Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

178 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
obere Schrankenfunktion von f auf 91. Ebenso wird die rechtsseitige untere Schranke g+ (a; f, 91) von f in a auf 9 definiert als
die obere Schranke aller g(f, Ua+(a)). Ersetzt man in diesen Definitionen die rechtsseitige Umgebung U (a) durch eine linksseitige Umgebung, so entstehen die linksseitigen Schrankenfunktionen G_ (a; f, 9),
g_(a; f, 91). Ist a Punkt von 2f (bzw. von W1 ), und ersetzt man
in diesen Definitionen die Umgebungen 1+ (a), U_(a) durch die reduzierten Umgebungen Ul+(a), U' (a), so entstehen die reduzierten
rechtsseitigen und linksseitigen Schrankenfunktionen G (a; f, 9s),
g'(a; f, 9), G'_(a; f, t), g'_(a; f, Q).
Aus diesen Definitionen folgt:
Satz III. In jedem Punkte a von 9+ *.92o ist G(a; f, 91) die
größte der zwei Zahlen G+(a; f, 91), G_(a; f, 9), und g(a; f, 1)
die kleinste der zwei Zahlen g+(a; f, 91), g (a; f, 9).
Satz IV. In jedem Punkte a von 9W1.921 ist G'(a; f, 91) die
größte der zwei Zahlen G' (a; f, 91), G' (a; f, 9), und g'(a; f, 91)
die kleinste der zwei Zahlen g+(a; f, W9), g'(a; f, 9l).
Hat 91 eine reduzierte rechtsseitige (bzw. linksseitige) Umgebung
von a zum Teil, so schreiben wir auch:
G+(a; f, 9)- lim f (x), '_ (a; f, 9)-=lim f(x);
x=a+-O x=a=O
g+ (a; t, E9) = lim f(x); g'_ (a; f, 9) _ lim f(x).
Wir definieren nun (vgl. ~ 8, Satz I): Die (auf 9 definierte)
Funktion f heißt rechtsseitig') oberhalb stetig in a auf 91, wenn:
f(a)= G+ (a; f, ),
sie heißt rechtsseitig') unterhalb stetig in a auf 91, wenn:
f(a) --- g+ (a; f, 9);
sie heißt rechtseitig stetig in a auf 91, wenn sie rechtsseitig oberhalb und unterhalb stetig ist in a auf 91, d. h. wenn (vgl. ~ 3, Satz II)2):
G+(a; f,W) = (a; f, ),
woraus ja (vgl. ~ 3, Satz III) von selbst folgt:
G+(a; f, 9) =g+(a; f, 9) = f(a).
1) Ebenso werden die Begriffe:,linksseitig oberhalb bzw. unterhalb stetig"
definiert durch:
f(a) G_(a; f, ); f(a)=-g(a; f, ).
2) Aus dieser Definition folgt sofort, daß in jedem nicht zu 9(_ gehörigen
Punkte von 91 jede Funktion f auf 91 rechtsseitig stetig ist.