Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

430 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
Daraus folgt leicht:
Satz XVII. Hat 9/ endliches äußeres 9-Maß1), und gibt
es in 9 einen 9-meßbaren Teil 93, so daß
(x x) ) ()- 9 (9N),
so ist auch 9I p-meßbar.
In der Tat, da D9 p-meßbar und m-<2f, ergibt (0):
9 ( ()- (m) + f (9 - 9 ),
also wegen (xx):
f ( — 9)=- 0.
Also ist nach Satz XVI 2 - 93J p-meßbar, also ist nach Satz III auch
A=- = + (f - 9R)
9T-meßbar, und Satz XVII ist bewiesen.
~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen.
Wir unterwerfen nun die Maßfunktion 9c außer den Forderungen
1., 2., 3. von ~ 5 noch der weiteren Forderung:
4. Haben die beiden Mengen % und O positiven Abstand:
r(S, Q3)>0,
so ist:
(,+ +)= (W +<(3).
Eine Maßfunktion, die auch noch dieser Forderung genügt,
wollen wir eine gewöhnliche Maßfunktion2) nennen.
Satz I. Ist f9 eine gewöhnliche Maßfunktion, so ist
jede abgeschlossene und jede offene Menge 9-meßbar.
1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei 93 irgendeine 9q-meßbare Menge, für die 99 (s9)-= + oo, und sei! eine zu ~D9 fremde,
nicht 9 -meßbare Menge. Setzen wir 9 = 9 4+ l, so ist auch q (2)) =+- oo,
aber 9I ist nicht 99-meßbar, denn da die q9-meßbaren Mengen einen Körper
bilden, müßte dann auch 1i- 91 - =f p -mmeßbar sein, was nach Annahme nicht
der Fall ist.
2) C. Caratheodory unterwirft alle Maßfunktionen den Forderungen
1., 2., 3., 4. Wir sind von dieser Terminologie abgewichen, um auch die (von
Forderung 4. unabhängigen) Sätze des vorigen Paragraphen einfach aussprechen
zu können. - Ein Beispiel einer Maßfunktion, die nicht gewöhnliche Maßfunktion ist, erhält man, indem man setzt: p (91)= 1 für jede nicht leere
Menge 91. Der a- Körper der p- meßbaren Mengen besteht in dem Falle aus
der leeren Menge und dem ganzen Raume 9R. - Ein anderes Beispiel bei
C. Caratheodory, Vorl. über reelle Funktionen, 362.