Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

554 Die meßbaren Funktionen.
Nach ~ 1, Satz VII ist F, p-meßbar, und da die Folge {F)} mono{ton wächst, ist nach Satz I auch F <p-meßbar, womit Satz II bewiesen ist.
Satz III. Ist {f)} eine Folge auf 92 q-meßbarer Funktionen, so sind auch obere und untere Grenzfunktion1) von
{f;,} 9-meßbar auf A.
In der Tat, man erhält die obere Grenzfunktion:
f- limf,
y = oO
von {f~} in folgender Weise: Ist fV die obere Schrankenfunktion der
J,-ten Restfolge f~,, f,+i,..*,,.., so ist:
f-= lim f'.
Y = 00
Nach Satz II ist f, 99-meßbar, und da die Folge {f4} monoton abnimmt, ist nach Satz I auch f 9 -meßbar. Damit ist Satz III bewiesen.
Aus Satz III nun entnehmen wir unmittelbar:
Satz IV. Ist die Folge {f,} auf 9X qp-meßbarer Funktionen konvergent auf 92, abgesehen von einer Nullmenge,
so ist ihre Grenzfunktion:
f lim f;
v = 00
p-meßbar auf 91.
Satz V. Ist {f,} eine Folge auf 9St -meßbarer Funktionen, so ist die Konvergenzmenge2) von {f,} in %2 g-meßbar.
Seien in der Tat f und f obere und untere Grenzfunktion von
{f~}. Vermöge der Schränkungstransformation (~ 1, Satz XI) können
wir f und f als endlich annehmen. Dann ist die Konvergenzmenge
von {f,} die Menge 9 (f-f)=.
Nach Satz III sind fund f g-meßbar, daher (~ 1, Satz IX) auch
f- f, daher ist (~ 1, Satz II) die Menge 9 (f-f== 0) p-meßbar,
und Satz V ist bewiesen.
Aus Satz IV folgern wir noch folgende charakteristische Bedingung für 9 -Meßbarkeit einer Funktion3):
Satz VI. Sei f definiert auf 91, abgesehen von einer
Nullmenge. Damit f (p-meßbar sei auf 91, ist notwendig
1) Kap. IV, ~ 1, S. 231.
2) Kap. V, ~ 13, S. 380.
3) L. Tardini, Giorn. di mat. 49 (1911), 32.