==+ —oo, und gäbe es in 9f einen Teil 3, für den auch p ( )-= — oo, so wäre die Behauptung von Satz IV schon bewiesen. Zufolge der Definition von r(qC, 92) gibt es eine Zerlegungsfolge {Z,} von 51, so daß: (2) lim P(Z,;) = (99, ). v= o Dabei können wir immer annehmen, es sei Z, + Unterzerlegung von Z,; denn wäre dies nicht der Fall, so hätten wir nur, wenn Z, und Z,,+1 gegeben sind durch: t=S T,; s wi( +) die Zerlegung Z,+l zu ersetzen durch: -= S 9().("+1) 5l=S<*</ ~ ~+,' M, yG~ Ist nun (für jedes v) Z"+l Unterzerlegung von Z,, so kann die Zerlegung Z, geschrieben werden: Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 26

402 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. ft ' "C1S 2 * * * " t." [t Yt2.. ~ 4t wobei: Mo,) s_ 9(,v+l),tit, g.....,,V -- 0 l,,,2' 2/ 9 r Bezeichnen wir nun mit S2' die Vereinigung aller jener?u 2z,./.."u für welche > 0 ist, so ist offenbar: /1,/,2,..., /zv P(ZV) 99 (.4tt P2.tl, ) 9f) Wir bilden nun die untere Gemeinschaftsgrenze: 9'=lim 2t'. Setzen wir: (4) \ n so ist: (5) '= 4-t + +-... +- -,... Nun ist offenbar'): p(tV,",l) __> ~(~, +), also, da ',o= 9' ist (bei Beachtung von (3)): (6) (,a) ) ) P(Z) > 0. Wegen (1) sind aber alle (p(9I,,) endlich. Nach ~ 1, Satz V folgt also aus (4) und (6): (7) (pW = lim 99 (',,) _ P(Z). t =_ Aus (5) folgt nach ~ 1, Satz IV:? (') =lim (9')?, = 00 und mithin wegen (7) und (2): - _(_') ~ r(z, Q), 1) In der Tat, es ist: -,, =v) ( ',,tz+ ) + g (~', -C, +3) Hierin ist SV, - - l,,+ die Vereinigung aller in S9 2 enthaltenen 9 2. +?'+,l) von Z,++ für die: ~.1,,, A,.. + + 1 Wr(+ iiq 1- 1) u n1 22 i..g. ede+ is und infolgedessen ist: 97(S<, ~G- ,+ ) io.

Kap. VI, ~ 2. Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion. 403 also -nach Satz III: ~(~')_=- ~,(<, ~). Damit ist Satz IV bewiesen. Satz IV kann auch so ausgesprochen werden: Satz IYa. Unter den Werten, die fq für die zu M gehörigen Teile von SI annimmt, gibt es einen größten 99(I') und einen kleinsten (l5"), und zwar ist: 9 ()= = ) (f, ); f (9")=- v (t, ). Satz V. Ist 9p absolut-additiv im a-Körper M, so ist für jede Menge 9f aus M mindestens eine der beiden Zahlen n (9, 9f) und Q (99, 9) endlich. In der Tat, andernfalls gäbe es in M zufolge Satz IV zwei Mengen 59' und 5", für die Tp entgegengesetzt unendliche Werte annimmt, was wir ein für allemal ausgeschlossen haben. Satz VI. Sind 91 und T9 zwei in M absolut-additive Mengenfunktionen, die für keine Mengen aus M entgegengesetzt unendliche Werte annehmen, so ist: (91 + 992, ) t )-( 1, x) + V(92, ); a(9 + 92, ) ) ~ ( 1, ) + (99, X); Es wird genügen, die erste dieser Ungleichungen zu beweisen. Seien 1, 2,, solche (zu M gehörige) Teile von 9, für die p1, 9, 99 -99 -ihren größten Wert annehmen (Satz IVa). Dann ist: (91'() ~ 9(91 ) = n (91) 9); 9 '( ) 992(2) - ^ (992 9), also: (991 + 9 t1) 991(SW1) + 992 (9{ ) ~ (991, 9) + a (992, 91), wie behauptet. Satz VII. Ist 9' absolut-additiv im a-Körper M, so ist auch jede der drei in M definierten Mengenfunktionen (7, A), v(p, 9), a(99, 91) absolut-additiv in M. Es geniigt wieder, dies für.(X, IX) nachzuweisen. Wir haben zu zeigen: ist {i,.} eine Folge zu je zweien fremder Mengen aus M, und ist: so ist: (*) s (t), ) ~= (?, 1) + ' (9, %2) +... +n (t, ) +-.... Nach Satz IV gibt es in 91 und 91 Teile 1' bzw. 1i, so daß: (')= n (t ); f(5) = (t, ) 26* 26*

404 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. und es ist daher nach Satz III: (**) ^ (9, 9) =-: (Lu) = ( 9 + 2 +. + i..) < i (, ^ )* v v Andererseits ist: - =-W,9 '4+ 9Wat' +... + qui +..., also, wieder mit Benutzung von Satz III: (***) n (p, A) = (W') =E f (99') 9 _ — E (p, c )' Durch (**) und (***) aber ist (*) und somit Satz VII bewiesen. Wir bezeichnen die drei in M absolut-additiven Mengenfunktionen p(99,9), (99,9), a(p,92) als die zu 99 gehörige Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion. Da sie nichtnegativ sind, gilt (~ 1, Satz III): Satz VIII. Gehören 91 und e3 zu M, und ist e-<9T, so ist: ~(?, ) < ~(, x); v(), () _<'(, (X); c((, )) <a(9, W). Satz IX. Ist g absolut-additiv im o-Körper M, so kann jede Menge 91 aus M zerlegt werden in zwei fremde (in M vorkommende) Teile: (1) = _ ' + '", so daß: (2) (7t(, 9)=(Q, 1), ')= ('); v(Q, 9') =0; (3) (D=, ") 0; ((P, f)=r((, ",-)= - (t"). In der Tat, nach Satz V ist mindestens eine der beiden Zahlen n (P, 91), v(99, 9) endlich, z. B. n (99, 91). Nach Satz IV gibt es einen Teil 91' von 9, so daß: (4) ' (p, ~)= 9(W). Da nach Satz III und VIII:..(~)( <(,,9') < (,, 9), folgt aus (4) die erste Gleichung (2). Wäre nun: (5) v (, ')>0, so gäbe es nach Satz IV in 9' einen Teil 93', so daß: 9(93') =- v(p, 9') <0. Aus: (9 (1') = 9 (3') + t (9' - ') würde dann folgen: (p^ - ') > p(91' n T(9,91',

Kap. VI, ~ 2. Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion. 405 entgegen Satz III. Also ist (5) unmöglich, und die zweite Gleichung (2) ist bewiesen. Aus: n(p, f)=-, (t, ') + (, ( ") folgt vermöge der ersten Gleichung (2) die erste Gleichung (3). Ebenso folgt aus: v(p, -)= (, S9' + v (, '") vermöge der zweiten Gleichung (2): (6) v (e, ~)== (f, t"). Wäre nun: (7) Cp(1") > - (, 2"), so gäbe es nach Satz IV in 1" einen Teil Q3", so daß: (D")= -- (~, 9-t). Aus: (2") = f (p") + (t" - ") würde dann folgen: (" - Sl") > 0, was wegen Satz III in Widerspruch steht mit der ersten Gleichung (3). Also ist (7) unmöglich, und wegen Satz III ist: (8) 99 (%") =- -v(, 2".). Durch (6) und (8) aber ist auch die zweite Gleichung (3) bewiesen, und der Beweis von Satz IX ist beendet. Satz X. In der Bezeichnungsweise von Satz IX gilt für jeden zu M gehörigen Teil 3' von A2' und für jeden zu M gehörigen Teil 23" von 2": (t) In der Tat, nach (S') > 0; 9 (2")< 0. In der Tat, nach Satz IX ist: v(Q, 21')=; r(p, 2") 0, mithin nach Satz VIII auch: (p, S3')=0; 2(p, 33") 0. Also folgt (t) aus Satz III. Satz XI. Ist 99 absolut-additiv im a-Körper M, so ist für jede Menge 21 aus M: a(f', X) )= 7z(, 2)+v(, 1). In der Tat, für jede Zerlegung Z von 29 ist: A (Z) P(Z) -+ N(Z),

406 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. also, da ac,:, v die oberen Schranken der A(Z), P(Z), N(Z) sind: (tt) a(~, ) _ ~(~, ~) + v(), )0. Bedeutet Z die Zerlegung (1) von Satz IX, so ist: A(Z) = )t + ( f ) =( ') ++ )(") i (, ') '(, " = ~(, ) 4+ (, 9)Also ist: (ttt) c (Ei, g) _> (t, t) + "(W, Um). Aus (tt) und (ttt) aber folgt die Behauptung von Satz XI1). Wir ziehen aus Satz XI zwei einfache Folgerungen: Satz XII. Ist g absolut-additiv im o-Körper M, so sind für jede Menge St aus M, für die p(S9) endlich ist, auch n(9p, 9f), r(Qp, (), C(q), ) endlich. In der Tat, für rn(p, 2), v(p, 2) folgt dies aus Satz IV zusammen mit ~ 1, Satz II; für a(cQ, 2S) sodann aus Satz XI. Satz XIII. Aus 33-<S9 folgt:. p('~) I 0<, (~, Z ). Dies folgt unmittelbar aus Satz III und Satz XI. Satz XIV. Ist tp absolut-additiv im a-Körper M, so ist für jede Menge 2 aus M: (x) <()= (~, ~) -,'(, ). In der Tat, für die Zerlegung (1) von Satz IX gilt: ( (X) = (t') + ( ")= (, ) - A P(, 2), und Satz XIV ist bewiesen ). In Satz XIV ist die Aussage enthalten: Satz XV. Jede im o-Körper M absolut-additive Mengenfunktion ist Differenz zweier nicht-negativer, in M absolut additiver Mengenfunktionen, von denen mindestens eine endlich ist. Unter allen möglichen Darstellungen von 99 als Differenz zweier nicht-negativer Mengenfunktionen ist die Darstellung (X) ausgezeichnet durch folgende Eigenschaft: 1) Sie kann auch unmittelbar aus der Definition von oc, n, v als obere Schranken aller A(Z), P(Z), N(Z) abgelesen werden; vgl. den Beweis von Kap. VII, ~ 4, Satz II. 2) Satz XIV folgt auch unmittelbar aus der Definition von oc, Er, v zusammen mit Satz V; vgl. den Beweis von Kap. VII, ~ 5, Satz VIII.

Kap. VI, ~ 2. Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion. 407 Satz XVI. Jedes Paar in M absolut-additiver, nichtnegativer Mengenfunktionen 91 und 92, die für keine Menge aus M beide = ---oo sind, und für die: 9 — 9 1 p2, genügt (für alle 9 aus M) den beiden Ungleichungen: ~91 (<O) >, ); 92(O) >V (, x). In der Tat, wäre für ein 92 aus M etwa: 1 () < z(99, 2), so müßte, wegen des Bestehens der beiden Gleichungen: 99(W=) 91 (W)- 92(W); 9(t) =(9, tf) - v(, t,) auch: 92 (W)< (99t,,) sein. Nach Satz XI wäre also: (XX) 91 (t0 + 992 (t )< a (t, ). Da aber t9 und 992 nicht-negativ sind, ist (Satz II): 5 )1 ( a (9p, 9X); 52(9 )=a (-_ t, ). Es könnte also (XX) auch geschrieben werden: a(99l, 1) +.(- 92, t) < a (91 - 9, ), im Widerspruche mit Satz VI. Damit ist Satz XVI bewiesen. Nunmehr können wir in ~ 1, Satz VIII die Voraussetzung, cp sei nicht-negativ, tilgen: Satz XVII. Ist 9p absolut-additiv im o-Körper M, und ist 9 die Gemeinschaftsgrenze der konvergenten Mengenfolge {92l} aus M, so ist, wenn alle,, Teile einer Menge 2J aus M von endlichem 99(9)) sind: 9(9X) )= lim g(9X,). v' =,~ In der Tat, nach Satz XII sind n (c, U) und v (p, 1) endlich, aus ~ 1, Satz VIII folgt daher: lim v (99, 9v) = v (99, 2), limV folgt die Behauptung)= (9, ),, = 00oo und aus Satz XIV folgt die Behauptung.

408 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. ~ 3. Stetige und unstetige Mengenfunktionen. Sei wieder M ein System von Punktmengen eines metrischen Raumes 9S. Ist a ein Punkt von 9S, so bezeichnen wir die Punktmenge, deren einziges Element a ist, mit ra. Wir wollen nun annehmen: Ist a Punkt einer Menge aus M, so gehört auch die Menge Ha zu M. Sei nun qg eine in M definierte Mengenfunktion. Ist (0) (a,)=0, so heißt a ein Stetigkeitspunkt von fp, ist f9 (a) + o, so heißt a ein Unstetigkeitspunkt von fq. Gilt (0) für alle @a aus M, so heißt 99 stetig in M1). Satz I. Damit die im G-Körper M absolut-additive Mengenfunktion (p stetig sei in M, ist notwendig und hinreichend, daß ihre Absolutfunktion a(99) stetig sei in M. In der Tat, für jede Menge (a ist: 159 (d~a) I ' --- ~ (99' (~a) Satz II. Damit die im o-Körper M absolut-additive Mengenfunktion 99 stetig sei in M, ist notwendig und hinreichend, daß sowohl ihre Positivfunktion 7(z(f) als ihre Negativfunktion v(9p) stetig seien in M. In der Tat, ist p (a)-, so auch: - (f, e(a) — 0, ' ((, (a) = 0. Ist p (a) + 0, so ist ^t (t, a)= f (ea) oder Y (9, a)=-9 (~a) je nachdem (9(a)>0 oder <0. Also ist sei es r(9Q9,a), sei es v (99, () += 0 und mithin unstetig in a. Satz III. Jede im o-Körper M absolut-additive und stetige Mengenfunktion ist Differenz zweier nicht negativer, in M absolut-additiver und stetiger Mengenfunktionen, von denen mindestens eine endlich ist. In der Tat, dies ist vermöge Satz II eine unmittelbare Folgerung aus ~ 2, Satz XIV und V. Satz IV. Ist fp eine im o-Körper M absolut-additive 1) Vgl. hierzu J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913), 1320.

Kap. VI, ~ 3. Stetige und unstetige Mengenfunktionen. 409 und endliche') Mengenfunktion, und ist a Stetigkeitspunkt von 99, so gibt es zu jedem E>0 eine Umgebung U(a), so daß für jede in U(a) liegende Menge 9 aus M: (00) a (q, f)<. Angenommen in der Tat, dies wäre nicht der Fall. Dann gibt es ein e > 0 und für jedes n in 11 (a;) eine Menge 9In aus M, so daß: a (, >n). Dabei kann angenommen werden, es enthalte An, den Punkt a; denn andernfalls ersetze man Wn durch die Menge X:n = 91, + -a, für die ja (~ 2, Satz VIII) a (<), ) a (9, nf1) (> ) gilt. Setzen wir: -n= wn+ + -..., so ist nun auch (~ 2, Satz VIII): (000) a (9p, n) ) e für alle n. Wegen: (a-<( < (a;nist: (,a= — l * 2 ' *E... E, ~2 ~ ~und mithin nach ~ 1, Satz V: a (F), na)- lim a (99, 8,). Aus (000) folgt also: d. h. (Satz ) a ist Unstetigkeitspunkt von 99. Damit ist Satz IV bewiesen. Da stets: I 9 (W) I <a(9, ), können wir noch hinzufügen: Satz V. In Satz IV kann (00) ersetzt werden durch: _______ 9p\ () 1 <e. 1) Diese Einschränkung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei S irgendeine nicht abgeschlossene Menge und 99 (9) die Anzahl der Punkte von fl S-. Jeder Punkt a von 9Wo - D ist dann Stetigkeitspunkt von 97, während es in jeder Umgebung U (a) Mengen 2I gibt, für die 9 (9) =-+- oo.

410 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Satz I. Ist q9 absolut-additiv und stetig in M, so ist füir jede abzählbare Menge W aus M: (9)=0; a((, 9)=0; n((,I)=-o; v(W, W) )=o. Bestehe in der Tat W aus den Punkten ac, a., al,..., d. h.: (000) w-a + a2o * + ea + ** (OoO) 'Jz = e, 5- ~ 5+...4 +~, +... Da 99 stetig, ist: (F a)=o; C(T ( a,)= 0;. (f, (a,)=; V(, a) =o.. Wegen (0~0) ist: n n ~T (5,~ =(, ) E 2; (, a); (9, ), womit i inlick auf () Stz VI bewieen ist. womit im Hinblick auf (0O0) Satz VI bewiesen ist. Satz VII. Ist p absolut-additiv und p (2W) endlich, so gibt es für jedes p>O in Sf nur endlich viele Unstetigkeitspunkte von 9, für die: (*) J( (Ua)> i In der Tat, gäbe es in 2 unendlich viele Unstetigkeitspunkte von 9, für die (*) gilt, so gäbe es ihrer auch unendlich viele - etwa aC, a,..., a,... - für die (p (fen) einerlei Zeichen hat, z.B. das positive: Ist dann W die abzählbare Menge al, a,..., a,..., so ist 99 (1) =+- o, und da 9-< 92, nach ~ 1, Satz II auch 99 (9) = — + o, entgegen der Annahme. Damit ist Satz VII bewiesen. Satz VIII. Ist 99 absolut-additiv und 9p(W) endlich, so gibt es in 91 nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte von cp. In der Tat, die Menge aller Unstetigkeitspunkte von q9 in 9X ist die Vereinigung der Mengen S9 ( =1, 2,...) derjenigen Unstetigkeitspunkte von 99 in 1, für die: Da nach Satz VII jede Menge endlich ist, so ist ihre Vereinigung Da nach Satz VII I ist bewies endlich ist, so ist ihre Vereinigung abzählbar, und Satz VIII ist bewiesen.

Kap. VI, ~ 3. Stetige und unstetige Mengenfunktionen. 411 Sei nun 92 eine beliebige Menge aus M. Wir bilden die obere Schranke ni der Werte n (p, '3) und die obere Schranke v der Werte (99, 2) für alle zu M gehörigen Teile 3 von 21, die keinen Unstetigkeitspunkt von q9 enthalten. Es gibt dann zwei Folgen {$9} und {93n} solcher Teile, für die: lim n (99, nq) = T; lim.v (99, ) = ' n-=O0 n Zo= o Setzen wir nun: e t= + l + 32 + S32 + * - n r 2n + -..., so ist offenbar: 7(9,W)= a; v(,))= v. Es gibt also in 21 zu M gehörende Teile, die keinen Unstetigkeitspunkt von 99 enthalten, und für die Positiv- und Negativfunktion von p gleich sind den oberen Schranken 7 und v. Jeden solchen Teil von [t nennen wir einen Stetigkeitsteil 2* von 21). Nach ~ 2, Satz V ist mindestens eine der beiden Zahlen n und v endlich. Ganz ebenso sehen wir: Sind n und v die oberen Schranken von n (cp, () und v(p, () für alle zu M gehörigen, nur aus Unstetigkeitspunkten von g bestehenden Teile (E von 2, so gibt es unter diesen Teilen solche, für die Positiv- und Negativfunktion von 99 gleich sind den oberen Schranken n und v. Jeden solchen Teil von 2S nennen wir einen Unstetigkeitsteil W** von 921). Wieder ist mindestens eine der beiden Zahlen n und v endlich. Satz IX. Ist g (9X) endlich, so ist die Menge 91 aller Unstetigkeitspunkte von 99 in 2 der einzige Unstetigkeitsteil W[** von 21, und es ist8) 91- 91 ein Stetigkeitsteil von 2. Seien in der Tat a,, ao,..., a,..'. die abzählbar vielen Punkte von W. Dann ist: 9= + +.. +.+ +. und gehört, als Vereinigung abzählbar vieler Mengen aus M, selbst zum o-Körper M. Nach Definition ist jeder Unstetigkeitsteil 21** Teil von 91. Jeder echte Teil (E von 9 enthält aber mindestens einen Unstetigkeitspunkt nicht, es gilt also für ihn mindestens eine 1) Besteht S1 nur aus Unstetigkeitspunkten, so ist = = v =0, und wir verstehen unter 2I* die leere Menge. 2) Enthält 21 keinen Unstetigkeitspunkt, so ist ~= —=-=0, und wir verstehen unter W[** die leere Menge. 3) Dieser Teil der Behauptung gilt stets, wenn W zu M gehört, insbesondere also immer dann, wenn 91 abzählbar ist, gleichgültig ob 9p (2) endlich ist oder nicht.

412 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. der beiden Ungleichungen: (,) (, 9, ); < V (9, ) < ) (<, 9), so daß er nicht Unstetigkeitsteil sein kann. Also ist notwendig A9** =9 wie behauptet. Da aber W zu M gehört, so auch 9 - W.. Jeder Stetigkeitsteil von 91 ist notwendig Teil von 91 —9, und da für jeden Teil Q von 91 —: a (9, 9) < (, -- ); (,, )() =(, - 9), so ist 91-91 selbst ein Stetigkeitsteil 91*. Damit ist Satz IX bewiesen. Für alle Stetigkeitsteile 9l* und für alle Unstetigkeitsteile 91** von 91 ist (wenn n, v, ~, 7 dieselbe Bedeutung haben wie oben): (f9, 9*)=-, v(t,9 *) —; (t,9**)=-, * (t,9 **)- = und mithin (~ 2, Satz XIV): f(S*))= - Y; (99(*)= —. Wir können also in M zwei Mengenfunktionen p9*(9l) und ** (1) definieren durch: f* (9) = (*), 99** (91) = (,**), wo 91* irgendeinen Stetigkeitsteil, 91** irgendeinen Unstetigkeitsteil von 91 bedeutet. Wir nennen 99*(91) die Stetigkeitsfunktion, 9**(91) die Unstetigkeitsfunktion von 9 und behaupten: Satz X. Stetigkeitsfunktion und Unstetigkeitsfunktion einer in M absolut-additiven Mengenfunktion sind absolutadditiv in M. Gemäß der Definition von 99* und 99** genügt es, nachzuweisen: Ist {91)} eine Folge zu je zweien fremder Mengen aus M, und ist: = + 2,+... +..., so sind, wenn 91/ und 9/*' Stetigkeits- und Unstetigkeitsteile von 91/ sind: (t) fl* —; + - +...- + *..., * *= n*-k I + * +. * * * + **... Stetigkeits- und Unstetigkeitsteile von 91. In der Tat, wäre die durch (t) gegebene Menge 91* nicht Stetigkeitsteil von 91, so gäbe es in 91 einen zu M gehörigen, keinen Unstetigkeitspunkt enthaltenden Teil 23, für den wenigstens eine der beiden Ungleichungen gilt: n c(99, ) > n cp, 91*); v (99, ) > v (C,*).

Kap. VI, ~ 3. Stetige und unstetige Mengenfunktionen. 413 Setzen wir: n= - - An.91f,, so muß also für mindestens ein n wenigstens eine der beiden Ungleichungen gelten: ä( J), ~)>((p, O ); Y(J, ~)>t,(, ~), ~ entgegen der Annahme, 9f1 sei Stetigkeitsteil von 912. Ebenso beweist man, daß die durch (t) gegebene Menge W9** Unstetigkeitsteil von 91 ist, und Satz X. ist bewiesen. Aus der Definition von 99* folgt unmittelbar: Satz XI. Die Stetigkeitsfunktion einer absolut-additiven Mengenfunktion ist stetig. Wir nennen eine in M absolut-additive Mengenfunktion ip reinunstetig in 91, wenn für jeden zu M gehörigen Teil e3 von 91, der keinen Unstetigkeitspunkt von ip enthält: Y (9) = 0 ist. Die Funktion Vi heißt rein-unstetig (in M), wenn sie in jeder Menge 9 aus M rein-unstetig ist. Aus der Definition von 99** folgt sofort: Satz XII. Die Unstetigkeitsfunktion einer absolut-additiven Mengenfunktion ist rein-unstetig. In der Tat, enthält 91 keinen Unstetigkeitspunkt, so ist der Unstetigkeitsteil 91* leer, und mithin (~ 1, Satz I): q* (9) = (9**) 0. Damit ist Satz XII bewiesen. Wir können nun Satz VII ergänzen durch die Bemerkung: Satz XIII. Ist q~ absolut-additiv und 99**(91) endlich, so gibt es für jedes p>O in 91 nur endlich viele Unstetigkeitspunkte von fp, für die: (*) [~ ()a)lP> In der Tat, gäbe es in 91 unendlich viele Unstetigkeitspunkte von Sp, für die (*) gilt, so gäbe es ihrer auch unendlich viele - etwa a,, a2,..., a,... - für die 99 ((a) einerlei Zeichen hat, z. B. das positive. Für die abzählbare Menge 9 der Punkte a, a,..., a,... ist dann: (99,)= + c. Mithin ist die obere Schranke z, die bei Definition von 99** auftrat, = - Co. Da mindestens eine der beiden Zahlen =r, v endlich ist,

414 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. ist also v endlich, und mithin: ** (W)= z-Y= + c entgegen der Annahme. Damit ist Satz XIII bewiesen. So wie Satz VIII aus Satz VII folgt daraus: Satz XIV. Ist 99 absolut-additiv und 9**(?9) endlich, so gibt es in 91 nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte von -1. Satz XV. Jede absolut-additive Mengenfunktion ist Summe ihrer Stetigkeits- und ihrer Unstetigkeitsfunktion: (-1-) 9 * + -99**, und mithin (Satz XI und XII) Summe einer stetigen und einer rein-unstetigen Mengenfunktion. In der Tat, ist 9**(9W) unendlich, so ist wegen: f** (1) - 9 (g**) nach ~ 1, Satz II auch p (9l) unendlich vom selben Zeichen, so daß in dem Falle (J) bewiesen ist. Sei sodann ** (92) endlich. Nach Satz XIV gibt es dann in 91 nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte. Nach Satz IX1) können dann Stetigkeits- und Unstetigkeitsteil 29* und 1** von 21 so gewählt werden, daß: fl, —* +* ** Dann aber ist: 99 () -= 9 (f9*) cp (9**) = 99* (21) ^** (21), und Satz XV ist damit in allen Fällen bewiesen. Satz XVI. Ist die absolut-additive Mengenfunktion qp endlich, so gibt es außer der Zerlegung (t) von Satz XV keine andre Zerlegung von 9p in zwei endliche, absolutadditive Summanden, von denen der eine stetig, der andre rein-unstetig ist. Sei in der Tat: (tt) 99 ft+932 wo p1 stetig, und c92 rein-unstetig. Ist 21 eine beliebige Menge aus M, so ist nach Satz IX die Menge aller Unstetigkeitspunkte von 92 zugleich Unstetigkeitsteil 92** von 21, und als Stetigkeitsteil 9W* kann gewählt werden: (tt) * == 9 - **. Da 99 stetig ist und 9** abzählbar, ist nach Satz VI:._____9 Mi (S*t*)= 0. 1) Man beachte Fußn. 3) zu Satz IX.

Kap. VI, ~ 3. Stetige und unstetige Mengenfunktionen. 415 Wegen (tt-) ist daher weiter: (ttt) 91 (WI*)=91 (I) - 91 (**)w 1 () Da 991 stetig, ist jeder Unstetigkeitspunkt von 992 auch Unstetigkeitspunkt von 9, es ist also 9f* frei von Unstetigkeitspunkten von 992, und da 99 rein-unstetig, ist: (ttt) ~ (*)=. Aus (ttt) (ttt) und (tt) folgt nun: 99 91 (=) (i*) = 91 ( + 992 (1*) 99 (,t*)= 9* (1). Aus (t) und (tt) folgt daher weiter: 992 (t) = 9** (91) und Satz XVI ist bewiesen. Satz XVII. Bei jeder Zerlegung von t9 in zwei absolutadditive Summanden: (X) 9= 1 -+92 deren einer 99, stetig ist, gilt für den zweiten 99 auf jeder Menge 9 aus M die Ungleichung: (x ) (92, )_a( Q **, 9), wo 9** die Unstetigkeitsfunktion von 99 bedeutet. Sei zunächst 9** (9) unendlich. Dann gibt es zu jedem p in 9 endlich viele Unstetigkeitspunkte a, a2,..., a, so daß: (XXX) 99 (a)+ 99 (a2) + -+ (a) + +>. Aus der Stetigkeit von 99i folgt: 9I(9a)=~ (t=1 2,..., n) und mithin: t ) (eai) -(99 (ai,). Aus (XXX) folgt also: I 92 ((al) + 9 () +.. * + 92 ((a) >p und somit: (2, ) >p. Da dies für jedes p gilt, ist: a (99, ~ )= +, und (XX) ist bewiesen. Sei sodann 9c** (9) endlich. Nach Satz XIV. ist dann die Menge aller Unstetigkeitspunkte von 91 abzählbar, und nach Satz IX ist sie Unstetigkeitsteil 9/** von 91, während 9 - 9** =- 9* als Stetig

416 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. keitsteil von 52 gewählt werden kann. Da 52* keinen Unstetigkeitspunkt von tp enthält, ist auf jedem Teile e3 von 2*: (*) f**(S)=0; da pß* stetig und 91** abzählbar, ist (Satz VI) auf jedem Teile L von S**: * *(()=O und mithin: (**) f** ()= (). Aus (*) und (**) folgert man leicht: (*) a( **, )=a ( *, **). Da 991 stetig und 9** abzählbar, ist (Satz VI): A(u) ( (91,, *)=. Aus (x) folgt nach ~ 2, Satz VI: a (9, **) a (99, t**) + a (9, 52**). Setzt man hierin (**) und (*) ein, so erhält man (XX), und Satz XVII ist bewiesen. ~ 4. Totalstetige Mengenfunktionen. Sei M ein o-Körper und l (92) eine in M definierte, absolutadditive Mengenfunktion, die wir weiterhin als Basisfunktion bezeichnen werden. Die in M definierte Mengenfunktion 9p heißt in M totalstetig1) nach der Basis f, wenn für jedes 52 aus M, für das: a (A,) = 0, auch die Gleichung gilt: 99 () = 0. Satz I. Damit die im a- Körper M absolut-additive Mengenfunktion 9f totalstetig sei nach /b, ist notwendig und hinreichend, daß ihre Absolutfunktion a(9p) totalstetig sei nach ß/. Die Bedingung ist notwendig. Denn ist: (0) a (f, ) >, a (l, w)=o, 1) Vgl. hierzu H. Lebesgue, Ann. Ec. Norm. (3) 27 (1910), 381. J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913), 1318ff. - Der Name "totalstetig" (statt des früher gebräuchlichen,absolut stetig") wurde eingeführt von C. Carath6odory, Vorl. über reelle Funktionen 475.

Kap. VI, ~ 4. Totalstetige Mengenfunktionen. 417 so gilt auch (~ 2, Satz XI) mindestens eine der beiden Ungleichungen: (00), (t, 2) > ~ ( >,,.) > o. Nach ~ 2, Satz IV gibt es dann einen Teil 3 von 9I, für den: (o0O) f (S) +. Wegen 23-< f folgt aber aus a (,9f)- 0 auch (~ 2, Satz VIII): (000) ((, S) = o. Wegen (~o~) und (o00) aber ist p nicht totalstetig nach ß. Die Bedingung ist hinreichend. Denn aus: a(9, W)= 0 folgt ): f (9)= 0. Satz II. Damit die im o-Körper M absolut-additive Mengenfunktion 9p totalstetig sei nach f, ist notwendig und hinreichend, daß sowohl ihre Positivfunktion n($), als ihre Negativfunktion v (p) totalstetig seien nach ß. Die Bedingung ist notwendig. Denn aus dem Bestehen einer der beiden Ungleichungen (00) folgt nach ~ 2, Satz XI das Bestehen von (0). Die Bedingung ist hinreichend. Denn aus (f, )=0; v(p,2) =0 folgt nach ~ 2, Satz XIV: 99 (W) =0. Satz III. Jede im a-Körper M absolut-additive und (nach f) totalstetige Mengenfunktion ist Differenz zweier nicht-negativer, in M absolut-additiver und (nach ß) totalstetiger Mengenfunktionen, von denen mindestens eine endlich ist. In der Tat, dies ist vermöge Satz II eine unmittelbare Folgerung aus ~ 2, Satz XIV. Satz IV. Ist 9 eine im o-Körper M absolut-additive, endliche und (nach f) totalstetige Mengenfunktion, so gilt für jede Mengenfolge {gf} aus M, für die: (x) lima(ß = n= ist, die Beziehung: (xx>) -lima(p, ) =-0. Angenommen in der Tat, dies wäre nicht der Fall. Dann gäbe 1) Nach ~ 2, Satz XIII. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 27

418 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. es in M eine Mengenfolge { so,, so daß: (XXX) lim a ( )=; limap(99, 9) >0. nn= ooo Ist Ei eine eigentlich konvergente Reihe positiver Zahlen, so können wir wegen der ersten Gleichung (xxx) - indem wir nötigenfalls von {1,} zu einer Teilfolge übergehen - annehmen, es sei: a(ß,)K<e, für alle n. Wir setzen: und haben dann: a(j3,X)< n+ 1 + — J ( C (. Wegen der eigentlichen Konvergenz der Reihe der e, und wegen der zweiten Gleichung (xxX) ist also: lima(,,)= 0; lima (99,J) > 0. Setzen wir noch: so ist nach ~ 1, Satz V: a (, 9) = lim a (f, 9,)= 0; a (99, 1) = limr a (99, 91,) > 0. Also ist 9? nicht totalstetig nach f, und Satz IV ist bewiesen. Ebenso wie ~ 3, Satz V gilt: Satz V. In Satz IV kann (xx) ersetzt werden durch'): (xx) lim 99 (f1)=0. tZ= o Im vorstehenden war qp als absolut-additiv vorausgesetzt. Es sei noch bemerkt, daß bei Bestehen der Bedingung von Satz IV oder V aus der Additivität von p99 auf die absolute Additivität geschlossen werden kann: Satz VI. Ist die Basisfunktion f endlich, und ist (p eine in M definierte additive Mengenfunktion, für die aus (x) das Bestehen von (XXX) folgt, so ist 99 absolut-additiv2). 1) Ist umgekehrt die absolut-additive Mengenfunktion qp so beschaffen, daß aus (x) auch (XxX) folgt, so ist sie selbstverständlich totalstetig nach ß. Denn ist a (, 9t)= — 0, so setze man 9f- = für alle n. Dann gilt (x) und mithin auch (Xx). Da aber 99 (,)- = 9p (9t) für alle n, so heißt das: 9 (2) = 0. 2) Und mithin auch totalstetig nach ß (Fußn. 1).

Kap. VI, ~ 4. Totalstetige Mengenfunktionen. 419 Sei in der Tat {33} eine Folge zu je zweien fremder Mengen aus M, und sei -= 2 + 92 +... + S- -... Wir setzen: Aff = t1 e n2 + * * * + eia; $ Du 2n +1 + 22i +2 + t * ~ Wir haben nachzuweisen: (t) t ()-= (1+t) - + ( ~) -.. + (An) +-... Wegen der Additivität von 9 ist: 9y (t) y(A)+ f(~J; (F.) - q (9i) + 9 (,2) + * + f9 (du) Es ist also (t) gleichbedeutend mit: (tt) lim t (,) = 0. ~l=00 Wegen der absoluten Additivität von ß ist nun aber: (t) () ()= ) + ß (e2)+ A- + ß An)+* (ttt) ß (zn) ß ( 1 + ß (en+2) +... Weil fß (3) endlich, ist die Reihe in (tt) eigentlich konvergent, mithin wegen (ttt) (ttt) lim f (lj,) O0. Nach6 Voraussetzung aber folgt aus (tfi) das Bestehen von (tt)Es gilt also (t), und Satz VI ist bewiesen. Sei nun 9 eine beliebige Menge aus M. Wir bezeichnen jeden zu M gehörigen Teil ( von 92, für den: c(f, a)=0; a (, )> 0, als einen (für tp nach der Basis ß) singulären Teil'). Jeden zu M gehörigen Teil 3 von 29, der keinen solchen (nicht leeren) singulären Teil enthält, nennen wir einen (für 99 nach der Basis ß) regulären Teil von 5. Seien n und v die oberen Schranken von 7 (p, 3) und v (p, 3) für alle regulären Teile 33 von 95, und z und V die oberen Schranken von n (7, (p) und v (p, (i) für alle singulären Teile ( von A. Wie bei der Definition von Stetigkeitsteil und Unstetigkeitsteil von 92 (S. 411) sehen wir: Es gibt in 9 reguläre Teile 2X, so daß: (*) n: (p. X) ' (, - v(t x)=, 1) Aus formalen Gründen rechnen wir auch die leere Menge zu diesen singulären Teilen. 27*

420 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. und ebenso singuläre Teile 2[xx, so daß: (**) a (q, xx)=; v (p, xx)=. Jeden regulären Teil 9x von 9I, für den (*) gilt, nennen wir einen Regulärteil von 12 (für p9 nach der Basis /ß); jeden singulären Teil 9fxx von 92, für den (**) gilt, nennen wir einen Singulärteil von 12 (für 99 nach der Basis ß). Satz VII. Ist für den Singulärteil f1xx von _9 (für 99 nach ß) der Wert 9(QfXX) endlich, so ist 92 — xx ein Regulärteil von 1f für 99 nach ß. In der Tat, zunächst ist 91W- xx ein regulärer Teil; denn andernfalls gäbe es ein -< 2 - 1xx, so daß: (***) C (, (S)= 0; a (9, () > 0. Da 9xx ein singulärer Teil, ist (*i**) "C- (C, (x x) =O0, und wegen (***) wäre also: a (ß, xx + ) = o; a (~, xx+ e)>, a (, xx), Wegen der ersten dieser Beziehungen ist 2fxx + ( ein singulärer Teil, wegen der zweiten gilt mindestens eine der beiden Ungleichungen: (9, xx + )> (Q, 2xx); v (, X2fX X+) (Q, xx), im Widerspruche mit der Tatsache, daß 2fxx Singulärteil von 9I. Also ist 2f- 2xx regulärer Teil, wie behauptet. Um nun nachzuweisen, daß 9f - xx Regulärteil von 91 iist, sei Q3 irgendein regulärer Teil von 2. Wir setzen: et__ 3.fxx. Dann ist:,., (; ) < n (<, X - gxx) + (, '); Wegen eS'-<2xx und wegen (***) ist: a (, 3')= 0. Da 8'-<S und S3 regulärer Teil, ist also auch: (f, S')==; v (t, ')=0. Also folgt aus (***): n (9, 3) ~< (, X - fxx); v (Q<, (e)v (,- xx). Da dies für jeden regulären Teil 8 von 9 gilt, ist gezeigt, daß 2_ - xx Regulärteil von X ist, und Satz VII ist bewiesen.

Kap. VI, ~ 4. -Totalstetige Mengenfunktionen. 421 Für alle Regulärteile 91x von 29 und für alle Singulärteile 9xx von 91 ist (wenn i, r, i, V dieselbe Bedeutung haben wie oben): X) (fx) - r; ~p (>x ) = TT -. Wir können also in M zwei Mengenfunktionen px (91) und pxx (91) definieren durch: Qx (SX)= f (9ix); <9xx (X)= q (gxx) wo 91x irgendeinen Regulärteil, 9xx irgendeinen Singulärteil von A9 (für 9p nach p) bedeutet. Wir nennen X (91) die Regularitätsfunktion, qXX(91) die Singularitätsfunktion von Tp nach 3. Ganz ebenso wie Satz X von ~ 3 beweist man: Satz VIII. Regularitätsfunktion und Singularitätsfunktion nach ß der in M absolut-additiven Mengenfunaktion c sind absolut-additiv in M. Aus der Definition von fpx folgt unmittelbar: Satz IX. Die Regularitätsfunktion nach ß einer absolutadditiven, Mengenfunktion ist totalstetig nach ß in M. In der Tat, ist für eine Menge 9 aus M a (,91)=0, so ist notwendig für jeden ihrer regulären Teile 83: a (p, S)=0 und mithin: 7 s (t, )= 0; V (t, n )= 0, mithin auch n= -O, v -O, d.h.: QP () =- O, womit Satz IX bewiesen ist. Wir nennen eine in M absolut-additive Mengenfunktion yp reinsingulär in 91 (nach der Basis l), wenn für jeden (nach ß) regulären Teil e von 91: -V', () = 0). Die Funktion yp heißt rein-singulär (nach f) in M, wenn sie in jeder Menge 91 aus M rein-singulär (nach ~f) ist. Satz X. Die Singularitätsfunktion nach p einer absolutadditiven Mengenfunktion ist rein-singulär nach ß. In der Tat, ist die Menge 9 aus M regulär nach ~, so enthält sie als singulären Teil nur die leere Menge. Es ist 'also der 1) Statt dessen kann es auch heißen: c: (p, S) = 0.

422 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Singularteil 9xx leer, und mithin: p xx (2)= (fXX) =0. Satz XI. Jede absolut-additive Mengenfunktion ist Summe ihrer Regularitäts- und ihrer Singularitätsfunktion nach ß: (1) =xP x- 99XX und mithin (Satz IX, X) Summe einer nach ß totalstetigen und einer nach ß rein-singulären Mengenfunktion. In der Tat, ist pxx (29) unendlich, so ist wegen cxx (1)= 9 (1XX) nach ~ 1, Satz II auch p (91) unendlich vom selben Zeichen, so daß in dem Falle (1) bewiesen ist. Ist hingegen pxx (91) endlich, so können nach Satz VII Regulärteil 29X und Singulärteil 9xx so gewählt werden, daß Dann aber ist:xx Dann aber ist:' 99 (1) = 9 (1X) + (9 XX)= 9 X (1)+ 9XX (x) und Satz XI ist in allen Fällen bewiesen. Satz XII. Ist die absolut-additive Mengenfunktion 99 endlich, so gibt es außer der Zerlegung (1) von Satz XI keine andere Zerlegung von p in zwei endliche, absolutadditive Summanden, von denen der eine totälstetig, der andere rein-singulär nach i ist. Sei in der Tat: (2) P =991 + q92 wo p91 totalstetig, 992 rein-singulär nach p. Sei 91 eine beliebige Menge aus M. -Da nach Voraussetzung 99 (9) endlich ist, so ist auch (nach ~ 1, Satz II) 99xx (91) -- (9XX) endlich, und nach Satz VII können 9x und s9xx so gewählt werden, daß: (3) ~= _Wx + xx. Da p9i totalstetig und >XX Singulärteil, ist (91 (X X)-,.0 mithin aus (3): (4) 991 (9x)= 9CP () - 99 (Xxx) 199 (1). Da 991 totalstetig, ist jeder für 992 singuläre Teil auch singulär für 99, es ist also 9x frei von Teilen, die für 99 singular, und da 99 rein-singulär, ist: (5) 92 (X) = 0.

Kap. VI, ~ 4. Totalstetige Mengenfunktionen. 423 Aus (4), (5) und (2) folgt: - )1 (t = u (X) = 91 () + 92 (FX) 9 ( X ((tX)) Aus (1) und (2) folgt daher weiter: 9P2 (t) =9XX (X), und Satz XII ist bewiesen. Satz XIII. Bei jeder Zerlegung von p in zwei absolutadditive Summanden (6) f = 91 + 992 von denen einer p1 totalstetig ist nach ß, gilt für den zweiten 99 auf jeder Menge f aus M die Ungleichung: (7) ac (p2, t) > a (pXX, t), wo p9xx die Singularitätsfunktion von 99 nach ß bedeutet. Sei zunächst 9Xx(91) unendlich. Für jeden Singulärteil 92XX von 91 ist dann: (8) 1 (fxx) = + o. Da 9[xx singulär und Dp totalstetig, ist: (Fx (X) = O, und mithin ist (8) gleichbedeutend mit: 2 (,xx)= +. Also ist gewiß auch ct (2,W) + 4o, und (7) ist bewiesen. Sei sodann qpxx (9) endlich. Nach Satz VII kann angenommen werden:,=. x + 9xx Da WX regulär, ist auf jedem Teile 3 von 2X: (9) fXX (2) =. Da p9x totalstetig und 92XX singulär, ist auf jedem Teile ( von 92xx: cx ()= 0 und mithin: (10) 99xx (X)= f (). Aus (9) und (10) folgert man leicht: (11) a (QXX, A) =c (q, 9xx). Da p1 totalstetig und 9xx singular, ist: (12) C (1, Lxx)=.

424 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Aus (6) folgt nach ~ 2, Satz VI: (9, 9XX)~ a.(99,,XX) + a (2, X) Setzt man hierin (11) und (12) ein, so erhält man (7), und Satz XIII ist bewiesen. ~ 5. Maßfunktionen. Sei 9 ein metrischer Raum, und sei A das System aller Punktmengen 2f von S. Wir nennen eine in A definierte und nicht für alle Sf von A verschwindede Mengenfunktion 9 (9) eine M aßfunktionl), wenn sie folgende Forderungen erfüllt: 1. Es ist gg(>)0O für alle 9y von A und für die leere Menge S ist ((S)=- 0. 2. Aus 3-<f folgt 99 (~)_ 99 (9). 3. Für die Vereinigung t1 abzählbar vieler Mengen aus A: gilt: 99( ) 9 (W1)+ (92)+ '+Q' (r)+P '9 Ist 9 eine Maßfunktion, so nennen wir den Funktionswert p (91) das äußere 99-Maß der Punktmenge 91. Die Maßfunktion (p wird im allgemeinen in A nicht absolut-additiv, ja nicht einmal additiv sein. Doch gelingt es, aus A einen o-Körper M herauszuheben, in dem 9c absolut-additiv ist. Die Mengen dieses a-Körpers M werden als die 9-meßbaren Mengen bezeichnet. Wir definieren: Eine Punktmenge 9Yt aus A heiße - meßb ar, wenn für D9J zusammen mit jeder beliebigen Menge 79 aus A die Relation gilt: (0) f (p) = tp ( ) + f (t -- m 9). Ist 9)1 p-meßbar, so nennen wir den Funktionswert f (9E) das 9p-Maß von )t. Für 99-meßbare Mengen stimmen also 99-Maß und äußeres 9 -Maß überein. Satz I. Damit 9s) 99-meßbar sei, genügt es, daß (0) für alle Mengen { von endlichem äußeren 99-Maß erfüllt sei. In der Tat, für alle 9 von unendlichem äußeren 99-Maß: (00) 9, (1)= + o, ist (0) von selbst erfüllt. Denn nach Eigenschaft 3. der Maßfunktionen ist: __ () (p) (9)x-f (p - 9i). 1) Die folgende Einführung des Begriffes der Maßfunktionen und der Meßbarkeit rührt her von C. Carath6odory, Gött. Nachr. 1914, 404. Vorl. über reelle Funktionen, Kap. V.

Kap. VI, ~ 5. Maßfunktionen. 425 Aus (00) folgt also, daß auch mindestens einer der beiden Summanden auf der rechten Seite von (0) den Wert + oo hat, so daß (0) sicher erfüllt ist. Damit ist Satz I bewiesen. Satz II. Ist 1 99-meßbar, so auch das Komplement 1 —)1L. In der Tat, (0) geht, wenn 2J) durch 92- 2) ersetzt wird, in sich selbst über. Satz III. Sind 2) und 2 9cp-meßbar, so auch die Vereinigung 9x+ -92. Wir setzen: und haben, gemäß (0), zu zeigen, daß für 9c zusammen mit jeder Menge 23 aus A die Beziehung besteht: (*) (p()zP 99 (9p 3) +99 (p - W13). Zu dem Zwecke setzen wir (Fig. 15):; 91 9 32 e 09o, -- 8o= — 1, m3 9-n2 - 800 e, = s23 - 90 = Dann schreibt sich die zu beweisende Be- k. ziehung (*): Fig. 15. (**) 9()-+)= 9 (o -1+ 32) - 9 (3). Weil 92,?p-meßbar, ergibt (0) für 9 =.$, ) - == 1): (**) 99 (3) == p (23 + ei) + ((23 + i)* Weil Y2 99 -meßbar, ergibt (0) für 9=1 32 + - 3, - t2: (*,>%) 9 (3 + 3)= 9 (23d) +99 (3). Wir haben also aus (***) und (***): (***) 9. ^(9)= 7( ((30o + 2)+ (3) + 9 (33). Nun ergibt (0) für 2 =o- 0 + 2^.+3, 1-=- =9Jt': 99 (2o + 31 + 32) = (0 + 31) + (2). Setzt man dies in (***) ein, so erhält man (**), und Satz III ist bewiesen. Satz IV. Sind )1kt und 9)2 99-meßbar, und ist 2)-<9)l1, so ist auch 9Jt -9 99 —meßbar. 1) Es ist nämlich:

426 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. In der Tat, nach Satz II ist auch 91- 9, p-meßbar, daher nach Satz III auch (91- 9)) + 9J2, daher nach Satz II auch S - ((Er - J1) + m2) 1 2)-m und Satz IV ist bewiesen. Satz III und IV können in die Aussage zusammengefaßt werden: Satz V. Das System aller p-meßbaren Mengen bildet einen Körper. Und wir erkennen augenblicklich: Satz VI. Die Maßfunktion p ist additiv im Körper der 9 —meßbaren Mengen. In der Tat, seien 9. und 9), zwei fremde U-meßbare Mengen. Wir setzen in (0): + == 91 + t und erhalten: 9 (R + 9)=9(1)+f (9)9 womit Satz VI bewiesen ist. Wie angekündigt, gilt aber darüber hinaus: Satz VII. Das System aller p-meßbaren Mengen bildet einen o-Körper. Wir haben zu zeigen: Ist {(9}, eine Folge p -meßbarer Mengen, so ist auch: W -fl 1 + M 2 + * *+,+ ' * ' (p-meßbar. Dabei kann ohne weiteres vorausgesetzt werden, die R1n seien zu je zweien fremd, da man anderenfalls nur 9.1n (n> 1) zu ersetzen hat durch: (91 + 92 +... + n) - (1 + 92 +' + -... n-1)Nach Satz I wird die Hä-Meßbarkeit von W bewiesen sein, wenn gezeigt ist: für jede Menge 3 von endlichem äußeren yp-Maße ist:, 2 ~:I (91) 9p ()= - (p ) + f ( - 0 ). Wir setzen nun (Fig. 16): 1 2 3 _1 9ÄF - B=~"; W3 = S'; 1 + +*... +,.-.; Fig. 16. 2 pie zu beweisende Gleichung (1) lautet dann: (2) f (8)= p (D')+ (3").

Kap. VI, ~ 5. Maßfunktionen. 427 Wegen Eigenschaft 2. der Maßfunktionen ist: f (~e) < 9~ ( n+ ) < P (SB). Es existiert also der Grenzwert:,(3) lim f9 (eS') _ 7 (0'3). — =oo Durch vollständige Induktion beweisen wir: (4) <p ( (n)= ZP ()) + f (1,) +.. + t ((,n). Angenommen in der Tat, dies gelte für den Index n- 1: (5) c n-sI) = ( p,) + q (,) +... + tq (Za~ _. Da 9l, p9-meßbar, folgt aus (0) für 9= —3., 9 -==-,l: n %)=<^-i)+n (^ 99 (P3) (0-1) + f (TJ) woraus durch Einsetzen von (5) die Gleichung (4) entsteht, die damit bewiesen ist. Es ist also in (3): (6) lim9 ()= (f1)+ 9 (S'2) +.- +Q ())n) - +Wegen Eigenschaft 3. der Maßfunktionen ist aber: (t') f (1) + f ()) +. + f (9 ) --... Es ist also wegen (6): (S') lim (n), was zusammen mit (3) ergibt: (7) hlim 9 (9sn) =9 ('). n= co Nach Satz III ist + +9 --... +-, 9-meßbar. Es folgt also aus (0) für 9= - 3', m= 9,+ 9 + +... 9N,: (8) fW (t') -= (t) + f (n); und da 99 (3) und somit nach Eigenschaft 2. der Maßfunktionen auch T (Q') endlich ist, folgt aus (8) und (7): (9) lim Cp (58)= 0. n= Setzen wir aber in (0): S =, e93 =- 9+ 92 +'-. + 9n so8 erhalten wir: (10) v (B)= i (n) + C (n + ) Hierin ist wegen Eigenschaft 2. und 3. der Maßfunktionen: P (B") < 99 (n + ") < V (~") + (n9),9 C/,(~~l~)"<al l I 99

428 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. also wegen (9): (11) lim () ~ + 3")= 9 (Q3"). Aus (10), (7) und (11) aber folgt (2), und Satz VII ist bewiesen. In Satz VII sind die Tatsachen enthalten (vgl. ~ 1, S. 394, 395): Satz VIII. Der Durchschnitt abzählbar vieler p mneßbarer Mengen ist 9-meßbar. Satz IX. Ist {Snl} eine Folge 99-meßbarer Mengen, so sind auch obere und untere Gemeinschaftsgrenze lim jX9 und lim 9cn "p-meßbar. n=o n = oO Satz VI wird nun ergänzt durch: Satz X. Die Maßfunktion 99 ist absolut-additiv im o-Körper der 99-meßbaren Mengen. Wir haben nachzuweisen: Ist {,} eine Folge zu je zweien fremder, q- meßbarer Mengen, und =, yt -- * * -2+...... ihre Vereinigung, so ist: (12) 99 (9 () = + () (S) + ~ ~+ ) ()9 +-... Da nach Eigenschaft 3. der Maßfunktionen: (P) _ ~ (1) + ~ () 4-... + 9 (En+) +-... ist (12) sicher richtig, wenn 99 ( C)= -oo. Ist hingegen p( (9) endlich, so können wir im Beweise von Satz VII 3 -- 91 setzen. Dann wird:,3 ~'=^; ~2' ~, + 2+ + *.. * + n. Nach Satz VI ist daher: 99 (/ )- 9) (9o1) + 99 (92) + * + 9 (S), und Gleichung (7) geht über in: irn f (91) + 9 (9)(2) +. * +( (9 = XW); das aber ist die zu beweisende Gleichung (12). Die Sätze VI, VII, VIII von ~ 1 ergeben nun: Satz XI. Ist {fJ} eine Folge 99-meßbarer Mengen und 0l ihre untere Gemeinschaftsgrenze, so ist: 99 (9) lim ~ (pn )..fl o

Kap. VI, ~ 5. Maßfunktionen. 429 Satz XII. Ist {9)Z} eine Folge 9- meßbarer Mengen, deren Vereinigung von endlichem p-Maß ist, und bedeutet WI ihre obere Gemeinschaftsgrenze, so ist: f (H() lim ( (9%)Z. n = o0 -Satz XIII. Ist {Sn} eine konvergente Folge 9m-meßbarer Mengen, derenVereinigung von endlichem pq-Maß ist, und bedeutet 9SJ ihre Gemeinschaftsgrenze, so ist: ) ( )= lim (P (9,) n=oo Hierin ist als Spezialfall enthalten (vgl. ~ 1, Satz V): Satz XIV. Ist {S,} eine monoton abnehmende Folge cp-meßbarer Mengen, die nicht sämtlich unendliches 99-Maß haben, und ist 9J1 ihr Durchschnitt, so ist: f (1)) = lim 9) (1W,). n = oo Und Satz IV von ~ 1 ergibt: Satz XV. Ist {(,} eine monoton wachsende Folge p-mneßbarer Mengen und c9 ihre Vereinigung, so ist: 9 (E)= lim f (j,). Wir wollen nun zeigen, daß man durch den in Satz IX von ~ 1 behandelten Erweiterungsprozeß über den o-Körper der 9-meßbaren Mengen nicht hinauskommt. Dazu genügt es, zu beweisen, daß jeder Teil 1J einer 99-meßbaren Menge des q9-Inhaltes 0 selbst 9)-meßbar ist; und da wegen Eigenschaft 2. der Maßfunktionen q (1) )=. 0 ist, ist diese Behauptung enthalten in: Satz XVI. Jede Menge 19 vom äußeren 99-Maße 0 ist 9-meßbar. Wir haben nachzuweisen, daß für jede Menge 5t: (x) (O) = (p g) + p ( - m ) Hierin ist nach Annahme: (S9) =:0. Wegen Eigenschaft 3. der Maßfunktionen ist: (xx) f (W) =< f (p -) + (X - ) = 9) (~ - 9m). Weil 9I C- f -< f, ist nach Eigenschaft 2. der Maßfunktionen: (xxx) u (W) > a f (SX- uc S). Aus (xx) und (xxx) aber folgt (x), und Satz XVI ist bewiesen.

