Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

210 Die unstetigen Funktionen.
Ist S Teil von X9, so kann (außer wenn 93 abgeschlossen in 9
ist) nicht jede auf 3 stetige Funktion zu einer auf 9 stetigen erweitert werden. Auch hier verhalten sich die punktweise unstetigen
Funktionen anders. An Stelle von Kap. II, ~ 5, Satz VI tritt:
Satz 1). Ist f punktweise unstetig auf 3, und wird f
auf 3~ so erweitert, daß in jedem Punkte von o3~-3:
(1) g (a; f, ) ~ f(a) < G (a; f, 3),
so ist f auch punktweise unstetig auf 930; und zwar wird
dann f stetig auf 3~ in jedem Punkte von 3, in dem es
stetig auf 93 war.
Beim Beweise können wir, vermöge der Schränkungstransformation, annehmen, f sei beschränkt auf 3; dann ist auch die gemäß (1) erweiterte Funktion f beschränkt auf 3~.
Wir beweisen zunächst: Ist f stetig auf S im Punkte a von 93,
so ist die erweiterte Funktion stetig in a auf O3~. Sei {a"} eine
Punktfolge aus 3~o mit
(2) lima u =a.
Wir haben zu zeigen:
(3) lim f(am)= t (a).
1 == —
Nun ist gewiß:
(4) g (a,; f, 93) < f (a) < G (a"; f, 3);
in der Tat, gehört an zu 93, so gilt dies nach Kap. II, ~ 2, Satz II;
gehört ai zu 3~O- 3, so gilt dies nach (1).
Aus (4) nun folgern wir nach Kap. II, ~ 2, Satz VI: Zu jedem an
gibt es in 93 ein a' und ein a', so daß:
1 1
(5) r(a, a') <-; r (a,,a a <f (a) < f (a,) + f (an) > f(a) -
und somit:
(6) f(a") — < f(a) < f(a ) - 1 -n
Aus (2) und (5) folgt:
lim a — a; lim a==- a,
n= oo n-== cx
und somit, weil f stetig in a auf 93:
(7) lim f(a') = f(a); lim f(a") = f(a).
) T. Brod n, Acta U niv. Lund. 33 (Neue Foge 8) (1897), 16.
^ T. Brod6n, Acta Univ. Lund. 33 (Neue Folge 8) (1897), 16.