Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 2. Eigenschaften, die bei Grenzübergang erhalten bleiben. 325
Dann gilt diese Aussage A für alle Baireschen Funktionen
auf 91.
Wir wollen an dieser Stelle nur eine solche Aussage anführen, die Aussage:,f ist punktweise unstetig auf 91 bei Vernachlässigung von Teilen erster
Kategorie von 91" (Kap. III, ~ 7, S. 227). Für die auf 91 stetigen Funktionen f
ist diese Aussage in trivialer Weise richtig. Es bleibt also nur zu zeigen, daß
für diese Aussage Eigenschaft 2. gilt. Wir zeigen:
Satz II). Ist in der konvergenten Folge (ff} jede Funktion f,
punktweise unstetig auf der separablen, relativ-vollständigen
Menge 91 bei Vernachlässigung von Teilen erster Kategorie von 9,
so gilt dies auch für die Grenzfunktion f==limfv.
= 00
Vermöge der Schränkungstransformation können wir beim Beweise alle
auftretenden Funktionen als beschränkt voraussetzen. Nach Kap. III, ~ 7,
Satz XVI2) genügt es, nachzuweisen, daß für jedes q > 0 die Menge aller Punkte
von 91, in denen
(0) o *(a; f,)> q
ist, nirgends dicht (und mithin von erster Kategorie) in 9 ist. Nun ist aber
nach Kap. III, ~ 7, Satz XIII co*(a; f, 9) oberhalb stetig auf 91, und mithin ist
(Kap. II, ~ 9, Satz IV) die Menge aller Punkte von 91, in denen (0) gilt, abgeschlossen in 9. Wäre sie nicht nirgends dicht in 91, so müßte sie also einen
nicht leeren) in 91 offenen Teil e3 von 91 enthalten. Wir haben also nur mehr
zu zeigen, daß dies unmöglich ist.
Nach Kap. III, ~ 7, Satz XII gibt es zu jeder Funktion fv eine auf 91
punktweise unstetige Funktion fv, die sich von f4 nur auf einem Teile erster
Kategorie von 91 unterscheidet, den wir mit 9/, bezeichnen wollen. Nach Kap. III,
~ 4, Satz III ist auch die Menge 91A aller Unstetigkeitspunkte von ft auf 91
von erster Kategorie in 91. Nach Kap. I, ~ 4, Satz XX ist auch die Vereinigung
S-9l+tl+ W++ 1s '..*2+ +^ ^4 +..
von erster Kategorie in 91. Setzen wir
(i== -$,
so sind alle fv stetig auf C.
Angenommen, nun es sei Q8 eine nicht. leere, in 9 offene Menge, in deren
sämtlichen Punkten (0) gilt. Nach Kap. I, ~ 8, Satz XVI ist B93 nicht leer.
Sei aO ein Punkt von ~(1, und sei der Index v% beliebig gegeben. Wegen
f== lim fv gibt es einen Index v,-> v, so daß:
S, = 00
i fr - (a) - f(a0) I <
und weil auf ( alle fv stetig sind, gibt es eine Umgebung U(ao), so daß:
(00) [ fvl(a)- f(a,) i < auf U(ao)S.
1) R. Baire, Acta math. 30 (1906), 27; vgl. auch Ann. di mat. (3) 3
(1899), 81. Der Satz folgt auch leicht aus den Sätzen Kap. IV, ~ 7, Satz IV
und V.
a) Unter den dort auftretenden E-Mengen sind hier die Teile erster
Kategorie von 91 zu verstehen.