430 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Daraus folgt leicht: Satz XVII. Hat 9/ endliches äußeres 9-Maß1), und gibt es in 9 einen 9-meßbaren Teil 93, so daß (x x) ) ()- 9 (9N), so ist auch 9I p-meßbar. In der Tat, da D9 p-meßbar und m-<2f, ergibt (0): 9 ( ()- (m) + f (9 - 9 ), also wegen (xx): f ( — 9)=- 0. Also ist nach Satz XVI 2 - 93J p-meßbar, also ist nach Satz III auch A=- = + (f - 9R) 9T-meßbar, und Satz XVII ist bewiesen. ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. Wir unterwerfen nun die Maßfunktion 9c außer den Forderungen 1., 2., 3. von ~ 5 noch der weiteren Forderung: 4. Haben die beiden Mengen % und O positiven Abstand: r(S, Q3)>0, so ist: (,+ +)= (W +<(3). Eine Maßfunktion, die auch noch dieser Forderung genügt, wollen wir eine gewöhnliche Maßfunktion2) nennen. Satz I. Ist f9 eine gewöhnliche Maßfunktion, so ist jede abgeschlossene und jede offene Menge 9-meßbar. 1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei 93 irgendeine 9q-meßbare Menge, für die 99 (s9)-= + oo, und sei! eine zu ~D9 fremde, nicht 9 -meßbare Menge. Setzen wir 9 = 9 4+ l, so ist auch q (2)) =+- oo, aber 9I ist nicht 99-meßbar, denn da die q9-meßbaren Mengen einen Körper bilden, müßte dann auch 1i- 91 - =f p -mmeßbar sein, was nach Annahme nicht der Fall ist. 2) C. Caratheodory unterwirft alle Maßfunktionen den Forderungen 1., 2., 3., 4. Wir sind von dieser Terminologie abgewichen, um auch die (von Forderung 4. unabhängigen) Sätze des vorigen Paragraphen einfach aussprechen zu können. - Ein Beispiel einer Maßfunktion, die nicht gewöhnliche Maßfunktion ist, erhält man, indem man setzt: p (91)= 1 für jede nicht leere Menge 91. Der a- Körper der p- meßbaren Mengen besteht in dem Falle aus der leeren Menge und dem ganzen Raume 9R. - Ein anderes Beispiel bei C. Caratheodory, Vorl. über reelle Funktionen, 362.

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. 431 Sei zum Beweise D9 eine abgeschlossene Menge. Wir haben zu zeigen (~ 5, Satz I): Für jede beliebige Menge S3 von endlichem äußeren cp-Inhalt gilt die Gleichung: (0) ( ( S) = (m ) + 9 (_ - n). Wir bezeichnen (Fig. 17) mit 9)li die Menge aller Punkte a von 9, für die: r (a, 9R))> 1 mit RW (n > 1) die Menge aller i " Punkte a von 9R, für die: - >r (a,))>-. Fig. 17. n -- n Da O9 abgeschlossen, ist für jeden Punkt a von S- 9S: r(a, J) > 0, mithin ist: S- Du= H;s-... + An +-. Setzen wir: e 9 ~3; 3; t n - n X, so ist also auch a i Hä- + s t+... + n +... Die Mengen 9N' und 9M'+k (k> 1) haben, als abgeschlossene Mengen ohne gemeinsamen Punkt, voneinander positiven Abstand; dasselbe gilt daher für 3'i und + (k> 1). Wegen Eigenschaft 4.. der gewöhnlichen Maßfunktionen ist also: t (S + '3 + * * * + 2n-1) -= p () + 9p (t) + * * * + 9 ( 2n- ), und wegen Eigenschaft 2. der Maßfunktionen ist somit: Da 9 () und mithin (p (') endlich ist, folgt hieraus die eigentliche Konvergenz der Reihe: (81) + 99 () +..* + 99 (,-) +. *. und ganz ebenso beweist man die eigentliche Konvergenz der Reihe: (2)+ 9 () )+.+.4 (P ) +... Es ist also auch die Reihe 2 (8') eigentlich konvergent, und somit: v=l (00) lim 99 (8'=)- 0. n=w v=nr-t+l

432 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Setzen wir noch: eln -- (25n - +1 + 5 +92 + * so ist nach Eigenschaft 3. der Maßfunktionen: = n +l und mithin wegen (00) auch: (000) lim fp (n)-= 0. Nun ist: S'~ S'% +,3n, daher wegen Eigenschaft 2. und 3. der Maßfunktionen: p9 () 9 (') < f (Sn) + Y (n); aus (000) folgt also: (0o0) limrn () — 9'). = ao Ferner haben 9I. S L und 9'" voneinander positiven Abstand. Wegen Eigenschaft 2. und 4. der gewöhnlichen Maßfunktionen ist also: 9 (R.S3) + () (t), woraus wegen (0o0) folgt: (. )+ (3')< (S). Wegen Eigenschaft 3. der Maßfunktionen aber ist auch: (399 ( ) +99 (') ~> (9), und daher: f (. i) S)+ (3')= (S). Das aber ist die zu beweisende Gleichung (0), also ist jede abgeschlossene, und mithin wegen ~ 5, Satz II auch jede offene Menge 9 -meßbar, und Satz I ist bewiesen. Satz II. Ist f9 eine gewöhnliche Maßfunktion, so ist jede Borelsche Menge 99-meßbar. In der Tat, nach ~ 5, Satz VII ist das System aller 99-meßbaren Mengen ein a-Körper. Jeder a-Körper, der alle abgeschlossenen und alle offenen Mengen enthält, enthält aber alle Borelschen Mengen. Also folgt Satz II aus Satz I. Wir unterwerfen nun die gewöhnliche Maßfunktion 99 außer den Forderungen 1., 2., 3., 4. noch der weiteren Forderung: 5. Für jede Menge 9 ist das äußere Maß 7(9S) gleich der unteren Schranke der 99-Maß e 9 (9) der 9 enthaltenden f -meßbaren Mengen' 9.

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. 433 Eine Maßfunktion, die auch noch dieser Forderung genügt, wollen wir eine reguläre Maßfunktion nennen1). Es ist nun naheliegend, die Definition aufzustellen: Unter dem inneren 99-Maße cp,(9l) verstehen wir die obere Schranke der qq-Maße qp(9)1) der in 9t enthaltenen q'-meßbaren Mengen 9.. Das innere p -Maß cp, hat dann analoge Eigenschaften, wie das äußere (p-Maß. Es gilt nämlich2): Satz III. Ist qp eine reguläre Maßfunktion, so hat das zugehörige innere Maß 9p, die folgenden Eigenschaften: 1. Es ist T9),(9f)0 für alle?f, und für die leere Menge ist *(2)=. -- 2. Aus -< x folgt:, (3) < ~, (91). 3. Für die Vereinigung Vf abzählbar vieler zu je zweien fremder Mengen 911 gilt: (t> 79* (O) = q, (x,) + ~, () +... +, (2f) +. 4. Haben die beiden Mengen 9 und 33 positiven Abstand, so ist: (tt) ~, (g + m)=,* 3 ) -+ <, (58). 5. Es ist p*,(p ) die obere Schranke der 99-Maße p(9)1) der in 9f enthaltenen 99-meßbaren Mengen 9)t. In der Tat, Eigenschaft 1. und 2. sind evident; Eigenschaft 5. ist die Definition von 9,. Es sind also nur 3. und 4. zu beweisen. Ist p irgendeine Zahl: (ttt) P <, (A) + ~, (.W - +. w * (%) +... so gibt es in jeder Menge f,, einen 99-meßbaren Teil 9,, so daß auch:? (V1) + 9 (R)+... + 9 ( +-. >.P Ebenso wie die 9f, sind die 9), zu je zweien fremd, und da sie meßbar, ist (~ 5, Satz X):? (~ + ~x~ +... -+ ~ +...)= ~ (~)+ g (It~) +... + ~ ( ) +... Es ist also m9-1 + 2- -...4-,'-'... ein qi-meßbarer Teil 9 von 9X, für den: 9) ())> p, es ist also auch: ___ () > p, 1) Nach C. Caratheodory, Vorl. über reelle Funktionen, 258. Ein Beispiel einer gewöhnlichen, aber nicht regulären Maßfunktion ebenda, 363. 2) Näheres über innere Maße: C. Carath6odory, a. a. 0., 364. A. Rosenthal, Gött. Nachr. 1916, 305. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 28

434 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. und da dies für jedes der Ungleichung (ttt) genügende p gilt, ist (t) bewiesen. Um nun auch (-t) zu beweisen, bemerken wir, daß wegen (t) gewiß: * 9 + S3) > 9* (x) +9* (9). Gälte hierin das Zeichen >, so gäbe es einen p -meßbaren Teil 9i) von 9+$4-, so daß: (Ott) (W> +*(W)+* (). Nach Satz I sind die abgeschlossenen Hüllen 91, $~ 9-meßbar, mithin auch (~ 5, Satz VIII) 91o. 9, ~30.9s. Aus: r(f,>3)>0 und pm-< + 93 folgt sofort: lo.t.9 — i.; 9o.30 - Es sind also 291.9 und 3.9m p-meßbare Teile von 9 bzw. S3, und es ist wegen (T-t): f (9)= (9.)+ O (2.3J )> q* ()+ (q ) Es müßte also mindestens eine der beiden Ungleichungen gelten: * (W)< < (S i);, (m)< ~ (. S), entgegen der Definition des inneren Maßes 9p,. Damit ist auch (-t) bewiesen, und der Beweis von Satz III beendet. Satz IV. Ist 9 eine reguläre Maßfunktion, ist 83 p-meßbar und 91-<3, so ist: (x) f*(+)+ 3 (O - ) = (S). Sei in der Tat 9J ein t-meßbarer Teil von 9. Dann ist: () ( + ( - ) (), und mithin, wegen 98 --- -< 3 -9-: (9) +-+ ) (93 - ) < (3), und da,* (l) die obere Schranke der p9 (9), so ist auch: ( x) + () ( - _ (). Andrerseits folgt aus (XX) wegen Hp, (91) _ 99 (9): un ( )+w f ( -er ) e> M (S), und da, wie aus Eigenschaft 5. der regulären Maßfunktionen sofort

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. 435 folgt, 9p (93 - 9) die untere Schranke der q (5 - TZ) ist: (xXx) *(W) + ()+ (3 -- ) (). Aus (Xxx) und (xxx) aber folgt (x), und Satz IV ist bewiesen. Wir bezeichnen als maßgleiche Hülle 9W* von 1 jede 99-meßbare, 91 enthaltende Punktmenge 91' derart, daß für jede 99-meßbare M enge 9S: 9 (9j9*)= 99 (9m ). Insbesondere ist also auch (indem man etwa 9- =91 setzt): 9 (,1*) 9 (9). Wir bezeichnen als maßgleichen Kern von 1 jede in 9 enthaltene 99-meßbare Menge 91, derart, daß für jede 9p-meßbare Menge 9: 9 (m%,) = 9* (9Yl 9X). Insbesondere ist also auch (indem man etwa 9Jl==-9* setzt): 9 (,*)=) 9* (1). Satz Y. Ist p9 eine reguläre Maßfunktion, und ist 99(91) endlich, so gibt es maßgleiche Hüllen von 9I. In der Tat, nach Eigenschaft 5. der regulären Maßfunktionen gibt es zu jedem n eine 99-meßbare Menge,,>-91, so daß: (P (en) < f (9 ) + Setzen wir: * -.231~ 2. E. -..., so ist 9* 99-meßbar (~ 5, Satz VIII), und es ist: (*) a2* >; f (,X) =t(99() Sei nun 93Z eine beliebige 99-meßbare Menge. Angenommen, es wäre: (**) f (pr {i*) > f (> (m). Wegen 9I* >- ist: (***) - (. * - ( W * ) > t (S( - 99 S ). Da 9) 9 -meßbar, würde die Addition von (**) und (***) ergeben: 99 (,*) 9> (9W), entgegen (*); also ist (**) unmöglich, d. h. es ist: 99 (9*)- (W) und Satz V ist bewiesen. Bevor wir daran gehen, den analogen Satz für die maßgleichen Kerne zu beweisen, ziehen wir einige Folgerungen. 28*

436 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Satz VI. Ist 2* maßgleiche Hülle von 9f, so ist:, (*-) - =0. In der Tat, andernfalls gäbe es einen 9- meßbaren Teil 9 von 2* —2, so daß: tp (e)> O. Da 9-<9 *-2f, ist 9 2fI leer und daher: -p (gm.)=0; ( (g.*) r = (m)>0, entgegen der Definition der maßgleichen Hüllen. Damit ist Satz VI bewiesen. Wir können nun Satz I von ~ 5 weiter verschärfen: Satz VII. Ist cp eine reguläre Maßfunktion, und gilt für jede fp-meßbare Menge S3 von endlichem 99-Maße die Gleichung: (**) ~ (~3)= - (I3) + 99 (3 -- ~93), so ist 9D 99-meßbar. In der Tat, ist 9D nicht 99-meßbar, so gibt es nach ~ 5, Satz I eine Menge S9 von endlichem 99 (9), so daß: (***.) ( f) < 9 (.9) + f (t - M9)). Sei W* eine maßgleiche Hülle von g9; dann ist: f()=99 (V*); 99(912)0~9 ( [9); f() - )9 (Y* -9 W9*). Aus (***) folgt also: fp (f*) < f (9p7 ) + f (* -9 I*), entgegen der Voraussetzung, daß für jedes 99-meßbare 3 von endlichem 9 (S3) (***) gilt. Damit ist Satz VII bewiesen. Satz VIII. Ist 9 eine reguläre Maßfunktion, und ist die Menge 9) nicht 99-meßbar, so gibt es eine 99-meßbare Menge 5 endlichen 99-Maßes, so daß 9).3 gleichfalls nicht 99-meßbar ist. Ist in der Tat 9)S nicht 99-meßbar, so gibt es nach Satz VII eine.p9-meßbare Menge 3 von endlichem 99 (S), so daß: (0) f9 (S) < f3 () 3) + f (t - Sm ). Hierin ist WS3 nicht r9-meßbar; denn sonst wäre auch 3-9)J13 99-meßbar, und es wäre C9 (3) = (9 ( 3) + p9 (V (- be), entgegen (0). Damit ist Satz VIII bewiesen.

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und. reguläre Maßfunktionen. 437 Satz IX. Sei (p eine reguläre Maßfunktion; dann ist stets: (00) f* (W) 99 (W); ist 9( p-meßbar, so ist: (000) ()= (g). In der Tat, nach Definition ist 9p, (X1) die obere Schranke von ( (m1') für alle -meßbaren Teile 9s'- von 9f. Aus R' -< 9 folgt aber: f (9E')~P (2), und daher gilt für die obere Schranke,P (X) der cp (E9)') Ungleichung (00). Ist 9f 99-meßbar, so kann 9' —= 9 gewählt werden, woraus sofort (000) folgt. Satz X. Sei 99 eine reguläre Maßfunktion. Ist für eine Menge 9W: (00) * = (X) 99 (S), und ist dieser Wert endlich'), so ist 9f p-meßbar. Sei in der Tat 9/* eine maßgleiche Hülle von Sf (Satz V). Nach (X) von Satz IV ist: *Q () 9+ (I* - 9) = q ( *)= * (w), mithin wegen (~0o): f (*-.) == 0. Nach ~ 5, Satz XVI ist also Sf* - l 9 -meßbar, und da auch 9A* - meßbar ist, so auch (~ 5, Satz IV): = —,_ (si* —,). Damit ist Satz X bewiesen. Zufolge der Definition der Meßbarkeit galt, wenn 9) 99-meßbar, für jede Menge 2f: CP (f) = ( ) + (p - 9 t). Für den inneren 99-Inhalt gilt analog: Satz XI. Ist f9 eine reguläre Maßfunktion, und ist 9)J 99 -meßbar, so ist für jede Menge 9: (t) 9* () = 9* ( ) + 9( (9 - Sf). In der Tat, ist p eine beliebige Zahl: (tt) p < (), 1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei 9D1 eine 9-meßbare Menge mit q (9)-=+ c-0. Ist die zu 91 fremde Menge R nicht 99-meßbar, so auch 9- + St nicht, aber es ist: 9* (9+k)-== (+)= ) =+- 0.

438 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. so gibt es nach Definition von T, einen U -meßbaren Teil B von 9f, so daß: () >p. Es ist dann, da auch 9 t-m meßbar: (S3) = ) (s) + ~ (~ --,) >p, und somit auch:, ( ) + *, (- 9mf) >p. Da dies für jedes (tt) erfüllende p gilt, ist: (ttt) 0* ( X) + f* (t - ) > <* (x). Nach (t) von Satz III aber ist: (ttt) _, (9x 9I) + f* (2t- 9 ) 9% (/). Aus (ttt) und (-tt) aber folgt (t), und Satz XI ist bewiesen. Als Gegenstück zu ~ 5 Satz I und zu Satz VII erhalten 'wir: Satz XII. Ist c eine reguläre Maßfunktion, und gilt für jede M9-meßbare Menge 9C von endlichem 9p-Maße: (1) 99 (Wf) - (W f) + 9 ( - ), so ist 9D g9-meßbar. Angenommen in der Tat, es sei Dl nicht g- meßbar. Nach Satz VIII gibt es dann eine 99-meßbare Menge 5 endlichen p-MMaßes, so daß W S3 nicht 9-meßbar. Nach Satz X ist dann (2) f* (99* ) < 9 ( ). Sei 9 eine maßgleiche Hülle von 93 3; dann ist: (3) cp ()= ( (9); c -<. Dabei kann angenommen werden: (4) -<, denn andernfalls ersetze man 2 durch die Menge WS3, die gleichfalls eine maßgleiche Hülle von 9 3 ist. Wegen (4) ist auch: m(-<m ~9 3. Wegen der zweiten Relation (3) ist umgekehrt: m9 -< 2'. Es ist also: (5) mJ= m; Q-w -=91- -. Nach Satz VI ist also: 9* (t - s) =o.

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. 439 Es ist daher, bei Beachtung von (5), (2) und (3): ~, (VCT) + q, (w - ae) = -* (^ ) = ~, (V ) < ~ (9X ) (P ). Es gilt also (1) nicht für jede p>-meßbare Menge X endlichen 9-Maßes, und Satz XII ist bewiesen. Nun endlich beweisen wir das Gegenstück zu Satz V: Satz XIII. Ist Tp eine reguläre Maßfunktion, und ist 99,(92) endlich, so gibt es maßgleiche Kerne von %2. In der Tat, nach Definition von qp, gibt es zu jedem n eine p9-meßbare Menge,-< If, so daß: Setzen wir: ==ei,+ +...- n -.. so ist 92, 99 -meßbar, und es ist: ~(x)"> ~ 2<; ~ (,*) =-, (9). Sei nun 93 eine beliebige 9-meßbare Menge. Angenommen, es wäre: (x X) 9 (9f) < P*(^^). Wegen 2,-<9 ist: (xXX) 9(",- f)~, (2- "x). Da J 99 -meßbar, würde die Addition von (XX) und (XXX) wegen (t) von Satz XI ergeben: ) (2,) < 9* (g), entgegen (x). Also ist (xx) unmöglich, d. h. es ist: 99 (9,)= 99 ( ), d. h. 91, ist maßgleicher Kern von f. Damit ist Satz XIII bewiesen. Satz XIV. Ist 99 eine reguläre Maßfunktion, ist {9/,,} eine monoton wachsende') Mengenfolge und2 4 —limr 9, so ist: (*) q? (9) =-lim 99 (/,,). In der Tat, die Behauptung ist offenbar richtig, wenn es unter den 99 (9I) unendliche gibt, denn dann sind sie fast alle =-+ -co, und wegen f >- 92, ist auch 99 (2) ==- - oo. Seien also alle 99 (9f,) endlich und sei (Satz V) 9f* eine maßgleiche Hülle von 9f,: _________ 9f* >- 2; 99 (i?) ~- (9 ). 1) Für monoton abnehmende Mengenfolgen gilt ein solcher Satz nicht: F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 4t.9.

440 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Wir setzen: 'v- v ' Wv ' +k O ~ * dann ist auch die Mengenfolge {,,} monoton wachsend, und wegen: V -< 9v -< 9* ist auch: 9 ()-99 (s1') Setzen wir: 1 = lim 9w, v _= c so ist, da die 9W 9p-meßbar (~ 5, Satz XV): 99 (9) = lim p (91) lim So (g,), v = co v == O0 und wegen 9-<i9 ist also: (**) 99 () r< lim 9(,,). V= 00 Wegen 9 > 9X, ist aber andrerseits (***) 99 (9) > lim 9 (L).. = Co Durch (**) und (***) aber ist (*) bewiesen. Satz XV. Ist 99 eine reguläre Maßfunktion, ist {%,} eine monoton abnehmende1) Mengenfolge und 91=lim ",,, so ist, wenn nicht alle 99*(9v) unendlich sind: y=c (%* ) 99* (91) -limr * (v). V i= 00 In der Tat, wir können ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, alle *,(%,) sind endlich. Sei 91* ein maßgleicher Kern von X9 (Satz XIII). Wir setzen: 9 -f Wv* +l * + + y+ +*+. Dann ist {9,1} monoton abnehmend, es ist: 99 (i)-99= * (v), und, wenn: lim 91 gesetzt wird, ist (~ 5, Satz XIV): (9 () = lim 9? (,) = lirm c, (g). v a= 00 V = CO Wegen 9I>- ist also: 99* () ~ lim 99* (O), v= Co 1) Für monoton wachsende Mengenfolgen gilt ein solcher Satz nicht: F. Hausdorff, a. a. 0. 418.

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. 441 wegen 91-< 9, ist: ~, (9) im 9 9,*(S99 ), 1' —= 00 womit (***) nachgewiesen ist. Nun können wir die Sätze V und XIII noch ein wenig verallgemeinern. Satz XVI. Ist fp eine reguläre Maßfunktion, und ist der Raum S Vereinigung abzählbar vieler 99-meßbarer Mengen von endlichem 99-Maße, so gibt es zu jeder Menge 91 aus S9 maßgleiche Hüllen. In der Tat, nach Annahme gibt es eine monoton wachsende Mengenfolge {9,}, so daß p(9v,) endlich und =: lim 9,. v = s00 Sei 9 eine beliebige Menge aus 9S; wir setzen: 91,==- 91.9,. Dann sind alle p9 (9,) endlich, es ist {9,} monoton wachsend, undc es ist: 91= lim 9,. V = 00 Sei A9 maßgleiche Hülle von 9,. Wie beim Beweise von Satz XIV setzen wir: ~, = 2*- *~*+....; 91 = lim 9I. * = 00 Dann ist {9,} monoton wachsend, und es ist auch 9X, maßgleiche Hülle von 9,. Für jede 99-meßbare Menge D9 ist also: (1) (v) = 9( (V ) Da {9L92,} eine monoton wachsende Folge 9-meßbarer Mengen mit lim m)91, =) 91* ist, so ist (~ 5, Satz XV): v 00 (2) lim 9 (r l9) - 9 (JS*). Da { 9) 9,}) eine monoton wachsende Folge mit limr 9S 92t, 9, ist nach Satz XIV: = 0 (3) lim ( 91 )= p (9 91). v, = 00 Aus (1), (2), (3) aber folgt: 9 (s)= (i 9*), d. h. es ist 91* maßgleiche Hülle von 91, und Satz XVI ist bewiesen.

442 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Satz XVII. Ist 9 eine reguläre Maßfunktion, und ist der Raum S Vereinigung abzählbar vieler p-meßbarer Mengen von endlichem p-Maße, so ist das Komplement einer maßgleichen Hülle von 2 ein maßgleicher Kern des Komplementes von 2f. Wir haben zu beweisen: Ist 52* maßgleiche Hülle von 2, und wird: (4) - - gesetzt, so ist (5) = - W -* maßgleicher Kern von 5. Da der Raum 91 Vereinigung abzählbar vieler p-meßbarer Mengen von endlichem p-Maße, so ist er auch Vereinigung abzählbar vieler zu je zweien fremder solcher Mengen: (6) 91 = +,+...+C+.... Sei 93 irgendeine 9-meßbare Menge. Wir haben zu zeigen: (7) X (,) = Z-* ( ). Angenommen es wäre: (8) f (*,) <, ()3). Dann gäbe es eine 99-meßbare Menge 91-< 9) 8, so daß auch: (9) f (,i*) < (s). Wegen (6) ist: - 99(f )= 99 ()= f (,3 ); f () p E (9y). Wegen (9) muß also mindestens eine der Ungleichungen gelten: f (S:) < f (S X), und mithin (10) (p (mZ, a *) < *(M Zg g). Wegen Satz IV folgt aber aus (4) und (5): 99 (, = E ((,,) - (-S *). Aus (10) würde also folgen: (p (mvf) > p (p (Z,), entgegen der Tatsache, daß 2 * maßgleiche Hülle von 92. Es ist also (8) unmöglich, d. h. es gilt (7), d. h. 3, ist maßgleicher Kern von S, und Satz XVII ist bewiesen. Aus Satz XVI und XVII folgt nun:

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. 443 Satz XVIII. Ist Tp eine reguläre Maßfunktion, und ist der Raum ~9 Vereinigung abzählbar vieler p-meßbarer Mengen von endlichem p-Maße, so gibt es zu jeder Menge '[ aus 9 maßgleiche Kerne. Sei {2,} eine Folge zu je zweien fremder Mengen, und sei %9 ihre Vereinigung. Dann gilt (einerseits nach Eigenschaft 3. der Maßfunktionen (S. 424), andrerseits nach Satz III): Wir stellen nun noch einen wichtigen Spezialfall fest, in dem diese Ungleichungen in Gleichungen übergehen: Satz XIX. Sei (p eine reguläre Maßfunktion; sei {SDl} eine Folge zu je zweien fremder pq-meßbarer Mengen, und sei: Dann gelten für die Vereinigung r= +~ +...+~,+... die beiden Gleichungen: Sei zunächst 99(9/) und 99,(?9) endlich, und sei 2f* maßgleiche Hülle (Satz V), 2, maßgleicher Kern (Satz XIII) von 9. Dabei können wir annehmen: *-< + +...+ %,+..., denn anderenfalls hätten wir 91* nur zu ersetzen durch den Durchschnitt: *-(9X++3...+ +.) Es ist V9* Y9, maßgleiche Hülle, *.r,, maßgleicher Kern von 91,. Wir haben also: 9 O) W - = (1); rcp ( 9,) ( * <p{m. (* (9) = cp (91); cp* (9,) 9p (,* ),.). Da nun: *= 9 ~*. + *. +... 4- *.s +...; ~,= ~.~ +{,. q-.+..+~.4^, +..., so ist auch: (** ) ((1*) = p (2*. ); () - ( ). Aus (**) und (***) aber folgt (*).

444 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Ist (9)- = -coo, so wegen Eigenschaft 3. der Maßfunktionen (S. 424) auch 2 9f (9,), und es gilt wieder die erste Gleichung (*). - Ist (0) f* ()= +, so gibt es, wenn die Zahl p beliebig gegeben ist, einen 99-meßbaren Teil 3 von 9, so daß: (00) (2) >p. Setzen wir: E3 =3 3fS, so ist wegen (00): (000) 9 (3)=E 2 (e Vy) >. v Da 33lV ein?-meßbarer Teil von 9f, so ist: * ( 99) ( ), und mithin wegen (000): *(v) >p. Da dies für jedesp gilt, so ist: L c* (XV) + 00 und da auch E, (9) -+ oc war, gilt die zweite Gleichung (*). Damit ist Satz XIX bewiesen. ~ 7. Inhaltsfunktionen. Wir gehen nun noch einen Schritt weiter in der Spezialisierung der betrachteten Maßfunktionen 9f, indem wir an Stelle von Forderung 5. (S. 432), der die regulären Maßfunktionen zu genügen hatten, die Forderung treten lassen: 5a. Zu jeder Menge 91 gibt es einen o-Durchschnitt Z>-,9, so daß: 99 () = (9). Eine Maßfunktion, die den Forderungen 1., 2., 3., 4. der gewöhnlichen Maßfunktionen und außerdem noch der Forderung 5a. genügt, wollen wir eine Inhaltsfunktion nennen. Da nach ~ 6, Satz II jeder o-Durchschnitt 99-meßbar ist, so ist, wenn 5a. erfüllt ist, gewiß auch 5. erfüllt, und wir haben: Satz I. Jede Inhaltsfunktion ist eine reguläre Maßfunktionl). 1) Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Beispiel: Sei 91 der euklidische fi, und sei q (91) = 0 oder = 0oo, je nachdem 91 abzählbar oder

Kap. VI, ~ 7. Inhaltsfunktionen. 445 Satz II. Ist p eine Inhaltsfunktion und Tp(2) endlich, so gibt es einen o-Durchschnitt, der maßgleiche Hülle von?f ist. In der Tat, nach Eigenschaft 5a. gibt es einen o-Durchschnitt >-, so daß (p ()= (9); nach ~6, Satz IV ist: *( ( -- W) = p () - ()P = o. Für jede p-meßbare Menge 9JU ist daher:,* ( (S - A))- o, und mithin nach ~ 6, Satz IV: 99 (m ) == (p ) +4 ( (Z - A))= g (~), womit Satz II bewiesen ist. An Stelle von ~ 6, Satz XIII tritt: Satz III. Ist p eine Inhaltsfunktion und *,(X) endlich, so gibt es eine a-Vereinigung, die maßgleicher Kern von i ist. In der Tat, zunächst gibt es nach ~ 6, Satz XIII einen maßgleichen Kern, von 9; wegen: fP (91 ) f (EX) ist p (9 *) endlich. Nach Satz II gibt es also einen o-Durchschnitt O, der maßgleiche Hülle von W, ist. Wegen: 9 (Xf*) f (Z) ist auch (SZ) endlich. Nach Satz II gibt es einen o-Durchschnitt t, der maßgleiche Hülle von Z -, ist. Dabei kann angenommen werden ( -< ), da man andernfalls nur ( durch ). ( zu ersetzen hätte. Verstehen wir nun in ~ 6, Satz XVII unter dem Raume qs die Menge ), so lehrt er, daß das Komplement )- E maßgleicher Kern von /,* ist, d. h. für jede meßbare Menge D9 ist: ('t) 50 (p{m(SD- ))= - (S )= *(N g). Als o-Durchschnitt hat, die Gestalt: (tt) ~ = ~. c2 ~... ~.,..., wo die n, offen. Nach Kap. I, ~ 3, Satz IV ist aber D, eine a-Vernicht-abzählbar. Dann ist jede Menge 1 - -meßbar. Sei insbesondere S2 die Menge aller rationalen Punkte des 9i,. Dann ist p ()) O=0. Jeder?[ enthaltende o-Durchschnitt ) aber hat nach Kap. I, ~ 8, Satz VI die Mächtigkeit c, so daß f (S) =+-oo. Es ist also p zwar eine reguläre Maßfunktion, nicht aber eine Inhaltsfunktion.

446 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. einigung: )=n nl +3 3n,2 +. * * 2+~ n,+ v t * *, wo die 83,v abgeschlossen, und nach Kap. I, ~ 2, Satz XI kann angenommen werden: 2Sn,v -< 53n,v + 1. Es ist also: % = 1n,1+ en,24- * + inv+* *1 und mithin (~ 5, Satz XV): lim 99 ( env) t (i)). v = oo Daraus entnehmen wir: Ist e, > 0 beliebig gegeben, so gibt es in ), einen abgeschlossenen Teil 2, so daß: (ttt) O ()) - 9P (Z' n) < %.1 Wählen wir insbesondere die en so, daß: 00oo 1 n=l m und setzen wir: 13i2*....-.. so ist, wegen -< 0s, zufolge (tt) 3(m) ein abgeschlossener Teil von:, und aus i - (m, =+ (T - _ e2i) + + ( - )n) +' '. folgt wegen (ttt): ( () - (St m)) _ >En < m1. s==i M Es ist daher: e3 = %(1) _-(2) +.. + 8n) +-.. eine in ) enthaltene a-Vereinigung, für die (~ 5, Satz XV): f9 (S3)= f (Z) und somit: (ttt) 9 ( -- ) 0. Bilden wir nun: (ttt) = — - 9B3= (s- ) -3. Da 9S-( als Komplement eines o-Durchschnittes eine a-Vereinigung ist (Kap. I, ~ 2, Satz X), so auch i als Durchschnitt zweier a-Vereinigungen (Kap. I, ~ 2, Satz XIV). Ferner ist wegen S 3-< S: ^= -3 - e3 -< Z - e,

Kap. VI, ~ 7. Inhaltsfunktionen. 447 und da ')- e maßgleicher Kern von 2, war, auch (-<,, und mithin -< 9. Wegen S -<I) folgt aus (ttt): = - 8 ~ = S (C - (). Also ist: () - )- = - ( ( ) ( - @) -< -- -, und aus (ttt) folgt daher für jede p-meßbare Menge 9U: 9( ( ) ( (9i( - e)). Also wegen (t): 9 (9. )= 9*(.*.), d. h. es ist (S maßgleicher Kern von 91, und Satz III ist bewiesen. Satz IV. Ist fp eine Inhaltsfunktion, und ist der Raum 8i Vereinigung abzählbar vieler 99-meßbarer Mengen von endlichem 99-Maße, so gibt es in jeder Menge 91 eine a-Vereinigung, die maßgleicher Kern von 1 ist. In der Tat, nach ~ 6, Satz XVIII gibt es in 91 einen maßgleichen Kern,. Es wird genügen zu beweisen: Es gibt eine a-Vereinigung **1-< 0,, so daß 99 (91 -- **)= 0. Nun ist nach Voraussetzung 02, Vereinigung abzählbar vieler U-meßbarer Mengen 23 endlichen 99-Maßes: Zu jeder Menge 3, gibt es nach Satz III einen maßgleichen Kern Cs,, der a-Vereinigung ist; dann gilt: f (~,, —t) =- O. Setzen wir: — ** = ~ +~ 6 +-. ~ - 6 +..., so ist auch X** a-Vereinigung, es ist 92,-<,, und es ist: 9 (*, -9 **)~ (31- 6)= o. Damit ist Satz IV bewiesen. Wir folgern daraus weiter: Satz V. Unter den Voraussetzungen von Satz IV gibt es zu jeder Menge 9 eine maßgleiche Hülle, die o-Durchschnitt ist. In der Tat, zunächst gibt es nach ~ 6, Satz XVI eine maß — gleiche Hülle 2* von 9. Es wird genügen zu zeigen, daß es einen o-Durchschnitt 91**>- 9* gibt, so daß: 99 (9** - 9*) O.

448 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Nun gibt es, wie wir beim Beweise von Satz IV sahen, eine a-Vereinigung < 9 - 2*, so daß: 99 (9 - * - ()=. Wir setzen 9 - ( f**. Dann ist 91** o-Durchschnitt, es ist 92** >-9*, und es ist: (9 (** - *)= (R - - *)= 0. Damit ist Satz V bewiesen. Satz VI. Sei 9p eine für alle offenen Mengen ) definierte, nicht identisch verschwindende Mengenfunktion von folgenden Eigenschaften: 1. Es ist p(~0) 0 für alle offenen Mengen; für die leere Menge 2 ist 99(2)==0. 2. Aus ~-1<D2 folgt: 93 (D1)~ <f (02) 3. Ist die offene Menge 0 Vereinigung abzählbar vieler offener Mengen: 0 =, i- + -, +.. -+ ~, +* *.., so ist: '(1) (0) < (0) + _ (2) +...+ ( +.... 4. Sind die beiden offenen Mengen Z, und ~2 fremd, so ist: (2) 99 (1 + 2)= (01)+ 9 (2). Dann kann 9(~) zu einer für alle Punktmengen definierten Inhaltsfunktion erweitert werden'). In der Tat, sei 9/ eine beliebige Punktmenge. Wir verstehen unter 99 (9) die untere Schranke von 99 (0) für alle %9 enthaltenden offenen Mengen D. Die so für alle Mengen 9f definierte Mengenfunktion 99 (9) ist nun eine Inhaltsfunktion. In der Tat, die Eigenschaften 1. und 2. der Maßfunktionen (S. 424) sind erfüllt, wie sofort aus den Eigenschaften 1. und 2. von 99 (D) folgt. Wir weisen nach, daß auch Eigenschaft 3. der Maßfunktionen erfüllt ist. Sei zu dem Zwecke t_ -1 +,+ + n +... 1) Ist t( eine offene Menge, und ist qv(0) nur definiert für alle ~)<, so kann p zu einer für alle in (M enthaltenen Punktmengen 1 definierten Inhaltsfunktion erweitert werden.

!Kap. VI, ~ 7. Inhaltsfunktionen. 449 Wir haben zu zeigen, daß: (3) (t) < ( 9) - (2) +. + (9,) -. Dies ist sicher richtig, wenn ein 9 (9,) -+- oo. Seien also alle T (O) endlich. Ist dann >0 beliebig gegeben und {er} eine Folge positiver Zahlen, so daß: (4) 2^E, so gibt es zu 4, eine offene Menge,) > 9V, so daß: (5) f (,)0 < 9 (E) + er. Setzen wir: D =j, -+~ 2 - ~)'.+ * so ist B>-t, und aus (1), (5), (4) folgt: () <> (v) +t Aus ~)>- aber folgt: 99 () ()< ( ^ ) + und da dies für jedes e > 0 gilt, ist (3) bewiesen. Wir beweisen sodann Eigenschaft 4. der gewöhnlichen Maßfunktionen (S. 430). Seien 21 und S zwei Mengen, für die: (6) r(,3)= >0. Wir haben zu zeigen: (7) + )= ( + (S). Wegen (3) ist gewiß: 99 ( ~r ) <9 (9i) c (S). Es ist also nur noch zu zeigen: (9 (+ - )> 2 (W) X- 9 () Dazu genügt es, zu zeigen: Für jede - + e- enthaltende offene Menge 0 ist: (8) Ö (D) P (t) + 99 (). Wir setzen: 'D1 ~=- 11(;W; 2;. O)U(s8;|) Wegen (6) sind dann Zn und Z. fremd; es gilt also (2), und da Dx -{ ^a c-<, so0 ist: qp (D1 + 2) = v, (0)) + 9 (02,) < (0). Wegen: ()ahn, WThe(); p( c)r rn F.. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 29

450 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. ist also erst recht: und (8), und damit auch (7) ist bewiesen. Was endlich Eigenschaft 5a. der Inhaltsfunktionen (S. 444) anlangt, so gibt es nach Definition von 9p (X) eine Folge offener Mengen,>-2, so daß lim 9 (~) 99 (9). Setzen wir: so ist auch >.... und. so ist auch ~-~Y und f3 ()= - (I), wie Eigenschaft 5a. es verlangt. Damit ist Satz VI nachgewiesen. Wir wollen noch ein anderes Verfahren besprechen, das uns in ~ 8 auf die wichtigsten Spezialfälle des Begriffes der Inhaltsfunktion führen wirdl). Sei T ein System von Punktmengen des Raumes 9R, derart daß, wenn a irgendeinen Punkt von 9 bedeutet, in jeder Umgebung von a mindestens eine a enthaltende Menge aus T liegt. Für alle Mengen Z von T sei eine nichtnegative Mengenfunktion z(Z) definiert. Sei nun % eine gegebene Punktmenge, P eine positive Zahl. Wir bezeichnen als ein System T(9, E) jedes Teilsystem von T mit folgenden Eigenschaften: 1. Ist a ein beliebiger Punkt von i, so gibt es in T(,),e) mindestens eine a enthaltende, ganz in U(a; e) liegende Menge aus T. 2. Jede Menge aus T ((, e) liegt ganz in der Umgebung 11 (a; e) mindestens eines Punktes a von 91 [und mithin ganz in U (9; e)]. Wir bilden nun zu jeder Menge Z aus T(91, e) den Funktionswert v (S) und bezeichnen mit S{T(1, e)} die Summe der z (Z) [für alle Mengen $ aus T(9, e)] 2). Die untere Schranke aller dieser Zahlen S{T(9T, e)} [für alle möglichen T(91, o), bei festgehaltenem 91 und e] bezeichnen wir mit (9t, e). Weil für e'< jedes T(9,e') auch ein T(9,e) ist, so ist; (91,e')_2 (91,e) für Q'Qe. Es existiert also der Grenzwert: (0) 49 (9) = lim 9 (91, e). e=+o Hierdurch ist die Mengenfunktion 9{(91) für alle nicht leeren Mengen 91 definiert. Wir dehnen ihre Definition auch auf die leere Menge 2 aus durch die Festsetzung: 9(S) = o0. Wir behaupten: 1) Vgl. hierzu F. Hausdorff, Math. Ann. 79 (1918), 159. a) Gibt es unter den Zahlen T () eine nicht abzählbare Menge von N'ull verschiedener, so ist unter ihrer Summe der Wert -- oo zu verstehen.

Kap. VI, ~ 7. Inhaltsfunktionen. 451 Satz VII. Die durch (0) definierte Mengenfunktion p ist (wenn sie nicht für alle 91 verschwindet) eine gewöhnliche Maßfunktion. Wir haben zu zeigen, daß t (2) die Eigenschaften 1., 2., 3. von S. 424 und 4. von S. 430 besitzt. Für Eigenschaft 1. folgt dies daraus, daß () 0 vorausgesetzt war; für Eigenschaft 2. daraus, daß, wenn 13 < 92, aus jedem System T (, e) durch.Weglassen gewisser Mengen Z ein System T (, e) wird, für das dann: S {T (5, e)}S {T(9, e)}. Sei, um nun Eigenschaft 3. nachzuweisen: Wir haben zu zeigen, daß: (00) (W) < Das ist sicher richtig, wenn ein f (9,)= +- X. Seien also alle TP (1) en dlic h. Sei > 0 beliebig gegeben und {e} eine Folge positiver Zahlen, so daß: v Zu jedem 9,, gibt es ein System T (91, e), so daß: S S{T (9, e)} < f (91,,, e) + <e 9 + (KP) + et, Die Vereinigung dieser Systeme T (9^, e) (v-1, 2,...) bildet offenbar ein System T (9, e), für das: S {T (t, e)} <, S {T (9,v, e)} < ( (9W +e) + )< 9' (92y) +Ev v y Also ist auch: (,e)< (W)- E und mithin: ~r (W) - lim t( (92, e) ~ ~ f (9l,) + e, und da dies für jedes s > 0 gilt, ist (00) bewiesen. Es gilt noch, Eigenschaft 4. nachzuweisen. Seien zu dem Zwecke uS und;1 zwei Mengen positiven Abstandes. Wir haben zu zeigen: ( + S) = =t (91) +- 9 (3). Wegen (00) ist gewiß: f (1+ S3) +< f () + 9 (e5). Es genügt also, nachzuweisen: (000) f ( + )-cp)> (p) +- (). Wir wählen zu dem Zwecke die positive Zahl e: Jedes System T (9 -+ 53, C) ist dann Vereinigung zweier fremder Systeme T (91, ) und T (23, Q) und daher ist: S {T (9+2- +, e)} S { (9, )}+ S {T (, )}. Für die unteren Schranken folgt daher: (9 + -, e)> L (1, e) + (3, ), 29*

452 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. und hieraus folgt (000) durch den Grenzübergang P -- + -0. Damrit ist Eigenschaft 4. nachgewiesen, und der Beweis von Satz VII beendet. Satz VIII. Sind die Mengen Z des Systems T offen, so ist die durch (0) definierte Mengenfunktion p (wenn sie nicht identisch verschwindet) eine Inhaltsfunktion. Zufolge Satz VII haben wir nur mehr nachzuweisen, daß p die Eigenschaft 5 a. (S. 444) hat; d. h. wir haben zu zeigen: Zu jeder Menge 9 gibt es einen o-Durchschnitt > 92, so daß: (*) t (X)== (). Dies ist evident, wenn cp (91) =-+. Sei also t (9) endlich. Ist {t,} eine Folge positiver Zahlen mit (**) lim,=-~ 0, so ist nach Definition von 9p (9): (***) O() (-)= lim t (9Q, en). n = oo Und da T, (92, Q,) untere Schranke der S {T (92, e,)}, gibt es ein T (9, Q,), so daß; (***) S {T (2, en)} < f.(9, en) + Nach Annahme ist jede Menge aus T (91, e) offen, daher (Kap. I, ~ 2, Satz VII) auch die Vereinigung dieser Meenge, die wir mit,n bezeichnen wollen. Daher ist: <2= ' '2' * ', 'e.' *% 0,-0a... 0~.-... ein o -Durchschnitt, und es ist >-91. Wir behaupten: Jedes System T (1, kn) ist zugleich ein System T (), 2 n). Wegen T > 91 ist von den beiden Eigenschaften der Systeme T (), 2 en) (S. 450) die zweite sicher erfüllt. Was die erste anlangt, ist zu zeigen: Zu jedem Punkte a von ) gibt es in T (91, n) mindestens eine a enthaltende, in U (a; 2en) liegende Menge Z. Da D< ()n, gibt es in T (S, en) gewiß eine a enthaltende Menge S. Nach Definition von T (t9, e) liegt diese Menge Z ganz in der Umgebung U (a'; n) eines Punktes a' von 91. Es ist also' r(a, a') <Qn, und wegen < U (a';,,) ist nach der Dreiecksungleichung Z < U (a; 2 en), wie behauptet. Da also jedes System T (, en) ein System T (), 2e,) ist, folgt für die untere Schranke der S {T (, 2 )} aus (***): (2, 2 e)< (9, )n)+,-, mithin wegen (***) und (**): (o () = lim 9f (), Q) = lim f9 (O, 2 n") ~ (9). eo=+O n=oo Wegen ' > 9 ist aber andrerseits Es (g, u> (Sa). Es gilt also (*), und Satz VIII ist bewiesen.

Kap. VI, ~ 8. Inhaltsfunktionen im 7,. 453 ~ 8. Inhalts!unktionen im Uk. Wir wollen uns nun insbesondere mit Inhaltsfunktionen im 9Z1I beschäftigen. Sei eine Mengenfunktionp y definiert für alle abgeschlossenen Intervalle des 9k1); wir nennen sie dann: eine Intervallfunktion. Wir werden im folgenden unter einem Intervallsysteme eine Menge abzählbar vieler abgeschlossener Intervalle verstehen, die zu je zweien keine inneren Punkte gemein haben. Besteht ein Ihtervallsystem aus endlich vielen abgeschlossenen Intervallen, so nennen wir es ein endliches Intervallsystem. Ist 3 ein abgeschlossenes Intervall, G ein endliches Intervallsystem, und ist ZS die Vereinigung der Intervalle von ~, so heißt das Intervallsystem G ein endliches Zerlegungssystemi von 3. Wir dehnen die Definition der Intervallfunktion qy auf endliche Intervallsysteme aus durch die Festsetzung: Bilden die abgeschlossenen Intervalle,,..., *, das endliche Intervallsystem ~, so sei: (~)= (,) (%) - v -+... + (3.). Satz I. Sei 'y(3) eine (nicht identisch verschwindende) Intervallfunktion von folgenden Eigenschaften: 1. Es ist y ()> 0 für alle abgeschlossenen Intervalle 3. 2. Für jedes endliche Zerlegungssystem ~ von 3 ist: Verstehen wir dann unter p(S) die obere Schranke von 'p(%) für alle in der offenen Menge 0 enthaltenen endlichen Intervallsysteme ~2), so besitzt die Mengenfunktion (p(ß) die Eigenschaften 1., 2., 3., 4. von ~ 7, Satz VI. Für die Eigenschaften 1., 2., 4. ist dies evident. Wir haben also nur mehr nachzuweisen: ist (i1 63 1+) ö, - + + -..., wo die ~, offene Mengen, so ist: (2)>s9 (0)(i) < (<P(0)+ 9 ()) +. +T ()+... Wir beweisen dies zunächst für die Vereinigung zweier offener Mengen: Ist ~) Oder für alle in einer offenen Menge (S des 9k liegenden abgeschlossenen Intervalle. 2) Für die leere Menge 2 setzen wir p (2) = 0.

454 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. so ist: (3) ) ()< f (1)+ _ (0) Angenommen in der Tat, es wäre: (4) > (P (V)() + ) ((02) Dann gäbe es in 0 ein endliches Intervallsystem G, so daß auch: (5) 2 () > ( (C1) + 9 (^2). Seien 1,.., Sn, die Intervalle des Systems e. Weil Z) und ~2 offen sind, und somit nur innere Punkte haben, gibt es offenbar zu jedem dieser Intervalle:v ein endliches Zerlegungssystem ~G derart, daß jedes einzelne Intervall von (,, ganz in mindestens einer der beiden Mengen ~, und ~2 liegtl). Bestehe nun (3 aus den sämtlichen Intervallen von _, von (32..., von (i. Dann ist wegen Eigenschaft 2. von y: (6) S () _ (~). Da aber jedes Intervall von ~ sei es ganz in ~l, sei es ganz in 02 liegt, ist offenbar: (7) (1) + () _ (). Die Ungleichungen (5), (6), (7) aber stehen miteinander in Widersprach. Also ist (4) unmöglich, und somit (3) bewiesen. Durch vollständige Induktion beweist man nun sofort: Ist: ~i = 1 ~+ ~2 + * * * + )v (wo die ~, offene Mengen), so ist: P (C) ) -9 (,) + -9 ()) +-... + t (v). Sei endlich ~ gegeben durch (1). Wir setzen: 1) In der Tat, ist <v <1 +- - 2, so gibt es ein e > O, so daß für jeden Punkt a von v, mindestens eine der beiden Ungleichungen gilt: r (a, R -2) k h; r(a, R - 02) > ^ Denn anderenfalls gäbe es zu jedem m einen Punkt am von Z," für den: 1 1 r(am, R- )) <-; r(am, ) <. Für jeden Häufungspunkt a von {am} wäre: r(a, 9i- ~,) ==0; r(a, 9-2) = 0. Weil RI - und 1 - ~o abgeschlossen, heißt das aber: a gehört sowohl zu R —~ als zu 9R-D2. Da 2, abgeschlossen, müßte a auch zu!y gehören. Das aber ist unmöglich, da wegen S <~ ~+~- die drei Mengen R -1, Hi - 22, Sr keinen Punkt gemeinsam haben.

Kap. VI, ~ 8. Inhaltsfunktionen im Dik. 455 Dann ist, wie eben bemerkt: (8) (0,) < (,) +,P (V2) +..+ - ()Y Wir beweisen nun zunächst: (9) q (D) lim q~ ()). X,= X0 Jedenfalls ist, weil s, -<: 99 (Q) lim (~y). * v= Angenommen, es wäre: (10) p (Z) > lim f (~)..y = co Dann gibt es ein endliches Intervallsystem e in ), so daß auch: (11) Sv () > lim fq (0). Nun gibt es aber ein Z, so daß: (12) e<a, Denn andernfalls enthielte jede der abgeschlossenen Mengen 91 -,, einen Punkt von E, d. h. keine der abgeschlossenen Mengen G (9 -,) wäre leer, es wäre daher (Kap. I, ~ 2, Satz VIII) auch ihr Durchschnitt nicht leer, d. h. es gäbe einen nicht zu 0 gehörigen Punkt von (S, entgegen der Annahme -< ~0. - Wegen (12) ist nun ( auch Intervallsystem aus ~,, es ist daher: t (:,)>v (e), und da die 99 (,,) monoton wachsen, ist auch lim (.)) _ (C), V = r0 im Widerspruche mit (11). Also ist (10) unmöglich, und (9) ist nachgewiesen. Aus (9) und (8) aber folgt durch den Grenzübergang v- oo die zu beweisende Ungleichung (1), und Satz I ist bewiesen. Das wichtigste Beispiel zu Satz I erhalten wir, indem wir unter der Intervallfunktion y( d) den Inhalt von S verstehen, d. h. indem wir, wenn: =[a1, '....,a; bl, b2,..., b] ist, setzen:, (S) =- (b -- a) (b - a)... (b, - ak). Es entsteht nach Satz I aus dieser Intervallfunktion eine für alle offenen Mengen definierte Mengenfunktion, aus der weiter nach

456 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. ~ 7, Satz VI eine Inhaltsfunktion abgeleitet werden kann, die wir mit yk(92) bezeichnen, und die der k-dimensionalet) äußere Inhalt von 2( heißt. Wo kein Zweifel möglich ist, sagen wir auch kurz: der äußere Inhalt und schreiben /, (2). Die tL-mneßbaren Mengen heißen k-dimensional-meßbar (oder kurz: meßbar); für eine solche meßbare Menge wird /,(9l) als der (k-dimensionale) Inhalt bezeichnet. Das innere /,,-Maß von 9 wird bezeichnet mit /1t. (91) oder,u*,() und heißt der (k-dimensionale) innere Inhalt von 9I2). Als Inhalt-'unktiion ist /t auch eine reguläre Maßfunktion (~ 7, Satz I), die offenbar auch stetig ist (~ 3, S. 408). Aus ~ 6, Satz IX und X entnehmen wir daher: Satz II. Damit die Menge 9 endlichen äußeren Inhalts k- dimensional- meßbar sei, ist notwendig3) und hinreichend, daß Aus ~ 6, Satz II und ~ 3, Satz VI folgt: Satz III. Jede Borelsche Menge des 9, ist k-dimensionalmeßbar4). Insbesondere ist für jede abzählbare Menge Aus ~ 7, Satz IV und V endlich folgern wir: Satz IV. Zu jeder Menge 91 des 9, gibt es eine maßgleiche Hülle, die o-Durchschnitt, und einen maßgleichen Kern, der a-Vereinigung ist. Endlich gilt noch: Satz V. Zu jeder Menge 9 von endlichem aj(%) und zu jedem e O gibt es eine offene Menge >-91, so daß: k (0) < k (O) +. 1) Für k= 1 sagen wir statt eindimensional auch:,linear". 2) Der Begriff des k-dimensionalen Inhaltes (äußeren, inneren Inhaltes) einer Punktmenge des trk stammt von H. Lebesgue, Ann. di mat. (3) 7, (1902), 235; Leg. sur l'int6gration (1904) 109. Unabhängig hiervon ist auch W. H. Young zu einem äquivalenten Inhaltsbegriff gekommen: Lond. Proc. (2) 2, (1904), 16. Weniger weittragende Theorien des Inhalts von Punktmengen hatten vorher entwickelt H. Hankel, Math. Ann. 20, (1882), 87 = Ostw. Klass. Nr. 153, 71; 0. Stolz, Math. Ann. 23, (1884), 152; G. Cantor, Math. Ann. 23, (1884), 473; A. Harnack, Math. Ann. 25, (1885), 241; G. Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (1887), 154; C. Jordan, Cours d'analyse, 2. ed., 1, (1893), 28; E. Borel, Leg. sur la thborie des fonctions (1898), 46. 3) Die Bedingung ist n o t w e n d i g, auch wenn t7, (9) =+ -oo. 4) Beispiele von Mengen des 9l, die-nicht k-dimensional-meßbar sind, werden wir -- um hier nicht den Gang der Entwicklungen zu unterbrechenan späterer Stelle bringen (Kap. VIII, ~ 5).

