Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 12. Existenz von Funktionen a-ter Klasse. 379
In der Tat, offenbar genügt es, nachzuweisen, daß es eine
Bairesche Funktion f(x) gibt, die nicht von geringerer als a-ter
Klasse ist. Sei nun f(x,t) die Funktion von Satz IV. Wir definieren in [0,1] eine Funktion f(x) durch:
f * ( -) 0 wenn f(xx)+
I wenn f(x,x)=0.
Dann ist f(x) eine Bairesche Funktion. Denn nach ~ 1, Satz V
ist f(x,x) eine Bairesche Funktion; es sind also die Mengen aller
Punkte von [0, 1], in denen f(x,x) = 0 bzw. =0, Borelsche Mengen
(~ 7, Satz IV), also auch die Mengen aller Punkte von [0, 1], in denen
f(x)=O bzw. = 1, also ist f(x) eine Bairesche Funktion (~ 7,
Satz IV).
Es kann aber f(x) nicht von geringerer als a-ter Klasse sein,
denn sonst wäre für ein gewisses t:
f(x)= f(, t),
und indem man hierin x = t setzt, würde ein Widerspruch mit (***)
entstehen. Damit ist Satz V bewiesen.
Aus Satz V entnehmen wir noch eine für das Folgende wichtige Tatsache:
Satz VI. Ist 9D) die Menge aller jener Punkte aus [0,1],
die nicht darstellbar sind durch einen endlichen Systembruch der Grundzahl 2, so gibt es für jedes a aus 31+82
auf 9)D Bairesche Funktionen a-ter Klasse.
In der Tat, angenommen es gäbe in,81 -+, ein f (> 3), so daß
jede Bairesche Funktion auf Du von höchstens f-ter Klasse wäre.
Sei nun 9)' das Komplement von 9)J zu [0, 1]. Die Menge 9S' ist,
weil abzählbar, eine Menge 2, also ist D9 eine Menge ), und sowohl
) als 9S)' sind höchstens Mengen Sa. Sei nun f eine beliebige
Bairesche Funktion in [0,1]; sie ist dann auch eine Bairesche
Funktion auf 9. Nach ~ 10, Satz I ist sie auf 9J' von höchstens
erster Klasse, nach Annahme ist sie auf 9u von höchstens f-ter
Klasse; nach ~ 8, Satz IV gibt es daher eine Funktion f, höchstens
ß-ter Klasse in [0, 1], die auf 9S' mit f übereinstimmt, und eine
Funktion f2 höchstens ß-ter Klasse in [0, 1], die auf 9)u mit f übereinstimmt. Also ist f nach ~ 8, Satz I auf [0, 1] von höchstens ßf-ter
Klasse. Es gäbe also für > ß in [0,1] keine Funktionen a-ter
Klasse, entgegen Satz V. Damit ist Satz VI bewiesen.
wir uns hier angeschlossen haben, wurde gegeben von Ch. J. de la ValleePoussin in: Int6grales de Lebesgue, Fonctions d'ensemble, Classes de Baire
(Paris 1916), 145ff.