Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

94 Punktmengen.
also (Satz II) jede seiner Punktmengen. Damit ist Satz III bewiesen. Er ist Spezialfall von'):
Satz IV. Ist jede Menge der Folge {91g} kompakt, so
ist ihre Vereinigung separabel.
In der Tat, nach ~ 6, Satz V ist jede Menge 91 separabel; es
gibt daher einen in 9n dichten abzählbaren Teil 93 o von 91,. Dann
ist auch 93, + 2 * -. +. + *. * abzählbar und (~ 4, Satz IX) dicht
in 91 + - 2 -+ -... -,n.. Damit ist Satz IV bewiesen.
Satz V. Ist 29 separabel, so ist jede Menge zu je zweien
fremder Teile 3 von 91, deren jeder einen inneren Punkt
besitzt, abzählbar.
Sei in der Tat die abzählbare Menge:
(*) al, a,..., a,...
dicht in 9f, und sei 93 ein Teil von 95, der einen inneren Punkt b
besitzt. Es gibt dann (~ 3, S. 72) ein o >0, so daß:
nl(b; ()-<3.
Da aber b Punkt von 29 und die Menge (*) dicht in 21 ist, gibt
es in (b; e) und mithin in 3 einen Punkt aus (*). Es kann also,
da (*) abzählbar ist, auch nur abzählbar viele solcher 93 geben, wie
be hauptet.
Satz VI. Ist 29 separabel, so ist jede Menge zu je zweien
fremder, in 91 offener Mengen 53 abzählbar.
In der Tat, man betrachte die Menge 91 selbst als den zugrunde
gelegten metrischen Raum. Jede in 29 offene Menge 53 wird dann
eine offene Menge, jeder Punkt von 53 daher ein innerer Punkt von 3
(~ 3, S. 72), und Satz VI folgt aus Satz V.
Ein Spezialfall von Satz VI sei noch eigens formuliert:
Satz VIa. Ist 91 separabel, so ist die Menge aller isolierten Punkte von 91 abzählbar.
In der Tat, ist b ein isolierter Punkt von 9, so ist die aus
dem einzigen Punkte b bestehende Menge 3 offen in 29, also ist
tatsächlich Satz VIa Spezialfall von Satz VI.
Ein anderer Spezialfall von Satz VI besagt:
Satz VII. Im euklidischen S ist jede Menge zu je zweien
fremder Intervalle abzählbar2).
1) Denn der 9Rk ist Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen, z. B.
abzählbar vieler abgeschlossener Intervalle.
2) Ein Spezialfall hiervon ist Satz II von Einleitung, ~ 5.