Kap. VI, ~ 8. Inhaltsfunktioneni im 9ik. 457 In der Tat, es ist /k. ein Spezialfall der Inhaltsfunktionen von ~ 7, Satz VI; deren Definition zufolge ist also /, (S() die untere Schranke von tk (0) für alle offenen Mengen D >-. Damit ist Satz V bewiesen. Wie Satz III lehrt, sind alle Borelschen Mengen des '9I k —dimensional-meßbar. Wir wollen uns iberzeugen, daß es aber k-dimensional-rneßba,re Mengen gibt, die nicht Borelsche Mengen sind. Wir gehen aus von der Bemerkung: Satz VI. Es gibt im 9ä'nicht leere, perfekte Mengen des k-dimensionalen Inhaltes 0. Das ist selbstverständlich, wenn k> 1: die Menge aller Punkte (x, 0,...,0) des fk, für die 0 x< l, ist eine solche Menge. Es ist also nur mehr der Fall k 1 zu behandeln. Sei u die Menge aller unendlichen Systembrüche der Grundzahl 3: 0- e..e.... e, in denen keine Stelle 1 vorkommt. Nach Kap. I, ~ 9, S. 110 ist 1$ perfekt. Wir wollen zeigen, daß: ä ()= 0. In der Tat, es ist 3 das Komplement zu [0,1] der abzäahilbaren Menge der (zu je zweien fremden) Intervalle: (t) (0. ee... e1, 0.ee..e,2) (~=0, 1,2,...), in denen keine der Stellen e, e.,..., e den Wert 1 hat. Jedes Intervall (-t) hat den Inhalt 3 Un, und es gibt (bei gegebenem v) 2' solcher Intervalle. Die Vereinigung S8 aller dieser Intervalle hat also den Inhalt: L2v -- 0 Das Komplement 3 von S8 zu [0, 1] hat also den Inhalt,u () — 0, wie behauptet. Damit ist Satz VI bewiesen. Es folgt aus ihm: Satz VII. Die Menge aller k-dimensional-meßbaren Punktmengen des 9k hat die Mächtigkeit 2C. Sei in der Tat $ eine nicht leere, perfekte Menge des 9kl mit tk()O)==0. Für jeden Teil fy von 3 ist dann: /k (W) -0, und daher ist 9 meßbar (~ 5, Satz XVI). Als perfekte Menge hat

458 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. 3 die Mächtigkeit c (Kap. I, ~ 8, Satz XII). Es gibt also 2c Teile von n (Einl. ~ 2, Satz XI), und Satz VII ist bewiesen. Nun folgt sofort: Satz VIII. Es gibt im 9n k-dimensional-meßbare Mengen, die nicht Borelsche Mengen sind. In der Tat, wegen 2C c (Einl. ~ 2, Satz XII) folgt dies nun unmittelbar aus der Tatsache, daß es im Sc, c Borelsche Mengen gibt (Kap. V, ~ 7, Satz V). Als Gegenstück zu Satz VI zeigen wir nun1): Satz IX. Ist 2 ein abgeschlossenes Intervall des 9k und q irgendeine Zahl: q< c (3), so gibt es eine in 3 nirgends dichte, abgeschlossene Menge 9(-<3), für die: Mk (9) > q. In der Tat, sei r:, r2,..., rn,... die Menge aller rationalen Punkte von 2, und sei {e,} eine Folge positiver Zahlen, so daß: (tt),J^ <,acfö) M v=l Sei weiter 3, ein r, enthaltendes offenes Intervall, für das: Yk (~) <,v Dann ist: eine offene Menge, für die wegen (tt): (ttt) Mk ())< tll c()- Infolgedessen ist = (j - 0).* 3 eine abgeschlossene Menge, die offenbar nirgends dicht in 3 ist, und für die wegen (ttt): (W)= k (f) - / (E ~) > ', (3) -- M (Y) > q ist. Damit ist Satz IX bewiesen. Satz IX kann übrigens noch etwas verschärft werden: Satz X. Ist 3 ein abgeschlossenes Intervall des 98,I und q irgendeine Zahl: 0 _< <,__ (3), 1) Das erste Beispiel einer nirgends dichten, abgeschlossenen Punktmenge des 91 mit positivem Inhalte rührt wohl her von H. J. St. Smith, Lond. Proc. 6 (1875), 148.

Kap. VI, ~ 8. Inhaltsfunktionen im 9iI. 459 so gibt es eine in 3 nirgends dichte, abgeschlossene Menge x(-<3), für die: Mk (v) q. In der Tat, nach Satz IX gibt es zunächst eine in l nirgends dichte, abgeschlossene Menge 9 '-< 3, für die: (ttt) Mk()> Q Wir bezeichnen mit r (i2>0) das Intervall:,%.=[- -,- *..., —l; ü, A, *. *L]. Dann ist (7S,(2'3) eine stetige Funktion von 2, die, wenn A von 0 bis + oo wächst, alle Werte von 0 bis Ätt (f') durchläuft. Wegen (ttt) muß es daher ein 2 geben, so daß: Wir setzen: und Satz X ist bewiesen. Die große Bedeutung der im vorstehenden eingeführten Mengenfunktion p>, die wir als den k-dimensionalen Inhalt bezeichnet haben, beruht auf folgendem: Wir stellen uns, um den elementar-geometrischen Inhaltsbegriff zu verallgemeinern, die Aufgabe, im 9k eine absolut-additive, nicht-negative Mengenfunktion f zu finden, die, wenn 2* ein offenes Intervall (a, a,,... a/; b1, b,...., bl,) ist, gleich dem Inhalt dieses Interyalles wird: (x) Q (3*) = (b, - a,) (b2 - a)... (b,, - ak). Es zeigt sich dann, daß für alle k-dinmensional-m.eßbaren Mengen des 9S, diese Funktion qp notwendig mit tk übereinstimmt. In der Tat, zunächst ist dies offenbar für alle offenen Intervalle der Fall. Sodann folgert man leicht, daß auch für das abgeschlossene Intervall: ==- [a", a 2.., ak; b, b,..., bk] die Formel gilt: () =(bl- - a) (b - a,)... (b - a). Da nun jede offene Menge S Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Intervalle ohne gemeinsame innere Punkte ist, so erkennt man sofort, daß t (D) die obere Schranke der Inhalte aller endlichen Intervallsysteme aus 0 ist, so daß für alle offenen Mengen (D) = ~,7, (D). Daher stimmen tq und MI, auch für die Komplemente der offenen Mengen, d. h. für die abgeschlossenen Mengen überein, und somit auch für o-Durchschnitte und a-Vereinigungen. Da es aber (Satz IV) zu jeder k-dimensionalmeßbaren Menge eine maßgleiche Hülle gibt, die o-.Durchschnitt ist,. und einen maßgleichen Kern, der a-Vereinigung ist, so stimmen gp und /h auch für alle k-dimensional-meßbaren Mengen überein, wie behauptet1). 1) Es sei noch eigens bemerkt, daß es eine nicht-negative, im a-Körper aller Punktmengen des 8k absolut-additive Mengenfunktion tP, für die (x) gilt, nicht geben kann: F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre 401; vgl. auch ebenda 469.

460 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. Wir machen nun eine Anwendung der Sätze VII und VIII von ~ 7. Unter der k-dimensionalen Kugel vom Mittelpunkt (a, a2,..., ak) und vom Radius r (> 0) verstehen wir die offene Menge aller jener Punkte (x,, x,..., xk) des Sk, deren Koordinaten der Ungleichung genügen: (xl - al2 - (x2 - a)2 — 1.. + ( - ak)2 < r2. Das Mengensystem T, das bei Konstruktion der Mengenfunktion on ~ 7, S. 450 auftrat, sei nun das System aller k-dimensionalen Kugeln, die in T:definierte Mengenfnktion v (Z) sei der k-dimensionale Inhalt') der Kugel Z. Wir behaupten: Dann ist die Mengenfunktion rp von ~ 7, Satz VII nichts anderes, als der k-dimensionale äußere Inhalt ka). In der Tat, zunächst ist jedenfalls (0) ) > (2QDenn wäre umgekehrt: (p (P) A Sk (1), so wäre für jedes p > 0 auch t (, s) <.k (P))< Es gäbe daher ein System T (9f, 9) von Kugeln, für das: S {T (9s, o)} <' MB (Y[) wäre. Das aber ist unmöglich, da S {T (92, e)} die Summe der Inhalte von Kugeln ist, deren Vereinigung 9( enthält. Damit ist (0) bewiesen. Wir beweisen nun. die umgekehrte Ungleichung: (00) 9I () < pk ()-). Sie ist evident, wenn /k (2)-+ co. Ist ipi (lI) endlich, so gibt es nach Satz V zu jedem e>0 eine offene Menge > 9f, so daß: fick (D) < k ( +) + Nun gibt es, wie man sich unschwer überzeugt, zu jedem > 0 und jedem e > O ein System von abzählbar vielen Kugeln, I.,.,.... aus ~, deren Radien < {? sind, deren Vereinigung ganz 6 ist, und für die: (000) k () < k (D) + (< k (+) + 2,). Lassen wir alle y, weg, die etwa keinen Punkt von f enthalten, so entsteht ein System T (9(, Ö), für das wegen (000): S {T (92, e)} </ RIC (W) + 2. Es ist also erst recht: f (9, Q) < 7 2)+2t, und da dies für jedes s > 0 gilt: ___ (OX? e) Yk (21) 1) Ist Z eine Kugel vom Radius r, so ist also für kc 1: ) (Z) =2 r; für k-=2: z($)=' 27; für k- 3: T()- 4r3. Allgemein: 1 ki ( (2k+1) 2) Da der Inhalt der Kugeln offenbar invariant ist gegenüber orthogonaler Transformation des 1k, folgert man hieraus sofort, daß auch der äußere Inhalt ilk (t) invariant ist gegenüber orthogonaler Transformation.

Kap. VI, ~ 9. Absolut-additive Mengenfunktionen im A9. 461 Dies galt für jedes o > 0, also ist auch 9 (9) lim rp (E, ) < pl; (9), e=+o und (00) ist nachgewiesen. Aus (0) und (00) aber folgt die behauptete Gleichheit f (W2) = k ()-). Auf neue Inhaltsfunktionen kommen wir hingegen ), wenn wir unter v (Z) nicht, wie soeben, den k-dimensionalen Inhalt der Kugel Z, sondern den q-dimensionalen (q < k) Inhalt einer q-dimensionalen Kugel von gleichem Radius wie 5 verstehen. Wir bezeichnen dann die entstehende Mengenfunktion mit rq (2) und nennen sieden q-dimensionalen äußeren Inhalt von i2 (im Falle q ==1 auch den linearen äußeren Inhalt). Die,q-meBbaren Mengen heißen q-dimensionalmeßbar, und Mpq() heißt dann der q-dimensionale Inhalt von 2f. Das innere /q-Maß von S2 wird bezeichnet mit p.* (91) und heißt der q-dimensionale innere Inhalt von 21. Auch iq ist eine reguläre Maßfunktion. Es gelten daher die zu den Sätzen II, III, IV analogen Sätze auch,für p q < k). Doch besteht kein Analogon zu Satz V. Vielmehr ist, wenn q < k, für jede offene Menge 0. des Rk: 11q (i) ==4- +, wie aus folgendem Satze hervorgeht: Satz XI. Ist für die Punktmenge 92 des 9k 4(92t) endlich, so ist für q<q'~k: to, (=) =0. In der Tat, jedes System T (9, Ö) besteht aus k-dimensionalen Kugeln t, von Radien <, in deren Vereinigung 91 enthalten ist. Sei T (SZ) der p-dimensionale Inhalt der p-dimensionalen Kugel von gleichem Radius wie Z, und sei Sp {T (, e)} die Summe der Tp () für alle Z von T (91, )). Zufolge der Definition von pq gibt es für jedes > 0 ein System T (, Ö), für das: (*) sq T (2S, e)} < Iq (9) + 1. Nun ist aber für alle Kugeln 5, deren Radius < e ist, und für q < q' ck: Tq, (Z) < ~C q'-, q (Z), wo c eine geeignete Konstante. Also ist: Sq' {T (9, e)} < c e'- S, {T (21, e)}. Also gilt für die untere Schranke 9gq' (1, e) der S, {T (9I, ')}, wegen (*): fq' (2X, e) <c Q'- q (q () -- ), und mithin ist, wegen q' > q: q' (i) =e) lim 9Q, (9, ) 0, wie behauptet. ~ 9. Absolut-additive Mengenfunktionen im il;. Sei M ein o-Körper von q-dimensional (q<k) meßbaren Punktmengen des Dik, und sei tp eine in M definierte, absolut-additive Mengenfunktion. Mit po bezeichnen wir wieder den q-dimensionalen Inhalt. Ist die Mengenfunk1) C. Carath6odory, Gött. Nachr. 1914, 420. F. Hausdorff, Math. Ann. 79 (1918), 163.

462 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. tion pf totalstetig nach der Basis y1q (~ 4, S. 416), so nennen wir sie q-dimensional totalstetig, ist sie rein-singul'r nach der Basis /uq (~ 4, S. 421), so nennen wir sie q-dimensional rein-singulär. Wir setzen im folgenden voraus, die Mengen des a-Körpers M seien für q 1, 2,..., k q- dimensional-meßbar. Satz. Ist die Mengenfunktion 9p q-dimensional totalstetig, so ist sie für p < q auch p-dimensional totalstetig. In der Tat, ist 9i eine Menge aus M, und ist: HP (1) =0, so nach ~ 8, Satz XI auch: Ja (~) = O, und weil 9 q-dimensional totalstetig, auch: f ()= o0. Damit ist Satz I bewiesen. Satz II. Ist die Mengenfunktion qg q-dimensional rein-singulär, so ist sie für p> q auch p-dimensional rein-singulär. In der Tat, ist für eine Menge Z aus M: (0) f (W) + o, so gibt es, da 9f q-dimensional rein-singulär, einen Teil- 9 von 91, so daß: (0) + 0; tq8 (3)= 0. Nach ~ 8, Satz XI ist dann auch p (S) -= 0, und wir sehen: in jeder Menge W aus M, für die (0) gilt, gibt es einen Teil 9, so daß: (e)+0;,up (3)= 0, d. h. wp ist auch p-dimensional rein-singulär, wie behauptet. Satz III1). Jede im o-Körper M absolut-ad ditive Mengenfunktion 9f ist darstellbar in der Form: (1) 9=- 9-fk +- 9kl+* - +9 l o +-, wo (. (q= 1, 2,..., k) q-dimensional totalstetig, 9,-1 (q= 1, 2,..., k) q-dimensional rein-singulär, 9pq stetig, Ca rein-unstetig in M. In der Tat, nach ~ 4, Satz XI hat man (für /? = P): = 99-k+- o k, wo (pk Regularitätsfunktion, ok Singularitätsfunktion von fq nach /a, und mithin vk, k-dimensional totalstetig, c;k k-dimensional rein-singulär. Ebenso (für == uk _): (ok - + -- Ok- ' wo 99k- Regularitätsfunktion, _k-' Singularitätsfunktion von cok nach _k l, und mithin k't-1 (k -1)-dimensional totalstetig, cok_ (k-l)-dimensional reinsingulär. Indem man so weiter schließt, erhält man: (2) 9 =9 fk +,Ek- + * + 991 + 1o, wo 9q (q =, 2,..., k) q-dimensional totalstetig, `o, eindimensional reinsingulär. Nach ~ 3, Satz XV ißt: (3) ü1== 9PO- + Ca, 1) Vgl. J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913), 1322.

Kap. VI, ~ 9. Absolut-additive Mengenfunktionen im rk. 463 wo.90 Stetigkeitsfunktion, w UJnstetigkeitsfunktion von Tp und mithin Q9 stetig, a rein-unstetig. Setzt man (3) in (2) ein, so erhält man (1), und es bleibt nur zu zeigen, daß öq-1_ (q = 1, 2,..., k) q-dimensional rein-singulär ist. Sei zu dem Zwecke 1 eine Menge aus M, für die: (4) _-(X) + 0. Wir haben zu zeigen, daß es in ihr einen Teil B8 gibt, so daß: (5) -1 (i) + 80; (13) 0 () 0. Sei zunächst q> 1. Es war: (6) %q = q-1 + _-, worin 9q-1 Regularitätsfunktion, c_ - Singularitätsfunktion von oe nach P_ -1; d. h. wenn 2Ex einen Regulärteil von ~ für coq nach _- bedeutet: (7) 9_-iW ( 9x)=(x); (vom-,, ~x)= 0. Wegen (4) ist also: Cup (fix) + O. Da Wq q-dimensional rein-singulär, gibt es in Ex einen Teil S2, Bo daß: (8) q (3)+ O; q (3)-0. Wegen der zweiten Gleichung (7) ist aber: _- 1 (23) =0. Mithin wegen (6) und (8)s.2_-1 (S)-= O (S) + o. Hierdurch zusammen mit der zweiten Gleichung (8) ist aber (5) nachgewiesen, d. h. es ist q_ i (q > 1) q-dimensional rein-singulär. Sei sodann q = 1. An Stelle von (6) tritt dann (3), und es ist, wenn W1* einen Stetigkeitsteil von fü für col bedeutet: o () o ( c*) (o, (c, a S*) = O. Wegen 9(0 (1) + 0 ist also:: + ( 0*) -= 0, von wo aus ebenso weiter geschlossen werden kann wie vorhin. Damit ist Satz III bewiesen. Satz IV. Ist die Mengenfunktion gp von Satz III endlich, so gibt es außer der Zerlegung (1) von Satz III keine andere: (9) f = t + tk-l + *.*+v +V-o+, in der vq (q= l, 2,..., k) q-dimensional totalstetig, vyq_ (q = 1,2,..., k) q-dimensional rein-singulär, Wo stetig, X rein-unstetig in M ist, und sämtliche Summanden endlich sind. Wir zeigen zunächst, daß (für q 1, 2,..., k) (10) % =- q - l + ~q- 2 ~. + eo + X q-dimensional rein-singulär ist. In der Tat, wie aus Satz II folgt, ist jeder einzelne Summand rechts q-dimensional rein-singulär1). Sei nun 2 eine beliebige Menge 1) Für die rein-unstetige endliche Mengenfunktion X ist dies selbstverständlich, da sie iaoh ~ 3, Satz VIII nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte besitzt.

464 Die absolut-additiven Mengenfunktionen. aus M, 1x Singulärteil von 2 für xpl nach bt, V** Unstetigkeitsteil von. 2 für D. Dann ist: (i1) ~n(x) —0 (p=0, O..., * -), und weil *9* abzählbar (~ 3, 'Satz VIII), auch: (i12)> ' (**)= 0. Nach ~ 4, Satz VII ist S2-S x Regulärteil von 2 für ip? nach yq; nach ~ 3, Satz IX ist 1 - %** Stetigkeitsteil von 2 für Z. Wir setzen: wX X W X><t i21XX L * Wo XX 9 xf* q — q-2 - + x qund haben wegen (11) und (12): (13) (xx) - 0. Wegen: g- sf xx < - x (p=0,., - 1); t-.XX <Z _ - ~A** ist, da y, q-dimensional rein-singulär und x rein-unstetig: (14) (S1 -- xx)-=0 (p=O, l,.., q- 1); X( -2xx)-=0. Sei nun: (15) 0Ve- (2) + O. Wegen (10) und (14) ist dann auch: 7q (Xxx) +o. Wegen (13) ist also q9xx singulärer Teil von 21 für /)q nach yq.; jede Menge 21, für die (15) gilt, enthält also einen singulären Teil, d. h. es ist -q q-dimensional rein-singulär, wie behauptet. Wegen (9) und (10) ist nun: wo Yk k-dimensional totalstetig,.ik k-dimensional rein-singulär. Nach ~ 4, Satz XII ist also (wenn ok9 dieselbe Bedeutung hat, wie beim Beweise von Satz III): =k = 79; VP'7c =: ~ Es ist demnach Cl - + ~ik- 1 und derselbe Schluß zeigt, daß: Pk -1?k-; ' -1 —kIndem man so weiter schließt, zeigt man, daß: 'k - k, Wk - -= k- 1, '.,, Wt t und: 1 = Vo + x. Aus ~ 3, Satz XVI folgt endlich noch: Daoit ist Satz IV bewiesen. Damit ist Satz IV bewiesen.

Siebentes Kapitel. Die Funktionen endlicher Variation. ~ 1. Absolutzuwachs, Positivzuwachs, Negativzuwachs einer Funktion. Wir haben in ~ 8 von Kap. VI gesehen, wie aus einer, zwei einfachen Forderungen genügenden Intervallfunktion y des 9i eine Inhaltsfunktion hergeleitet werden kann. Als erstes Beispiel hierfür erhielten wir den k-dimensionalen äußeren Inhalt, indem wir unter der Intervallfunktion Sp (,) den k-dimensionalen Inhalt des Intervalles 3 verstanden. Wir machen nun eine zweite Anwendung dieser Theorie. Sei in einer offenen Punktmenge q des 9k eine endliche Funktion f(X, X2,..., x) definiert1), und sei: (1) -3= [a,, a,..., aj; b, b,..., bk] ein abgeschlossenes, in ( enthaltenes Intervall. Wir definieren die Differenz A(3)2) von f im Intervall 3 durch Induktion: für k== 1 (Funktionen einer Veränderlichen) sei die Differenz von f(x) im Intervalle: 3=[a, b] definiert durch: A (S) f(b) - f(a). Sei sodann bekannt, was unter der Differenz einer Funktion von k- 1 Veränderlichen in einem abgeschlossenen Intervalle des 9t_ zu verstehen sei. Wir betrachten die Funktion 9(, (,2 Xk)j f(bl, X,..., Xk) f(aß, x,,..., xk) 1) In den folgenden Untersuchungen ist diese Menge ~ als der metrische Raum te zu betrachten, der den allgemeinen Untersuchungen von Kap. VI zugrunde lag. 2) Ist es notwendig, die Funktion f in Evidenz zu setzen, so schreiben wir statt dessen: A (q, f). Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 30

466 Die Funktionen endlicher Variation. und definieren die Differenz A (3) von f((x, x2,..., Xk) im Intervalle (1) als die Differenz von p (x2,..., x) im Intervalle [a,..., a.; b2..., b]. Man bestätigt dann sofort durch Induktion folgendes Bildungsgesetz von A (3): Es ist A (3) die Summe aller jener Glieder, die man aus f(bl, b2,..., b) erhält, indem man darin auf alle möglichen Weisen 0, 1, 2,..., k der Zahlen b, durch die entsprechende Zahl ac ersetzt, und das Vorzeichen + oder - gibt, je nachdem die Zahl der ersetzten b, gerade oder ungerade ist. Daraus folgt ohne weiteres: Ist a, - al, < al, 1 <... < a1, n-l < a1, n bx, und wird gesetzt: 3v -- [a, _, a,-1..., ak; a1,, b2..., bk], so ist: A ) A=d(%) + A(2) + + (A ) Indem man diese Tatsache mehrmals hintereinander anwendet, findet man: Ist ai= ai,o<ai,< <...< ai,-, n bi (i- 1, 2,., c),: und wird gesetzt: (2) Sl, 3'2. Vk = [al, " t 2, '2-1, * * * ak 'k-1; al, l a2~, )'2S. ak, k] so ist: ~1 n.2 nk (3)(3)= 2 2 *. S (, A.) Y=l:l 12=-1 VIc.l Daraus folgt endlich allgemein: Ist 55 === + l2 * + n irgendein endliches Zerlegungssystem (Kap. VI, ~ 8, S. 453) von 3, so ist: (4) A (3) = (31) + (3)+...+ (,). Sei in der Tat: -- [a:t,, a2,.y,..., ak, b,., 5,,] Seien ai,o, ai, 1,.. ai, i die sämtlichen verschiedenen a,. und b,, der Größe nach geordnet. Die Intervalle (2) bilden dann ein Zerlegungssystem von 3, und sie zerfallen in n Inbegriffe, deren jeder ein Zerlegungssystem eines der Intervalle *..., Sn darstellt. Wendet man auf 3 Formel (3) an, und sammelt in der rechts auftretenden Summe die zu 31, zu ~,..., zu 2j gehörigen 1 3~,,.., V, so erhält man die behauptete Formel (4).

Kap. Vii, ~ 1. Absolutzuwachs, Positivzuwachs usw. 467 Wir definieren nun für alle abgeschlossenen Intervalle 3 des Definitionsbereiches O von f drei Intervallfunktionen1) A (3), P(), N(3) durch die Festsetzungen: A()= A( p ( tA (S) wenn (3) (5) wenn zS(3)<0. 0 wenn A () 0. tN( — IIA(S) wenn JA()<0. Dann ist: 6) A (3)= P () + N(3); A (s)=P()- N(). Wie in Kap. VI, ~ 8, S. 453 dehnen wir diese Definitionen auf Intervallsysteme2) ( aus durch die Festsetzung: Besteht E aus den Intervallen:31, 2,.*.., 3,,... s ei3): A() =2 d (A%); A (()= 2 A (3v); ( ) P()= 2P(8,); N()= (.. y v Wir erkennen dann ohne weiteres, daß die Intervallfunktionen A (), P(S), N () die beiden in Kap. VI, ~ 8, Satz I geforderten Eigenschaften haben. In der Tat, Eigenschaft 1. dieses Satzes ist erfüllt, denn es ist: A () > o; P(3) > O; v (3) > 0; und auch Eigenschaft 2. ist erfüllt, denn es gilt der Satz: Satz I. Ist das System E der Intervalle,i?,*...,, ein Zerlegungssystem von:, so ist: A (e) > A (3); P(g) > P(3); N(g) > N(3). In der Tat, dies folgt unmittelbar aus (7), (5) und (4). Aus Satz I von Kap. VI, ~ 8 entnehmen wir also: Ist d irgendein offener Teil des Definitionsbereiches M von f und bezeichnen wir mit a (D), z '(),v () die oberen Schranken von A (), P(e), N((i) für alle in der Menge 0 enthaltenen endlichen Intervallsysteme (, 1) Ist es nötig, die Funktion f in Evidenz zu setzen, so schreiben wir statt dessen: A (, f), P(, f),N(, f). 2) Wie dort verstehen wir unter einem Intervallsystem eine Menge abzählbar vieler abgeschlossener Intervalle, die zu je zweien keinen inneren Punkt gemeinsam haben. 8) Die Summen A(g), P(e), N(g) können stets gebildet werden, A (e) nur, wenn von den beiden Summen P(2), N(g) mindestens eine endlich ist (vgl. S. 395, Fußn. 2). 30*

468 Die Funktionen endlicher Variation. so besitzen die so definierten Mengenfunktionen a (), r (0), v (0) die Eigenschaften 1., 2., 3., 4. von Satz VI in Kap. VI, ~ 7. Es können also ca(0), z (0), v (0) erweitert werden zu Inhaltsfunktionen a (Qf), r (W), (v)1), die für alle Teilmengen 2 von (M definiert sind. Wir bezeichnen sie als den äußeren Absolutzuwachs, den äußeren Positivzuwachs, den äußeren Negativzuwachs von f auf f, und können den-Satz aussprechen: Satz II. Ist die Funktion f definiert und endlich in der offenen Punktmenge ( des k', so sind ihr äußerer Absolutzuwachs, Positivzuwachs, Negativzuwachs Inhaltsfunktionen, die für alle Punktmengen aus (M definiert sind. Zwischen den Funktionen a ( 9), r (9l), v (S) besteht folgender Zusammenhang: Satz III. Für jede Punktmenge 2I aus @ ist: (*) c ()-= n (g)+ v (g). Wir. beweisen die Gleichung (*) zunächst für alle offenen Mengen 0 aus 2. Wegen (6) wird es genügen, nachzuweisen: Es gibt in D eine Folge endlicher Intervallsysteme {(,}, so daß: (**) a () - lim A ((); (S))=limP(en); v (S)) lim N(Q ). n=oo n=ao rn=~o Nach Definition sind a (Z), n ()), v (S) die oberen Schranken von A((), P(3), N(() für alle möglichen endlichen Intervallsysteme, aus ~. Es gibt also Folgen {(n}, {(5}, {fn} solcher Intervallsysteme, so daß: (***) a (D) lim A (G'); n (~) = lim P (cn'); v (0) lim N ( "'). _=00 n-=-oo nn= o Ersetzt man nötigenfalls die Intervalle von En, G(, ~n' durch geeignete Zerlegungssysteme (wodurch sie in die Intervallsysteme n n n? ct übergehen mögen), so gibt es ein System (1, derart, daß jedes Intervall von (n, von Ge, von f(3' auch zugleich Intervall von (n ist. Nach Satz I ist dann: (***) A((n) A (~); P( \)n P (n); N(^) (~ ) Und da a()),z (~), (!) die oberen Schranken aller A (), P(G), N(() sind, folgen aus (***) und (***) sofort die behaupteten Beziehungen (**). Damit ist (*) für alle offenen Mengen 0 aus ( nachgewiesen. 1) Ist es notwendig, die Funktion f in Evidenz zu setzen, so bezeichnen wir diese Mengenfunktionen mit a (21, f), r (, f), v(T, f).

Kap. VII, ~ 1. Absolutzuwachs, Positivzuwachs usw. 469 Sei nun 91 eine beliebige Punktmenge aus @S. Nach Definition (Kap. VI, ~ 7, Satz VI) sind a (9), n (9), v (9) die unteren Schranken von ca((), z (Z), v(0) für alle I enthaltenden offenen Mengen S aus (. Es gibt also Folgen {Ü4}, {Dan}, {nD'} von offenen Mengen 0 aus (, die 9 enthalten und für die: (t) a (1)- lima (C4); n (9) -l im:x ( '); v (%) - lim v ('n ). n-=oo n-=oo n=oO Wir setzen: * in - in Dn i't dann ist: 0i-< 'n; D}<n; 0 Ü<0n. Da c,:7, v Maßfunktionen (Kap. VI, ~ 5, S. 424), ist also auch: (tt) Ü(i (In); -Z (Dn) ^ JC (S'); (Dn) ().n Und da a (9), (91), y (W) die unteren Schranken aller a (0), (0), Y (0) sind (91-< D-< (), so folgt aus (t) und (tt): (ttt) a (9) =lim (sn); n ()-=lim h^ (~n); v (9) == limr (D")n=oo n-oo n=oo Wie schon bewiesen, ist aber: so daß aus (ttt) die Behauptung (*) folgt. Damit ist Satz III bewiesen. Satz IV. Eine Menge D aus 6 ist a-meßbar dann und nur dann, wenn sie sowohl a-meßbar als v-meßbar ist. Seien in der Tat 91 und U) zwei Mengen aus 6, und sei c (9) (und somit auch a(W) und v(91)) endlich. Nach SatzIII ist: a (1) n (x))+ v (9). (o) a (s. A)= 37 (i. {m') +,v (S. m') a (S- ')=n - n g')-() + v - V,'1) Gelten also die Gleichungen: (00) ( 9)= (9 91) + V (9 - i. W), so auch die vermöge (0) daraus durch Addition folgende Gleichung: (ooo) a (X) =a (m ') + ca (S - m. ), d. h. (Kap. VI, ~ 5, Satz I) ist 93 sowohl -n-meßbar, als auch v-meßbar, so auch cc-meßbar. Nach Eigenschaft 3. der Maßfunktionen (Kap. VI, ~ 5, S. 424) ist: n (m' ^) ^-m') rn ); (m'tS) f-,(S —.m) v W.

470 Die Funktionen endlicher Variation. Wegen (0) kann also, da n(Wf) und r(f) endlich sind, (000) nur dann gelten, wenn (00) gilt, d. h. es ist die Menge DZ a-meßbar nur dann, wenn sie sowohl a-meßbar als auch v-meßbar ist. Damit ist Satz IV bewiesen. Wir nennen die a-meßbaren (und somit auch -meßbaren und,-meßbaren) Mengen aus O auch f-meßbar. Ist 9X f-meßbar, so nennen wir oa(t), n(9), v(2) auch Absolutzuwachs, Positivzuwachs, Negativzuwachs von f auf if. Da nach Satz II a eine Inhaltsfunktion, und mithin (Kap. VI, ~ 7, Satz I) auch eine reguläre Maßfunktion ist, können wir den Satz aussprechen (Kap. VI, ~ 6, Satz II): Satz V. Ist f definiert und endlich in der offenen Punktmenge ( des 9k, so bilden die f-meßbaren Mengen einen alle Borelsehen Mengen aus ~ enthaltenden o-Körper, in dem Absolutzuwachs, Positivzuwachs, Negativzuwachs von f absolut-additiv sind. Sei 9 eine beliebige Punktmenge aus ~, für die mindestens eine der beiden Zahlen n(Sf) und v(%) endlich istl). Wir setzen: 6 () -= ) (S) v (OX), und nennen diese Größe den äußeren Zuwachs von f auf 9I, oder wenn 9 f meßbar ist, kurz: den Zuwachs von f auf If. Wir können dann sofort den Satz aussprechen: Satz VI. Ist der äußere Absolutzuwachs a(e) von f auf 3 endlich, so ist der Zuwachs ö(i) von f absolut-additiv im o-Körper aller f-meßbaren Teile von B8. Wir sprechen noch den Satz aus: Satz VII. Ist 2 f-meßbar und a(9) endlich, so gibt es einen If enthaltenden o-Durchschnitt 5 und eine in 9 enthaltene a-Vereinigung SS, so daß: n (W)-= n ()-=n ($); t (W)-= (2) = v ($); cc W)= cr () a (S); S (9) = 6 (a) = ((). In der Tat, da f f-meßbar, d. h. a-meßbar ist, so ist, wenn a, das zu a gehörige innere Maß bezeichnet, nach Kap. VI, ~ 6, Satz IX: x* (v) =a( ), und da nach Satz II a eine Inhaltsfunktion ist, folgt aus Kap. VI, ~ 7 Satz II, III: Es gibt einen 9 enthaltenden o-Durchschnitt 5 und 1) Nach Satz III ist das sicher der Fall, wenn a (X() endlich ist.

Kap. VII, ~ 1. Absolutzuwachs, Positivzuwachs usw. 471 eine in 9. enthaltene a-Vereinigung 58, so daß: (f)=a(^)=c (%). Daraus folgt: a (5) - 8)= 0, und somit: ~(c)-SS)=0; y(c)-~)=0. Wegen S-< 9f-<I folgt daraus weiter: 7 (T)= (%)= 7 (x); (Z)= (g)= ( und somit auch: 6 ())= 6 (()= 6 (2)). Damit ist Satz VII bewiesen. Satz VIII. Sind f. und f2 definiert und endlich in der offenen Menge 6 des ~9,k so ist für jede Punktmenge 9X aus (: a 2f fi + f i) }5: a (X5 fl a (X, f2); (X. fi + f2) < (Q, fi)+c (x., f2);,(2f, f1+ f2)~ <v (X, fb)+ v (S, f2). In der Tat, es wird genügen, die Ungleichung für n.zu beweisen; ebenso beweist man dann die für v, woraus die für a folgt. Kehren wir zurück zur Bezeichnungsweise (5), S. 467, so ist offenbar stets: P (,, fi + f2)<P(Z, f,)+ p (, f2). Daher gilt für jedes Intervallsystem (3 aus (: (x) P(, f, + f,)<P(~, f,)+ P(, f). Sei ~ eine offene Menge aus (. Dann gibt es in ~ Folgen {'n}, { ~'}, {~} endlicher Intervallsysteme, so daß n(~, f,)-=lim P(~n, fx); ~(~, f) —lim P(',, f,); "(~, fl + f2) = Hm. fi + ~). n - Co Wie beim Beweise von Satz III leitet man daraus Intervallsysteme ~. her, für die: ( l, f,)=lim P(~,, f,); n(~, f,)=lim P(Z~ f,); n=O no == co O l, r+ - f2)= ^ lim z(n, l +/fl), so daß aus (x) folgt: (x x) 0 ^ fi + f") < fi)-

472 Die Funktionen endlicher Variation. Sei endlich 92 eine beliebige Menge aus @. Es gibt dann Folgen {Qn}, {~n}, {sn)'} offener, 1 enthaltender Mengen, so daß: (9, f)= lim Z (Z' fi); ( f2)- = limn (),' f'); n= - oo n-= oo z(, fl + f2)= lim (, f f2)* n= -0 Setzen wir: s2, =- )U~n n n) i so ist offenbar: 7(91, fi)-lim (D,~ fl); Z(91, f)=lim (,~ f-2); n= o n= oo ((91, 1 + f 2)= linm (1 - f+ ). n%= o Da für jedes ~D (xx) gilt, folgt hieraus: - O fl + 2)<^( fl)+.-f2)1 und Satz VIII ist bewiesen. Satz IX. Ist a (Q,f1) und.(x, f2) endlich, so ist: (xxx) 8(,f fi + f2)== (f, fl) + Ö(, f2). In der Tat, ist 0 eine offene Menge, so gibt es, wie der beim Beweise von Satz III und Satz VIII angewandte Schluß zeigt, in 0 eine Folge {,} von Intervallsystemen, so daß: n(, f)=-lim P(,n fl); n(S, f,)=lim P(~, f,); n?= Co n= o ( l, f2 l- f. ) —lim P(@,., f, -+ f');,n= xt ~(0, fi): lim N(~, fj); V(, f) —lim N((~, f.); y(C, fi + f2)= ]lim N(,n, fi + f,). n — = oo Daraus folgt durch Subtraktion vermöge (6), S. 467: 0(0, f,)=lim A (~, f,); 6(0, f,)-=lim A (@,n f.); n= oo n= oo 0 (, fi+,)== lim A (,, f f+ ), n= co und da offenbar: d (Bl, f1 + f2) — (, fi) + A ( f2) ist, so haben wir für jede offene Menge Z: (5x) ((', l + f2)= (), fi) + (, f). Ist nun 91 eine beliebige Menge, so gibt es eine Folge {)n} offener 91 enthaltender Mengen, so daß:

Kap. VII, ~ 2. Funktionen totalstetigen Absolutzuwachses. 473 (92, f)- lim r (2,f f); li m <(f, f,); o= 00 o== 00:(9, fi + -f2) — lim 2(iZ, fi + f2); n Er 00 (t, fi)-=lim v(~~, fi); Y(/, f2) =-liml Y(C), f2); (g, f -i+ f)-lim Y (~., fi fu), und da für jedes,, (xx) gilt, folgt hieraus durch Subtraktion die behauptete Geichung (xxx), womit Satz IX bewiesen ist. Es sei noch eigens erwähnt, daß keineswegs stets für ein abgeschlossenes Intervall 3: b (3, f)= ((, f) ist1); ferner daß nicht notwendig c (9), a(9I), v(9) Absolutfunktion, Positivfunktion, Negativfunktion (Kap. VI, ~ 2, S. 404) von c(91) sind2). ~ 2. Funktionen totalstetigen Absolutzuwachses. Wie in ~ 1 sei f eine in der offenen Menge ~ des 9k definierte und endliche Funktion, a(X) ihr äußerer Absolutzuwachs auf der Menge 1 aus (. Mit da bezeichnen wir die nur aus dem Punkte a bestehende Menge. Dann gilt: Satz I. Ist 3 eine beschränkte und abgeschlossene Menge aus (S, für die: (0) ()z)= + oo ist, dann gibt es in 91 auch einen Punkt a, so daß: a()= +c00. In der Tat, auf Grund des Borelschen Tjheorems (Kap. I, ~ 6, Satz I) gibt es endlich viele abgeschlossene k-dimensionale Kugeln3) 1) Beispiel im 911: Sei 7 = [0,1] und f(x) 0 für x 1, f(x)== 1 für x > 1 Dann ist: (S, f)= l; J(., =0o. Vgl. hierzu ~ 2, Satz VII. 2) Beispiel im 91: Sei f(x)==0 für x =+ 0, f(0)=1. Dann ist a(1)= 2 oder 0, ()-==v(1) 1= oder 0, je nachdem 91 den Punkt 0 enthält oder nicht, und es ist stets (Z) —=0. Näheres hierüber in einer demnächst erscheinenden Arbeit von E. Trilling. 3) Unter der k-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Mittelpunkt (a", a",..., ak) und vom Radius r wird verstanden die Menge aller Punkte (x1,. x2,..., Xk) des 9k, für die:..^)2 + (x-,2 +..(^A,)

474 Die Funktionen endlicher Variation. i, vom Radius ~, in deren Vereinigung?I enthalten ist. Setzen wir: so gibt es wegen (0) indeen einen Index etwa i, so da so gibt es wegen (0) mindestens einen Index i,, etwa i2, so daß: (00) a(i)= +oo. Da auch 1o2 beschränkt und abgeschlossen, gibt es endlich viele abgeschlossene k-dimensionale Kugeln gio, / vom Radius, in deren Vereinigung?io enthalten ist. Setzen wir: -ro z ~2 — ' eif/oai so gibt es wegen (00) mindestens einen Index i, etwa i, so daß: (wo)=- + XSo weiter schließend, erhalten wir eine monoton abnehmende Folge beschränkter abgeschlossener Mengen {i,o,...,}, deren n-te enthalten ist in einer Kugel vom Radius -, und für die: 2 (i~, i,..., t) -+ O Der Durchschnitt aller dieser Mengen besteht aus einem Punkte a (Kap. I, ~ 2, Satz VIII), und aus der Definition von a folgt sofort, daß: ist. Damit ist Satz I bewiesen. Aus Satz I folgt ohne weiteres: Satz II. Ist der Absolutzuwachs a von f stetig im aKörper der f-meßbaren Mengen, so ist a(9f) endlich für jeden beschränkten und abgeschlossenen Teil von @. Ist der Absolutzuwachs a von f totalstetig nach dem k-dimensionalen Inhalt /p, (Kap. VI, ~ 4, S. 416) im a-Körper der Borelschen Mengen') aus ~, so heißt die Funktion f von totalstetigem Absolutzuwachs in S. Dann sind auch Positivzuwachs 7 und Negativzuwachs v von f totalstetig nach /k im a-Körper der Borelsehen Mengen. Satz III. Ist f von totalstetigem Absolutzuwachs in ~, und ist für die Menge?2 aus ~: (-0)=, O so ist 71 f-meßbar. 1) Wie Satz III und IV lehren, ist dann c totalstetig nach tk. auch inm o-Körper aller k-dimensional-meßbaren Mengen aus (M.

Kap. VII, ~ 2. Funktionen totalstetigen Absolutzuwachses. 475 In der Tat, nach Kap. VI, ~ 8, Satz IV gibt es einen o-Durchschnitt ) > -9, so daß: (000) 0k () )= () =. Da S eine Borelsche Menge, und da a totalstetig nach / im o-Körper der Borelschen Mengen aus MS, folgt aus (000): a(2)=0, und mithin, wegen f -<c auch: a () =o0. Also ist fl a-meßbar (Kap. VI, ~ 5, Satz XVI), d. h. f-meßbar, und Satz III ist bewiesen. Nun folgt leicht: Satz IV. Ist f von totalstetigem Absolutzuwachs in (, so ist jede k-dimensional-meßbare Menge aus ( auch f-meßbar. In der Tat, zu jeder k-dimensional-meßbaren Menge 9 gibt es einen maßgleichen Kern S, der a-Vereinigung ist (Kap. VI, ~ 8, Satz IV). Dann ist: -k (2 - ) = 0, also ist nach Satz III 9Wf -S f-meßbar, und da iS als Borelsche Menge f-meßbar, so ist auch %t als Vereinigung der beiden f-meßbaren Mengen und X - f-meßbar, und Satz IV ist bewiesen. Sei ( ein Intervallsystem, bestehend aus den Intervallen 3,,,...,.... Wir schreiben dann:,k() -=, (i5 1- 4-... + '..); (@) = (~4- -.+...-,4-...). Unter A(G), A (C) verstehen wir wieder die in ~ 1, Gleichung (7) S. 467, eingeführten Ausdrücke. Satz V. Damit f von totalstetigem Absolutzuwachse sei in der offenen Menge ( des 9, ist notwendig und hinreichend, daß für jede Folge {(,} von endlichen') Intervall, systemen aus q, die sämtlich einem beschränkten und abgeschlossenen Teile 9 von ~ angehören, und für die lim,, (en) = 0 n= o ist, auch die Beziehung gelte: (*) lim A(5.)= 0. 1) Dieser Zusatz kan n = oh ) Dieser Zusatz kann auch ohne weiteres wegbleiben.

476 Die Funktionen endlicher Variation. Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie sei nicht erfüllt. Dann gibt es wegen: a(~) A (e) 1) eine Folge { } von Intervallsystemen, die sämtlich einem beschränkten, abgeschlossenen Teile 58 von 9 angehören, und für die: lim uk((5Q) 0; lim (e,) + 0. n-= o0 n- co Ist nun a ()=-+ o, so lehrt Satz II, daß a nicht stetig, und somit auch nicht totalstetig nach /Mk ist. Ist hingegen a (3) endlich, so folgt aus Kap. VI, ~ 4, Satz IV, daß a nicht totalstetig nach ftk ist. Die Bedingung ist hinreichend; denn ist a nicht totalstetig nach Uk, so gibt es in q5 eine Menge 9/, so daß: (**) (r) = 0; a (X) + O. Zufolge der Definition von ca(l) gibt es also in @ eine Folge { 0n} offener, 2s enthaltender Mengen, so daß: (***) lim a(,0=)- -a (v) + 0, und dabei kann wegen der ersten Gleichung (**) offenbar angenommen werden 2): (* %*) lim ruk(f,) = 0. qn = oo Zufolge der Definition von a (0,) folgt aus (***): ts gibt in ~S ein Intervallsystem En so daß: lim A (~,) + 0. n= co Wegen (***) ist: lim fck(~,)= 0. n= i Also ist die Bedingung von Satz V nicht erfüllt. Damit ist Satz V bewiesen. Satz VI. In Satz V kann (*) ersetzt werden durch: (t) lim d (mJ)- 0. 1) Diese Ungleichung begründet man in folgender Weise: Ist ) eine offene Menge, die alle Intervalle von ( enthält, so ist (nach Definition von 0): c (0) > A ((). Und da (wieder nach Definition) a (e) die untere Schranke von oc (0) für alle C enthaltenden offenen Mengen ~ ist, folgt die behauptete Ungleichung. 2) Denn ersetzt man ~) durch einen offnen,. enthaltenden Teil )', so ist a <a( )a^

Kap. VII, ~ 2. Funktionen totalstetigen Absolutzuwachses. 477 Die Bedingung ist notwendig; denn ist (t) nicht erfüllt, so ist (*) erst recht nicht erfüllt Die Bedingung ist hinreichend; denn ist a nicht totalstetig nach /k, so gibt es nach Satz V eine Folge {2,} von Intervallsystemen, so daß: (tt) lim A(e)== 0; lim k((n) =0. n= oo n-oo Wegen: A (n) = P ((in) + N (~n) können dann nicht die beiden Gleichungen bestehen: lir P (n) 0; lim N(J)= -. n= oo n= oo Nun gibt es aber in - je ein Teilsystem i und Ä", so daß: P (n) = ) ('n); N(e)= - ((n). Es können also auch nicht die beiden Gleichungen bestehen: lim A ()= 0; lim (n)= 0, n- n n-X und da aus der zweiten Gleichung (tt) folgt: lim k (,) -=0; lim uk() =-0, n =oo n= oo ist Satz VI bewiesen. Wir haben am Ende von ~ 1 darauf hingewiesen, daß nicht allgemein die Differenz A (7) von f im abgeschlossenen Intervalle $ mit dem Zuwachse (3) von f in diesem Intervalle übereinstimmt. Wohl aber trifft dies für Funktionen von totalstetigem Absolutzuwachse zu. Es gilt der Satz: Satz VII. Ist f von totalstetigem Absolutzuwachse in der offenen Menge (M des 9, und ist 3 ein abgeschlossenes Intervall von ( und 3* das aus den inneren Punkten von Z bestehende offene Intervall, so ist: (x) (S) = ( = a (S). In der Tat, da der Absolutzuwachs a von f totalstetig nach 1uk ist, so auch n und v. Wegen:, (S — 3*) - o ist also: (xx) (a) =I (s*); v () = (S*). Nach Satz II ist a(3), mithin auch n(3) und v(3) endlich; aus

478 Die Funktionen endlicher Variation. ö —:i - v folgt also: womit die erste Hälfte von (x) bewiesen ist. Da 3* offen ist, gibt es nach (**) von ~ 1, S. 468 zu jedem e> 0 ein endliches Intervallsystem ~' aus 3*, so daß: (xxx) P(e') > *)-; N(e') > (*). Durch Hinzufügung- eines endlichen Intervallsystems G" kann ~' ergänzt werden zu einem Zerlegungssysteme e= ' --- r' von 3. Nach (4) und (6) von ~ 1 (S. 466, 467) ist dann: (Xxx) (X A A =J() = p = (~) -- N -(~). Aus (xx) und (xxx) folgt: (0) p(e) >,)-'; N( e)>v(,)-~. Für jede offene Menge 0 >-3 ist: (~)^ = (); (e) ( <(), und da =(,), v(:) die unteren Schranken von v(0), v(0) für alle offenen Mengen 0 >- sind, ist auch: (00) P(e) ~:(), N()~ (,). Aus (0) und (00) folgt: (P(e)- N(Q))- (C(3)- v(.)) e <, und da hierin e > 0 beliebig war, so ist dies wegen (xx) und wegen -ö = - - v gleichbedeutend mit: 4 (,)= (,(). Damit ist Satz VII bewiesen. Wir können nun den Zuwachs i(() von f auf einer k-dimensionalmeßbaren Menge. X leicht als Grenzwert von Ausdrücken A(() darstellen, wo ~ eine Folge von geeigneten, die Menge % approximierenden Intervallsystemen durchläuft. Dabei bezeichnen wir kurz mit e auch die Vereinigung der das Intervallsystem ~ bildenden Intervalle. Es gilt der Satz: Satz VIII. Sei f von totalstetigem Absolutzuwachse in (S, und sei 91 eine k-dimensional-meßbare Punktmenge, die ganz in einem beschränkten abgeschlossenen Teile 53 von 0 enthalten ist. Ist dann {~2} eine Folge von Intervallsystemen aus 53, so daß'): 1) Wir schreiben hier und im Folgenden der Einfachheit halber -Jt1-{-J- für (+t-9y) —,..

Kap. VII, ~ 3. Ausgezeichnete Folgen von Intervallsystemen. 479 (*) lim /~ (9t + -~ - 9. Ic,)- 0, so ist: (W) = lim z (e,). yv= 00 In der Tat, für das aus den Intervallen 3 *..., Sn bestehende Intervallsystem ~ gilt, da der Absolutzuwachs a, und somit auch der Zuwachs ö von f totalstetig nach,uk ist, und je zwei 3,, nur eine Menge vom Inhalte 0 gemeinsam haben: ö(e) = ö(3 + S (Se)+ + (An) Wegen Satz VII ist also: (**),(e,,)= (e). Nun ist: (***) ~ == ~ e +- (S - ~,), e,, = 9- e~, + (u -- e v). Hierin ist: Also folgt aus (*): (***) lim,U,(9 - m ), - 0; lim 1' = 00 Y V= 00 Da 2 und alle ~G in 83 liegen und nach Satz II a(S) endlich ist, kann Satz IV von Kap. VI, ~4 angewendet werden, so daß aus (***) folgt: (***) lim (S9 - -2 ) =0; lim ö ((, -_ g H)-= 0.." = Co v = oO Wegen (***) ist nun aber: d(g)-(~) = (,)+ ö(2 - e,); '(e,,) = (, e) + 5(e - 2,), und somit wegen (***): b(W) -lim (9 2,.); lim (d (,) - 5 (9f h,,)) = 0, V = cO= oo und hieraus durch Addition: (x)=lim (~). Y =- Co Wegen (**) aber ist dies die Behauptung, und Satz VIII ist bewiesen. ~ 3. Ausgezeichnete Folgen von Intervallsystemen. Wir wollen nun zwei Sätze beweisen, die für Absolutzuwachs, Positivzuwachs und Negativzuwachs einer Funktion f Analoges leisten, wie die Sätze VII und VIII von ~ 2 für den Zuwachs ö von f. Unter dem Durchmesser des Intervalles [al, a,..., a%; b, b,..., bö],

480 Die Funktionen endlicher Variation. oder des Intervalles (a1, a2,..., ak; b, b2,..., bk) verstehen wir den Abstand der beiden Punkte (a1, a,..., ak) und (b, b2,..., bk). Haben sämtliche Intervalle des Intervallsystems ~ einen Durchmesser <d, so nennen wir1) d eine Norm des Intervallsystenms @. Sei { 2} eine Folge von Intervallsystemen aus dem abgeschlossenen Intervalle 3, derart daß: (0) lim Mk(~) =- k(3). Gibt es dann zu,, eine Norm dr, so daß: lim d, - 0, = -00 so heißt {?v} eine ausgezeichnete Folge von Intervallsystemen aus S. Das endliche Intervallsystem Z' heißt ein Untersystem von 5, wenn jedes Intervall von ~' Teil eines Intervalles von 5, und wenn die Vereinigung aller Intervalle von 2' übereinstimmt mit der Vereinigung aller Intervalle von (. Aus ~ 1, Satz I folgt dann sofort: Ist E' Untersystem von S, so ist: (1) A(~') _ A(e); P(e') P(g); N(7') N(e). An Stelle von Satz VII, ~ 2 tritt nun der Satz: Satz I. Ist f von totalstetigem Absolutzuwachse in der offenen Menge q des -9k, und ist ~ ein abgeschlossenes Intervall aus @ und 3* das aus den inneren Punkten von ~ bestehende offene Intervall, so ist für jede ausgezeichnete Folge {~}y von Intervallsystemen aus 3: =((3)=(3*) =lin P(e,); v(3)-v(3*) lim N(~,); a(S) - (x*)= lim A (~,). v = 00 Es wird genügen, die erste dieser Gleichungen nachzuweisen; denn ebenso beweist man die zweite, woraus die dritte dann von selbst folgt. Da a totalstetig nach /k, so auch n. Aus uk(3 - *) =0 folgt also: a(S) = ö(*)> d. h. die erste Hälfte der zu beweisenden Gleichung. Nach ~ 2, Satz II ist a(3), und somit auch n(3*) endlich. Da 1) Nach J. Pierpont, The theory of functions of real variables, 1 (1905), 157.

Kap. VII, ~ 3. Ausgezeichnete Folgen von Intervallsystemen. 481 3* eine offene Menge ist, gibt es zufolge der Definition von n zu jedem e 0 ein endliches Intervallsystem G aus 3*, so daß: (2) P((e;)>^(3*)_e. Sei nun {G } eine ausgezeichnete Folge von Intervallsystemen aus ~. Wir zerlegen 2. in zwei Teilsysteme,g und t, wo (G diejenigen Intervalle von (G enthält, die ganz in einem Intervalle von S liegen, Gt' die übrigen. Weil {S,,} eine ausgezeichnete Folge von Intervallsystemen aus 3 ist, und mithin (0) gilt, ist offenbar: limr (v;)= (~). y = Q In w gibt es nun ein endliches Teilsystem G, so daß auch: (3) lim k() = (). V = o Wir können (G durch Hinzufügung eines endlichen Intervallsystems G3? zu einem Untersystem G, von G ergänzen. Aus (3) folgt dabei: (4) lim k())-=0. V= 00o Nun setzt sich P(Gy) folgendermaßen zusammen: (5) P(QO) = P() - P((,) + P () - P(,) + P ("). Da Untersystem von G, ist nach (1): (6) P(v) >P(). Weil z von totalstetigem Absolutzuwachse, folgt nach ~ 2, Satz V aus (4): (7) lim A(G:*) 0 und somit: lim P()*)= 0. v= om = CO Ferner ist offenbar: (8) P (~;,) > P (~); P(;) O0. Wegen (6), (7) und (8) folgt aus (5): P(V,)>P(G()-e8 für fast alle v, und somit weiter wegen (2): P(G;)>:(y3*)-2e für fast alle v. Da hierin e > 0 beliebig war, und da andererseits (vgl. S. 476, Fußn. 1)::t (3*) P (G,,) für alle v, so folgt daraus: lim P(h )= - ($ ), hn, The eellen nktonen.. 3100 Hl ahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 31

482 Die Funktionen endlicher Variation. d. h. die zweite Hälfte der zu beweisenden Gleichung. Damit ist Satz I bewiesen. Sei nun % eine beliebige, k-dimensional-meßbare Punktmenge. Sei {S,} eine Folge von Intervallsystemen, derart daß: lim /1t (t - + -t- x eV)= 0. V = 00 Gibt es dann zu e, eine Norm d,,, so daß: lim d-= 0O, V =p 00 so heiße {(,} eine ausgezeichnete Folge von Näherungssystemen für die Menge 9. An Stelle von Satz VIII, ~ 2 tritt nun der Satz: Satz II. Sei f von totalstetigem Absolutzuwachse in ~, und sei 9I eine k-dimensional-meßbare Punktmenge, die ganz in einem beschränkten, abgeschlossenen Teile 83 von S enthalten ist. Ist nun {(~} eine in 53 enthaltene, ausgezeichnete Folge von Näherungssystemen für die Menge 2f, so ist: n(9) - lim P( ~,,); v(91) -lim 2N(~,); ac()) =limA(,,). Wieder genügt es, die erste dieser Gleichungen zu beweisen. Aus dem Borelschen Theorem (Kap. I, ~ 6, Satz I) folgern wir: Es gibt ein endliches Intervallsystem ( aus ( derart, daß in der Vereinigung seiner Intervalle die Menge S3, und somit auch 9f und alle Intervallsysteme c(, enthalten sind. In,, gibt es ein endliches Teilsystem i', so daß: lim Mk ( — ' )=-. -V= 00 Weil f von totalstetigem Absolutzuwachse, ist dann auch (Kap. VI, ~ 4, Satz IV): (0) lim (n ((,)- r (',)) =0, y=CO und somit erst recht'): (00) lim (P (,) P (~')) = 0. v = 00 Da {~e} eine ausgezeichnete Folge von Näherungssystemen von 9( war, gibt es zu &e eine Norm d,,, so daß lim d- == 0. Wir ergänzen G' durch Hinzufügung eines endlichen Intervallsystems 1) Vgl. S. 476, Fußn. 1).

