Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und. reguläre Maßfunktionen. 437
Satz IX. Sei (p eine reguläre Maßfunktion; dann ist
stets:
(00) f* (W) 99 (W);
ist 9( p-meßbar, so ist:
(000) ()= (g).
In der Tat, nach Definition ist 9p, (X1) die obere Schranke von
( (m1') für alle -meßbaren Teile 9s'- von 9f. Aus R' -< 9 folgt aber:
f (9E')~P (2),
und daher gilt für die obere Schranke,P (X) der cp (E9)') Ungleichung (00).
Ist 9f 99-meßbar, so kann 9' —= 9 gewählt werden, woraus sofort
(000) folgt.
Satz X. Sei 99 eine reguläre Maßfunktion. Ist für eine
Menge 9W:
(00) * = (X) 99 (S),
und ist dieser Wert endlich'), so ist 9f p-meßbar.
Sei in der Tat 9/* eine maßgleiche Hülle von Sf (Satz V).
Nach (X) von Satz IV ist:
*Q () 9+ (I* - 9) = q ( *)= * (w),
mithin wegen (~0o):
f (*-.) == 0.
Nach ~ 5, Satz XVI ist also Sf* - l 9 -meßbar, und da auch 9A* -
meßbar ist, so auch (~ 5, Satz IV):
= —,_ (si* —,).
Damit ist Satz X bewiesen.
Zufolge der Definition der Meßbarkeit galt, wenn 9) 99-meßbar,
für jede Menge 2f:
CP (f) = ( ) + (p - 9 t).
Für den inneren 99-Inhalt gilt analog:
Satz XI. Ist f9 eine reguläre Maßfunktion, und ist 9)J 99 -meßbar, so ist für jede Menge 9:
(t) 9* () = 9* ( ) + 9( (9 - Sf).
In der Tat, ist p eine beliebige Zahl:
(tt) p < (),
1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei 9D1 eine
9-meßbare Menge mit q (9)-=+ c-0. Ist die zu 91 fremde Menge R nicht
99-meßbar, so auch 9- + St nicht, aber es ist:
9* (9+k)-== (+)= ) =+- 0.