Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 8. Charakteristische Eigenschaften der Funktionen usw. 355
wir dies für jedes e. machen, und erhalten so zu jedem n eine
Funktion gpg höchstens a-ter Klasse, so daß auf ganz 9X:
Die Funktionenfolge {q,} konvergiert also gleichmäßig auf XI gegen
f; somit ist nach ~ 1, Satz X auch f von höchstens a-ter Klasse auf
9[, und Satz II ist bewiesen.
Satz IIIt). Damit die auf 29 endliche Funktion f von
höchstens a-ter Klasse sei (a>1), ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 eine Folge von Teilen {J,}
von 9f gibt mit folgenden Eigenschaften:
1. Jedes,y, ist höchstens eine Menge," in Uf.
2. = t4 — ^4-...4- ~...
3. Für die Schwankung von f auf 9i, (Kap. III, ~ 2) gilt:
Cü(f,m,)<e.
Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f von höchstens
a-ter Klasse. Nach Satz II gibt es Teile '9, von 91, die höchstens
Mengen Z" sind, und Funktionen f, von geringerer als a-ter Klasse,
so daß:
und:
jf-f <K l auf IY'.
Wir setzen nun:,,- (-f,,(i+-) 1). (i=0,~ +1, ~2,...).
Nach ~ 7, Satz I ist jede der Mengen 9,,i höchstens eine Menge Z,.
Dasselbe gilt daher von jeder der Mengen T9t,, i=,, i' -9. Wir bezeichnen die abzählbar vielen Mengen 9N, i (v = 1, 2,...; i 0,
+ 1, + 2,...) mit g9J, ) 9x..., *... und erkennen ohne weiteres,
daß die Eigenschaften 1., 2., 3. erfüllt sind.
Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, ist sie erfüllt,
so gibt es wegen 3. eine Konstante, von der f sich auf ~9, um
weniger als e unterscheidet. Und da (wegen a 1) eine Konstante
eine Funktion geringerer als a-ter Klasse ist, folgt die Behauptung
aus Satz II.
In Verallgemeinerung des Satzes von der Erweiterung einer
stetigen Funktion (Kap. II, ~ 5, Satz X) zeigen wir:
1) H. Lebesgue, a. a. O.
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