Kap. VII, ~ 4. Variation, positive und negative Variation usw. 483 E, von der Norm da zu einem Untersysteme ~y von (. Indem wir auf jedes Intervall von ( Satz I anwenden, erhalten wir: n () - lim P ((). Da hierin: Y= ~ z (Hä) - - z (ev) + z (v); P (~~) P (i',) + P (E ), kann dies auch so geschrieben werden: lim {(s (') - P (')) (+ (a f (") - -P ( ))} 0, v= 00 und da keiner dieser beiden Summenden negativ ist, folgt hieraus: lim (a (e') — P (' )) - 0, y= o0 und somit wegen (0) und (00): (000) lim (z (~) -P (P,)) = 0. y = oO Wie beim Beweise von ~ 2 Satz VIII setzen wir: (0%) = r ~ + (t -- v), = f e( + (er -- e), und folgern wie dort (***): (000) lim n ( --- e) — 0; lim (e - )- )= 0. V = Co y = GO Auch hier ist wegen (000) () = (E ~) + n (9 -- iv), (er)= (t (~) + a (ert -- @), woraus wegen (0O0) weiter folgt: n; (W)= =i (im ). v = 0o Wegen (000) folgt daraus weiter: ()-1)= lim P (ö), und Satz II ist bewiesen. ~ 4. Variation, positive und negative Variation einer Funktion f (x). Bei Funktionen f(x) einer reellen Veränderlichen stehen die Begriffe des Absolutzuwachses, des Positivzuwachses und des Negativzuwachses in engster Beziehung zu den bekannten Begriffen der Variation, der positiven und negativen Variation, die wir nun entwickeln wollen'). 1) Diese Begriffe wurden eingeführt von C. Jordan, C. R. 92 (1881), 228; Cours d'analyse 2. ed., 1 (1893), 54, und finden sich seither in den meisten 31*

484 Die Funktionen endlicher Variation. Sei [a, b] ein Intervall des ~9. Durch Einschalten endlich vieler Punkte: (0) a = X < 1 <.. < xn_- < x,= b entsteht eine endliche Zerlegung Z des Intervalles [a, b]. _ Die Punkte xi (i-=0, 1,..., n) heißen die Zerlegungspunkte von Z. Kommen sämtliche Zerlegungspunkte von Z unter den Zerlegungspunkten der Zerlegung Z' vor, so heißt Z' eine Unterzerlegung von Z. Sind endlich viele Zerlegungen Z1 Z2,..., Z gegeben, so heißt die Zerlegung Z, deren Zerlegungspunkte die sämtlichen Zerlegungspunkte von Z", Z.,..., Z1, sind, die Produktz erlegung: Z= Z,. Z.. Zk; sie ist Unterzerlegung jeder der Zerlegungen Z1, Zo...., Zk. Wir führen folgende Bezeichnungsweise ein, die wir weiterhin festhalten wollen: Ist z irgendeine Zahl, so setzen wir: l {z wenn z 0 + 0 wenn z < 0, J 0 wenn z 0 - Izl wenn z<0. Sei f(x) eine in [a, b] definierte und endliche Funktion, und sei Z die durch (0) gegebene Zerlegung. Wir bilden die Summen 1): A (Z) = f(x,) f (x,- ) I; P(Z) i f -f ); (Z) = f)-f. Da i=in+ i=sDann ist: (00) A(Z)=P(Z)+N(Z); f(b)-f(a)-P(Z) -N(Z), und man erkennt unmittelbar: Satz I. Ist Z' eine Unterzerlegung von Z, so ist: A (Z') > A(Z); P(Z') > P(Z); N(Z') > NT(Z). Wir definieren nun: Die obere Schranke aller A(Z) (für alle möglichen Zerlegungen von [a, b]) heißt die Variation von f in [a, b], in Zeichen Ab(f). Die obere Schranke aller P(Z) heißt die Lehrbüchern der Analysis. Vgl. auch die Darstellung von W. H. Young, Quart. Journ. 42 (1911), 54. 1) Ist es nötig, die Funktion f in Evidenz zu setzen, so schreiben wir statt dessen A (Z, f), P(Z, f), N(Z, f).

Kap. VII, ~ 4. Variation, positive und negative Variation usw. 485 positive, die obere Schranke aller N(Z) heißt die negative Variation von f in [a, b], in Zeichen TTb(f) bzw. N (f). Wir dehnen diese Definition auch auf den Fall a= b aus durch die Festsetzung: (000) A (f)O0; TT (f) -0; N (f) =0. Satz II. Zwischen Variation, positiver und negativer Variation einer Funktion f besteht die Beziehung: *) Ab (f)= Tb (f) + N (f). In der Tat, aus (00) folgt: P (Z) - (A (Z) + f (b) - f (a)); N (Z) (A (Z) - f (b) + (a)). Daraus folgt für die oberen Schranken: ' (f) (A' (f) + f (b) - f(a)); N' (f) = (A (f) f (b) + f (a)), und daraus durch Addition die Behauptung (*). Satz III. Für jedes c aus [a, b] ist: (t) Ab (f) Aa (f) + Ac (f); na(f) (f)+ -f); Na (f) - Na (f) + N, (f). Es wird genügen, die Formel für TTb nachzuweisen; ebenso beweist man die für Nb, woraus nach Satz II die für Ab folgt. Zufolge der Formeln (000) sind die Formeln (t) trivial für c=-a und c- b; wir nehmen also an: a< c <b. Sei {Zv} eine Zerlegungsfolge des Intervalles [a, b], so daß: (tt) r (f)= lim P(Z), V = 00 und seien {Z'} und {Z"} Zerlegungsfolgen von [a, c] bzw. [c, b], so daß: (ttt) Ta(f)= lim P(z'); '=- lim P(Z''). Sei Z, die Zerlegung von [a, b], die alle Zerlegungspunkte von Z, Z' und Zi' enthält; ebenso sei Z' die Zerlegung von [a, c], die alle (nach [a, c] fallenden) Zerlegungspunkte von Z, und Z' enthält, und es sei Z"' die Zerlegung von [c, b], die alle (nach [c, b] fallenden) Zerlegungspunkte von Z, und Z'" enthält. Dann ist offenbar: (+++"r) P (ZY)= P (7r)+P(Z,);

486 Die Funktionen endlicher Variation. und da Z, Z', Z, Unterzerlegungen von Z,, bzw. Z', bzw. Z' sind, folgt aus (tt) und (ttt) vermöge Satz I: Tr (f) lim P(Z); rY (f) lm P (Z); TT (f) lim P (Z").?' = =3 Y = 00 X =In C Aus (tft) folgt also unmittelbar die Behauptung (t). Aus Satz III entnimmt man sofort: Satz IV. Für jedes Teilintervall [a', 1b] von [a, b] ist: Aa'(f)_Af); A,a (f) (); N ( f) Wir bezeichnen nun wieder als ein Intervallsystem aus [a, b] jede Menge abzählbar vieler Teilintervalle [x', x] (i 1, 2,...) von [a, b], die zu je zweien keinen inneren Punkt gemein haben. Besteht ein Intervallsystem nur aus endlich vielen Intervallen, so nennen wir es ein endliches Intervallsystem. Ist S ein Intervallsystem aus [a, b], bestehend aus den Intervallen [x, x''] (i= 1, 2,...), so bilden wir: A (S):f(x') - f(Z); (S) = 1 f (x')- f (x); (S) 21 f (x')- f(). i+ iDann gilt der Satz: Satz V. Es ist Ab(f) die obere Schranke von A(S), T(f) die obere Schranke von P(S), Nb(f) die obere Schranke von N(S) für alle endlichen Intervallsysteme S aus [a, b]. Es wird genügen, die Behauptung für A^ (f) nachzuweisen. Sei A' die obere Schranke von A (S) für alle endlichen Intervallsysteme aus [a, b]. Da jede endliche Zerlegung Z zugleich ein endliches Intervallsystem S liefert, und Ab (f) die obere Shranke aller A (Z) war, ist: (x) A' Ab(f). Andrerseits kann jedes endliche Intervallsystem S aus [a, b] durch Hinzufügung endlich vieler Intervalle zu einer Zerlegung Z von [a, b] ergänzt werden, für die dann offenbar: A (Z) A (S) ist. Also besteht zwischen den oberen Schranken der A(Z) und der A (S) die Ungleichung: (xx) Ab (f) e A'. Die beiden Ungleichungen (x) und (XX) ergeben die Behauptung.

Kap. VII, ~ 4. Variation, positive und negative Variation usw. 487 Satz VI. In Satz V kann die Beschränkung auf endliche Intervallsysteme wegbleiben. Sei in der Tat wieder A' die obere Schranke von A (S) für alle endlichen, A" die obere Schranke von A(S) für alle Intervallsysteme aus [a, b]. Dann ist: (XxX) A A'. Ist p irgendeine Zahl <A", so gibt es ein Intervallsystem S, so daß A (S)>p. In S gibt es dann ein endliches Teilsystem S', so daß auch A (S') >p. Also ist auch A'>p, und da dies für jedes <A" gilt, ist: (x X) A' A". Die Ungleichungen (Xxx) und (xxx) ergeben A'=A", und Satz VI ist bewiesen'). Sei wieder S ein Intervallsystem aus [a, b], bestehend aus den Intervallen [xS, x'] (i =1 2,...). Wir bezeichnen mit coi die Schwankung von f in [xi, xi'] (Kap. III, ~ 2. S, 190) und setzen2): Q2 ( S)- Cou. i Dann gilt der Satz: Satz VII3). Es ist Ab(f) die obere Schranke von 2(Z) für alle endlichen Zerlegungen Z von [a, b]. Sei in der Tat Q: die obere Schranke von Q(Z) für alle endlichen Zerlegungen Z von [a, b]. Wegen: Q (Z) A (Z) ist dann: (1) Q Aa(f). Sei sodann p irgendeine Zahl < 2. Dann gibt es eine Zerlegung Z, so daß: Q(Z) >p. Ist coi die Schwankung von f im Intervalle [xi-, xi] von Z, so gibt es (Kap. III, ~ 2, Satz II) zu jedem e>0 in [xi_, xi zwei 1) Daraus folgt sofort, daß Aa (f) die obere Schranke von A(Z) nicht nur für alle endlichen, sondern auch für alle Zerlegungen Z von [a, b] ist, 2) Da die Zerlegungen Z von [a, bJ spezielle Intervallsysteme sind, ist hierdurch auch Q(Z) für alle Zerlegungen Z von [a, bj definiert.:) E. Study, Math. Ann. 47 (1896), 298.

488 Die Funktionen endlicher Variation. Punkte x', x:, so daß1): f( -- f(x') > 2 Bezeichnen wir mit S das aus den Intervallen [x, x4'] (i 1, 2,...) bestehende Intervallsystem, so ist: A (S) = | f(x)-f(\) > oi - e = Q(Z)- E>p-. Nach Satz V ist also: ^ (f) > A (S)> p-, und da dies für jedes p < D2 und jedes > 0 gilt, ist auch: (2) A (f)~. Durch (1) und (2) aber ist Satz VII bewiesen. Ganz ebenso, wie Satz V und VI beweist man noch: Satz VIII. Es ist Ab(f) die obere Schranke von 2(S) für alle (endlichen) Intervallsysteme S aus [a, b]. Seien nun f1 und f2 zwei in [a, b] definierte und endliche Funktionen. Dann gilt: Satz IX. Es ist: Aa (f + f2)-Aa (f) + Aa (2); Trai (f1 + f2) _ Ta (fl) + ]-a (f2); Na (f + f2) _ Na (f) - Na (f2) In der Tat, es genügt wieder, die Ungleichung für TTb zu beweisen. Für jedes Teilintervall [x', x"] von [a, b] ist: (f () ( + fo (x"))- (fi (X')+ f, (x')) ] 1 I fi (z)- f (x') I + f2 (x")- f (X') 1, + + und somit für jede Zerlegung Z: P(Z, f, + f2)P (, f) + P (Z, 2). Da aber TTb(f) die obere Schranke aller P(Z, f) ist, so ist die Behauptung bewiesen. Satz X..Sind G1 und G2 obere Schranke von 1 f und f2 in [a, b], so ist: Ab (- f,2): G Aa (f2) + Gg Aa(f,). In der Tat, dies folgt unmittelbar aus der Ungleichung: 1) Dies gilt, wenn coi endlich. Für coi = + oo tritt eine leicht ersichtliche Anderung des Beweises ein.

Kap. VII, ~ 5. Funktionen endlicher Variation. 489 (3) f (x"). f2 (x) - f (x') f2 (x') fi f(xz ' f) [f (x"W)- f2 (x')1 +If2 (W)l. fi (,) - fi (X) Satz XI. Sind G1 und G2 obere Schranke von I f1 und f, 1 in [a, b], und hat fg2 in [a, b] eine positive untere Schranke g>O, so ist: Aa (l) _ (G1 Aa (f2) + G Aa (f,)). In der Tat, dies folgt unmittelbar aus der Ungleichung: (4) f (x) ief (X') ( t f (') f2 (XW W \2 (X') f2 (') 2 ( + f,2 () fi (X")- fi (X } Satz XII. Es ist: ([ f) A' (f). In der Tat, dies folgt unmittelbar aus der Ungleichung: (5) f(x") - f(x') _ f('")- f(x')\. Satz XIII. Sind die fi, f2,..., f definiert und endlich in [a, b], und ist f der größte (kleinste) unter den k Funktionswerten f1, f2,..., f, so ist: k k XN k it= is - = In der Tat, es genügt, dies für TTb nachzuweisen. Da offenbar in jedem Teilintervalle [x', x"] von [a, b] für mindestens ein i' (i=l, 2,..., k): (6) f(x") - f(x') < I f (x")- f, (x')I +- + so ist: P(Z, f) < P (Z, f) (i=l, 2,..., k), ji1 woraus die Behauptung folgt. ~ 5. Funktionen endlicher Variation. Ist f(x) definiert und endlich in [a, b], und ist A (f) endlich, so heißt die Funktion f(x) von endlicher Variation1) in [a, b]; sie ist dann offenbar auch beschränkt in [a, b]. Aus ~ 4, Satz II folgt: 1) Vielfach auch: ~von beschränkter Schwankung". Bei C. Jordan ~, variation born6e".

490 Die Funktionen endlicher Variation. Satz I. Damit f von endlicher Variation sei in [a, b], ist notwendig und hinreichend, daß sowohl TTa(f) als auch Na(f) endlich seien. Aus ~ 4, Satz IV folgt: Satz II. Ist f von endlicher Variation in [a, b], so auch in jedem Teilintervalle [a', b'] von [a, b]. Aus den' Sätzen IX, X, XI von ~ 4 folgt: Satz III. Sind fl und f2 von endlicher Variation in [a, b], so auch fl+f2, fl-f2, fl'f, und, falls die untere Schranke fl von I f2 in [a, b] positiv ist, auch f Aus ~ 4, Satz XII folgt: Satz IV. Ist f von endlicher Variation in [a, b], so auch |fl. Aus ~ 4, Satz XIII folgt: Satz V. Sind fl, f2,..., fk von endlicher Variation in [a, b], und ist f der größte (kleinste) unter den k Funktionswerten f, f2,..., f so ist auch f von endlicher Variation in [a, b]. Die Sätze III, IV, V erinnern an das Verhalten stetiger Funktionen. Es sei darum eigens festgestellt, daß - entgegen dem Verhalten stetiger Funktionen - die durch Zusammensetzung zweier Funktionen f (x), g (y) endlicher Variation entstehende Funktion g (f (x)) nicht notwendig von endlicher Variation ist'). Satz VI. Ist die Reihe (0) f((x) (=f(x)) v=l eigentlich konvergent im Punkte xo von [a, b], und ist die 1) Beispiel: Sei {x,} eine stets wachsende Zahlenfolge aus (0, 1) mit lim x,, 1. Wir setzen noch x,= 0 und definieren f(x) in [0, 1] durch l= c00 f(x2.) = 0; f(x2n-1) = -; f(1)= 0; f(x) linear in jedem Intervalle [x-1, x.] (n==l, 2,....). Dann ist ~=e 1 also ist f von endlicher Variation in [0, 1]. Ist g (y) =-y, so ist 1 und somit ist g (f(x)) nicht von endlicher Variation in [0, 1] (vgl. ~ 6, S. 498). - Selbstverständlich ist aber g (f (x)) von endlicher Variation,: wenn f monoton und g von endlicher Variation.

Kap. VII, ~ 5. Funktionen endlicher Variation. 491 Reihe der Variationen: (00) Aa (f) eigentlich konvergent, so ist die Reihe (0) eigentlich gleichmäßig konvergent in [a, b], ihre Summe f(x) ist von endlicher Variation in [a, b], und es ist: (000) A A (f^). v= l In der Tat, setzen wir: s8, (x)- f (x), =1 i so ist: sn (x) - sn' (x) | sl, (x) - S, (x) - Sn'- (xo) + Sn, (Xo) ] nF + Snt (Xo) - S. (xo) | _ Ab (fv) + Sn" (xo) - Sn' (xo), Y=' +l womit, wegen der vorausgesetzten eigentlichen Konvergenz der Reihe (0) für x =-x und der Reihe (00), die eigentlich gleichmäßige Konvergenz von (0) in [a, b] nachgewiesen ist. Ungleichung (000) folgt dann unmittelbar aus der für jedes Teilintervall [x', x"] von [a, b] gültigen Ungleichung: f(x") - f(x') < f,, (x")- f (x'), und Satz VI ist bewiesen. Wir nennen eine Funktion f(x) monoton wachsend in [a, b], wenn aus a x'< x"< b folgt: f(x') _ f(x"I), wir nennen sie stets wachsend in [a, b], wenn aus a x' < x" b' folgt: f(')< f(x"). Analog ist die Definition der monoton abnehmenden (stets abnehmenden) Funktionen. Monoton wachsende und monoton abnehmende Funktionen werden zusammengefaßt in den Begriff der monotonen Funktionen. Es gilt der Satz: Satz VII. Jede in [a, b] endliche und monotone Funktion ist von endlicher Variation. In der Tat, ist f(x) monoton wachsend in [a, b], so ist: (O0) TTa (f) =f(b) - f(a); Na (f) 0; A (f) f(b)- f(a);

492 Die Funktionen endlicher Variation. ist f(x) monoton abnehmend in [a, b], so ist: (o~o) rn (f)= 0; N (f) =- (f(b)- f(a)); A (f) — (f(b)- f(a)), womit Satz VII bewiesen ist. Nach Satz III ist daher auch die (im allgemeinen nicht monotone) Differenz zweier monoton wachsender endlicher Funktionen von endlicher Variation. Hiervon gilt nun auch die Umkehrung: Satz VIII. Jede Funktion f(x), die in [a, b] von endlicher Variation ist, ist Differenz zweier in [a, b] monoton wachsender, endlicher Funktionen, und zwar ist für jedes x aus [a, b]: f(x) f (a) + TT (f) N(f). In der Tat, die Formeln (**) von S. 485 ergeben, angewendet auf das Intervall [a,x]: (**) -Tf A^( 2 (A (f) +f(x)- f(a)); N (f) = (A (f) -f(x) +f(a)) da nun alle hierin auftretenden Größen endlich sind, folgt durch Subtraktion (*), und Satz VIII ist bewiesen. Unter allen Darstellungen von f als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen ist die Darstellung (*) ausgezeichnet durch die Eigenschaft: Satz IX. Für jedesPaar monoton wachsenderFunktionen, deren Differenz f(x) ist: (t) f - (x)- f ()= -f(), gilt in jedem Teilintervalle [a', b'] von [a, b]: fi (b') - fi (a') _ Hat (f); f (b')- f. (a') - Nb' (f). In der Tat, nach (000) ist: (tt) A; (f) = f1 (b') — f (a'); A, (f,) = f2 (b') - f (a'). Wegen (*) und (t) würde aus jeder der beiden Ungleichungen: (ttt) ira' (f) > fi (b') - f (a'); N' (f) > f2 (b')- 2 (a') die andre folgen. Wäre also eine von beiden erfüllt, so wäre: f f (b') - f (a') f2 (b')- f (a) < (f) + N (f)= A (f), während wegen ~ 4, Satz IX, und wegen (tt): Aa, (f) = Aa (fi - f2) _ A, (f) + A, (f.2) f (b') - f (a') + f (b') - (a'). Also kann keine der Ungleichungen (ttt) gelten, und Satz IX ist bewiesen.

Kap. VII, ~ 5. Funktionen endlicher Variation. 493 Satz X. Ist die Funktion f(x) von endlicher Variation in [a, b], so hat sie in [a, b] nur Unstetigkeiten erster Art1). In der Tat, offenbar hat eine monotone Funktion nur Unstetigkeiten erster Art, daher nach Satz VIII auch eine Funktion endlicher Variation. In jedem Punkte xo von [a, b] existieren also einseitige Grenzwerte von f(x). Wir schreiben abkürzend (Kap. II, ~ 13, S. 179): lim f(x) f(x+ 0); lim f(x)= f(x- 0). x= Xo+O X=0 - 0 Aus Kap. III, ~ 6, Satz IV folgern wir noch: Satz XI. Ist die Funktion f(x) von endlicher Variation in [a, b], so hat sie nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte in [a, b]. Wir wollen nun Absolutzuwachs, Positivzuwachs, Negativzuwachs einer Funktion f(x) vergleichen mit ihrer Variation, positiven Variation und negativen Variation. Wir schreiben dabei: OtT) [a, bJ=- (a, b)- -*. Satz XII. Ist f(x) definiert und endlich in [a, b], so ist, damit f von endlicher Variation in [a, b] sei, notwendig und hinreichend, daß a(3*) endlich sei. Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, es ist Ab(f) die obere Schranke von A(S) für alle endlichen Intervallsysteme S aus [a, b] (~ 4, Satz V) und a (3*) die obere Schranke von A (S) für alle endlichen Intervallsysteme S aus (a, b). Also ist: (*) Aa (f). Die Bedingung ist hinreichend. Sei in der Tat a (3*) endlich. Da für alle x' und x" aus (a, b): I f(x')-f (x") _Ca (*), ist die Funktion f(x) beschränkt in (a, b), und da sie nach Annahme endlich ist in [a, b], ist sie auch beschränkt in [a, b]: (ttt) |f(x) l k in [a, b]. Sei nun Z irgendeine endliche Zerlegung von [a, b], und S das Intervallsystem aus (a, b), das entsteht, indem man aus Z die beiden äußersten Intervalle wegläßt. Wegen (ttt) ist: A (Z) A (S) + 4k, 1) Kap. III, ~ 6, S. 216.

494 Die Funktionen endlicher Variation. und da: A (S) <a (ay) ist, haben wir für alle endlichen Zerlegungen Z von [a, b]: A (Z)< (*)+4 k, mithin auch: A (f) < a (*)- 4k, und Satz XII ist bewiesen. Satz XIII. Ist f(x) von endlicher Variation in [a, b], so ist: Ab (f) = a (2*).+ I f(a + 0)- f(a) t - t f(b) - f(b -- 0), TT (f)= n (*) + f(a + 0) - f(a) | + - f(b) - f(b - 0), + + N (f) = - (3*)+ + f (a +O) f(a) + t f (b)- f (b - ). Es wird genügen, die zweite dieser Gleichungen nachzuweisen. Nach Satz XII ist a (,*) und somit auch z (3*) endlich. Zufolge der Definition von n gibt es zu jedem e > 0 ein endliches Intervallsystem S aus (a, b), so daß: (x) P (S) > ()- E. Sodann gibt es ein a'>a und ein b'<b, so daß: (xx) f(a')- f(a+0)| <E; f(b')-f(b- O) <6, und so daß die Intervalle [a, a'] und [b', b] zu den Intervallen von S fremd sind. Fügen wir [a, a'] und [b',b] zu S hinzu, so entsteht ein Intervallsystem S' aus [a, b], für das: PI(S') - P(S) + | f(a') - f(a) | + f(b) - f(b'), + + und somit wegen (X) und (XX): P (S') > (3*) f(a + 0) - f(a) 1 + f(b)- f(b -0) - 3. + + Also ist nach ~ 4, Satz V: ra (f)>^(3*) -+ f(a +0)-f(a)+ f(b)-f(b -~)J- 3, + + und da hierin e > 0 beliebig war: (xxx) (f) > (3*) + - f(a + o)- f(a) + I f(b) - f(b - 0). Andererseits gibt es zu jedem e > 0 eine endliche Zerlegung Z von [a, b], so daß P (Z)> TTb (f).

Kap. VII, ~ 5. Funktionen endlicher Variation. 495 Wir schalten in ihr zwischen a und den ersten Zerlegungspunkt, sowie zwischen b und den letzten Zerlegungspunkt neue Zerlegungspunkte a' und b' so ein, daß (XX) gilt. Für die so entstehende Unterzerlegung Z' von Z ist nach ~ 4, Satz I: (XX) p (Z') > (Z) (> (f - ). Wir lassen aus Z' die Intervalle [a, a'], [b', b] weg. Es entsteht ein Intervallsystem S aus (a, b), für das: P (S)= P (Z')- f (a') — f(a) -- f(b) - f(b'), + + und somit, wegen (XX) und (xx): P(S)> (f) - f(a +O) - f(a) i-f(b) - (b -0) -3. + + Da (3*) P (S), entnimmt man hieraus: (XX) n (S*)> rr_ (f) | f( a+0 )-f (a) -t| f(b)- f(b - O 0). + + Aus (xxX) und (xxX) aber folgt die zweite Gleichung von Satz XIII. Wir bezeichnen wieder mit ( die nur aus dem Punkte c bestehende Punktmenge, und behaupten: Satz XIV. Gibt es ein c enthaltendes Intervall (a,b), so daß f von endlicher Variation in [a,b], so ist: a(^) = i f(c) - f(c - O) + f(c t+ 0) - f(c); a ()= f(c)- f(c- o) + I (c + 0) - f(c); + + (e,) — I (c)- )+f(c-O)l+f(c +0) -o-f(c) l. Ist insbesondere f auch stetig im Punkte c, so ist demnach c Stetigkeitspunkt') der Mengenfunktionen a, n und v. Wieder genügt es, die zweite dieser Gleichungen nachzuweisen. Wir setzen: * =,(a, b); **= (a,c); 3***= (c,b). Nach Satz XIII ist: a ( 2)= (3*) + f|( + 0) - f(a) I + f(b)- f(b - 0)|; I + + (*) Ha (f)-= (3**) + (a + 0) - f (a) | + f (c) - fc - 0) |; tr (f)-(***) + 1 f(c + ) - f(c) + 1 f(b) - f(b )1. + + Nach ~ 4, Satz III ist: (**8) Ta (f) = n; (f) + Tb (f). 1) Kap. VI, ~ 3, S. 408.

496 Die Funktionen endlicher Variation. Wegen der Additivität von n ist: (***) n (S*) z= (S**) + n (~***) + n (Ö). Durch Vergleich der Formeln (*), (**), (***) folgt tatsächlich die zweite Gleichung von Satz XIV. Satz XV. Gibt es ein [a,b] enthaltendes Intervall (a', b'), so daß f von endlicher Variation in [a', b'], so ist, wenn [a, b] = gesetzt wird:.(S.)= A (f) [ f/(a) - f — 0) -+ f| o+0)- f/(b);. = (3) =T' (f)+ f(a) - f(a - 0) |- + f(b + O) - f(b) |; + + v (3). = N (f) + fa)- fa - o) l+ f(b + o) - /(b). In der Tat, es ist: —,q*+ -a + ~b, so daß Satz XV unmittelbar aus Satz XIII und XIV folgt. Absolutzuwachs a, Positivzuwachs X, Negativzuwachs v einer Funktion f sind, wie wir wissen, Mengenfunktionen, die absolut-additiv sind im a-Körper der f-meßbaren Mengen (~ 1, Satz V). Variation, positive Variation, negative Variation einer Funktion f(x) sind uns nur als Intervallfunktionen bekannt. Es sei nun darauf hingewiesen, daß diese Intervallfunktionen im allgemeinen nicht zu absolut-additiven Mengenfunktionen erweitert werden können. Wir wollen uns davon an einem Beispiele überzeugen. Sei f(x)= in [-1,0] und =-1 in (0,1]. Wir behaupten: Es gibt keine absolut-additive Mengenfunktion 9g (9), die sich auf Ab (f) reduziert für g=[a, b]. In der Tat, angenommen, es gäbe eine solche. Sei o0 die nur aus dem Punkte 0 bestehende Menge. Es ist eo sowohl der Durchschnitt der Intervalle [ —, ] (v= l, 2,...), als auch der Durchschnitt der Intervalle [, 2]. Es müßte also sein: (o)=lim A~ 1 (f; 9 (Ho) lim A~ (r). Das aber ist unmöglich, weil: A~ (f)0; A(f)==l für alle v. y 0 Damit ist die Behauptung bewiesen. - Es gibt ebensowenig eine absolutadditive Mengenfunktion 9p (9I), die sich auf A (f) reduziert für =(a, b). In der Tat, es ist (0, 1) die Vereinigung der monoton wachsenden Intervallfolge S,= (, 1); wegen 99 ()-=0 müßte also sein:

Kap. VII, ~ 6. Stetige Funktionen endlicher Variation. 497 A (f) -lim () = 0, während doch: A1 (f) 1 ist. Damit ist die Behauptung bewiesen. ~ 6. Stetige Funktionen endlicher Variation. Ausgezeichnete Zerlegungsfolgen. Sei f(x) von endlicher Variation in [a, b]. Dann sind A (f), TT (f), N (f) definiert für alle x von [a,b], und zwar sind es, wie aus ~ 4, Satz IV hervorgeht, monoton wachsende Funktionen ven x. Es existieren also die Grenzwerte1): Aa- ~ lim A;h. A+O -lim A h h=+O h= +0 und die analogen Grenzwerte rax ~ xf0+ N0- ~ Nx+~. Es gilt für sie der Satz: Satz I. Es ist: rr1 — -~ r if(Z)- f(- -o); na+~-na i f(x +-) -f(x)!; + + Na - N-O~== f(x)- f(x- o); N+O~- Na-j f(x + o)-f f()!; A- A —= f(x) - f(x - 0); Aa-o - A = f(a + 0) - fx) I. Sei {h,} eine Folge positiver Zahlen mit lim h, = 0. Dann ist: (o) n^ —naTr~ =W - lim rrx h,. Da es (~ 5, Satz XI) nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte von f gibt, können die h, so gewählt werden, daß f in den Punkten x- hstetig ist. Nach ~ 5, Satz XIII ist dann, wenn -=(x-h,x) gesetzt wird: (00) n = (3) + | f(x) - f(- 0) | Da n absolut-additiv, und {.q} eine monoton abnehmende Mengenfolge mit leerem Durchschnitt, ist: lim n (3I) = 0. v=OO Also folgt aus (0) und (00): rT- -TT-o= If () - f () - o). 1) Für x= a und x=b kommt nur je einer dieser Grenzwerte in Frage. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 32

498 Die Funktionen endlicher Variation. Damit ist die erste Gleichung von Satz I nachgewiesen, und analog beweist man die anderen. Satz II. Ist f von endlicher Variation in [a,b], so ist, damit f im Punkte xo stetig sei auf [a, b], notwendig und hinreichend, daß sowohl TTx als auch Na stetig seien auf [a,b] im Punkte x%. Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, dies folgt unmittelbar aus Satz I. Denn ist f unstetig in x., so ist mindestens eine der Größen: 1 f(xo) - f(xo-o), (o + ) - f(xo), + 4 -f(xo)- f(xo - o), If(xo + )-f(xo) von 0 verschieden. Die Bedingung ist hinreichend; dies folgt aus ~ 5, Satz VIII. Satz III. Ist f von endlicher Variation in [a,b], so ist, damit f im Punkte xo stetig sei auf [a,b], notwendig und hinreichend, daß Ax stetig sei auf [a,b] im Punkte x0. Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, dies folgt unmittelbar aus Satz I. Denn ist f unstetig in X0, so ist mindestens eine der Größen: I.f(o)- f(o- ) 1, [f(o + )- f(xo) von 0 verschieden. Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, ist A^ stetig auf [a, b in xo, so ist nach Satz I1): i f (o)- (o - O) i = 0; I f(xo + 0)-f(xo) 1=0. Daraus aber folgt die behauptete Stetigkeit von f(x), und Satz III ist bewiesen. Aus Satz II zusammen mit Satz VIII von ~ 5 folgt: Satz IV. Ist f(x) stetig und von endlicher Variation in [a,b], so ist f(x) Differenz zweier in [a, b] stetiger, monoton wachsender Funktionen. Beispiele von Funktionen, die in einem Intervalle [a, b] stetig, aber nicht von endlicher TVariation sind, können leicht angegeben werden: Sei {x,} eine stets wachsende Zahlenfolge aus (0, 1) mit lim x, =1. Wir setzen noch X= 0 und definieren f(x) in [0, 1] durch: v=1) Für x==a und Xo=b kommt nur je eine dieser Gleichungen in Betracht.

Kap. VII, ~ 6. Stetige Funktionen endlicher Variation. 499 (v)-0 (V-~' ' '..'); / (2^_1)=V (V= 1,2,...); f(1)=0; f (x) linear in jedem Intervalle [xV,_, x] (v=1, 2,..). Dann ist f(x) stetig in [0,1]. Sei Z die endliche Zerlegung von [0, 1] mit den Zerlegungspunkten: 0, x1, x2,..., xx2, 1, so ist: A (f)A (Z)2 1 + +... -), also: ^o (f)= - oo, d. h. f ist nicht von endlicher Variation in [0, 1]. Ein Beispiel einer Funktion, die in einem Intervalle [a, b] stetig, aber in keinem Teilintervalle von [a, b] von endlicher Variation ist, liefert die Ordinate y (t) einer Peanoschen Kurve (Kap. II, ~ 7, S. 150). Man erkennt dies sofort, wenn man bemerkt, daß (bei ungeradem g) für jedes Teilintervall ~[';-I~21 von [0,1]: jY(g9}-Y\2) gn - Wir haben Variation, positive und negative Variation einer Funktion definiert als obere Schranken der Ausdrücke A(Z), P(Z), N'(Z). Für eine weite Funktionenklasse, die insbesondere alle stetigen Funktionen umfaßt, gelingt eine wichtige Grenzwertdarstellung dieser Zahlen. Sei Z die durch die Punkte (*) a = Xo < x < x<... < x_ < x = b gegebene endliche Zerlegung von [a, b]. Ist x Xi-_ d (i- 1, 2,...,), so nennen wir d eine Norm der Zerlegung Z. Eine Folge endlicher Zerlegungen {Zv} von [a, b] heißt eine ausgezeichnete Folge'), wenn es eine Norm dy von Z, gibt, so daß: lim d -= 0. y = 00 Sei f(x) eine in [a,b] definierte Funktion, die nur Unstetigkeiten erster Art besitzt. Jeden Punkt x von [a, b], in dem nicht: f(x -O) f(x) f( x + ) oder f(x-0) f(x)_ ( (x + 0), nennen wir eine äußere Sprungstelle2) von f(x). Dann gilt der Satz3): 1) Nach G. Kowalewski, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung (1909), 171. 2) Dies befindet sich in Einklang mit der Definition des äußeren Sprunges Kap. III, ~ 5, S. 212. 3) E. Study, Math. Ann. 47 (1896), 301. Daselbst auch eine weitere 32*

500 Die Funktionen endlicher Variation. Satz V. Ist die Funktion f(x) endlich in [a,b] und hat sie dort nur Unstetigkeiten erster Art, so gilt für jede ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher Zerlegungen von [a,b], für die jede äußere Sprungstelle von f in fast allen Zerlegungen Z, als Zerlegungspunkt auftritt: (**) Ab (f)-lim A (Z); -[b(f)=lim P (Z,); N(f) limN(Z,). Dies ist sicher richtig, wenn f nicht beschränkt ist, da dann in jeder dieser drei Gleichungen beide Seiten den Wert -- oo haben. Wir nehmen also im folgenden Beweise f als beschränkt an. Es genügt wieder, den Beweis für rTT zu führen. Zu jedem q <TT (f) gibt es eine endliche Zerlegung Z von [a,b], so daß: P (Z)> q. Seien etwa (*) die Zerlegungspunkte von Z. Wir bilden die Produktzerlegung: Z = — Z Z,. Nach ~ 4, Satz I ist dann auch: (,) P (Z,) > q. Seien: XV) < (p) <.< x(i), diejenigen unter den Zerlegungspunkten (*) von Z, die nicht zugleich Zerlegungspunkte von Z, sind. Da sie alle unter den Punkten 1, x2,..., x_1 vorkommen, ist kv < n. Seien xI), 2?) der dem Punkte xY) unmittelbar vorangehende und nachfolgende Zerlegungspunkt von Z,. Da {Z,} eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge, ist für fast alle v: (v) < x(p) < X() < C() < X() < X^) <., < X) < X(V) < X(1) und es wird: P (Z) -P (Zv) kv 2- { ) f(x ^)) + - f)- f(xyx) - f())) }, i=1+ + woraus wir unmittelbar folgern: Ist e>0 beliebig gegeben, so ist für fast alle v Untersuchung der Werte, denen A(Zv) zustrebt, wenn die ausgezeichnete Zerlegungsfolge {Zv} nicht der Bedingung von Satz V genügt.

Kap. VII, ~ 6. Stetige Funktionen endlicher Variation. 501 kV (***) p (Z)- P (Z) < i { I f (x>t)) - f() -_ ) i:1 + + I f(x? + 0 )- f(?)I- I f(?>( + 0)- f, I E +- + Da aber die Punkte xv) nicht Zerlegungspunkte von Z, sind, und jede äußere Sprungstelle in fast allen Z, Zerlegungspunkt ist, so ist für fast alle v keiner der Punkte x(v) äußere Sprungstelle, und somit ist für fast alle v in (**) die Summe rechts- 0, so daß (***) übergeht in: P(Z) -P(Z) <e für fast alle r. Aus (***) folgt also weiter: P(Z>,)>q-e für fast alle r. Da hierin q b (f) und e > 0 beliebig waren, heißt das: lim P (Z)-n- (). Y= 00 Damit ist Satz V bewiesen. Aus Satz V folgt unmittelbar: Satz VI. Ist die Funktion f(x) endlich in [a,b], hat sie dort nur Unstetigkeiten erster Art, und hat sie in (a,b) keine äußere Sprungstelle, so gilt (**) für jede ausgezeichnete Folge endlicher Zerlegungen {Z,} von [a,b]. Ferner folgern wir aus Satz VI: Satz VII. Es genüge f(x) den Voraussetzungen von Satz VI. Sind dann ql, q2, q3 beliebige Zahlen: Cl<Aa(f); a Ana3(f); 3 <3 Na(f), so gibt es eine Zahl d, so daß für jede endliche Zerlegung Z von [a,b], deren Norm <d ist: A(Z)>q P()>q2; N(Z)>q. Es genügt, die Behauptung für P(Z) nachzuweisen. Wäre sie nicht richtig, so gäbe es ein q <TT (f) und eine endliche Zerlegung Z, von der Norm 1, so daß: (***) P (Z,) < anT (f). Dann ist {Z,} eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge; es müßte also: lim P (Z) = TT (f) sein, im Widerspruch mit (***). Damit ist Satz VII bewiesen.

502 Die Funktionen endlicher Variation. Von Satz V gilt folgende Umkehrung: Satz VIII. Ist f(x) von endlicher Variation in [a,b], so ist, damit für die ausgezeichnete Folge endlicher Zerlegungen {Z4} von [a,b] eine der Gleichungen (**) gelte, notwendig, daß jede äußere Sprungstelle von f für fast alle Zv Zerlegungspunkt sei. Angenommen in der Tat, die äußere Sprungstelle x' sei für unendlich viele Z, nicht Zerlegungspunkt. Indem wir nötigenfalls von {Zv} zu einer Teilfolge übergehen, können wir annehmen, dies sei für alle Z, der Fall. Seien X", x der dem Punkte x' in Z, unmittelbar vorangehende und nachfolgende Zerlegungspunkt, und sei Z' die aus Z, durch Hinzufügung des Zerlegungspunktes x' entstehende Zerlegung. Dann ist: P (Z:) - P (Z,,) = I f(x')f() - + l- f(z) - f(x') - f(Z) - f() und somit: (**) lim (P (Z) - P (Z~)) I f(x') - f(x' - o) j f(x'+ 0) - f(x') - I f(x' + O)- f(x' - 0). + + + Da x' äußere Sprungstelle, hat hierin die rechte Seite einen Wert > >0; und da T: (f) P (Z) für alle s, so folgt aus (*): TT(_)_P(Zv) + T für fast alle v, so daß die zweite Gleichung (**) nicht gelten kann. Analog ist der Beweis für die beiden anderen Gleichungen (**), und Satz VIII ist bewiesen. Unter die Funktionen, für die Satz VI gilt, fallen insbesondere auch die stetigen Funktionen. Doch kann für stetige Funktionen ein noch allgemeineres Resultat ausgesprochen werden. Wir führen neben den bisher benutzten endlichen Zerlegungen nun auch unendliche Zerlegungen von [a,b] ein, durch die Festsetzung: jede unendliche, die Punkte a und b enthaltende, abzählbare, abgeschlossene Punktmenge ß aus [a, b] ruft eine unendliche Zerlegung Z von [a, b] hervor. Die Punkte von $ heißen die Zerlegungspunkte, die abzählbar vielen Intervalle, aus denen sich das Komplement von ß zu [a,b] zusammensetzt, heißen die Zerlegungsintervalle von Z. Sind (x, xz'') (i =1,2,...) diese Intervalle, so setzen wir:

Kap. VII, ~ 6. Stetige Funktionen endlicher Variation. 503 A (Z)= i f;N(Z)- f(x) -; i P(z)= ( i x - xf) l; xz) =! ft ~J —(x f |. i + iDie Definition der Norm einer Zerlegung, und der ausgezeichneten Zerlegungsfolgen bleiben dieselben, wie für endliche Zerlegungen. Satz IX. Ist f endlich und stetig in [a,b], und ist e>0 beliebig gegeben, so gibt es zu jeder Zerlegung Z von [a,b] der Norm d, für die A(Z) bzw. P(Z), N(Z) endlich ausfällt, eine endliche Zerlegung Z' der Norm d, so daß (t) A(Z')<A(Z)+e; P(Z')<P(Z)+e; N(Z')<XN(Z)+-E. Seien x1, x2..., x,,... die sämtlichen Zerlegungspunkte von Z. d Wir umgeben x, mit einem Intervall [x - h,,, x hv], wo h~, d und ferner so klein gewählt sei, daß für je zwei Punkte x', x" dieses Intervalles: (tft) f(x") - f(x') < Unter den Intervallen [xv - h, x- +hv] gibt es dann nach dem Borelschen Theorem (Kap. I, ~ 6, Satz I) endlich viele: [xvi - /v,, x's + hViJ (t =l 2,...* k), in deren Vereinigung alle x, enthalten sind. Wir können sie durch endlich viele Intervalle 3 (v 1, 2,..., e) ersetzen, in deren Vereinigung gleichfalls alle x, enthalten sind, und die zu je zweien keinen inneren Punkt gemein haben. Bei geeigneter Numerierung wird für je zwei Punkte x', x" von S, Ungleichung (tt) gelten. Wir tilgen nun in jedem 2 alle Zerlegungspunkte, mit Ausnahme des am weitesten links gelegenen x,, und des am weitesten rechts gelegenen x4. Wir erhalten so eine endliche Zerlegung Z' der Norm d. Die einzigen Zerlegungsintervalle von Z', die nicht zugleich Zerlegungsintervalle von Z sind, sind die e Intervalle [x', x]. Da aber wegen (tt): |f (Zu)-f(X)|< 2 ((=1,2,.,e), gelten die Ungleichungen (t), und Satz IX ist bewiesen. Nunmehr beweisen wir leicht: Satz X.') Ist f(x) endlich und stetig in [a,b], so ist für jede ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher oder unendlicher 1) H. Lebesgue, Le9ons sur l'int6gration, 54. Vgl. auch Rend. Linc. 16/1 (1907), 95.

504 Die Funktionen endlicher Variation. Zerlegungen von [a,b]: (x) Aa (f) limA(Zy); rlt(f)=limP(Z); Nb (f) limN(Z,). y_00 — 00 = v CO In der Tat, es wird wieder genügen, die zweite dieser Gleichungen zu beweisen. Dabei können wir offenbar aus der Folge der {Z1} alle diejenigen weglassen, für die P(Z) = +- oo ist. Wir nehmen also von vornherein an, alle P(Z,) seien endlich. Nach Satz IX gibt es dann zu jeder Zerlegung Z, eine endliche Zerlegung Z', gleicher Norm, für die (xx) P(Z) > Pt(z) - ist. So wie {Zv} ist aber auch {Z'} eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge. Nach Satz VI ist also: (xxx) imP(Z TT(f). im= e )o Nach ~ 4, Satz VI ist andrerseits: (X X) P(Z,) < rra (f). Aus (XX), (XXx), (Xx) aber folgt die zweite Gleichung (X), und Satz X ist bewiesen. Wie Satz VII beweist man nun: Satz XI. Ist f(x) in [a, b] endlich und stetig, und sind q1, q2, q3 beliebige Zahlen: -, < A^(f); q<2 < T); q. < N(f) so gibt es eine Zahl d, so daß für jede (endliche oder unendliche) Zerlegung Z von [a, bj, deren Norm <d ist: A(Z)>q; P(Z)> q; N(Z) >q. Satz XII. Ist f(x) in [a,b] von endlicher Variation, so ist, damit für alle ausgezeichneten Folgen {Z,} unendlicher Zerlegungen Ab (f)-=lim A(Z,) y -- 00 sei, notwendig, daß f in [a,b] stetig sei. Angenommen in der Tat, es gebe in [a,b] einen Unstetigkeitspunkt Xo, und zwar sei etwa: f(o + o) + f(xo). Ist dann Z eine unendliche Zerlegung von [a, b], für die x0 rechts

Kap. VII, ~ 7. Unstetige Funktionen endlicher Variation. 505> seitiger Häufungspunkt von Zerlegungspunkten ist, so ist offenbar A (Z)< A^(f)- | f(xo + ) - f(o) I, woraus sofort die Behauptung folgt. ~ 7. Unstetige Funktionen endlicher Variation. Wir wissen bereits, daß eine Funktion endlicher Variation nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte besitzt (~ 5, Satz XI), und daß alle ihre Unstetigkeitspunkte von erster Art sind (~ 5, Satz X). Wir behaupten nun: Satz I. Ist die Funktion f(x) von endlicher Variation in [a,b], und sind xx2,..., y,... ihre nach (a,b) fallenden Unstetigkeitspunkte, so sind die Reihen: ( { f(X") - f(x - O) i + i f(x,,- o) - f.(x,) I}; v (0) 2 { f(X,)- f(x,- 0) + lf( + 0) -f(x,) }; v+ + 2{ f(X) - f(X - O) + f(x, +0)-f(~,) } V ~ eigentlich konvergent. Es genügt, dies für die erste dieser Reihen nachzuweisen. Ist (. die nur aus dem Punkte x. bestehende Menge, so ist nach ~ 5, Satz XIV: (00) |f (X") - f (x - 0) I + I f (x. + 0) - f (X)= a (,). Setzen wir: s= 1 + -.. + - +..., S-(f b), so ist, weil 9-<*: (000) () (). Nach ~ 5, Satz XII ist also ca(91) endlich, und wegen:. (~)= a(~,)+a( () -+...+ ( +.)+.. ist zufolge (00) die eigentliche Konvergenz der ersten Reihe (0) nachgewiesen, und Satz I ist bewiesen. Ist nun (x', x") irgendein Teilintervall von [a, b], so bezeichnen wir mit: t%0 (x x ' { f(X.) ) + f + - f - + - () I }; (0O0) < ~ {l f(3~) -~ y - 0) | ot f{x, + 0) f(-) l.; i:, {r()- ( + o + o E {i| f (x") - f (X - O) + 1 f (x, + ~) - f() (X }

506 Die Funktionen endlicher Variation. die Summe aller jener Glieder der entsprechenden Reihe (0), deren x, nach (x', x") fällt. Nach Satz I sind auch die Reihen (000) eigentlich konvergent. Satz II. Für jedes x' aus (a,b) ist1) (unter den Voraussetzungen von Satz I): lim { f() - f(x, - O) + f(x, + 0)- f () } 0; h=-+O (x', '+h) lim 2 { f(xr) - f(x, -- f(0) - + l ( + f(x-I) } = 0; h= +O (x',x '+h) + + lim {I(f(,,)-f(x, -0)!- f(x, + 0)- f(x,,) }= 0. h —+O (x',z' +h) -- Es genügt wieder, die erste dieser Beziehungen nachzuweisen. Sei {h<} eine abnehmende Folge positiver Zahlen mit lim =n 0. Wir n- = oo setzen (X' x', -' 4-h)=, und bezeichnen mit 9An die Menge der nach:, fallenden Unstetigkeitspunkte x,,. Ebenso wie vorhin (000), gilt dann: C (A =< (3,n). Da {3n} eine abnehmende Mengenfolge mit leerem Durchschnitt, ist lim a (S)= 0. Also ist auch: lim a ()n-)=0, n= co und da: (~)= { f( - f(X- 0)I I f(x + O)-f(x) I, (x', x'+hn) so ist Satz II bewiesen. Wir bilden nun für alle x aus (a,b] die Ausdrücke: a+()= ) f(a+0) - f(a) + { Il,,)- f(x,,-o ) +l f(x+o) - 'f(X ) } + (a,x)+ + + f(x) -f(x-o)I; + (1) _(X)= f(a+ 0) - f(a) + I f() f()-f(x,- 0)| + f(x + 0) - f(x,) } -(a,x) - + f( -f(X- 0), 1) Dieselben Beziehungen gelten mit lim. h=-0

Kap. VII, ~ 7. Unstetige Funktionen endlicher Variation. 507 die wir als Funktion der positiven (bzw. negativen) Sprünge von f(x) bezeichnen1). Ebenso bezeichnen wir den Ausdruck: (2) o (x) = ar(x) - a- (x)= (f (t + 0) - f(a)) + E {f(x, + 0)- f (X, - 0)} + (f(x) - f(x - 0)) (a, x) als die Funktion der Sprünge von f(x). Satz III. Die Differenzen: (3) nTT(f)-o +(x)=g+(x); N (f)- o_(x)=g_(x) sind stetig und monoton wachsend in [a,b]. Die Differenz: (4) f(x)- o (x)=(x) ist stetig und von endlicher Variation in [a,b]. Da nach ~ 5, Satz VIII: (5) g (x) = (x g ( x)- g-( +( f (a) ist, genügt es, die Behauptung für /g+(x) und g.(x) nachzuweisen. Wir führen den Beweis etwa für g+(x). Sei x ein Punkt von [a, b). Nach ~ 6, Satz I ist: (6) limr ( )| f( + 0) - f(xTT) f f() [. h-+0 + Da i+ (x) seiner Definition zufolge monoton wächst, existiert der Grenzwert: lim { a+ (x + h)- o+ (x) }. h —+0 Sei {h,,} eine Folge positiver Zahlen mit lim h=0, die so gewählt n= oo0 seien, daß die Punkte x h- h nicht Unstetigkeitspunkte von f sind. Dann ist: o+ (+h,) - o+(x)= f(x + O)-f(x) + E { f(x,)- f(x~,-0) + f(x, +0)- f(x,) } (x, x+h) + + und mithin nach Satz II: (7) lim {o+(x + h)- o+(x)} j f(x+ 0) -- f(t). h =+0O + Aus (6) und (7) aber folgt: (8) lim { g+ (x + h) - g+ (x) } 0. h-+O 1) Für x= a setzen wir: g+ (a) ==, o_ (a) 0. - Ist es nötig, die Funktion f(x) in Evidenz zu setzen, so schreiben wir a+ (x, f), _ (x,f) statt + (x), ao(x).

508 Die Funktionen endlicher Variation. Ganz ebenso beweist man für jeden Punkt x von (a, b]: (9) lim { g+ (x - h)- g+ ()} =O. h=+0 Die Beziehungen (8) und (9) aber besagen: +(x) ist stetig in [a, b]. Ferner ist für jedes Intervall [x', x"] aus [a, b]: [ g+ (x")- g+ (x') = [ ' - (o+ (x")- + (x')) =I' -i r f(X, +o) f(X,) (10) )' f- f j (x) + f( )- f(x)' } (x ', ")+ -+ und-+ f(x ")-f( - o) 0 Hierin nun ist, wenn (x', x")- * gesetzt wird, nach ~ 5, Satz XIII: (11) rr'- I f (' + 0)-f f(') f (X")- ( -f lc- 0)= I () und, wenn mit 9I die Menge aller nach (x',x") fallenden Unstetigkeitspunkte x, von f bezeichnet wird, zufolge ~ 5, Satz XIV: (12) ~ { f(xv)- f(x - ) +lf(x + 0) - f(xl) }= (Q). (x', x') + + Wegen 2-< * aber ist: (v) < (,*); aus (10), (11) und (12) folgt also: g+ () - g+ (x') o, d. h. g+(x) ist monoton wachsend. Damit ist Satz III bewiesen. Aus Satz III, zusammen mit ~ 6, Satz I folgt sofort: Satz IV. In jedem Punkte x von [a,b] ist1): +(x) - o+( - ( 0)- '() - '(x -- )!; + o+(x o-+ )(x + () + (x) f x )- f (x); -o_ (x) - o_ (x - 0) = f() - f(x - 0) |; o- ( + O)-o(-)= f(X + 0) - rf(x)a; a (x)- - (x - Q)= f(f) - (x - 0); _ -_ o — 0)- (x)= f (x 0)-f(x). 1) Für x a und x= b kommt nur die eine Hälfte dieser Formeln in Betracht.

Kap. VII, ~ 7. Unstetige Funktionen endlicher Variation. 509 Satz V. Werden die Bezeichnungen von Satz III beibehalten, so ist: (13) A(f) A)A (g) + Af (a); (14) A (g)=g+(x)+ g(x); A'() =-+ (x) + _(x). In der Tat, aus (3) folgt: (15) A f) TT (f) + N (f) g+ (x) + g_(x) + + (x) + O_(x). Andrerseits folgt aus (4), (5) und (2): f(x) g (x) + a (x) = g+) (x) + - g (x)+ () +- (x)+ f(a), und somit nach ~ 4, Satz IX: (16) A' (f) _ A (g+- g - A) + (+ - _). Da g+ g, g, +, o monoton wachsen, und für x = a verschwinden, ist: (1 7) 1 Aa (g-+ g-) _ A - ) (g+) A — (ga)=g+(x) +- g_(x); A' (+ - a_)< o+ (x)+ (x). Die Gleichung (15) aber ist mit den Ungleichungen (16), (17) nur verträglich, wenn in diesen überall das Zeichen == gilt; berücksichtigt man noch, daß nach (5) und (2): g (x)= — g+(x)-g_(x) + f(a); a(x)= —a+(x) - _(x), so folgt aus (17): g+ (x) - g_ (x) A (g+ - g_) -- A (g); a+ (x) + a_(x) = A(o+- o_)= A' (a). Damit ist (14) bewiesen, und durch Einsetzen in (15) erhält man (13). Hiermit ist der Beweis von Satz V beendet. Die zweite Formel (14) kann, wenn man für o+(x), o_(x) ihre Bedeutung (1) einsetzt, auch so geschrieben werden: Ax () f(a + 0) - f (a) (18) + +2{|f(x,)- f(v - 0)| + f(, + 0)- f(^) } +f f(x)- f(x -0). Ferner folgern wir aus Satz V: Satz Va. Es ist: *() TTa (o) =-+ (x); Ne (o) = _ (x). (**) TT (g)= g+ (x); N (g) = g_ (x). In der Tat, es ist: (x) =+ (x) - o_ (x); o (x) Ta (o) Na ().

