Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 9. Halbstetigkeit auf einer Punktmenge. 157 Satz IV1). Damit f oberhalb stetig sei auf 9, ist notwendig und hinreichend, daß für jedes2) c die Menge aller Punkte von 9, in denen f> c ist, abgeschlossen sei in 93). Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, sei f oberhalb stetig auf 92, und sei A1' die Menge aller Punkte von 91, in denen f c. Sei a ein zu 91 gehöriger Häufungspunkt von 91'. Es gibt in 91' eine Folge {a,} mit lim a, a. Weil f oberhalb stetig, ist: (*) lim f(a~) < f(a). Da alle a, zu 21' gehören, ist: f(a.) eC, somit: lim f(a,) ~ c, mithin nach (*) auch: f(a) c, d. h. auch a gehört zu 2'. Also ist A' abgeschlossen in X, wie be1auptet. Die Bedingung ist hinreichend. Angenommnen in der Tat, f sei nicht oberhalb stetig auf 1. Ist etwa a ein Punkt von 1, in dem f nicht oberhalb stetig auf 21, so gibt es eine Punktfolge {a,} in 91 mit lim a,, a, so daß: lim f(a,) > f(a). n = oo Es gibt dann ein c, so daß'): lim f(a,) > c > f(a). n =_- ao Da.nn ist: f(a,)>c für unendlich viele n. Es gehören also in {a"} unendlich viele a, zu w9', während der Grenzpunkt a von {a,} nicht zu 91' gehört. Es ist also 1' nicht abgeschlossen in 29. Damit ist Satz IV bewiesen. Satz V. Ist f oberhalb stetig auf 91, und ist die untere Schrankenfunktion: (0C) g (a;f, t c 1) Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz. 2) Statt dessen kann es auch heißen: für eine (irm 91) überall dichte Menge ( von Zahlen c. 3) Für unterhalb stetige f ist f c durch f c zu ersetzen. 4) Und zwar gibt es ein solches c auch in der in Fußn. 2) genannten Menge (.

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Title
Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.
Author
Hahn, Hans, 1879-1934.
Canvas
Page 150
Publication
Berlin,: J. Springer,
1921.
Subject terms
Functions

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"Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn." In the digital collection University of Michigan Historical Math Collection. https://name.umdl.umich.edu/acm1546.0001.001. University of Michigan Library Digital Collections. Accessed June 20, 2025.
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