Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

122 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
auftretenden Summen einen Sinn haben. Aus (3), (4), (5) folgt
aber (1).
SatzIX1). Ist 2f kompakt, so gibt es in 5o einen Punkt a'
und einen Punkt a", in denen:
(">)G (a'; f, 2) -G(f, 92); g(a"; f, )= (f, 2).
Wir beweisen die erste Hälfte der Behauptung, wobei wir
vermöge der Schränkungstransformation wieder ohne weiteres annehmen können, f sei beschränkt. Dann gibt es in 51 einen Punkt
a, derart, daß:
(**) f(an) > (f, 92)Da - kompakt ist, gibt es in {a)} eine Teilfolge {any}, die einen
Grenzpunkt a' besitzt, und wegen (**) ist:
lim f(an,)= Ga(f, 52).
Also ist, nach der allgemeinen Definition von G(a'; f, 51):
G(a'; f, 5) G(f, 5).
Dies in Verbindung mit (0) von Satz II aber ergibt die erste Hälfte
von (*), und analog beweist man die zweite.
Die Voraussetzung, 95 sei kompakt', kann in Satz IX 'nicht
entbehrt werden. Denn sei 52 irgendeine nicht kompakte Menge.
Dann gibt es in 51 einen abzählbaren Teil al, a2,..., a,... ohne
lHäufungspunkt. Wir definieren: f (an) =n; f(a) 0 in den nicht
zu { a.} gehörenden Punkten von 51. Dann ist G (f, 51) = -4- co,
während G(a; f, 51) in jedem Punkte von a endlich ist.
~ 3. Stetigkeit in einem Punkte.
Die auf der Punktmenge 51 definierte Funktion f heißt stetig
auf 52 im Punkte a von 52, wenn für jede Punktfolge {a,} aus
91 mit lima, ==a auch:
(*) n lim f (a,) = f (a)
n == CO
ist. Ist die Funktion f' nicht stetig in a auf 51, so heißt sie unstetig in a auf 51. Jeder Punkt, in dem f stetig (unstetig) auf 51
ist, heißt ein Stetigkeits-(Unstetigkeits-)punkt von f auf 21.
~) Dieser Satz dürfte (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) auf
Weierstraß zurückgehen. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz (Kap. 1, ~ 1,
S. 58); M. Fr6chet, Rend. Pal. 22 (1906), 8.