510 Die Funktionen endlicher Variation. Würde nun nicht (*) gelten, so wäre nach ~ 5, Satz IX: o+ (x) > YTa (o); _ (x) > Na (o), und daraus durch Addition: + (x)+ _- (x) > Aa (a), im Widerspruche mit Satz V. Dadurch ist (*) bewiesen, und ebenso beweist man (**). Satz VI. Der Absolutzuwachsl) a(o) der Funktion der Sprünge, der Zuwachs b(ao) und ö(o) der Funktion der positiven und der negativen Sprünge sind rein-unstetige Mengenfunktionen. Wir führen den Beweis für die Funktion der Sprünge. Ganz analog verläuft er für die Funktionen der positiven und der negativen Sprünge, bei denen, da sie monoton wachsen, Zuwachs und Absolutzuwachs identisch sind. Da nach Satz III g von endlicher Variation, so auch (~ 5, Satz III) a=f- g. Bezeichnen wir wieder mit 3* das Intervall (a, b), mit 9 die Menge der Unstetigkeitspunkte x1, x2..., x,,... von f in (a, b), so haben wir zufolge ~ 5, Satz XIII unter Benutzung von (18) und Satz IV: (19) ( ) = { f(x - f(x- 0) + f(xv+ 0)- f(x)}; (a,b) andrerseits ist nach Satz IV und ~ 5, Satz XIV: f a(ts)== a ( oa) (20) (20) { I f(x) - f ( 0) | + | f(xv + 0)- f(Xzu) | } (a,b) Aus (19) und (20) aber folgt: a(9,a)) = a (*,o), und somit für jede zu 91 fremde, d. h. keinen Unstetigkeitspunkt von f enthaltende Menge 23 aus (a,b): (21) a (, o)=. Nach Satz III sind aber die Unstetigkeitspunkte von f in (a,b) identisch mit denen von o, und daher nach ~ 5, Satz XIV auch mit denen von ac(o), also besagt (21), daß a (o) rein-unstetig ist, und Satz VI ist bewiesen. Aus Satz VI folgern wir: 1) Und somit auch Positivzuwachs,' Negativzuwachs und Zuwachs.

Kap. VII, ~ 7. Unstetige Funktionen endlicher Variation. 511 Satz VII. Die Funktionen o+(x) und a_(x) können nicht zerspalten werden in zwei monoton wachsende Summanden,, deren einer stetig und nicht konstant wäre. Angenommen etwa, es wäre (22) o+ (x)= h^ ) + h, (x), wo h1 (x), h (x) monoton wachsend, und h1 (x) stetig und nicht konstant. Dann gäbe es ein Teilintervall' '=(a', b') von [a, b], so daß: h (b') -hl (a') > 0. Nach ~ 5, Satz XIII ist dann auch: (23) 6 ((', ) _= a (', h)= \ (b') - kh (a') > 0. Aus (22) folgt (~ 1, Satz IX): (a+)= - (hl) + (h2) Weil h monoton wächst, ist hierin 6(h2) 0, und mithin: (24) 0< _ (h1)< (o+). Ist 9L' die Menge der nach (a', b') fallenden Unstetigkeitspunkte von f, und 23' das Komplement von 9' zu (a',b'), so ist: (25) (,)= (V, h) + (, a). Nach Satz IV sind die Unstetigkeitspunkte von o+ enthalten unter denen von f. Nach ~ 5, Satz XIV sind demnach auch die Unstetigkeitspunkte von öc(a+) enthalten unter denen von f. Also enthält 3' keinen Unstetigkeitspunkt von 6 (u+), und da nach Satz VI ö (a+) rein-unstetig, so ist: 6 (3', o+)- O, und mithin nach (24) auch: (26) 6 (',h,)= o. Nach ~ 5, Satz XIV folgt aus der Stetigkeit von h, die Stetigkeit der Mengenfunktion 8 (h1). Also ist, da %' abzählbar, nach Kap. VI, ~ 3, Satz VI: (27) (W',h)= o. Aus (25), (26), (27) würde aber folgen: (Whi) i= o, im Widerspruch mit (23). Damit ist Satz VII bewiesen.

512 Die Funktionen endlicher Variation. Satz VIII. Ist f von endlicher Variation in [a, b], so gelten bei jeder Zerspaltung von f in zwei Summanden endlicher Variation: (28) f=fi + f2, deren einer f, stetig ist in [a,b], für den anderen in jedem Teilintervalle [a',b'] von [a,b] die Ungleichungen: (29) r: (f2)> +(b')- +(a'); N (f2) _(b') - _(a'), und mithin auch: (30) A: (f) ~ Abt (). Wir führen den Beweis für ein in (a, b) liegendes Intervall [a', b'] 1). Wir setzen wieder: 3' (a, b'), bezeichnen mit Vf' die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f in (a', b'), mit S3' ihr Komplement zu (a', b'). Da f1 stetig, sind Positiv- und Negativzuwachs n:(f), v(fi) stetige Mengenfunktionen, mithin, da 9A' abzählbar: (31) (', f1)-=0; v(Qf',f1)=O. Aus (28) nun folgt nach ~ 1, Satz VIII2): (tf', f) - (t', fi) < n (f', f2) < ^ (t', f) + (t', fi), also wegen (31): (32) (', f,)= (', f), und nach Satz IV und ~ 5, Satz XIV ist weiter: (33) ( (', f) = { f( f(x) f(x - 0) - l f(x + 0)- f(x) } (a,b') + + - (9', 7+). Ferner ist, weil n (o+) rein-unstetig (Satz VI), und mithin (34) (',,+)-0 ist, gewiß: (35): (a', 2) > (Ö',o +). ) Der Fall, daß [a', b' mit [a, b] einen Endpunkt gemein hat, wird auf diesen zurückgeführt, indem man setzt: f (x) -= f (a) für x < a, f (x)= f (b) für x >b, und an Stelle von [a, b] ein Intervall [a*, b*] mit a*<a, b*>b betrachtet. 2) In der Tat, aus (28) folgt: Z (', f)_<- (', fL) +- (S', f2) Wegen f, f- f, ist weiter: (9', f2) _ 2 (', f) -+ ' (9', - fi) = f (9', f) + v (9', f)).

Kap. VII, ~ 8. Rektifikation. 513 Aus (32), (33), (35) aber folgt: (36) (S', f2) = ( f') + (X f) _ 2 >( +) -+ (t +) - (', +). Nach ~ 5, Satz XIII und nach Satz IV ist nun weiter: (37) ITt (f2)=- ( ', f) -+ f2 (a' - - )- f2 (a') | + - f2 (b')- f2 (b' - 0) + + (38) ia; (a+) - (n', o+) + f(a' + 0) - f(a') -f f(b')- f(b'- O) f. + + Wegen der Stetigkeit von f1 aber folgt aus (28): f(a' +- 0) - f(a') I - f2 (a' + 0) - f2 (a'); + + If(b') - f(b' - 0) |= f2 (b') - f (b' - 0). + + Also ergeben (36), (37) und (38): r; 2() > rTT (a+) =o (b')- + (a'), womit die erste Ungleichung (29) bewiesen. Ebenso beweist man die zweite. Aus der zweiten Formel (14) folgt sodann (30), und Satz VIII ist bewiesen. ~ 8. Rektifikation. Seien x (t), y (t) zwei in [a, b] definierte und endliche Funktionen. Setzen wir (0) x==x(t), y=y(t), so wird jeder Punkt t von [a, b] abgebildet auf einen Punkt p (t) des Ja der (x,y)1). Bezeichnen wir mit ( die Menge aller so den Punkten von [a, b] zugeordneten Punkte des 12, so ist durch (0) eine Durchlaufung der Menge ( gegeben. Sei Z eine endliche Zerlegung von [a, b], etwa: a- =to < t <... < t_ < tn b, und sei pi der durch (0) dem Punkte tt zugeordnete Punkt des E?. Wir bezeichnen mit 3 (Z) den Streckenzug Pop,... p~ - Pn, und nennen ihn das zur Zerlegung Z gehörige Näherungspolygon der Durchlaufung (0) von (. Seine Länge ist gegeben durch: n L (Z) = z /(x (ti) - x (ti_, 1))2 (y (ti)-y (t) i=1 Man erkennt unmittelbar: Satz I. Ist Z' eine Unterzerlegung von Z, so ist: L (Z') L (Z). 1) Ganz in derselben Weise kann die Abbildung: X = xi(t) (i =1,2,..., k) der Strecke [a, b] auf eine Punktmenge des % betrachtet werden. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 33

51:4 Die Funktionen endlicher Variation. Wir definieren nun: Die obere Schranke aller L(Z) (für alle möglichen endlichen Zerlegungen von [a, b]) heiße die Längel) der Durchlaufung (0) von (, in Zeichen: A (x(t), y (t)). Wir dehnen diese Definition auch auf den Fall a =b aus durch die Festsetzung: a (x (t), y (t))= 0. ^a Dann gilt der Satz: Satz II. Für jedes c aus [a,b] ist: a (X (t), y (t)) _ Aac (X (t), y (t)) + Ac (x (t), y (t)). Der Beweis ist derselbe, wie für ~ 4, Satz III. - Aus Satz II folgt unmittelbar: Satz III. Für jedes Teilintervall [a',b'] von [a,b] ist: ~ ~ ( x (t), y (t)) a, (x (t), y (t) ) Aa ( (ty (t. Verstehen wir unter Z die Zerlegung von [a, b], deren einziges Zerlegungsintervall [a, b] selbst ist, so wird L (Z) die Länge r(p (a), p (b)) der Verbindungsstrecke der Punkte p (a) und p (b), und aus der Definition von Ab folgt: Satz IV. Die Länge der Durchlaufung (0) der Menge ( ist mindestens gleich der Länge r(p(a),p(b)] der Verbindungsstrecke der Punkte p (a) und p (b). Wir beweisen'nun den Hauptsatz dieser Theorie: Satz V. Die Länge Ab(x (t), y (t)) der Durchlaufung (0) der Menge ( ist endlich dann und nur dann, wenn jede der beiden Funktionen x(t), y(t) von endlicher Variation in [a, b] ist. In der Tat, aus den Ungleichungen: y(t)- x(ti_)\ ri -y - Y (ti) y (til) t-< ((ti)- (ti_ly))2 +(yi (ti)L)) I x (ti)- x (ti_) l+[y(ti)-y(ti_,)\ folgt, wenn wir wieder die Bezeichnung A (Z) von ~ 4, S. 484 aufnehmen: A (z, x (t)) < L (Z) < A (Z, x (t)) + A (Z, y (t)), A (Z, y (t))= und mithin für die oberen Schranken: Aa (X (t)) } < Abb (~ (t), y (t)) <_ ^a A5i (x (t)) a womit Satz V bewiesen ist. 1) Historisches über diesen Begriff findet man bei 0. Stolz, Math. Ann. 18 (1881), 267ff. Die Definition des Textes geht zurück auf G. Ascoli, Rend. Lomb. 16 (1883), 851; L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884), 51; C. Jordan, Cours d'analyse 2. ed., 1 (1893), 100. Vgl. auch G. Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (1887), 161; Rend. Iinc. (4) 6/1 (1890), 54; E. Study, Math. Ann. 47 (1896), 314; H. Lebesgue, Ann. di mat. (3) 7 (1902), 282. Eine auf anderer Grundlage ruhende Definition des Begriffes Länge gibt E. Schmidt, Math. Ann. 55 (1902), 163.

Kap. VII, ~ 8. Rektifikation. 515 Hat die Durchlaufung (0) von ~ endliche Länge, so haben also nach ~ 5, Satz X die Funktionen x(t), y (t) in [a, b] nur Unstetigkeiten erster Art, es existieren also die einseitigen (endlichen) Grenzwerte x (t - 0), x (t +- 0), y (t - 0), y (t — 0). Wir bezeichnen mit p (t - 0) und p (t +- 0) die Punkte der Koordinaten x (t- 0), y (t- 0) bzw. x (t - 0), y (t - 0). Aus Satz III folgt, daß At eine in [a, b] monoton wachsende Funktion ist. Es existieren also die Grenzwerte1): At --- lim At~-h; At'O- im At+ lim a h=J+Oa a h=+0 a Es gilt für sie der Satz': Satz VI. Ist Ab(x(t), y(t)) endlich, so ist für jedes t von [a, bj]): (1) A-A t —=r(p(t —O),p(t)); A — At=- r(p(t+ —0),p(t)). In der Tat, es ist nach'Satz II: (2) At+ - _A = lirn At+h a a' — tO = Sei, > 0 beliebig gegeben und Z eine Zerlegung des Intervalles [t, t +- h], deren erster Zerlegungspunkt t, so nahe an t liege, daß: (3) r (p (t1),p (t)) - r (p (t +-0), p (t)) < e. Bedeutet L (Z) die Länge des zu Z gehörigen Näherungspolygones, so ist dann: L (Z) > r (p (t), p (t)) > r (p (t + 0), p (t)) - woraus, da e > 0 beliebig war, sofort folgt: q+n > r (p (t + 0), p (t)), und somit wegen (2) auch: (4) A - A > r (p (t + 0), (t)). Wegen der Existenz des Grenzwertes A'+0 gibt es ein i > 0, so daß: (5) At+h, < s für 0 h' <h< r. Sei sodann Z eine beliebige Zerlegung von [t, t-+ hi. Wir schalten zwischen ihren ersten Zerlegungspunkt und t einen neuen Zerlegungspunkt t, ein, für den (3) gelte. Für die so entstehende Zerlegung Z' gilt nach Satz I: (6) L (Z') L (Z). Wegen (3) und (5) aber ist offenbar: (7) L (Z')<<r(. (t +0), (t))+ +A t r (P (t + 0), (t)) + 2. Es ist also zufolge (6) und (7) für jede Zerlegung Z von [t, t -hi L (Z) < r(p(t+-0O),p(t))+ 2e, und somit: At <r(p(t+-0O),p(t))-f-2e für 0<h<=y. ~) F:ür x — a und x = b kommt nur je einer dieser Grenzwerte in Frage. 2) Für x-a und x=b kommt nur je eine dieser Formeln,in Frage. 33*

516 Die Funktionen endlicher Variation. Wegen (2) folgt daraus, da e > 0 beliebig war: (8) A 0+~ - A< r (p (-r( - 0), p (t)). Durch (4) und (8) ist die zweite Gleichung (1) bewiesen, und ebenso beweist man die erste. Satz VII1). Sind x(t) und y(t) beschränkt und nur von erster Art unstetig in [a,b], so gilt für die ausgezeichnete Folge {Zy} endlicher Zerlegungen von [a,b] die Beziehung: *) Ab (x (t), y (t)) lim L (Z,), v=CO falls jeder Punkt t von (a, b), für denp (t) nicht auf der Verbindungsstrecke von p(t-0) und p(t-+ ) liegt, in fast allen Zv als Zerlegungspunkt auftritt. In der Tat, zu jedem q < Ab (x (t), y (t)) gibt es eine endliche Zerlegnng Z von [a, b], so daß: L (Z)> q. Wir bilden die Produktzerlegung: z =z.z. Nach Satz I ist dann auch: (**) L (Z) > q. Seien: < <. <t diejenigen unter den Zerlegungspunkten von Z, die nicht zugleich Zerlegungspunkte von Z, sind. Ist n die Anzahl der Zerlegungspunkte von Z, so ist dann: k,, <n. Seient() und t(m) der dem Punkte t) unmittelbar vorangehende und nachfolgende Zerlegungspunkt von Z,. Da {Zv} eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge, ist für fast alle v: -t ( < ' <-t ) < () <t < t < < <() < t() < t(), 1 t 2 2 2 'k k, k,'l und es wird: kv L(Z')-L (Z",)= {r (p (t)),p (ti()))-(+ r t( ),p(t - r (p ( t (t)))}. i=: Infolgedessen ist, bei beliebigem > 0, für fast alle v: ***) (Z) - L (z,) < { ( p) { (tt),p() O- ) + r (p (t(v) + O), p (t())) -r ( (t(V)+ O),p(t(')- ))}+6. Da die Punkte t() nicht Zerlegungspunkte von Z, sind, liegen nun nach Annahme für fast alle v die Punkte p (t()) auf der Verbindungsstrecke der Punkte p (tV) - 0) und p () + 0), so daß: 1) L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884), 51.

Kap. VII, ~ 8. Rektifikation. 517 r (p (tV), p (tv - 0))+ r (p (t(t) + 0), p (t)) r (p (tt) + 0), p (tt) - o>) 0. Es lautet also (***): L (Z') - L (ZV) < E für fast alle v. Aus (**) folgt also: L (Z,) > q- für fast alle r, und da hierin q < Ab (x(t), y (t)) und e> 0 beliebig waren, ist: lim L (Z^)- b (x (t), y (t)), V 00 und Satz VII ist bewiesen. Als Spezialfall vom Satz VII erhalten wir: Satz VIII. Sind x(t) und y(t) beschränkt und nur von erster Art unstetig in [a,b], und liegt für jedes t von (a,b) der Punkt p(t) auf der Verbindungsstrecke der Punkte p(t-0) und p(t+-0), so gilt (*) für jede ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher Zerlegungen von [a, b]. Wie Satz VII von ~ 6 folgert man daraus weiter: Satz IX. Unter den Voraussetzungen von Satz VIII gibt es zu jeder Zahl q: q < A ( (t), y (t)) ein d>0, so daß für jede endliche Zerlegung Z von [a,b], deren Norm < d ist: L (Z) >q. Satz X. Ist A (x(t),y(t)) endlich, so ist, damit für die ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher Zerlegungen von [a,b] (*) gelte, notwendig, daß jeder Punkt t von (a, b), für den p (t) nicht auf der Verbindungsstrecke von p(t- 0) und p(t+- ) liegt, in fast allen Z" Zerlegungspunkt sei. Angenommen in der Tat, für den Punkt t' von (a, b) liege p (t') nicht auf der Verbindungsstrecke von p (t' - 0) und p (t' + 0), und es komme t' in unendlich vielen Zerlegungen von {Z4} nicht als Zerlegungspunkt vor. Wir können ohne weiteres annehmen, dies sei für alle Z, der Fall. Seien t, und t, der dem Punkte t' unmittelbar vorangehende und nachfolgende Zerlegungspunkt von Zy, und sei Z' die aus Z, durch Hinzufügung von t' entstehende Zerlegung. Dann ist: 2L (Z') — L (Z>) =t(p.(t, (^))+r(p(tt), p(t')-r(p(.t),p(t)), und somit: (***) lirn (L (Z') - L (Z,) = r ( (t'), p (t' - 0)) + r( p (t' + O), p (t') -r(p (t' +0),p (t- 0)), und hierin hat nach Voraussetzung die rechte Seite einen Wert v > 0; und da: (x (t), y (t))> L (Z) für alle v, so folgt aus (%*): A' (x(t),y (t)) ~ L (Z,) + für fast alle v, so daß (*) nicht gelten kann. Damit ist Satz X bewiesen.

5J18 Die Funktionen endlicher Variation. ~ 9. Länge eines stetigen Kurvenbogens. Sind die beiden Funktionen x (t), y (t) endlich und stetig in [a, b], und ist wieder ( die Menge aller Punkte (x, y) des 12", auf die [a,b] abgebildet wird durch: (0) x~=x(t), y =y(t), so heißt (E ein stetiger Kurvenbogen, die Länge b (x(t), y(t)) der Durchlaufung (0) von ü heißt die Länge des Bogens [a, b] der Kurve (0)1). Aus ~ 8, Satz VI folgt: Satz I. Hat der Bogen [a,b] der stetigen Kurve (0) endliche Länge, so ist At (x(t),y(t)) eine in [a,b] monoton wachsende stetige Funktion von t. Aus Satz VIII von ~ 8 entnehmen wir, daß, wenn (0) einen stetigen Kurvenbogen bedeutet, für jede ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher Zerlegungen::a ( (t), y (t)) -limL L (Z,). y= oo Wir wollen nun zeigen, daß hierin die Beschränkung auf endliche Zerlegungen fallen gelassen werden kann. Sind (xi, xo') (i 1,2,...) die Zerlegungsintervalle der unendlichen Zerlegung Z von [a, b] (~ 6, S. 502), so setzen wir: L (Z) _ 2 \' (x (ti) - x (ti-l)2 + (y (t) _- y (t-i))2. i In Analogie zu Satz IX von ~ 6 beweisen wir zunächst: Satz II. Ist (0). ein in [a, b] stetiger Kurvenbogen, und ist E > 0 beliebig gegeben, so gibt es zu jeder Zerlegung Z von [a,b] der Norm d, für die L(Z) endlich ist, eine endliche Zerlegung Z' der Norm d, so daß: L (Z')< L (Z) +-. Seien t1, t2,..., t,.... die sämtlichen Zerlegungspunkte von Z. Wir umd geben t, mit einem Intervall [t- - hy, t,, 4- h], wo h, < - und ferner so klein gewählt sei, daß für die Bildpunkte je zweier Punkte t',t" dieses Intervalles: r (p (t'), p (t")) < - 2v Durch ganz dieselben Überlegungen wie beim Beweise von ~ 6, Satz IX erhalten wir sodann die gewünschte endliche Zerlegung Z'. Satz III. Ist (0) ein in [a,b] stetiger Kurvenbogen, so gilt für jede ausgezeichnete Folge {Z,} endlicher oder unendlicher Zerlegungen von [a,b]: Aa (x (t), y (t)) = lim L (Z,). v = 00 Der Beweis hierfür ist völlig derselbe wie für Satz X von ~ 6. 1) Man beachte, daß nicht dem Kurvenbogen 6 als solchem eine Länge zukommt, sondern erst einer gegebenen Durchlaufung des Kurvenbogens.

Kap. VII, ~ 9. Länge eines stetigen Kurvenbogens. 519 Daraus folgt unmittelbar: Satz IV. Ist (0) ein in [a,b] stetiger Kurvenbogen, so gibt es zu jeder Zahl q: q < Ab ( (t), y(t)) ein d>O, so daß für jede (endliche oder unendliche) Zerlegung Z von [a,b], deren Norm < d ist: L (Z)>q. Es seien durch (00) x=x(t), y=y(t) und x==x(t), y y (t) zwei in [a, b] stetige Kurvenbögen gegeben. Die obere Schranke in [a, b] von / (x (t) - x (t))2 + (y (t) -o (t))2 bezeichnen wir als die Abweichung der beiden Kurvenbögen (00). Wir sagen: die Folge in [a, b] stetiger Kurvenbögen (0O) x -x (t), y = Y (t) ( 1,2,...) konvergiert gegen den in [a, b] stetigen Kurvenbogen: (0O) x== x(t), y==y(t), wenn für die Abweichungen e, der Bögen (000) vom Bogen (000) die Beziehung besteht: lim e 0.,.._ 00 Dann ist für jedes t aus [a, b]: (000) x(t) lim x (t), y(t) =lim y (t). Y== 0O v =H Po Es gilt der Satz: Satz Y1). Konvergiert die Folge der in [a,b] stetigen Kurvenbögen (000) gegenden in [a,b] stetigen Kurvenbogen (000), so ist2): (*) lim A\a (x (t), y, (t)) A (x (t), y (t)). v-ao Angenommen in der Tat, (*) wäre nicht erfüllt, d. h. es wäre: lim Aba(x,,(t), y(t)) < A^(x(t), y(t)).._._ _______ v -= cz 1) Betrachtet man die Länge eines Kurvenbogens als Funktion dieses Kurvenbogens, so besagt der Satz, daß die Länge eine unterhalbstetige Kurvenfunktion ist. 2) Daß in (*) nicht stets das Zeichen-= gilt, zeigt folgendes Beispiel: Sei in (~00) in (o o7 x(t)= t, y(t)= O, und sei in (00) (t i. i t i-n zx(t)=t, y,,(t)-= -i (i==0,1,...v-). i lv 2'+l i+ 1 D-nn- s t: Dann ist: A. ( t y. A. t,. - O I, )O `/' ) '\"/-y V

520 Die Funktionen endlicher Variation. Indem wir nötigenfalls zu einer Teilfolge übergehen, können wir geradezu annehmen: lim Aba (X, (t), Yv (t)) <, (x (t), y (t)). v = 00 Dann gibt es auch ein e > 0 und eine endliche Zerlegung Z von [a, b], hervorgerufen etwa durch die Punkte: a =- to< t < t2 <.. * < tn- <; t, b so daß,|wenn L (Z) die Länge des zur Zerlegung Z gehörigen Näherungspolygones an den Kurvenbogen (000) bedeutet: /\ (r (**) lim a (x, (t), Y (t)) L (Z)-. Seien k und p() (Fig. 18) die dem Zerlegungspunkte tk entsprechenden Punkte der Kurve (o00) 'und der Kurve (000). Dann ist wegen (000): / ~ (***) ~r(p (P)< 2-v für fast alle v. LFig. 18. Nun ist (**) gleichbedeutend mit: nu n A t_(x(t),y)(t)) + < r(PkX k) für fast alle r. k=- -1 k=l Wegen (***) ist also auch: ( )n n(t),y,(t))-r(k ( k*)> { = x (t) y (t))+(_, pk 1) + r )(A ) r (Pk-, P) ' k=l k-l1 k=l Und da: At ( x (t), y, (t) ) r (p1)pk), würde aus (***) folgen, daß mindestens eine der n Ungleichungen besteht: r(p) l())+ r (SPk-iP() + t kPk P~^ ) <r r (Pk-Pk)k-1 was unmöglich ist. Damit ist Satz V bewiesen. Wir wollen noch den Zusammenhang herstellen zwischen dem Begriffe der Länge eines Kurvenbogens und dem Begriffe des linearen Inhaltes (Kap. VI, ~ 8, S. 461). Wir gehen aus von dem Satze: Satz VI. Ist ( eine abgeschlossene und zusammenhängende, die Punkte p und q enthaltende Punktmenge des S1'), die nicht mit der Verbindungsstrecke von p und q identisch ist, so ist: 1i () > r (p, q). Beim Beweise können wir, da für eine nicht beschränkte Menge E offenbar t, () = + co ist, ohne weiteres annehmen, i sei beschränkt. Angenommen nun, es wäre:,~ (~) ~=r (p, q). Zufolge der Definition des linearen Inhaltes gibt es dann zu jedem r > 0 ein 1) Oder des 89.

Kap. VII, ~ 9. Länge eines stetigen Kurvenbogens. 521 System von Kreisgebieten mit Durchmessern < i, derart, daß ( enthalten ist in der Vereinigung dieser Kreisgebiete, und daß die Summe der Durchmesser aller dieser Kreisgebiete < r (p, q) + - r ist. Nach dem Borelschen Theoreme (Kap. I, ~ 6, Satz I) gibt es unter diesen Kreisgebieten endlich viele 3., 2,.., *k, in deren Vereinigung ( enthalten ist. Für die Summe ö der Durchmesser der i gilt: (t) ö <r (p, )+n. Weil ( zusammenhängend, so auch die Vereinigung der Si. Nach Voraussetzung enthält ( einen nicht auf der Strecke pq liegenden Punkt s. Unter den Kreisen i können die Kreise 1, S2,...,,l so herausgegriffen werden, daß keine zwei identisch sind, je zwei in dieser Reihenfolge benachbarte einen Punkt gemein haben, und $1 den Punkt p, tl den Punkt s enthält. Sobald O hinlänglich klein, kann tl den Punkt q nicht enthalten. Dann gibt es unter den ei weitere, untereinander und von l*1,,...,. l verschiedene SIl +,..., >m, so daß je zwei in dieser Reihenfolge beanachbarte einen Punkt gemein haben, l t+ mit einem der Kreise 1,2,..., 1l, etwa mit Rh einen Punkt gemein hat, und Rm den Punkt q enthält. Sei oi (i 1,2,..., m) der Mittelpunkt von Ai. Dann ist, da die Vereinigung der Strecken pol, oo1, o0203..., 01-101, o1, 0h, oh O+l, 0O+1 0o+2,... Om-lOm, omq einen zusammenhängenden Streckenzug bildet, der die Punkte p und q, und den nicht auf pq liegenden Punkt s enthält: r (p, ol)+ ol,.2)1 —. * - r(ol —1, o ) +r(O r (o, ) r(oh, l +1) + -'(o +, +2) -+... + r(om-1, om) + r(om, q) > r(p, q) + 4, wo 5 eine (von 1? unabhängige) positive Zahl bedeutet. Da hierin: r(p, o1)<, r(ol,s) <,, r(oh,ol 1+)<, r(onn,q) <, folgt daraus: (tt) r(ol, ~2) +... - +-r(ol-i, o) + r(o + t, o0+2) + *. + r(om-1, om) > r (p,q) +-4. Andererseits ist wegen (t): (ttt) r(o1,o))+-... + r(o1-_,oI)+r(o(0+ 1,ol+2) +....+ r(o0m_, om) <r(p, q) +. Wählen wir r < Ö, so widersprechen sich (tt) und (ttt). Damit ist Satz VI bewiesen. Satz VII.1) Ist (i die Menge aller Punkte des stetigen Kurvenbogens: (1) x=x(t), y=y(t) (a~t~b), und ist die Abbildung (1) von [a, b] auf (E eineindeutig2), so ist: I (1-~) = a (x (t) y (t)). In der Tat, sei Z eine Zerlegung von [a, b], etwa gegeben durch: a - to < t <*.. < t_- < t tn b. 1) C. Carath6odory, Gött. Nachr. 1914, 424. 2) Wie der Beweis zeigt, kann diese Bedingung auch ersetzt werden durch die folgende: Für die Menge (' aller Punkte von (, denen vermöge (1) mehr als ein t aus [a, b] entspricht, gilt ~ ((/)- 0.

522 Die Funktionen endlicher Variation. Ist pi der dem Punkte ti entsprechende Punkt von (, so ist die Länge des zur Zerlegung Z gehörigen Näherungspolygones gegeben durch: n (2) (7)= r(po 1,) i=i Ist (i der dem Teilintervalle [ti_,ti] entsprechende Teil von (, so ist, da wegen der Eineindeutigkeit der Abbildung (1) je zwei (i höchstens einen Punkt gemein haben: n (3) (i(i) Nach Satz VI ist: (4) r (P Pi) Aus (2), (3), (4) aber folgt: M1 ( L) L (Z), und da Z eine beliebige endliche Zerlegung von [a, b] war, ist daher auch: i (~) >Aa ( (t), y (t)). Es ist also nur mehr zu zeigen, daß auch: (5) W2 ( ( (t), y (t)). Dies bedarf eines Beweises nur, wenn Ab ( (t), y (t)) endlich, und in dem Falle genügt es, zu zeigen: Zu jedem P > 0 und E > 0 gibt es eine endliche Anzahl von Kreisgebieten mit Durchmessern < e, in deren Vereinigung (E enthalten ist, und deren Durchmesser eine Summe 3 haben, die der Ungleichung genügt: (6) < Aa (x (t), y (t)) + Sei also n so groß gewählt, daß: - (\Ab (X (t) y (t)) + 8) < Q Wir bezeichnen mit ti (i- 0, 1,2,...,2n) die Punkte von [a,b], für die: a 2n ~, \Ja ti (u(t), y(t))= -n ^ (x(t) y(t)), mit pi die vermöge (1) entsprechenden Punkte von (d. Dann ist: t ( A(t),by t)) Ib (x (t), y (t)). ti (x (t) y (t))= ~ A Ati_ 2n C Beschreiben wir also um jeden Punkt P2 i_ (i = 2,..., n) ein Kreisgebiet s vom Radius: r 2 (Ab (x (t), y(t))+)(< ), so liegt der dem Intervalle [t2i_2, t2i] entsprechende Teil von ( in Ri, mithin ( in 'R - + - +.. 4- An, und für die Summe ö der Durchmesser der k, gilt (6). Damit ist (5) nachgewiesen, und der Beweis von Satz VII beendet.

Kap. VII, ~ 10. Totalstetige Funktionen. 523 ~ 10. Totalstetige Funktionen. Die im offenen Intervalle (a,b) definierte und endliche Funktion f(x) heißt totalstetig in (a,b), wenn sie von totalstetigem Absolutzuwachse in (a, b) ist (~ 2, S. 474), d. h. wenn ihr Absolutzuwachs totalstetig ist nach dem linearen Inhalt /u, im a-Körper aller Borelschen, und mithin auch') im ao-Körper aller eindimensionalmeßbaren Mengen von (a,b). Sei die Funktion f(x) definiert und endlich im abgeschlossenen Intervalle [a, b]. Wir dehnen ihre Definition auf ein [a, b] enthaltendes offenes Intervall (c,d) aus durch die Festsetzung: (0f) f(x) = f(a) ffür x < a; f(x) = f(b) für x > b, und nennen f(x) totalstetig in [a,b], wenn die so erweiterte Funktion totalstetig in (c, d) ist. Satz 1. Ist f(x) totalstetig in (a,b), so auch in jedem abgeschlossenen Teilintervall [a',b'] von (a,b). Sei in der Tat f(x) die Funktion, die in [a', b'] mit f übereinstimmt, während: f(x) == f(a') für x <a d; f(x)== f(b') für x >b'. Da offenbar zu jedem Intervallsysteme ~ aus (a, b) ein (in ~ enthaltenes) Intervallsystem Z aus (a, b) gefunden werden kann, so daß2): ist zunächst3) für jede offene Menge ~ aus (a, b): (0, f) a(0,.f). und daher weiter für jede Menge 9f aus (a, b): a (9 f)~ca(I f). Ist also C (2, f) totalstetig nach y/,, so erst recht a (f, f), das aber. heißt: f ist totalstetig in [a', b'], wie behauptet. Es folgt nun unmittelbar auch: Satz II. Ist f(x) totalstetig in [a,b], so auch in jedem Teilintervalle von [a,b]. Satz III. Ist die Funktion f(x) totalstetig in [a,b], so ist sie auch von endlicher Variation in [a,b]. 1) Vgl. S. 474, Fußn. 1). 2) Man hat nur, falls a' (oder b') innerer Punkt eines Intervalles von e ist, dieses Intervall durch a' (bzw. b') in zwei Teilintervalle zu zerlegen. 3) Zufolge der Definition von c (~ 1, S. 467).

524 Die Funktionen endlicher Variation. Sei in der Tat f erweitert auf das [a,b] enthaltende Intervall (c,d) gemäß (0). Dann ist der Absolutzuwachs a von f totalstetig nach /u und mithin auch stetig im o-Körper aller,u-meßbaren Mengen aus (c,d). Nach ~ 2, Satz II (wobei unter @ das Intervall (c, d) zu verstehen ist) ist dann der Absolutzuwachs von f in [a, b] und mithin auch in (a, b) endlich. Nach ~ 5, Satz XII ist also f von endlicher Variation in [a, b], und Satz III ist bewiesen. Satz IV. Ist die Funktion f(x) totalstetig in [a,bJ, so ist sie auch stetig in [a,b]. In der Tat, nach Satz III ist f von endlicher Variation, daher nach ~ 5, Satz X nur von erster Art unstetig in [a,b]. Gäbe es nun einen Unstetigkeitspunkt x von f, so wäre dort mindestens eine der Ungleichungen erfüllt: f(-0) + f(x); f(x+ ) f(x). Nach ~ 5, Satz XIV wäre also für die nur aus dem Punkte x bestehende Menge Ob: a () + o, entgegen der Annahme, daß der Absolutzuwachs a von f eine nach 1u totalstetige Mengenfunktion ist. Satz Y. Ist die Funktion f(x) stetig und von endlicher Variation in [a,b], totalstetig in (a,b), so ist sie auch totalstetig in [a,b]. Zum Beweise erweitern wir f gemäß (0) auf ein [a,b] enthaltendes Intervall (c,d). Ist a der Absolutzuwachs von f, so ist nach Annahme für jede Menge 52 aus (a, b), für die,u (/)-0 ist, auch: (00) (c) =O0, und offenbar gilt (00) auch für jede Menge aus (c,a) oder aus (b,d); mithin gilt (00) für jede Menge aus (c,d), für die /u1 (2)-=0 ist, und die keinen der beiden Punkte a und b enthält. Weil f stetig in a und b, ist aber nach ~ 5, Satz XIV: C( (da)=; a (b) 0. Es gilt also (00) für jede Menge aus (c,d), für die /,1 ()=0 ist, d. h. es ist f totalstetig in (c,d) und mithin in [a,b]. Damit ist Satz V bewiesen. Beispiele von Funktionen, die in einem Intervalle [a,b] stetig und von endlicher Variation, aber nicht totalstetig sind, werden wir in ~ 12 kennen lernen.

Kap. VII, ~ 10. Totalstetige Funktionen. 525 Sei ~ ein Intervallsystem aus [a, b]. Sind [x',x"'] (v = 1,2,...) die Intervalle von S, so setzen wirL): 1 (~)= (x4'- ); A ()=:| f(x' )-f(x:)1, v v A (e) =2 (f () - f ()). Aus ~ 2, Satz V entnehmen wir dann: Satz VI. Damit f totalstetig sei in-[a,b], ist notwendig und hinreichend, daß für jede Folge {e,} von endlichen2) Intervallsystemen aus [a,b], für die: lim,u (00,) ist, auch die Beziehung gelte: (*) lim A (e,)- 0. Daraus folgern wir weiter: Satz VII3). Damit f totalstetig sei in [a,b], ist notwendig und hinreichend, daß es zu jede'm e>0 ein Q>O gibt derart, daß für jedes der Ungleichung: Yi' () <e genügende endliche4) Intervallsystem ~ aus [a,b] die Ungleichung bestehe: (**) A (2)<. Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie sei nicht erfüllt; dann gibt es ein e> 0 und eine Folge endlicher Intervallsysteme {(,} aus [a, b], so daß: M ()<n; A (<n)E. Also kann f nach Satz VI nicht totalstetig sein. Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so ist auch die Bedingung von Satz VI erfüllt. Aus ~ 2, Satz VI entnehmen wir sofort: Satz VIII. In Satz VI kann (*) ersetzt werden durch: lim A (e) -0. _________ n~= 00 ~) Vgl. ~ 1, S. 467. 2) Dieser Zusatz kann auch ohne weiteres wegbleiben. 8) Durch die in diesem Satze ausgesprochene Eigenschaft wurden die totalstetigen Funktionen zuerst definiert: G. Vitali, Atti Tor. 40 (1905), 753. 4) Dieser Zusatz kann auch ohne weiteres wegbleiben.

526 Die Funktionen endlicher Variation. Ebenso wie Satz VII beweisen wir sodann: Satz IX. In Satz VII kann (**) ersetzt werden durch'): Wie in ~ 3 (S. 480) nennen wir eine Folge {%} von Intervallsystemen aus [a,b] ausgezeichnet, wenn: lim F (J) = b - a, und wenn es eine Norm d, von 2 gibt, so daß: lim d 0. Aus ~ 3, Satz I, zusammen mit ~ 5, Satz XIII entnehmen wir dann: Satz X. Ist f totalstetig in [a,b], so gilt für jede ausgezeichnete Folge {,} von Intervallsystemen aus [a,b]: T (f)=IimP; Na(f/) lim N (Zn); A~ (f)- lim A (J). 92 = oo n = oo yi n=co Satz XI. Ist f(x) totalstetig in [a,b], so sind auch A"(/), TTx(f), Na(f) in [a,b] totalstetige Funktionen von x. Es wird genügen, dies für A' nachzuweisen, da es dann für TT, N' von selbst folgt. Wir dehnen die Definition von f(x) über [a, b] hinaus aus gemäß (0) (S. 523) und definieren eine Funktion g (x) durch: g()= (f) in [a, b]; g (x) = 0 für x ~ a; g'(x)-A(f) für x>b. Was wir zu zeigen haben, ist: der Absolutzuwachs a (g) ist eine nach,ut, totalstetige Mengenfunktion. Nun ist offenbar für jedes Intervall 3 =(x', x ): (,, g)- A~;' (f) - a (S, f). Da also Absolutzuwachs von f und g für alle Intervalle übereinstimmen, so stimmen sie gemäß ihrer Definition (~ 1, S. 468) für alle Mengen überein, und da a (2f, f) totalstetig nach u, ist, so auch a(9i,g). Damit ist Satz XI bewiesen. Aus Satz XI zusammen mit Satz VIII von ~ 5 folgt: Satz XII. Jede in [a,b] totalstetige Funktion ist Differenz zweier in [a,b] monoton wachsender totalstetiger Funktionen. 1) Ersetzt man die folgende Ungleichung durch A (e) < e, bzw. A/ (C) > - e,;so entstehen die Begriffe der nach oben, bzw. nach unten totalstetigen Funktionen, mit denen sich (unter dem Namen ~upper (lower) semiintegrals") W. H. Young beschäftigt hat: Lond. Proc. (2) 9 (1911), 286ff.

Kap. VII, ~ 10. Totalstetige Funktionen. 527 Satz XIII. Sind f, und f2 totalstetig in [a,b], so auch ft +tf In der Tat, wegen: (f ())(ff ( (x') + f2 (x')) __l f )- ( " + f (X)') + f2 (" -- f \() i ist für jedes Intervallsystem e: A (,n, fl + f2) < A (,n f-l) + A (~n f2) Aus: lim A ( l, f) 0; lim A (~n =2) 0 n= oo n= ao folgt also auch: lim A (e, fi, - + 2)-= o) n==0 woraus im Hinblick auf Satz VI die Behauptung von Satz XIII folgt. Ganz ebenso beweist man, indem man sich auf die Ungleichungen (3), (4), (5), (6) von ~ 4 (S. 489) stützt, die Sätze: Satz XIV. Sind f, und f, totalstetig in [a,b], so auch fi f2 und, falls f2 + 0 ist, auch -. Satz XV. Ist f totalstetig in [a,b], so auch If]. Satz XVI. Sind f, f2"', f, totalstetig in [a,b], und ist f der größte (kleinste) unter den kFunktionswerten f,, f2,..., f,, so ist auch f totalstetig in [a,b]. Hingegen kann man nicht behaupten, daß eine durch Zusammensetzung totalstetiger Funktionen entstehende Funktion totalstetig seil). Wohl aber gilt: Satz XVII2). Ist f(x) monoton wachsend und totalstetig in [a,b], und ist g(y) totalstetig in [f(a), f(b)], so ist g(f(x)) totalstetig in [a,b]. Sei in der Tat {~} eine Folge endlicher Intervallsysteme aus [a,b], für die lim zt (B,) 0. Durch y = f(x) wird das Intervallsystem ~, abgebildet auf ein Intervallsystem S des Intervalles [f(a), f(b)], und zwar ist: lil (Zü) (2n ) f) 1) Dies zeigt das Beispiel S. 490, Fußn. 1). 2) Dieser Satz ist ein Spezialfall des aligemeineren Satzes, daß die aus zwei totalstetigen Funktionen f und g zusammengesetzte Funktion g (f) immer dann totalstetig ist, wenn sie von endlicher Variation ist. Doch wollen wir auf den Beweis dieses allgemeineren Satzes in diesem Zusammenhange nicht eingehen.

528 Die Funktionen endlicher Variation. Nach Satz VIII ist also, weil f totalstetig: (***) liran mJ () 0. nb= Qo Sodann ist: A (r, n (f)=A (,, g). Weil g totalstetig, folgt aber aus (***): lim z (, g) o0. n —= oo Es ist also auch: lim n (Al, g (fn) = 0, d. h. nach Satz VIII: die Funktion g (f(x)) ist totalstetig, und Satz XVII ist bewiesen. ~ 11. Die Funktion der Singularitäten. Wir haben in ~ 7, Satz III gesehen, wie eine unstetige Funktion endlicher Variation durch Abspaltung der Funktion der Sprünge in eine stetige Funktion verwandelt werden kann. In:ähnlicher Weise kann eine stetige Funktion endlicher Variation durch Abspaltung eines geeigneten Bestandteiles in eine totalstetige Funktion verwandelt werden. Sei die Funktion f(x) stetig und von endlicher Variation in [a, b]. Indem wir sie, wie schon mehrmals, über [a,b] hinaus erweitern durch die Festsetzung: f(x) = f(a) für x ~ a; f(x) = f(b) für x > b, bilden wir ihren Positiv- und Negativzuwachs n (f) und v (v). Nach Kap. VI, ~ 4, Satz XI1) zerlegen wir n und v in Regularitäts- und Singularitätsfunktion nach dem Inhalt,u1: W(t) d =ix Xui iXr; V =VX +VXX Wir bilden diese Mengenfunktionen insbesondere für das Intervall [a,x] und setzen für x> a2): <tt),xx ([a, x]) = s+ (x); vxx ([a, x])==s_ (x). Wir nennen s+(x) und s_(x) die Funktion der positiven, bzw: negativen Singularitäten von f(x). Wir setzen noch: s (x) = + (x) - s_ (X), und nennen s(x) die Funktion der Singularitäten von f(x). 1) Unter dem dort zugrunde gelegten a-Körper M verstehe man hier den o-Körper aller Borelschen Mengen des N. ) Für. x < a setzen wir: s+ (x)= 0, s_ (x)-===

Kap. VII, ~ 11. Die Funktion der Singularitäten. 529 \Ist f(x) von endlicher Variation, aber unstetig in [a, b], so subtrahieren wir von f(x) die Funktion der Sprünge (~ 7, Satz III): f(x)-a (x)= g (x). Die Funktion der (positiven, negativen) Singularitäten von g(x) bezeichnen wir dann zugleich auch als die Funktion der (positiven, negativen) Singularitäten von f(x). Satz I. Ist die Funktion f(x) stetig und von endlicher Variation in [a, b], so sind die Differenzen: (1) TIx (f) s+ (x)=h+ (x); N (f)-s_(x)= h_(x) totalstetig und monoton wachsend in [a, b]. Die Differenz: f(x) - s (x) h (x) ist totalstetig in [a, b]. Da nach ~ 5, Satz VIII: h(x)= h+ (x)- h (x) + f(a) ist, genügt es, die Behauptung für h+ (x) und h_ (x) nachzuweisen. Wir führen den Beweis etwa für h+ (x). Nach (1) ist für jedes Teilintervall [x', x"] von [a, b]: (2) h+ (") - h+ (x') = TT, (f) - ( (x") - s+ (x')). Nach ~ 5, Satz XV ist hierin: (3) (f) = ~ ([x, x"]). Nach ~ 5, Satz XIV ist n eine stetige Mengenfunktion, es sind also nx und nxx stetige Mengenfunktionen, und es ist daher nach (tt): (4) s+ (x) - s+ (x')= XX ((x', x"]) x x([', x"). Aus (2), (3), (4) folgt wegen (t) und wegen der Stetigkeit von nx: (5) h+ (3X") - h = (') [, X "]) x X ((x', x")).,Da gewiß 7X> 0, ist zunächst h+ monoton wachsend. Weiter folgern wir aus (5), daß der Absolutzuwachs von h+ nichts anderes ist als nx. Und da nach Kap. VI, ~ 4, Satz IX nx totalstetig nach yu. ist, so ist auch h7+ totalstetig. Damit ist Satz I bewiesen. Wir bezeichnen nun eine stetige Funktion f endlicher Variation als eine rein-singuläre Funktion, wenn ihr Absolutzuwachs rein-,singulär nach ul ist im a-Körper aller Borelschen Mengen. Dann können.wir den Satz beweisen: Satz II. Die Funktion der Singularitäten, sowie die Funktionen der positiven und der negativen Singularitäten Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 34

530 Die Funktionen endlicher Variation. einer stetigen Funktion endlicher Variation sind reinsinguläre Funktionen. Es wird genügen, dies für s+(x) nachzuweisen. Wegen der Stetigkeit der Mengenfunktion nXX folgern wir aus (4): S+ (x) -s+ (x')= txx ((X, X )). Und da s+ monoton wachsend, folgt daraus weiter, daß der Absolutzuwachs von s+ nichts anderes ist als nxzx. Nach Kap. VI, ~ 4, Satz X aber ist X-X rein-singulär nach /u, und Satz II ist bewiesen. Ganz ebenso wie Satz V von ~ 7 beweisen wir (es ist nur überall g durch h, a durch s zu ersetzen): Satz III. Es ist: A^ (f) Ax (h) + AX (S); A^ h) = (x) +h_ (x); A ()= (x)+ s_ (x). Daraus folgt weiter: Satz IV. Es ist: (6) nT7 (s)- + (x); Na (s)= s- (x) (7) TTa(h)=-h+ (x); N (h) _ (x). In der Tat, es ist: S (x)- + (x)- _ (x); s (x ) =- rT (S)- Ns (s). Würde nun nicht (6) gelten, so wäre nach ~ 5, Satz IX: s+ (x) > rr (s); S (x)> N' (s); und daraus durch Addition: s+ (x) + s- _(x) > A' (s), im Widerspruche mit Satz III. Dadurch ist ('6) bewiesen, und ebenso beweist man (7). Satz V. Die Funktionen s+(x) und s_(x) können nicht zerspalten werden in zwei monoton wachsende Summanden, deren einer totalstetig und nicht konstant wäre. Angenommen etwa, es wäre: (8) s+ (x)=s- (x)+ 2 (x), wo s1 (x), 2 (x) monoton wachsend, und s, (x) totalstetig und nicht konstant. Dann gäbe es ein Teilintervall [a', b'] von [a, b], so daß: s (b') - (a')> 0. Es gilt dann auch für den Zuwachs von s,: <(9) Ö ([a"', b'] ) si) >.

Kap. VII, ~ 11. Die Funktion der Singularitäten. 531 Sei 9I ein Singulärteil von [a', b'] für den Absolutzuwachs von s+ (nach der Basis /,)) und 53 das Komplement von % zu [a', b']. Dann ist, da s+ rein-singulär (Satz II): (10) Li ())=o 0; (e3,S+)=0. Wegen (8) ist aber gewiß: 0 _<_ (e S) _< (S, s+), und somit wegen der zweiten Gleichung (10): (11) (8, S)=O. Weil s1 totalstetig, ist aber wegen der ersten Gleichung (10): (12) 6(5,s1)=0. Aus (11) und (12) aber folgt: ö ([a', b'], sl)= 5 (~, s,) + (S, s)= O, im Widerspruche mit (9). Damit ist Satz V bewiesen. Satz VI. Ist f stetig und von endlicher Variation in [a, b], so' gelten bei jeder Zerspaltung von f in zwei Summanden (13) f=fl+/, deren einer, f~ totalstetig ist in [a, b], für den andern in jedem Teilintervalle [a', b'] von [a, b] die Ungleichungen: (14) TbT (f,) > s (b')- s+ (a'); Na' (fo) s_ (b') - _ (a), und somit auch: (15) At (f2) _ A: (s). Sei in der Tat 9 ein Singulärteil von [a', b'] fiir den Absolutzuwachs von s (nach der Basis,u1) und 8 das Komplement von [ zu [a', b']. Dann ist: 1 (W) =0, und mithin, da ft totalstetig: (16) 0(,f1)=0, '(9,1)=0. Aus (13) folgt nach ~ 1, Satz VIII1): (g, f) - a (g, fl)__ n (~, f2) =< (~, f) +r (9, fl), also wegen (16): (17) n(9wf2)-^, (,f}f) 1) Vgl. S. 512, Fußn. 2). 34*

532 Die Funktionen endlicher Variation. Aus der Zerlegung: f-h -+ s von Satz I folgt, da h totalstetig, ganz ebenso: (18) n(m,s) n(, f), und da s+ die positive Variation von s (Satz IV), ist weiter'): (19) n (f, s) =-(2, s+). Aus (17), (18), (19) aber folgt: (20) t (9, f2)= (, S+). Da E9 Singulärteil des Absolutzuwachses von s, und s rein-singulär ist, gilt für das Komplement S von 1 zu [a, b']: 7 (3, s) = und mithin, da s+ die positive Variation von s, auch: (21) n(, s+)= O, also gewiß: (22), f,) (, s ). Aus (20) und (22) aber folgt: TTba' ( n) (af,) + 2 (i, f2) > (a, S+) + (Ö, S+) = ([a',, ], +)= s+ (b') - s+ (a'). Damit ist die erste Ungleichung (14) nachgewiesen. Ebenso beweist man die zweite. Und aus (14) folgt (15) nach Satz III. Damit ist Satz VI bewiesen. Satz VII. Ist f von endlicher Variation in [a, b], und bedeuten s, s+,s_ die Funktionen der (positiven, negativen) Singularitäten, a, a+, o_ die Funktionen der (positiven, negativen) Sprünge von f, so gelten für jede Zerspaltung von f in zwei Summanden =fi+f f2 deren einer f, totalstetig ist in [a, b], für den anderen in jedem Teilintervalle [a', b'] von [a, b], die Ungleichungen::; (f) 2t ()S+ (b') - s+ (a')) + (a+ (b') - + (d)); i(23) N; ) (f) > (b_ (') - s (a')) + (o_ (b') - (a')), 1) In der Tat, zunächst stimmen in jedem Intervalle positive Variation von s und s+ überein, daher ist auch (~ 5, Satz XIII) für jedes offene Intervall: zr (3*, s)= -r (s*, s+), woraus (19) auf Grund der Definition von Xr (~ 1, S. 467) folgt.

Kap. VII, ~ 12. Streckenweise konstante Funktionen. 533 und somit auch: (24) A (f2) A (s) + Aa (). Es wird wieder genügen, die erste Ungleichung (23) zu beweisen. Sei, wie beim Beweise von Satz VI, 91 ein Singulärteil von [a', b'] für den Absolutzuwachs von s, und sei, wie beim Beweise von ~ 7, Satz VIII, 91' die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f in (a', b'). Da aus 9 jederzeit abzählbar viele Punkte getilgt werden dürfen, können wir 9 und 9' als fremd annehmen. Wir setzen nun: (25) (a', b')= 4- + + q- = +- = ' + - '. Wie in (20) ist1): (26) 3 (t, f)=, ( S+). Nach (21) ist: (27) (O, S)=. Nach (32) und (33) von ~ 7 ist: (28) ^ (t', f2)= z (', ( +). Nach (34) von ~ 7 ist: (29) ^ (', o+)= 0. Aus (25), (26), (28), (27), (29) folgern wir: (30) n ((a', ft)) f)= (?, f Q) -+ (' f2) -+f z (E, 2 ) > n (, s+) + z (', +) n = ((a', b'), s+) + ((, b'), o+). Hierin ist, wegen der Stetigkeit von s+: r ((a', b'), s+) = - (+) S+ (b') - s (a'). Wendet man auf n ((a', b'), f,) und a ((a', b'), ao) die Formeln (37), (38) von ~ 7 an, und schließt weiter wie dort, so geht (30) in die erste Ungleichung (23) über, und Satz VII ist bewiesen. ~ 12. Streckenweise konstante Funktionen. Wir werden nun im folgenden Beispiele stetiger Funktionen endlicher Variation kennen lernen, die nicht totalstetig sind.. Wir 1) In der Tat, aus f = h + s - o folgert man zunächst, so wie (18) gefolgert wurde: (9, s 4- ) = (I, f). Wegen: ( We, s)-v (9, ) (, s +- o) _ ~ (, s) +- (1, 6) und wegen: (9, o)= O; v (, o)=0 ist aber: (s, s + o) = (S, s). Daraus schließt man weiter auf (19) und (20).

