Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 9. Länge eines stetigen Kurvenbogens. 521
System von Kreisgebieten mit Durchmessern < i, derart, daß ( enthalten ist
in der Vereinigung dieser Kreisgebiete, und daß die Summe der Durchmesser
aller dieser Kreisgebiete < r (p, q) + - r ist.
Nach dem Borelschen Theoreme (Kap. I, ~ 6, Satz I) gibt es unter
diesen Kreisgebieten endlich viele 3., 2,.., *k, in deren Vereinigung ( enthalten ist. Für die Summe ö der Durchmesser der i gilt:
(t) ö <r (p, )+n.
Weil ( zusammenhängend, so auch die Vereinigung der Si.
Nach Voraussetzung enthält ( einen nicht auf der Strecke pq liegenden
Punkt s. Unter den Kreisen i können die Kreise 1, S2,...,,l so herausgegriffen werden, daß keine zwei identisch sind, je zwei in dieser Reihenfolge
benachbarte einen Punkt gemein haben, und $1 den Punkt p, tl den Punkt s
enthält. Sobald O hinlänglich klein, kann tl den Punkt q nicht enthalten.
Dann gibt es unter den ei weitere, untereinander und von l*1,,...,. l verschiedene SIl +,..., >m, so daß je zwei in dieser Reihenfolge beanachbarte einen
Punkt gemein haben, l t+ mit einem der Kreise 1,2,..., 1l, etwa mit Rh
einen Punkt gemein hat, und Rm den Punkt q enthält.
Sei oi (i 1,2,..., m) der Mittelpunkt von Ai. Dann ist, da die Vereinigung der Strecken pol, oo1, o0203..., 01-101, o1, 0h, oh O+l, 0O+1 0o+2,...
Om-lOm, omq einen zusammenhängenden Streckenzug bildet, der die Punkte
p und q, und den nicht auf pq liegenden Punkt s enthält:
r (p, ol)+ ol,.2)1 —. * - r(ol —1, o ) +r(O r (o, ) r(oh, l +1) + -'(o +, +2) -+...
+ r(om-1, om) + r(om, q) > r(p, q) + 4,
wo 5 eine (von 1? unabhängige) positive Zahl bedeutet. Da hierin:
r(p, o1)<, r(ol,s) <,, r(oh,ol 1+)<, r(onn,q) <,
folgt daraus:
(tt) r(ol, ~2) +... - +-r(ol-i, o) + r(o + t, o0+2) + *. + r(om-1, om)
> r (p,q) +-4.
Andererseits ist wegen (t):
(ttt) r(o1,o))+-... + r(o1-_,oI)+r(o(0+ 1,ol+2) +....+ r(o0m_, om) <r(p, q) +.
Wählen wir r < Ö, so widersprechen sich (tt) und (ttt). Damit ist Satz VI
bewiesen.
Satz VII.1) Ist (i die Menge aller Punkte des stetigen Kurvenbogens:
(1) x=x(t), y=y(t) (a~t~b),
und ist die Abbildung (1) von [a, b] auf (E eineindeutig2), so ist:
I (1-~) = a (x (t) y (t)).
In der Tat, sei Z eine Zerlegung von [a, b], etwa gegeben durch:
a - to < t <*.. < t_- < t tn b.
1) C. Carath6odory, Gött. Nachr. 1914, 424.
2) Wie der Beweis zeigt, kann diese Bedingung auch ersetzt werden durch
die folgende: Für die Menge (' aller Punkte von (, denen vermöge (1) mehr
als ein t aus [a, b] entspricht, gilt ~ ((/)- 0.