Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 3. Stetige und unstetige Mengenfunktionen. 409
und endliche') Mengenfunktion, und ist a Stetigkeitspunkt
von 99, so gibt es zu jedem E>0 eine Umgebung U(a), so
daß für jede in U(a) liegende Menge 9 aus M:
(00) a (q, f)<.
Angenommen in der Tat, dies wäre nicht der Fall. Dann gibt
es ein e > 0 und für jedes n in 11 (a;) eine Menge 9In aus M, so daß:
a (, >n).
Dabei kann angenommen werden, es enthalte An, den Punkt a; denn
andernfalls ersetze man Wn durch die Menge
X:n = 91, + -a,
für die ja (~ 2, Satz VIII)
a (<), ) a (9, nf1) (> )
gilt.
Setzen wir:
-n= wn+ + -...,
so ist nun auch (~ 2, Satz VIII):
(000) a (9p, n) ) e für alle n.
Wegen:
(a-<( < (a;nist:
(,a= — l * 2 ' *E... E, ~2 ~ ~und mithin nach ~ 1, Satz V:
a (F), na)- lim a (99, 8,).
Aus (000) folgt also:
d. h. (Satz ) a ist Unstetigkeitspunkt von 99. Damit ist Satz IV
bewiesen.
Da stets:
I 9 (W) I <a(9, ),
können wir noch hinzufügen:
Satz V. In Satz IV kann (00) ersetzt werden durch:
_______ 9p\ () 1 <e.
1) Diese Einschränkung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei S
irgendeine nicht abgeschlossene Menge und 99 (9) die Anzahl der Punkte von
fl S-. Jeder Punkt a von 9Wo - D ist dann Stetigkeitspunkt von 97, während
es in jeder Umgebung U (a) Mengen 2I gibt, für die 9 (9) =-+- oo.