Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 7. Verallgemeinerungen. 225
Es genügt, den Beweis für k =2 zu führen. Da f punktweise unstetig
auf '[, liegen die Punkte, in denen
(o (a)=
ist, dicht in 91 und mithin in 2~; also ist in jedem Punkte von f(0:
(0) g (a;, ~2) = 0.
Da co oberhalb stetig auf 92( (~ 2, Satz XII), so ist:
(00) G (a; 1, t~) = c (a).
Auts (0) und (00) folgt:
Zo () = ( (a; o~, ar~) = -% (a),
und Satz VII ist bewiesen.
Satz VIII. Ist fpunktweise unstetig,) auf 21, und ist die Menge (E
aller Punkte, in denen, =-+-oo ist, nirgends dicht in 9(02), so ist
auf ganz l(:9
Cak (a) = % (a) (k = 3, 4,...)
Es genügt, den Beweis für k - 3 zu führen. Nach Satz V ist ou oberhalb stetig auf 9(o:
(t) G (a; c,,o~) — o, (a).
Die beim Beweise von Satz VI mit t bezeichnete Menge ist hier leer; denn
andernfalls wäre in ihr o~ - S dicht, und da in jedem Punkte von 0o -
+o = - oo ist, wäre fk nicht nirgends dicht in 92~.
Da! leer, gilt, wie beim Beweise von Satz VI gezeigt, in jedem Punkte
von 9[0:
(tt) g (a; o, o)=.
Aus (t) und (-t) aber folgt:
Co, (a) = co (a; 2 n1~) == Co" (a),
und Satz VIII ist bewiesen.
Dann ist:
10 für a+ 4
1 für a ----.
und mithin:
wC(0)- 0; ~(0)=:1.
1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden, wie aus Fußn. 2), S. 223
hervorgeht.
a) Auch diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9,:
n für a — + (m, n teilerfremde natürliche Zahlen),
f (a) = - 0 für irrationales a,
0 für a =-0.
Dann ist:
+(a 0 oo fiür rationales a,,1 ( \) o für irrationales a.
Also: o (a) C=o- 0, oa (a ) = 0 fü r alle a.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 15