Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

24 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre.
Wir definieren eine Teilfolge {/nl} aus (tt) durch folgende Festsetzungen:
2. Da es in (ft) keine größte Ordinalzahl gibt, so gibt es,
wenn ß,S gewählt ist, unter den in (tt) auf fi, folgenden Zahlen
solche, die >,,B (n 1, 2,..., n,) sind. Die erste von ihnen
wählen wir für l
Wir behaupten: Wird a,=z,, gesetzt, so leistet die Folge {aca}
das Verlangte.
In der Tat, die erste Relation (t) ist offenbar erfüllt. Was
die zweite anlangt, so sei ßi irgendeine Ordinalzahl < o. Sie kommt
in (tf) vor, etwa als das Glied,n*. Unter den Indizes n,, der
Folge {fß,} sind fast alle >n*. Sobald aber n,>n*, ist zufolge
der Wahl von ßf,:
A > ßn* -ß
Also ist für fast alle Glieder von {nß,J}
ß < ßn <a'
womit auch die zweite Relation (-) nachgewiesen ist. Damit ist
Satz XVII bewiesen.
Dieselbe Rolle, die in der natürlichen Zahlenreihe der Satz von
der vollständigen Induktion (in der Form des Schlusses ~von n auf
- + 1") spielt, spielt in der Lehre von den transfiniten Ordinalzahlen der Satz von der transfiniten Induktion:
Satz XVIII. Eine Aussage A ha'be die folgenden Eigenschaften:
1. Sie gilt für die Ordinalzahl a,.
2. Wenn sie für alle der Ungleichung:
a ß< a
genügenden Ordinalzahlen ß gilt, so gilt sie auch für a.
Dann gilt die Aussage A für alle Ordinalzahlen >a%.
Angenommen in der Tat, es gäbe eine Ordinalzahl a*> o, für
die A nicht gilt. In der Menge aller der Ungleichung:
aoß<
genügenden Ordinalzahlen ß gibt es (Satz XI) eine kleinste f*, für
die A nicht gilt. Wegen Eigenschaft 1. von A ist 3*>a, und es
gilt A für alle der Ungleichung:
e0o /ß < ß*