Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz. 269
Da dann ebenso wie 9 auch Öd' insichdicht ist, so kann auch ('
gespalten werden in zwei in ~i' und mithin in f dichte Teile:
( und 2- ' -.2'
Indem man so weiter schließt, erkennt man, daß 9 zerspalten werden
kann in abzählbar-unendlich viele zu je zweien fremde, in 1 dichte
Teile:
t= *' +
Wir definieren nun:
(1 auf 9,,
f 0 auf 91-,.
Dann ist f, total-unstetig auf 91. In jedem Punkte von 91 ist:
f,=- für fast alle v,
daher ist {f,} konvergent auf 91:
lim f= 0.
s,= r0
Da hingegen jeder Punkt von I1 Häufungspunkt jeder Menge 91, ist,
so ist offenbar in jedem Punkte von 91:
U(a; {f,}, 2)==1.
Damit aber ist Satz IV bewiesen.
Satz V. Ist e in 9 abgeschlossen und nirgends dicht1),
so gibt es eine auf 9 konvergente Folge {f,} auf 1 stetiger, den Beziehungen
O < f<, lim f,, 0
v-0co
genügender Funktionen, die in jedem Punkte von 3 ungleichmäßig, in jedem Punkte von 1- S3 gleichmäßig auf 91
konvergiert.
Sei in der Tat h,((r) folgende (für r 0 definierte) Funktion
der reellen Veränderlichen r (Fig. 12):
0 für r= — und für r>,
(0) h (r)=. 1 für r==1uiear 11 [1l 21 V v
linear in 0, und in -. Fig. 12.
Ist dann a ein Punkt von 91 und r (a, 93) sein Abstand von 3, so ist
____ fs (a)= h; (r (a, 3))
) Dann ist gewiß 3< 91W.1