Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

14 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre.
(oder, was dasselbe heißt, der Ordnungstypus der Menge der negativen ganzen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung) wird mit co*
bezeichnet. Demnach bezeichnet co* +co den Ordnungstypus der
Menge aller ganzen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung.
Der Ordnungstypus der Menge aller rationalen Zahlen in ihrer
natürlichen Anordnung:
r vor r' wenn r <r,
wird mit n bezeichnet. Es gilt der Satz:
Satz I. Ist eine abzählbare Menge so geordnet, daß sie
kein erstes und kein letztes Element hat, und daß zwischen
je zweien ihrer Elemente stets mindestens ein Element
liegt, so ist ihr Ordnungstypus Ö.
Sei in der Tat 91 die gegebene abzählbare Menge in der in
Satz I geschilderten Anordnung, und sei 9 die Menge der rationalen
Zahlen in natürlicher Anordnung. Da % und 9R abzählbar-unendlich
sind (~ 2, Satz VI), können die Elemente dieser beiden Mengen in der
Form angeschrieben werden:
(0) X: al, a,,..., a",...
(i) ': 'rl,,,, r n.., r,...
Wir definieren durch Induktion eine ähnliche Abbildung A von
R9 auf einen Teil 91' von 91, die der Zahl r, das Element ay~ zuordne, vermöge der Festsetzungen:
1. Es ist a,1 a1.
2. Seien r <r <... < r die n Zahlen r1, r2,..., r, in ihrer
natürlichen Reihenfolge, und seien die Bilder al, aV2,..., a von
rl, r2,..., r, bereits definiert, und zwar so, daß wenn Di (i = 1, 2,..., n)
das Bild von ri bedeutet, in 91 die Anordnung besteht:
v vor a... vor a,.
Die Zahl r,+- genügt dann einer und nur einer der Ungleichungen:
"+l<ri, ri<rO+l<r2,..<, r?^-l < r,"+l < r<r+l.
Zufolge der Vorraussetzungen von Satz I gibt es in 91 gewiß ein
Element a, das der entsprechenden unter den Relationen
a vor a1, al vor a vor a2,..., al _ vor a vor a", a, vor a
genügt, und unter allen dieser betreffenden Relation genügenden a
gibt es eines, das bei der Schreibweise (0) von 1 kleinsten Index
hat. Dieses werde für a + 1 gewählt.