Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

4 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre.
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und:
In der Tat, wir haben nur zu setzen:
Aus einer unendlichen Mengenfolge {2f,} leiten wir zwei Mengen
her: die obere Gemeinschaftsgrehze von {2,}, in Zeichen:
und die untere Gemeinschaftsgrenze, in Zeichen:
lim,;
n-=00
sie werden in folgender Weise definiert: die obere Gemeinschaftsgrenze ist die Menge der in unendlich vielen 21, vorkommenden
Elemente; die untere Gemeinschaftsgrenze ist die Menge der in
fast allen 21n vorkommenden Elemente~).
Sind für eine Mengenfolge {?I} obere und untere Gemeinschaftsgrenze identisch, so heißt die Folge konvergent; man
schreibt dann:
lim S92= lim Wn ==, lim rn
n= oo n=oo n=
und nennt diese Menge schlechthin die Gemeinschaftsgrenze
von X}.
Satz IIL Jede monotone Mengenfolge ist konvergent;
und zwar ist für monoton wachsende Mengenfolgen:
ii =. - 4... 4...,
lim A
n= oo
für monoton abnehmende Mengenfolgen:
lirm — = 1~ i....~.....
n=-~
Der Beweis liegt auf der Hand.
Wir stellen noch Formeln für obere und untere Gemeinschaftsgrenzen einer Mengenfolge {n,} auf.
1) Auf die Wichtigkeit dieser beiden Mengen hat wohl zuerst S. Borel
hingewiesen; er nennt die äußere Gemeinschaftsgrenze:,ensemble limite complet", die innere:,ensemble limite restreint" (Legons sur les fonctions de variables reelles (1905), 18). Wir haben den Namen,Gemeinschaftsgrenze" gewählt zum Unterschiede von den bei Folgen von Punktmengen auftretenden,Näherungsgrenzen" (Kap. 1, ~ 3, S. 74).