Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 13. Funktionen endlicher Variation im 9k. 543
n
N (Z) _ + |f (x, (t,),..., Xk (tv,)-f (Xl (t-_1),..., Xk (t_-1));
NB(Z) = _ If(x (t),., xk (t)) -f(x1 (t-1),..., k (t_ 1));
v==Dann ist:
B(Z) P(Z) +iN(Z); f(bl,..., bk)- f(al,..., ak) = P(Z)- N(Z).
Wir definieren nun: Die obere Schranke aller B (Z) (für alle möglichen
Zerlegungen Z von ü() heißt die Variation von f auf i, in Zeichen B (i, f). Die
obere Schranke aller P(Z) heißt die positive, die obere Schranke aller N(Z)
heißt die negative Variation von f auf i, in Zeichen TT[(,f) bzw. N(g,f).
Offenbar gilt (vgl. ~ 4, Satz II):
B ((, f) =- TT (C, f) +N ((, f),
und, wenn B ((, f) und mithin TT ((, f), N (s, f) endlich ist, (vgl. ~ 5, Satz VIII)
(00) f(b,... bk) - f(al,..., ak)= (, f)- N (,f).
Wir definieren weiter: Die obere Schranke von B (9, f) für alle die Punkte
(a,..., a) und (b,..., bk) verbindenden steigenden Kurvenbögen ( heißt die
Variation (III) von f in [a,.., ak; b,..., bk], in Zeichen B,' bak (f). Die
obere Schranke aller TT(, f) heißt die positive, die obere Schranke aller
N (g, f) heißt die negative Variation (II1) von f in [a,..., ak; b,..., bk],
in Zeichen TTa, ak(f) und N al ak(f)
Und nun definieren wir die Funktionen endlicher Variation (III) durch:
Definition III. Die Funktion f(x1,..., Xz) heißt von endlicher Variation (III) in [a,..., an; bl,..., bk], wenn Bab- 'b() endlich ist.
Wie Satz VIII von ~ 5 beweist man:
Satz VIII. Ist f(x,..., xk) von endlicher Variation (III) in
[al,..., ak; b,..., b], b so ist:
f(.,,) -f(a,..., ak) - TTb. (.) -bk(.
(bl, bk) ai,.... ak~
Wir nennen nun die ~Funktion f (x,..., xk) monoton wachsend in
[a,..., a; b,...., b], wenn aus:
ai< x< '_b (i= 1,2,...,k)
folgt:
f (x..., x. ) > f (x,...' x')).
Satz IX. Ist die endliche Funktion f(x,..., x) monoton wachsend in [al,..., ak; b,,..,bk], so ist sie auch von endlicher Variation
(III) in [a,., ak; bl...., bk].
In der Tat, es ist:
aB^:::,;! ( T ', ( f), (f f(b,..., bk)- f (al,... ak)
1) Oder, was dasselbe heißt, wenn f(xl,...,xk) monoton wachsend ist
als Funktion jeder seiner Veränderlichen bei Festhaltung aller übrigen.