Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen. 25
genügenden ß, nicht aber für Öi*. Dies steht in Widerspruch mit
Eigenschaft 2.- von A, womit Satz XVIII bewiesen ist.
Ganz analog beweist man folgenden Zusatz zu Satz XVIII:
Satz XIX. Man ersetze in Satz XVIII Bedingung 2. durch:
2. Ist c> czO, und gilt die Aussage A für alle der Ungleichung
0 < i < a < al
genügenden ß, so gilt sie auch für ca.
Dann gilt die Aussage A für alle der Ungleichung
a0<a<a1 genügenden a.
Wir werden gelegentlich auch vom Satze Gebrauch machen1):
Satz XX. Zu jeder Menge 9f gibt es eine gleichmächtige
wohlgeordnete Menge.
Wir gehen aus von einer Abbildung der Menge aller Teile von 29
in die Menge 9f, wobei jeder (nicht leere) Teil von 91 auf ein
Element von t abgebildet werde; mit andern Worten: jedem Teile Z
von 9 sei eines seiner Elemente zugeordnet; wir nennen es: das
ausgezeichnete Element von S. Sei nun a eine Ordinalzahl von
folgender Eigenschaft (der,Eigenschaft E'): jedem 3 <a läßt sich
ein Element aß in 92 derart zuordnen, daß, wenn die Menge aller ap,
(/1' Dß) mit 91p bezeichnet wird2), 9f —1 - nicht leer, und aß das
ausgezeichnete Element von f - f/? ist3).
Ist dann auch c > a eine Ordinalzahl der Eigenschaft E, wobei
nun der Zahl fß a das Element aß zugeordnet sei, so ist notwendig:
(*) aß =a,ß für ß a.
In der Tat, andernfalls müßte es ein kleinstes ß< a, etwa flo
geben, für das
(**) aßo +- aß+.
Die Elemente aß und ai (ß< ßo) bilden dann dieselbe Menge 9go
(die, falls io = 0, die leere Menge ist). Nach Annahme muß aber dann
sowohl aßo als ap,0 das ausgezeichnete Element von f - IAo sein, entgegen (**). Damit ist (*) bewiesen. Die aß sind also durch die
Eigenschaft E völlig eindeutig bestimmt.
1) Er wurde schon von G. Cantor ausgesprochen, zuerst bewiesen aber
von E. Zermelo, Math. Ann. 59, (1904), 514. Die zahlreichen kritischen Betrachtungen, die über die logischen Grundlagen dieses Beweises angestellt
wurden, können hier unerörtert bleiben.
2) Dabei bedeute Wo den leeren Teil von W.L
3) Die Zahl 0 ist eine Ordinalzahl der Eigenschaft E, und zwar ist, da
9 leer, ao das ausgezeichnete Element von 7I.