Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

570 Die meßbaren Funktionen.
und mithin ist wegen (000):
( - *) == o.
Damit ist Satz XII bewiesen').
~ 4. Asymptotische Konvergenz.
Sei 9 eine Menge endlichen p-Maßes und {f4} eine Folge auf
9 n-meßbarer Funktionen, die überall auf 91, abgesehen von einer
Nullmenge, gegen eine endliche Grenzfunktion f konvergiert. Nach
~ 2, Satz IX ist dann für jedes q 0:
(*) lim (/([| f-l- ~, _| q)) 0.
Ist nun 3 eine Menge endlichen 99-Maßes, oder Vereinigung abzählbar vieler Mengen endlichen Öp-Maßes, so definieren wir allgemein:
Sei {f,} eine Folge auf der Menge B3 q-meßbarer Funktionen, und
sei f äquivalent einer auf S3 endlichen, pU-meßbaren Funktion; gilt
dann für jeden Teil 9 von 3, der endliches p-Maß hat, und für
jedes q > 0 Gleichung (*), so heißt die Folge {f,} eigentlich asymptotisch konvergent auf S3 gegen f. Allgemein heißt {f1}
asymptotisch konvergent gegen f, wenn die durch Anwendung der Schränkungstransformation aus {f,} hervorgehende Folge
eigentlich asymptotisch gegen die durch die Schränkungstransformation aus f hervorgehende Funktion konvergiert2). Aus ~ 2, Satz IX
entnehmen wir:
Satz I. Konvergiert die Folge {f,} auf 93 99-meßbarer
Funktionen überall auf 3, abgesehen von einer Nullmenge,
gegen f, so konvergiert sie auch asymptotisch auf 93
gegen f.
Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Beispiel: Sei 93 das
Intervall [0, 1] des ~9i und g der lineare Inhalt,. Für =, 2i+ v'
(v'- 0,,..., 2i - 1) sei:
f, = in, 2i, sonst f== 0.
1) Satz XII kann nicht etwa dahin erweitert werden, daß f stetig ist
auf einem maßgleichen Kerne von 1. Dies zeigt die in (ttt), S. 568 angegebene Funktion f, die total-unstetig ist auf jedem maßgleichen Kerne
von [a, b].
2) Der Begriff der asymptotischen Konvergenz wurde eingeführt von
Fr. Riesz (C. R. 148 (1909), 1303) unter der Bezeichnung,convergence en
mesure". Der Name,asymptotische Konvergenz" schließt sich an E. Borel,
Journ. de math. (6) 8 (1912), 192.