Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

248 Funktionenfolgen.
Wir zeigen nun, wie angekündigt, daß die stetige Konvergenz
ein Spezialfall der gleichmäßigen ist.
Satz II). Ist die Folge {f,} stetig konvergent in a auf
92, so ist sie auch gleichmäßig konvergent in a auf 91.
In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation, genügt es,
dies für den Fall zu beweisen, daß {f } beschränkt ist. Dann aber
ergibt es sich daraus, daß aus Bedingung (*) von ~ 2, Satz VI unsre
obige Bedingung (*) der eigentlich gleichmäßigen Konvergenz folgt.
Umgekehrt gilt:
Satz III. Ist {fv} im Punkte a von 9S gleichmäßig konvergent auf 9, und sind unendlich viele f, stetig2) in a auf
91, so ist {f}, auch stetig konvergent in a auf 92.
Vermöge der Schränkungstransformation können wir {f,} als
beschränkt annehmen. Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von
{/ } existiert dann der (endliche) Grenzwert
(t) I - lim f, (a),
-V =- QO
und zu jeder Folge {aa} aus 91 mit limi a= a und zu jedem e >0
gibt es ein %n und ein v, so daß: "=
(tt) I f', (a,) - f, (a) < für n > n0, v > ', V'> V0
Wegen (t) ist:
(t') }f,(a) -l <e für fast alle v,
und da unendlich viele f, stetig sind in a, so gibt es gewiß ein, so daß (iT) gilt und f/ stetig in a ist. Dann aber kann
%Q so groß gewählt werden, daß für dieses v:
t) |fv(a,) aj - (a) i < fr,~n. o
Aus (tt), (Tt) (f) aber folgt:
f (a)j -l < 3 e für alle n >, v' v
1) Vgl. C. A. Dell'Agnola, Atti Ven. 69 (1909/10), 159. Dieser Satz ist,
gleich allen folgenden Sätzen dieses Paragraphen mit Ausnahme von Satz IX
und XVII, ein allgemeiner Grenzsatz.
2) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Seien alle
f, gleich derselben in a unstetigen Funktion f. Dann ist {fy} in a gleichmäßig, aber nicht stetig, konvergent auf ~9. Doch kann (zufolge brieflicher
Mitteilung von A. Rosenthal) die vorausgesetzte Stetigkeit unendlich-vieler fv
ersetzt werden durch: lirm c (a; f4, 91) 0. Und zwar ist diese Bedingung nicht
nur hinreichend, sondern auch notwendig dafür, daß eine eigentlich
gleichmäßig konvergente Folge zugleich stetig konvergent sei in a auf A.