Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

144 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
In der Tat, da a dicht in 9, gibt es zu jedem Punkt a von
9f eine Punktfolge {bn} in e3 mit:
lim b -= a.
n = Co
Nach Kap. I, ~ 8, Satz I ist {b"} eine Cauchysche Folge, d.h.
ist > 0 beliebig gegeben, so gibt es ein no, so daß:
r(b"", b"",)< für n'> n0, n"n.0.
Wegen der vorausgesetzten gleichmäßigen Stetigkeit der Abbildung B
gibt es daher zu jedem e>0 ein no, so daß für die Bilder B(b,)
der bn gilt:
r(B(b.,), B(b,")) < E für n' > n, n, n.
Es ist also auch die Folge {B(b,)} eine Cauchysche, und da (E
vollständig, gibt es in C einen Punkt c, so daß
lim B(b,)=c.
n0 = 00
Wir ergänzen nun die Abbildung B von 83 zu einer Abbildung
A von 91, indem wir setzen:
A(a)- c
Wir haben zu beweisen, daß A eine stetige Abbildung ist.
Sei zu dem Zwecke e> 0 beliebig gegeben; wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von B gibt es dazu ein c>0, so daß für je
zwei Punkte b', b" von 23:
(1) r(B(b'), B(b")) < e, wenn r(b', b") <.
Seien nun a', a" zwei Punkte aus g, für die:
(2) r(a', d")<Q.
Nach Definition der Abbildung A gibt es in $ zwei Punktfolgen {b&},
{b}, so daß:
(3) lim b'- za'; lim b' =" a";
(4) lim B (b') = A (a'); lim B (b) - A (a").
Wegen (2) und (3) ist:
r(b', bn) < für fast alle n,
daher nach (1):
r(B(b'), B(b")) <e für fast alle n.
Somit wegen (4):
r(A(a'), A (a")) <.
Es ist also die Abbildung A von 91 gleichmäßig stetig, und daher
gewiß stetig, und Satz VII ist bewiesen.