Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

354 Die Baireschen Funktionen.
reichend, daß es zu jedeme>0 eine Folge von Teilen {9X}
von %9 und eine Folge von Funktionen {f,} auf 9f gibt, mitfolgenden Eigenschaften:
1. Jedes 9cJ ist höchstens eine Menge ZS in 9f.
2. 9= 91 + A l2 +. + + v( *
3. Jedes f;, ist von geringerer als a-ter Klasse auf 91.
4. f-fv\j~ auf ~ (V=, 2,...).
Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f von höchstens
x-ter Klasse auf 92. Dann gibt es eine Darstellung:
(*) f== lim f',
V, = 00
wo die, von geringerer als a-ter Klasse. Indem wir (nach ~ 1,
Satz VIIIa) alle Werte von f, die > v sind, durch v ersetzen, alle
Werte, die <-v sind, durch -v, sehen wir, daß wir die f, als
endlich annehmen können. Sei e > 0 beliebig gegeben. Wir setzen
zur Abkürzung:(**) in,-t v - ((f1 _ fd+ )2 < f 2)
und setzen weiter:
=Jfl. 1, ' t, 2,.. ' Ot,, t....
Da (fv- f/+t)2 von geringerer als a-ter Klasse, ist nach ~ 7, Satz I:yiJ, höchstens eine Menge $C, und daher ist nach ~ 4, Satz III
auch 9J1V höchstens eine Menge Sa, wie Eigenschaft 1. es verlangt.
Da nach Voraussetzung f endlich ist, so ist {fü} überall auf 9
eigentlich konvergent, und mithin ist:
()***,) t =~m, tr,+ 9 +- +...
wie Eigenschaft 2. es verlangt.
Da jedes f, von geringerer als a-ter Klasse, ist Eigenschaft 3.
erfüllt. Und wegen (**) ist
1 fi- f,,+_ Ce auf 9Jl, für alle,u;
Der Grenzübergang u — oo ergibt daraus das Bestehen von Eigenschaft 4., womit die Behauptung bewiesen ist.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat,
sie sei erfüllt. Wir bezeichnen mit 9f die Funktion, die = f ist auf
m und = f auf (- + SR2 +...+ 9,)- (r1 + 2 +... - + 9Xi)
(für v>1). Nach Satz I ist sie von höchstens a-ter Klasse auf 9,
und es ist auf ganz 91:
i -f ~e.
Ist {e"} eine Folge positiver Zahlen mit lim E-= 0, so können
ti =00