Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

112 Punktmengen.
Ist a ein Punkt von 1' und (x', x") ein Intervall von 9Ji, so
wird geordnet:
(x', x") vor a wenn x" <a; a vor (x', x") wenn a< x'.
Nun hat 1M den Ordnungstypus r (Satz II), also gibt es eine ähnliche Abbildung A von M9 auf die Menge 91 aller rationalen Zahlen.
Jeder Punkt a von 1' zerlegt 92 in zwei Teile, die Menge 91' aller
Intervalle vor a, und die Menge W" der übrigen Intervalle. In 91'
gibt es kein letztes, in 9t" kein erstes Element, da sonst a nicht
Punkt zweiter Art wäre. Vermöge der Abbildung A entspricht der
Zerlegung $9' + 9)" von m) eine Zerlegung 91' 4-91" von W. Da es
in $9' kein letztes, in $J9" kein erstes Intervall gibt, gibt es in S'
keine größte, in 9" keine kleinste rationale Zahl. Es gibt daher
eine und nur eine irrationale Zahl, die zwischen allen Zahlen von
91' und allen Zahlen von 91" liegt. Indem wir sie dem Punkte a
zuordnen, haben wir eine ähnliche Abbildung von 29' auf die Menge
aller irrationalen Zahlen definiert, womit Satz V bewiesen ist.