Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

336 Die Baireschen Funktionen.
In der Tat, für a -1 sind die Behauptungen richtig: Satz II
kommt für ac =1 nicht in Frage, Satz III und IV aber reduzieren
sich auf Kap. I, ~ 2, Satz IV, V, VI, VII.
Wir nehmen nun an, die Behauptungen von Satz II, III, IV
treffen zu für alle c'< a, und beweisen, daß sie dann auch für a
zutreffen.
Beweis von Satz II: Die -Behauptung ist offenbar richtig,
wenn a eine Grenzzahl; denn es ist zufolge Definition der Mengen E":
(0) = +- - +-... +.+-...,
wo {l,} monoton wachsend, und jedes W9 von geringerer als a-ter
Ordnung. Ist etwa Wy von der Ordnung 'f, so ist wegen ßv<ma
auch ß, + 1 < a und W9 ist höchstens eine Menge fs+ i.
Ist hingegen a eine isolierte Zahl, so haben wir drei Fälle
zu unterscheiden.
1. Fall: 9) ist höchstens eine Menge )a-1. Dann ist die Behauptung richtig; man hat nur zu setzen: 9)l,==).
2. Fall: 9D1 ist eine Menge a-i1. Dann ist die Behauptung
richtig; denn für ac> 21) gilt wieder (0), wo nun jedes W, von
geringerer als (c - 1)-ter Ordnung und mithin höchstens eine Menge
Sa-lt
3. Fall: 9) ist eine Menge 8,. Wieder gilt (0), wo nun jedes
9:, von geringerer als a-ter Ordnung. Gäbe es unter den 9, unendlich viele, die höchstens Mengen _,-i sind, so könnte (da {9W}
monoton wächst) D9 als Vereinigung dieser aufgefaßt werden, und
wäre nach Satz III (der für a- 1 als gültig angenommen ist) selbst
höchstens eine Menge 8~_i, entgegen der Annahme. Also sind fast
alle W, Mengen a-i1. Indem man die endlich vielen 9W, die es
nicht sind, wegläßt, entsteht aus {1,} die gewünschte Folge {9)1},
und Satz II ist bewiesen.
Beweis von Satz III: Sei
-- = 4-... 4 4.X..,
wo jedes 9)v höchstens eine Menge a,. Es ist also nach Satz II:
(00) s= - i+,2+-* + + 9
wo jedes V),A, höchstens eine Menge ay, (aC,,. < c). Wir bezeichnen
mit s91k die Vereinigung der Mengen )4,,. (v 1, 2,..., k; / =- 1, 2,..., k).
Nach Satz IV (der fir a' < a als gültig angenommen wurde) ist dann
q) von geringerer als a-ter Ordnung. Ferner ist:
Im Falle 2 reduziert sich die Behauptung auf Kap., ~ 3, Satz IV.
1) Im Falle a= 2 reduziert sich die Behauptung auf Kap. I, ~ 3, Satz IV.