Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 6. Stetige Funktionen endlicher Variation. 499
(v)-0 (V-~' ' '..'); / (2^_1)=V (V= 1,2,...); f(1)=0;
f (x) linear in jedem Intervalle [xV,_, x] (v=1, 2,..).
Dann ist f(x) stetig in [0,1]. Sei Z die endliche Zerlegung von [0, 1] mit
den Zerlegungspunkten: 0, x1, x2,..., xx2, 1, so ist:
A (f)A (Z)2 1 + +... -),
also:
^o (f)= - oo,
d. h. f ist nicht von endlicher Variation in [0, 1].
Ein Beispiel einer Funktion, die in einem Intervalle [a, b] stetig, aber in
keinem Teilintervalle von [a, b] von endlicher Variation ist, liefert die Ordinate y (t) einer Peanoschen Kurve (Kap. II, ~ 7, S. 150). Man erkennt dies
sofort, wenn man bemerkt, daß (bei ungeradem g) für jedes Teilintervall
~[';-I~21 von [0,1]:
jY(g9}-Y\2) gn -
Wir haben Variation, positive und negative Variation einer
Funktion definiert als obere Schranken der Ausdrücke A(Z),
P(Z), N'(Z). Für eine weite Funktionenklasse, die insbesondere
alle stetigen Funktionen umfaßt, gelingt eine wichtige Grenzwertdarstellung dieser Zahlen.
Sei Z die durch die Punkte
(*) a = Xo < x < x<... < x_ < x = b
gegebene endliche Zerlegung von [a, b]. Ist
x Xi-_ d (i- 1, 2,...,),
so nennen wir d eine Norm der Zerlegung Z. Eine Folge endlicher Zerlegungen {Zv} von [a, b] heißt eine ausgezeichnete
Folge'), wenn es eine Norm dy von Z, gibt, so daß:
lim d -= 0.
y = 00
Sei f(x) eine in [a,b] definierte Funktion, die nur Unstetigkeiten erster Art besitzt. Jeden Punkt x von [a, b], in dem nicht:
f(x -O) f(x) f( x + ) oder f(x-0) f(x)_ ( (x + 0),
nennen wir eine äußere Sprungstelle2) von f(x). Dann gilt
der Satz3):
1) Nach G. Kowalewski, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung (1909), 171.
2) Dies befindet sich in Einklang mit der Definition des äußeren
Sprunges Kap. III, ~ 5, S. 212.
3) E. Study, Math. Ann. 47 (1896), 301. Daselbst auch eine weitere
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