Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 7. Verallgemeinerungen. 221
Also ist auf ganz l0:
(3) (a)=g (a; G, ~0) g (a; G0, ))= g(a; f, ~).
Angenommen, es wäre:
(4) G,, (a) < g (a; f, )
Dann gäbe es ein p, so daß:
(5) 2 ) <p < g (a; f, ).
Nach Definition von Ge gäbe es in jeder Umgebung U (a) von a einen Punkt a
von 9~f, in dem:
G (a) <p,
mithin auch eine Umgebung U(a) <U(a), so daß:
(6) f<p auf. 1U();
und da e dicht in 92, gäbe es in -U11(a), und mithin in l (a) einen Punkt b
von SB, in dem wegen (6):
f (b)<p,
im Widerspruche mit der zweiten Hälfte von (5). Also ist (4) unmöglich, und
aus (3) folgt (2).
Sodann zeigen wir:
(7i) ' (a)-= G (a;f, ).
In jedem Punkte b von 3 ist offenbar auch G1 stetig auf %, und mithin:
(8) f (b)=, (b)=., (b).
Also ist auf ganz 21~:
(9) G, (a)- G (a; G., ~) > G (a; G~3) = G (a; f, 3).
Angenommen, es wäre:
(10) G, (a) >G (a;f, 3).
Dann gäbe es ein p, so daß:
(11) G, (a) > p > (a; f, ).
Nach Definition von G3 gäbe es in jeder Umgebung 11 (a) von a einen Punkt d
von 91~, in dem:
G(a)>p,
und da G, unterhalb stetig, auch eine Umgebung I U()<U(a), so daß
(12) G2>p auf W~1Oi(a).
Da S dicht in 2f, und daher auch in 9~, gäbe es in ~. U(ä), und somit in
11 (a) auch einen Punkt b von S, in dem wegen (12)
G > (b) >,
und wegen (8) auch
f (b) >,
im Widerspruche mit der zweiten Hälfte von (11). Also ist (10) unmöglich,
und aus (9) folgt (7).
Ebenso wie (2) und (7) aber beweist man
(13) g2 (a) (a; f, 2); g (a)=g(a;f, ).
Aus (2) und (7) einerseits, (13) andererseits aber folgt Satz II.
Von Satz II gilt folgende Umkehrung:
Satz III. Ist g9 relativ-vollständig, so folgt aus jeder der
beiden Gleichungen (1), daß f punktweise unstetig auf 5.