Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 4. Gleichmäßige Oszillation. 257
auch die obere Grenzfunktion f= lim f, in a unterhalb stetig
auf %. y = O
In der Tat, zu jeder Folge {a,)} aus I mit lim a, =a und jedem s > 0
gibt es ein no und ein v0, so daß-: n= a
(1) f (a,,)- f(a,) < für n n0o, V V0.
Da f obere Grenzfunktion ist, gibt es ein v*> v0, so daß:
(2) f(a)-f,,(a) <,
und weil nach Voraussetzung f, unterhalb stetig ist in a, kann no auch so
groß gewählt werden, daß:
(3) f*,.(a) - f~ (a,) < für, ~ n>.
Aus (1), (2), (3) erhält man durch Addition:
f(a) - f(a) < e für n > n0,
d. h. f (a) ist in a unterhalb stetig, wie behauptet.
Wie der Vergleich von Satz IV mit ~ 2, Satz XIV zeigt, sind die Folgerungen, die aus der oberhalb gleichmäßigen Oszillation fließen, verschieden
von den aus der oberhalb stetigen Oszillation fließenden. Es gelingt aber
eine andere, allerdings weniger naheliegende, Verallgemeinerung des Begriffes
der gleichmäßigen Konvergenz, die sich in dieser Hinsicht enger an die oberhalb
stetige Oszillation anschließt. Wir bezeichnen wieder mit fk die obere Schrankenfunktion von {f/};k, mit f die obere Grenzfunktion von {f,}, endlich mit
fk+l den größten unter den I -- l Funktionswerten fk, fki 1' f... —.
Dann ist (Einleitung ~ 6, Satz V, VI):
(0) fk -li fk k; f- li mf
In einem Punkte, gleichmäßiger Konvergenz von {/f} ist offenbar auch
die Konvergenz in jeder der beiden Beziehungen (0) gleichmäßig. Die oben
gegebene Definition der oberhalb gleichmäßigen Oszillation ist nun so gefaßt
(Satz III), daß die gleichmäßige Konvergenz der zweiten Relation (0) erhalten
bleibt. Wir wollen nun umgekehrt definieren:
Die Folge {f,,} heißt im Punkte a oberhalb sekundär-gleichmäßig
und in 0, variiere f, linear. Dann sind alle f4 im Punkte 0 oberhalb stetig,
es ist {f,} überall in [-1, 1] oberhalb gleichmäßig oszillierend, und es ist
Fig. 9.
f= 0 in [- 1, 0); f(0)- —; f=- 1 in (0, 1]. Also ist f im Nullpunkte weder
oberhalb noch unterhalb stetig.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I,. 17