Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

466 Die Funktionen endlicher Variation.
und definieren die Differenz A (3) von f((x, x2,..., Xk) im Intervalle
(1) als die Differenz von p (x2,..., x) im Intervalle [a,..., a.;
b2..., b]. Man bestätigt dann sofort durch Induktion folgendes
Bildungsgesetz von A (3): Es ist A (3) die Summe aller jener
Glieder, die man aus f(bl, b2,..., b) erhält, indem man darin
auf alle möglichen Weisen 0, 1, 2,..., k der Zahlen b, durch die
entsprechende Zahl ac ersetzt, und das Vorzeichen + oder - gibt,
je nachdem die Zahl der ersetzten b, gerade oder ungerade ist.
Daraus folgt ohne weiteres: Ist
a, - al, < al, 1 <... < a1, n-l < a1, n bx,
und wird gesetzt:
3v -- [a, _, a,-1..., ak; a1,, b2..., bk],
so ist:
A ) A=d(%) + A(2) + + (A )
Indem man diese Tatsache mehrmals hintereinander anwendet,
findet man: Ist
ai= ai,o<ai,< <...< ai,-, n bi (i- 1, 2,., c),:
und wird gesetzt:
(2) Sl, 3'2. Vk = [al, " t 2, '2-1, * * * ak 'k-1; al, l a2~, )'2S. ak, k]
so ist:
~1 n.2 nk
(3)(3)= 2 2 *. S (, A.)
Y=l:l 12=-1 VIc.l
Daraus folgt endlich allgemein: Ist
55 === + l2 * + n
irgendein endliches Zerlegungssystem (Kap. VI, ~ 8, S. 453) von 3,
so ist:
(4) A (3) = (31) + (3)+...+ (,).
Sei in der Tat:
-- [a:t,, a2,.y,..., ak, b,., 5,,]
Seien ai,o, ai, 1,.. ai, i die sämtlichen verschiedenen a,. und b,,
der Größe nach geordnet. Die Intervalle (2) bilden dann ein Zerlegungssystem von 3, und sie zerfallen in n Inbegriffe, deren jeder
ein Zerlegungssystem eines der Intervalle *..., Sn darstellt.
Wendet man auf 3 Formel (3) an, und sammelt in der rechts auftretenden Summe die zu 31, zu ~,..., zu 2j gehörigen 1 3~,,.., V,
so erhält man die behauptete Formel (4).