Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 7. Inhaltsfunktionen. 447
und da ')- e maßgleicher Kern von 2, war, auch (-<,, und
mithin -< 9.
Wegen S -<I) folgt aus (ttt):
= - 8 ~ = S (C - ().
Also ist:
() - )- = - ( ( ) ( - @) -< -- -,
und aus (ttt) folgt daher für jede p-meßbare Menge 9U:
9( ( ) ( (9i( - e)).
Also wegen (t):
9 (9. )= 9*(.*.),
d. h. es ist (S maßgleicher Kern von 91, und Satz III ist bewiesen.
Satz IV. Ist fp eine Inhaltsfunktion, und ist der Raum 8i
Vereinigung abzählbar vieler 99-meßbarer Mengen von endlichem 99-Maße, so gibt es in jeder Menge 91 eine a-Vereinigung, die maßgleicher Kern von 1 ist.
In der Tat, nach ~ 6, Satz XVIII gibt es in 91 einen maßgleichen
Kern,. Es wird genügen zu beweisen: Es gibt eine a-Vereinigung
**1-< 0,, so daß
99 (91 -- **)= 0.
Nun ist nach Voraussetzung 02, Vereinigung abzählbar vieler U-meßbarer Mengen 23 endlichen 99-Maßes:
Zu jeder Menge 3, gibt es nach Satz III einen maßgleichen Kern Cs,,
der a-Vereinigung ist; dann gilt:
f (~,, —t) =- O.
Setzen wir:
— ** = ~ +~ 6 +-. ~ - 6 +...,
so ist auch X** a-Vereinigung, es ist 92,-<,, und es ist:
9 (*, -9 **)~ (31- 6)= o.
Damit ist Satz IV bewiesen.
Wir folgern daraus weiter:
Satz V. Unter den Voraussetzungen von Satz IV gibt
es zu jeder Menge 9 eine maßgleiche Hülle, die o-Durchschnitt ist.
In der Tat, zunächst gibt es nach ~ 6, Satz XVI eine maß —
gleiche Hülle 2* von 9. Es wird genügen zu zeigen, daß es einen
o-Durchschnitt 91**>- 9* gibt, so daß:
99 (9** - 9*) O.