Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

498 Die Funktionen endlicher Variation.
Damit ist die erste Gleichung von Satz I nachgewiesen, und analog
beweist man die anderen.
Satz II. Ist f von endlicher Variation in [a,b], so ist,
damit f im Punkte xo stetig sei auf [a, b], notwendig und hinreichend, daß sowohl TTx als auch Na stetig seien auf [a,b]
im Punkte x%.
Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, dies folgt unmittelbar aus Satz I. Denn ist f unstetig in x., so ist mindestens
eine der Größen:
1 f(xo) - f(xo-o), (o + ) - f(xo),
+ 4 -f(xo)- f(xo - o), If(xo + )-f(xo)
von 0 verschieden.
Die Bedingung ist hinreichend; dies folgt aus ~ 5, Satz VIII.
Satz III. Ist f von endlicher Variation in [a,b], so ist,
damit f im Punkte xo stetig sei auf [a,b], notwendig und
hinreichend, daß Ax stetig sei auf [a,b] im Punkte x0.
Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, dies folgt unmittelbar aus Satz I. Denn ist f unstetig in X0, so ist mindestens
eine der Größen:
I.f(o)- f(o- ) 1, [f(o + )- f(xo)
von 0 verschieden.
Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, ist A^ stetig
auf [a, b in xo, so ist nach Satz I1):
i f (o)- (o - O) i = 0; I f(xo + 0)-f(xo) 1=0.
Daraus aber folgt die behauptete Stetigkeit von f(x), und Satz III
ist bewiesen.
Aus Satz II zusammen mit Satz VIII von ~ 5 folgt:
Satz IV. Ist f(x) stetig und von endlicher Variation in
[a,b], so ist f(x) Differenz zweier in [a, b] stetiger, monoton
wachsender Funktionen.
Beispiele von Funktionen, die in einem Intervalle [a, b] stetig, aber
nicht von endlicher TVariation sind, können leicht angegeben werden: Sei {x,}
eine stets wachsende Zahlenfolge aus (0, 1) mit lim x, =1. Wir setzen noch
X= 0 und definieren f(x) in [0, 1] durch: v=1) Für x==a und Xo=b kommt nur je eine dieser Gleichungen in Betracht.