Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 8. Halbstetigkeit in einem Punkte. 153
Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat,
f sei oberhalb stetig in a auf 2f. Aus (0) und der allgemeinen Definition von G(a; f,9) (~2, S. 117) folgt:
(*1*) G(a; fÄ) <f (a).
Nach ~ 2, Satz II aber ist:
(^* *), G (a; f, W) (a).
Durch (**) und (***) aber ist (*) bewiesen.
Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so folgt
aus der allgemeinen Definition von G (a; f, ) sofort (0), d.h. f ist
in a oberhalb stetig auf 21, und Satz I ist bewiesen.
Durch Berufung auf ~ 2, Satz III erkennen wir nun unmittelbar:
Satz II. Geht f durch die Schränkungstransformation
über in f*, so sind f und f* in jedem Punkte von 9f gleichzeitig oberhalb (unterhalb) stetig auf 9A.
Satz III1). Damit f oberhalb stetig sei in a auf 92, ist
notwendig und hinreichend, daß es zu jedem q>f(a) eine
Umgebung Ul von a in 2 gebe, so daß:
f(a')< q für alle a' von 1t.
Die Bedingung ist no twendig. Angenommen, es gäbe zu
einem q> f(a) keine solche Umgebung U. Dann gäbe es in I(a;)
ein a von 2[, so daß:
f (a)>q f( ().
Dann aber ist:
lima - a; lii f(a)> f (a),
n = ( E == O
und f ist nicht oberhalb stetig in a.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen, sie sei erfüllt.
Für jede Folge {a"} aus 92 mit limi a —a' liegen dann fast alle
a in 11; es ist also: n =
f(a),)<q für fast alle n.
Und da dies für jedes q > f(a) zutrifft, ist:
lim f (a) <= f (a),
n= 0O
d. h. f ist oberhalb stetig in a. Damit ist Satz III bewiesen.
Sowie in ~ 3 Satz V aus Satz IV, folgt nun hier aus Satz III:
1) Ein analoger Satz gilt für unterhalb stetiges /. Es sind die Ungleichungen q > f (a), f(a') < q zu ersetzen durch p < f (a), f (a') >p.