Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

214 Die unstetigen Funktionen.
nügt f*, wenn b8 die Menge der Stetigkeitspunkte von f auf 9 bezeichnet,
der Ungleichung:
g (a; f, I) 1g (a; f,,) ) fg(a ); G (a); f, f)<G (a; f, Z),
und da auch f der Ungleichung genügt:
g (a;f, 9)f (a) < G (a;f, 9),
folgt die Behauptung (xx).
Für die in der Definitionsungleichung (0) der zu f gehörigen möglichst
stetigen Funktionen auftretenden Größen G(a; f, 8), g (a; f, S8) gilt noch:
Satz XI. Ist 91 relativ-vollständig, ist f punktweise unstetig
auf 91, und 3 die Menge der Stetigkeitspunkte von f auf 91, so ist in
jedem Punkte von 9O~:
('t) C a(a; f, )- = G*(a; f, g); g (a; f, S) g*(a; f, El),
wo (G* und g* obere und untere Schrankenfunktion von f auf 9$ bei
Vernachlässigung von Mengen erster Kategorie in V9 (Kap. II, ~ 12,
S. 174) bedeuten.
In der Tat, nach ~ 4, Satz III. ist die- Menge W9- 5 aller Unstetigkeitspunkte von f auf 9 von erster Kategorie in 91; also ist:
(tt) G* (a; f, 9) G (a; f, S).
Würde hierin das Zeichen < gelten, so gäbe es eine Zahl p:
(tT) G* (a; f, t) <p< G (a;f, B),
und mithin in jeder Umgebung U (a) einen Punkt b von 8, in dem auch:
f (b) >p.
Da aber b, als Punkt von 8, Stetigkeitspunkt von f auf 1 ist, gäbe es in
U (a) eine Umgebung von b in 91, d. h. eine in 9 offene Menge GJ, auf der
durchweg:
f>p.
Nach Kap. I, ~ 8, Satz XVI ist aber q von zweiter Kategorie in 9(, so daß:
G*(f, 1. U (a)) ~p,
und mithin, da dies für jede Umgebung lt (a) von a gilt, auch:
G*(a;f, ) p,
im Widerspruche mit (jtt). Also kann in ("1-) nicht das Zeichen < gelten,
und die erste Gleichung (t) ist bewiesen. Analog beweist man die zweite.
~ 6. Beispiele punktweise unstetiger Funktionen.
Wir wollen nun von einigen einfachen Funktionsarten nachweisen, daß sie punktweise unstetig sind. Zunächst gilt dies von den
halbstetigen Funktionen. Wir gehen, um dies einzusehen, aus vom
Hilfssatze:
Satz 1. Ist f oberhalb stetig auf SC, so hat die Schwankungsfunktion von f auf 1:
o( (a) co (a; f, 91)