Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

546 Die Funktionen endlicher Variation.
Definition IV ). Die Funktion f(x",.., xk) heißt von endlicher Variation (IV) in [a,..., ak; b,..., bj], wenn die obere Schranke von - 2(Z(n>
für alle Zerlegungen Z(') (n = 1, 2,...) endlich ist ).
Wir vergleichen diese Definition mit Definition III.
Satz XII. Ist f(x,..., xk) im In.tervalle [a,..., ak;bl,...,bk] von
endlicher Variation nach Definition III, so auch nach Definition IV.
Wegen Satz X genügt es, nachzuweisen, daß jede endliche monoton
wachsende Funktion von endlicher Variation (IV) ist. Der Kürze halber führen
wir den Beweis nur für den Fall k = 2.
Sei also f(x, y) monoton wachsend im Intervalle [x', y'; x", y"]. Wir
nehmen die Zerlegung Z(") vor durch Einschaltung der Punkte:
x' = Xo < X, <*... < x,n- < F x,= x; y' = Yo < Yi < * * < yn-1 < Y,= Yi".
Sei S das Intervall [x,_1, y-i; xx, y]. von Z(n). Dann ist, weil f monoton wachsend in,t:
~,, = - f(x", Y,)- f(x,-i Y,- i)
Infolgedessen ist:
n n n-1 n-e 1 in-1
ßQ(Z(") =,4, f(x, y") + E f(x", yv) - f(x. Y) y- f(x', y).
1u,v=1 f=1 Y=l - ' 10 y=1
Ist also:
if <p in [x', y';x", y"],
so ist: 2 (Z")) < (4n-2) p
und somit: lQ(Z(") <4p
womit Satz XII (für den Fall k= 2) nachgewiesen ist.
1) J. Pierpont, The theory of functions of real variable 1, 518.
2) Man überzeugt sich leicht, daß für k =1 diese Definition sich auf die
übliche (in ~ 5, S. 489 gegebene) reduziert. In der Tat, da (~ 4, Satz VII):
(Z(n)) < Ab (),
so ist, wenn f(x) von endlicher Variation in [a, b], die obere Schranke Q der
Q(Z()) endlich. Sei umgekehrt Q endlich. Zu jeder endlichen Zerlegung Z
von [a, b] gibt es ein Z("), derart daß zwischen zwei Zerlegungspunkten von
Z(') höchstens einer von Z liegt. Für die Produktzerlegung Z.Z(n) gilt dann:
Q (Z. Z<) < 22 (z(f)) < 2.
Es ist also erst recht:
Q (Z)< 2 Q,
mithin auch (~ 4, Satz VII):
Ab(f) 2Q,
d. h. f ist von endlicher Variation in [a, b].