Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

412 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
der beiden Ungleichungen:
(,) (, 9, ); < V (9, ) < ) (<, 9),
so daß er nicht Unstetigkeitsteil sein kann. Also ist notwendig
A9** =9 wie behauptet.
Da aber W zu M gehört, so auch 9 - W.. Jeder Stetigkeitsteil
von 91 ist notwendig Teil von 91 —9, und da für jeden Teil Q
von 91 —:
a (9, 9) < (, -- ); (,, )() =(, - 9),
so ist 91-91 selbst ein Stetigkeitsteil 91*. Damit ist Satz IX bewiesen.
Für alle Stetigkeitsteile 9l* und für alle Unstetigkeitsteile 91**
von 91 ist (wenn n, v, ~, 7 dieselbe Bedeutung haben wie oben):
(f9, 9*)=-, v(t,9 *) —; (t,9**)=-, * (t,9 **)- =
und mithin (~ 2, Satz XIV):
f(S*))= - Y; (99(*)= —.
Wir können also in M zwei Mengenfunktionen p9*(9l) und ** (1)
definieren durch:
f* (9) = (*), 99** (91) = (,**),
wo 91* irgendeinen Stetigkeitsteil, 91** irgendeinen Unstetigkeitsteil
von 91 bedeutet. Wir nennen 99*(91) die Stetigkeitsfunktion,
9**(91) die Unstetigkeitsfunktion von 9 und behaupten:
Satz X. Stetigkeitsfunktion und Unstetigkeitsfunktion
einer in M absolut-additiven Mengenfunktion sind absolutadditiv in M.
Gemäß der Definition von 99* und 99** genügt es, nachzuweisen:
Ist {91)} eine Folge zu je zweien fremder Mengen aus M,
und ist:
= + 2,+... +...,
so sind, wenn 91/ und 9/*' Stetigkeits- und Unstetigkeitsteile von 91/ sind:
(t) fl* —; + - +...- + *..., * *= n*-k I + * +. * * * + **...
Stetigkeits- und Unstetigkeitsteile von 91.
In der Tat, wäre die durch (t) gegebene Menge 91* nicht Stetigkeitsteil von 91, so gäbe es in 91 einen zu M gehörigen, keinen Unstetigkeitspunkt enthaltenden Teil 23, für den wenigstens eine der
beiden Ungleichungen gilt:
n c(99, ) > n cp, 91*); v (99, ) > v (C,*).