Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 9. Absolut-additive Mengenfunktionen im A9. 461
Dies galt für jedes o > 0, also ist auch
9 (9) lim rp (E, ) < pl; (9),
e=+o
und (00) ist nachgewiesen. Aus (0) und (00) aber folgt die behauptete Gleichheit f (W2) = k ()-).
Auf neue Inhaltsfunktionen kommen wir hingegen ), wenn wir unter v (Z)
nicht, wie soeben, den k-dimensionalen Inhalt der Kugel Z, sondern den q-dimensionalen (q < k) Inhalt einer q-dimensionalen Kugel von gleichem Radius wie
5 verstehen. Wir bezeichnen dann die entstehende Mengenfunktion mit rq (2) und
nennen sieden q-dimensionalen äußeren Inhalt von i2 (im Falle q ==1 auch
den linearen äußeren Inhalt). Die,q-meBbaren Mengen heißen q-dimensionalmeßbar, und Mpq() heißt dann der q-dimensionale Inhalt von 2f. Das
innere /q-Maß von S2 wird bezeichnet mit p.* (91) und heißt der q-dimensionale
innere Inhalt von 21. Auch iq ist eine reguläre Maßfunktion. Es gelten
daher die zu den Sätzen II, III, IV analogen Sätze auch,für p q < k). Doch
besteht kein Analogon zu Satz V. Vielmehr ist, wenn q < k, für jede offene
Menge 0. des Rk:
11q (i) ==4- +,
wie aus folgendem Satze hervorgeht:
Satz XI. Ist für die Punktmenge 92 des 9k 4(92t) endlich, so ist
für q<q'~k:
to, (=) =0.
In der Tat, jedes System T (9, Ö) besteht aus k-dimensionalen Kugeln t,
von Radien <, in deren Vereinigung 91 enthalten ist. Sei T (SZ) der p-dimensionale Inhalt der p-dimensionalen Kugel von gleichem Radius wie Z, und
sei Sp {T (, e)} die Summe der Tp () für alle Z von T (91, )). Zufolge der
Definition von pq gibt es für jedes > 0 ein System T (, Ö), für das:
(*) sq T (2S, e)} < Iq (9) + 1.
Nun ist aber für alle Kugeln 5, deren Radius < e ist, und für q < q' ck:
Tq, (Z) < ~C q'-, q (Z),
wo c eine geeignete Konstante. Also ist:
Sq' {T (9, e)} < c e'- S, {T (21, e)}.
Also gilt für die untere Schranke 9gq' (1, e) der S, {T (9I, ')}, wegen (*):
fq' (2X, e) <c Q'- q (q () -- ),
und mithin ist, wegen q' > q:
q' (i) =e) lim 9Q, (9, ) 0,
wie behauptet.
~ 9. Absolut-additive Mengenfunktionen im il;.
Sei M ein o-Körper von q-dimensional (q<k) meßbaren Punktmengen
des Dik, und sei tp eine in M definierte, absolut-additive Mengenfunktion. Mit
po bezeichnen wir wieder den q-dimensionalen Inhalt. Ist die Mengenfunk1) C. Carath6odory, Gött. Nachr. 1914, 420. F. Hausdorff, Math.
Ann. 79 (1918), 163.