Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

18 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre.
Es sind also 9a, und 3b " ähnlich; andererseits sind nach Annahme 2a,' und Ob' ähnlich. Also sind ~, und 3b" ähnlich. Nach
Satz VI ist das nur möglich, wenn b' =- b, so daß (**) übergeht in:
(***) b' vor b.
Es folgt also (***) aus (*), d. h. die Abbildung A von S9 und e ist
ähnlich. Im 1. Falle sind also 9 und 3 ähnlich.
Im 2. Falle gibt es in 3 Elemente b, zu deren Abschnitt,3b
in 91 kein ähnlicher vorkommt. Nach Definition der wohlgeordneten
Mengen gibt es nun unter allen diesen Elementen von O3 ein erstes,
etwa bo. Zu jedem Abschnitte von 91 gibt es nun in 3b0 einen ähnlichen und umgekehrt. Nach dem im 1. Falle bewiesenen sind also
91 und 3bo ähnlich. Im zweiten Falle ist also 92 ähnlich einem Abschnitte von 3.
Ganz ebenso zeigt man, daß im 3. Falle 93 ähnlich ist einem
Abschnitte von 91.
Der 4. Fall endlich kann nicht eintreten; denn angenommen,
er läge vor. Dann ist in 91 ein erstes Element ac vorhanden, zu
dessen Abschnitt 91~ es in S3 keinen ähnlichen gibt, und in 93 ein
erstes Element bo, zu dessen Abschnitt ebo es in 91 keinen ähnlichen
gibt. Dann aber ist jeder Abschnitt von 9ao ähnlich einem Abschnitte
von 3bo und jeder Abschnitt von $bo ähnlich einem Abschnitte von
91a. Nach dem im 1. Falle Bewiesenen ist dann auch 9ao ähnlich
9ob und es wäre also der Abschnitt Wao von 9 ähnlich einem Abschnitte von 93, entgegen seiner Definition. Also kann der 4. Fall
nicht eintreten.
Damit ist gezeigt, daß immer eine der drei Möglichkeiten von
Satz VII zutrifft, und daß nur eine zutrifft, folgt aus Satz V.
Die Ordnungstypen der wohlgeordneten Mengen werden als
Ordinalzahlen bezeichnet. Da jede geordnete endliche Menge
wohlgeordnet ist, fallen die natürlichen Ordinalzahlen tatsächlich
unter diesen Begriffl). Da auch die Menge der natürlichen Zahlen
in ihrer natürlichen Anordnung wohlgeordnet ist, so ist auch der in
~ 3, S. 13 eingeführte Ordnungstypus ow eine Ordinalzahl. Gegenüber
den endlichen Ordinalzahlen heißen die Ordnungstypen unendlicher
wohlgeordneter Mengen: transfinite Ordinalzahlen.
Anknüpfend an die drei Möglichkeiten von Satz VII wird zwischen
den Ordinalzahlen folgende Anordnung festgesetzt. Seien a und p
die Ordinalzahlen der beiden wohlgeordneten Mengen 91 und 93. Sind
1) Auch die 0 rechnen wir (als den Ordnungstypus der stets wohlgeordneten leeren Menge) zu den Ordinalzahlen.