534 Die Funktionen endlicher Variation. finden solche Beispiele innerhalb einer merkwürdigen Klasse von Funktionen, die wir als streckenweise konstante Funktionen bezeichnen werden ). Ist 91 eine abgeschlossene, in [a, b] nirgends dichte Menge aus La, b], so heißt jede auf [a, b] stetige Funktion, die konstant ist in jedem zu 91 komplementären Teilintervalle von [a, b], eine zu 9 gehörige, in [a, b] streckenweise konstante Funktion. Satz I. Ist die abgeschlossene, in [a, b] nirgends dichte Punktmenge 9I abzählbar, so ist jede zu 91 gehörige streckenweise konstante Funktion f(x) konstant in ganz [a, b]. Wir führen den Beweis durch Induktion. Sei 91 die erste leere Ableitung von 9 (Kap. I, ~ 8, Satz XI). Die Behauptung ist richtig für a-O0, da dann 9 selbst leer ist. Angenommen, die Behauptung sei richtig für a c< ß. Wir haben ihre Richtigkeit für a = zu zeigen. Da a eine isolierte Zahl (Kap. I, ~ 8, Satz XI), besteht Wa-1 aus endlich vielen Punkten, durch die [a, b] in endlich viele Teilintervalle [xo, xi'] (i 1, 2,...., k) zerlegt wird. In (x', x'') liegt kein Punkt von 91t-1, und da a-1 <fB, ist! nach Annahme f(x) konstant in jedem Teilintervall [a', b'] von (xi, xr), und somit, wegen der Stetigkeit von f(x), auch in [xi, x']. Also ist f(x) auch konstant in [a, b], und Satz I ist bewiesen. -Wir ziehen zunächst aus Satz I eine Folgerung, die wir später benötigen werden: Satz II. Ist 9 eine abgeschlossene, abzählbare Punktmenge aus [a, b] und sind (x' xs') (v==l, 2,...) die punktfreien Intervalle von 91 in (a, b), so ist für die in [a, b] endliche und stetige Funktion f(x): (1) f(b) - f (a)= (f (x)- f(x')), falls die Reihe: (2) ) f (Z) - f (zx) eigentlich konvergiert. Sei in der Tat x ein Punkt von (a, b]. Mit x bezeichnen wir den am weitesten rechts gelegenen Punkt von 91 in [a, x] und 1) Nach A. Schoenflies, Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, 156. Vgl. wegen dieser Funktionen: G. Cantor, Acta math. 4 (1884), 386. A. Harnack, Math. Ann. 24 (1884), 225. L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884), 74, 289. V. Volterra, Giorn. di mat. 19 (1881), 338. D. Grave, C. R. 127 (1898), 1005. Vgl. auch G. Peano, Riv. di mat. 2 (1892), 41.

Kap. VII, ~ 12. Streckenweise konstante Funktionen. 535 setzen 1). (3) g (x.)= (f(x') - f(x)) f()- f - ), [a, ] wobei die Summe über alle diejenigen Intervalle (x', x:) zu erstrecken ist, die in [a, -J liegen. Setzen wir noch: (4) g(a)=O, so ist g (x) eine in [a, b] definierte Funktion, von der wir zunächst behaupten, daß sie stetig ist. Sei e>0 beliebig gegeben. Es gibt dann wegen der eigentlichen Konvergenz von (2) ein v0, so daß (5) 2 I f(xv')- ft') < e. Ferner gibt es wegen der Stetigkeit on fein o 0, so da fr je Ferner gibt es wegen der Stetigkeit von f ein > 0, so daß für je zwei Punkte x', x" aus [a, b]: (6) f(x")- f(x') < e wenn x" - x' <. Wir wählen weiter. so klein, daß (7) x" (v=l2,..., o). Seien nun x1, x2 zwei Punkte aus [a, b], so daß 0 < x2 - x <. Sei x. der am weitesten links, x2 der am weitesten rechts gelegene Punkt von 9I in [xl, x]. Dann ist2): (8) g (x) - g(x) = (f (x) - f(x')) + (X,) - f(x) + f(x2)- f(x2). [Wegen (6) ist hierin, Wegen (6) ist hierin (9) l f(^)-f(x) l < f(^)- f(^) 1 < E Wegen (7) kann keines der Intervalle (x[, xi), (x', x'),..., (4O, xo) in [ix, x2] liegen. Wegen (5) ist also: (10) I f f(x') -r() <. Aus (8), (9), (10) aber folgt: |(x.)- ) (,) <<3E, womit die Stetigkeit von g nachgewiesen ist. 1) Liegt kein Punkt von S in [a, x!, so ist x a zu setzen, und in (3) die Summe wegzulassen. 2) Liegt kein Punkt von 9f in ix, xz], so ist x=- =x-= zu setzen; immer wenn,=:2, ist in (8) die Summe wegzulassen.

536 Die Funktionen endlicher Variation. Es ist also auch f-g stetig, und offenbar konstant in jedem Intervalle (x, xZ), d. h. f- g ist eine zu 9 gehörige streckenweise konstante Funktion. Nach Satz I ist also f g konstant in [a, b]. Also ist, wegen (4): f (b)- f (a)g (b) -g (a)= g (b). Das aber ist die zu beweisende Gleichung (1). Satz III. Ist f(x) von endlicher Variation in [a, b], so gilt stets (1). In der Tat, dann ist: 2 f (x) -- f(xI) Aa (f), und somit ist die Reihe (2) eigentlich konvergent, womit Satz III bewiesen ist. Nachdem wir in Satz I gesehen haben, daß jede zu einer abzählbaren abgeschlossenen Menge 21 gehörige streckenweise konstante Funktion überhaupt konstant ist, nehmen wir 2 als nicht abzählbar an. Der insichdichte Kern von % ist dann eine nicht leere perfekte Menge $ß, und es ist X - % abzählbar (Kap. I, ~ 8, Satz X; Kap. I, ~ 7, Satz XXIV). Satz IV. Ist 3 der insichdichte Kern der abgeschlossenen, in [a, b] nirgends dichten Menge X, so ist jede zu 2f gehörige in [a, b] streckenweise konstante Funktion f(x) konstant in jedem zu $ komplementären Teilintervalle von [a, b]. Sei in der Tat (a', b') ein zu 3 komplementäres Intervall von [a, b]. Dann ist der Durchschnitt 9' von f mit [a', b'] abzählbar, und f ist in [a', b'] eine zu 2' gehörige streckenweise konstante Funktion. Also folgt die Behauptung aus Satz I. Es wird also genügen, von nun an die zu nirgends dichten perfekten Mengen gehörigen streckenweise konstanten Funktionen zu betrachten. Satz V. Ist qß eine in [a, b] nirgends dichte perfekte Menge, so gibt es zu r gehörige, in [a, b] streckenweise konstante, monoton wachsende Funktionen, die in keinem Teilintervalle (a', b') von [a, b] konstant sind, das einen Punkt von $l enthält. Beim Beweise können wir ohne weiteres annehmen, daß a und b zu $ gehören. Dann haben die komplementären Intervalle (x,, x) (v= 1,,...) von $ in [a, b] in ihrer natürlichen Reihenfolge den Ordnungstypus r (Kap. I, ~ 9, Satz II). Es gibt also (Einl. ~ 8,

Kap. VII, ~ 12. Streckenweise konstante Funktionen. 537 Satz I) eine ähnliche Abbildung A der Menge der Intervalle (x', x') auf die Menge der rationalen Zahlen des Intervalles (0, 1). Ist r, die durch A dem Intervalle (x', x) zugeordnete rationale Zahl, so setzen wir f(x) = r in [x', x]. Setzen wir noch f(a)=O0, f(b)= 1, so ist f(x) überall in [a, b] definiert, ausgenommen die in (a, b) liegenden Punkte zweiter Art von $ (Kap. I, ~ 9, S. 111). Um f(x) auch in diesen Punkten zu definieren, gehen wir so vor (vgl. den Beweis von Kap. I, ~ 9, Satz V): Durch jeden Punkt x zweiter Art von l werden die Intervalle (x4, x') geschieden in zwei Klassen: die links von x und die rechts von x liegenden. Vermöge der Abbildung A geht daraus eine Scheidung der rationalen Zahlen aus (0, 1) in zwei Klassen hervor, die erzeugt wird durch eine irrationale Zahl. Diese irrationale Zahl definieren wir als den Funktionswert f(x). Hiermit ist die Funktion f(x) in ganz [a, b] definiert. Offenbar ist sie konstant in jedem zu u komplementären Intervalle, monoton wachsend und nicht konstant in jedem Teilintervalle (a', b') von [a, b], das einen Punkt von q3 enthält. Es bleibt nur noch zu beweisen, daß f(x) s t e tig ist. Da f(x) monoton wächst, existieren die einseitigen Grenzwerte f(x - 0), f(x +- 0). Wäre f unstetig im Punkte x, so müßte eine der beiden Ungleichungen bestehen: f(x -0)<f(x); f(x) < f(x + 0), z. B. die erste. Dann würde f die sämtlichen zwischen f(x - 0) und f(x) gelegenen Werte nicht annehmen, was unmöglich ist, da f gemäß seiner Definition alle rationalen Werte aus (0, 1) annimmt. Also ist f stetig in [a, b], und Satz V ist bewiesen. Ist sodann g(t) irgendeine in [0, 1] stetige Funktion, und ist f(x) die eben gebildete Funktion, so ist auch g(f(x)) eine zu $3 gehörige streckenweise konstante Funktion, und wenn g(t) in keinem Teilintervalle [0, 1] konstant ist, wird g(f(x)) in keinem Teilintervalle (a', b') von [a, b] konstant sein, das einen Punkt von q enthält. Satz VI. Se~i 3 eine perfekte Menge aus [a, b] vom Inhalte 0. Dann kann eine zu 13 gehörige streckenweise konstante Funktion f(x) (wenn sie nicht in ganz [a,b] konstant ist), nicht totalstetig sein. Seien in der Tat:3 ( ==1, 2,...) die zu 3 komplementären

538 Die Funktionen endlicher Variation. Teilintervalle von [a, b]. Da der Absolutzuwachs x von f absolutadditiv, ist: a([a, b])=-c ($) -t 2 a (3,). Da aber f in jedem Intervalle 3, konstant-ist, so haben wir ( (3)= O ( = 12,...) und somit: (*>) a ((= a([a, b])+0. Da, (ß) ==- 0, ist also a nicht totalstetig nach t, d. h. f ist nicht totalstetig, und Satz VI ist bewiesen. Wir können noch darüber hinaus aussagen: Satz VII. Sei $ eine perfekte Menge aus [a, b] vom Inhalte 0, und f(x) eine zu $ gehörige streckenweise konstante Funktion endlicher Variation. Dann ist die Funktion f(x) (wenn sie nicht in ganz [a, b] konstant ist) reinsingulär'). Wir haben nachzuweisen, daß der Absolutzuwachs a von f reinsingulär nach /t, ist. Dies aber folgt unmittelbar aus (*); denn zufolge (*) ist für jede zu Sß fremde (f-meßbare) Menge S aus [a, b]: a (e) 0. Wegen y, ()- 0 ist damit die Behauptung bewiesen. Es ist von Interesse, zu bemerken, daß es auch rein-singuläre Funktionen gibt, die in keinem Intervalle konstant sind. Sei a eine perfekte Menge aus [0, 1] vom Inhalte 0, und sei f (x) die beim Beweise von Satz V konstruierte zu W gehörige streckenweise konstante Funktion. Wir dehnen die Definition von f(x) auf den ganzen 9S aus durch die Festsetzung: f(x+ 1)-=f(x)+ l, und bilden die Funktion: (**) F(xf) =,- f ( x). v=l Wegen: (***) ' f(,'x) I < ( in [0, 1] ist diese Reihe eigentlich gleichmäßig konvergent in [0, 1], und daher ist F(x) stetig in [0, 1]. Wie f ist auch F monoton wachsend, und offenbar gibt es kein Intervall, in dem F konstant ist. Sei Pn, die Menge, die durch die Abbildung x' = x + n aus ß hervorgeht, und p die Vereinigung aller Mengen il (n =0, 1, 2,...). Dann ist auch: d ()= o0. Sei ferner. t, die Menge, die aus '~ durch die Abbildung x' - -1 z hervorgeht, 1) ~ 11, S. 529.

Kap. VII, ~ 13. Funktionen endlicher Variation im 9k. 539 und Z~ der Durchschnitt t -[0, 1]. Dann ist auch: 1. ( ) - 0. Wir setzen endlich noch: = Z, +,... +, +.... und haben auch: (t) ' 81~ () 'o. Sei nun lS das Komplement von 9f zu [0, 1]. Wir behaupten: (+?) ~ c(, F) =0. Gewiß ist, wenn S3 das Komplement von ~, zu [0, 1] bedeutet: 08(,, f (vx))= O und somit, wegen S3< Sy auch: (t*tt) a~ (1, f (,ax))= 0. Sei sodann e > 0 beliebig gegeben. Wegen (***) gibt es ein i'o, so daß, wenn GO B, ~.)- --- f (o x) gesetzt wird: 0R (x)< in [0,1] ist. Und da, wie f(x), auch R (x) monoton wächst, ist also: (2. i ri) scC(S,R(x))<8. Wegen:. F (x)= - f (2X)f(x) + R(x) istz aber: o 1 oc (I8, F) ( —J v (Ö, f ( X)) + c (OB, R) und somit, wegen (tut) und (ti')::c(~, F)<s. Da hierin s> 0 beliebig war, ist dies gleichbedeutend mit der behaupteten Gleichung (tt). Da 3 das Komplement von 9 zu [0, 1], ist also, wegen (t), in der Tat F(x) rein-singulär, wie behauptet. ~ 13. Funktionen endlicher Variation im sk. Der Begriff der Funktionen endlicher Variation kann auf verschiedenartige Weise auf Funktionen f (x, x,..., xk) übertragen werden. Wir wollen über die verschiedenen in der Literatur sich vorfindenden Definitionen kurz berichten. Sei f(x1,..., x) definiert und endlich im Intervall [at..., ak; bE,..., bej. Wie in (7) von ~ 1 (S. 467) definieren wir für jedes Intervall

540 Die Funktionen endlicher Variation. system 2 aus [al,..., ak; b..., bk] die Größe A (2). Als Variation von f in [a..., a1;b,..., b], in Zeichen Aba.bk(f), definieren wir die obere Schranke der A (2) für alle möglichen Intervallsysteme ( aus [ac,..., ak; b1,..., bk] (vgl. ~ 4, Satz V, VI). Dann kann man zunächst folgende Definition aufstellen: Definition I1). Die Funktion f(x1,...,xk) heißt von endlicher Variation (I)2) in [a1,..., a; b,..., bk], wenn Abl bk(f) endlich ist., ak.f ei i.a Addiert man zu f eine beliebige Funktion von k - 1 der Veränderlichen x, x2,.., x, so ändert sich die Differenz A (q) von f in einem beliebigen Intervalle 3 gar nicht. Es ändert sich daher auch A () und mithin auch Aba..bk nicht, und wir haben den Satz: Satz I. Addiert man zu einer Funktion f(x1,..., x), die in [al,..., a; b1..., b, von endlicher Variation (I) ist, eine ganz beliebige Funktion von k - 1 der Veränderlichen X, x2,...,, so entsteht wieder eine Funktion endlicher Variation (I). Wie man sieht, kann also eine Funktion f(x,..., xJ) von endlicher Variation sein, ohne daß die Funktionen von k -- 1 Veränderlichen, die aus f entstehen, indem man einer der k Veränderlichen einen festen Wert erteilt, von endlicher Variation wären. Diesen Übelstand vermeidet eine zweite Definition; sie setzt den Begriff der Funktion endlicher Variation von k - 1 Veränderlichen als schon bekannt voraus und lautet: Definition II3). Die Funktion f(xl..., x) heißt von endlicher Variation (II) in [a1,..., an; b1,..., b], wenn:,...,bk 1. A ',,k(f) endlich ist, und 2. für jedes xi aus [ai, bi] (i 1, 2,..., k) die Funktion f(x",..., 'Xi, x xi,..., xV) von endlicher Variation in [al,... ai, ai+1..., ak; b1,.., bi-l, bi l,..., bk] ist. Man überzeugt sich leicht von der Gültigkeit des Satzes: Satz II. Ist f(x,..., x) von endlicher Variation (I) in [^a,..., a,; b1,..., bk], und sind die k Funktionen f(xl,..., xi_-, a", xi+i,.., Xk) (i== 1, 2,..., k) von endlicher Variation (II) in [al., ci-L, ai+,..,,ak; b,.., bi-, bi+~,..., bk, so ist f(x,...,xk) auch von endlicher Variation (II) in [al,..., ak; b,..., b,]. 1) H. Lebesgue, Ann. Ec. Norm. (3) 27 (1910), 408. M. Frechet, Nouv. Ann. (4) 10 (1910), 241. Eine etwas andere Definition: M. Frechet, Am. Trans: 16 (1915), 225. 2) Der Zusatz (I) bedeutet:,nach Definition I". 3) G. H. Hardy, Quart. Journ. 37 (1906), 56.

Kap. VII, ~ 13. Funktionen endlicher Variation im 9k. 541 Und daraus folgert man weiter ): Satz III. Eine Funktion f(xl,..., x) endlicher Variation (I) kann durch Addition endlich vieler Funktionen von weniger als k Veränderlichen in eine Funktion f*(x,..., k) endlicher Variation (II) verwandelt werden. In der Tat, man bezeichne mit fil, i... (1 l < k) die Funktion, die aus f(x,..., x") entsteht, indem man den Veränderlichen Xii xi2,.., xii die festen Werte ail, ai,.., a a erteilt, und setze: k1= f*=f- (_ 1)' f t~,,+...,,, wo die zweite Summe über alle Kombinationen zu je I (iI < i2 <...< i) der Indizes 1, 2,..., k zu erstrecken ist. Anknüpfend an die Definition II der Funktionen f(x,,..., x,) endlicher Variation definieren wir nun auch die totalstetigen Funktionen f(x,..., ). Die im offenen Intervalle (al,..., ak; bl,..., ) definierte und endliche Funktion f(x,...,x) heißt totalstetig in (a1,...,a; bl,..., bk), wenn: 1. ihr Absolutzuwachs totalstetig ist nach /kÄ im o-Körper aller Borelschen, und somit auch2) im o-Körper aller k-dimensional-meßbaren Mengen aus (al,..., aa; bl,..., b); 2. für jedes xi aus (ai, b) (i= 1, 2,..., k) die Funktion f(x1,., xi-1 i, x i+,..., xk) totalstetig ist in (al,..., ai 1, ai+., ak; bl....,_hi- bi+I,,bk) ' Sei die Funktion f(x,..., x) definiert und endlich im abgeschlossenen Intervalle [ac,..., a,; bl,..., bk]. Wir dehnen ihre Definition auf den ganzen ~9 aus durch die Festsetzung: man bilde aus dem Punkte (xl,..., xk) des 9k einen Punkt (xl,..., ), indem man x4 -xi setzt, wenn xi in [a, bi], hingegen x=- ai, wenn xi <ai, und x=- bi, wenn xi> b. Sodann setze man: f(x,..., )= f(X x.,). Ist die so definierte Funktion f totalstetig in einem [a1,..., a; b,..., bk] enthaltenden Intervalle (c,..., c; d,..., d), so nennen wir sie totalstetig in [al,..., a; b,..., bk]. Die totalstetigen Funktionen f(x,..., x) haben nun ähnliche Eigenschaften wie die totalstetigen Funktionen f(x). Wir heben hervor: 1) M. Frechet, Nouv. Ann. (4) 10 (1910), 245. 2) Vgl. S. 474, Fußn. 1).

542 Die Funktionen endlicher Variation. Satz IV. Ist die Funktion f(x,...,x) totalstetig in [a,..., aL; b..., bk], SO ist sie auch von endlicher Variation (II) in [a...,ak;bl,..., bk]. Satz V. Damit die Funktion f totalstetig sei in [al,..., a;b,...,Jbk, ist notwendig und hinreichend, daß sie den beiden Bedingungen genügt: 1. Zu jedem e>O gibt es ein >O derart, daß für jedes der Ungleichung: ftk () < Q genügende endliche') Intervallsystem aus [la,..., a,; b",...,b,] die Ungleichung besteht: x(.) A(~)<. 2. Für jedes xi aus (ai, b) (i= 1, 2,..., k) ist die Funktion f(x,,..., xi,, i, xi+1,...., xk) totalstetig in [a,..., aai_ ai+...,'' ak; bl,..., bi-1, bi+tl,..., bk]. Satz VI. In Satz V kann (X) ersetzt werden durch: iJ(3)1<E. Man folgert aus diesen Sätzen leicht: Satz VII. Ist eine Funktion f(x,...,x,) totalstetig im Intervalle [a,,..., a;b...,b], so ist sie auch stetig in diesem Intervalle. Aus der Tatsache, daß eine Funktion f(xl,..., x,) als Funktion jeder einzelnen ihrer Veränderlichen (bei Festhaltung der übrigen) totalstetig ist, kann nicht geschlossen werden, daß sie totalstetig ist, ja nicht einmal, daß sie stetig ist2). Wir gehen nun über zu einer dritten Definition der Funktionen f(x1,..., k) endlicher Variation3). Wir sagen, durch: (0) x, =xi(t), a<tb (i = l, 2,..., k) sei ein die Punkte (a,..., ak) und (b,...,bk) verbindender steigender Kurvenbogen (E im 9Jk gegeben, wenn die k Funktionen xi(t) in [a,b] monoton wachsend und stetig sind, und wenn: xi(a) =ai; xi (b) b (i =1,2,...k). Wir sagen, durch: a = to < t, <... < tn_ < tn == b sei eine Zerlegung Z des Kurvenbogens 1 gegeben, und ordnen ihr die Ausdrücke zu: 1) Dieser Zusatz kann auch ohne weiteres wegbleiben. xy 2) Beispiel: f(x, y) = x2 + 2 für (x, y) + (0, 0), f(O, 0) --. Vgl. auch Fußn. 1), S. 545. 3) C. Arzelä, Rend. Bol. 9 (1904/05), 100.

Kap. VII, ~ 13. Funktionen endlicher Variation im 9k. 543 n N (Z) _ + |f (x, (t,),..., Xk (tv,)-f (Xl (t-_1),..., Xk (t_-1)); NB(Z) = _ If(x (t),., xk (t)) -f(x1 (t-1),..., k (t_ 1)); v==Dann ist: B(Z) P(Z) +iN(Z); f(bl,..., bk)- f(al,..., ak) = P(Z)- N(Z). Wir definieren nun: Die obere Schranke aller B (Z) (für alle möglichen Zerlegungen Z von ü() heißt die Variation von f auf i, in Zeichen B (i, f). Die obere Schranke aller P(Z) heißt die positive, die obere Schranke aller N(Z) heißt die negative Variation von f auf i, in Zeichen TT[(,f) bzw. N(g,f). Offenbar gilt (vgl. ~ 4, Satz II): B ((, f) =- TT (C, f) +N ((, f), und, wenn B ((, f) und mithin TT ((, f), N (s, f) endlich ist, (vgl. ~ 5, Satz VIII) (00) f(b,... bk) - f(al,..., ak)= (, f)- N (,f). Wir definieren weiter: Die obere Schranke von B (9, f) für alle die Punkte (a,..., a) und (b,..., bk) verbindenden steigenden Kurvenbögen ( heißt die Variation (III) von f in [a,.., ak; b,..., bk], in Zeichen B,' bak (f). Die obere Schranke aller TT(, f) heißt die positive, die obere Schranke aller N (g, f) heißt die negative Variation (II1) von f in [a,..., ak; b,..., bk], in Zeichen TTa, ak(f) und N al ak(f) Und nun definieren wir die Funktionen endlicher Variation (III) durch: Definition III. Die Funktion f(x1,..., Xz) heißt von endlicher Variation (III) in [a,..., an; bl,..., bk], wenn Bab- 'b() endlich ist. Wie Satz VIII von ~ 5 beweist man: Satz VIII. Ist f(x,..., xk) von endlicher Variation (III) in [al,..., ak; b,..., b], b so ist: f(.,,) -f(a,..., ak) - TTb. (.) -bk(. (bl, bk) ai,.... ak~ Wir nennen nun die ~Funktion f (x,..., xk) monoton wachsend in [a,..., a; b,...., b], wenn aus: ai< x< '_b (i= 1,2,...,k) folgt: f (x..., x. ) > f (x,...' x')). Satz IX. Ist die endliche Funktion f(x,..., x) monoton wachsend in [al,..., ak; b,,..,bk], so ist sie auch von endlicher Variation (III) in [a,., ak; bl...., bk]. In der Tat, es ist: aB^:::,;! ( T ', ( f), (f f(b,..., bk)- f (al,... ak) 1) Oder, was dasselbe heißt, wenn f(xl,...,xk) monoton wachsend ist als Funktion jeder seiner Veränderlichen bei Festhaltung aller übrigen.

544 Die Funktionen endlicher Variation. Satz X. Ist die Funktion f(x",...,xk) von endlicher Variation (III) in [a,..., ak; bl,...,bk], so ist sie Differenz zweier in [al,...,ak; bl,...,bk] monoton wachsender Funktionen. Sei in der Tat (x.,..., xk) ein Punkt von [a,..., ak; bi,..., bkl]. Satz VIII, angewendet auf das Intervall [a,..., ak; x,..., Xk] ergibt:.(x,.., Xk) f(a,..., a,)+ TTX1 " (/f) -Nxl,,ak (fn) X!,.. ~, ak X!,..k X und da TTl' k(fr) und Na1' af) monoton wachsen, ist Satz X bewiesen. al!, -k ~.. ak Wir vergleichen nun die Definitionen II und III miteinander: Satz XL. Ist die Funktion f(x,...,xk) nach Definition II von endlicher Variation in [a,..., ak; b,..., bk], so auch nach Definition III. Der Kürze halber führen wir den Beweis nur für den Fall k-2 2. Sei also f(x,y) von endlicher Variation (II) in [x', y'; x", y"]. Sei x=-x(t), y-y(t) aKt~b ein die Punkte (x', y') und (x", y") verbindender steigender Kurvenbogen, und sei durch: a = t, < ti <... < tn-_ < t,^ b eine Zerlegung dieses Kurvenbogens gegeben. Wir schreiben abkürzend: x(t) == i; y (t) == Yi Dann ist: (t) [ f(xi, ) - fY(xi-.1, Yi-) l f(xi, i) - f (x_-1., Yi) + If (x,_ yi) - f(i-_, Yi-). Setzen wir: - (f (x", yi) - f(x", yi - )) - (f(x- i, Yi) - f (xi- 1. Y - )), ^A^Xi'yi_, y, = (f (xi, i) - f(xi - Ys)) - (f ') - f (xi -1, y')),.so wird: f(xi -, y,) - (xl 1 "i - +f(, y,) - f (x", y)i - 1) i I f(xi, yi)-f(xi-_, Y)i I _! 1 y, I + I f (xsI,) f(xi, y )-( _-1,') I B(Z)=i i ) f (xs, Yi) - (xi-1, y i + ' i i=1 i=1i 1 =1 - n n.+ f (yi)- l, y i-l) l + f(, y') )- (x -1, y'), j=1 = 2 Ax'", (f) + Ay' (f(x", y)) + A (f (x, y')). Da hierin nach Definition II jeder der Summanden rechts endlich ist, ist auch Bx"'V, (f) endlich, und Satz XI ist bewiesen. Die Umkehrung von Satz XI gilt nicht. Sei: f(xy) 0 für x-+y<1, f(x,y)=l für x+-y1l. Dann ist f(x, y) monoton wachsend, und somit (Satz IX) von endlicher Varia

Kap. VII, ~ 13. Funktionen endlicher Variation im E9k. 545 tion (III) in [0, 0; 1, 1]. Andererseits ist für jedes Intervall 3, von dem drei Ecken auf der einen, eine auf der andern Seite der Geraden x y 1 liegt: (o)l - 1, und da es in [0, 0; 1,1] beliebig viele zu je zweien fremde solche Intervalle gibt, ist und es ist somit f nicht von endlicher Variation (II) in [0, 0; 1,1]. Es sei noch ein Beispiel einer s t e t i g e n Funktion f(x, y) gegeben, die von endlicher Variation (III), aber nicht (II) istl). Sei {xn} eine stets abnehmende {yn} eine stets wachsende Zahlenfolge aus [0, 1]. Wir bezeichnen mit 3,n das Intervall, dessen vier Eckpunkte sind: (X2n-1, Y 2n - 1), (Xn Y2n-1) (2n, Y2n) (2n- 1 Y2n)' Für die Funktion f(x, y) schreiben wir nun die Werte vor: (Ujj.) f(X2n -lY2n -) f 2 n Y2n - 1) f(X2n y2n); f (Xn- l, Y2n) 1, und ergänzen sie, was ohne Schwierigkeit möglich ist, zu einer in ganz [0, 0; 1, 1] definierten, stetigen, monoton wachsenden Funktion. Sie ist dann von endlicher Variation (III). Da aber aus (tt) folgt: X (Trn ') — ist: n,,~(f) = + t und es ist f nicht von endlicher Variation (II). Wir betrachten noch eine weitere Definition von Funktionen f(x,..., xk) endlicher Variation. Wir zerlegen das Intervall [a,..., ak; b,..., bk] in nk Teilintervalle, indem wir jedes der k Intervalle [as, bi] durch Einschalten der Zwischenpunkte ai =- a(~ < an - <.... < an-) < a(X = bi in n gleiche Teile teilen und die sämtlichen Mannigfaltigkeiten: Xi-a= ) (i =l,2,...,k;v-1,2,...,n-l) gezogen denken. Wir nennen dies: Die Zerlegung Z() von [a,..., ak; b,..., bk]. Sind 3;, 3 S die sämtlichen Intervalle von Z(n), und ist oV die Schwankung von f in 3v, so setzen wir: nk Q (Z(8)) _ v =1 Und nun definieren wir: 1) Vgl. W. Küstermann, Math. Ann. 77 (1916), 474. - Wir erhalten damit zugleich ein Beispiel einer stetigen, aber nicht totalstetigen Funktion von (x, y), die nach jeder ihrer beiden Veränderlichen totalstetig ist. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 35

546 Die Funktionen endlicher Variation. Definition IV ). Die Funktion f(x",.., xk) heißt von endlicher Variation (IV) in [a,..., ak; b,..., bj], wenn die obere Schranke von - 2(Z(n> für alle Zerlegungen Z(') (n = 1, 2,...) endlich ist ). Wir vergleichen diese Definition mit Definition III. Satz XII. Ist f(x,..., xk) im In.tervalle [a,..., ak;bl,...,bk] von endlicher Variation nach Definition III, so auch nach Definition IV. Wegen Satz X genügt es, nachzuweisen, daß jede endliche monoton wachsende Funktion von endlicher Variation (IV) ist. Der Kürze halber führen wir den Beweis nur für den Fall k = 2. Sei also f(x, y) monoton wachsend im Intervalle [x', y'; x", y"]. Wir nehmen die Zerlegung Z(") vor durch Einschaltung der Punkte: x' = Xo < X, <*... < x,n- < F x,= x; y' = Yo < Yi < * * < yn-1 < Y,= Yi". Sei S das Intervall [x,_1, y-i; xx, y]. von Z(n). Dann ist, weil f monoton wachsend in,t: ~,, = - f(x", Y,)- f(x,-i Y,- i) Infolgedessen ist: n n n-1 n-e 1 in-1 ßQ(Z(") =,4, f(x, y") + E f(x", yv) - f(x. Y) y- f(x', y). 1u,v=1 f=1 Y=l - ' 10 y=1 Ist also: if <p in [x', y';x", y"], so ist: 2 (Z")) < (4n-2) p und somit: lQ(Z(") <4p womit Satz XII (für den Fall k= 2) nachgewiesen ist. 1) J. Pierpont, The theory of functions of real variable 1, 518. 2) Man überzeugt sich leicht, daß für k =1 diese Definition sich auf die übliche (in ~ 5, S. 489 gegebene) reduziert. In der Tat, da (~ 4, Satz VII): (Z(n)) < Ab (), so ist, wenn f(x) von endlicher Variation in [a, b], die obere Schranke Q der Q(Z()) endlich. Sei umgekehrt Q endlich. Zu jeder endlichen Zerlegung Z von [a, b] gibt es ein Z("), derart daß zwischen zwei Zerlegungspunkten von Z(') höchstens einer von Z liegt. Für die Produktzerlegung Z.Z(n) gilt dann: Q (Z. Z<) < 22 (z(f)) < 2. Es ist also erst recht: Q (Z)< 2 Q, mithin auch (~ 4, Satz VII): Ab(f) 2Q, d. h. f ist von endlicher Variation in [a, b].

Kap. VII, ~ 13. Funktionen endlicher Variation im 9k. 547 Die Umkehrung von Satz XII gilt nicht. Sei: f(x,y)=0O für x-y<O; f(x,y)=l für x-y>O. Dann ist offenbar f in [0,0; 1, 1] von endlicher Variation (IV). Andererseits ist aber für zwei Punkte (x', y'), (x", y"), die zu verschiedenen Seiten der Geraden x-y 0 liegen: f(x", y")- f(x', y) 1. Und da es aufsteigende Kurvenbögen von (0, 0) nach (1, 1) gibt, die die Gerade x- y = beliebig oft durchsetzen, ist: Bo, (f) + 0, es ist also f nicht von endlicher Variation (III). 35*

Achtes Kapitel. Die meßbaren Funktionen. ~ 1. Meßbare Funktionen. Sei 9f eine Punktmenge eines metrischen Raumes 9t, und sei M ein aus Punktmengen D von 91 bestehender o-Körper (Kap. VI, ~ 1, S. 394), in dem insbesondere auch 9 selbst vorkommt. Sei qp(9) eine in M definierte absolut-additive Mengenfunktion; ihre Absolutfunktion ) bezeichnen wir mit (S): g (Eß) = c (f, m). Um eine einfache Terminologie zu haben, nennen wir die Mengen 9 aus M kurz p-meßbar, die Funktionswerte (99 () und -9(93) das m-Maß und U-Maß von 192). Eine Menge, deren.-Maß 0 ist, und jeden Teil einer solchen Menge nennen wir kurz eine Nullmenge (für die Basis p9). Nach Kap. VI, ~ 1, Satz IX können wir ohne weiteres annehmen, alle diese Nullmengen gehören zu M. Wie schon früher, bezeichnen wir, wenn f eine auf 2 definierte Funktion ist, mit t (f> p) die Menge aller Punkte von P2, in denen f> p, und verwenden in analoger Bedeutung die Symbole: g (f<p), (p < f< q), (f= q) usw. Sei f definiert auf 9, abgesehen von einer Nullmenge. Dann heißt f p-meßbar auf 29, wenn für jedes p die Menge i(f> p) - meßbar ist3). Auf einer Nullmenge (für die Basis q7) ist demnach jede Funktion p-meßbar. 1) Kap. VI, ~ 2, S. 404. 2) Ohne damit sagen zu wollen, daß p oder - eine Maßfunktion im Sinne von Kap. VI, ~ 5 sei. 3) Der Begriff der meßbaren Funktionen wurde (für den Fall, daß fp der k-dimensionale Inhalt Mk im 9S ist) eingeführt von H. Lebesgue, Le9ons sur l'int6gration (1904), 111. - Die Übertragung auf den Fall einer beliebigen absolut-additiven Mengenfunktion rührt her von J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913), 1325.

Kap. VIII, ~ 1. Meßbare Funktionen. 549 Satz I. Ist die Zahlenmenge 3 dicht in der Menge aller reellen Zahlen'), und ist für jedes z aus 3 die Menge 9/(f>z) 9-meßbar, so ist f Up-meßbar auf 9f. In der Tat, es gibt dann zu jedem p eine abnehmende Folge {(z} aus 3 mit lim z, p, und es ist: v= 00 9/(f> P)= 9/(f> z,)+- (f> z)... 9(f z)..., also -ist 9 (f>p) als Vereinigung p -meßbarer Mengen p- meßbar, und Satz I ist bewiesen. Satz II. Ist f it-meßbar auf 9f, so ist auch jede der folgenden Mengen )-meeßbar: t(fP), {(f<P), t(frP), i(f-P), (p <f<q), 9/(p fq), / f(p<f q), / (P~f< q). In der Tat, ist p>-oo2), so ist?(flp) der Durchschnitt der (p-meßbaren Mengen (f> p —) und daher p-meßbar. Die Mengen 9 (f<p) und (f~p) sind U9-meßbar als die Komplemente der 9 -meßbaren Mengen 92(f>p) und / (f>p); die Menge 9 (f==p) als der Durchschnitt von 9X (f~ p) und f (f p); die Menge f (p <f< q) als das Komplement von W (f~ q) + Sf (fp); die Mengen %/(p~f<q), I (p < f< q), 9 (p ~ f< q) als Vereinigungen von ( (p < f'< q) mit 9 (f -=p) und f(f= q). Damit ist Satz II bewiesen. Satz II ist Spezialfall des viel allgemeineren Satzes: Satz III. Ist f 'p-meßbar auf -/f, und ist 93 irgendeine Borelsche Menge des 9,3), so ist die Menge aller Punkte von 9W, in denen f einen zu e gehörigen Wert annimmt, 9T-meßbar. In der Tat, nach Satz II ist die Behauptung richtig, wenn 23 ein Intervall (p,q) ist; sie ist daher auch richtig, wenn 3 Vereinigung abzählbar vieler offener Intervalle, d. h. eine beliebige offene Menge des 9, ist; und da jede abgeschlossene Menge Komplement einer offenen Menge ist, so ist die Behauptung auch richtig für alle abgeschlossenen Mengen 3 des 91, und mithin für alle Borelschen Mengen erster Ordnung (Kap. V, ~ 4, S. 334). Nun schließen wir weiter durch transfinite Induktion. Sei die Behauptung richtig für alle Borelschen Mengen von geringerer als a-ter Ordnung. Ist dann 93 eine Borelsche Menge a-ter Ordnung, 1) D. h.: Ist jede reelle Zahl Grenzwert einer Zahlenfolge aus 3. 2) Ist p - oo, so ist 2 (f~p)= 9S, und somit gewiß 9q-meßbar. 3) Für beliebige (eindimensional) meßbare Mengen 93 des 9x wäre die Behauptung nicht richtig; vgl. ~ 6, Satz VIII.

550 Die meßbaren Funktionen. so ist sie Vereinigung oder Durchschnitt von abzählbar vielen Boreischen Mengen geringerer Ordnung; und da für diese die Behauptung gilt, so auch für 3. Damit ist Satz III bewiesen. Satz IV. Ist jede Menge f(f>p), oder S9(f<p), oder 9(f~p), oder 91 (p f < q)), oder 9/(p f~q), oder 9(p f< q)?-meßbar, so ist f 9-meßbar auf 91. In der Tat, jede Menge 9/(f>p) ist Vereinigung abzählbar vieler Mengen 9S(f~p), oder 9 (p f q), oder 9 (p <f~ q), und ist daher H-:meßbar, wenn diese es sind. Ferner ist 9S(f>p) Komplement der Menge 9(f~p), und daher cp-meßbar, wenn diese es ist. Ist weiter jede Menge 91(f<p) p-meßbar, so (als Komplement) auch jede Menge?1(fp); dann aber ist auch f p-meßbar, wie eben gezeigt. Ist endlich jede Menge 91.(p <f<q) e -meßbar, so insbesondere auch jede Menge 91 (- oo f < q), d. h. jede Menge 9 (f < q), und f ist wieder - -meßbar, wie schon gezeigt. Damit ist Satz IV bewiesen2). Sind fi und f überall auf %9 definiert, abgesehen von einer Nullmenge, und ist überall auf 91, abgesehen von einer Nullmenge: fl = / so sagen wir3), fi und fe seien äquivalent (nach der Basis Ep) auf 91, in Zeichen: ffi u f Satz V. Ist f Up-meßbar auf 9/, und fi f so ist auch f gn-mneßbar auf 91. In der Tat, da die Mengen 9 (f >.p) und i (fr>p) sich nur durch Nullmengen unterscheiden, ist zugleich mit der ersten auch die zweite cp-meßbar, und Satz V ist bewiesen. 1) Bei endlichem f kann es statt dessen auch heißen: [ (p < f< q). 2) Es sei eigens bemerkt, daß aus der Tatsache, daß jede Menge 9 (f-=p) p-meßbar ist, nicht geschlossen werden kann, f sei p -meßbar. Beispiel im 9,: Seien DJu und i M-Y nicht pl-meßbar und von der Mächtigkeit c; es gibt eine umkehrbar eindeutige Zuordnung sowohl zwischen 9D und der Menge aller positiven Zahlen, als auch zwischen' l- D9 und der Menge aller nicht-positiven Zahlen. Wir definieren als Funktionswert f (x) die dabei dem Punkte x von ~D bzw. 9, - D1 zugeordnete Zahl. Für jedes p besteht die Menge 91 (f p) aus einem Punkte und ist daher, —meßbar. Aber f ist nicht,t -meßbar, weil l (f/> 0)-== nicht [l-meßbar ist. 3) Nach H. Lebesgue, Ann. Toul. (3) 1 (1909), 38; C. Caratheodory, Vorl. über reelle Funktionen, 389.

Kap. VIII, ~ 1. Meßbare Funktionen. 551 Satz VI. Ist f p-meßbar auf 9f, so auch -f und fl. In der Tat, dies folgt unmittelbar aus: t (- f> P) = (f <- ); X(i fl >p) -^(f>P)-+2(f< - p)' Satz VII. Sind ff2,...,f,, -meßbar auf 91, und ist f der größte (kleinste) unter den n Werten fs,f,...,f,, so ist auch f 9-meßbar auf 9. In der Tat, es ist, abgesehen von Nullmengen: % (f >P) 2 (f >P)+ 2 > (f, t>P)+ "+ S (fn >P), woraus die Behauptung folgt. Satz VIII. Eine auf 91 9-meßbare Funktion f kann zerlegt werden in eine Summe: f==g+h zweier auf 91 p-meßbarer Funktionen, für die: g~O, h<0. In der Tat, wir setzen: _ f wo f > hO 0 wo f>O g O wo f<O' f wo f<o' Nach Satz VII (man setze dort f= f, f== 0) sind g und h p -meßbar, und Satz VIII ist bewiesen. Satz IX. Sind f, und ft2 p-meßbar auf 9t, und ist eine der Funktionen fi4-f2, fi fl definiert auf 9/, abgesehen f2 von einer Nullmenge, so ist sie p-meßbar auf 91. Beweis für fi~+ f1). Damit fi -f >p sei, ist notwendig und hinreichend die Existenz eines rationalen r, so daß: fi>r; f,2>p-r. Setzen wir also: Z=) 2(fi >r) g ( 2>P- X)> so ist 9 (fi + fa > p) die Vereinigung der abzählbar vielen Mengen i,. (für alle rationalen r). Aus der ( -Meßbarkeit von f1 und f. folgt die von,, mithin die von 9 (fi -- f2 >p), und die Behauptung ist bewiesen. Beweis für f,.f. Wir schreiben nach Satz VIII: fi gl + —h gli 0, hl <0. ____- f g2 h+ g 0O, h12 < 0. 1) Vgl. Ch. J. de la Vallee-Poussin, Cours d'analyse 2. ed., 1, 253.

552 Die meßbaren Funktionen. Dann ist: fif'2=f gg 92 + gl h2 a h - g2 h2. Es genügt also, nach dem eben Bewiesenen, zu zeigen, daß glg2, g1h, g2h1, g2 h2 9 -meßbar sind, d. h. wir können von vornherein annehmen, daß weder f1 noch f2 verschiedene Zeichen annehme. Wegen Satz VI können wir weiter annehmen: fi>o; f,20. Dann aber ist, damit f f2> p (> 0) sei, notwendig und hinreichend die Existenz eines rationalen r> 0, so daß: f1>r, f2>-, woraus die Behauptung folgt wie für f1- + f. fi Beweis für -. Nach dem eben Bewiesenen genügt es zu zeigen, daß r o —meßbar ist. Nun ist: 2 für p>0: j ( >p) 9 (<f <2 ) fürp 0: > frp=0: - -o. >o (o<f< +oo), \2 für p < '(r > = p = f2 <-) 9+(f >0). Also folgt aus der p9-Meßbarkeit von f, die.von und Satz IX ist * 2 bewiesen. Satz X. Sind f1 und f2 9-meßbar auf s9, so ist die Menge 8 aller Punkte von 9', in denen f~+f2 (oder f1'f2, oder r) definiert ist, p-meßbar, und es ist f1 + f2 (bzw. f, f2,;f) p-meßbar auf 9. Wir führen den Beweis etwa für f1 + f2. Abgesehen von Nullmengen ist: t 3= - t (fi += oo). (f - oo) - - (f,= - ). (= + oo), also ist 93 q-meßbar, und indem man Satz IX auf die Menge B3 anwendet, folgt, daß f +-f2 p-meßbar auf 9. Damit ist Satz X bewiesen. Aus Satz IX folgern wir auch sofort: Satz XI. Ist f 99-meßbar auf 9, so auch die aus f durch die Schränkungstransformation hervorgehende Funktion, und umgekehrt.

Kap. VIII, ~ 2. Folgen meßbarer Funktionen. 553 Satz XII. Ist 9 Vereinigung abzählbar vieler Mengen, auf deren jeder f zp-meßbar ist, so ist f auch 9-meßbar auf t1. Sei in der Tat: = 5 q- ~ q-...- 5 q-+..., und f p -meßbar auf allen.n Dann ist: (f > p) = (f > ) + 9I (f >P) +. n., (f >P) ' und da hierin jede Menge n (f>p) po-meßbar ist, so auch die Menge 5 (f >p). Damit ist Satz XII bewiesen. ~ 2. Folgen meßbarer Funktionen. Wie wir in ~ 1 gesehen haben, führen die elementaren Rechenoperationen, angewendet auf 9p-meßbare Funktionen, immer wieder auf p -meßbare Funktionen. Wir wollen uns nun überzeugen, daß dies auch für den Grenzübergang gilt. Wir beginnen mit monoto nen Folgen. Satz I. Ist {fy} eine monotone Folge auf 51 p-meßbarer Funktionen, so ist auch die Grenzfunktion') f lim f, y= 00 9-meßbar auf 9. Sei zum Beweise {f)} etwa monoton wachsend. Dann ist, abgesehen von Nullmengen: 9 (f> p) = (fi > p) + (f >S) +-.-+ (f >p) -- Nach Voraussetzung ist jede Menge f (fv >p) p-meßbar, daher auch 51 (f>p), und Satz I ist bewiesen. Satz II. Ist {ff} eine Folge auf 1 99-meßbarer Funktionen, so sind auch obere und untere Schrankenfunktion2) von {ff} 99-meßbar auf 91. In der Tat, man erhält die obere Schrankenfunktion F von {f,} in folgender Weise: Ist F, der größte unter den v Funktionswerten fi, f,..., f so ist: F - lim F,. v = 00 1) Dabei ist es offenbar - da jedes f, auf ( definiert ist abgesehen von einer Nullmenge - ganz gleichgültig, ob wir die Grenzfunktion f als definiert ansehen nur in den Punkten von 9f, in denen alle f, definiert sind> oder auch in den Punkten von 2f, in denen fast alle f4 definiert sind. 2) Kap. IV, ~ 1, S. 231.

554 Die meßbaren Funktionen. Nach ~ 1, Satz VII ist F, p-meßbar, und da die Folge {F)} mono{ton wächst, ist nach Satz I auch F <p-meßbar, womit Satz II bewiesen ist. Satz III. Ist {f)} eine Folge auf 92 q-meßbarer Funktionen, so sind auch obere und untere Grenzfunktion1) von {f;,} 9-meßbar auf A. In der Tat, man erhält die obere Grenzfunktion: f- limf, y = oO von {f~} in folgender Weise: Ist fV die obere Schrankenfunktion der J,-ten Restfolge f~,, f,+i,..*,,.., so ist: f-= lim f'. Y = 00 Nach Satz II ist f, 99-meßbar, und da die Folge {f4} monoton abnimmt, ist nach Satz I auch f 9 -meßbar. Damit ist Satz III bewiesen. Aus Satz III nun entnehmen wir unmittelbar: Satz IV. Ist die Folge {f,} auf 9X qp-meßbarer Funktionen konvergent auf 92, abgesehen von einer Nullmenge, so ist ihre Grenzfunktion: f lim f; v = 00 p-meßbar auf 91. Satz V. Ist {f,} eine Folge auf 9St -meßbarer Funktionen, so ist die Konvergenzmenge2) von {f,} in %2 g-meßbar. Seien in der Tat f und f obere und untere Grenzfunktion von {f~}. Vermöge der Schränkungstransformation (~ 1, Satz XI) können wir f und f als endlich annehmen. Dann ist die Konvergenzmenge von {f,} die Menge 9 (f-f)=. Nach Satz III sind fund f g-meßbar, daher (~ 1, Satz IX) auch f- f, daher ist (~ 1, Satz II) die Menge 9 (f-f== 0) p-meßbar, und Satz V ist bewiesen. Aus Satz IV folgern wir noch folgende charakteristische Bedingung für 9 -Meßbarkeit einer Funktion3): Satz VI. Sei f definiert auf 91, abgesehen von einer Nullmenge. Damit f (p-meßbar sei auf 91, ist notwendig 1) Kap. IV, ~ 1, S. 231. 2) Kap. V, ~ 13, S. 380. 3) L. Tardini, Giorn. di mat. 49 (1911), 32.

Kap. VIII, ~ 2. Folgen meßbarer Funktionen. 555 und hinreichend, daß bei beliebig gegebenem e > 0 1, abgesehen von einer Nullmenge, Vereinigung abzählbar vieler e-meßbarer Mengen 9t1 (=1,'2,...) sei, auf deren jeder für die Schwankung von f (Kap. III, ~ 2, S. 190) gilt: co (f, v)_< e. Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, sei f p-meßbar auf 91. Dann ist für jedes ganzzahlige i die Menge (,) = (i E f< (i-+ 1)e) p-meßbar, ebenso jede der beiden Mengen: 9'=9 (f==+ - ), 9" = (f=- N). Ferner ist: c (f,(',i) <E; O (f, ') 0; (f, )= 0, und die Vereinigung der abzählbar vielen Mengen (i) (i —,:~ 1, t 2,...), 91', 9" unterscheidet sich von 91 nur durch eine Nullmenge. Die Bedingung ist hinreichend. Sei in der Tat: = (9( 4- + 4-...- 4+ +-...) + + (n), wo jede Menge 9(n) U9-meßbar und w(f, 9()) <- ( =1, 2,...), und S(n) eine Nullmenge. Dann gibt es eine Zahl c(n), so daß1): if-c() - auf 9(n) Definieren wir nun eine Funktion f, auf 9 durch: f=cz() auf 9(n); cf = c) auf (Xn) + 4(n) +. 4 (n )) - ((n) t- 9g()... (n9) (v>i), so ist f, 9-meßbar auf W, und es ist überall auf 91, abgesehen von der Nullmenge 9(1l) - 9(2) +. - 9 - (n) +.. f- lim/ f. n f 00 Nach Satz IV ist also auch f p9-meßbar, und Satz VI ist be; wiesen. 1) In der folgenden Ungleichung sollen auch die Fälle f=+ oo, c, ) -- oo und f=- oo, c() -oo inbegriffen sein.

556 Die meßbaren Funktionen. Als Anwendung von Satz IV beweisen wir noch einen Satz, der die Sätze VI, VII, IX von ~ 1 als Spezialfälle enthält. Satz VII. Sind die Funktionen fi, f2,...,fk -meßbar und endlich auf 9/ (abgesehen von Nullmengen), und ist g (x, x,..., x,) eine Bairesche Funktion') im 9k, so ist auch g(fx,,"f...,fk) p-meßbar auf 9t. Nach ~ 1, Satz IX ist die Behauptung richtig, wenn g ein Polynom ist. Da aber bekanntlich jede im 9k stetige Funktion Grenzfunktion von Polynomen ist, gilt die Behauptung nach Satz IV auch, wenn g stetig2). Ist {(g} eine konvergente Funktionenfolge im I9k, und gilt die Behauptung für jede Funktion g", so gilt sie nach Satz IV auch für die Grenzfunktion g = lim g,. Nach Kap. V, ~ 2, Satz I gilt sie also für alle Baireschen FunkY —= 00 tionen, und Satz VII ist bewiesen. Betrachten wir nun an Stelle einer Fol g e {f} von Funktionen eine Funktion f(a, t), die stetig von einem reellen Parameter t abhängt. Um einen bestimmten Fall vor Augen zu haben, wollen wir etwa annehmen, es sei f(a, t) als q -meßbare Funktion auf 9f definiert für alle t aus (0, 1). In Analogie zu Satz III gilt dann: Satz VIII. Ist f(a, t) für jedes reelle t aus (0, 1) als Funktion von a p-meßbar auf 9t, für jedes a aus 9f als Funktion von t stetig in (0, 1), so sind: f(a)==limf(a,t) und f (a)= lim f (a, t) t=+o - t=+o p-meßbar auf 9f. Sei in der Tat: r r.,,.. die Menge aller rationalen Zahlen aus (o, -) und F, die obere Schrankenfunktion der Folge: f(a, r(n~),f (a, r?),., f(a, rt),.. Nach Satz II ist F,, p -meßbar auf 91. Offenbar ist ferner: f= lim F,,, und die Folge {F,} ist monoton abnehmend. Nach Satz I ist also auch f p- meßbar, und Satz VIII ist bewiesen. Satz IX3). Sei 91 eine Menge endlichen 99-Maßes4) und {f~} eine Folge auf 9 T-meßbarer Funktionen, die überall 1) Es genügt nicht, g als k-dimensional-meßbar vorauszusetzen. Vgl. ~ 6, Satz VII. 2) Ein andrer Beweis bei E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable, 393. 3) Dieser Satz wurde, schrittweise allgemeiner, entwickelt von C. Arzel, Memr. Bol. 1899, 135; E. Borel, Le9ons sur les fonctions de variables reelles 37; H. Lebesgue, C. R. 137 (1903), 1229; Le9ons sur les series trigonometriques 10; D. Th. Egoroff, C. R. 152 (1911), 244. 4) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im '9, Sei p der lineare Inhalt /, und fy = 1 in [v, y -- 1], sonst = 0.

Kap. VIII, ~ 2. Folgen meßbarer Funktionen. 557 auf 9, abgesehen von einer Nullmenge, gegen eine endliche Grenzfunktion f konvergiert. Bedeutet 9f(n,q) die Menge aller Punkte von 9, in denen mindestens eine der Ungleichungen gilt: f- f q (v1), so ist für jedes q>01): (0) lim f (SC (n, q))= -0. n-= o0 In der Tat, nach Satz IV ist f p -meßbar, daher auch jede Menge 9I( f-fv>q), daher auch die Menge: (n, q)= 9 ( f- f. t _ q) -- 1 (I f- f+ I_ q) f-... + t(I f-fnf r / I _) -.k.. Da die Mengenfolge {9 (n,q)} monoton abnimmt, und nach Annahme alle (9 (n,q)) endlich sind, gilt (Kap VI, ~ 1, Satz V) für den Durchschnitt: S=~(lq).~(2,q)....(nq).... die Gleichung: (p ()) -= lim f (9t (n, q)). l —oo Da aber in keinem Punkte von Z die Folge {f,} gegen die endliche Funktion f konvergieren kann, muß l (1) 0 sein. Es gilt also (0), und Satz IX ist bewiesen. Eine leichte Folgerung aus Satz IX ist der Satz: Satz X2). Sei 9 von endlichem q9-Maße und {gv} eine Folge auf 9 Up-meßbarer Funktionen. Gibt es ein q>O, so daß: (00) ~(9(Iglf<q))~e für unendlich viele v, so hat die Menge aller Punkte von 9W, in denen die Reihe ug, eigentlich konvergiert, einen g-Inhalt <q. y=l Zum Beweise setzen wit: f, —=-g; f= ---g,. 0S Sei 2' die Menge aller Punkte von?I, in denen g, eigentlich konvergiert, und somit f definiert und endlich ist, und sei 9' (n ) die 1) Es bedeutet;-, wie immer, die Absolutfunktion von 9. 2) H. Lebesgue, a. a. O.

