Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 1. Häufungswerte einer Funktion. 187
Wir haben zu zeigen: kommen 11, 12..., 1,... unter den Werten
h (a; f, 9f) vor, und ist lim ln = 1, so kommt auch 1 unter den Werten
-n=oo
hi(a; f, 9t) vor. Wir können dabei wieder annehmen, f sei beschränkt, die 1, also endlich. Dann gibt es in 91 einen Punkt
a= + a, für den:
r (a", a) <- und f(an) —ll <es ist also:
lima —=a; an = a; limf(a,)-=-1.,n=oo =, =c
Damit aber ist die Behauptung bewiesen.
Wie Satz VII lehrt, gibt es unter den Werten h (a; f, 9) einen
größten und einen kleinsten. Offenbar gilt:
Satz VIII. Größter und kleinster unter den Werten
h(a; f, N) stimmen überein mit den reduzierten Schrankenfunktionen G' (a; f, 91), ' (a; f, 92).
Einer anderen Einschränkung als der, abgeschlossenen zu sein, unterliegt die Menge aller Häufungswerte h (a; f, 9S) einer Funktion in einem Punkte
nicht. Es gilt nämlich der Satz ):
Satz IX. Ist X eine beliebige abgeschlossene Zahlenmenge und
a Punkt von 91, so gibt 'es auf 91 eine Funktion f, für die 3 die
Menge aller Häufungswerte h(a; f, 91) ist.
In der Tat, nach Kap. I, ~ 7, Satz III gibt es einen abzählbaren, in X
dichten Teil von X, etwa x, x..., Xn.... Sei {a,} eine Punktfolge aus
91 mit:
lima=a; a ya; v a; av a?, für v' +v.
l1o= 00
Wir spalten {av} in abzählbar unendlich viele zu je zweien fremde Teilfolgen a?), a() a,... (n= 1, 2,...). Nun definieren wir eine Funktion f
auf 91 durch die Vorschrift: f (an))=Xn (n, v=1, 2,...); f= x in allen andern
Punkten von a. Dann ist jeder Wert x, ein Häufungswert h (a; f, W), mithin
nach Satz VII auch jeder Wert aus 3X. Und da f nur Werte aus 3 annimmt,
und X abgeschlossen ist, kann ein nicht zu 3S gehöriger Wert nicht Häufungswert von f sein. Damit ist Satz IX bewiesen.
Sei 3 irgendein Teil von 9. In jedem Punkte von 231 kann dann neben
der Häufungsfunktion h(a; f, 9) von f auf 91 auch die Häufungsfunktion
h (a; f, S) von f auf 3 betrachtet werden, und zwar ist dann die Wertmenge
h (a; f, 8) ein Teil der Wertmenge h (a; f, 9). Wir wollen uns besonders mit
dem Falle befassen, daß 3 in 9S offen ist, also die Form hat:
r) R. Bettazzi, a. a. 0. Vgl. hierzu auch H. Hahn, Monatsh. f. Math.
16 (1905), 315.