Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 14. Funktionen mehrerer Punkte. 383
Nach ~ 1, Satz XIV ist lim F, eine Bairesche Funktion auf
91. Da aber ~'= ~
f== lim F,(=- lim F) auf 9m,
Y=O y00o
so stimmt f auf 9A1 mit einer Baireschen Funktion auf 91 überein,
und Satz IV ist bewiesen.
Satz V. Ist f eine unvollständige Bairesche Funktion
auf 91, so ist für alle p und q die Menge 9(p f~ q)1) eine
Borelsche Menge in 91.
In der Tat, ist f definiert auf dem Teile 9A von 91, so ist nach
Satz IV 9J) eine Borelsche Menge in 91, und es gibt eine Bairesche
Funktion F auf 91, so daß:
f=F auf 9.
Nach ~ 7, Satz IV ist die Menge 91(p < F _ q) eine Boreische
Menge in 9t. Infolgedessen ist auch die Menge:
9 (p ~ f ~ q) J- 1 (p ~ F < q)
als Durchschnitt zweier Bo rel scher Mengen eine B or e 1 sche Menge
in 91, und Satz V ist bewiesen.
~ 14. Funktionen mehrerer Punkte.
Wir betrachten nun Funktionen, die von den Punkten mehrerer
metrischer Räume abhängen2). Sind 9(), St(2),..., 91(k) endlich viele
metrische Räume, und werden die Punkte von ~9(i) mit a(i) bezeichnet
(i= 1, 2,..., k), so verstehen wir unter dem Verbindungsraume
i g i(1) X 91~2) X... X. t~q
die Menge aller k-gliedrigen Folgen:
(0) (a), a(2),..., a(k
Wir machen D9 zu einem metrischen Raum durch eine geeignete
Abstandsdefinition3), die wir nur den Forderungen unterwerfen:
1. Stimmen in den beiden Punkten
a- (a (l),...,a(k)); a' - -(a'(1),...,a(k~)
von 91 die sämtlichen Koordinaten überein mit Ausnahme der i-ten:
a(J)=a'<i) (j=1 i),
~) Ebenso die Menge 2 (p < f< q).
a) Vgl. Kap. IV, ~ 9, S. 292.
3) Eine solche ist z. B. die folgende:
r (a, a') = (r (a(, a'(1))2 -.. - r (a(k), a(k))2.