558 Die meßbaren Funktionen. Menge aller Punkte von 91', in denen mindestens eine der Ungleichungen gilt: f f | (, _). Angenommen nun, es wäre: f > (V)> Nach Satz IX ist dann auch: (000) -p (, '))>Q für fast alle n. In den Punkten von 9-' '(n, )\ aber ist: Igl 1 <. f-f+ if-f -f-i<<q für v>n, was wegen (000) in Widerspruch steht zu (00). Damit ist Satz X bewiesen. Sei {f,} eine Folge auf 9f p-meßbarer Funktionen. Sie heißt1) wesentlich-gleichmäßig konvergent gegen f auf 21 (für die Basis 99), wenn es eine Folge {SC} p -meßbarer Teile von 92 gibt, auf deren jedem {f,} gleichmäßig gegen f konvergiert, und für die: lim ( (t - 9f) — 0. Satz XI.2) Sei 29 von endlichem Tp-Maße3) und {ft} eine Folge auf 95f 9-meßbarer Funktionen. Damit {f,} auf 91 gegen f konvergiere, abgesehen von einer Nullmenge, ist notwendig und hinreichend, daß {ft} auf 91 wesentlichgleichmäßig gegen f konvergiere. Die Bedingung ist notwendig. Es konvergiere {f,} gegen f überall auf 9, abgesehen von einer Nullmenge. Wir können, vermöge der Schränkungstransformation, ohne weiteres die f, und f als beschränkt annehmen. Sei {e,} eine Folge positiver Zahlen mit (*) ' lim en= 0, n-=oo und sei: (**), + + +.. + eine eigentlich konvergente Reihe positiver Zahlen. Nach Satz IX 1) Nach H. Weyl, Math. Ann. 67, (1909), 225. 2) D. Th. Egoroff, C. R. 152 (1911), 244. 3) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden, wie das Beispiel von S. 556, Fußn. 4) zeigt.

Kap. VIII, ~ 2. Folgeni meßbarer Funktionen. 559 gibt es einen Teil 3, von 1 und einen Index vy, so daß: (***) (P ('- n) < a,, (***) If - f < e~ auf 9,3 für Yv_ Setzen wir: 9 =i Si. i+i...S + '.., so ist wegen (**): (t - 2i) < a +,a+ +. + ai+ +... und somit wegen der eigentlichen Konvergenz der Reihe (**): (***) lim ( - )- 0. Auf W9, aber ist wegen (***): If, —flK, ffür v >v und nn>i. Bei Beachtung von (*) aber besagt dies: {f,} konvergiert auf 21., gleichmäßig gegen f. Wegen (***) ist also die Behauptung bewiesen. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, für die Konvergenzmenge von {ff} in 9 wäre: Da für jeden q-meßbaren Teil 3 von 52, auf dem {fr} gleichmäßig konvergiert, gewiß: f() < 3) (tX) ist, kann {fy} auf 51 nicht wesentlich-gleichmäßig konvergieren. Damit ist Satz XI bewiesen. Satz XI kann nicht dahin verschärft werden, daß es in 5 einen Teil 3 gibt, auf dem {f,} gleichmäßig konvergiert, und für den: (t) f (S) - f (t) wäre ). Beispiel im ~9: Sei 9 der lineare Inhalt /u, sei 91 das Intervall (0, 1) und: 1 in (,, sonst 0. Dann ist lim f 0 auf 5. Jeder Teil 2 von 1, für den (t) gilt, hat den Punkt O zum Häufungspunkt, so daß auf ihm {f"} nicht gleichmäßig gegen 0 konvergieren kann. Für Funktionenfolgen {fv}, die auf 92 nicht überall, abgesehen von einer Nullmenge, konvergieren, treten an Stelle von Satz XI die folgenden Sätze2): Satz XII. Ist 2f von endlichem tp-Maße und {fr} eine Folge auf f1 rp-meßbarer Funktionen, so gibt es in 52 eine Folge Uq-meßbarer 1) C. Caratheodory, Vorl. über reelle Funktionen, 384. 2) W. H. Young, Quart. Journ. 1913, 129; Lond. Proc. (2) 12 (1913), 363.

560 Die meßbaren Funktionen. Teile { },), so daß in jedem Punkte von fI,, die Folge {fv} gleichmäßig auf W, oszilliert1), und so daß: lim Y'(9- gfn)= 0. In der Tat, es genügt, die Existenz einer Folge { 9I} T-meßbarer Teile von wf nachzuweisen, so daß in jedem Punkte von QIn die Folge {fv oberhalb gleichmäßig auf 9Ln oszilliert, und daß: (tt) lim Y(t- ) = 0. n=00 Denn ganz in derselben Weise zeigt man die Existenz einer Folge {It }, die die analogen Eigenschaften für unterhalb gleichmäßige Oszillation zeigt; und die Durchschnitte ewn = %n ^n erfüllen die Forderungen von Satz XII. Sei nun fv die obere Schrankenfunktion der v-ten Restfolge von {f }, und f die obere Grenzfunktion von {fv}, dann ist überall auf sf (abgesehen von Nullmengen, in denen nicht alle fv definiert sind): f= lim fv. v==oo Nach Satz XI ist die Konvergenz von {fv} gegen f wesentlich gleichmäßig, d. h. es gibt eine (tt) erfüllende Folge {S n}, so daß {f} auf W1 gleichmäßig gegen f konvergiert. Nach Kap. IV, ~ 4, Satz III ist {fv} in jedem Punkte von 91 oberhalb gleichmäßig oszillierend, und Satz XII ist bewiesen. Satz XIII. Ist 92 von endlichem qq-Maße und {fv} eine Folge auf f 99-meßbarer Fu'nktionen, so gibt es in 91 eine Folge p-meßbarer Teile {S3,}, so daß in jedem Punkte von E3 die Folge {fv} sekundär-gleichmäßig auf S3 oszilliert2), und so daß: lim (9f - 93,) = 0. n==o Wie beim Beweise von Satz XII genügt es, sich auf oberhalb sekundärgleichmäßige Oszillation zu beschränken. Sei wieder fv die obere Schrankenfunktion der v-ten Restfolge von {fv} und fv,i der größte unter den 1+1 Funktionswerten f3, f+li,..., fv+l. Dann ist überall auf 91, abgesehen von Nullmengen: f- == lim fv, i. Nach Satz XI gibt es also zu jedem v eine Folge {Sv,3ny} p-meßbarer Teile von 91, auf deren jedem {fv,l} gleichmäßig gegen fv konvergiert, und für die: (x) lim - ([ -,n) = O. __________ n==co 1) Kap. IV, ~ 4, S. 254. 2) Kap. IV, ~ 4. S. 257.

Kap. VIII, ~ 2. Folgen meßbarer Funktionen. 561 Sei nun (xx) >2 v, v,n eine eigentlich konvergente Doppelreihe positivei Zahlen. Wegen (x) kann, indem man nötigenfalls von der Folge 58y,i, Sv3y,, 2 v,... zu einer Teilfolge übergeht, angenommen werden: 9/(S-W -, n) < V,n. Setzen wir dann: en = — 1, 'n 2,"n ' ~v.,n'' *~ so konvergiert auf Sn jede Folge {fv,l} gleichmäßig gegen fv, d. h. in jedem Punkte von St ist {fv} oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend auf En. Ferner ist: - __ 3)<,n. Wegen der eigentlichen Konvergenz der Doppelreihe (xx) ist also: lim ( - n)== 0. Damit aber ist Satz XIII bewiesen. Die Sätze XII und XIII ergeben zusammen: Satz XIV. Ist 5t von endlichem W-Maße und {fv} eine Folge auf 9S q9-meßbarer Funktionen, so! gibt es in 9C eine Folge q-meßbarer Teile {(,}, so daß in jedem Punkte von L, die Folge {fv} sowohl gleichmäßig als auch sekundär-gleichmäßig auf @,~ oszilliert, und so daß: lim Y (9( - )-,) 0. In' der Tat, man hat, wenn SW und E3,, dieselbe Bedeutung haben wie in Satz XII und XIII, nur zu setzen: Wir beweisen nun noch einen Satz über Doppelfolgen: Satz XVY). Sei 9 Vereinigung abzählbar vieler Mengen S9,, (v-==, 2,...) endlichen gq-Maßes, und sei fk,l (k, -= 1, 2,...) eine Doppelfolge auf 1 99-meßbarer Funktionen. Ist dann überall auf 2, abgesehen von einer Nullmenge: (1) f=lim (lim fk, ), k —=O I=/o so gibt es in der Doppelfolge der fk,, eine einfache Teilfolge {&f., }, so daß überall auf 2, abgesehen von einer Nullmenge: f- lim fk, e 1) M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 15. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 36

562 Die meßbaren Funktionen. Beim Beweise können wir ohne weiteres annehmen: (2) -<S+r, und vermöge der Schränkungstransformation können wir die fk,i als beschränkt annehmen. Sei {e,} eine Folge positiver Zahlen mit lim e - 0, und sei (3) ai - z +2 +... + a +.. eine eigentlich konvergente Reihe positiver Zahlen. Wir setzen: (4) fk = lim fk, I. -= oo Wegen (1) gibt es nach Satz XI einen Teil 9 von 2f, auf dem {fk} gleichmäßig gegen f konvergiert, und für den: (5) ( - )< )<. Es gibt also ein kv, so daß: (6) | f- fk < auf '. Wegen (4) gibt es ebenso in 9' einen Teil 9', auf dem {fkz} gleichmäßig gegen fk, konvergiert, und für den: (7) f (y(- 'v)<. Es gibt also ein 1,, so daß: (8) fk- fk, l < E auf "'. Wegen (5) und (7) ist: (9) ( - ) < 2a; Wegen (6) und (8) ist: (10) f-f lkv <2, auf lyf. Wir bilden nun für jedes n v die Menge: 9v, n =9I v/" * *fr * — f - ' n n' +l'...'n+r'... ~ Dann ist, bei Beachtung von (2), wegen (9): 99 (S - wv,n)< 2 (~n + an+1 + i + '+ r + ~) Wegen der eigentlichen Konvergenz von (3) ist also: (11) lirm ( -,n) 0. n=Foe Ferner ist wegen (10): If fki, li<2-, auf 2,n für i ln,

Kap. VIII, ~ 3. Die Basisfunktion als gewöhnliche Maßfunktion. 563 d. h. die Folge {fk.,;.} konvergiert gleichmäßig auf 9/,n gegen f. Wegen (11) konvergiert sie also wesentlich-gleichmäßig auf 9f gegen f. Nach Satz XI konvergiert sie also überall auf St, gegen f, abgesehen von einer Nullmenge. Sie konvergiert daher auch überall auf 9t gegen f, abgesehen von einer Nullmenge, und Satz XV ist bewiesen. ~ 3. Die Basisfunktion als gewöhnliche Maßfunktion. Wir wollen nun insbesondere annehmen, die Absolutfunktion - der dem Begriffe der Meßbarkeit zugrunde gelegten Mengenfunktion p sei eine gewöhnliche Maßfunktion1) (Kap. VI, ~6, S.430). Dann gilt: Satz. Ist c eine gewöhnliche Maßfunktion, so ist jede Bairesche Funktion auf 92 auch 9-meßbar auf 9/. In der Tat, ist f eine Bairesche Funktion auf 9i, so ist (Kap. V, ~ 7, Satz IV) jede Menge 29 (p < f q) eine Borelsche Menge, mithin nach Kap. VI, ~ 6, Satz II M-meßbar, und daher auch 9-meßbar. Nach ~ 1, Satz IV ist daher f p9-meßbar, und Satz I ist bewiesen. Unter geeigneten Voraussetzungen über % und 9p sind andrerseits durch die Baireschen Funktionen nicht alle meßbaren Funktionen erschöpft. Dies gilt insbesondre im 9t, wenn fp der k-dimensionale Inhalt pk ist. Denn: Satz II. Es gibt im 1k CC /,-meßbare Funktionen. In der Tat, es gibt im 9k perfekte Mengen $ des [k -Inhaltes 0 (Kap. VI, ~ 8, Satz VI). Jede Funktion h, die auf einer solchen Menge beliebige Werte annimmt, auf S - $ aber =0 ist, ist?,-meßbar. Da X die Mächtigkeit c hat, gibt es solcher Funktionen cc, und Satz II ist bewiesen, Da andrerseits die Menge aller Baireschen Funktionen im 9l, die Mächtigkeit c hat (Kap. V, ~ 1, Satz I) und cC> c ist, so folgt, wie behauptet: Satz II. Es gibt im 9k Ak-meßbare Funktionen, die nicht Bairesche Funktionen sind. Da jede stetige Funktion eine Bairesche Funktion ist, lehrt Satz I insbesondere, daß jede stetige Funktion 99-meßbar ist. Dies kann noch verallgemeinert werden. 1) Genauer gesprochen: es gebe eine gewöhnliche Maßfunktion yp, derart daß der o-Körper der p-meßbaren Mengen übereinstimmt mit dem o-Körper M, in dem 9p definiert ist, und daß für alle Mengen aus M die Funktionen y% und f übereinstimmen. 36*

564 Die meßbaren Funktionen. Satz IV. Ist t eine gewöhnliche Maßfunktion, so ist jede Funktion f, die stetig ist in allen Punkten von 9f, ausgenommen die Punkte einer Nullmenge, auch -i-meßbar auf f. Sei in der Tat S9 die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f auf 9/. Es ist: x -- (t - w) + Wo Da die Funktion f stetig ist auf 9-1- 9, so ist sie, wie eben bemerkt, auch Up-meßbar auf 91 —S. Auf W9 ist sie gleichfalls p-meßbar, da auf einer Nullmenge jede Funktion p-meßbar ist. Also ist sie nach ~ 1, Satz XII auch (p-meßbar auf 9/, und Satz IV ist bewiesen. Wir können nun auch die Sätze II und III noch verschärfen: Satz V. Es gibt cc Funktionen, die überall im Ö9 stetig sind, abgesehen von einer Nullmenge1). In der Tat, die beim Beweise von Satz II benutzten Funktionen h sind sämtlich stetig im S9, abgesehen von einer Nullmenge. Daraus folgt dann weiter (wie Satz III aus Satz II): Satz VI. Es gibt Funktionen, die überall im 91 stetig sind, abgesehen von einer Nullmenge2), aber keine Baireschen Funktionen sind. Aus Satz XV von ~ 2 folgern wir nun: Satz VII. Sei t eine gewöhnliche Maßfunktion und 92 Vereinigung abzählbar vieler Mengen endlichen 99-Maßes. Dann gibt es zu jeder Baireschen Funktion f auf 91 eine Folge {f} auf 9 stetiger Funktionen, so daß überall auf 92, abgesehen von einer Nullmenge: f= lim f. Wir führen den Beweis durch Induktion. Angenommen, die Behauptung sei richtig für Bairesche Funktionen geringerer als a-ter Klasse. Ist f von a-ter Klasse, so gilt: (0) f- lim fk k= oo wo die f, Bairesche Funktionen geringerer als a-ter Klasse. Nach Annahme ist dann überall auf 91, abgesehen von Nullmengen: (00) f= -= lim f,, I-30 1) Nach der Basis Ik. 2) Nach der Basis uk,.

Kap. VIII, ~ 3. Die Basisfunktion als gewöhnliche Maßfunktion. 565 wo die fk,z stetig, und mithin nach Satz I p-meßbar auf 9/. Aus (0) und (00) folgt: f- lim (lim fk, ), und durch Anwendung von ~ 2, Satz XV folgt die Behauptung von Satz VII. Wir können beträchtlich weiter gehen, wenn wir als Inhaltsfunkti o n voraussetzen (Kap. VI, ~ 7, S. 444). Satz VIII1). Sei f eine Inhaltsfunktion, und sei XW Vereinigung abzählbar vieler Mengen von endlichem q9-Maße. Ist f 9-meßbar auf 9f, so gibt es eine auf 91 zu f äquivalente2) Funktion f* höchstens zweiter Klasse. Vermöge der Schränkungstransformation können wir ohne weiteres f als beschränkt annehmen. Seien u und v untere und obere Schranke von f auf 9: (x) u f~<v. Sei r eine rationale Zahl. Wir betrachten die Menge (f> r). Da &5 eine Inhaltsfunktion, gibt es (Kap. VI, ~ 7, Satz V) einen 9 (f> r) enthaltenden o-Durchschnitt S9, der maßgleiche Hülle von 29(f>r) ist. Indem wir nötigenfalls E9., ersetzend durch den Durchschnitt aller 1, (r~r'), können wir annehmen, es sei: (xx) WC., < 1,." wenn '> r". Da 9,. maßgleiche Hülle von 9(f>r), ist: (XXX) f (r - 9 (f> r))~= 0. Wir wählen nun für r insbesondere die Zahlen -- ( =, +, +2,...) und definieren auf 9I eine Funktion fy durch 3): f,- auf 2i- 9 2v f -x2v 2V Dann ist für jedes q die Menge 9i(f ~ q) eine der Mengen 91 und 2v mithin ein o-Durchschnitt, daher ist (Kap. V, ~ 5, Satz II) fy höchstens eine Funktion g2. Die Funktionenfolge {f,} ist, wenn man (XX) beachtet, monoton abnehmend, also ist (Kap. V, ~ 3, Satz VII) auch 1) G. Vitali, Rend. Lomb. 38 (1905), 599. )-~ 1, S. 550. 8) Da wegen (X) 91r für r > v leer, für r < u aber 91,. = ~ ist, so ist fy auf ganz 91 definiert.

566 Die meßbaren Funktionen. die Funktion (XX) f limf höchstens eine Funktion g2 und mithin auch (Kap. V, ~ 6, Satz I) eine Funktion höchstens zweiter Klasse. Abgesehen von den Mengen 9 i - (f> (i 0 2,.. ist überall auf 9: 2v Abgesehen von der Vereinigung SS aller Mengen,r -9 (f> r) ist also: f* f, und da wegen (XXX): (S)- =0 ist, so ist: -f*f, und Satz VIII ist bewiesen. Wir haben noch darüber hinaus gezeigt, daß f* höchstens eine Funktion g2 ist. Beachten wir noch, daß überall auf 91: fA, f, so folgt aus (Xxx) auch: (xXX) f* f. Sei endlich noch G die obere Schrankenfunktion von f auf 9. Dann ist G oberhalb stetig, und daher höchstens eine Funktion g2. Ersetzen wir überall f* durch den kleineren der beiden Werte f* und G, so ist also die so entstehende Funktion auch höchstens eine Funktion g. (Kap. V, ~ 3, Satz V), und wir können den Satz aussprechen: Satz IX. Von der Funktion f* von Satz VIII kann angenommen werden, sie sei höchstens eine Funktion g2, die der Ungleichung genügt (wo G die obere Schrankenfunktion von f auf 9'): f~f~G_ < 1). Nun können wir Satz VII bedeutend verschärfen: Satz X. Sei f eine Inhaltsfunktion, und sei 91 Vereinigung abzählbar vieler Mengen von endlichem qp-Maße. Dann gibt es zu jeder auf 91 p-meßbaren Funktion f eine 1) Oder höchstens eine Funktion G2, die der Ungleichung genügt: f f*>g, wo g die untere Schrankenfunktion von f auf 91.

Kap. VIII, ~ 3. Die Basisfunktion als gewöhnliche Maßfunktion. 567 Folge {fi} auf 9f stetiger Funktionen, so daß überall auf 9/, abgesehen von einer Nullmenge: (t) f =Z -lim fi. i=-so Sei in der Tat f* eine zu f äquivalente Funktion höchstens zweiter Klasse (Satz VIII). Nach Satz VII gibt es eine Folge auf 9C stetiger Funktionen {fi, so daß überall auf X9, abgesehen von einer Nullmenge: f*- lim f. Da aber f' f*, gilt auch (t) überall auf 91, abgesehen von einer Nullmenge, und Satz X ist bewiesen. Aus Satz X nun folgern wir leicht: Satz XI. Sei 9 eine Inhaltsfunktion, und sei Sf Vereinigung abzählbar vieler Mengen von endlichem 99-Maße. Dann gibt es zu jeder auf 91 qp-meßbaren Funktion') f einen maßgleichen Kern 8 von 91, auf dem f von höchstens erster Klasse ist. In der Tat, nach Satz X gilt (t) überall auf 91, abgesehen von einer Nullmenge, d. h. auf einem maßgleichen Kerne 53 von 21, und da die fi stetig auf 29, und somit auch auf e, ist f von höchstens erster Klasse auf 1, und Satz XI ist bewiesen. Man darf nicht etwa schließen, f sei äquivalent einer Funktion höchstens erster Klasse auf 92); denn die Folge {f/} in (t) wird auf 91-53 im allgemeinen nicht konvergent sein, und daher nicht eine Funktion höchstens erster Klasse auf 2 definieren. Ein Beispiel hierfür erhalten wir in folgender Weise: Wir konstruieren zuerst im Intervalle [a, b] des 1_ eine linear-meßbare Punktmenge (, die ebenso wie ihr Komplement R in keinem Teilintervalle von [a, b] den Inhalt 0 hat. Sei zu dem Zwecke {;~} eine Folge positiver Zahlen <1, für dio das Produkt: (tt) i(1i - n) + o n==l wird. Sei, edine abgeschlossene, nirgends dichte Punktmenge aus [a,b], für die (Kap. VI, ~ 8, Satz X): jm (~(1) = A, (b — a). Für das Komplement ü von (, zu [a, b] gilt dann: _______ Ott (01) = (l-Ä1) (b - ). 1) Ist - nur eine gewöhnliche Maßfunktion, so gilt die Behauptung für alle Baireschen Funktionen auf 1 (vgl. Satz VII). 2) Vgl. C. Burstin, Monatsh. f. Math. 27 (1916), 163.

568 Die meßbaren Funktionen. In jedes punktfreie Intervall (a, b(t)) von (i in (a, b) setzen wir eine abgeschlossene nirgends dichte Punktmenge (c2 für die: g1 i(2) ((t a(t~.)). Für die Vereinigung: ( () + (2) +... (2) +... gilt dann: - () 2= A2 b (b) - ()) - 2 (.i) ( - ) A2 (b - a). v-1 Für die Vereinigung -1 + 2 und ihr Komplement 2 zu [a, b] gilt daher: 8i (- f 2) -= (,2 + (1 - A1) 22) (b - a); t1 (e2) (1 - 2 (1 -,) (b - a) Indem wir in jedes punktfreie Intervall (a(2)),b()) von 1+ (-2 in (a,b) eine abgeschlossene, nirgends dichte Punktmenge ((3) des Inhaltes;3 (b(2> a(2) setzen, die Vereinigung (S3 aller dieser (s) bilden, und weiter so fortfahren, erhalten wir eine Folge von Mengen @(2,,.,..., so daß: rt1 (~1+ — 2 +.. * + n) (= 1+ (1- -1) 22 4- (1 — 1) (1 — 22) iß -+ '~ + (1 - -... (l -,n-_) } (b - a), während für das Komplement Sn von + ~2. +...- * n zu [a, bl gilt: /i (fn) - (1 -- (1 --... (1 - n) (b - a). Wir setzen noch: = -1 + i+ -.+ + —., L = R = 2 R*Sn ^-.; dabei können wir leicht erreichen, daß L( dicht in [a, b] wird. Beachten wir (tt), so erkennen wir unschwer, daß für jedes Teilintervall 3 von [a, b]: ~1 ((E:O 0, Fl (9,t + 0, wie angekündigt. Nun definieren wir eine Funktion f in [a, b] durch: (ttt) f= — auf Zn; f= 1 auf R. Da C und k, y-meßbar, ist auch f lt-meßbar. Da aber jede zu f äquivalente Funktion total-unstetig in [a, b] ist, kann es (Kap. V, ~ 10, Satz II) keine zu f äquivalente Funktion geben, die in [a, b] von höchstens erster Klasse wäre. Satz XII1). Sei ~ eine Inhaltsfunktion, und sei 1 Vereinigung abzählbar vieler Mengen %S/ von endlichem 9pMaße; sei ferner f p-meßbar2) auf 2. Dann gibt es in 9 eine monoton wachsende Folge von Teilen {Un}, deren Vereinigung sich von 9 nur um eine Nullmenge unterscheidet, und auf deren jedem f stetig ist. 1) fI. Borel, C. R. 137 (1903), 966. N. Lusin, C. R. 154 (1912), 1688. (Vorher eine russische Abhandlung, Bull. soc. math. Mosc. 28 (1911), 266ff.). 2) Ist p nur eine gewöhnliche Maßfunktion, so gilt die Behauptung für alle Baireschen Funktionen.

Kap. VIII, ~ 3. Die Basisfunktion als gewöhnliche Maßfunktion. 569 In der Tat, es ist: 8 =,+ -,2 +..., + +..., wobei wir ohne weiteres annehmen können: n C-< 2n + 1 Nach Satz X gibt es eine Folge {(f} auf 9I stetiger Funktionen, so daß überall auf 9t, abgesehen von einer Nullmenge: f= lim fi. i=oD Nach ~ 2, Satz XI ist hierin die Konvergenz wesentlich-gleichmäßig auf 9,. Bezeichnet also (0) ei + 2 -{-...+ En +... eine eigentlich konvergente Reihe positiver Zahlen, so gibt es einen Teil Wn" von 9,, auf dem {f}i gleichmäßig konvergiert, und für den: (00) (- )< e Da die fi stetig sind, so ist dann auch ihre Grenzfunktion f stetig auf 9". Wir setzen noch; - Wn z cn n+1' ---' * * * Wn * * Dann ist f auch stetig auf n, es ist An<9n+ln und endlich ist wegen (00): P7(a)f(An)- 9 e9> f(An) 8 E>9 d.h.: v=9n Wegen der eigentlichen Konvergenz der Reihe (0) folgt daraus, wenn: ~n = (~n -- n)' (n+-X-t l) *... *. (n+,- n4,).. gesetzt wird: (000) f (,,) 0. Setzen wir noch: s 1i a *=W 1 ~ - + *-...d- *+An +...., so ist aber offenbar: gf- c= c+Z^n+-n

570 Die meßbaren Funktionen. und mithin ist wegen (000): ( - *) == o. Damit ist Satz XII bewiesen'). ~ 4. Asymptotische Konvergenz. Sei 9 eine Menge endlichen p-Maßes und {f4} eine Folge auf 9 n-meßbarer Funktionen, die überall auf 91, abgesehen von einer Nullmenge, gegen eine endliche Grenzfunktion f konvergiert. Nach ~ 2, Satz IX ist dann für jedes q 0: (*) lim (/([| f-l- ~, _| q)) 0. Ist nun 3 eine Menge endlichen 99-Maßes, oder Vereinigung abzählbar vieler Mengen endlichen Öp-Maßes, so definieren wir allgemein: Sei {f,} eine Folge auf der Menge B3 q-meßbarer Funktionen, und sei f äquivalent einer auf S3 endlichen, pU-meßbaren Funktion; gilt dann für jeden Teil 9 von 3, der endliches p-Maß hat, und für jedes q > 0 Gleichung (*), so heißt die Folge {f,} eigentlich asymptotisch konvergent auf S3 gegen f. Allgemein heißt {f1} asymptotisch konvergent gegen f, wenn die durch Anwendung der Schränkungstransformation aus {f,} hervorgehende Folge eigentlich asymptotisch gegen die durch die Schränkungstransformation aus f hervorgehende Funktion konvergiert2). Aus ~ 2, Satz IX entnehmen wir: Satz I. Konvergiert die Folge {f,} auf 93 99-meßbarer Funktionen überall auf 3, abgesehen von einer Nullmenge, gegen f, so konvergiert sie auch asymptotisch auf 93 gegen f. Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Beispiel: Sei 93 das Intervall [0, 1] des ~9i und g der lineare Inhalt,. Für =, 2i+ v' (v'- 0,,..., 2i - 1) sei: f, = in, 2i, sonst f== 0. 1) Satz XII kann nicht etwa dahin erweitert werden, daß f stetig ist auf einem maßgleichen Kerne von 1. Dies zeigt die in (ttt), S. 568 angegebene Funktion f, die total-unstetig ist auf jedem maßgleichen Kerne von [a, b]. 2) Der Begriff der asymptotischen Konvergenz wurde eingeführt von Fr. Riesz (C. R. 148 (1909), 1303) unter der Bezeichnung,convergence en mesure". Der Name,asymptotische Konvergenz" schließt sich an E. Borel, Journ. de math. (6) 8 (1912), 192.

Kap. VIII, ~ 4. Asymptotische Konvergenz. 571 Für jedes positive q< 1 ist dann: i( (( flf Zq))=-1 für Y =2i, 2i +.., 2i+l- 1 die Folge {fy} ist also asymptotisch konvergent gegen 0 im Intervalle [0, 1]. Trotzdem ist sie in keinem Punkte von [0, 1] konvergent. Aus der Definition der asymptotischen Konvergenz folgt unmittelbar: Satz II. Konvergiert {f~} asymptotisch auf 3 gegen f, so auch gegen jede mit f äquivalente Funktion f*. Es gilt auch umgekehrt: Satz 1II. Konvergiert {f,} asymptotisch auf 23 sowohl gegen f als auch gegen f*, so sind f und f* äquivalent. Vermöge der Schränkungstransformation können wir uns auf den Fall der eigentlichen asymptotischen Konvergenz beschränken. Angenommen nun, es wäre nicht f~ f*; setzen wir kurz: -3 3(f+ f*), so ist dann:.f (O')> 0. Da e' die Vereinigung der abzählbar vielen Mengen (**) n= (1f r fn>1) ist also auch ( ***) 9 (Qn) >0 für fast alle n. Nach Voraussetzung ist 93 Vereinigung abzählbar vieler Mengen 8n endlichen 9-Maßes: und mithin auch: e-i __ +! Sn e * * m! o * Also gibt es wegen (***) ein m und ein n, so daß: (***) (m ) > 0 Wegen: If- f* f - fllf + 1 f* folgt, wenn man die Bedeutung (**) von E3 beachtet: in jedem Punkte von 93' gilt mindestens eine der beiden Ungleichungen: If-fl> f —2 f f*>,

572 Die meßbaren Funktionen. d. h. es ist (für jedes v): 7_ Wegen (***) können also die beiden Beziehungen: lim m(I -fl )) 0; lim i e (If,(| ]-f*2l -)) - 0 nicht gleichzeitig bestehen; d. h. (da m3 von endlichem p9-Maße ist): Es konvergiert {f,} nicht asymptotisch gegen die beiden Funktionen f und f*, entgegen der Voraussetzung. Damit ist Satz III bewiesen. Satz IV. Ist X9 von endlichem qp-Maße, und ist {f}, eine Folge endlicher Funktionen, die asymptotisch auf 91 gegen eine endliche Funktion f konvergiert, so gibt es zu jedem e > 0 und q> 0 ein v., so daß: (0) (9(für | -fv q))<e fr >YOv'vO. In der Tat, wegen: I f- tfl_[ r,- f-f+lf f- fl ist: (00) f(If(-f_ ] )-<o(if- | | )+([f- 2)| Wegen der asymptotischen Konvergenz von {f"} gegen f gibt es ein Yo, so daß: (00(0) (ltf~-fl 2|))<^ für v~vO; ( (lfI'- f|2|))<2 für v'v. Aus (00) und (000) aber folgt (0), und Satz IV ist bewiesen. Um auch die Umkehrung von Satz IV beweisen zu können, bedürfen wir des folgenden Hilfsatzesl): Satz V. Ist {f,} eine Folge auf 9f p-meßbarer und endlicher Funktionen, und gibt es zu jedem e>0 und q>0 ein vo, so daß: (9(] fv-f:', | q)) <E für v O, v'>v, so gibt es in {fV} eine Teilfolge {fi.}, die auf 91 wesentlichgleichmäßig konvergiert. F) Fr. Riesz, a. a.O.; s. auch H. Weyl, Math. Ann. 67 (1909), 243.

Kap. VIII, ~ 4. Asymptotische Konvergenz. 573 Wir geben uns zum Beweise zwei eigentlich konvergente Reihen aus positiven Zahlen vor: (t) ql + 2- + '''+ i +" - q i ' ' "; e + - '' + ei -" ' und setzen: 9i, v, =.( i f1 - f ~_> q,). Nach Voraussetzung gibt es dann ein vi, so daß: (tt) (fi,,,, ) < ei für v _ i, v'> i;.dabei können wir immer annehmen: Vi+l > Vi. Setzen wir: -i i,, vi irl L ~i+l, ' i+l,i+ v + + * i *+ i+e, Vi+e, 'i+e+l+... so ist wegen (tt): (Wi) < + + * * * + Ei+e+..., und somit wegen der eigentlichen Konvergenz der zweiten Reihe (t): (ttt) lim (9I) - 0. In jedem Punkte von 9f -Wi gelten die sämtlichen Ungleichungen: I fvi-fi+l I < qi; \ fvin - fYi+2 1 < qi+1 ) * F F I fvfe - fti+e+ j < 4i+ > und somit, wenn j i, wegen: f3fe i- < ffj - fj + I f+ l -1f2 + *-. 2 + fvj+e fvl+el) auch die Ungleichung: I, fvvj+,e <qj + qj+ + q.+ +e +- Wegen der eigentlichen Konvergenz der ersten Reihe (t) folgt daraus: Zu jedem 0>O gibt es ein jo, so daß auf ganz 9f- i: Ifv- fvjfj+e< für j jJ und e ==1,2,... Das aber heißt: Die Folge {fj} ist eigentlich gleichmäßig konvergent auf 9- i. Wegen (ttt) ist sie also wesentlich-gleichmäßig konvergent auf 91, und Satz V ist bewiesen. Nunmehr sind wir in der Lage, die Umkehrung von Satz IV zu beweisen: Satz VI. Unter den Voraussetzungen von Satz V gibt es eine endliche auf 9 99-meßbare Funktion f, gegen die {f,} asymptotisch auf 9 konvergiert.

574 Die meßbaren Funktionen. In der Tat, behalten wir dieselben Bezeichnungsweisen bei, wie beim Beweise von Satz V. Da die Folge {(f} auf jeder Menge 9- -W eigentlich konvergiert, besitzt sie überall auf 92, abgesehen vom Durchschnitte einen endlichen Grenzwert: f= lim fu. J=-o Bemerken wir gleich, daß wegen (ttt): f ())=0. Setzen wir noch für f auf S beliebige endliche Werte fest, so ist nun f auf ganz Q( als endliche 99-meßbare Funktion definiert. Seien nun p> 0 und r > 0 beliebig gegeben. Wegen (ttt) gibt es ein i, so daß: (x) W(< 2 und weil {fY} auf 9f - -i gleichmäßig gegen f konvergiert, ist auf 9-2: (xx) f- f l < P für fast alle j. Nach Voraussetzung gibt es ein r, so daß: ((l - f -|,2))<2 für v>v, v' vo. Wir wählen in (Xx) ein vj o, und haben dann: (<X) ( (l/-f, jl|>-))< für vvo. Wegen: f-f l f -fjl + f -f ist nun: W(Ifv-fliP)- (lf-t-fVj )+l(1V-f |)+ und wegen (XX) daher weiter: t(l ft-fl >p)X^(l ft f. I _ p)+i. Wegen (X) und (XXX) haben wir daher: 9(9(\2f f-f lp))<~ für v vo, d. h. {fv} konvergiert asymptotisch gegen f. Damit ist Satz VI bewiesen.

Kap. VIII, ~ 5. Nicht-meßbare Punktmengen. 575 ~ 5. Nicht-meßbare Punktmengen. Wir erinnern an die den Untersuchungen dieses Kapitels zugrunde liegende Terminologie. Es war 9R ein metrischer Raum und 9p eine im o-Körper M aus 9 absolut-additive Mengenfunktion. Die Mengen aus M hießen n-meßbar. Sei 91 eine Menge aus M. Jeder nicht 9 -meßbare (d. h. nicht zu M gehörige) Teil W von % liefert sofort ein Beispiel einer nicht p- meßbaren Funktion f: f= 1 auf 9; f=-O auf 9/- W. Umgekehrt liefert jede auf einer Menge 29 aus M definierte, nicht 99-meßbare Funktion f sofort eine nicht 9-meßbare Menge: in der Tat, für mindestens ein p ist die Menge 9 (f>p.) nicht 99-meßbar. Sei insbesondere 99 eine Maßfunktion (Kap. VI, ~ 5, S. 424). Der o-Körper der 99-meßbaren Mengen besteht dann aus allen jenen Mengen 9) aus 91, für die zusammen mit jeder beliebigen Menge 91 die Gleichung (0) S. 424 gilt. In jedem einzelnen Falle entsteht die Frage, ob es Mengen gibt, die nicht 99-meßbar sind. Wir werden zeigen, daß es im k-dimensionalen euklidischen 9k Mengen gibt, die nicht tu,-meßbar (k-dimensional-meßbar) sind, und mithin auch Funktionen, die nicht k-dimensional-meßbar sind. Wir führen den Beweis zuerst im 9tl ). Sei a eine irrationale Zahl aus (0, 1). Zu jedem Punkte x aus [0, 1) bilden wir die Menge 91(x) aller nach [0, 1) fallenden Punkte der Form (*) J m a + n (m, n, + 1, + 2,...). Offenbar kann ein Punkt von 9) (x) nur auf eine einzige Weise in der Form (*) dargestellt werden; denn gäbe es zwei verschiedene solche Darstellungen: x+n a + n =x +m'. - n', so würde daraus ein rationaler Wert für a folgen. Zwei Mengen )Z(x), die einen Punkt gemein haben, sind identisch. In jeder Menge SI (x) denken wir uns einen Punkt ausgezeichnet 2) 1) Vgl. H. Lebesgue, Bull. soc. math. 35 (1907), 210; F. Hausdorff, Grundz. der Mengenlehre, 401. Das erste Beispiel einer nicht linear-meßbaren Punktmenge rührt her von G. Vitali, Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, Bologna 1905; ein anderes Beispiel von E. B. Van Vleck, Am. Trans. 9 (1908), 237. 2) Sind zwei Mengen 9) (x) identisch, so ist in beiden derselbe Punkt auszuzeichnen.

576 Die meßbaren Funktionen. Sei x' der ausgezeichnete Punkt von 9)((x). Dann ist nach Definition von RS (x): x'==x + f(x) - + g (x), wo f(x) und g(x) in [0, 1) eindeutig definierte Funktionen sind, die nur ganzzahlige Werte annehmen. Wir bezeichnen mit 9)m die Menge aller Punkte von [0, 1), in denen f(x) m, und behaupten: Die Menge 93m ist nicht linear-meßbar. Wir zeigen zunächst: Wäre )J,, linear-meßbar, so wäre auch l)m — linear-meßbar, und es wäre: (**) mU (sm)-=u (U-M1)' Wir nehmen also an, 9)m sei linear-meßbar und bezeichnen mit )m und 9)" den nach [0, 1 - ) bzw. nach [1 - a, 1) fallenden Teil von 9.lm, mit 9)-1 und 9-1 den nach [ac, 1) bzw. nach [0, a) fallenden Teil von 91m-l' Dann ist: (** ) Ä) = 9,, +; J1_-i m — + Yt'-in Wir behaupten: durch die Parallelverschiebung x + cx - geht 9,,' in 9'm-), über, durch die Parallelverschiebung x + =x - 1 geht 9)m1 in 93-1i über. Es wird genügen, die erste dieser beiden Behauptungen zu beweisen. Sei x ein Punkt von 9lm'. Die Mengen 9 (x) und 9 (x + c) sind offenbar identisch, daher auch ihre ausgezeichneten Elemente, d. h. es ist: x +- m.a g (x)= + -x + f(x + ) c.a + g (x + a), woraus durch Vergleichung der Koeffizienten von a folgt: f(x + cc) - - m. Es gehört also x+ a zu '-i, d.h. durch x=-+c- wird jeder Punkt von s)t' in einen Punkt von 9)'-1 übergeführt. Sei nun x irgendein Punkt von 94'-i. Die Mengen S9 (X) und 9 (x — a) sind identisch; die Gleichheit ihrer ausgezeichneten Elemente ergibt: x -+ (m - ) a 4 g (x) = — x - a + f(x -- a). a + g ( -- a), mithin: f( — a)=m, es gehört also 5- a zu 9)', d. h. durch die zu x-=x a inverse Transformation wird jeder Punkt von 9' -1 in einen Punkt von 'm übergeführt. Damit ist aber gezeigt, daß die Parallelverschiebung x- + -a die Menge )' in 'J-1i überführt, wie behauptet. Daraus nun folgt: /t = Zn 1),

Kap. VIII, ~ 5. Nicht-meßbare Punktmengen. 577 und ebenso: und somit folgt aus (***) die behauptete Gleichheit (**). Und daraus folgt weiter: Ist eine Menge 9,,~ linear-meßbar, so gilt dies für alle (m==0, —1, +2,...), und es hat q(9tm,) für alle m denselben Wert. Das aber ist unmöglich; denn wegen +00 (***) [o,1)- S 1L~ müßte dann: +oo mgu = - co sein, was nicht sein kann, wenn alle t,! (9,,,) denselben Wert haben. Die Annahme, m,, sei linear-meßbar, führt also auf einen Widerspruch, und wir sehen: Satz I. Es gibt im 9i, Punktmengen, die nicht linearmeßbar sind. Wir können diese Aussage noch ein wenig präzisieren. Ganz ebenso, wie oben (**) bewiesen wurde, zeigt man') für die inneren Inhalte:..i( ()x,~) = #, (Sm,,-_ ). Es haben also alle p, (VtY) denselben Wert, und da wegen (***) nach Kap. VI, ~ 6, Satz III: * (- - n) O n == -co ist, ist notwendig: i*, () = 0. Setzen wir noch: [~ (,n) -=, und verwandeln wir das Intervall [0, 1], in dem 9YR,, lag, durch Ähnlichkeitstransformation in irgendein Intervall der Länge 1, so sehen wir: Satz II. Es gibt ein q>0 (und ~1), so daß in jedem Intervalle des tfl von der Länge 1 eine Menge 2[ liegt, für die:, (A)= o, X (= ) = q'. Wir können dies Resultat sofort verallgemeinern: Satz III. Es gibt ein pO>0 (und ^1), so daß in jeder linearmeßbaren beschränkten Menge g des i, ein Teil S liegt, für den:, (02)= O, 0P (~) '=. (S). - In der Tat, zur meßbaren Menge SO- gibt es (Kap. VI, ~ 8, Satz V), wenn e > 0 beliebig gegehen, eine beschränkte, offene, s1D enthaltende Menge Z, für die: (t) (0) < + (). 1) Unter Berufung auf Kap. VI, ~ 6, Satz XIX. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 37

578 Die meßbaren Funktionen. Als beschränkte offene Menge des 91 ist 0 Summe abzählbar vieler Intervalle (av, bv) (Kap. I, ~ 7, Satz IX). In (av, bv) gibt es nach Satz II eine Menge 2l, für die: i* (t) = 0; 1 (2) = q (b - a). Setzen wir: S= + S +. 2 -.t, +..., so ist nach Kap. VI, ~ 6, Satz XIX: (tt), (2) ==0; = J (2t) -= q (b -a~) = q ) (D). Da St1 meßbar, ist: WM (i) = (t 1) + 1, (t2 () -- ( )). Wegen (t) ist hierin: 1 (Sh (i - h))< ~, also wegen (tt) (ttt) m1 (t r) > i-) (W- - q () - > q ()- - Ist nun p irgendeine positive Zahl < q, so kann hierin das beliebige s so klein gewählt werden, daß: q l (E)-~ > p 1 (Em), und wir haben aus (ttt): 1 (E. *m) > P m (S)Bezeichnen wir nun mit 3x den ins Intervall [- x, x] fallenden Teil von 91. 9)1, so ist u, (ex) eine stetige Funktion von x, die von 0 bis i1 (- rt) wächst, wenn x von 0 bis + oo wächst. Es gibt also einen Wert x von x, für den: fL (Fx) v=p. (9)). Wegen der ersten Gleichung (tt) aber ist: Fi* (5o) = 0, womit Satz III bewiesen ist. Satz IV. In jeder linear-meßbaren Menge 9)1 des 9i1 gibt es zu einander komplementäre Teile 9 und 9S- 9, so daß: 1 (W)= o;.,*(mX- )= O. Wir führen den Beweis zunächst für beschränktes S9). Es gibt nach Satz III einen Teil 1y von m, so daß:,1* () = 0; (e) =-P' (9)-). Sei 9)1 ein meßbarer Teil von 91, der maßgleiche Hülle von QS ist. Dann ist: (0),h (9 - 91) == i (E) - t ( (1) =( -P) (). Nach Satz III gibt es in m -,91 einen Teil 238, so daß: (00),1* (2) = 0;, p (2-) =.)ip (9) - 1)) =p (1 -) 1 (D9). Sei 92 ein meßbarer Teil von 91- 91, der maßgleiche Hülle von Js, ist. Dann ist wegen (0) und (00): 1 (9) - 9 - 9)2) = 1 (9) - 9) - 1 (5) = (I p)2 1 ()). * Nach Satz III gibt es in 9J -- 1 - 1m einen Teil a, so daß: 1* (m3) -=; Y1 (m3) = P U (9m1- 9 )1 - t12p =p (1 — p)2 ()).

Kap. VIII, ~ 5. Nicht-meßbare Punktmengen. 579 Indem wir so weiter schließen, finden wir eine Folge {P}y von Teilen von TI, so daß: (000),",* (3)= 0; 1 (er)=p ( — p)v'- 1q (9-), und zu jedem 5v einen S&p enthaltenden meßbaren Teil 9,, von 9)3, wobei je zwei T9y fremd. Setzen wir: = ei+ +... +,+,+-.. so folgt aus (000) nach Kap. VI, ~ 6, Satz XIX:, () 0; 1 (~)= PZ (1 - p)-.U (~) =,~ (). Nach Kap. VI, ~ 6, Satz IV ist also auch 1, (9 -- 9) =- (o) -,- (=) = 0, und Satz IV ist für beschränkte 93 bewiesen. Eine nicht,beschränkte meßbare Menge 3? des 9i ist Vereinigung abzählbar vieler beschränkter, zu je zweien fremder meßbarer Mengen 9S,: =sJ ++ +...+. V +... Nach dem eben Bewiesenen gibt es in DEv einen Teil "^, so daß: rLi* (2d) = 0; 1, (ltv- -X)= 0. Setzen wir: - ti+ +...+2+. +..., so wird: - - = (-, - ) + ( 2- ) +,+ (,l - ) )+. und somit nach Kap. VI, ~ 6, Satz XIX:,1 (~) = o; l*, (m9t - )1)= -O Damit ist Satz IV vollständig bewiesen. Wir beweisen nun den analogen Satz für den 9k: Satz V. In jeder k-dimens.ional-meßbaren Menge 9I des 9Sk gibt es zu einander komplementäre Teile 2f und 93-2-, so daß:' (X) k* (t)= o; k* (E- Ö)= o. Es genügt, dies für 3I == k nachzuweisen; denn ist: (X X) Yk* () = O; y* (Ak - ) = 0, so folgt für jede Menge 9? des 9?1: k* ( - 93) - 0; uk* (9 3- 9 t)= 0, so daß die Menge 9.- 2t das Verlangte leistet. Sei nun (x, x2,..., xk) ein Punkt des 9k, x1 seine Projektion in den Ni. Nach Satz IV gibt es im E9 eine Menge Al, so daß: (X Xx),1* (21) = 0; n, (s — 2)10) =0. Sei 92 die Menge aller Punkte des 9k, deren Projektion in den 9l zu Vf gehört. Wir behaupten: für 92 gelten die Gleichungen (xx). Angenommen in der Tat, es wäre Xk, (9) > 0, so gäbe es (Kap. VI, ~ 7, Satz IV) in 9f einen maßgleichen Kern, der a-Ver37*

580 Die meßbaren Funktionen. einigung ist, und mithin auch einen abgeschlossenen Teil Z, für den (XXX) k (3) > 0. Die Projektion I31 von 53 in den 91 ist dann gleichfalls abgeschlossen, und wegen der ersten Gleichung (xxx) muß: (xXX) Fh1 (1) = sein. Das aber steht im Widerspruche mit (xxx). Denn aus (xx>) folgt ohne weiteres für die Menge ( aller Punkte des FR, deren Projektion in den i, zu 81 gehört1): ti (s) = O, und mithin wegen -3 < ( auch:,t-k (~8) = O. Damit ist die erste Gleichung (xx) bewiesen, und ebenso beweist man die zweite. In Satz V ist die Aussage enthalten: Satz VI. In jeder Menge S3 des 9k, für die tyk (91) > 0 ist, gibt es Teile, die nicht k-dimensional-meßbar sind. Dies ist trivial, wenn S9 nicht k-dimensional -meßbar ist. Sei also D k-dimensional-meßbar, und sei 9 ein Teil von Hä, für den (x) gilt. Nach Kap. VI, ~ 6, Satz IV ist: ik (9J - t) = ~, (9m) - i* (t) - /,, (9i:) > o. Es ist also, bei Beachtung von (x): /~,k (9 - ) > 0;,7c (9 - ) =- 0, d. h. 9S - ist nicht kc-dimensional-meßbar. Damit ist Satz VI bewiesen. 1) In der Tat, nach Kap. VI, ~ 8, Satz V gibt es zu jedem > 0 im:91 eine offene Menge Z, > l, so daß:, (,1) < E. Sei 0 die offene Menge des 91k, deren Projektion in den TN die Menge ~D ist, und sei )(") der Durchschnitt von ~) mit dem Intervalle (- n, - n,..., -; n, n,..., n) des 9k., und U(") der Durchschnitt von (E mit diesemn Intervalle. Dann ist: LCk (D(Q)) < (2 ~Niß- tE, und wegen (V^ < (1~) auch: ih (0(73) < (2 n)k'-1, u Da dies für jedes s> 0 gilt, ist:,.~. (({")) = O, und wegen ist auch:,;e (p) = 0, wie behauptet.

Kap. VIII, ~ 6. Nicht-meßbare Funktionen. 581 ~ 6. Nicht-meßbare Funktionen. Zu einem bemerkenswerten Beispiel1) einer nicht linear-meßbaren Funktion f(x) führt die Theorie der Funktionalgleichung: (0) f (x' + x")= f (x') + f (x") Wir wollen als eine Basismnenge des 9c jede Menge S reeller Zahlen bezeichnen von folgender Eigenschaft: Jede reelle Zahl x + 0 kann durch endlich viele Zahlen b1, b2,..., ba aus 3 in der Form dargestellt werden: (00) = - rv b,, 1 = 1 wo die r, rationale Zahlen bedeuten, und es gibt nur eine solche Darstellung, in der alle r v + 0 sind. Wir zeigen zunächst2): Satz 1. Es gibt Basismengen des 9. Nach Einleitung ~ 4, Satz XXa gibt es zwischen den Elementen des 9i, eine Ordnungsbeziehung, vermöge deren der ]i eine wohlgeordnete Menge wird. Wir lassen aus ihr die 0 weg, und bezeichnen sie sodann mit -3. Wir definieren nun die gesuchte Basismenge B3 des 9S1 durch Induktion: 1. Das erste Element von U3 gehöre zu b. 2. Sei für alle dem Elemente x in MS vorangehenden Elemente bekannt, ob sie zu l3 gehören oder nicht. Dann gehört das Element x nicht zu l oder zu e, je nachdem es unter den zu S gehörigen Elementen des Abschnittes von x in E3 endlich viele gibt, durch die x in der Form (00) ausdrückbar ist, oder nicht. Durch diese Definition ist ein Teil y3 von t1 definiert. Wir wollen zeigen, daß 3 eine Basismenge des 8l, ist. In der Tat, daß jedes x = 0 durch endlich viele b7 aus $3 in der Form (00) darstellbar ist, folgt unmittelbar aus der Definition von B3. Es bleibt nur zu zeigen, daß es nur eine solche Darstellung gibt, in der alle rv += 0 sind. Angenommen, es gäbe deren zwei verschiedene nf (o0) S = E },b'";; x = O b"'" Sei bi, b2,..., bh die Vereinigung von bl,..., b' und b'..., b.. ". Dann kann (~o0) auch geschrieben werden: n nX (o0o) X = ' = 2 s b, -= 1 Y_1 wo nun einige s', s' auch =0 sein können. Aus (o00) folgt: n (000) (s' s) = 0, wo wegen der Verschiedenheit der beiden Darstellungen (~00) nicht alle sy-s'= — O sind. Sei b unter den b, deren Koeffizient s -s += 0 ist, dasjenige, das in 8 zuletzt steht. Dann wäre durch (000) eine lineare Darstellung 1) H. Lebesgue, Atti Torino, 42 (1907), 537. G2) G. Hamel, Math. Ann. 60 (1905), 460.

582 Die meßbaren Funktionen. von b durch endlich viele dem b in S vorangehende Elemente von iS vermöge rationaler Koeffizienten gegeben, entgegen der Definition von b. Also können die Darstellungen (o~0) von x nicht beide bestehen, und Satz I ist bewiesen. Wir können nun leicht die allgemeinste Lösung der Funktionalgleichung (0) angeben ): Satz II.2) Ist S8 eine Basismenge des Sl, und ist (00) die Darstellung der reellen Zahl x durch die Zahlen von S, so ist die allgemeinste Lösung der Funktionalgleichung (0) gegeben durch: n (*) f () — = ~ r f (b(), v —l wo f(b) eine willkürliche Funktion auf ID bedeutet. In der Tat, aus (0) folgt unmittelbar, wenn n und n natürliche Zahlen sind: f(mx) = f(x); f X f=f(), daher, wenn die r, rationale Zahlen sind: f (r1 b1 + rb b... - r^bn) = %v f (b); v=1i also muß jede Lösung von (0) die Gestalt (*) haben. Seien sodann n n" x'=->Zb'; x:" =4'"> 0-(r+o0, -+o0) v=l v=l die Darstellungen von x' und x" durch die Zahlen von S3. Ist b,..., b,b die Vereinigung der b' und b', so kann man statt dessen auch schreiben: <(">**) XtI; -n n **'r= ~ st b."; x" sb b, v=i v=l wo nun möglicherweise einige s' und s" gleich 0 sind. Dann ist: (***) S,' - 'i, (-x + sj ) b, Y=i Vermöge (*) folgt aus (**) und (***): n X f (X') = f (b); f ) f (b); y=l v=l f (x' + "). 2 (s' + S" ) f (, ). Vo=l Es genügt also die Funktion (*) der Funktionalgleichung (0), und Satz II ist bewiesen. Wir folgern sofort aus Satz II: 1) Ihre allgemeinste stetige Lösung ist bekanntlich f(x)= cx, wo c eine beliebige Konstante. 2) G. Hamel, a. a. 0.

Kap. VIII, ~ 6. Nicht-meßbare Funktionen. 583 Satz III. Es gibt unstetige Lösungen der Funktionalgleiohung (0) ). In der Tat, auf S reduziert sich die Funktion (*) auf f(b), und da f(b) auf g willkürlich war, haben wir nur zu zeigen, daß es auf B unstetige Funktionen gibt, d. h. daß es einen zu 23 gehörigen Häufungspunkt von SB gibt. Nun ist aber B nicht abzählbar (denn wäre B abzählbar, so gäbe es auch nur abzählbar viele in der Form (00) darstellbare Zahlen, während jede Zahl so darstellbar ist), also gibt es nach Kap. I, ~ 7, Satz XIV einen zu 5B gehörigen Häufungspunkt von 5B, und Satz III ist bewiesen. Satz IV. Eine unstetige Lösung von (0) ist nicht linear-meßbar. Sei in der Tat f(x) eine unstetige Lösung von (0). Für rationales x ist, wie aus (0) folgt: f(x)=f(l).x. Daher ist f(x) —f(1) x eine unstetige Lösung von (0), die für alle rationalen x den Wert 0 hat. Und da f(x) und f(x) -f(1) x gleichzeitig linear-meßbar sind oder nicht, können wir von vornherein annehmen, es sei: (t) f(x), 0 für rationales x. Wir nehmen an, f(x) sei meßbar, und zeigen, daß dies auf einen Widerspruoh führt. Seien t, S, ( die Mengen aller Punkte des 91, in denen f>, f<0, f= 0, und seien 1b, Sb, ba die Durchschnitte von 2, SB, X mit [a, b]. Alle diese Mengen sind nach Annahme meßbat. Keine der Mengen 91, eS, ( ist leer: denn ( enthält alle rationalen x; t-4-+S ist nicht leer, weil f unstetig und mithin nicht == 0 für alle x ist, und da, wie (0) zeigt, durch die Transformation 5 -=-x Z2 in S übergeht, kann weder S2 noch S leer sein. - Endlich ist jede der Mengen?9, S, (E dicht im 9,; denn ( enthält alle rationalen x, und es wird, wenn r irgendeine rationale Zahl bedeutet, durch x= x + r sowohl 1 als 53 in sich übergeführt, da wegen (0) und (t): f (x - r)= f(x)+ f (r) f (x). Wir zeigen nun: für jedes Intervall [a, b] ist: (tt) 1 (c ) = (5 ). Da [a, b] Vereinigung einer monoton wachsenden Folge von Intervallen [av, bv] mit rationalen Endpunkten ist, genügt es, (tt) unter der Annahme zu beweisen, a und b seien rational. Dann ist wegen (t): r ( - b) _0 und somit wegen (0): f ri +x-b)-f(a ') a+b Durch die Transformation = — (a + b) - x wird also. 2 in 5 3 und %b a+b 2 a in Ba2 übergeführt, woraus (tt) unmittelbar folgt. ~) Mit unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung (0) beschäftigte sich zuerst R. Volpi, Giorn. di mat. 35 (1897), 104. Vgl. auch E. Noether, Math. Ann. 77 (1915), 542.

