Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 3. Ausgezeichnete Folgen von Intervallsystemen. 481
3* eine offene Menge ist, gibt es zufolge der Definition von n zu
jedem e 0 ein endliches Intervallsystem G aus 3*, so daß:
(2) P((e;)>^(3*)_e.
Sei nun {G } eine ausgezeichnete Folge von Intervallsystemen
aus ~. Wir zerlegen 2. in zwei Teilsysteme,g und t, wo (G diejenigen Intervalle von (G enthält, die ganz in einem Intervalle von
S liegen, Gt' die übrigen. Weil {S,,} eine ausgezeichnete Folge von
Intervallsystemen aus 3 ist, und mithin (0) gilt, ist offenbar:
limr (v;)= (~).
y = Q
In w gibt es nun ein endliches Teilsystem G, so daß auch:
(3) lim k() = ().
V = o
Wir können (G durch Hinzufügung eines endlichen Intervallsystems
G3? zu einem Untersystem G, von G ergänzen. Aus (3) folgt
dabei:
(4) lim k())-=0.
V= 00o
Nun setzt sich P(Gy) folgendermaßen zusammen:
(5) P(QO) = P() - P((,) + P () - P(,) + P (").
Da Untersystem von G, ist nach (1):
(6) P(v) >P().
Weil z von totalstetigem Absolutzuwachse, folgt nach ~ 2, Satz V
aus (4):
(7) lim A(G:*) 0 und somit: lim P()*)= 0.
v= om = CO
Ferner ist offenbar:
(8) P (~;,) > P (~); P(;) O0.
Wegen (6), (7) und (8) folgt aus (5):
P(V,)>P(G()-e8 für fast alle v,
und somit weiter wegen (2):
P(G;)>:(y3*)-2e für fast alle v.
Da hierin e > 0 beliebig war, und da andererseits (vgl. S. 476, Fußn. 1)::t (3*) P (G,,) für alle v,
so folgt daraus:
lim P(h )= - ($ ),
hn, The eellen nktonen.. 3100
Hl ahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 31