Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

98 Punktmengen.
Satz XIX. Der insichdichte Kern einer nicht abzählbaren separablen Menge ist nicht leer.
In der Tat, nach Satz XIV und XVII ist 91t* ein nicht leerer,
insichdichter Teil von 91. Daher weiter:
Satz XX. Eine separable und separierte Menge ist abzählb ar.
Hieraus zusammen mit ~ 4, Satz VII folgt:
Satz XXI. Jede separable Menge 91 ist Summe einer in 9
perfekten und einer abzählbaren Menge.
Ist insbesondere 91 abgeschlossen, so ist (~ 2, Satz IIIa) jede in
91 perfekte Menge perfekt, und Satz XXI ergibt:
Satz XXII. Jede separable abgeschlossene Menge ist
Summe einer perfekten und einer abzählbaren Menge.
Dies kann noch wesentlich präzisiert werden, wenn wir die Ableitungen von 91 heranziehen. Da 91~+- die Menge aller Häufungspunkte von 91 ist, so ist dann und nur dann 9f1+l1= 91a, wenn 91f
perfekt; dann aber ist auch 9"'= 91a für c' > a. Wir folgern
daraus:
Satz XXIII. Unter den Ableitungen 91W einer separablen
Menge 91 gibt es eine perfekte, deren Index a zu 3~~32
gehört. Insbesondere ist also V91o perfektl).
In der Tat, andernfalls wäre für jedes a aus -1+3 -2 die Ableitung 9"a+ echter Teil von 91a, und da,1+-82 nicht abzählbar
(Einleitung ~ 4, Satz XIV), steht dies in Widerspruch zu Satz XII.
Satz XXIV. Der insichdichte Kern einer separablen
abgeschlossenen Menge 91 ist identisch mit jeder der perfekten Ableitungen von 91, insbesondere also mit C91~, und
die Zerlegung von Satz XXII kann geschrieben werden:
X 9= O91 + (1 - 21 ).
In der Tat, jeder insichdichte Teil von 91 ist Teil jeder Ableitung von 91; insbesondere gilt also, wenn 91c eine perfekte Ableitung
von W ist, für den insichdichten Kern y von 91:
(*) < 9 1~
Da 9 abgeschlossen, ist
Da ferner 91~, weil perfekt, auch in sich dicht ist, folgt aus der Definition von k:
(**) 1a,<,
1) Darin bedeutet cox die Anfangszahl von 33 (Einleitung ~ 4, S. 22).