Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

376 Die Baireschen Funktionen.
Sei in der Tat f(x) von höchstens erster Klasse in [0,1].
Dann gibt es eine Folge {fy (x)} in [0, 1] stetiger Funktionen,
so daß:
(*) f (x) -- lim fV (x).
v = 0
Vermöge der Schränkungstransformation können wir f und die f,
als beschränkt annehmen. Nach Satz I gibt es zu f (x) in (0)
eine Funktion hn( (x), so daß:
(**) -v()-h (x) <_ in [0, 1].
Aus (*) und (**) aber folgt:
f (x) -=-imn h, (x),
und Satz II ist bewiesen.
Satz III. Es gibt eine Bairesche Funktion h(x,t) im
Einheitsquadratel) der xt-Ebene, aus der jede der Funktionen h"(x) von Satz I erhalten werden kann, indem man
der Veränderlichen t einen festen Wert erteilt.
Sei in der Tat cp,(t) die Funktion erster Klasse, die definiert
ist durch:
1 1
P (t) =1 für t=-, q~(t)=0 für t + -,
In n
eo ist die durch:
h (x, t)a= cpF, (t) hn (x)
definierte Funktion eine Bairesche Funktion (höchstens zweiter
Klasse), und es ist:
n (x) =h ).
Damit ist Satz III bewiesen.
Satz IV. Es gibt eineBairescheFunktion f(x,t) im Einheitsquadrate der xt-Eben6, aus der jede Bairesche Funktion f(x) von geringerer als a-ter Klasse in [0,1] erhalten
werden kann, indem man der Veränderlichen t einen festen
Wert erteilt.
Für den Beweis von Satz IV wollen wir die bisherige Terminologie dahin abändern, daß wir unter Funktionen 0-ter Klasse nicht
mehr alle stetigen Funktionen, sondern nur mehr die abzählbar
vielen Funktionen (0) verstehen. Nach Satz II bleibt der Begriff
1) D. h. im Quadrate Ox<1, O~t<l.