Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

252 Funktionenfolgen.
Ferner gibt es ein v%, so daß:
fy(a)- fv(a) <2 für v > o, V o und alle a von /.
Durch Grenzübergang ' — oo folgt.hieraus:
fv(a) - f(a) - für vv> o und alle a von 9,
womit (*) bewiesen ist.
Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, ist sie erfüllt,
so gibt es zu jedem e>O ein 0, so daß:
I/ t(a) -f(a <; (a- f(a) f(a) <
für v~vO, v'~vO und alle a von Af.
Daraus aber folgt:
| f,(a) - f (a) |<2e für v>vo, v'_vO und alle a von ',
d. h. {f,} ist eigentlich gleichmiäßig konvergent auf 91. Damit ist
Satz XI bewiesen.
Man entnimmt daraus sofort, daß jede auf 92 (eigentlich) gleichmäßig konvergente Folge auch (eigentlich) konvergent ist in jedem
Punkte von A9. Ist f ihre Grenzfunktion, so sagt man: {f"} konvergiert gleichmäßig auf 91 gegen f.
Darüber hinaus folgt aus der Definition der gleichmäßigen Konvergenz sofort:
Satz XII. Ist die Folge {f,} (eigentlich) gleichmäßig
konvergent auf 9W, so ist sie auch in jedem einzelnen
Punkte von 9/0 (eigentlich) gleichmäßig konvergent auf 9/.
Die Umkehrung gilt nur unter einer einschränkenden Voraussetzung:
Satz XIII1). Ist 9f kompakt2), und ist die Folge {f,,}
(eigentlich) gleichmäßig konvergent auf t in jedem Punkte
von W~, so ist sie auch (eigentlich) gleichmäßig konvergent
auf 9f.
1) Dieser Satz ist ähnlich dem Satze von der gleichmäßigen Stetigkeit
(Kap. II, ~ 4, Satz IX), ist aber zum Unterschied von diesem ein allgemeiner
Grenzsatz.
2) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Denn ist 2S nicht kompakt, so gibt es in 9g einen abzählbaren Teil a1, a2,..., a",... ohne Häufungspunkt. Man setze
(a)- = { 0 für a + a
1 für a =- a,.
Dann konvergiert {f,} in jedem Punkte a von 9( gleichmäßig gegen 0, ohne
gleichmäßig auf 91 zu konvergieren.