Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Funktionenfolgen.
~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen.
Wir haben im vorstehenden die Frage behandelt, unter welchen
Umständen aus der Stetigkeit der Funktionen einer konvergenten
Folge {f},) auf die Stetigkeit der Grenzfunktion geschlossen werden
kann. Sei:
(0) f-lim f;,
l,-= Co
und seien alle t;, stetig in a auf W1. Es ist auch f stetig in a auf 9X,
wenn für jede Folge {(a} aus 91 mit lima =a:
lim f(a") = f (a).
n= oo
Wegen (0) ist dies gleichbedeutend mit:
lim (lim f~ (aj)) = lim fr (a),
n=oo v=wo - =C O
und wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der f4 weiter mit:
li (lim f ) li m (lim,(a)) i (i (az)).
n=oo y=Mx 1r=oo n=xo
Es handelt sich also um einen speziellen Fall der Frage: Unter
welchen Umständen können bei einer Doppelfolge reeller Zahlen') a'
die beiden Grenzübergänge m — > oo, n —> oo vertauscht werden? Wir
wollen uns, bevor wir zu einer noch allgemeineren Fragestellung aufsteigen, kurz mit diesem Probleme befassen. Der Einfachheit halber
setzen wir die Doppelfolge als beschränkt voraus, was ja durch die
Schränkungstransformation stets erreicht werden kann.
Satz I. Sei {a,} eine beschränkte Doppelfolge reeller
Zahlen; für jedes n existiere der Grenzwert:
(1) a ==-limam,
m = X
für jedes m existiere der Grenzwert:
(2) am - lim a~m
Dann ist für die Gültigkeit der Formel:
(3) lim (lim a) = lim (lim '"t)
m-=co n_=oo n = n==o
notwendig und hinreichend, daß es, wenn e>0 beliebig
t) Näheres über solche Doppelfolgen findet man bei A. Pringsheim,
Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre. Erster Band (1916), 247ff.