584 Die meßbaren Funktionen. Sodann zeigen wir: für jedes Intervall [a,b] ist: (ttrt). (j) >i, ((a). In der Tat, ist > 0 beliebig gegeben, so gibt es ein Teilintervall [a', '] von (a, b), so daß: Da 91 dicht im 9S, gibt es ein zu 91 gehöriges h, so daß auch noch [a'-+h, b'+h] Teil von (a,b) ist. Wie aus (0) folgt, geht durch sc-+h jeder Punkt von (i über in einen Punkt von 91, also (b in einen Teil von b. Es ist also: 1 (Ws) 2 p1 ( b') > ju (J) - X und da hierin e > 0 beliebig war, ist (ttt) bewiesen. Nun sehen wir: es ist (ttt), (aOtb) - l (oi) > 0. In der Tat, wäre, (>)- ) 1 (eb) 0, so wäre wegen (ttt) auch: 1 (b) = 0, was unmöglich ist, wegen: [öd b] J Wb + N3b +,b Aus (tt) folgt, da jede offene Menge 0 Vereinigung abzählbar vieler zu je zweien fremder Intervalle ist, daß für jede offene Menge 0: H1 (1'.) == p (. ). Daher, ist auch fir jeden o-Durchschnitt S: (ttt) m ( -') = 1 (e.')) Sei nun ) ein o-Durchschnitt, der maßgleiche Hülle von 9^b ist. Dann ist wegen (ttt):,,il (W1) > 0, und da ZS < )- _ b, wäre: P (OI )= =0, im Widerspruch mit (ait). Also kann f nicht meßbar sein, und Satz IV ist bewiesen. Wir wollen uns noch überzeugen, daß in Satz VII von ~ 2 die Voraussetzung, g (x1, x2,..., x) sei eine Bairesche Funktion, nicht ersetzt werden kann durch die allgemeinere, g sei k-dimensional-meßbar. Wir gehen dabei aus von der Bemerkung: Satz V. Es gibt stetige Funktionen F(x), die im Intervalle [0, l] des Si stets wachsen, und derart, daß eine Menge 9 aus [0, 1] des linearen Inhaltes 0 durch y=- F(x) abgebildet wird auf eine Menge 9P von positivem linearen Inhalt. Sei in der Tat W eine perfekte Menge aus (0, 1), für die: [U1 (9) = 0.

Kap. VIII, ~ 6. Nicht-meßbare Funktionen. 585 Nach Kap. VII, ~ 12, Satz V gibt es eine in [0, 1] monoton wachsende, zu 9 gehörige streckenweise konstante (aber nicht durchweg konstante) Funktion g(). Wir bilden F(x)g==(x) +x. Indem wir nötigenfalls F (x) ersetzen durch a F(x) - b, können wir annehmen: F(0)=0; F(1)=1. Sei ) die durch y = F (x) aus W hervorgehende Menge, und sei D eine 9X enthaltende offene Menge aus (0, 1). Als offene Menge des NR ist ) Summe abzählbar vieler offener Intervalle, und da 9D abgeschlossen, gibt es nach dem Borelschen Theorem unter diesen endlich viele: (y', y") (v —1, 2,.., n), in deren Vereinigung D1 enthalten ist. Da F(x) stets wachsend ist, so gibt es in [0, l] je einen und nur einen Punkt x' bzw. x", so daß: -F(g4); y -( ). Da W in der Vereinigung der Intervalle (x,, x,) enthalten ist, und g(x) in jedem zu. komplementären Intervalle konstant ist, so haben wir: (g (x) g (')) g (1)- g () > Nun ist aber (D) 2 (y"' - y')== (F() - F (X)) > (g (X - ()), v=i v=1,v=1 und daher: 1 (D>) >g (1) -g (0) für alle 9) enthaltenden offenen Mengen. Nach Kap. VI, ~ 8, Satz V ist daher auch:,,1 (Wo) > g (1)- g () >0, und Satz V ist bewiesen. Betrachten wir nun die Umkehrfunktion f(y) der Funktion F(x) von Satz V,' durch die jedem Werte y aus [0, 1] der Wert x aus [0, 1] zugeordnet wird, in dem y = F(x) ist, so sehen wir, indem wir das Argument y von f (y) wieder durch x ersetzen: Satz VL Es gibt stetige Funktionen.f(x), die im Intervalle [0, 1 des N1 stets wachsen, und derart, daß eine Menge D9 aus [0,1] von positivem Inhalte durch y=f(x) abgebildet wird auf eine Menge W9 des linearen Inhaltes 0. Und nun beweisen wir, in Ergänzung zu ~ 2, Satz VII: Satz VII. Durch Zusammensetzung zweier linear-meßbarer Funktionen kann eine linear nicht-meßbare Funktion entstehen. Haben in der Tat f(x), 9)1, W9 dieselbe Bedeutung wie in Satz VI, so gibt es nach ~ 5, Satz VI in Y9) einen nicht -meßbaren Teil 9D)'. Er wird durch y —f (x) abgebildet auf einen Teil 9' von 91, und aus yu (9W) -0 folgt auch,9 (W') ==0, und 9W' ist meßbar. Definieren wir also eine Funktion g (y) durch: g (y)= l auf W', g (y)= 0 außerhalb 9', so ist g (y) meßbar. Bilden wir nun die zusammengesetzte Funktion g (f(x)),

586 Die meßbaren Funktionen. so ist sie =1 auf W', sonst =0, und da 9' nicht meßbar ist, so ist sie nicht-meßbar. Damit ist Satz VII bewiesen. Nun erkennen wir auch leicht, daß in ~ 1, Satz III die Borelsche Menge e nicht durch eine beliebige meßbare Menge ersetzt werden kann: Satz V1II. Es gibt linear-meßbare Funktionen f (x) derart, daß durch y=-f(x) eine nicht-meßbare Menge 9 abgebildet wird auf eine meßbare Menge 3B. Sei in der Tat f(x) die Funktion von Satz VI und 91 ein nicht-meßbarer Teil von 9 (~ 5, Satz VI). Durch y = f (x) wird 1 abgebildet auf einen Teil e von 1. Wegen y, (W)- 0 ist auch t, (8) =0 und daher e3 meßbar, womit Satz VIII bewiesen ist. ~ 7. Meßbare und reguläre Abbildungen. Wir haben uns in diesem Kapitel mit dem Begriffe der meßbaren Funktion beschäftigt. Nun ist der Funktionsbegriff nur ein Spezialfall des allgemeinen Abbildungsbegriffes (Kap. II, ~ 1, S. 113). Es ist daher naheliegend, den Begriff der Meßbarkeit auch auf Abbildungen zu übertragen. Der Definition der Meßbarkeit einer Funktion würde dann folgende Definition der Meßbarkeit einer Abbildung entsprechen: Sei 91 Punktmenge eines metrischen Raumes, wie sie zu Beginn von ~ 1 eingeführt wurde. Sie werde durch die Abbildung A abgebildet auf eine Punktmenge 1' eines metrischen Raumes S'. Die Abbildung A heiße p-meßbar, wenn das Urbild jeder in 91' offenen Menge U-meßbar ist. Neben diesen meßbaren Abbildungen ist von besonderem Interesse eine andere Klasse von Abbildungen, mit denen wir uns etwas eingehender beschäftigen wollen. Sei auf 91 die p- -Meßbarkeit definiert wie zu Beginn von ~ 1, und sei 91' das Bild von 91 vermöge der Abbildung A. Auf 91' sei vermittels einer absolut-additiven Mengenfunktion O' die P'-Meßbarkeit definiert. Die Abbildung A heiße dann qT'-regulär, wenn sie jeden T-meßbaren Teil von 9 abbildet auf einen p'-meßbaren Teil von 91'. Der Einfachheit halber wollen wir uns auf den Fall beschränken, daß sowohl 1 als W' Punktmengen des 91c sind, und sowohl T als O' der k -dimensionale Inhalt mk sind. Die kyk-regulären Abbildungen nennen wir dann kurz reguläre Abbildungen'). Satz I. Damit die Abbildung A der Punktmenge 1 des 9tk auf die Punktmenge 91' des k, regulär sei, ist notwendig, daß sie jeden Nullteil2) von 91 abbilde auf einen Nullteil von 91'. Sei in der Tat W ein Nullteil von 91, 91' sein. Bild vermöge A. Wäre lk (w) >0, so gäbe es nach ~ 5, Satz VI in 1' einen nicht k-dimensional meßbaren Teil 3'. Ist 3 das Urbild von 53', und S=-391 so ist 03<<9, und daher ist o0, 1) H. Rademacher, der diese Klasse von Abbildungen eingehend studiert hat (Monatsh. f. Math. 27 (1916), 183) bezeichnet sie als meßbare Abbildungen. Wir weichen hier von dieser Terminologie ab, da wir den Abbildungsbegriff als Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes auffassen, und daher verlangen müssen, daß der Begriff der meßbaren Abbildung eine Verallgemeinerung des Begriffes der meßbaren Funktion sei. 2) So nennen wir kurz jeden Teil W9 von 91, für den yk (9)-==0 ist.

Kap. VIII, ~ 7. Meßbare und reguläre Abbildungen. 587 ebenso wie 91, ein Nullteil von 92, und mithin k-dimensional-meßbar. Da A regulär, widerspricht dies der Tatsache, daß das Bild B' von 35 nicht k-dimensional-meßbar ist, und Satz I ist bewiesen. Die Bedingung von Satz I ist nicht hinreichend1), sie wird es aber, wenn wir uns auf stetige Abbildungen beschränken. Satz II. Damit die stetige Abbildung A der Punktmenge 51 des ~9, auf die Punktmenge X' des 91k regulär sei, ist hinreichend, daß sie jeden Nullteil von 9f abbilde auf einen Nullteil von W9'. Sei in der Tat S3 ein k-dimensional-meßbarer Teil von gf. Es gibt dann (Kap. VI, ~ 8, Satz IV) in SB eine a-Vereinigung S, so daß: (*) k( -SS)=0. Die Menge S hat als a-Vereinigung die Gestalt: B —2= j ^+*.q q-... x.., wo die 9v abgeschlossen; sie können ohne weiteres auch als beschränkt angenommen werden. Dann aber ist (Kap. II, ~ 6, Satz II) das Bild A (s2v) gleichfalls abgeschlossen, und wegen: A ()== A (O) +- A (2+.,)...+A ( ) +-... ist A ($S) k- dimensional-meßbar. Nach Voraussetzung, ist nun wegen (*) auch A (5 - 3) eine Nullmenge, und somit k-dimensional-meßbar, also ist wegen: A (3) = A ($S) +- A (3- S) auch A (e).k-dimensional-meßbar, und Satz II ist bewiesen. Setzen wir die Abbildung A nicht nur als stetig, sondern auch als eineindeutig voraus, so können wir Satz I ein wenig verschärfen: Satz III. Damit die eineindeutige2) stetige Abbildung A der k-dimensional-meßbaren Punktmenge gr des 9k auf die Punktmenge A5' des R91 regulär sei, ist notwendig, daß A jeden Teil 91 von 91, für den /k*(9)-=0 ist, abbilde auf einen Teil W' von Ar', für den gleichfalls tk*,(91')=0. Sei in der Tat 9W ein Teil von 9X mit,t7*(91) =0, und sei 9S' das Bild von 91 vermöge A. Wäre,,k* ( ') > 0, so gäbe es in 9' einen abgeschlossenen Teil e', so daß auch: (**) 'Ak (Ei) > 0. Das Urbild S von 53' ist nach Kap. II, ~ 6, Satz III abgeschlossen in 92, und mithin, als Durchschnitt von ti mit einer abgeschlossenen Menge, k-dimensional1) Beispiel im 9t: Sei t3 ein nicht meßbarer Teil von [0, 1]. Wir definieren die Abbildung A von [0, 1] durch: A (x) x wenn x in S3, A (x) ' -x wenn x in [0,1] - -. Diese Abbildung ist eineindeutig, und bildet jede Nullmenge aus [0, 1] auf eine Nullmenge ab, aber sie ist nicht regulär, denn das Bild von [0, 1] ist nicht meßbar. 2) H. Rademacher (a. a.O. 205) spricht den Satz ohne diese einschränkende Voraussetzung aus, benützt sie aber beim Beweise. Ob der Satz auch ohne diese Einschränkung gilt, steht dahin.

588 Die meßbaren Funktionen. meßbar. Aus ' < 91' folgt nun aber wegen der Eineindeutigkeit von A auch S3< 9]. Wegen t;,*(91) 0 muß also: (***) A tk () == o sein. Wegen (**) und (***) kann dann nach Satz I A nicht regulär sein, und Satz III ist bewiesen. Sind insbesondere 2 und 1' Intervalle des 91, ist z. B. 9l das Intervall [a, b], so ist der Begriff einer eineindeutigen stetigen Abbildung von S: auf 9t' gleichbedeutend mit dem Begriffe einer in [a, b] stetigen und stets wachsenden (oder stets abnehmenden) Funktion f(x). Mit Hilfe dieser Funktion f(x) enthält man eine sehr einfache Bedingung dafir, daß eine solche Abbildung regulär sei. Wir gehen aus von der Bemerkung: Satz IV. Sei die Funktion f(x) stetig und monoton wachsend im Intervalle (a,b). Bedeutet 6(91) den äußeren Zuwachs von f auf 21 (Kap. VII, ~ 1, S. 470), und ist W' das Bild von 1 vermöge der Abbildung y-f(x), so ist für jede Menge 2f aus (a,b): 6 (OW) =,i (W'). In der Tat, dies ist richtig, wenn 21 ein Intervall (a', b') ist, denn dann ist: 6 (-) - f(b') - f(a'); y (W') - f(b') -- f(a'). Es ist also auch richtig, wenn 9f eine beschränkte offene Menge, d. h. Summe abzählbar vieler offener Intervalle ist. Sei nun 91 eine beliebige Menge aus (a, b). Nach Definition ist dann1) ö (21) die untere Schranke von 6 (~) für alle 9. enthaltenden offenen Mengen ~. Ist )' das Bild von 0 vermöge y =f(x), so folgt aus 9- < 0 auch 9I'< )' und somit /% (9I')- _< ( ') = 6 (0). Es ist also: (,.) () (. Andererseits ist jede S' enthaltende offene Menge 0' Bild einer st enthaltenden offenen Menge 0, und da p, (W') untere Schranke von /, (0')= 6(0) (>ö ((2)) für alle %9' enthaltenden offenen Mengen 0' ist, so ist auch umgekehrt womit Satz IV bewiesen ist. Nun erhalten wir sofort das gewünschte Resultat: Satz Y2). Sei f(x) eine in [a, b] stetige, monoton wachsende Funktion. Damit die Abbildung y=f(x) regulär sei, ist notwendig und hinreichend, daß f(x) totalstetig sei in [a,b]. In der Tat, durch Anwendung von Satz IV3) lehren Satz I und II, daß 1) Da f monoton wächst, ist der äußere Zuwachs 6 nichts anderes als der äußere Absolutzuwachs a von f. 2) H. Rademacher, a. a. 0. 266. Vgl. auch H. Hahn, Monatsh. f. Math. 23 (1912), 163. 3) Dabei ist unter dem offenen Intervalle (a, b) von Satz IV irgendein das abgeschlossene Intervall [a, b] von Satz V enthaltendes offenes Intervall (c, d) zu verstehen, auf das die Definition von f (x) durch die Vorschrift: f(x)==f(a) für x<a; f(x) f(b) für x>b; erweitert wird.

Kap. VIII, ~ 7. Meßbare und reguläre Abbildungen. 589 die Abbildung y= f(x4 dann und nur dann regulär ist, wenn für jede Nullmenge SC aus [a, b] auch <(W1) =0 ist, d. h. wenn 6(2) totalstetig nach t, ist. Das aber heißt nach Definition (Kap. VII, ~ 10, S. 523): die Funktion f ist totalstetig. Damit ist Satz V bewiesen. In Satz V kann die Voraussetzung, f sei monoton, nicht weggelassen werden; es gilt vielmehr: Satz YI1). Es gibt im Intervalle [0,1] stetige, aber nicht totalstetige Funktionen f(x), derart daß durch die Abbildung y==f(x) jede Nullmenge aus [0, 1] in eine Nullmenge übergeführt wird. Um dies einzusehen, definieren wir die Funktion f(x) in [0, 1] durch die Vorschrift: f(x) 0 für x = -- _ (v =-1,2...) und für x - 0; 1 1 f(x) = für x-; (v 1,2,..); f(x) linear in jedem Intervalle [ -!,- (v1 —,2,...). Dann ist f(x) stetig in [0, 1], aber nicht von endlicher Variation und mithin auch nicht totalstetig in [0, 1] (Kap. VII, ~ 10, Satz III). Wir haben noch zu zeigen, daß die Abbildung y= f(x) jede Nullnenge in eine Nullmenge überführt. Sei also 9 eine Menge aus [0, 1] mit (0)j I, (W))= 0. Wir bezeichnen mnit W9y den ins Intervall [ - -+1-l fallenden Teil von W9; dann ist wegen (0) auch: (9,)-0 (=1, 2,...). Weil f(x) in [T1, -l linear, folgt hieraus für das Bild 9W, von 9,, vermöge y =f(x): (00),, (9-)= (-= 1,2,...). Bezeichnen wir noch mit 9' die aus dem Bildpunkte des Punktes 0 bestehende Menge oder die leere Menge, je nachdem 9? den Punkt 0 enthält oder nicht, so ist das Bild 91' von 9W vermöge y- f(x) gegeben durch: -9o I 9..... + r aus (00) folgt also: & (t) =7, und Satz VI ist bewiesen. 1) Vgl. H. Lebesgue, Rend. Linc. 1611 (1907), 285. - Dort wird auch gezeigt, daß wenn jede der beiden Abbildungen y = f(x), y - g(x) Nullmengen in Nullmengen überführt, die Abbildung y -f (x) + g(x) keineswegs diese Eigenschaft haben muß. - Ob es stetige, aber nicht totalstetige Funktionen f (x) endlicher Variation gibt, derart daß die Abbildung y =f(x) Nullmengen in Nullmengen überführt, scheint nicht bekannt zu sein.

Verzeichnis der zitierten Biieher. R. Baire, Le9ons sur les fonctions discontinues, Paris, Gauthier-Villars 1905. i. Borel, Lemons sur la theorie des fonctions, Paris, Gauthier-Villars 1898. E. Borel, Le9ons sur les fonctions de variables reelles et les developpements en series de polynomes, Paris, Gauthier-Villars 1905. C. Carath6odory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner 1918. R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig, Vieweg 1872. U. Dini, Grundlagen für eine Theorie der Funktionen einer veränderlichen reellen Größe; deutsch bearbeitet von J. Lüroth und A. Schepp, Leipzig, B. G. Teubner 1892. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig, Veit 1914. G. Hessenberg, Grundbegriffe der Mengenlehre. Zweiter Bericht über das Unendliche in der Mathematik (Abhandlungen der Fries'schen Schule, Neue Folge, viertes Heft), Göttingen, Vandenhoeck u. Ruprecht 1906. E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's series. Cambridge, University Press 1907. C. Jordan, Cours d'analyse de l'ecole polytechnique. Deuxieme 6dition. Tome premier. Paris, Gauthier-Villars 1893. G. Kow al ewski, Einführung in die Infinitesimalrechnung mit einer historischen Übersicht, Leipzig, B. G. Teubner 1908. G Kowalewski, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, Leipzig, B. G. Teubner 1909. H. Lebesgue, Le9ons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives, Paris, Gauthier-Villars 1904. H. Lebesgue, Legons sur les series trigonometriques, Paris, Gauthier-Villars 1906. G. Lejeune-Dirichlets Vorlesungen über die Lehre von den einfachen und mehrfachen bestimmten Integralen, herausgegeben von G. Arendt, Braunschweig, Vieweg 1904. G. Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Torino, Bocca 1887. J. Pierpont, Lectures on the theory of functions of real variables. Boston, New York, Chicago, London, Ginn & Comp. 1905. A. Pringsheim, Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre. Erster Band. Leipzig und Berlin, B. G. Teubner 1916. A. Schoenflies, Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8. Band), Leipzig, B. G. Teubner 1900. Ch. J. de la Vallee Poussin, Cours d'analyse infinit6simale. Tome 1, deuxieme edition, Louvain, A. Uystpruyst-Dieudonne; Paris, GauthierVillars 1909. Ch. J. de la Vallee Poussin, Int6grales de Lebesgue, fonctions d'ensemble, classes de Baire, Paris, Gauthier-Villars 1916. W. H. Young and Grace Chisholm Young, The theory of sets of points, Cambridge, University Press 1906. Bei Zitaten aus diesen Büchern ist die Seitenzahl angegeben, bei Zitaten aus Zeitschriften Zahl des Bandes (und eventuell in Klammern der Serie), Jahr des Erscheinens und Seitenzahl.

Verzeichnis der zitierten Autoren. Abel, N. H. 253. Dirichlet s. Lejeune-Dirichlet. Agnola s. Dell' Agnola. Du Bois-Reymond P. 232, 246, 275, Apt, F. 130. 281. Arendt, G. 131. Arzela, C. 285, 287, 301, 302, 306, 542, Egoroff, D, Th. 556, 558. 556. Aseoli, G. 300, 514. Frechet, M., 52, 58, 90, 100, 122, 127, 131, 287, 301, 540, 541, 561. Baire, R. 81, 107, 114, 135, 152, 161, 162, 167, 174, 195, 215, 276, 318, Galvani, L. 365. 325, 351, 352, 363, 364, 368, 370, Gilbert, Ph. 310. 373, 389, 390, 391. Grave, D. 534. Bettazzi, R. 184, 186, 187. Groß, W. 89, 91, 302. Blumberg, H. 223. Bohr, H. 137. Hahn, H., 52, 58, 127, 147, 149, 150, Bois-Reymond s. Du Bois-Reymond. 162, 164, 187, 195, 212, 380, 390, Bolzano, B. 125, 130. 588. Borel, E. 4, 89, 285, 287, 313, 317, Hamel, G. 581, 582. 334, 456, 556, 568, 570. Hankel, H. 203, 310, 456. Broden, T. 136, 195, 210, 211, 218, Hardy, G. H. 540. 311, 312. Harnack, A. 456, 534. Brouwer, L. E. J. 137, 147. Hausdorff, F. 6, 52, 57, 61, 71, 82, 95, Burstin, C. 567. 100, 108, 137, 162, 164, 166, 283, 338, 342, 393, '394, 439, 440, 450, Cantor, G. 6, 11, 15, 25, 45, 61, 69, 72, 459, 461, 575. 75, 110, 123, 146, 281, 310, 456, 534. Hedrick, E. R. 195. Caratheodory, C. 2, 32, 61, 70, 85, 137, Heine, E. 123, 131, 133, 280. 162, 263, 416, 424, 430, 433, 461, Hess, A. 150. 521, 550, 559. Hessenberg, G. 16. Cauchy, A. L. 125, 251, 253. Hilbert, D. 147, 148. Cesaro, E. 130, 147. Hillebrandt, T. H. 287. Chisholm-Young s. Young, G. Ch. Hobson, E. W. 264, 275, 283, 285, 287, 294, 556. Darboux, G. 130, 281, 310. Hölder, 0. 315. Dedekind, R. 29. De la Vall6e-Poussin s. Vall6e-Poussin. Jordan, C. 456, 483, 489, 514. Dell' Agnola, C. A. 232, 248. 275, 276, 283, 284, 287, 300, 301, 363. Knopp, K. 150. Denjoy, A. 220. Kowalewski, G. 2, 499. Dini, U. 208, 284, 310, 311, 313. Küstermann, W. 545.

592 Verzeichnis der zitierten Autoren. Lebesgue, H. 61, 130, 150, 152, 176, Scheeffer, L. 136, 514, 516, 534. 199, 215, 217, 318, 319, 320, 326, Schmidt, E. 514. 327, 347, 349, 350, 353, 355, 356, Schoenflies, A. 147, 198, 211, 212, 218, 363, 378, 385, 389, 393, 395, 400, 219, 534. 416, 456, 503, 514, 540, 548, 550, Seidel, Ph. 253. 556, 557, 575, 581, 589. Sierpiniski, W. 131, 150, 199, 223, 226, Lejeune-Dirichlet, G. 113, 131. 349. Lennes, N. J. 82. Smith; H. J. St. 458. Lindelöf, E. 69, 91. Steinitz, E, 136. Lusin, N. 568. Stokes, G. (G. 253. Stolz, 0. 280, 456, 514. Mahlo, P. 327. Study, E. 212, 487, 499, 514. Martinotti, P. 294. Montel P. 284, 302, 306, 307. Tardini, L. 554. Moore, E. H. 147. Tietze, H. 61, 137, 162. Tonelli, L. 189, 302. Noether, E. 583. Trilling, E. 473. Orlando, L. 287. Vallee-Poussin, Ch. J. de la 379, Osgood, W. F. 264, 275, 281. 55 Van Vleck, E. B. 390, 391, 575. Painleve, P. 74. Vitali, G. 525, 565, 575. Pasch, M. 30, 185, 192, 196, 198. Vivanti, G. 287. Peano, G. 147, 148, 151, 218, 456, 514, Volpi, R. 583. 534. Volterra, V. 206, 208, 370, 534. Pierpont, J. 480, 546. Pierpont, J. 48, 56. VWeierstraß, C. 122, 127, 246, 310. Pincherle, S. 136. Pincherle, S. 136. Westfall, W. D. A. 218. Pohl, J. 287, 301. Weyl,. 558, 572. Polya, G. 149. Pringsheim, A. 246, 288, 365. Young, G. Ch. 64, 161. Young, W. H. 64, 91, 106, 130, 152, Rademacher, H. 586, 587, 588. 161, 162, 170, 181, 188, 189, 199, Radon, J. 395, 400, 408, 416, 462, 201, 229, 236, 238, 254, 258, 268, 548. 275, 276, 277, 287, 304, 308, 314, Rauchegger, Br. 301. 333, 342, 345, 456, 484, 526, 559. Riemann, B. 311. Riesz, Fr. 570, 572. Zermelo, E. 25. Rosenthal, A. 248, 433. Zoretti, L. 87.

Sachverzeichnis. Abbildung 1, 140; A. einer Strecke ner Mengen 63, 128; Stetigkeit des auf ein Quadrat 146 ff.; auf ein In- A. 127. tervall des iRk 146, 151; auf ein In- Abweichung zweier stetiger Kurventervall des E9tO 152; ähnliche A. 12; bögen 519. eineindeutige A. 6; gleichmäßig ste- abzählbare Menge 9; a. M. erster tige A. 143; inverse A. 145; meß- Kategorie 363; Inhalt einer a. M. bare A. 586; reguläre A. 586; stetige 456; Funktionen auf einer a. M. 363; A. 141; zusammengesetzte A. 145; a.-unendliche M. 7. A. durch eine Funktion f(x) 584, additive Mengenfunktion 393. 588. hnliche Abbildung 12; ä. Mengen 11. abgeschlossen: a. Hülle 70, 71, 72; allgemeiner Grenzsatz 58; a. Defia. H. einer nirgends dichten Menge nition der oberen, unteren Schranke 80; a. Intervall 29; a. I. im D9k 54, einer Funktion in einem Punkte 117; 76; a. Punktmenge 60, 67, 87, 95, a. Stetigkeitsdefinition 123. 100, 430; a. P. im 931 109; a. Um- analytisch darstellbare Funkgebung 66; a. Zahlenmenge 60. tionen 318. abgeschlossen in einer Menge 61, Anfangszahl 22. 70, 334; a. und dicht in einer äquivalente Funktionen 550; ä. F. Menge 78. höchstens zweiter Klasse zu einer Ableitungen einer Punktmenge 72, meßbaren Funktion 565. 98, 106. Art: Punkte erster und zweiter A. in Abschnitt einer wohlgeordneten einer abgeschlossenen Punktmenge Menge 16. des 9S1 111; unstetig von erster, absolut-additive Mengenfunktion zweiter A. 216ff., 311, 493. 395; a. M. im NLk 461. asymmetrische Relation 11. absolute Summe einer Mengenfunk- asymptotisch konvergent 570. tion 400. ausgezeichnete Folge von IntervallAbsolutfunktion einer Mengen- systemen 480, 526; a. F. von Nähefunktion 404. rungssystemen 482; a. F. von Zerabsolut stetig 416. legungen 499, 503. Absolutzuwachs einer Funktion äußerer Absolutzuwachs einer Funkf(xc...-,xk) 470; äußerer A. 468; tion f(x",...,xk) 468; ä. k-dimentotalstetiger A. 474, 480, 482; A. sionaler Inhalt im 3k 456; ä. q-diund Variation einer Funktion f (x) mensionaler Inhalt im Eil. 461; ä. 493 ff. Maß (Q-Maß) einer Punktmenge 424; Abstand zweier Punkte 52; A. eines i ä. Näherungspunkt -einer MengenPunktes und einer Menge 55; A. folge 74; ä. Negativzuwachs, Positivzweier Mengen 55; A. abgeschlosse- zwachs einer Funktion f (x, xk) Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 38

594 Sachverzeichnis. 468; ä. Sprung einer unstetigen dicht in einer Menge 77; nirgends d. Funktion 212; ä. Sprungstelle 499; äi siehe nirgends. Zuwachs einer Funktion f(x...., Xk) Differenz einer Funktion in einem 470; ä. Zuwachs einer stetigen, mo- Intervalle 465; D. und Zuwachs einer noton wachsenden Funktion f (x) Funktion 473, 477. 588. Dimensionszahl 147. a-Vereinigung 64, 337. divergente Zahlenfolge 32. Doppelfolge reeller Zahlen 288; D. Bairesche Funktion 319; B. F. und meßbarer Funktionen 561. Borelsche Mengen 351; Schranken- Dreiecksungleichung 52, 55. und Grenzfunktionen von B. F. 324; Durchlaufung einer Menge 513. Konvergenzmenge einer Folge B. F. Durchmesser eines Intervalles 479. 381; Mächtigkeit der Menge aller Durchschnitt 2,393;D. eingeschachB. F. 319; Meßbarkeit der B. F. 563; telter Intervallfolgen 33; D. abgeZusammensetzung B. F. 320, 330; schlossener Mengen 62, 63; D. offeunvollständige B. F. 381; nicht-Baire- ner Mengen 62, 64; D. von o-Durchsche F. 320, 327; meßbare nicht- schnitten, a-Vereinigungen 65; D. Bairesche F. 563; nicht-Bairesche F., nirgends dichter Mengen 80; D. Bodie überall im 9k stetig, abgesehen relscher Mengen 337; D. von Menvon einer Nullmenge 564; B. F. und gen 'a, Sa 335; D. meßbarer Menstetige (halbstetige) F. 327, 564. gen 428. Basis, Basisfunktion 416, 548. o-Durchschnitt s. unter 0. Basismenge des 91 581. Begrenzung einer Punktmenge 71,84. echter Teil einer Menge 1. beiderseitiger Häufungspunkt 177. eigentlich konvergente Zahlenfolge Belegung 1. 32, 41; e. k. k-fache Zahlenfolge 34; Belegungsmenge 7. e. k. unendliche Reihe 34; e. k. R. 9 -beschränkt (nach oben, nach un- meßbarer Funktionen 557; e.k. k-fach ten b.): b. Funktion 114; b. Funk- unendliche Reihe 35; e. asymptotisch tionenfolge 230; b. Funktionenmenge konvergent 570; e. einfach-gleich300; b. Punktmenge 59; b. Zahlen- mäßig konvergent in einem Punkte menge 30. b. Schwankung, b. Va- 282; auf einer Menge 284; e. gleichriation s. endliche Variation. mäßig konvergent in einem Punkte Bild 5, 140; stetiges B. 141. 246, 264, 267; auf einer Menge 251; Borelsche Menge 334ff.; Vereini- e. gl. k. Reihe von Funktionen endgung, Durchschnitt B. M. 337; Mäch- licher Variation 491; e. gleichmäßig tigkeit B. M. 342; B. M. und Baire- (oberhalb, unterhalb gleichmäßig) essche Funktionen 351; Meßbarkeit zillierend 254; e. quasi-gleichmäßig der B. M. 432, 456, 470; k-dimen- konvergent 285; e. stetig konvergent sional -meßbare Mengen, die nicht 241. B. M. sind 458. eineindeutige Abbildung 6, 145. Borelsche Reihe 313. einfach-gleichmäßig konvergent in Borelscher Teil einer Menge 335; einem Punkte 282, 286; auf einer Mächtigkeit der Menge aller B. T. Menge 284. 351. eingeschachtelte Folge von InterBorelsches Theorem 89; verallge- vallen 33. meinertes B. Th. 91. einseitig abgeschlossen 177; e. GrenzBruch: endlicher, unendlicherg-Bruch wert 179, 189, 193, 208; e. Häufungs44. funktion 189; e. Häufungspunkt 177; e. Häufungswert einer Funktion 189; Cauchysche Bedingung für eigent- e. Maximal- und Minimalfunktion 238; liche Konvergenz einer Zahlenfolge 41. e. punktweise unstetig 228; e. (obere, Cauchysche Folge 99. untere, reduzierte) Schranke, Schran

Sachverzeichnis. 595 kenfunktion 177ff, 189; e.(reduzierte) 134; F. a-ter Klasse 318; F. a-ter Schwankung, e. (reduzierte) Schwan- Ordnung 328; 3]. Ga, ga 328; F. der kungsfunktion 193; e. stetig 178, 193; (positiven, negativen) Singularitäten e. oberhalb, unterhalb stetig 178, 228, 528; F. der (positiven, negativen) 229; e. Umgebung 176. Sprünge 507; F. mehrerer Punkte einwertige Funktion 113. 383ff. endliche Folge 1; e. Funktion 113; Funktionalgleichung f (x' + x") e. stetige F. 128; e. halbstetige F. 156; =f (x') + f (x") 581ff. e. Intervall 29; e. Intervallsystem Funktionenfolge 230ff. 453, 486; e. Systembruch 44, 48; e. Funktionenmenge 300ff. Zahl 28; e. Zerlegung eines Intervalles 484; e. Zerlegungssystem 453. ganze Zahl, Menge aller g. Z.: Mächendliche Variation: Funktion f(x) tigkeit 9; Ordnungstypus 14. endlicher Variation 489ff., 536; Zu- Gebiet 61, 85. sammensetzung von F. e. V. 490; F. Gemeinschaftsgrenze (obere, une. V. und monotone F. 491, 492; die tere) 4, 74, 395ff., 407; G. meßbarer Unstetigkeiten von F. e. V. 493, 505;, Mengen 428. stetige F. e. V. 498, 502; stetige F., geordnete Menge 11. die nicht von e.V. 498; F. e. V., die gewöhnliche Maßfunktion 430, 451, nicht totalstetig 533, 537; Variation 563. und Absolutzuwachs einer F. f(x) gleichgradig stetig 300ff., 306, 307. 493ff.; Funktion f(x,..., xk) e. V. gleichmächtige Mengen 6. 540, 543, 546. gleichmäßige Konvergenz in einem erstes Element einer Menge 12. Punkte 247, 252, 254, 301; gl. K. erweiterbar: von a-ter Klasse e., auf einerMenge 251 ff., 302; Punkt gl. mit Annäherung s von ~-ter Klasse K. 268; gl. K. der Zeilen einer Dope. 360. pelfolge 291; gl. K. einer Funktion erweiterter o-Körper 399. f(b,c) für alle b 298; gl. k. Folgen Erweiterung einer stetigen Funktion stetiger, halbstetiger F. 249, 251, 253, 135ff., 166; E. einer stetigen Abbil- 280; punktweise unstetiger F. 253; gl. dung 143; E. einer punktweise un- k. Folgen vonFunktionen a-ter Klasse stetigen F. 210; E. einer Funktion 322; von Funktionen Ga, ga 333; gl. a-ter Klasse 356, 362; E. einer F. Oszillation 254, 560; gl. Stetigkeit erster Klasse 364; E. einer absolut- 131, 195; gl. St. einer Abbildung 143. additiven Mengenfunktion auf den Glied einer Folge 2. erweiterten a-Körper 399; E. einer Grenzbegriff 57. für offene Mengen definierten Men- Grenze (obere, untere) einer Zahlengenfunktion zu einer Inhaltsfunktion menge 30; einer Funktionenmenge 448; E. einer Intervallfunktion zu 305. einer Inhaltsfunktion 453. Grenzfunktion (obere, untere) einer Euklidischer Raum 19k 52, 93, 101. Funktionenfolge 231; einer Funktionenmenge 305; einer Folge-Bairescher fast alle 2. Funktionen 324; einer Folge stetiger Folge: endliche F. 1; unendliche F. Funktionen 369; einer Folge -7-meß2; k-fach unendliche F. 34; Menge barer Funktionen 554. aller k-gliedrigen F. aus einer ab- Grenzpunkt einer Punktfolge 56, zählbaren Menge 9; Menge aller k- 58, 68. gliedrigen F. reeller Zahlen 47; Menge Grenzsatz: allgemeiner Gr. 58. aller unendlichen F. natürlicher, re- Grenzübergang: Eigenschaften, die eller Zahlen 47; F. von Funktionen bei Gr. erhalten bleiben 324; Ver230ff. tauschung von Gr. 288. fremde Mengen 1. Grenzwert einer Funktion 170, 185, Funktion 113, 393; Menge aller F. 192, 207; einer Funktion f (b, c) 297; 38*

596 Sachverzeichnis. einer Zahlenfolge, 31; k-facher Gr. Kette 83. 34; zweifacher Gr. 290. Klasse einer Funktion 318, 345, 349, Grenzzahl 21; Gr. aus &3 23. 352, 360; F. erster K1. 318, 363; F. Grundzahl eines Systembruches 44. erster K1. bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen 366; F. zweiter halboffenes Intervall 29; h. I. im K1. 351, 365, 368, 565; F. dritter Kl. %Rk 54. 370; Existenz von F. a-ter Kl. 378; halbstetig in einem Punkte 152; auf von a-ter Kl. in einem Punkte 357; einer Menge 156, 162, 168, 214, 215, mit Annäherung e v. a-ter Kl. in 328, 363; Folgen h. F. 161, 243, 249, einem Punkte 356. 253, 256, 260, 277; h. oszillierend kompakte Punktmenge 58, 59, 61, 244, 249, 256, 259. 91, 94, 100; k. Funktionenmenge 302. Häufungsfunktion 185. Komplement 3; K. einer PunktHäufungspunkt 58, 68; Menge aller menge 52; einer meßbaren Menge H. 69, 72. 425. Häufungswert einer Zahlenfolge, komplementäre Intervalle 109. Zahlenmenge 35; einer Funktion Komponente einer Menge 86; eines 184ff., 188. Schnittes 29. Hauptlimiten einer Zahlenfolge 38; Kondensation d. Singularitäten 309. einer k-fach unendlichen Folge 42. Kondensationspunkt 69, 97. hebbar unstetig 173. K o ntinuum 85; MächtigkeitdesK.45. Hülle: abgeschlossene H. 70, 71, 72; konvergente Funktionenfolge 231;.a. H. in einer Menge 71; maßgleiche k. Mengenfolge 4; k. Punktfolge 56; H. 435, 441, 445, 447, 456. k. Reihe 35; k. Folge stetiger Kurvenbögen 519; k. Zahlenfolge 32, 41; Induktion 24. k. k-fach unendliche Zahlenfolge 34, Inhalt 456; linearer I. 315, 456, 461, 43; k. abgesehen von Nullmengen 520; k-dimensionaler I. 456, 459, 558, 570. 460; q-dimensionaler I. im Sk1, 461. Konvergenzmenge 380; K. einer Inhaltsfunktion 444, 452, 565; I. Folge M,-meßbarer Funktionen 554. im 9k 453. Konvergenzpunkt 231. innerer Inhalt 456, 461; i. Maß 433; Koordinate 53. i. Näherungspunkt 74; i. Punkt 71. Körper 393; a-Körper 394. insichdichte Menge 75; i. Kern 76, 98. Kugel: k-dimensionale K. 460; k-d. Intervall reeller Zahlen 29, 33, 45, abgeschlossene K. 473. 48; I. im 9k 54, 75, 84, 85, 86, 94. Kurvenbogen 518. Intervallfunktion 453. Intervallsystem 453, 486. L änge eines Intervalles 29; der Durchinverse Abbildung 145; i. Schrän- laufung einer Menge 514; eines stekungstransformation 115. tigen Kurvenbogens 518. irrationale Zahl 47; Menge aller i. leere Menge 393 Z.: Mächtigkeit 47; Ordnungstypus le emen eier ene 12. 48O t. ",letztes Element einer Menge 12. 48, 50. isolierte Menge 75, 99 i. Punkt 75 Limes, lim bei Folgen reeller Zahlen isolierte Menge 75, 99; i. Punkt 75, 31; bei k-fachen F. r. Z. 34; bei 94; i. Zahl 21. Mengenfolgen 4; bei OrdinalzahlKardinalzahl 6. folgen 23; bei Punktfolgen 56, 292, *. ainaa384; bei Funktionen 171, 179, 293. Kategorie: Mengen erster, zweiter,, K. 81, 107ff., 327. Limes inferior, superior, lim, lim Kern: insichdichter K. 76, 98; maß- bei Zahlenmengen, Zahlenfolgen 30, gleicher K. 435, 439, 443, 445, 447, 38; bei k-fachen Zahlenfolgen 43; 456; offener K. 70, 71, 72; o. K. in bei Mengenfolgen 4; bei Funktionen einer Menge 71. 115, 178, 293.

Sachverzeichnis. 597 linearer Inhalt 315, 456, 461, 520. Näherungspolygon 513. linksseitig s. einseitig. Näherungspunkt (äußerer, innerer) 74. Mächtigkeit 6; M. eines Ordnungs- natürliche Anordnung von ganzen, typus 22; M. 0N der abzählbaren von rationalen Zahlen 13, 14; von Mengen 7; M. a4 22; M. c des Kon- Ordinalzahlen 19; von Intervallen tinuums 45; größere, kleinere M. des 91 109. 6, 26. natürliche Zahl, Menge der n. Z.: Majorante, m. Zahl einer Zahlen- Mächtigkeit 7; Ordnungstypus 13; menge 30; einer Funktion 114; einer n. Z. als Mächtigkeiten 6; als OrdFunktionenfolge 230; m. Funktion nungstypen 12; als Ordinalzahlen 18. einer Funktionenfolge 230; M. bei negativ: Ordnungstypus der Menge Vernachlässigung von E-Mengen 174. der n. ganzen Zahlen 14; n. Teil Maß, q-Maß 424, 548. einer Mengenfunktion 400; n. VariaMaßfunktion 424; gewöhnliche M. tion s. Variation. 430, 451, 563; reguläre M. 433. Negativfunktion 404. maßgleiche Hülle 435, 441, 445, 447, Negativzuwachs 470, 494ff.; N. 456; m. Kern 435, 439, 443, 445, einer Funktion totalstetigen Absolut447, 456. zuwachses 480, 482. Maximalfunktion 232. nicht-Bairesche Funktion 327, 563, mehrwertige Funktion 113. 564. Menge erster, zweiter Kategorie 81, nicht-meßbare Funktion 575, 581; 107 ff., 327; M. cc-ter Ordnung 334; n.-m. Punktmenge 575. M. Sa, 2Sa 334. nirgends dicht, n. d. in einer Menge Mengenfunktion 393. 79; n. d. perfekte Menge 105, 109, meßbar: - meßbare Abbildung 586; 110; n. d. Menge positiven Inhaltes p7-m. Funktion 548ff., 554; 9-m. 458. Menge 424, 436, 437, 438, 548; f- Norm eines Intervallensystems 480; m. M. 470, 475; k-dimensional m. einer Zerlegung 499, 503. M. 456; q-dimensional m. M. im 9Rk 461. Oberfunktion 230. metrischer Raum 52; m. Definition oberhalb gleichmäßig oszillierend 254, des Grenzbegriffes 57, der Stetig- 260; o. sekundär-gleichmäßig oszilkeit 124. lierend 257. Minimalfunktion 232. oberhalb stetig s. halbstetig. Minorante s. Majorante. Oberzahl einer Zahlenmenge 30; einer möglichst stetige Erweiterung 211; Funktion 114; einer Funktionenfolge m. st. Funktion 212, 222.. 230; 0. bei Vernachlässigung von monotone (m. wachsende, abneh- E-Mengen 174. mende) Mengenfolgen 3, 4, 395, 439; o-Durchschnitt 64, 101, 106, 337. m. Folgen abgeschlossener, kom- offenes Intervall 29; o. I. im 9k 54; pakter Mengen 63; m. F. 9-meß- o. Kern 70, 71, 72; o. Kern in einer barer M. 429; m. Zahlenfolgen 32; Menge 71; o. Punktmenge 61, 67, m. Funktionenfolgen 161, 162, 243, 68, 94, 95, 96, 430, 456; o. Mengen 244, 284; m. F. Bairescher Funk- des E9 95; o. Mengen des lR 87, 95. tionen 330; m. F. p-meßbarer Funk- offen in einer Menge 61, 70, 334; tionen 553; m. Funktionen f (x) 491; o. in einer insichdichten M. 75. m.F. f(x,, x2...., xk) 543. Ordinalzahl 12, 18ff. Ordnung einer Funktion 328, 342, Näherungsbruch eines System- 345; 0. einer Menge 334. bruches 44. Ordnungstypus 12; O. r 14, 47, 48; Näherungsgrenze(obere, untere)74; 0. t 48, 50, 111; 0. x 48; 0. ao 13, N. zusammenhängender Mengen 87. 18, 21; 0. o* 14.

598 Sachverzeichnis. Oszillationspunkt 231. 192, 206; r. Schwankungsfunktion oszillierende Zahlenfolge 32. 193; r. einseitige Schwankungen, Schwankungsfunktionen 193, 208; Peanosche Kurve 150, 499. r. Umgebung 66, 67; r. einseitige perfekte Menge (p. in einer Menge) U. 176. 76, 98, 101, 106; nirgends dichte reelle Funktion 113; Funktion von p. M. 105, 536; n. d. p. M. im D1 r. Veränderlichen 113; r. Zahl 27, 109 ff.; p. M. vom Inhalte 0 457, 45; Menge der r. Zahlen: Mächtig537; p. Teil einer Borelschen Menge keit 45, 46; Ordnungstypus 48. 338. reguläre Abbildung 586; r. Maßpositiver Teil einer Mengenfunktion funktion 433; r. Teil 419. 400; p. Variation s. Variation. Regularitätsfunktion 421. Positivfunktion 404. Regulärteil 420. Positivzuwachs 470, 494ff.; P. einer Reihe: unendliche R. 34; k-fach u. Funktion totalstetigen Absolutzu- R. 35. wachses 480, 482. rein-singuläre Funktion f(x) 529, Potenz von Mächtigkeiten 6, 10. 538; r. s. Mengenfunktion 421; qProdukt von Mächtigkeiten 6. dimensional r. s. 462. Produktzerlegung 484. rein-unstetige Mengenfunktion 413. Projektion 54, 390. Rektifikation 513. Punkt 52. relativ-vollständige Menge 108. punktfreies Intervall 109. Restfolge 230. Punktfunktion 393. Restfunktion 265. punktiert unstetig 203. Punktmenge 52. Schnitt 29. punktweise sekundär-ungleichmäßig Schranke (obere, untere) einer Funkoszillierend 277; p. ungleichmäßig tion auf einer Menge 114, 122, 127, konvergent 274; p. u. oszillierend 277; 134, 156, 159; einer Funktion in p. unstetig 203,214 ff., 220,221, 223 ff., einem Punkte 117, 120, 135, 159, 166; 311, 363; Menge aller p. u. Funk- einer Funktionenmenge 305; einer tionen 209; gleichmäßig konvergente Zahlenmenge, Zahlenfolge 30; bei Folgen p. u. F. 253; p. u. bei Ver- Vernachlässigung von E-Mengen 174. nachlässigung von E-Mengen 227; Schrankenfunktion (obere, untere) von Mengen erster Kategorie 325; 121, 157, 159, 160. 167; Schr. bei p. u. konvergent 274; p. u. oszil- Vernachlässigung von E-Mengen 174; lierend 277. bei Vernachlässigung von Mengen erster Kategorie 214; iterierte Sehr. Quadrat: Abbildung einer Strecke 219ff.; Schr. einer Funktionenfolge auf ein Qu. 146ff. 231; einer Folge Bairescher Funkquasi-gleichmäßig konvergent 285. tionen 323, 324; einer Folge Kn-meßbarer Funktionen 553; einer Funkrational, Menge der r. Zahlen: Mäch- tionenmenge 305. tigkeit 9; Ordnungstypus 14, 47; Schränkungstransformation 115. r. Punkt des Nk 54; Menge aller r. Schwankung einer Funktion auf P. des 31k 75, 77. einer Menge 190; in einem Punkte Raum: euklidischer 9i 53; euklidischer 191; Schw. bei Vernachlässigung von 8k 52; metrischer R. 52. E-Mengen 227; Schw. einer Funkrechtsseitig s. einseitig. tionenfolge 261. reduzierte Maximal-, Minimalfunk- Schwankungsfunktion 193, 219; tion 235; r. (obere, untere) Schranke, k-te Schw. 223. Schrankenfunktion 168, 187; r. Schwingung 192. rechtsseitige, linksseitige Schranken- sekundär-gleichmäßig oszillierend funktion 178, 189, 190; r. Schwankung 258, 560.

Sachverzeichnis. 599 separable Menge 90, 91, 93ff. Teilsumme 35. separierte Menge 76, 98; Funktionen topologische Definition des Grenzauf einer s. M. 204. begriffes 57; der oberen (unteren) singulärer Teil 419. Schranke einer Funktion in einem Singularitäten: Funktion der S. Punkte 120; der Stetigkeit 124. 528; Verdichtung d. S. 309. totalstetige Funktion f(x) 523, 588; Singularitätsfunktion 421. nach oben, unten t. F. f(x) 526; Singulärteil 420. t. F. f (x, x2,..., x) 541; Funktion Sprung: äußerer Spr. 212~; Funktion f(x, x2,..., xk), die nach jeder ihrer.der (positiven, negativen) Spr. 507. Veränderlichen t. 542, 545; Funktion Sprungstelle, äußere 499. f(x1, x,.., xk) von t. Absolutzusteigender Kurvenbogen 542. wachse 474; t. Mengenfunktion 416; Stelle eines Systembruches 44. q-dimensional t. 462. stetige Abbildung 104, 141; st. Bild total-ungleichmäßig konvergent 141; st. Bild einer Strecke 147; st. 268. Funktion: in einem Punkte 122, 124, total-unstetig 200. 125, 154, 173, 191; auf einer Menge tr ansfinite Induktion 24; tr. Ordinal127, 156, 164, 563; st. Funktionen zahl 18. endlicher Variation 498, 502; st. F., transitive Relation 11. die nicht von endlicher Variation 498; st. F. endlicher Variation, die überall dicht 77. nicht totalstetig 537; Funktionen Umgebung 57, 65, 66, 67; U. in einer f(a, as,..., alk), die nach jeder ihrer Menge 66, 67. Veränderlichen st. sind 384, 389ff.; Umkehrung einer Abbildung 145. Folgen st. Funktionen 162, 244, 249, unendliche Folge 2; k-fach u. F. 34; 253, 275, 276, 279, 280, 283, 284, 286, u. Reihe 34; u. Systembruch 44; u. 287; Menge aller st. Funktionen 133; Zahl 27; u. Zerlegung 502. st. bis auf eine Nullmenge 564; st. bei ungleichmäßig konvergente Folgen Vernachlässigung von E-Mengen 176, stetiger Funktionen 281; Punkt u. 227; st. Mengenfunktion 408; st. Konvergenz 268ff., 275. Kurvenbogen 518; st. konvergent Ungleichmäßigkeitsgrad 264. 238, 2414 248, 301; st. oszillierend unmittelbar folgend, vorangehend 244, 304. 13; u. f. Ordinalzahl 19, 20. Stetigkeitsfunktion 412. unstetige Funktion 122; u. MengenStetigkeitspunkt 122; Menge aller funktion 408; u. von erster, zweiter St. 199ff., 206; St. einer Mengen- Art 216, 311, 493. funktion 408. Unstetigkeitsfunktion 412. Stetigkeitsteil 411. Unstetigkeitsgrad 191. stets wachsende, abnehmende Funk- Unstetigkeitsintervall 211. tion 491; st. w., a. Zahlenfolge 32. Unstetigkeitspunkt 122; FunktioStrecke 84. nen mit abzählbar vielen U. 364; streckenweise konstante Funktion Menge aller U. einer Funktion 198ff., 534. 204; U einer Mengenfunktion 408, Summe von Mächtigkeiten 6, S. v. 410, 413. Mengen 2; S. v. Ordnungstypen 13; Unstetigkeitsteil 411. S. einer Reihe 35; absolute S. einer Unterfunktion einer FunktionenMengenfunktion 400. folge 230. Systembruch 44, 47, 48, 50. unterhalb gleichmäßig oszillierend 254, 260; u. sekundär- gleichmäßig Teil einer Menge 1; Menge aller T. 10; oszillierend 257. positiver, negativer T. einer Mengen- unterhalb stetig, s. halbstetig. funktion 400. Untersystem 480. Teilfolge 2; Menge aller T. 45. Unterzahl einer Zahlenmenge 30;

600 Sachverzeichnis. einer Funktion 114; einer Funktionen- vollständige Menge 100 ff. folge 230; U. bei Vernachlässigung vor 11. von E-Mengen 174. Unterzerlegung 399, 484. wesentlich-gleichmäßig konverunvollständige Bairesche Funktion gent 558, 572. 381. wohlgeordnete Menge 15ff.; w. M. Urbild 6, 140, 141. 1 reeller Zahlen 50; w. M. abgeschlossener, offener Mengen 95, Variation (positive, negative V.) 96; Wohlordnung einer beliebigen einer Funktion f(x) 400, 484, 496, Menge 25. 500; einer Funktion f (x1, x2,..., xk) 540, 543; s. auch endliche V. Zahl 28. Verbindungsmenge 7. Zahlklasse 22. Verbindungsraum 292, 383. Zerlegung 399; endliche Z. eines InVerdichtung der Singularitäten 309, tervalles 484; unendliche Z. eines 313. Intervalles 502; Z. eines KurvenVereinigung 2; V. abzählbarer Men- bogens 542. gen 9; V. von M. der Mächtigkeit c Zerlegungsintervall 502. 46; V. abgeschlossener M. 62; V. Zerlegungspunkt 484, 502. offener M. 63; V. von a-Vereinigun- Zerlegungssystem 453. gen, o-Durchschnitten 65; V. insich- zusammengesetzte Abbildung 145. dichter M. 75; V. perfekter M. 76; zusammenhängendeMenge 82; steV. dichter M. 78; V. nirgends dich- tige Funktionen auf z. M. 130; steter M. 81; V. von M. erster Kate- tiges Bild einer z. M. 143. gorie 81; V. zusammenhängender M. Zusammensetzung von Baireschen 82, 83; V. Borelscher M. 337; V. von Funktionen 320, 330; von F. endMengen Sac, ')a 335; V. meßbarer licher Variation 490; von totalsteM. 425, 426, 443. tigen F. 527; von R-meßbaren F. a-Vereinigung s. unter A. 556, 585. Vernachlässigung von E-Mengen Zusammenziehen einer Menge auf 173; V. von Teilen erster Kategorie einen Punkt, auf eine Menge 68, 325; Funktionen erster Klasse bei 74. V. abzählbarer Mengen 366. Zuwachs 470; Z. einer Funktion Vertauschung von Grenzübergängen totalstetigen Absolutzuwachses 477, bei Doppelfolgen 288 ff.; bei Funk- 478; Z. einer monotonen F. 588. tionen f(b, c) 294 ff. zwischen 12. Druck von Oscar Brandstetter in Leipzig.