Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

480 Die Funktionen endlicher Variation.
oder des Intervalles (a1, a2,..., ak; b, b2,..., bk) verstehen wir den
Abstand der beiden Punkte (a1, a,..., ak) und (b, b2,..., bk). Haben
sämtliche Intervalle des Intervallsystems ~ einen Durchmesser
<d, so nennen wir1) d eine Norm des Intervallsystenms @.
Sei { 2} eine Folge von Intervallsystemen aus dem abgeschlossenen Intervalle 3, derart daß:
(0) lim Mk(~) =- k(3).
Gibt es dann zu,, eine Norm dr, so daß:
lim d, - 0,
= -00
so heißt {?v} eine ausgezeichnete Folge von Intervallsystemen
aus S.
Das endliche Intervallsystem Z' heißt ein Untersystem von 5,
wenn jedes Intervall von ~' Teil eines Intervalles von 5, und wenn
die Vereinigung aller Intervalle von 2' übereinstimmt mit der Vereinigung aller Intervalle von (. Aus ~ 1, Satz I folgt dann sofort:
Ist E' Untersystem von S, so ist:
(1) A(~') _ A(e); P(e') P(g); N(7') N(e).
An Stelle von Satz VII, ~ 2 tritt nun der Satz:
Satz I. Ist f von totalstetigem Absolutzuwachse in der
offenen Menge q des -9k, und ist ~ ein abgeschlossenes
Intervall aus @ und 3* das aus den inneren Punkten von
~ bestehende offene Intervall, so ist für jede ausgezeichnete Folge {~}y von Intervallsystemen aus 3:
=((3)=(3*) =lin P(e,); v(3)-v(3*) lim N(~,);
a(S) - (x*)= lim A (~,).
v = 00
Es wird genügen, die erste dieser Gleichungen nachzuweisen;
denn ebenso beweist man die zweite, woraus die dritte dann von
selbst folgt.
Da a totalstetig nach /k, so auch n. Aus uk(3 - *) =0
folgt also:
a(S) = ö(*)>
d. h. die erste Hälfte der zu beweisenden Gleichung.
Nach ~ 2, Satz II ist a(3), und somit auch n(3*) endlich. Da
1) Nach J. Pierpont, The theory of functions of real variables, 1
(1905), 157.