Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

272 Funktionenfolgen.
eine Teilfolge von {f,} ist, so ist offenbar:
U (a; {>f } -U (a; {f,,, })
mithin ist {f,}, ebenso wie {fu,,), ungleichmäßig konvergent auf 9f
in jedem Punkte von 8ö, und da dies für jedes / gilt, auch in jedem
Punkte von 3.
Sei endlich a ein Punkt von 9[ - 3, {a} eine Punktfolge aus
9I, {v.} eine Indizesfolge mit:
lim a. —a; lim va -+ oo.
n=-oo n=oo
Um zu zeigen, daß {f,} in a gleichmäßig auf S1 konvergiert, haben
wir nachzuweisen:
lim f,. (an)= O.
n=cO
Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es ein e>0, so daß
fVn (a,)>_ für unendlich viele n,
und, indem wir von {aj} zu einer Teilfolge übergehen, können wir
geradezu annehmen:
(***) fn(a,) ef für alle n.
Wegen (***) müßte es also ein *(<) geben, so daß unendlich
viele.f zur Folge -.1 f**, } gehören. Dann aber steht (**) in Widerspruch zur Tatsache, daß {ft*,,} in a gleichniäßig auf 9f gegen 0
konvergiert. Damit ist Satz VI bewiesen.
Nunmehr können wir die Umkehrung von Satz III beweisen:
Satz VII. Damit es eine a'uf 1 konvergente Funktionenfolge {f-} gebe, die ungleichmäßig auf 2f konvergiert in
allen Punkten von $, gleichmäßig auf 9 in allen Punkten
von X -t, ist notwendig und hinreichend, daß 3 Vereinigung abzählbar vieler in 9f abgeschlossener Teile von
9f1 sei.
Die Bedingung ist notwendig; dies ist schon in Satz III enthalten.
Die Bedingung ist hinreichend. Sei in der Tat:
wo js, ages sen in. Nach K. +;, ~ 2, Satz X I k tn
wo jedes i 3, abgeschlossen in n. Nach Kap. I, ~ 2, Satz XI können
wir annehmen: