Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

422 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
Singularteil 9xx leer, und mithin:
p xx (2)= (fXX) =0.
Satz XI. Jede absolut-additive Mengenfunktion ist
Summe ihrer Regularitäts- und ihrer Singularitätsfunktion
nach ß:
(1) =xP x- 99XX
und mithin (Satz IX, X) Summe einer nach ß totalstetigen
und einer nach ß rein-singulären Mengenfunktion.
In der Tat, ist pxx (29) unendlich, so ist wegen
cxx (1)= 9 (1XX)
nach ~ 1, Satz II auch p (91) unendlich vom selben Zeichen, so daß
in dem Falle (1) bewiesen ist.
Ist hingegen pxx (91) endlich, so können nach Satz VII Regulärteil 29X und Singulärteil 9xx so gewählt werden, daß
Dann aber ist:xx
Dann aber ist:'
99 (1) = 9 (1X) + (9 XX)= 9 X (1)+ 9XX (x)
und Satz XI ist in allen Fällen bewiesen.
Satz XII. Ist die absolut-additive Mengenfunktion 99
endlich, so gibt es außer der Zerlegung (1) von Satz XI
keine andere Zerlegung von p in zwei endliche, absolutadditive Summanden, von denen der eine totälstetig, der
andere rein-singulär nach i ist.
Sei in der Tat:
(2) P =991 + q92
wo p91 totalstetig, 992 rein-singulär nach p. Sei 91 eine beliebige
Menge aus M. -Da nach Voraussetzung 99 (9) endlich ist, so ist
auch (nach ~ 1, Satz II) 99xx (91) -- (9XX) endlich, und nach Satz VII
können 9x und s9xx so gewählt werden, daß:
(3) ~= _Wx + xx.
Da p9i totalstetig und >XX Singulärteil, ist
(91 (X X)-,.0
mithin aus (3):
(4) 991 (9x)= 9CP () - 99 (Xxx) 199 (1).
Da 991 totalstetig, ist jeder für 992 singuläre Teil auch singulär für
99, es ist also 9x frei von Teilen, die für 99 singular, und da 99
rein-singulär, ist:
(5) 92 (X) = 0.