Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 2. Kompakte, abgeschlossene, offene Punktmengen. 59
Die Bedingung ist hinreichend1). In der Tat, da kompakt,
besitzt {a} gewiß einen Häufungspunkt a. Angenommen nun, es sei
nicht
lim a = a.
n-o
Dann gibt es ein Q>O, so daß:
r (an, a)> Q
für unendlich viele n, d. h. es gibt in {a,} eine Teilfolge {a"}, so
daß
(0) r (a,)>Q
für alle v. Da % kompakt, hat {a, } und somit auch {a"} einen
Häufungspunkt, der wegen (0) nicht der Punkt a sein kann. Damit
ist Satz I bewiesen.
Satz II. Damit eine Punktmenge 91 des euklidischen 9k
kompakt sei, ist notwendig und hinreichend die Existenz
einer endlichen Zahlp, so daß für allePunkte (x, x2,..., xk)
von 2):
lx.~lp (n= 1, 2,... ).
Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie
sei nicht erfüllt. Es gibt dann in 9f zu jedem v einen Punkt:
a?, = (xl, Xv,,. ~., xk, v),
für den mindestens eine der Ungleichungen
( ~) |\~Xn,^I _" V (n 2,,..., k)
gilt. Wir werden nun zeigen, daß die Folge {a"} keinen Häufungspunkt besitzt.
Angenommen, es wäre a Häufungspunkt von {(a}. Es gäbe dann
in {a"} eine Teilfolge {an}), so daß
(**) lim an" =- a.
v= 00
Wir bezeichnen mit r, und r die Abstände der Punkte an, und
1) Hierfür kann die Voraussetzung, 91 sei kompakt, nicht entbehrt wer1
den. Beispiel im 9S: Ist a2 = 1_-, a -=n, so hat {an} nur den Häufungspunkt 0, ist aber nicht konvergent. Dieser Unterschied zwischen dem
S1 und der Menge aller reellen Zahlen (Einleitung ~ 6, Satz VIII) rührt daher,
daß wir zu dieser letzteren Menge die Zahlen oo, - oo mitrechnen, denen
im 9Rl keine Punkte entsprechen.
2) Eine solche Punktmenge des DRk wird vielfach auch als beschränkt
bezeichnet.