Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 9. Halbstetigkeit auf einer Punktmenge. 157
Satz IV1). Damit f oberhalb stetig sei auf 9, ist notwendig und hinreichend, daß für jedes2) c die Menge aller
Punkte von 9, in denen f> c ist, abgeschlossen sei in 93).
Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, sei f oberhalb
stetig auf 92, und sei A1' die Menge aller Punkte von 91, in denen
f c. Sei a ein zu 91 gehöriger Häufungspunkt von 91'. Es gibt
in 91' eine Folge {a,} mit lim a, a. Weil f oberhalb stetig, ist:
(*) lim f(a~) < f(a).
Da alle a, zu 21' gehören, ist: f(a.) eC, somit:
lim f(a,) ~ c,
mithin nach (*) auch:
f(a) c,
d. h. auch a gehört zu 2'. Also ist A' abgeschlossen in X, wie be1auptet.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommnen in der Tat,
f sei nicht oberhalb stetig auf 1. Ist etwa a ein Punkt von 1,
in dem f nicht oberhalb stetig auf 21, so gibt es eine Punktfolge
{a,} in 91 mit lim a,, a, so daß:
lim f(a,) > f(a).
n = oo
Es gibt dann ein c, so daß'):
lim f(a,) > c > f(a).
n =_- ao
Da.nn ist:
f(a,)>c für unendlich viele n.
Es gehören also in {a"} unendlich viele a, zu w9', während der
Grenzpunkt a von {a,} nicht zu 91' gehört. Es ist also 1' nicht
abgeschlossen in 29. Damit ist Satz IV bewiesen.
Satz V. Ist f oberhalb stetig auf 91, und ist die untere
Schrankenfunktion:
(0C) g (a;f, t c
1) Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz.
2) Statt dessen kann es auch heißen: für eine (irm 91) überall dichte
Menge ( von Zahlen c.
3) Für unterhalb stetige f ist f c durch f c zu ersetzen.
4) Und zwar gibt es ein solches c auch in der in Fußn. 2) genannten
Menge (.